数列知识点归纳及习题总结

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1 / 20 等差与等比数列知识与方法总结

一、知识结构与要点

定义nnnnnnaaaadaa1121 Nn

通项dnaan)1(1—等差中项 a、b、c成等差2cab

基本概念 推广 dmnaamn)(

前n项和ndnnanaaSn)1(212)(121

等差数列

当d>0(<0) 时{}na为递增（减）数列

当d=0时}{na为常数

基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等

1121......ininnaacaaaa Ni

qpnmaaaaqpnm

}{na中共knnn.......21成等差则nknnaaa......,,21也成等差文档可能无法思考全面，请浏览后下载!

2 / 20 定义:nnnnnnaaaaqaa1121 Nn

通项 11nnqaa等比中项：a b c成等比数列acb2

基本概念

推广mnmnqaa

前n项和nS )1(11)1()1(111qqqaaqqaqnann

等比数列

与首末两端等距离的两项之积相等

1121......ininnaaaaaa

qpnmaaaaqpnm

}{na成等比，若knnn,...,21 成等差则nknaaa,...,21

成等比

基本性质 当101qa 或 1001qa 时 {}na为递增数列

当 101qa或1001qa 时 {}na为递减数列

当 q<0时 {}na为摆动数列

当 q=1时 {}na为常数数列

二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括

（一）．一般数列

数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{an}的通项公式an；数列的前n项和公式Sn；文档可能无法思考全面，请浏览后下载!

3 / 20 一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：)2()1(111nSSnSaannn

（二）等差数列

1．等差数列的概念

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

即：成等比数列}{)0,0,2(1nnnnaqandaa

2．等差数列的判定方法

（1）定义法：对于数列na，若daann1(常数)，则数列na是等差数列。

（2）等差中项法：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等差数列。

3．等差数列的通项公式

如果等差数列na的首项是1a，公差是d，则等差数列的通项为dnaan)1(1。

[说明]：该公式整理后是关于n的一次函数。

4．等差数列的前n项和

（1）．2)(1nnaanS （ 2.） dnnnaSn2)1(1

[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

5．等差中项

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：2baA或baA2

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

6．等差数列的性质

（1）．等差数列任意两项间的关系：如果na是等差数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)(

（2）.对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa。

也就是：23121nnnaaaaaa，如图所示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321

（3）．若数列na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。如下图所示：

kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321

（4）．设数列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前n项的和，则有如下性质：①奇数项daaa2,,,531成等差数列，公差为

②偶数项daaa2,,,642成等差数列，公差为文档可能无法思考全面，请浏览后下载!

4 / 20 ③)1()1(2121121nanaaSnnn奇项，则若有奇数项

nanaaSnn1222偶所以有中偶奇中偶奇aaSSannaSSnn11)12()12(

nn1SS偶奇；12SSSSSSSnn偶奇偶奇偶奇

nnannaaSn22121奇项，则若有偶数项

1222nnannaaS偶

所以有ndaaaaaaSSnn1223412奇偶

（5）．若等差数列na的前12n项的和为12nS，等差数列nb的前12n项的和为'12nS，则'1212nnnnSSba。

（三）．等比数列

1．等比数列的概念

[定义]：成等比数列}{)0,0,2(1nnnnaqanqaa

[等比中项]

如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么GbaG，即abG2。

2．等比数列的判定方法

（1）定义法：对于数列na，若)0(1qqaann，则数列na是等比数列。

（2）等比中项：对于数列na，若212nnnaaa)0(na，则数列na是等比数列。

3.等比数列的通项公式

如果等比数列na的首项是1a，公比是q，则等比数列的通项为11nnqaa。

4.等比数列的前n项和

)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn

5.等比数列的性质

（1）等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为q，则有mnmnqaa

（2）.对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa文档可能无法思考全面，请浏览后下载!

5 / 20 也就是：23121nnnaaaaaa。如图所示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321

（3）若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下图所示：

kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321

三、数列的通项求法

1.等差，等比数列的通项；

2.)2(,)1(,11nSSnaaSnnnn

3.迭加累加 ，迭乘累乘

)2(),(1nnfaann若， )(1ngaann若

)2(12faa则， )2(12gaa则

)3(23faa， )3(23gaa

………， ………，

)(1nfaann， )(1ngaann

)()3()2(1nfffaan， )()2(1nggaan

注：呢？若)(),(11ngaanfaannnn

4. 数列间的关系

(1)成等比数列成等差数列nanba

BnAnSBAnaannn2成等差数列

(2)成等比数列成等比数列knnaa

成等差数列成等比数列nbanaanlog0

（3）递推数列]

①能根据递推公式写出数列的前n项

②由nnnnSaaSf,,0),(求 解题思路：利用)2(,)1(,11nSSnaannn文档可能无法思考全面，请浏览后下载!

6 / 20 变化（ⅰ）已知0),(11nnaSf （ⅱ）已知0),(1nnnSSSf

③若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11kbakkbann(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

四、数列的求和方法（详细讲解见六）

1.等差与等比数列求和公式

2.裂项相消法： )11(1))((1CAnBAnBCCAnBAnan如：an=1/n(n+1)

3.错位相减法：nnncba, 成等比数列成等差数列，nncb

nnnnncbcbcbcbS112211

1121nnnnncbcbcbqS则

所以有13211)()1(nnnncbdccccbSq

如：an=(2n-1)2n

4.倒序相加法：如已知函数1()()42xfxxR求：12()()()mmSfffmmm。

5.通项分解法：nnncba如：an=2n+3n

五、其它方面

1、在等差数列na中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当01a,d<0时，满足001mmaa 的项数m使得取最大值.

(2)当01a,d>0时，满足001mmaa 的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；