全国高中数学联赛模拟试题

全国高中数学联赛模拟试题

第一试

一、选择题(共36分)

1. 在复平面上，非零复数z1，z2在以z=i对应的点为圆心，1为半径的圆上，21zz的实部为零，argz1＝π6，则z2＝ ( )

A.－32＋32i B.32－32i C.－32＋32i D.32－32i

2. 已知函数f(x)＝loga(ax2－x＋12)在[1，2]上恒正，则实数a的取值范畴是( )

A.(12，58) B.(32，＋∞) C.(12，58)∪(32，＋∞) D.(12，＋∞)

3. 已知双曲线过点M(－2，4)和N(4，4)，它的一个焦点为F1(1，0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是 ( )

A.(x－1)225＋(y－4)216＝1(y≠0)或x＝1(y≠0)

B.(x－1)216＋(y－4)225＝1(x≠0)或x＝1(y≠0)

C.(x－4)225＋(y－1)216＝1(y≠0)或y＝1(x≠0)

D.(x－4)216＋(y－1)225＝1(x≠0)或y＝1(x≠0)

4. 已知正实数a，b满足a＋b＝1，则M＝1＋a2＋1＋2b的整数部分是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

5. 一条笔直的大街宽度为40米，一条人行横道穿过这条街，并与街道成一定的角度，人行横道长度为50米，与大街边缘结合部的宽度为15米，则人行横道的宽度为( )

A.9米 B.10米 C.12米 D.15米

6. 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n(n＞1)个车站，结果客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票)，那么原有车站的个数为

A.12 B.13 C.14 D.15 ( )

二、填空题(共54分)

7. 长方形ABCD的长AB是宽BC的23倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合，折痕线EF，GH分别交原先长方形对角线AC于M、N，则折后截面AMN与底面AFH所成的角是_____.

8. 在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且满足a2＋b2＝2c2，则角C的最大值是_____. 9. 从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器中倒出1升，然后加水填满，在倒出1升混合溶液后又加水填满，如此连续下去，则第n次操作后溶液的浓度为__________________.

10. 已知函数f(x)和g(x)的定义域均为非负实数集，对任意的x≥0，规定f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝2x＋5，则f(x)*g(x)的最大值是_________.

11. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_______种不同的取法.

12. 若实数a＞0，则满足a5－a3＋a＝2的a值属于区间:①(0，63)；②(62，63)，③(63，＋∞)；④(0，32).其中正确的是_________________.

三、解答题(共计60分)

13. (20分)求证：通过正方体中心的任意截面的面积不小于正方体一个侧面的面积.

14. (20分)直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)与椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2相交于P和Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，求证：a2b2c2＝a2＋b2A2＋B2.

15. (20分)某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，打算全商场的日营业额(每日卖出商品所收到的总金额)为60万元，依照体会，各部商品每1万元营业额需要售货员人数及每1万元营业额所得利润情形如表所示，商场将打算日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场估量每日的总利润为c万元，且19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的营业额均为整数万元，问那个商场如何样分配营业额给三个部？各部分别安排多少名营业员？

部门 每1万元营业额需要售货员人数 每1万元营业额所得利润(万元)

百货部 5 0.3

服装部 4 0.5

家电部 2 0.2

第二试

一、(50分)矩形ABCD的边AD＝λ·AB，以AB为直径在矩形外作半圆，在半圆上任取不同于A、B的一点P，连PC、PD交AB于E、F，若AE2＋BF2＝AB2，求正实数λ的值.

二、(50分)若ai∈R＋(i＝1，2，……，n)，S＝n1iia，且2≤n∈N，求证：n1k2kn1kk3ka1n1aSa.

三、(50分)无穷数列{cn}由下列法则定义：cn＋1＝|1－|1－2cn||，而0≤c1≤1

(1)证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列；

(2)存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T为周期(关于每个T＝2，3，……)? 全国高中数学联赛模拟试题(一)

参考答案

第一试

一、选择题

1. A

如图所示，设复数z1对应的点为Z1，则

|OZ1|＝2sinπ6＝1，∴ z1＝32＋12i

再设z2＝x＋yi(x，y∈R)

由|z2－i|＝1得x2＋(y－1)2＝1 …………①

∵ (32－12i)(x＋yi)的实部等于0，

∴ 3x＋y＝0 …………②

联立①②解得0y0x23y23x或(舍去)

故z2＝－32＋32i

2. C

设g(x)＝ax2－x＋12，第一由g(x)＞0得

a＞x－12x2＝－12x2＋1x

当1≤x≤2时，(－12x2＋1x)max＝12

从而a＞12，在此前提下，易知函数g(x)＝ax2－x＋12的对称轴x＝12a在区间[1，2]的左边，

从而g(x)在[1，2]上是增函数.

当a＞1时，f(x)在[1，2]上是增函数，有

f(1)＝loga(a－1＋12)＞0， a＞32

当12＜a＜1时，f(x)在[1，2]上是减函数，有 y

2

1

0 Z1 x f(2)＝loga(4a－2＋12)＞0， 12＜a＜58

综上：12＜a＜58或a＞32

3. A

易知|MF1|＝|NF1|＝5

而||MF1|－|MF2||＝||NF1|－|NF2|| 即|5－|MF2||＝|5－|NF2||

当5－|MF2|＝5－|NF2|时，即|MF2|＝|NF2|时，点F2的轨迹是线段MN的中垂线，

其方程为x＝1(y≠0)

当5－|MF2|＝|NF2|－5时，即|MF2|＋|NF2|＝10时，点F2的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为(x－1)225＋(y－4)216＝1(y≠0)

4. B

一方面，M＞1＋0＋1＋0＝2

另一方面，M＜1＋2a＋a2＋1＋2b＋b2＝1＋a＋1＋b＝2＋(a＋b)＝3

因此，2＜M＜3

5. C

如图，人行横道的面积S＝15×14＝600

∴ S＝50x＝600  x＝12

6. C

新增的n个车站之间需要Pn2种车票，新增的n个车站与原先的m个车站之间需要2mn种车票，从而Pn2＋2mn＝58，即n(n－1＋2m)＝58

注意到n和n－1＋2m差不多上整数，而58只能分解为1×58和2×29两种情形，又n＞1

因此n＝2，n－1＋2m＝29，或n＝29，n－1＋2m＝2，或n＝58，n－1＋2m＝1

只有第一组有满足题意的解：n＝2，m＝14

二、填空题

7.π6；

折叠后，仍旧有AF＝FH＝HB(或HA，折叠后A点和B点重合)

AM＝MN＝NC，且它们的长度没有变，仍旧等于折叠前的长度，但对角线AC由直线段变成了折线段，A、M、N三点由原先共线变成了A、M、N三点构成三角形.

设AD＝a，则AB＝23a，图(1)为折叠前的长方形，有AC＝13a，AM＝MN＝133a，AF＝FH＝HB＝233a，MF＝a3，HN＝2a3. 15

40 50 50

15 x

A B C D

F H

(1) E G

M N

(2) A D

F H E G

M N

P 设平面AMN与平面AFH的夹角为θ(图(2))，由S△AFH＝12×233a×233a×sin60º＝33a2.

在Rt△NHA中，AN＝(233a)2＋(23a)2＝4a3

取AN的中点P，∵ AM＝MN  MP⊥AN

在Rt△MPA中，MP＝(133a)2－(23a)2＝a

∴ S△AMN＝a2×4a3＝2a23

∴ cosθ＝S×AFHS△AMN＝32，∴ θ＝π6

8.π3；

∵ a2＋b2＝2c2，∴ cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a2＋b222ab＝a2＋b24ab

∴ a2－4abcosθ＋b2＝0

即(ab)2－(4cosC)ab＋1＝0(∵ b≠0)

因为ab是正实数，因此4cosC＞0且△≥0

解得：cosC≥12，因此C≤π3

9.(1－1a)n；

开始浓度为1，操作一次后溶液浓度为a1＝1－1a，

设操作n此后的溶液浓度为an，则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an(1－1a)

∴ {an}是首项、公比均为1－1a的等比数列，∴ an＝a1qn－1＝(1－1a)n

10.23－1；

∵ x≥0，令3－x＞2x＋5，解得0≤x≤4－23

因此f(x)*g(x)＝324xx3324x05x2 ∵ 3－x在R上单调递减，故当x≥4－23时，

f(x)*g(x)≤f(4－23)*g(4－23)＝3－(4－23)＝23－1

当0≤x＜4－23时，2x＋5单调递增，故当x∈[0，4－23)时，

f(x)*g(x)＜2·(4－23＋5)＝23－1

综上所知，f(x)*g(x)的最大值为23－1

11.2500；

以1为被加数，则1＋100＞100，有1种取法，

以2为被加数，则2＋100＞100，2＋99＞100，有2种取法，

依次可得，被加数为n(n∈N，n≤50)时，有n种取法，

但51为被加数时，要扣除前面已取过的情形，只能取52，53，……，100，有49种取法，

同理，被加数为52时，有48种取法，

依次可得，当被加数为n(n∈N，51≤n≤100)时，分别有100－n种取法，

因此，不同的取法共有(1＋2＋3＋……＋50)＋(49＋48＋……＋1)＝2500种

12.③④

∵ a6＋1＝(a2＋1)(a4－a2＋1)＝a2＋1a(a5－a3＋a)＝2(a＋1a)，(a≠0)

∵ a＞0且a≠1，∴ a6＋1＞4，∴ a6＞3，即a＞63

又a5－a3＋a＝2，∴ 2a3＋1＝a2＋1a2＞2

∴ a3＜2，即a＜32，综合可知，应填③④

三、

13．明显，所作截面是一个中心对称的凸多边形，它是一个四边形或六边形.

假如截面是一个四边形，那么它一定没有截到立方体的某一组对面，其面积不小于这组对面中的一个，命题成立.

假如截面是一个六边形，那么它一定截到了正方体的六个面，将立方体展开在一个平面上，如图，设界面的周长为l，正方体的棱长为a，则 l≥|AB|＝(3a)2＋(3a)2＝32a