高考数学函数题

专题3.6 对数与对数函数

1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln||fxxx

的图象大致是（ ）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】

确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x时的单调性排除一个选项，得正确选项．

【详解】

易知()ln||fxxx

是非奇非偶函数，所以排除选项A，C；

当x>0时，()fx

单调递増､所以排除选项B.

故选：D．

2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数3log,1

2,1xxx

fx

x







．则

0ff

（ ）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【解析】

利用函数

fx

的解析式由内到外逐层计算可得

0ff

的值

.练基础【详解】

3log,1

2,1xxx

fx

x









，则0021f

，因此，

301log10fff

.

故选：A.

3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a

为正实数，则“1a”是“32

21

2loglogaa

”的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a”与“32

21

2loglogaa

”的充分、必要关系.

【详解】因为32

21

2loglogaa

等价于32

22loglogaa，

由a

为正实数且1a，故有32aa，所以32

22loglogaa成立；

由a

为正实数，32

22loglogaa且函数

2logyx

是增函数，有32aa，故210aa

，所以1a成

立.

故选：C．

4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f(x)＝

1

331,

,

log1xx

xx









则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】

由

fx

得到

1fx

的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可

.【详解】

因为函数

fx

1

33,1

log,1xx

xx











，

所以函数

_ 函数的零点

班级 ___________ 姓名 __________

知识必备

1、函数零点定义.

对于函数Dxxfy,，把使0xf成立的实数x叫作函数Dxxfy,的零点。

2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x轴交点之间的关系.

方程0xf有实根函数xfy的图像与x轴交点函数xfy有零点.

3、函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数xfy在区间ba,上的图像是一条连续曲线，并且有0bfaf，那么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存在bac,，使得0xf，这个c就是方程0xf的根。

例题精练

1、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

xyAcos. xyBsin. xyCln. 1.2xyD

2、函数xxfx32的零点所在的一个区间是（ ）

12.，A 01.，B 10.，C 21.，D

3、若0x是方程2lgxx的解，则0x属于区间（ ）

10.，A 1.251.，B 1.751.25.，C 21.75.，D

4、函数0,ln20,322xxxxxxf的零点个数为____________.

5、函数2,1nNnxxxfnn在区间121，内的零点个数为______.

6、已知0x是函数xxfx112的一个零点，若,,10201xxxx，则（ ）

0,0.21xfxfA 0,0.21xfxfB

0,0.21xfxfC 0,0.21xfxfD

.

. 2009——20XX高考题

1．〔2012高考XX文3〕〔2log9〕·〔3log4〕=

〔A〕14

〔B〕12 〔C〕2 〔D〕4

[答案]D

2.〔2012高考新课标文11〕当0

〔A〕(0，22) 〔B〕(22，1) 〔C〕(1，2) 〔D〕(2，2)

[答案]B

3.〔2012高考XX文3〕函数21()4ln(1)fxxx的定义域为

(A)[2,0)(0,2] (B)(1,0)(0,2] (C)[2,2] (D)(1,2]

[答案]B

4.〔2012高考XX文10〕函数cos622xxxy的图象大致为

[答案]D

5.〔2012高考XX文12〕设函数1()fxx，2()gxxbx.若()yfx的图象与()ygx的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)AxyBxy，则下列判断正确的是

(A)12120,0xxyy (B)12120,0xxyy

(C)12120,0xxyy (D)12120,0xxyy

[答案]B

[解析]方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为),(11yx，由图象知,,2121yyxx即0,02121yyxx，故答案选B.

方法二：设32()1Fxxbx，则方程()0Fx与()()fxgx同解，故其有且仅有两个不同.

. 零点12,xx.由()0Fx得0x或23xb.这样，必须且只须(0)0F或2()03Fb，因为(0)1F，故必有2()03Fb由此得3322b.不妨设12xx，则32223xb.所以231()()(2)Fxxxx，比较系数得3141x，故31122x.3121202xx，由此知12121212110xxyyxxxx，故答案为B.

构造函数

一、考点一f(x)与f′(x)共存的不等式问题

例题1.(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(1)=1，且对任意x∈R都有f′(x)<12，则不等式fxlg>

lgx+12的解集为(0,10).

(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(-3)

=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0,3)．

【解析】(1)由题意构造函数g(x)=f(x)-12x，

则g′(x)=f′(x)-12<0，

所以g(x)在定义域内是减函数．

因为f(1)=1，所以g(1)=f(1)-12=12，

由f(lgx)>lgx+12，得f(lgx)-12lgx>12.

即g(lgx)=f(lgx)-12lgx>12=g(1)，

所以lgx<1，解得0

所以原不等式的解集为(0,10)．(2)借助导数的运算法则，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，

所以函数y=f(x)g(x)在(-∞，0)上单调递增．

又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(-3,0)，(3,0)．

数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0,3)．

【答案】(1)(0,10)；(2)(-∞，-3)∪(0,3)

[解题技法]

(1)对于不等式f′(x)+g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)+g(x)．

(2)对于不等式f′(x)-g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)-g(x)．

特别地，对于不等式f′(x)>k(或0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)g(x)．

(4)对于不等式f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=fxgx(g(x)≠0)．

例题2.(1)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(A)