因式分解的公式大全,因式分解万能公式法的应用

因式分解的几种方法

1.提取公因式

这个是最基本的.就是有公因式就提出来,这个大家都会,就不多说了

2.完全平方²

a²+2ab+b²=(a+b)²

a²-2ab+b²=(a-b)²

看到式字有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按上面的公式进行.

3.平方差公式

a²-b²=(a+b)(a-b)

这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解.

4.十字相乘法

x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

这个很实用,但用起来不容易.

在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.

例子:x²+5x+6

首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.

一次项系数为1.所以可以写成1*1

常数项为6.可以写成1*6,2*3,-1*-6,-2*-3(小数不提倡)

然后这样排列

1 - 2

1 - 3

(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)

然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)

再写几个式子,大家再自己琢磨下吧.

x²-x-2=(x-2)(x+1)

2x²+5x-12=(2x-3)(x+4)

其实最重要的是自己去运用,以上方法其实可以联合起来一起用,实践永远比别人教要好.

顺便告诉你.若一个式子的b²-4ac小于0的话,这个式子是无论如何也不能分解了(在实数围,b为一次项系数,a为二次项系数,c为常数项)

这些方法一般在最高次为二次时适用!

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

数学因式分解公式

1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。

3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8、三项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解的常用方法

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

练习1、分解因式bcacaba2 2、1yxxy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ayaxyx22

练习3、分解因式yyxx3922 4、yzzyx2222

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例4、分解因式：652xx

练习5、分解因式(1)24142xx (2)36152aa

2 应用公式

将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见的有七个公式：

（1）a2

－b2

＝(a＋b)(a－b)；

（2）a3

＋b3

＝(a＋b)(a2

－ab＋b2

)；

（3）a3

－b3

＝(a－b)(a2

＋ab＋b2

)；

（4）a2

＋2ab＋b2

＝(a＋b)2

；

（5）a2

－2ab＋b2

＝(a－b)2

；

（6）a3

＋3a2b＋3ab2

＋b3

＝(a＋b)3

；

（7）a3

－3a2b＋3ab2

－b3

＝(a－b)3

．

以上公式必须熟记，牢牢掌握各自的特点．

2.1 平方差

七个公式中，公式（1）（即平方差公式）应用得最多．

例1 分解因式：9(m－n)2

－4(m＋n)2

．

解 原式由两项组成，这两项符号相反，并且

9(m－n)2

＝[3(m－n)]2

，

4(m＋n)2

＝[2(m＋n)]2

，

因此可以应用公式（1），得

9(m－n)2

－4(m＋n)2

＝[3(m－n)]2

－[2(m＋n)]2

＝[3(m－n)＋2(m＋n)] [3(m－n)－2(m＋n)]【应用公式（1）】

＝(5m－n)(m－5n)．【合并同类项】

例2 分解因式：75x6y－12x2y5

．

解

75x6y－12x2y5

＝3x2y(25x4

－4y4

)【首先提取公因式】

＝3x2y[(5x2

)2

－(2y2

)2]【熟练后这步可以省去】

＝3x2y (5x2

＋2y2

)(5x2

－2y2

)．【应用公式（1）】

例3 分解因式：－(3a2

－5b2

)2

＋(5a2

－3b2

)2

．

解

－(3a2

－5b2

)2

＋(5a2

－3b2

)2

＝(5a2

－3b2

)2

－(3a2

－5b2

)2

＝[(5a2

－3b2

)＋(3a2

－5b2

)][ (5a2

－3b2

)－(3a2

－5b2

)] 【应用公式（1）】

＝(8a2

－8b2

)(2a2

＋2b2

)【合并同类项】

＝16(a2

－b2

)(a2

＋b2

)【提公因式】

＝16(a＋b)(a－b)(a2

＋b2

)．【应用公式（1）】

例3表明在因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止．