压缩感知简介
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压缩感知简介
压缩感知（也称为压缩感知、压缩采样或稀疏采样）是⼀种信号处理技术，通过寻找⽋定线性系统的解决⽅案来有效地获取和重构信
号。这是基于这样的原理，即通过优化，可以利⽤信号的稀疏性从⽐Nyquist-Shannon 采样定理所需的样本少得多的样本中恢复它。有两种
情况可以恢复。第⼀个是稀疏的，这要求信号在某些域中是稀疏的。第⼆个是不相⼲性，它通过等距属性应⽤，这对于稀疏信号来说已经⾜
够了。
概述
信号处理⼯程领域的⼀个共同⽬标是从⼀系列采样测量中重建信号。⼀般来说，这项任务是不可能的，因为在未测量信号的时间内⽆法
重建信号。然⽽，通过对信号的先验知识或假设，可以从⼀系列测量中完美地重建信号（获取这⼀系列测量称为采样）。随着时间的推移，
⼯程师们对哪些假设是实⽤的以及如何推⼴它们的理解有所提⾼。
信号处理的早期突破是奈奎斯特-⾹农采样定理。它指出，如果真实信号的最⾼频率⼩于采样率的⼀半，则可以通过sinc 插值完美地重
构信号。主要思想是，利⽤关于信号频率约束的先验知识，重构信号所需的样本更少。
⼤约在 2004 年，Emmanuel Candès、Justin Romberg、Terence Tao和David Donoho证明，在了解信号稀疏性的情况下，可以使⽤⽐采
样定理所需更少的样本来重建信号。这个想法是压缩感知的基础。
历史
压缩传感依赖于其他⼏个科学领域在历史上使⽤过的技术。在统计学中，最⼩⼆乘法由L1-norm，由Laplace引⼊。随着线性规划和
Dantzig单纯形算法的介绍，L1-norm ⽤于计算统计。在统计理论中，L1-norm 被George W. Brown和后来的作者⽤于中值⽆偏估计量。它被
Peter J. Huber 和其他从事稳健统计⼯作的⼈使⽤。L1-norm 也⽤于信号处理，例如，在 1970 年代，地震学家根据似乎不满⾜Nyquist-
Shannon 标准的数据构建了地球内反射层的图像。1993 年 ⽤于匹配追踪， 1996 年Robert Tibshirani的LASSO 估计器和1998 年的基础追
踪。有描述这些算法何时恢复稀疏解的理论结果，但所需的类型和数量的测量值是次优的，随后通过压缩传感得到了极⼤的改善。
乍⼀看，压缩感知似乎违反了采样定理，因为压缩感知取决于相关信号的稀疏性，⽽不是其最⾼频率。这是⼀个误解，因为采样定理保
证了在充分⽽⾮必要条件下的完美重建。与经典固定速率采样根本不同的采样⽅法不能“违反”采样定理。与经典的固定速率采样相⽐，使⽤
压缩感知可以对具有⾼频分量的稀疏信号进⾏⾼度⽋采样。
应⽤
压缩感知领域与信号处理和计算数学中的⼏个主题相关，例如⽋定线性系统、组测试、重击者、稀疏编码、多路复⽤、稀疏采样和有限
创新率。其⼴泛的范围和通⽤性已在信号处理和压缩、逆问题的解决、辐射系统的设计、雷达和穿墙成像以及天线表征⽅⾯实现了⼏种创新
的 CS 增强⽅法。与压缩传感具有很强亲和⼒的成像技术包括编码孔径和计算摄影。
传统的 CS 重建使⽤稀疏信号（通常以低于 Nyquist 采样率的速率采样）通过约束进⾏重建L1最⼩化。这种⽅法的最早应⽤之⼀是反射
地震学，它使⽤来⾃带限数据的稀疏反射信号来跟踪地下层之间的变化。当 LASSO 模型在 1990 年代作为⼀种选择稀疏模型的统计⽅法⽽
受到重视时，该⽅法被进⼀步⽤于计算谐波分析，以对来⾃过完备字典的稀疏信号表⽰进⾏计算。其他⼀些应⽤包括雷达脉冲的⾮相⼲采
样。Boyd 等⼈的⼯作已将 LASSO 模型（⽤于选择稀疏模型）应⽤于模数转换器（当前使⽤的采样率⾼于奈奎斯特率以及量化的⾹农表
⽰）。这将涉及并⾏架构，其中模拟信号的极性以⾼速变化，然后在每个时间间隔结束时将积分数字化以获得转换后的数字信号。
压缩感知 (CS) 为从压缩测量中恢复稀疏信号提供了⼀个优雅的框架。例如，CS 可以利⽤⾃然图像的结构并仅从少数随机测量中恢复图
像。CS 灵活且数据⾼效，但其应⽤受到稀疏性强假设和昂贵的重建过程的限制。最近⼀种将 CS 与神经⽹络⽣成器相结合的⽅法已经消除
了稀疏性的限制，但重建仍然很慢。⽣成对抗⽹络 (GAN) 可以被视为该模型系列中的⼀个特例。
