2020-2021学年河南省开封市创新中学高三数学理联考试卷含解析

2020-2021学年河南省开封市创新中学高三数学理联考试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为 （ ）

A． B． C． D．

参考答案：

B

由题意得 ,选B.

2. 设集合，，则集合中元素的个数为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

参考答案：

B

略

3. 若loga（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（ ）

A．a＜ B．＜a＜ C．a＞1 D．＜a＜或a＞1

参考答案：

D

【考点】指、对数不等式的解法．

【分析】先把0变成底数的对数，再讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．

【解答】解：∵loga（3a﹣1）＞0，

∴loga（3a﹣1）＞loga1，

当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；

当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜ 综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．

故选D．

4. 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )

A. B. C．π D．2π

参考答案：

C

5. 函数在上零点的个数是（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

参考答案：

C

【分析】

令，即，即，解得，再由，即可求解，得到答案．

【详解】由函数，令，即，即，

所以，

又由，所以，

即函数在上有4个零点，故选C．

【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，以及三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记函数零点的定义，准确利用正切函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

6. 已知a∈（，π），sinα=，则tan（α+）=（ ）

A．B．7 C．D．﹣7 参考答案：

C

【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．

【解答】解：∵a∈（，π），sinα=，

∴cosα=﹣=﹣，可得：tanα=﹣，

∴tan（α+）===．

故选：C．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

7. 若函数在区间内没有最值,则的取值范围是（ ）

A． B．

C. D．

参考答案：

B

函数的单调区间为，令，

,解得，.若函数在区间内没有最值,则解得，

由,得,当时,,又因为,所以；当时,

,符合题意.故选.

8. 已知函数 ()=-3+a2-4，在=2处取得极值，若m，n[-1，1]，则(m)+(n)的最小值是（ ）

A、-13 B、-15 C、10 D、15

参考答案：

A

9. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

参考答案：

C

10. 程序框图如图所示，若输入值t∈（1，3），则输出值S的取值范围是（ ）

A．（3，4] B．（3，4） C．[1，9] D．（1，9）

参考答案：

A 【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=的值，由t的范围，利用二次函数的图象和性质即可得解．

【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S=的值，

可得：当t∈（1，3）时，S=4t﹣t2=4﹣（t﹣2）2∈（3，4]．

故选：A．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为 ．

参考答案：

12. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（x+1）ex则对任意的m∈R，函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有（ ）

A．3个 B．4个 C．6个 D．9个

参考答案：

A

【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．

【分析】当x＜0时，f（x）=（x+1）ex，求出f′（x），判断x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数，f（﹣2）=，f（﹣1）=0，且x→0时，f（x）→1，利用函数是奇函数，f（0）=0，画出函数的图象利用换元法，转化求解函数的零点个数即可．

【解答】解：当x＜0时，f（x）=（x+1）ex，可得f′（x）=（x+2）ex，可知x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数， f（﹣2）=，f（﹣1）=0，且x→0时，f（x）→1，又f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，而x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，

所以函数的图象如图：令t=f（x）则f（t）=m，

由图象可知：当t∈（﹣1，1）时，方程f（x）=t至多3个根，当t?（﹣1，1）时，方程没有实数根，

而对于任意m∈R，方程f（t）=m至多有一个根，t∈（﹣1，1），

从而函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有3个．

故选：A．

13. 已知数列中，，对于任意，，若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，求＝▲ ． 参考答案： 9

略

14.

函数的定义域为 .

参考答案：

15.

在数列中，已知，，则其通项公式为

参考答案：

16. 已知四面体P－ABC的外接球的球心在AB上，且面,,若四面体P－ABC的体积为，则两点间的球面距离为

参考答案：

17. 已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点F的一条直线与该双曲线有且只有一个交点，且交点的横坐标为2a，则该双曲线的离心率为 _________

．

参考答案：

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18.

已知集合，

（1）若，求实数的值；

（2）设全集为R，若，求实数的取值范围。

15.

参考答案：

(1)m=5

(2)

略

19. （本题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.

（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；

（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；

（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值 大于1秒的概率.

参考答案：

解：（1）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32. 0.321000=320

∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。 ……2分

（2）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x ，19x 依题意，得

3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02 ……4分

设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则 ∴n=50

∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. ……6分

（3）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c

百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4，记他们的成绩为m，n，p，q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有

{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个 ……9分

其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个，……10分

所以P= ……12分

略

20. （本小题满分12分）已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F．若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；

(3)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由．

参考答案： 解：（1）因为,所以c=1 则b=1,即椭圆的标准方程为

（2）因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x

又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(,4)

所以,又,所以,即,故直线与圆相切

（3）当点在圆上运动时,直线与圆保持相切

证明:设(),则,所以,,

所以直线OQ的方程为 所以点Q(－2,)

所以,又,

所以,即,故直线始终与圆相切

21. （本小题满分12分）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q. 若第次出现“○”，则记；出现“×”，则记，令

（I）当时，记，求的分布列及数学期望；

（II）当时，求的概率.

参考答案：

（I）的取值为1，3，又