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季节性时间序列分析方法

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第七章 季节性时间序列分析方法

由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。

本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。

§1 简单随机时序模型

在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。

一、 季节性时间序列

1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。

注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）

2．处理办法：

（1）建立组合模型；

（1） 将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）

周期 周期点 1 2 3 …… S 总和 平均

1 X1 X2 X3 …… XS T*1 A*1

2 XS+1 XS+1 XS+3 …… X2S T*2 A*2

3 XS+1 X2S+2 X2S+3 …… X3S T*3 A*3

…… ………………………………………………………………………………

n X(n-1)S+1 X(n-1)S+2 X(n-1)S+3 …… XnS T*n A*1n

总和 T1* T2* T3* …… TS* T T/S

平均 A1* A2* A3* …… AS* T/N T/SN

对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。但是这种做法不可取，原因有二：（1）S个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列tx的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。

启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。

定义：季节差分可以表示为StttStStXXXBXW)1(。

二、 随机季节模型

1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。

AR（1）：ttStStteWBeWW)1(11，可以还原为：ttSSeXB)1(1。

MA（1）：tStSttteBWeeW)1(11，可以还原为：tStSeBX)1(1。

2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA表达形式为

tStSeBVWBU)()( （1）

这里，qSqSSSpSPSSStdStBVBVBVBVBUBUBUBUXW2212211)(1)()(平稳。

注：（1）残差te的内容；（2）残差te的性质。

§2 乘积季节模型

一、 乘积季节模型的一般形式

由于te不独立，不妨设),,(~mdnARIMAet，则有

ttdaBeB)()( （2）

式中，ta为白噪声；nnBBBB22111)(；mmBBBB22111)(。

在（1）式两端同乘dB)(，可得：

tStdStDSdStdSaBBVeBBVXBUBWBUB)()()()()()()()( （3）

注：（1）这里tDSSXBU)(表示不同周期的同一周期点上的相关关系；tdXB)(则表示同一周期内不同周期点上的相关关系。二者的结合就能同时刻划两个因素的作用，仿佛是显像管中的电子扫描。

（2）从结构上看，它是季节模型与ARIMA模型的结合形式，称之为乘积季节模型，阶数用SqDpmdn),,(),,(来表示。

（3）将乘积季节模型展开便会得到一般的ARIMA模型。例如：tStaBVBXB)1)(1()1(11，可以展开为tSStaBVBVBXB)1()1(11111，此时也有)1,1,0(~SARIMAXt，并且其中有许多系数为0。但其参数并不独立。所以尽管模型的阶数可能很高，然而真正独立的参数不多，我们称这类模型为疏系数模型（带有一定约束条件的疏系数模型）。

二、 常用的两个模型

1．ttaBBXBB)1)(1()1)(1(1212112 类型为：S)1,1,0()1,1,0( （4）

2．ttaBBXB)1)(1()1(1212112 类型为：S)1,1,0()1,0,0( （5）

三、 乘积季节模型与ARIMA模型的关系

我们可以将乘积季节模型

tStdStDSdStdSaBBVeBBVXBUBWBUB)()()()()()()()( （3）

展成ARIMA模型形式。

例如，tStaBVByB)1)(1()1(11是)1,0,0()1,1,0(季节模型，将式子的右边展成：

tSjjjtSStaBaBVBVByB)1()1()1(11*11111 （6）

这是一个)1,1,0(S阶ARIMA模型，但是其参数不是独立的，有下面的约束关系

11*11**1*21*1,,0,VVSSS （7）

尽管模型的阶数很高，然而真正独立的参数并不多，有许多参数取值为零

§3 季节性时间序列模型的建立

季节性时间序列模型的建立也包含这样几个过程：模型的识别、模型的定阶、参数估计、诊断检验等。基本上采用的是BOX-JENKINS方法，也就是立足于考察数据序列的样本自相关、偏自相关函数。

如果样本自相关、偏自相关函数既不截也不拖尾，而且也不呈线性衰减趋势，相反地，在相应于周期S的整数倍点上，自相关（或偏自相关）函数出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，我们就可以判明原数据序列适合于乘积季节模型。

一、 季节性MA模型的自相关函数

tX是一个季节性时间序列，如果StMAX)1(~，则

tSSteBX)1( （6）

te不平稳，设)1(~MAet，则

ttaBe)1(1 （7）

我们就能得到一个乘积季节模型

tSStaBX)1)(1(1 （8）

1111StSStStttaaaaX （9）

当S=12时，有

)13(~13121121211MAaaaaXttttt （10）

可以计算出：

2212210)1)(1(

2212111)(

01032

12113

01514

因此有：

012111

01032

0)]1)(1[(2122112111

012121212

0)]1)(1[(2122112111 01514

注：（1）1为ttaBe)1(1的一阶自相关系数，12为tSSteBX)1(的一阶自相关系数；

（2）1与12比较容易求解；

（3）可以推广到更一般的形式。

二、 季节性AR模型的偏自相关函数

tX是一个季节性时间序列，如果StARX)1(~，则

ttSSeXB)1( （11）

te不平稳，设)1(~ARet，则

ttaeB)1(1 （12）

我们就能得到一个乘积季节模型

ttSSaXBB)1)(1(1 （13）

ttSSSSaXBBB)1(111 （14）

当S=12时，有

)13(~13121121211ARaXXXXttttt （15）

可以根据YULE-WORK方程求出偏自相关函数。

注：（1）根据它在周期点上的偏自相关函数的截尾性和拖尾性识别模型的类型和定阶；

（2）可以推广到更一般的形式。

三、 季节性时间序列模型的建模方法

利用B-J建模方法：判别周期性，即S的取值；根据SACF和SPACF提供的信息识别模型类型和阶数，最后进行估计和诊断检验。

具体做法：

第一步：对时间序列tX进行普通差分和季节差分S，以得到平稳的序列tW，tDSdtXW；

第二步：计算差分后序列的SACF和SPACF，选择一个暂定的模型；

第三步：由SACF和SPACF函数的值，利用矩估计法得到的值作为初始值，对模型参数作最小二乘估计；

第四步：模型的诊断与检验。 注：（1）关于差分阶数d和季节差分阶数D的选取可采用试探的方法1；也可使用差分后序列均方差的大小挑选；

（2）季节差分算子的阶数不宜过高。

四、 应用实例

【例6-1】试用1987年到1996年甲地某商品各月销售量资料为例建立季节性时间序列模型2。

建模型过程：

1．时间序列图

20030040050060070080087888990919293949596SPXL

明显存在着季节性变化，并且以12为周期。

2．SACF和SPACF函数图

-0.4-0.200.20.40.60.81123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748

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季节ARIMA模型

季节ARIMA模型

季节ARIMA模型

在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包含季度、月度、周度等变化）或者其他一些固有因素引起的。这类序列称之季节性序列。比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。在经济领域中，季节性序列更是随处可见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。

设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包含其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。首先用季节差分的方法消除周期性变化。季节差分算子定义为，

s = 1- Ls

若季节性时间序列用yt表示，则一次季节差分表示为

s yt = (1- Ls) yt = yt - yt - s

关于非平稳季节性时间序列，有的时候需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。在此基础上能够建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q等于2时，滞后算子应为(Ls)2 = L2s。

P (Ls) sDyt = Q (Ls) ut (2.60)

关于上述模型，相当于假定ut是平稳的、非自有关的。

当ut非平稳且存在ARMA成分时，则能够把ut描述为

p (L) dut = q (L) vt (2.61)

时间序列预测的方法与分析

时间序列预测的方法与分析

时间序列预测的方法与分析

时间序列预测是一种用于分析和预测时间相关数据的方法。它通过分析过去的时间序列数据，来预测未来的数据趋势。

时间序列预测方法可以分为传统统计方法和机器学习方法。下面将分别介绍这两种方法以及它们的分析步骤。

1. 传统统计方法

传统统计方法主要基于时间序列数据的统计特征和模型假设进行分析和预测。常用的传统统计方法包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型。

(1) 移动平均法：移动平均法通过计算不同时间段内的平均值来预测未来的趋势。该方法适用于数据变动缓慢、无明显趋势和周期性的情况。

(2) 指数平滑法：指数平滑法通过对历史数据进行加权平均，使得近期数据具有更大的权重，从而降低对过时数据的影响。该方法适用于数据变动较快、有明显趋势和周期性的情况。

(3) ARIMA模型：ARIMA模型是一种常用的时间序列预测模型，它结合了自回归(AR)、差分(I)和滑动平均(MA)的概念。ARIMA模型可以用于处理非平稳时间序列数据，将其转化为平稳序列数据，并通过建立ARIMA模型来预测未来趋势。

2. 机器学习方法

机器学习方法通过训练模型来学习时间序列数据的特征和规律，并根据学习结果进行预测。常用的机器学习方法包括回归分析、支持向量机(SVM)和神经网络。

(1) 回归分析：回归分析通过拟合历史数据，找到数据之间的相关性，并建立回归模型进行预测。常用的回归算法包括线性回归、多项式回归和岭回归等。

(2) 支持向量机(SVM)：SVM是一种常用的非线性回归方法，它通过将数据映射到高维空间，找到最佳分割平面来进行预测。SVM可以处理非线性时间序列数据，并具有较好的泛化能力。

(3) 神经网络：神经网络是一种模仿人脑神经元组织结构和工作原理的计算模型，它通过训练大量的样本数据，学习到数据的非线性特征，并进行预测。常用的神经网络包括前馈神经网络、循环神经网络和长短期记忆网络等。

对于时间序列预测分析，首先需要收集并整理时间序列数据，包括数据的观测时间点和对应的数值。然后，根据数据的特点选择适合的预测方法，比较常用的方法有传统统计方法和机器学习方法。具体的分析步骤包括数据可视化、数据预处理、模型训练和模型评估等。

时间序列的分析方法

时间序列的分析方法

时间序列的分析方法

时间序列分析是指通过对时间序列数据进行统计学和数学模型的建立和分析，以预测和解释时间序列的未来走势和规律。它是应用统计学和数学方法研究时间序列数据特点、规律、变化趋势，以及建立模型进行分析和预测的一种方法。

时间序列数据是按照时间顺序记录的数据，比如月度销售额、季度GDP增长率、年度股票收盘价等。时间序列分析的目的是从历史数据中发现数据的模式，以便更好地理解现象、做出预测和制定决策。

时间序列分析主要有以下几种方法：

1. 数据可视化方法

数据可视化是分析时间序列数据的重要方法，可以通过绘制数据的折线图、柱状图、散点图等来观察数据的趋势、周期性、季节性等特点。

2. 描述性统计方法

描述性统计是对时间序列数据的集中趋势、离散程度和分布形态进行描述的方法。常用的描述性统计指标有均值、标准差、最大值、最小值等。

3. 平稳性检验方法

平稳性是时间序列分析的重要假设，即时间序列在长期内的统计特性保持不变。平稳性检验可以通过观察数据的图形、计算自相关函数、进行单位根检验等方法来判断时间序列是否平稳。

4. 时间序列分解方法

时间序列分解是将时间序列数据分解为趋势成分、周期成分和随机成分的方法。常用的时间序列分解方法有经典分解法和X-11分解法。

5. 自回归移动平均模型（ARMA）方法

ARMA模型是时间序列的常用统计学模型，可以描述时间序列数据的自相关和滞后移动平均关系。ARMA模型包括两个部分，AR(p)模型用来描述自回归关系，MA(q)模型用来描述移动平均关系。

6. 自回归积分滑动平均模型（ARIMA）方法

ARIMA模型是ARMA模型的扩展，加入了差分操作，可以处理非平稳时间序列。ARIMA模型通常用于对非平稳时间序列进行平稳化处理后的建模和预测。

7. 季节性模型方法

对于具有明显季节性的时间序列数据，可以采用季节性模型进行分析和预测。常用的季节性模型有季节性ARIMA模型、季节性指数平滑模型等。

高级计量分析(时间序列分解——季节调整)

高级计量分析(时间序列分解——季节调整)

时间序列分解——季节调整

一、研究目的

经济指标的月度或季度时间序列包含4种变动要素：长期趋势要素T、循环要素C、季节变动要素S和不规则要素I。长期趋势要素代表经济时间序列长期的趋势特征。循环要素是以数年为周期的一种周期性变动，它可能是一种景气变动、也可能是经济变动或其他周期变动。季节变动要素是每年重复出现的循环变动，以12个月或4个季度为周期的周期性影响，是由温度、降雨、每年中的假期和政策等因素引起的。季节要素和循环要素的区别在于季节变动时固定间距（如季或月）中的自我循环，而循环要素是从一个周期变动到另一个周期，间距比较长且不固定的一种周期性波动。不规则要素又称随机因子、残余变动或噪声，其变动无规则可循，这类因素是由偶然发生的事件引起的，如罢工、意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改和预测误差等。

在经济分析中，季节变动要素和不规则要素往往掩盖了经济发展中的客观变化，给研究和分析经济发展趋势和判断目前经济所处的状态带来困难。因此，需要在经济分析之前将经济时间序列进行季节调整，剔除其中的季节变动要素和不规则要素。而利用趋势分解方法可以把趋势和循环要素分离开来，从而研究经济的长期趋势变动和景气循环变动。

二、季节调整的原理

时间序列的季度、月度观测值常常显示出月度或季度的循环变动。例如，冰激凌的销售量在每一年的夏季最高。季节性变动掩盖了经济发展的客观规律，因此，在利用月度或季度时间序列进行计量分析之前，需要进行季节调整。

季节调整就是从时间序列中去除季节变动要素S，从而显示出序列潜在的趋势循环分量（TC，季节调整无法将趋势要素和循环要素进行分离）。只有季度、月度数据才能做季节调整。目前比较常用的季节调整方法有4种：CensusX12方法、X11方法、移动平均方法和Tramo/Seats方法。

1、X11季节调整方法

该方法是1965年美国商务部人口调查局研究开发的季节调整程序。它是基于移动平均法的季节调整方法，通过几次迭代来进行分解，每一次都对组成因子的估算进一步精化。