17.最优化设计基础
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【精品】优化设计的数学基础(一)课件
式中D表示由p个不等约束条件和q个等约束条 件所规定的可行域。
通过最优化方法求得的一组最优设计变量：
X*[x1*,x2*, ,xn*]
表示了一个最优化的设计方案，称为最优设计点。 对应于该设计方案的目标函数为：
F * F ( X * ) F ( x 1 * ,x 2 * , ,x n * )
称为最优化值。
满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的 数值迭代过程 或 数值迭代方法。
数值迭代的基本思想是：从某一个选定的初始点 X ( 0出) 发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适
当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点 X (1 )，
计算此点的目标函数值 F ( X (1)使) 满足：
F(X(1))F(X(0))
X(m) X(p)
满足上述条件的点列称为基本序列，这个条件叫做点列收敛的柯西 准则。收敛条件式也可写作：
n
2
X(m) i
Xi(p)
i1
2、优化计算的终止准则
通常采用的计算终止准则有以下几种形式：
（1）当两相邻的迭代点 之间的距离足够小时用矢量的长 度来表示，即为：
X(m) X(p)
n
2
§3-4 优化设计的数学模型
综上所述，最优化问题数学模型一般表示如下： 对于无约束最优化问题：
m in F ( X )
X Rn
式中，R n 表示n维实欧氏空间。
对于约束最优化问题：
minF(X)
XDRn
D: gu(X) 0 ,
u
1,2,...,
p
hv(X) 0 ,
v=1,2....,q
或
X (k1) i
X (k) i
i1
优化设计的数学基础
a11 a12 a11 0, a11 a12 a21 a22 0, , a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
即矩阵A的各阶主子式均大于零。当矩阵A为正定时，其对应的二次型 为正定二次型。 如果实二次型 XTAX 中的矩阵A的各阶主子式负、正相间（即所 有奇数阶主子式小于零，而所有偶数阶主子式大于零），即
■ 函数的泰勒近似展开式和黑塞矩阵 ■ 无约束优化问题的极值条件 ■ 凸函数与凸规划 ■
约束优化问题的极值条件
2.1 二次型与正定矩阵
在介绍优化方法时，常常是将二次型函数作为对象。其原因除了 二次型函数在工程优化问题中有较多的应用且比较简单之外，还因为 任何一个复杂的多元函数都可采用泰勒二次展开式做局部逼近，使复 杂函数简化为二次函数。因此，需要讨论有关二次型函数的问题。
A 称为二次型矩阵，因为 aij = aji ，所以 A =AT，称为对称矩阵，
因此二次型矩阵都是对称矩阵。
2. 正定矩阵
在采用泰勒二次近似展开式讨论函数的极值时，常要分析二次型 函数是否正定或负定。二次型的正定与负定的定义简述如下： 如果对于任意的非零向量 X = [x1, x2, …，xn]T，即x1，x2，…，xn 不全为零，若有 XTAX > 0，则称此二次型 f (X)=XTAX 是正定二次 型， 其对应的矩阵A 称为正定矩阵； 若有 XTAX ≥0，则称此二次型 f (X) = XTAX 为半正定二次型，并称 其相应的矩阵A为半正定矩阵； 若有XTAX < 0，则称此二次型 f (X)=XTAX 为负定二次型，其对应 的矩阵A为负定矩阵。 矩阵A的正定与负定的判别，可用矩阵A的各阶顺序主子式的正负 来判别。矩阵A的正定条件是：
a1n a2 n ann
优化设计17个知识点
优化设计17个知识点优化设计是指通过改进和调整产品、系统或过程的设计，以提高其性能、质量、效率和可靠性。
在实际应用中，优化设计是一项复杂的任务，需要涵盖多个知识点。
本文将介绍17个常见的优化设计知识点，帮助您更好地理解和应用优化设计的原则。
一、需求分析需求分析是优化设计的基础，它涉及确定产品或系统的功能、性能和质量要求。
在需求分析阶段，应综合考虑用户需求、市场需求和技术可行性，明确产品或系统的关键特性和约束条件。
二、功能分解功能分解是将复杂的产品或系统划分为多个相互独立的子系统或模块，以便更好地进行设计和优化。
通过功能分解，可以明确每个子系统或模块的功能需求和性能指标，为后续的设计和优化提供依据。
三、概念设计概念设计是指在满足功能需求的前提下，通过创新和设计思维，提出多个不同的设计方案。
在概念设计阶段，应充分挖掘创意和想法，评估各种方案的优缺点，选择最合适的设计方案进行进一步优化。
四、参数化设计参数化设计是通过引入参数和变量，使得设计可以在一定范围内进行灵活调整和优化的方法。
通过参数化设计，可以快速生成多个设计方案，并通过模拟和测试评估各种参数组合对性能的影响，找出最佳的参数取值。
五、拓扑优化拓扑优化是利用数值仿真和优化算法，对结构进行形状调整，以达到最佳的结构性能和质量分布。
通过拓扑优化，可以实现材料的最优利用，提高结构的强度和刚度，降低重量和成本。
六、材料选择材料选择是在考虑产品功能、性能和成本的基础上，选择最合适的材料。
通过合理的材料选择，可以满足产品的结构强度、耐磨性、耐腐蚀性等特性要求，提高产品的可靠性和使用寿命。
七、工艺优化工艺优化是通过优化生产工艺和工艺参数，提高产品的生产效率和质量。
通过工艺优化，可以减少生产过程中的浪费和损失，降低成本，提高产品的一致性和稳定性。
八、故障分析故障分析是对产品或系统故障原因进行诊断和分析，以便找出问题根源并采取措施进行优化和改进。
通过故障分析，可以提高产品的可靠性和维修性，减少故障发生和维修成本。
优化设计-最优化基础理论+对分法
1. 最优化技术的理论基础
1.4 Lagrange乘数法
在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，其
一般形式是在条件
限制下，求函数 的极值。
条件极值与无条件极值的区别：条件极值是限制在一个子流形上的
极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定 相等。
Title in here
对分法
1.8.1.2 对分法迭代步骤 已知 (t ) ， (t ) 表达式，终止限 ． (1)确定初始搜索区间 [a, b，要求 ] '(a) 0， '(b) 0 (2) 计算[a, b] 的中点 c 1 (a b) ． 2 a c ( c ) 0 (3) 若 ，则 ，转(4)； 若 (c) 0 ，则 t * c，转(5)； 若 (c) 0 ，则 b c ，转(4)． (4) 若| a b | ，则 t * 1 (a b) ，转(5)；否则转(2)． 2 * (5) 打印t ，停机．
然后用这条切线与横轴交点的横坐标t k 1作为根的新的近 似（如图）．它可由方程（4.4）在令 y 0 的解出来， 即 (t k )
t k 1 t k
(t k )
这就是Newton切线法迭代公式．
Newton切线法
1.8.2.2 Newton切线法迭代步骤 已知 (t ) ， (t ) 表达式，终止限 ． (1) 确定初始搜索区间 [a, b] ，要求 '(a) 0， '(b) 0 (2) 选定 t 0 ． (3) 计算t t0 '(t0 ) / "(t0 ) ． (4) 若| t t 0 | ，则 t 0 t ，转（3）；否则转（5）． (5) 打印t， (t ) ，停机．
优化设计-最优化技术基础知识
模型结构
• 什么是模型……
将现实设计问题转换为可求解的数学函数及相关条件和约束
问题
模型
实际工 程问题
数学 算法
模型结构
• 优化问题所对应的模型包含三个组成部分： • 1)决策变量(Decision Variables) • 2)目标函数(Objective Function)，即反映问题解 优劣的一种评定标准 • 3)约束条件(Constraint Condition)，即对决策变量 所加的一些限制条件，有等式约束条件和不等式 约束条件。
优化类型
• 按照约束条件出现与否：
1.无约束的优化问题 2.有约束的优化问题
优化类型
• 按照优化问题的求解的复杂性
1.单峰与多峰优化问题 2.线性与非线性优化问题
数学模型中的目标函数和约束条件均为线性时，称为线性 优化问题；否则称为非线性优化问题。
优化方法
1
2
无约束 优化
有约束 优化
优化方法
优化流程
• 机械优化设计是一个系统工程的任务，全过程如 图所示：
机械设计问题 输出结果 Y 适用？ N 定义优化设计问题 设计要求 设计参数 设计条件 建立数学模型 设计变量 准则函数 约束条件
方案的合理性与实 用性
设计原始数据
最优化解
Y
是否最优
N 使用优化计算方法 在计算机上进行迭代计算
计算准则函数
2.二阶函数的极值
驻点：曲面上满足 的任意 点。 若驻点满足： 则：
函数的凸性
如图，a）为凸函数
b）为凹函数
集合：具有某种性质事物的全体 凸集：集合中任意两个点x1,x2,的连线上的所 有点也在这个点集中
由于优化设计是在可行区内求目标函数的极小 值，所以要判断极小点是否是最小点，必须 1）看目标函数是否是凸函数 2）判断可行区是否是凸集 若满足以上两点，则极小点必大值和极小值并 不一定是这个函数在 [a,b]上的最大值最小 值。但在一些特殊情 况，极大值就是最大 值，极小值就是最小 值。
优化设计基础PPT讲稿
其中，x1 x1 x10，x2 x2 x20
二元函数泰勒展开式的矩阵形式：
f
x
f
x0
f x1
f x2
x0
x1
x2
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x2x1
f
x0
f
T
1T
x0 x x G
x0
x …
2
2 f
x1x2 2 f x22
x0
例：设目标函数f (x)
f (x1, x2 ) 4
x12 x2 , 求点x0
[1
1]T 处沿
d1和d2两个方向的方向导数。
向量d1的方向为：1
2
，
4
向量d2的方向为：1
3
，2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f
梯度：二元函数f
(x1, x2 )在点x0处的梯度是f
优化设计基础课件
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。
二元函数的偏导数：
一个二元函数f (x1, x2 )在点x0 (x10 , x20 )处的偏导数是
f lim f x10 x1, x20 f x10 , x20
(x0 )
x1
f
x2
x0
f
x1
T
f
,
x2
x0
方向导数与梯度的关系： f f (x0 )T d f (x0 ) cos(f , d) d x0
二元函数f
(
x1,
x2
最优化设计基础
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量； 中型设计问题：10—50个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 视目标和约束函数的性质，目前已能解决200个设 计变量的大型非线性最优化设计问题。
19
h
2.约束条件
设计空间是所有设计方案的集合，但这些设 计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设 计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。
局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往
比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这 种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。
37
h
用图解法求21)2}
O
x1
s.t. x1x250
f 1
解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线 是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使 等值线具有最小值的点。
优化设计包括： （1）形成数学模型； （2）选用适当的优化方法和程序运算求解。
6
h
例1：箱盒的优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖
的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料 最省。
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
或曲面称为等值线或等值面。
如：
F(x)=(x1- a)2+ (x2－b)2
25
h
等值线
设计变量x1，x2所构成的关系曲面上的等值线，它是由许 多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。
在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的 中心。
26
h
如图函数 的等值线图。
F ( x 1 ,x 2 ) 6 0 1 0 x 1 4 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2
优化设计的数学基础
第二章 优化设计的数学基础优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。
由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。
本章主要叙述与此相关的数学基础知识。
第一节 函数的方向导数与梯度一、函数的方向导数一个二元函数()21,x x F 在点()02010,x x X 处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为：而沿空间任一方向S 的变化率即方向导数为：方向导数与偏导数之间的数量关系为依此类推可知n 维函数()n x x x F ,,,21 在空间一点()002010,,,n x x x X 沿S 方向的方向导数为二、函数的梯度 函数()X F 在某点X 的方向导数表明函数沿某一方向S 的变化率。
—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。
为求得函数在某点X 的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。
仍以二元函数()21,x x F 为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式令：图2-1 二维空间中的方向图2-2 三维空间中的方向称为()21,x x F 在点X 处的梯度()X F grad ，而同时设S 为单位向量于是方向导数可写为：此式表明，函数()X F 沿S 方向的方向导数等于向量()X F ∇在S 方向上的投影。
且当()()1,cos =∇S X F ，即向量()X F ∇与S 的方向相向时，向量()X F ∇在S 方向上的投影最大，其值为()X F ∇。
这表明梯度()X F ∇是函数()X F 在点X 处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。
上述梯度的定义和运算可以推广到n 维函数中去，即对于n 元函数()n x x x F ,,,21 ，其梯度定义为由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
即梯度()X F ∇方向是函数()X F 的最速上升方向，而负梯度()X F ∇-方向则为函数()X F 的最速下降方向。
最优化设计：第1章 最优化基本要素
1.4 最优化问题的数学模型及分类
根据以上讨论，由优化变量、目标函
数和约束条件三要素所组成的最优化问题 的数学模型可表述为：在满足约束条件的 前提下，寻求一组优化变量，使目标函数 达到最优值。一般约束优化问题数学模型 的基本表达方式为
min f ( x)
s.t. hl ( x) 0
gm(x) 0
目标函数的极小化可表示为
f (x) min 或 min f (x) 目标函数的极大化可表示为
f (x) max 或 max f (x)
求目标函数的极大化等效于求目标函
数的极小化，为规范起见，将求目标函数 的极值统一表示为求其极小值。
在优化问题中，如只有一个目标函数，
则其为单目标函数优化问题；如有两个或 两个以上目标函数，则其为多目标函数优 化问题。目标函数越多，对优化的评价越 周全，综合效果也越好，但是问题的求解 也越复杂。
度分类，以下是一些常见的分类和名称。
（1）按照约束的有无可分为无约束优化 问题和有约束优化问题。
（2）按照优化变量的个数可分为一维优 化问题和多维优化问题。
（3）按照目标函数的数目可分为单目标优 化问题和多目标优化问题。 （4）按照目标函数与约束条件线性与否可 分为线性规划问题和非线性规划问题。当 目标函数是优化变量的线性函数，且约束 条件也是优化变量的线性等式或不等式时， 称该优化问题为线性规划问题；当目标函 数和约束条件中至少有一个是非线性时， 称该优化问题为非线性规划问题。 （5）当目标函数为优化变量的二次函数， 和均为线性函数时，称该优化问题称为二 次规划问题。
对同一优化目标来说，约束条件越多， 可行域就越小，可供选择的方案也就越少， 计算求解的工作量也随之增大。所以，在 确定约束条件时，应在满足要求的前提下， 尽可能减少约束条件的数量。同时也要注 意避免出现重复的约束，互相矛盾的约束 和线性相关的约束。 例1-1 分析以下约束优化问题的可行和非 可行区域。
工程结构优化设计基础
工程结构优化设计基础
工程结构优化设计基础是指在工程设计过程中，通过对结构的分析、计算和优化，以最低的成本和最高的性能来实现结构的设计目标。
工程结构优化设计基础包括以下几个方面：
1. 结构分析和计算：对设计的结构进行力学分析和计算，了解结构的受力情况和变形情况，为优化设计提供基础数据。
2. 材料选型和性能优化：根据结构的要求和使用环境，选择合适的材料，提高结构的强度、刚度和耐久性。
3. 结构形式和几何参数优化：优化结构的形式和几何参数，使结构在满足强度和刚度要求的前提下，尽量减少材料的使用量和减轻结构的自重。
4. 结构连接和支撑设计：设计合理的连接和支撑方式，确保结构的稳定性和整体性。
5. 结构与环境的适应性：考虑结构与环境的适应性，进行抗风、抗震、抗腐蚀等设计。
6. 经济性和可行性分析：根据项目的投资和使用要求，对结构的经济性和可行
性进行评估和分析，选择最优的设计方案。
在工程结构优化设计基础上，还可以利用计算机辅助设计和仿真技术，比如有限元分析、优化算法等，进行更加精确和高效的结构优化设计。
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例3：直齿圆柱齿轮副的优化设计
已知：传动比i, 转速n, 传动功率P，大小齿轮
的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。
直齿圆柱齿轮副的优化设计
分析： （1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； （2）设计参数确定：模数m，齿宽b，齿数z1； （3）设计约束条件：
（a）大齿轮满足弯曲强度要求； （b）小齿轮满足弯曲强度要求； （c）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （d） 齿宽系数要求； （e） 最小齿数要求。
一个可行设计必须满足某些设计限制条件， 这些限制条件称作约束条件，简称约束。
约束条件
约束又可按其数学表达形式分成等式约束 和不等式约束两种类型：
(1)等式约束 (2)不等式约束
h(x) 0 g(x) 0
可行域
可行域 : 在设计空间中，满足所有约束条件的 设计点所构成的空间 。
例：满足两项约束条件 g1（X）=x12＋x22—16 ≤ O g2（X）＝2—X2≤0
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
数学模型：
设计参数： 设计目标：
x1, x2 , x3
min S x1x2 2(x2 x3 x1x3 )
约束条件：
x1 5 x2 0 x3 0 x1x2 x3 100
设计要求 方案设计 综合与分析
评价 输出图文技术资料
传统设计流程
优化设计数学模型
优
化
算
优选设计变量
法
程
序
是否满足要求
否
是 输出
优化设计流程
传统设计过程与优化设计过程
传统设计方法：经验方法慢，难以获得最优或次优解； 优化设计方法：有理论支持，寻优快速，可以获得全局 最优或次优解
优化设计应用成功案例
数学模型
设计参数： 设计目标： 约束条件：
m, z1,b
minW
4
b[(mz1)2
(miz1)2 ]
F1 [ ]F1 0 F 2 [ ]F 2 0 H [ ]H1 0
b 1.2mz1 0 17 z1 0
17.3 优化设计的数学模型
任何一个实际优化问题，其具体要求和约 束条件各不相同，其共同点：将实际问题转化 为数学模型（一个难点）——用数学公式来表 示使既要优化的问题。
目标函数等值（线）面
目标函数是;1维空间中描述出来。为了在n维设
第17讲 最优化设计 基础
华中科技大学CAD中心 吴义忠 cad.wyz@
主要内容
引言 优化问题实例 优化模型 优化建模 优化求解
产品设计是约束满足问题，是参数优化问题。
运用优化设计理论及方法，借助计算机程序，为实现预期目标,考 虑各种设计要求，自动寻找最优设计方案和最佳设计参数。
分析：
（1）利润的表达式； （2）设计参数确定： A 产品xA， B 产品xB ； （3）设计约束条件：
（a）煤约束； （b）电约束； （b）劳动力约束；
数学模型
设计参数： 设计目标： 约束条件：
xA, xB
max P PAxA PB xB
aC xA bC xB C aE xA bE xB E aL xA bL xB L
间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一
点表示。
x1
x
x2
[
x1,
x2
,
, xn ]T
xn
设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变
量，则称为n维设计问题。由n的大小，将优化问题分成
高维、中维、低维优化问题。
按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量 （例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。
美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构 优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优 化设计，使成本降低约10%。
使传统设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能； 使传统设计中，性能指标的校核可以不再进行； 使设计的部分评价，由定性改定量成为可能； 使零缺陷（废品）设计成为可能； 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量。
设计空间
二维设计
三维设计
设计变量所组成的设计空间
设计空间的维数
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量； 中型设计问题：10—50个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 视目标和约束函数的性质，目前已能解决200个设 计变量的大型非线性最优化设计问题。
2.约束条件
设计空间是所有设计方案的集合，但这些设 计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设 计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。
17.2 优化设计问题实例
优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算 机技术，求取工程问题的最优设计方案。
优化设计包括： （1）形成数学模型； （2）选用适当的优化方法和程序运算求解。
例1：箱盒的优化设计
已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖
的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料 最省。
x2 x1
x3
例2：生产资源调度问题
某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位利润为PA 万元， B 产品 单位利润为PB 万元。每生产一个A 产品需消耗煤aC 吨，电aE 度， 人工aL 个人日；每生产一个B 产品需消耗煤bC 吨，电bE 度，人工 bL 个人日。现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L 个人日， 欲找出其最优分配方案，使利润最大。
数学模型： 设计变量、目标函数、约束条件
优化问题的数学模型
1.设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来 表示。
设计变量——在优化设计中，可以进行调 整和优选的独立参数
设计变量的全体实际上是一组变量，用一个列向 量表示。
x1
x
x2
[
x1,
x2
,
, xn ]T
xn
由n个设计变量x1, x2 , , xn 为坐标所组成的实空
二维设计问题的可行域D。
3.目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量
的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以
F(X)表示。
F (x) F (x1，x2， ，xn )
在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善 的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X
值。
单目标函数
多目标函数