普通高等学校招生国统一考试数学试题江苏卷,含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学试题〔卷〕

数学Ⅰ

参考公式： 锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．

一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．请把答案填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．．

1.集合，，那么________．

【答案】{1，8} 【解析】分析：根据交集定义求结果. 详解：由题设和交集的定义可知：.

点睛：此题考察交集及其运算，考察根底知识，难度较小.

2.假设复数满足，其中i是虚数单位，那么的实部为________．

【答案】2

【解析】分析：先根据复数的除法运算进展化简，再根据复数实部概念求结果. 详解：因为，那么，那么的实部为. 点睛：此题重点考察复数相关根本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、一共轭复数为.

位裁判给某运发动打出的分数的茎叶图如下列图，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．

【答案】90

【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数. 点睛：的平均数为.

4.一个算法的伪代码如下列图，执行此算法，最后输出的S的值是________． 【答案】8 【解析】分析：先判断是否成立，假设成立，再计算，假设不成立，完毕循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以完毕循环，输出

点睛：此题考察伪代码，考察考生的读图才能，难度较小.

5.函数的定义域为________．

【答案】[2，+∞〕

【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，那么，解得，即函数的定义域为.

点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式〔组〕的问题.

6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么恰好选中2名女生的概率为

________． 【答案】

【解析】分析：先确定总根本领件数，再从中确定满足条件的根本领件数，最后根据古典概型概率公式求概率.

详解：从5名学生中抽取2名学生，一共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为

点睛：古典概型中根本领件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适宜于较为复杂的问题中的根本领件的探求.对于根本领件有“有序〞与“无序〞区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素根本领件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目详细化.

(4)排列组合法〔理科〕：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

7.函数的图象关于直线对称，那么的值是________． 【答案】 【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得，所以，因为，所以 点睛：函数〔A>0,ω>0〕的性质：(1)；

(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.

8.在平面直角坐标系中，假设双曲线的右焦点到一条渐近线的间隔为，那么其离心率的值是________．

【答案】2

【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的间隔，再根据条件求离心率.

点睛：双曲线的焦点到渐近线的间隔为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的间隔为a.

9.函数满足，且在区间上，那么的值是

________． 【答案】

【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果. 详解：由得函数的周期为4，所以因此

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

10.如下列图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________． 【答案】 【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.

详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的构造特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进展判断；求一些不规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体积公式的几何体进展解决．

11.假设函数在内有且只有一个零点，那么在上的最大值与最小值的和为________．

【答案】–3 【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果. 详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，

点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

12.在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．假设，那么点A的横坐标为________．

【答案】3

【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，那么由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以， 由得或者， 因为，所以

点睛：以向量为载体求相关变量的取值或者范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或者解不等式或者求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

13.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，那么的最小值为________．

【答案】9

【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用根本不等式求最值. 详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此 当且仅当时取等号，那么的最小值为.

点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.

14.集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，那么使得成立的n的最小值为________．

【答案】27

【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 详解：设，那么 由得 所以只需研究是否有满足条件的解， 此时，，为等差数列项数，且. 由 得满足条件的最小值为.

点睛：此题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型〔如〕，符号型〔如〕，周期型〔如〕.

二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．

15.在平行六面体中，．

求证：〔1〕；

〔2〕．

【答案】答案见解析

【解析】分析：〔1〕先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行断定定理得结论；〔2〕先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线互相垂直，以及垂直条件，利用线面垂直断定定理得线面垂直，最后根据面面垂直断定定理得结论.

详解：

证明：〔1〕在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．

因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C．

〔2〕在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．

又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

因此AB1⊥A1B．

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，

所以AB1⊥BC． 又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC．

因为AB1平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．

点睛：此题可能会出现对常见几何体的构造不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形〞，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明. 16.为锐角，，．

〔1〕求的值；

〔2〕求的值．

【答案】〔1〕

〔2〕 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；〔2〕先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.

详解：解：〔1〕因为，，所以． 因为，所以， 因此，．

〔2〕因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑〞.

(2)变名：通过变换函数名称到达减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦〞、“升幂与降幂〞等.

(3)变式：根据式子的构造特征进展变形，使其更贴近某个公式或者某个期待的目的，其手法通常有：“常值代换〞、“逆用变用公式〞、“通分约分〞、“分解与组合〞、“配方与平方〞等.

17.某农场有一块农田，如下列图，它的边界由圆O的一段圆弧〔P为此圆弧的中点〕和线段MN构成．圆O的半径为40米，点P到MN的间隔为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

〔1〕用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

〔2〕假设大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

【答案】〔1〕矩形ABCD的面积为800〔4sinθcosθ+cosθ〕平方米，△CDP的面积为

1600〔cosθ–sinθcosθ〕，sinθ的取值范围是[，1〕．

〔2〕当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大

【解析】分析：〔1〕先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；〔2〕根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法. 详解：

解：〔1〕连结PO并延长交MN于H，那么PH⊥MN，所以OH=10．

过O作OE⊥BC于E，那么OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，