人教版九年级数学上册教案：21. 2. 1 配方法

21. 2. 1 配方法(2课时)

第1课时 配方法的基本形式

教学目标

知识技能

1．理解一元二次方程降次的转化思想．

2．会利用直接开平方法对形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程进行求解．

数学思考与问题解决

1．会用直接开平方法解简单的一元二次方程．

2．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．

情感态度

1．通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．

2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

重点难点

重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．

难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．

教学设计

活动一：情境引入

印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”

大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

(多媒体展示问题．学生互相讨论、分析理解．教师点拨、启发、引导学生分析解题．)

设计意图：寓教于乐，可激发学生的探索欲望．

活动二：探索发现

1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始，沿BA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果AB＝6 cm，BC＝12 cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?

2．能否求下列方程的解？

(1)(2t＋1)2＝8；(2)4(x－3)2＝225；(3)9x2－6x＋1＝0；(4)x2＋4x＋4＝1.

(教师引导学生观察、分析、探索．学生小组内交流、探讨知识的发展变化，找出规律，升华为理论知识．)

设计意图：通过该活动引导学生探究、发现解一元二次方程的解法．通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．

活动三：归纳总结——由感性到理性

问题1：你能和同伴交流吗？

降次的实质：____________________.

降次的方法：____________________.

降次体现了________思想．

2．如果方程能化成x2＝p或(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝________，或nx＋m＝________.

(学生与同伴交流后将其发现告诉教师并共同探索．)

设计意图：进一步体验充满探索与创造的数学活动，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．

活动四：巩固练习

1．教材第6页练习．

2．你学会了吗？解下列方程：

(1)(12x－2)2＝3；(2)2x2－98＝0；(3)x2－6x＋9＝2；(4)10(1＋x)2＝14.4；(5)(1＋x＋12)2＝2.56；(6)x4－6x2＋9＝0；(7)14(3x＋1)2－15＝0.

(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，对学生存在的共性问题做好补教．强调该方法的依据是平方根的意义．学生独立思考解决问题．)

设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握开平方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

活动五：师生小结

1．本节课你感受到了什么？

2．根据本节课解方程的方法，你能谈谈你的收获吗？

3．你认为应该注意什么？

4．本节课你的困惑是什么？

5．你认为最让你费解的地方在哪里？

(教师启发学生回忆．学生可以与同伴交流，也可以请教老师．)

设计意图：创造一个平等民主的学习氛围，尽可能地让学生把自己的所思所想表达出来，以期共同提高．

活动六：布置作业

教材第16页习题21.2第1题．

(教师布置作业，学生按要求课外完成．)

设计意图：加深认识，深化提高．

板书设计

配方法的基本形式

一、情境引入

二、探索发现——降次是解一元二次方程的一般思路

三、归纳总结——由感性到理性

1．问题1

2．问题2

四、巩固练习 1．教材练习

2．补充练习

五、师生小结

六、布置作业

第2课时 配方法的灵活应用

教学目标

知识技能

1．理解配方法．

2．会利用配方法熟练、灵活地解二次项系数为1的一元二次方程．

数学思考与问题解决

1．会用配方法解简单的一元二次方程．

2．发现不同方程的转化方式，运用已有知识解决新问题．

3．通过对计算过程的反思，获得解决新问题的经验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想．

情感态度

1．通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．

2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

3．由题目的特点找到与旧知识的联系，将新知化为旧知，从而解决问题．培养学生的观察能力和运用学过的知识解决问题的能力．

重点难点

重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程．

难点：灵活地运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

教学设计

活动一：复习引入

问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽应各是多少？

(1)如何设未知数？根据题目的等量关系如何列出方程？

(2)所列方程和之前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？ (3)你能由方程①x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程②x2＋6x－16＝0吗？

(学生完成问题(1)，列出方程．如何解这个方程呢？学生观察问题(2)，找到联系与区别，教师可点拨启发．问题(3)，学生思考、讨论．)

设计意图：问题(1)益于培养学生的应用意识，可激发学生的探究欲．问题(2)激起学生学习的欲望．

活动二：实验发现

我们研究方程x2＋6x＋7＝0的解法：

将方程视为x2＋2·x·3＝－7，

配方，得x2＋2·x·3＋32＝32－7，即(x＋3)2＝2，

由此可得x＋3＝±2，

所以x1＝－3＋2，x2＝－3－2.

这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．

总结发现：用配方法解一元二次方程的步骤．

①把原方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

(教师引导学生观察、分析、发现和提出问题．让学生用自己的方法探究一元二次方程的解法．)

设计意图：通过引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．培养学生善于总结思考的能力．

活动三：用配方法解决问题

例 解下列方程：

(1)x2－2x－35＝0；(2)2x2－4x－1＝0.

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．

解：(1)x2－2x＝35. x2－2x＋12＝35＋12.

(x－1)2＝36，x－1＝±6，

x－1＝6，x－1＝－6，

x1＝7，x2＝－5.

可以验证x1＝7，x2＝－5都是方程x2－2x－35＝0的根．

(2)x2－2x－12＝0，x2－2x＝12，

x2－2x＋12＝12＋12，

(x－1)2＝32，

x－1＝±62，

即x－1＝62，

x－1＝－62，

x1＝1＋62，x2＝1－62.

可以验证x1＝1＋62，x2＝1－62都是方程2x2－4x－1＝0的根．

(可以让两位学生演示．可给学生提示两边同时除以二次项的系数．验证不可少，但可写也可不写．)

设计意图：通过练习，使学生认识到：配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1)．培养学生做事严谨周密的习惯．

活动四：巩固练习

1．填空：

(1)x2＋10x＋( )＝( )2；

(2)x2－8x＋( )＝(x－ )2；

(3)x2＋x＋( )＝(x＋ )2；

(4)4x2－6x＋( )＝4(x－ )2＋( )．

2．用配方法解方程：

(1)x2＋8x－2＝0；(2)x2－5x－6＝0；(3)x2＋7＝6x.

(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．) 设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．

活动五：师生小结

1．小结：应用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的要点是：

(1)化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；

(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方．

2．布置作业：教材第17页习题21.2第2，3题．

(教师发动学生共同参与，语言切忌主观，站在学生的角度看待每一点．教师布置作业，分层次提出要求．)

设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加深认识，深化提高，形成知识体系．

板书设计

配方法的灵活应用

一、复习引入

二、实验发现

用配方法解一元二次方程的步骤

①将原方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式

②将二次项系数化为1

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方

④把左边化为完全平方式，右边化为常数

⑤判断方程解的情况

三、用配方法解决问题

例题

四、巩固练习

练习1、2

五、师生小结

1．归纳 2.作业