人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 信息技术应用 图形技术与函数性质》优质课教案_1

1

《函数及其导函数的图象和性质》二轮复习教学设计

一、教学内容

（一）函数小题主要考查问题及其分层问题：

（二）近三年全国卷考查函数及其导函数的图像和性质的试题及其考查问题：

（2017年III理第11题）已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e-x+1)有唯一零点，则a（ ）

（A）－

（B）

（C）

（D）1

分析：函数f(x)非常规，要通过推理得解较为困难，这里可采取特殊化的策略加以解决。为便于研究f(x)的零点情况，不妨尝试用a的特殊值进行分析。因为函数f(x)＝(x－1)2＋a(ex-1＋e-x+1)－1，所以可尝试使a(ex-1＋e-x+1)－1的最小值为0的正数a或最大值为0的负数a即为所求。因为ex-1＋e-x+1≥2，当a＝

时，a(ex-1＋e-x+1)－1≥0，当且仅当x＝1时，a(ex-1＋e-x+1)－1＝0，即f(x)的最小值为0，f(x)有唯一零点x＝1。于是不必再分析a<0的情况，故选择（C）。

考查要点：本题主要考查利用特殊化策略将复杂的非常规函数转化为简单函数分析，并进一步地将参数特殊化得到具体函数的自变量与函数值的对应情况。

（2016年I理第7题）函数y＝2x2－ 在[－2，2]的图象大致为

A B C D 2

分析：函数y＝2x2－ 非常规，要直接画出其图象较为困难，对这类问题一般可采取特殊化和数形结合的策略或方法加以解决。当x＝2时，y≈8－2.72≈0.7<1，由点（2，0.7）的位置可排除（A）和（B）；又因为 ＝ - ≥

- ，当x＝0时， ≠0，所以应选择（D）。

考查要点：本题主要考查利用特殊化策略，数形结合地分析非常规的初等函数的图象和概念、性质。

（2015年I理第12题）设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是（ ）

（A）3[,1)2e （B）33[,)24e （C）33[,)24e （D）3[,1)2e

分析：函数f(x)非常规，要通过推理得解较为困难，这里可采取特殊化的策略加以解决。为便于研究f(x)的值，不妨尝试用x的特殊值进行分析。令x＝0，f(0)＝a－1，若x0＝0，则a <1。对比满足条件a <1的选项（A）和（D），可进一步地取特殊值a＝0看是否有其他整数使得函数值小于0。当a＝0时，f(x)＝ex(2x－1)，令x取与0相邻的整数－1，有f(－1)＝－3e－1<0，不满足条件，说明a≠0，故选择（D）。

考查要点：本题主要考查利用特殊化策略将复杂的非常规函数转化为简单函数，并进一步地将参数特殊化得到具体函数的自变量与函数值的对应情况。

二、教学目标

理解函数及其导函数的概念、图象和性质，能根据函数概念、性质和已知条件作出反映函数有关特征的草图，以及根据函数图象解释函数有关概念和性质。

能运用所学过的基本初等函数和几类特殊函数的概念、图象和性质，熟练地解决相关问题，掌握解决问题的思想方法和策略。

培养逻辑推理能力，通过一定的方法进行计算、变形，从而解决函数零点、图像等问题，并得到相关量的取值范围（或值、最值）。

三、教学问题诊断分析

(1)复习中可能遇到的第一个困难就是根据函数性质和已知条件作出反映函数有关特征的草图。

（2）因为学生之前很少遇到画含参数解析式或抽象函数的草图，缺乏应有的方法。

（3）要解决这一困难，可以编拟一些给定不同函数性质或其他条件的作图题，让学生通过练习学会作这类草图。但关键是要让学生学会如何用图象来反映函数不同的性质。 3

四、教学过程设计

（一）课前测试

若方程2xaex有三个不同的实根，则实数a的取值范围是

解答：变形分离参数2xxae，看作直线ya与2()xxfxe的交点个数问题，具体步骤如下：

1、 对函数()yfx求导，得(2)'()xxxfxe，令'()0fx，得02x或；

2、 判断单调性，当02x时，'()0fx，此时原函数为增函数；当20'()0xxfx或时，，此时原函数为减函数；24(2),(0)0,ffe当()0;xfx时，

3、 在坐标系上标出极值点，利用单调性以及在无穷处的趋势，作出函数的大致图像，如图示，故a的取值范围是24)e（0,

设计意图：通过测试，诊断学生完成此类问题时可能遇到的问题及相关知识的掌握情况，针对性地进行复习练习。

师生活动：学生先自行思考做出解答，教师投影学生解答过程，相应学生讲述自己的思考过程，最后教师作出解决该类问题的方法总结。

分析：

1、 学生容易想到构造2()xfxaex，这是一个超越方程，高中阶段还无法解决，因此利用分离参数的思想。

2、 学生想到分离参数的方法后，作图过程易忽略分析在无穷处的趋势，此处要作出强调。

（二）问题强化训练

例1 【2014年新课标卷1理】(同文12)11.已知函数()fx=3231axx， 若()fx存在唯一的零点0x，且0x＞0，则a的取值范围为( )

A.（2，+∞） B.（-∞，-2） C.（1，+∞） D.（-∞，-1）

解答：

方法一：直接利用三次函数的图像解题.当0a时，2()31fxx有两个零点，不合题意，故0a。2'()363(2)fxaxxxax，令2'()0,0fxxxa得或，由题y=a4e22yxO4

意得20()0afa且，解得2a.

方法二：利用分离参数，变形得2333131xaxxx.设21343(1)()3,'()xgxxxgxx，分析定义域及在无穷处的趋势，画出函数的大致图像，如图示，易得答案为2a.

设计意图： 强化利用图像解题；分离参数后，对新函数图像的分析；反映数形结合思想在具体解题中的应用。

师生活动：（1）本题主要考查导数、函数的零点，意在考查考生综合运用数学知识解题的能力及运算求解能力；

（2）与三次函数有关的问题中，利用三次函数的图像可快速而准确地解题；

（3）教师引导学生多角度思考解决的方法。

变式（2017年III理第11题）已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e-x+1)有唯一零点，则a（ ）

（A）－

（B）

（C）

（D）1

解答：变形成112()2xxaeexx，设1111(),'()xxxxgxeegxee，注意到'()gx为单调递增函数，且'(1)0g，故当1'()0,()xgxgx时，单调递减；当1'()0,()xgxgx时，单调递增.当min1()(1)2xgxg时，。设2()2hxxx，当max1()(1)1xhxh时，。若0a，则两函数(),()agxhx的图像没有交点；当0,(1)(1)aagh且时，此时函数(),()agxhx的图像有唯一一个交点，即1212aa，故选C.

例2 （2015年I理第12题）设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是（ ）

（A）3[,1)2e （B）33[,)24e （C）33[,)24e （D）3[,1)2e

解答：设()gx=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数0x，使得0()gx在直线yaxa的下方. yxO21215

因为()(21)xgxex，所以当12x时，()gx＜0，当12x时，()gx＞0，所以当12x时，max[()]gx=12-2e，

当0x时，(0)g=-1，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故(0)1ag，且1(1)3geaa，解得32e≤a＜1，故选D.

设计意图： 进一步强化利用函数图像解题，并灵活变形，达到简化解决问题的目的；体现数形结合、转化与化归的思想。

师生活动：（1）问题考查的是什么类型 ？从哪里可以判断？

（2）问题属于什么 类型？判断依据是什么？

（3）提取到哪些有用信息？与所求有何关系？

变式 设函数1()(23),xfxxeaxaaR，若存在唯一的整数t，使得()0ft，则实数a的取值范围为

答案：21235322eaeeae或

五、评价设计

（一）目标检测

题1：函数()fx的定义域为实数集R，211,10()2log(1),03xxfxxx，对于任意xR都有(2)(2)fxfx，若在区间[5,3]内函数()()gxfxmxm恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是

解答：()fx是以4为周期的函数，若在区间[5,3]内函数()()gxfxmxm恰有三个不同的零点，则()fx和直线(1)ymx在区间[5,3]内有3个不同的交点，画出6

函数()fx在区间[5,3]的图像，结合图像分析得11[,]26m.

题2：已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0()(1)xxfxxe时，，则对任意的,()()mRFxfxm函数的零点个数至多有（ ）【此题可加强为()(())Fxffxm的零点个数至多有】

A．3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个

解答：当0()(1)xxfxxe时，,'()(2)xfxxe，可知(,2)x时，函数是减函数，(2,0)x时，函数是增函数，2(2),(1)0,0()1fefxfx时，，

()0xfx时，；又()fx是定义在R上的奇函数，故(0)0f；作出函数的大致图像，易得答案是至多有3个.

（二）作业

A组

1、 已知函数213,2()24log,02xxfxxx，若函数()()gxfxk有两个不同的零点，则实数k的取值范围是

2、若关于x的方程1lnkxx在区间21,e上有解，则实数k的取值范围是

3、已知函数()(ln)fxxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）

A．(,0) B. 1(0,)2 C.(0,1) D.(0,)

4、设函数2()()xfxxaxae，关于x的方程1()'()2(0)xfxfxxexx只有一个实数解，则实数a的取值范围是

B组

1、 已知函数11,1()12,1xxxfxxex，若函数()()2hxfxmx有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是