华中科技大学《量子力学》10讲-球方势阱

Rl
(r)
r (l1)的解要舍去
r
0时,
Rl
(r)
rl 21
三、三维各向同性谐振子(4)
3、径向波函数在 r 时的渐近行为
对三维各向同性谐振子，V (r) 2r2 / 2,
采用自然单位，径向方程为
Rl(r) 2r 1Rl(r) [2E r 2 l(l 1)r 2 ]Rl (r) 0 为求解Rl (r)，设Rl (r) f (r)u(r), 将关于Rl (r)的 方程转换为u(r)的方程，而f (r)则从考察r 0和
11
二、无限深球方势阱(6)
Rnrl (r) Cnrl jl (kr) Cnrl jl (x), x kr
从jl
(
x)
0，得到nr
个
根xnr
，从而得
l
到
E
Enrl
2
2a 2
x2 nr
l
,
nr
0,1,2, ,
球Bessel函数
jl
(
x)
(1)l
xl
(
1 x
d )l dx
sin x x
sin x
l(l 1) r 2 ]Rl
(r)
0
或
l(r)
[
2
2
(E
V
(r))
l
(l r2
1)
]
l
(r)
0
其中，l (r) rRl (r) 径向波函数 取决于V (r)
5
二、无限深球方势阱(1)
对无限深球方势阱
0, r a V (r) , r a ,
能量本征方程为
[
2
2r
2 r 2
r
lˆ2
2r2
sin x cosx
j0 (x) x , j1(x) x2 x
12
二、无限深球方势阱(7)
jl (x)
(1)l
xl (1 x
d )l dx
sin x
x
l0
j0 (x)
sin x
x
j0 (x) 0 x xnr (nr 1) , nr 0,1,2,....
x ka, k 2E
又k
2E
/
E
Enrl
2
2a 2
x2 nr
l
,
Rl (r) Rnrl (r) jl (knrl r) Rnrl (r) Cnrl jl (knrl r),
由
a 0
Rnrl
(r ) Rnr l
(r )r 2dr
nr nr
得到
Cnrl
{
2 a3
[
jl1(knrl a)
jl1(knrl a)]1}1 2
f ( ,) Ylm ( ,)
(r, ,) ml (r, ,) Rl (r)Ylm ( ,)
4
一、中心力场的径向方程的回顾(3)
将 lm (r, ,) Rl (r)Ylm ( ,)代入
2 [
2r
2 r 2
r
lˆ2
2r 2
V (r)]
E
得到径向方程
Rl(r)
2 r
Rl(r)
[
2
2
(E
V
(r))
2 r 2
r
lˆ2
2r 2
V (r)]
E
要采用分离变量法，故设 (r, ,) Rl (r) f ( ,)
[lˆ2 , Hˆ ] 0且[lˆ2 ,lˆz ] 0 （Hˆ，lˆ2 ,lˆz） 完全集
(r, ,) Rl (r) f ( ,)既是Hˆ的本征函数，
也应是lˆ2和lˆz的共同本征函数。由此得到
r 时的渐近行为中获得。r 0时, Rl (r) rl r 时，有 Rl(r) r 2Rl (r) 0 Rl (r) er2 / 2 这是 Rl rRl , Rl Rl r 2Rl r 2Rl
22
三、三维各向同性谐振子(5)
4、三维谐振子径向方程的解（1）
Rl(r) 2r1Rl(r) [2E r2 l(l 1)r 2 ]Rl (r) 0 r 0时, 有Rl (r) rl ; r 时，有Rl (r) er2 /2 可设 Rl (r) f (r)u(r) r el r2 /2u(r), 得到 u(r) 2r1(l 1 r2 )u(r) [2E (2l 3)]u(r) 0
2
2
考虑到V (r)的球对称性，采用球坐标：
pˆ 2
22
2 r2
r
r2
r
lˆ2 r2
2
r
2 r 2
r
lˆ2 r2
能量本征方程
2 [
2 r
lˆ2
V (r)] E
2r r 2 2r 2
为在V (r)给定后能确定本征态和本征值E。
3
一、中心力场的径向方程的回顾(2)
能量本征方程 [
2
2r
0
的概率，应该有lim
|
2
(r) | d
0, d
r3
r0
0
要求lim | (r) |2 r3 0, 若 (r)～r s s 3 / 2 r 0
20
三、三维各向同性谐振子(3)
2、径向波函数在r 0时的渐近行为
若 lim r2V (r) 0,则径向方程 r 0
Rl(r )
2 r
Rl(r )
2dr
nrnr ll mm
Ylm ( ,) (1)m
2l 1
4
(l (l
m)! m)!Pl
m
(c
os
)eim
当给定nr和l后，Enrl给定，但m l,l 1,,l 1,l有(2l 1)
个 每个Enrl对应(2l 1)个 nrlm 能级(2l 1)度简并
16
二、无限深球方势阱(10)
2
x ka, k 2E E
x2
2a2
2
2
Enrl
Enr 1
2a2
x2 nr
1
,
nr
0
E01
2a2
x021
2
nr 1 E11 2a2 x121
用类似的方法能得到l 2,3,....时的xnrl
14
15
二、无限深球方势阱(9)
与Enrl
2
2a 2
x2 nr
l
相
对应的
本征函
数为(
xnr
2
2 (nr 1)2
2a2
, nr
0,1, 2,,
本征态0nr (r)
可以可以证明
2 sin (nr 1) r , 0 r a
a
a
a
[0
0 nr
(r)]2 dr
1
8
二、无限深球方势阱(4)
2、s与非s态（l 0） 势阱内（0 r a）径
向方程为
Rl(r)
2 r
Rl(r)
[k 2
l
(l r2
V (r)]
E
其解为 lm Rl (r)Ylm ( ,)，其中Rl (r)满足径向方程，
l(r)
2
[ 2
(E
V
(r))
l
(l r2
1)
]l
(r)
0, l
0,1,
2, ,
1、s态（即l 0的情况） l (r) rRl (r)
0(r
)
2
2
[E
V
(r)]0
(r)
0
6
二、无限深球方势阱(2) l (r) rRl (r)
每个Enrl对应(2l 1)个 nrlm 能级(2l 1)度简并
nrlm是(Hˆ , l 2 , lz )的共同本征函数，利用l 2和lz的
本征值对应的量子数l和m,可以对 nrlm进行分类，
从而保证对应同一能级Enrl的(2l 1)个不同简并态
ห้องสมุดไป่ตู้nr
之间的正交性得到保证：
lm
k nrlm (r, , ) Cnrl jl (knrl r)Ylm ( ,),
再由0 (a) 0 sin ka 0 ka (nr 1)
nr 0,1, 2,, 能量本征值为
E Enr
2
2 (nr 1)2
2a2
, nr
0,1, 2,,
7
二、无限深球方势阱(3)
1、s态
0(r)
2
2
[E
V
(r
)]0
(r)
0
在边界条件 0 (0) 0 (a) 0下
本征值 E Enr
0
a
0
*
11m
11m
r
2
dr
mm
可见，运用力学量完全集以后，解决了对应
同一能级Ek的不同简并态 k之间的正交性问题。
18
三、三维各向同性谐振子(1)
三维各向同性谐振子:V (r) 2r2 / 2
具有中心对称性，径向方程为
Rl(r)
2 r
Rl(r)
[
2
2
(
E
2 r
2
2
)
l(l r2
1)
]Rl
(r)
0
采用自然单位，令 1，有
Rl(r) 2r1Rl(r) [2E r2 l(l 1)r 2 ]Rl (r) 0 如何加以求解？可令Rl (r) f (r)u(r), 将关于Rl (r) 的方程转换为u(r)的方程，而f (r)则从考察r 0和
r 时的渐近行为中获得。
19
量子力学
光电子科学与工程学院 刘劲松
第十讲 无限深球方势阱
三维各向同性谐振子
1
目录
一、中心力场的径向方程的回顾 二、无限深球方势阱 三、三维各向同性谐振子
2
一、中心力场的径向方程的回顾(1)
设质量为的粒子在中心势V (r)中运动，则Hamilton
为 Hˆ pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
[
2
2
(E
V
(r))
l(l 1) r 2 ]Rl
(r)
0
在r
0时，有
Rl(r )
2 r
Rl(r)
l(l 1) r2
Rl (r)
0,
在r 0的领域内，设Rl (r) r s , 代入上式，得
s2 s l(l 1) 0 s l, s (l 1)，r 0时，
Rl (r) rl或r (l1)，但 要求(l 1) 3 / 2,若l 1，
1、s态
0(r )
2
2
[E
V
(r )] 0
(r)
0
在边界条件 0 (0) 0 (a) 0下求解此方程 势阱内（0 r a）,V (r) 0, 令k 2 E /
0(r) k 20 (r) 0 解为c sin kr或c cos kr
0 (0) 0，取
0 (r) c sin kr
令 r2, (l 3 / 2 E) / 2, l 3 / 2, 有
d 2u
d 2
(
)
du
d
u
0
u(r)
F (,
,)
F ( , , ) 合流超几何函数. 23
三、三维各向同性谐振子(6)
4、三维谐振子径向方程的解（2）
Rl(r) 2r1Rl(r) [2E r 2 l(l 1)r 2 ]Rl (r) 0
l
aknrl )
nrlm (r, ,) Rnrl (r)Ylm ( ,) Cnrl jl (knrl r)Ylm ( ,),
2 0
d
Cnrl
s in d
0
{
2 a3
[
jl 1
(knrl
a)
jl 1 (k nr l
a)]1}1
2
a
0
* nr l m
(r,
, )
nr lm
(r,
,)r
Rl (r) f (r)u(r) rler2 /2u(r) rler2 /2F ( , , ) F ( , , ) 1 ( 1) 2 ( 1)( 2) 3
( 1)2 ( 1)( 2)3!
可以证明， 时，无穷级数F ( , , ) e F ( , , )不能作为波函数，必须将其中断为多项式 当 0或负整数时，可将F ( , , )化为多项式，
1)
]Rl
(r)
0
是球Bessel方程，其解Rl (r) （jl kr）, k 2E /
（jl kr)为球Bessel函数:jl
(x)
(1)l
xl
(1 x
d )l dx
sin x
x
在边界条件Rl (a) 0下,有jl (ka) 0, 若令x ka
从jl (x) 0解出根，记为xnrl，nr 0,1, 2,,
三、三维各向同性谐振子(2) Rl (r) f (r)u(r)
1、波函数统计诠释对波函数渐近行为的要求
波函数 (r),若 (r 0) ,则r 0是 (r)
的奇点，粒子出现在r 0的概率应该为0。
设体积元 0是以r 0为球心、半径为r的小球，
如果要求积分
2
| (r) | d
能代表粒子出现在 0
2
d
0
sin d
0
r dr a *
2
0 nrlm nrlm
nr nr ll mm
17
二、无限深球方势阱(11)
以nr 1,l 1为例，Enrl E11对应(2l 1) 3个 nrlm 111，110，11－1 能级3重简并，
此时正交归一性可表示为
2
d
0
s in d
nr表示jl (x)的节点数。
9
jl (x)的节点数
jl (x)
j0 (x)
j1 ( x)
j2 (x) j3 (x)
x0,0
x0,1
x0,2
x1,0 x0,3
x
x1,1
10
二、无限深球方势阱(5)
Rl (a) 0 （ jl x) 0, x ka 记xnrl为（ jl x) 0
的根，nr 0,1,2,, nr表示（ jl x)的节点数。 k x / a，故可将k表示为knrl xnrl / a，,
即F ( , , ) n。但依然有F ( , , ) n
24
三、三维各向同性谐振子(7)
4、三维谐振子径向方程的解（3）
Rl(r) 2r1Rl(r) [2E r 2 l(l 1)r 2 ]Rl (r) 0
Rl (r) rler2 /2F ( , , ), r 2 F ( , , ) 1 ( 1) 2 ( 1)( 2) 3
E
Enr
22 (nr 1)2 2a 2
, nr
0,1,2,,
这是s态（l 0)时已得到的结果。
13
二、无限深球方势阱(8)
jl
(x)
(1)l
xl
(1 x
d )l dx
sin x
x
l 1
j1 ( x)
sin x x2
cos x
x
j1(x) 0 x tgx x01,x11,..., xnr1,...nr 0,1, 2