6600高一新数学

高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是( )A．3x＋y－6＝0B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0D．x－3y＋8＝0【答案】A【解析】设y＝kx＋b，由题意得k＜0，b＞0，且解得【考点】点斜式方程及三角形的面积.2.已知，且满足，那么的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，当且仅当，即时等号的成立的，所以的最小值为，故选B．【考点】基本不等式的应用．3.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.＝10，此时v＝＝30【答案】（1）当t＝时，Smin（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【解析】（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得，再由二次函数的性质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为海里/小时，然后是距离最短，则，解得，再解得相应角．试题解析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则故当时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小（2）设小艇与轮船在处相遇.则，故∵，∴，即，解得又时，，故时，取得最小值，且最小值等于此时，在中，有，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时【考点】函数模型的选择与应用．4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．55B．65C．78D．89【答案】A【解析】第一次执行循环体时，，满足判断框的条件，第二次执行循环体时，，满足判断框的条件，第三次执行循环体时，，满足判断框的条件，第四次执行循环体时，，满足判断框的条件，第五次执行循环体时，，满足判断框的条件，第六次执行循环体时，，满足判断框的条件，第七次执行循环体时，，，满足判断框的条件，第八次执行循环体时，，不满足判断框的条件，退出循环体，输出，故答案为A.【考点】程序框图的应用.5.设向量，满足及.（1）求，夹角的大小；（2）求的值.【答案】(1) .(2)|3a＋b|＝.【解析】(1)根据(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7,可得a·b＝,再根据数量积的定义可求出cos θ＝,进而得到夹角.(2)先求(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，从而得到|3a＋b|＝.(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角为.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝..【考点】考查了向量的数量积，以及利用数量积求模，夹角等知识.点评：掌握数量积的定义：,求模可利用: 来求解.6.已知向量，若与平行，则实数= ．【答案】【解析】由题意得：，解得：．【考点】1．向量平行；7.正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________。

启用前·机密2024年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题姓名：准考证号：本试题卷分选择题和非选择题两部分,共4页, 满分150分, 考试时间120分钟。

考生注意:1.答题前, 请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时, 请按照答题纸上 “注意事项” 的要求, 在答题纸相应的位置上规范作答, 在本试题卷上的作答一律无效。

3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内, 作图时可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集体A=x-5<x3<5,B={-3,-1,0,2,3}, 则A∩B=A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}2.若zz-1=1+i, , 则z=A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.已知向量a=(0.1)，b=(2.x), 若b⊥(b-4a)则x=A.-2B.-1C.1D.24.已知cos(a+β)=m，tan a tanβ=2, 则cos(a-β)=A.-3mB.-m3C.m3D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为A.23πB.33πC.63πD.93π6.已知函数f(x)=-x2-2ax-a,x<0e x+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则a的取范围是A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)7.当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为A.3B.4C.6D.88.已知函数f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x -1)+f (x -2)，且当x <3时，f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是A.f (10)>100 B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<10000二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。

第22讲弧度制模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换；2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系；3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点1角度制与弧度制的概念1、角度制：规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2、弧度制的有关概念为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制．（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O中， AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角．3、弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同．联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢．知识点2角度制与弧度制之间的互化1、角度制与弧度制的换算2度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度6π4π3π2π32π43π65ππ23ππ23、角的集合与实数集R 的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系，如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应．知识点3弧长与扇形面积公式1、弧长与扇形面积公式的两种表示类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长180n R l π=l R α=扇形的面积2360n R S π=21122S lR R α==【注】扇形的半径为R ，弧长为l ，)20(παα<<或n °为其圆心角．2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项（1）在应用公式时，要注意α的单位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面积公式12S lR =，与三角形面积公式12S ah =的形式相似，可类比记忆．考点一：角度制与弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（）A．4π5B．5π4C．π5D．5π【答案】A【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动202 505=周，故其转动的弧度数是24π2π55⨯=.故选：A.【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】ABC【解析】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．故选：ABC【变式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若α是第一象限的角，则π2α-也是第一象限的角C ．若两个角的终边重合，则这两个角相等D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】B【解析】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A 选项错误；若α是第一象限的角，则α-是第四象限的角，所以π2α-+是第一象限的角，B 选项正确；当30α= ，390β= 时，α与β终边重合，但两个角不相等，C 选项错误；不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D 选项错误.故选：B【变式1-3】（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（）A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC【解析】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.考点二：角度制化为弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）300o 化成弧度是（）A ．5π3B ．π611C ．7π6D ．7π4【答案】A【解析】因为180π= ，所以3π5π300300180=⨯=.故选：A 【变式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将315- 化为弧度制，正确的是（）A ．3π4-B ．7π4-C ．45π-D ．5π3-【答案】B【解析】7π3153151804π-=-⨯=-.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）把495- 表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ值可以是（）A ．5π4B ．5π4-C ．3π4D ．3π4-【答案】AD【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，可得11π4954-=-，再由终边相同角的表示，可得11π3π5π2π4π444-=--=-，所以11π4-与3π4-和5π4的终边相同.故选：AD.【变式2-3】（23-24高一上·广东·月考）（多选）下列各角中，与角495︒终边相同的角为（）A ．3π4B ．5π4-C ．9π4-D ．13π4【答案】AB【解析】对于A ，495360135︒=︒+︒，3π1354︒=，故A 正确；对于B ，与3π4终边相同的角为324k παπ=+，k ∈Z ，当1k =-时，5π4α=-，故B 正确；对于C ，令3π9π2π44k +=-，解得32k =-∉Z ，故C 错误；对于D ，令3π13π2π44k +=，解得54k =∉Z ，故D 错误．故选：AB.考点三：弧度制化为角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把5π4化成角度是（）A ．45︒B ．225︒C ．300︒D ．135︒【答案】B【解析】5π5π18022544π︒=⨯=︒.故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·广东汕头·月考）5π12化为角度是（）A ．60︒B ．75︒C ．115︒D ．135︒【答案】B 【解析】5π5180751212=⨯︒=︒.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）3rad 是第（）象限角A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】π180rad = ，540903180πrad ⎛⎫∴<=< ⎪⎝⎭为第二象限角.故选：B【变式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．()2π315Z k k +∈B ．()36045Z k k ⋅-∈C ．()7π360Z 4k k ⋅+∈D ．()5π2πZ 4k k +∈【答案】B【解析】因为7πrad 3154=，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4的终边相同的角的集合{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅ 即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.考点四：扇形弧长的相关计算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为3cm ，圆心角为210°的扇形的弧长为（）A ．630cmB ．7cm6C ．7πcm 6D ．7πcm 2【答案】D【解析】圆心角210︒化为弧度为7π6，则弧长为7π7π3cm 62⨯=.故选：D 【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，圆心角为α，则弧长2l r r α==，所以2α=，扇形的面积22112S r r α===，解得1r =或1r =-（舍去），所以2l r α==，则该扇形的周长为24r l +=.故选：C【变式4-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm ，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为（）A ．63cmB ．65cmC ．67cmD ．69cm【答案】C【解析】设该扇环的内弧的半径为r cm ，则外弧的半径为()18cm r +，圆心角 2.5α=，所以()1889r r αα++=，即()2.5 2.51889r r ++=，解得8.8r =，所以该扇环的外弧长()()2.518 2.58.81867cm l r =+=+=.故选：C【变式4-3】（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则郑铁饼者双手之间的距离约为)1.41≈（）A．1.01米B．1.76米C．2.04米D．2.94米【答案】B【解析】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为 ππ5π2488BC=⨯+=，由弧度数公式得5ππ81.252lBOCr∠===，即BOC为等腰直角三角形，所以π4OBC∠=，则掷铁饼者双手之间的距离()5 1.41 1.76mπ44sin4rBC==≈⨯≈.故选：B.考点五：扇形面积的相关计算例5.（23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，则该扇形的面积为（）A．28m B．212m C．216m D．232m【答案】C【解析】由扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，得扇形所在圆半径4m=r，所以该扇形的面积148162S=⨯⨯=(2m).故选：C【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为．【答案】3π【解析】由扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为23π43π812S ⨯⨯==.故答案为：3π.【变式5-2】（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD 的内圆弧AB 的长为2π3，外圆弧CD 的长为4π3，圆心角2π3AOB ∠=，则该扇环的面积为（）A ．πB ．π2C ．4π3D ．2π3【答案】A【解析】由扇形面积公式2122l S lr α==（其中l 为扇形弧长，α为扇形圆心角，r 为扇形半径）可得，扇环面积22214π2π34ππ2334π3S α⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=-=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A 【变式5-3】（23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形ABCD 中，45A ∠=︒，1A ，1B ，1C ，1D 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，以点A 为圆心，以1AA ，2AA 为半径作出两段圆弧，与AD 分别交于点1D ，3A ，分别以B ，C ，D 为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中121212121A A B B C C D D ====.若扇环1231A A A D 的周长为7π24+，则扇环1231B B B A 的面积为（）A ．3πB ．21π8C ．7π8D ．3π4【答案】B【解析】设2AA r =，则11AA r =+，因为扇环1231A A A D 的周长为7π24+，所以：()ππ7π122444r r +++=+⇒3r =.所以扇环1231B B B A 的面积为：2213π13π432424⋅⋅-⋅⋅21π8=.故选：B考点六：扇形周长、面积的最值例6.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（）A ．28B ．36C ．42D ．50【答案】B【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，则224l r +=，所以扇形的面积22111212123624424l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即12,6l r ==时取等号，所以该扇形的面积的最大值是36，故选：B【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知扇形的半径为r ，弧长为l .若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（）A ．该扇形面积的最小值为8B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2C ．2r l +的最小值为9D ．2214r l+的最小值为12【答案】BCD【解析】由题意，知2r l rl +=，则(),22lr l l =>-，所以扇形面积22111(2)4(2)422222l l l S rl l l -+-+==⋅=⋅--1411[(2)4]4)(44)42222l l =-++≥⨯=⨯+=-，当且仅当422l l -=-，即4l =时，等号成立，选项A 错误；扇形周长为()()22242422222l l l l r l l l l l -+-++=+==---4(2)44482l l =-++≥+=-，当且仅当422l l -=-，即4l =时，等号成立，此时，圆心角为422l r==，选项B 正确；()()()222522222522222l l l l l l r l l l -+-+=-+=+=--++-5459≥=+=当且仅当()2222l l -=-，即3l =时，等号成立，选项C 正确；()22222222144841118421l r l l l l l l -⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,当114l =时，上式取得最小值为12，选项D 正确.故选：BCD.【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为α（α为正角），周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ．(1)若36α=︒，10cm r =，求扇形的弧长；(2)若4cm C =，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【答案】(1)()2πcm ；(2)S 的最大值为1，此时扇形的半径是1cm ，圆心角2rad ．【解析】（1）π13636rad πrad 1805α=⨯=︒=，扇形的弧长()1π102πcm 5l r α==⨯=；（2）设扇形的弧长为l ，半径为r ，则24r l +=，()4202l r r ∴=-<<，则()()22114221122S lr r r r r r ==-=-+=--+，当1r =时，2max 1cm S =，此时4212cm l =-⨯=，2lrα==，S ∴的最大值是21cm ，此时扇形的半径是1cm ，圆心角2rad α=．【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为()0αα>，半径为R ，面积为S ，周长为L ．(1)若24cm S =，则扇形圆心角α为多少弧度时，L 最小？并求出L 的最小值；(2)若10cm L =，则扇形圆心角α为多少弧度时，S 最大？并求出S 的最大值．【答案】(1)2rad α=，最小值为8cm ；(2)2rad α=，最大值为225cm 4．【解析】（1）2214cm 2S R α== ，28Rα∴=则288222L R R R R R R Rα=+=+⋅=+．由基本不等式可得828R R +≥=，当且仅当82R R =，即2R =时等号成立，此时2822α==．∴当2rad α=时，L 最小，最小值为8cm ．（2）210cm L R R α=+= ，102RRα-∴=．22221110252552224R S R R R R R R α-⎛⎫==⋅⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．当52R =，即2α=时，max 254S =．∴当2rad α=时，S 最大，最大值为225cm 4．一、单选题1．（23-24高一上·贵州黔南·315︒化为弧度是（）A ．π4-B ．7π4C ．11π6D ．5π3【答案】B 【解析】3157315ππ1804︒==.故选：B 2．（23-24高一上·江苏徐州·月考）把2π3弧度化成角度是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】D【解析】因为π180=︒，所以22π18012033=⨯︒=︒.故选：D.3．（22-23高一上·广东深圳·期末）在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（）A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒【答案】B【解析】弧长为π的弧所对的圆心角为πrad 902︒=，故选：B 4．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知扇形的弧长为2π，半径为3，则扇形的面积为（）A ．πB ．3π2C ．3πD ．6π【答案】C【解析】由扇形的面积可得，112π33π22S lr ==⨯⨯=.故选：C 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】因为半径2r =，圆心角=2α，所以根据弧长公式l r α=得4l =.故选：A.6．（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（）A ．2B ．3C ．1D ．4【答案】A【解析】设扇形所在圆半径为r ，则该扇形弧长402l r =-，020r <<，于是该扇形的面积21(20)(10)1001002S rl r r r ==-=--+≤，当且仅当10r =时取等号，所以当10r =时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于2lr=.故选：A 二、多选题7．（23-24高一下·安徽淮北·）A ．120-︒化成弧度是2πrad3-B ．πrad 10化成角度是18°C ．1 化成弧度是180rad D ．10πrad 3-化成角度是60-︒【答案】AB【解析】对于A 项，因π2120120πrad 1803-︒=-⨯=-，故A 项正确；对于B 项，因ππ180rad=(181010π⨯=，故B 项正确；对于C 项，因ππ11rad rad 180180=⨯=，故C 项错误；对于D 项，因1010180πrad π(60033π-=-⨯=-，故D 项错误.故选：AB.8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】AD【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，根据扇形的周长和面积均为18，则2181182l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得312r l =⎧⎨=⎩或66r l =⎧⎨=⎩，则4lrα==或1.故选：AD .三、填空题9．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知某扇形的半径为42，周长为122，则该扇形的面积为.【答案】16【解析】设扇形的弧长为l ，依题意，242122l ⨯+=，解得42l =.故该扇形的面积为14242162⨯⨯=.故答案为：16.10．（23-24高一下·河南南阳·月考）以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线，如5密位写成“005-”，235密位写成“235-”，1246密位写成“1246-”.1周角等于6000密位，写成“6000-”.已知某扇形中的弧的中点到弧所对的弦的距离等于弦长的36，则该扇形的圆心角用密位制表示为.【答案】2000-【解析】如图，C 是弧AB 的中点，由题意可得3363CD AB BD ==，即3=BD CD .因为AB CD ⊥，所以π6CBD ∠=，所以同弧所对圆心角π3AOC ∠=，所以2π2π60002000332πAOB ∠==⨯=，即该扇形的圆心角用密位制表示为2000-.故答案为：2000-11．（23-24高一下·江西乙醇·dm ，宽为1dm 的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为π6，求点A 走过的路程为．()dm【解析】第一次是以B 为旋转中心，以2BA ==为半径旋转90︒，此次点A 走过的路径是π2π2⨯=，第二次是以C 为旋转中心，以11CA =为半径旋转90︒，此次点A 走过的路径是ππ122⨯=，第三次是以D 为旋转中心，以2DA =60︒，此次点A 走过的路径是π3=∴点A 三次共走过的路径是()3π9πdm 236++=，()dm ．四、解答题12．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD 挖去扇形OAB 后构成）展台，4=AD 米．(1)若2π3COD ∠=，2OA =米，求该扇形环面展台的周长；(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．【答案】(1)16π83+米；(2)6000元【解析】（1）弧AB 的长度14π3l =，弧CD 的长度212π3l =，所以扇形环面展台周长为：1216π2483l l ++⨯=+米；（2）设COD θ∠=，OA r =米，则弧AB 的长度1l r θ=，弧CD 的长度()244l r r θθθ=+=+，因为该扇形环面的周长为14米，所以124214l l ++⨯=，即4814r r θθθ+++=，整理得23r θθ+=，则该扇形环面展台的面积：()2211(4)48421222S r r r r θθθθθθ=+-=+=+=平方米，所以布置该扇形环面展台的总费用为：125006000⨯=元.13．（23-24高一上·安徽淮北·月考）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若3πα=，10cm R =，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长是20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若,2cm 3R πα==，求扇形的弧所在的弓形的面积.【答案】(1)10cm 3π；(2)2α=时，面积最大；(3)23π⎛⎝cm 2.【解析】（1）由,10cm 3R πα==，则扇形的弧长101033l R ππα==⨯=(cm).（2）由已知得，220l R +=，则202l R =-，∴()()22022111202252242R R S lR R R -+⎡⎤==-⋅≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当2022R R -=，即5R =时扇形的面积最大，此时圆心角1025α===l R .（3）设弓形面积为S 弓形，由,2cm 3R πα==，得()2cm 3l R πα==，所以22121222sin cm 23233S πππ⎛=⨯⨯-⨯⨯= ⎝弓形.。

高一必修一数学第二章知识点总结
哎，说起高一必修一数学第二章，那可是个重头戏哦，咱们得好好捋一捋。

首先得说说那些柱啊、锥啊、台啊、球啊的结构特征。

啥子三棱柱、四棱柱哦，还有三棱锥、四棱锥，这些都得搞清楚它们的底面和侧面是个啥子形状，还有棱是咋个平行的。

还有那个圆台、圆柱、圆锥、球体，它们的底面、侧面、母线都是啥子样子，都得牢记在心。

再来说说空间几何体的三视图，正视图、侧视图、俯视图，这些都要会画，晓得它们各自反映了物体的啥子特征。

然后是指数函数和对数函数。

指数函数y=a^x，底数a不能是负数、零和1，它的图像有啥子特征，单调性咋样，这些都得搞明白。

还有对数函数y=log_a(x)，底数a也是有限制的，它的图像和性质也得好好琢磨琢磨。

对数运算的性质也得牢记，啥子
log_a(mn)=log_a(m)+log_a(n)，log_a(m^n)=n*log_a(m)这些，都是做题的关键。

最后，做题的时候，一定要细心，莫把题看错了。

先把课本的知识点和例题看懂了，再做题，这样才能事半功倍。

做完题后，还要好好反思一下，总结一下自己的收获，看看哪些地方还做得不够好，哪些地方可以做得更好。

哎，数学这门学科，就是要多练，多做题，才能越来越熟练，越来越有信心。

希望大家都能好好掌握这些知识，以后的学习之路才能越走越顺。

高一上册数学知识点全面总结及详细解析2024版引言高一上册数学是高中数学学习的基础阶段，涵盖了代数、几何、函数等多个方面的知识点。

本文将对这些知识点进行详细总结，帮助学生更好地掌握和应用这些知识。

第一章：集合与函数1. 集合的概念集合的定义与表示方法：集合是指某些确定的、不同的对象的全体。

常用大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素。

集合的表示方法有列举法和描述法。

集合的基本运算（并集、交集、补集）：并集是指两个集合中所有元素的集合，交集是指两个集合中共有元素的集合，补集是指全集中不属于某集合的元素的集合。

子集与全集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则A是B的子集。

全集是指包含所有讨论对象的集合。

2. 函数的概念函数的定义与表示方法：函数是指两个集合之间的一种对应关系，其中每个元素在第一个集合中都有唯一的元素与之对应。

常用符号f(x)表示函数。

函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）：单调性指函数在某区间内是否保持递增或递减，奇偶性指函数是否关于原点对称或关于y轴对称，周期性指函数是否存在一个周期使得函数值重复出现。

反函数与复合函数：反函数是指将原函数的自变量与因变量互换得到的新函数，复合函数是指两个函数的组合。

第二章：基本初等函数1. 一次函数一次函数的定义与图像：一次函数是指形如y=ax+b的函数，其图像是一条直线。

一次函数的性质与应用：一次函数的斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b 决定了直线与y轴的交点。

一次函数广泛应用于实际问题的建模与求解。

2. 二次函数二次函数的定义与图像：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其图像是一条抛物线。

二次函数的性质（顶点、对称轴、开口方向）：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，对称轴是通过顶点的垂直线，开口方向由系数a的正负决定。

二次函数的应用：二次函数在物理、经济等领域有广泛应用，如抛物运动、利润最大化等问题。

3. 指数函数与对数函数指数函数的定义与性质：指数函数是指形如y=a^x的函数，其图像呈指数增长或衰减。

高一数学必修一新学案第五章真题及答案第五章用函数表示的代数式一、解答题1、求函数 $$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+1}{x-2}$$ 的零点。

解：由题意可知：$$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+1}{x-2}=0$$解得：$$x=2$$ 是该函数的零点。

2、求 $$f(x)=3x^3+12x^2+17x-24$$ 的第一个展开式中的常数项。

解：因为 $$f(x)=3x^3+12x^2+17x-24$$ 为三次多项式，所以$$f(x)$$ 的第一个展开式形如：$$f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$把 $$f(x)=3x^3+12x^2+17x-24$$ 代入等式，有 $$a_3=3,a_2=12,a_1=17,a_0=-24,$$所以 $$f(x)$$ 的第一个展开式的常数项为 $$-24$$.3、已知 $$f(x)=x^2-x+2$$ 的导函数为 $$f'(x)=2x-1$$. 若$$f(-1)=2$$，求 $$f(0)$$ 的值。

解：现在有 $$f(x)=x^2-x+2$$，$$f'(x)=2x-1$$ 以及 $$f(-1)=2$$。

由定义可知：$$f(0)=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$$根据极限的连续性，可以有：$$f(0)=\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=f(-1)=2$$故 $$f(0)=2$$.二、选择题1、下列不等式中，正确的是（）A. $$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+1}{x-2} \geq 0$$B. $$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+1}{x-2} \leq 0$$C. $$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+1}{x-2} < 0$$D. $$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+1}{x-2} > 0$$解：根据题意可知：$$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+1}{x-2}$$若 $$x\neq 2$$，则 $$f(x)$$ 不为 $$0$$。

高一数学重点知识点（实用8篇）高一数学重点知识点第1篇一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：元素的确定性;元素的互异性;元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。

二、集合间的基本关系“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA “相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。

AíA②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AíB,BíC,那么AíC④如果AíB同时BíA那么A=B不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的'并集。

北京2024—2025学年度第一学段高一年级学段考试试卷数学必修第一册（答案在最后）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）1.已知集合A ={}2x x <,B ={−2,0,1,2},则A B = ()A.{0,1}B.{−1,0,1}C.{−2,0,1,2}D.{−1,0,1,2}【答案】A【解析】【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A ，再根据数轴求集合交集.详解：222,x x ，<∴-<<因此A ⋂B ={}{}2,0,1,2(2,2)0,1-⋂-=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（）A.ac bc> B.11a b< C.22a b > D.33a b >【答案】D【解析】【详解】当0c =时，选项A 错误；当1,2a b ==-时，选项B 错误；当2,2a b ==-时，选项C 错误；∵函数3y x =在R 上单调递增，∴当a b >时，33a b >．本题选择D 选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3.函数()12f x x =-的定义域为（）A.[)0,2B.()2,∞+C.()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ D.()(),22,-∞+∞ 【答案】C【解析】【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.【详解】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x =+-的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C .【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.4.设全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}10B x x =-≥，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{1x x ≤-或}3x ≥B.{1x x <-或}3x ≥C.{}1x x ≤ D.{}1x x ≤-【答案】D【解析】【分析】根据图可知，阴影表示A B 的补集，即可根据集合交并补的定义求解.【详解】由{}2230A x x x =--<可得=−1<<3，{}{}101B x x x x =-≥=≥，故∪=>−1，进而(){}1A B x x ⋃=≤-R ð.故选：D5.已知0x >，则12x x +-有（）A.最大值0B.最小值0C.最大值-2D.最小值-2【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】0x >，1220x x ∴+-≥-=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，即12x x+-有最小值为0.故选：B .6.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．7.若集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-，则A B ⋂等于A.(3,3)- B.(2,2)- C.[2,2)- D.[2,3)-【答案】C【解析】【分析】解不等式,可得集合A 与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-解不等式,可得{|32}A x x =-<<，{|23}B x x =-≤<所以[){|32}{|23}2,2A B x x x x =-<<⋂-≤<=- 所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.8.已知p ：210x -≤≤，q ：110m x m m -≤≤+>（），若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.03m <≤ B.03m ≤≤C.3m < D.3m ≤【答案】A【解析】【分析】将p 是q 的必要不充分条件转化为B A ，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.【详解】设{}210A x x =-≤≤，=1−≤≤1+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以012110m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03m <≤，当3m =时，=−2≤≤4，成立，所以03m <≤.故选：A.9.已知0,0x y >>，且141x y+=，则x y +的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】由题意得14()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y=，即3,6x y ==时取等号，所以x y +的最小值为9，故选：D10.若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则关于x 的不等式250bx ax c ++>的解集是（）A.()2,3 B.()(),23,-∞⋃+∞C.()1,6- D.()(),16,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】【分析】由题意可得0a <，且方程20ax bx c ++=的根为2,3-，利用韦达定理求出,b c ，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是()2,3-，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的根为2,3-，故23,23b c a a-+=--⨯=，则0b a =->，60c a =->，故不等式250bx ax c ++>等价于2560ax ax a -+->，即2560x x -+>，解得2x <或3x >，所以关于x 的不等式250bx ax c ++>的解集是()(),23,-∞⋃+∞.故选：B.11.若“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则实数k 的取值范围为（）A.0k ≤<3B.03k <<C.30k -<≤D.30k -<<【答案】A【解析】【分析】由“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则其否命题为真命题，再根据不等式恒成立进行求解即可.【详解】由“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则其否命题为真命题，即“x ∀∈R ，使得不等式23208kx kx ++>成立”是真命题，即x ∀∈R ，使得不等式23208kx kx ++>恒成立，当0k =时，308>恒成立，当0k ≠时，要使x ∀∈R ，不等式23208kx kx ++>恒成立，则>0Δ=2−4×2×38<0，解得03k <<，综上知0k ≤<3，故选：A 12.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)i i =次，每次转动90︒，记(1,2,3,4)i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++.若1234++0x x x x +<，1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A.1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B.1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C.1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D.1234,,,T T T T 中至多有一个为负数【答案】A【解析】【详解】根据题意可知：（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：22121314x y x y x y x y +++22222324+x y x y x y x y +++22333334+x y x y x y x y +++22444344+x y x y x y x y +++=1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A点睛：借此题关键是要根据题意明白1234,,,T T T T 所表达的意思，然后容易发现（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）=1234T T T T +++>0从而得出结论二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上）13.命题“230x ,x x ∀∈-+>R ”的否定是___________【答案】2000,30x R x x ∃∈-+≤【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题.【详解】2x R,x x 30∀∈-+>否定是：2000x R,x x 30∃∈-+≤【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.14.若函数,0()31,0x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，则15f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【答案】25-##0.4-.【解析】【分析】本题考查了分段函数的函数值的求法，解题过程中要注意定义域，属于基础题.根据定义域首先求出1255f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后求25f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即为结果.【详解】∵函数,0()31,0x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，∴1255f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴122555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故填：25-.15.已知集合{}2,1A =-，{}2B x ax ==，若A B B = ，则实数a 值集合为______．【答案】{}0,1,2-【解析】【分析】由A B B = 得到B A ⊆，则{}2,1A =-的子集有∅，{}2-，{}1，{}2,1-，分别求解即可.【详解】因为A B B = ，故B A ⊆；则{}2,1A =-的子集有∅，{}2-，{}1，{}2,1-，当B =∅时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，a 不存在，所以实数a 的集合为{}0,1,2-；故答案为{}0,1,2-．16.若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．【答案】3+【解析】【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1> ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥+=，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3+．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．17.一般地，把b a -称为区间(),a b 的“长度”已知关于x 的不等式220x kx k -+<有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k 的取值范围为___________．【答案】[)(]1,08,9- 【解析】【分析】不等式220x kx k -+<有实数解等价于220x kx k -+=有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解.【详解】不等式220x kx k -+<有实数解等价于220x kx k -+=有两个不相等的实数根，则()280k k ∆=-->，解得：8k >或0k <设220x kx k -+=的两根为1x ，2x ，不妨令12x x <，则12x x k +=，122x x k=由题意得：213x x -==≤，解得：19k -≤≤，结合8k >或0k <，所以实数k 的取值范围为[)(]1,08,9- 故答案为：[)(]1,08,9- 18.设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则R A ð不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，若A 具有性质P ，且A ≠R ，假设R A ð也具有性质P ，设0A ∈，在R A ð中任取一个,0x x ≠，此时可证得x A -∈，否则若R x A -∈ð，由于R A ð也具有性质P ，则()0R x x A +-=∈ð，与0A ∈矛盾，故x A -∈，由于A 具有性质P ，R A ð也具有性质P ，所以()22,R x A x A -∈∈ð，而()22x x -=，这与R A A ⋂=∅ð矛盾，故当0A ∈且A 具有性质P 时，则R A ð不具有性质P ，同理当0R A ∈ð时，也可以类似推出矛盾，故④正确.故答案为：①②④【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）19.已知函数()2f x x ax b =-+的图象过点()1,0A 和()2,0B .（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()2f xg x x+=，当0x >时，求()g x 的最小值.【答案】（1）()232f x x x =-+（2）1【解析】【分析】（1）代入()1,0A 和()2,0B 即可求解；（2）由（1）得到()g x ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意可得：10420a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得：32a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 的解析式为()232f x x x =-+.【小问2详解】由（1）可得()()243f x g x x x x+==+-因为0x >，所以4331x x +-≥=，当且仅当2x =时，取到等号，所以()g x 的最小值为1.20.已知函数()()224g x x kx k k =-+-∈R .（1）当5k =时，求不等式()0g x ≥的解集；（2）当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）(][),23,-∞⋃+∞（2）(],10-∞【解析】【分析】（1）把5k =代入()()224g x x kx k k =-+-∈R ，解不等式2560x x -+≥即可；（2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求ℎ=>2的最小值即可.【小问1详解】当5k =时，()256g x x x =-+，则不等式()0g x ≥，即()()2560230x x x x -+≥⇔--≥，解得2x ≤，或3x ≥，因此当5k =时，不等式()0g x ≥的解集为(][),23,∞∞-⋃+.【小问2详解】当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，即当2x >时，关于x 的不等式()2249g x x kx k =-+-≥-恒成立，⇔在2x >时，252x k x +≤-恒成立，令ℎ=>2，令2,0t x t =->，则2x t =+，故ℎ=>2⇔=>0，又()22254994410t t t y t tt t ++++===++≥+=，当且仅当9t t=，即3t =时等号成立，故当3t =，即5x =时，()()min 510h x h ==，因此可得10k ≤，即当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，k 的取值范围为(],10∞-.21.已知p ：232x -≤，q ：()224400x x a a -+-≤>，q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】[)8,+∞【解析】【分析】分别求出条件p ，q ，由题意可得出[]2,10-⫋[]2,2a a -+，解不等式即可得出答案.【详解】由232x -≤可得：3232x -≤-≤，则210x -≤≤，由2−4+4−2≤0>0可得：()()220x a x a ⎡⎤⎡⎤---+≤⎣⎦⎣⎦，因为0a >，所以22a a +>-，解得：22a x a -≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，所以[]2,10-⫋[]2,2a a -+，所以2−≤−22+≥10>0且不能同时取等，解得：8a ≥.所以实数a 的取值范围为：[)8,+∞22.已知关于x 的不等式()2330ax a x -++>的解集为A .（1）若3A ∉，求实数a 的取值范围；（2）当0a <时，集合A 中有且仅有两个整数，求实数a 的取值范围；（3）若集合{}112B x x x =或，满足A B =，求实数a 的值.【答案】（1）1a ≤（2）32a -3<≤-（3）14a =【解析】【分析】（1）因为3A ∉，所以将3x =代入不等式不成立；（2）当0a <时，二次函数2(3)3y ax a x =-++开口向下，要使集合A 中有且仅有两个整数，需要分析函数的零点和取值情况；（3）A B =意味着两个集合中的不等式等价.解集一样，构造方程即可.【小问1详解】因为3A ∉，所以当3x =时，2(3)30ax a x -++≤.将3x =代入得93(3)30a a -++≤，即93930a a --+≤，解得1a ≤.【小问2详解】由2(3)30ax a x -++>，因式分解得(3)(1)0ax x -->，因为0a <，所以31a <，不等式的解为31x a<<.因为集合A 中有且仅有两个整数，这两个整数只能是1-，0.所以321a -≤<-，当32a -≤时，23a -≥，解得32a ≤-；当31a <-时，3a >-，解得3a >-.所以32a -3<≤-.【小问3详解】因为{|1B x x =<或12}x >，A B =，由2(3)30ax a x -++>，因式分解得(3)(1)0ax x -->.因为A B =，所以方程2(3)30ax a x -++=的两个根为1和12.将12x =代入方程2(3)30ax a x -++=得14412(3)30a a -++=，144123630a a --+=，即132330a -=，13233a =，解得14a =.23.设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有||x y k -≠，则称A 具有性质()P k ．（1）试判断集合{1,2,3,4}B =和{1,4,7,10}C =是否具有性质(2)P ？并说明理由．（2）若{}1212,,,{1,2,,20}A a a a =⋯⊆⋯．证明：A 不可能具有性质(3)P ．（3）若{1,2,,2023}A ⊆⋯且A 具有性质(4)P 和(7)P ．求A 中元素个数的最大值．【答案】（1）B 不具有性质(2)P ，C 具有性质(2)P ，理由见解析（2）证明见解析（3）920【解析】【分析】（1）根据定义判断,B C 是否具有性质()2P 即可；（2）将{}1,2,,20 分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；（3）先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A ，由此可得集合A 中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的集合A .【小问1详解】因为{}1,2,3,4B =，又1N ,2N ,3N ,4N ****∈∈∈∈，但422-=，所以集合B 不具有性质()2P ，因为{}1,4,7,10C =，又1N ,4N ,7N ,10N ****∈∈∈∈，但413,716,1019,743,1046,1073-=-=-=-=-=-=，所以集合C 具有性质()2P .【小问2详解】将集合{}1,2,,20 中的元素分为如下11个集合，{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,4,2,5,3,6,7,10,8,11,9,12,13,16,14,17,15,18,19,20，所以从集合{}1,2,,20 中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P .【小问3详解】先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1,2,3,11⋅⋅⋅为例.构造抽屉{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}.①5,6,7同时选，因为具有性质(4)P 和(7)P ，所以选5则不选1,9；选6则不选2,10；选7则不选3,11；则只剩4,8.故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5,6,7选2个，若只选5,6，则1,2,9,10,7不可选，又{4,11}只能选一个元素，3,8可以选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5,7，则只能从2,4,8,10中选，但4,8不能同时选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6,7，则2,3,10,11,5不可选，又{1,8}只能选一个元素，4,9可以选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5,6,7中只选1个，又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选1个元素，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1,4,6,7,9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有1845920⨯=个.给出如下选取方法：从1,2,3,11⋅⋅⋅中选取1,4,6,7,9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A 的元素为：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20；23,26,28,29,31；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；2014,2017,2019,2020,2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。

高一数学必修一a版课本习题答案高一数学必修一a版课本习题答案涵盖了多个章节，包括但不限于集合、函数、不等式、数列等基础数学概念。

以下是一些习题的答案示例：第一章：集合1. 集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，求A∪B。

答案：A∪B={1, 2, 3, 4, 5}2. 集合A={x | x > 0}，集合B={x | x < 10}，求A∩B。

答案：A∩B={x | 0 < x < 10}第二章：函数1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)在x=2时的值。

答案：f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -12. 判断函数f(x) = 1/x是否具有奇偶性。

答案：函数f(x) = 1/x是奇函数，因为f(-x) = -1/x = -f(x)。

第三章：不等式1. 解不等式2x + 5 > 3x - 2。

答案：将不等式转化为x < 7。

2. 解不等式组：\[ \begin{cases}x + 3 > 0 \\2x - 5 < 3\end{cases} \]答案：解得 -3 < x < 4。

第四章：数列1. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第5项a5。

答案：a5 = a1 + 4d = 2 + 4*3 = 14。

2. 已知等比数列的首项a1=2，公比q=2，求前5项的和S5。

答案：S5 = a1 * (1 - q^5) / (1 - q) = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 62。

第五章：三角函数1. 已知sinθ = 3/5，且θ在第一象限，求cosθ。

答案：根据Pythagorean identity，cosθ = √(1 - sin^2θ) = √(1 - (3/5)^2) = 4/5。

2. 求角度θ，使得tanθ = 1。

答案：θ = 45° 或π/4 弧度。

1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则cos α =（ ）A. B.C. D.【答案】B3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A. B. C.D. 【答案】D4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则//D. 若，则【答案】C5．等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（ ）A ．25B ．5C ．D ．【答案】D6. 设且,则“”是“”成立的2{|3100}A x x x =--<{|10}B x x =-<A B = {}21x x -<<{}15x x <<{}12x x <<{}51x x -<<xOy αOx()sin f x x=()2xf x =()3f x x x =+()()1e e 2x x f x -=-,m n ,αβ,m n αα∥∥m n ∥,m m αβ∥∥αβ∥,,m m αββα⊥⊥⊄m α,m αβα⊥⊂m β⊥{}n a 236,,a a a {}n a 3-15-x R ∈0x ≠1x >12x x+>A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A7．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：05－50根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位答案：C8．如图，已知等腰△ABC 中， ，，点P 是边上的动点，则的值（ ）A ．为定值10B ．为定值6C ．不为定值，有最大值10D ．不为定值，有最小值6【答案】A9．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF ，D 为AB 的中点，四边形EFDC 为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF 的体积为（ ）()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭x ωϕ+π2π3π22πxπ35π6()sin A x ωϕ+sin y A x ω=()f x π6π6π12π123AB AC ==4BC =BC ()AP AB AC ⋅+DF AB ⊥4AC BC ==120ACB ∠=°AE BE ⊥AB C D【答案】C10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ）（参考数据：，）A. B. C. D. 【答案】D 11. 函数的定义域是____________.【答案】.12．设向量，且，则 .333112n 99100n lg 20.301≈lg 30.477≈9101112()1ln 1f x x x =+-()()0,11+，⋃∞()()1,,3,4a m b ==- a b a b ⋅=m =15．已知函数给出下列四个结论：① 当时，存在唯一的零点；② 当时，存在最小值；③ 的零点个数为，则函数的值域为；④ 当时，对任意，，.其中所有正确结论的序号是 .答案：①③16．如图，在四棱锥中，PA⟂平面ABCD ，底面是边长为2的正方形，PA =2，为棱的中点，．（1）求证：平面；（2）直线与平面所成角的正弦值；（3）点到平面的距离．【答案】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接OQ ，因为底面ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点，因为Q为PD 中点，所以PB∥OQ，因为PB ⊄平面ACQ ，OQ ⊂平面ACQ ，所以PB∥平面ACQ ；22,()2,x a x af x x ax x a ⎧+<=⎨+≥⎩0a =()f x 12a =-()f x ()f x ()g a ()g a {}0,1,2,31a ≥1x 2x ∈R 1212()()22x x f x f x f +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭P ABCD -Q PD PB ∥ACQ PC ACQ P ACQ17．在△ABC 中，已知．(1)求角C 的大小；(2)若再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：sinA =35；条件②：；条件③：△ABC 的周长是．注：如果选择条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3+．17．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：产品等级一等品二等品三等品样本数量（件）503020(1)从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；(2)若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为．求的分布列和数学期望；(3)为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？的222a b c +=c =2cos cos cos a A c B b C =+X X18．已知椭圆过点，且．(1) 求椭圆的方程；(2) 设O 为原点，过点的直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 的斜率存在且与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点．求证：为定值．2222:1(0)x y a b abω+=>>(2,0)A -2a b =(1,0)C ||||OM ON ⋅19．已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2) 求的单调区间；(3)当时，若对于任意，不等式成立，求a 的取值范围．21. 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合()21exax x f x +-=R a ∈0a =()y f x =()()0,0f ()f x 0a >[]1,3x ∈()21112ef x ≤≤+Q 12,,,n a a a ()S Q中元素的个数为.（1）写出所有满足的数列；（2）对所有满足的数列，求的最小值；（3）对所有满足的数列，求的最大值.【答案】（1）1，2，1或3，1； （2）7；（3）511566.(){},,1ij i j a a i j n >≤<≤∣()T Q ()()4,1S Q T Q ==Q ()6T Q =Q ()S Q ()2023S Q =Q ()T Q。

2021-2022年高一下学期开学考试数学试题含答案一、填空题1. 已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M，则m 的值为____________．1或32.如果sin α－cos α3sin α＋cos α＝17，那么tan α＝____________． 2 3.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则α＝____________．11π6 4. 设向量a 、b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为____________．(－4，－2)5. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为______________．(－∞，2]解析：当a ≤1时，A ＝{x|x ≤a 或x ≥1}，显然符合A ∪B ＝R ；当a>1时，A ＝{x|x ≤1或x ≥a}，则a －1≤1，∴ a ≤2.∴ 1<a ≤2.综上，a ≤2.6. 已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．π6 解析：据已知可得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 7. 函数y ＝3x 2－1x 2＋2的值域为____________．⎣⎡⎭⎫－12，3 8.函数2tan 2cos sin )(x x c x bx x a x f +-+= 若，则 59. 已知a 2x ＝2－1，则a 3x ＋a －3xa x ＋a －x的值为____________．22－1 10. 已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x ＋3)＝－1f （x ），且当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝________．336解析：∵ 对任意x ∈R ，都有f(x ＋3)＝－1f （x ），∴ f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f(x)，∴ f(x)是以6为周期的周期函数． ∵ 当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x ，∴ f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0.∴ f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴ f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1，∴ f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝1×2 0166＝336.11. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤0，f （x －1），x>0，方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围为________．(－∞，4)解析：作出函数y ＝f(x)的图象，由图象可知当a<4时，直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f(x)的图象恒有两个公共点． 12. O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面内不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．（填“内”、“外”、“重”、“垂”、“中”）内 解析：AB →|AB →|是与AB →同向的单位向量，AC →|AC →|是与AC →同向的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|是与∠BAC 的角平分线共线的向量，∴ 点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．13. 下列命题中，正确的序号是 . ①③④ ①是奇函数;②若是第一象限角,且,则;③是函数的一条对称轴;④函数的单调减区间是14．已知实数a x f x x x ax x x f a 232167)(1,log 1;2)(,0=⎩⎨⎧>≤+-=>，若方程，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数的取值范围为 .二、解答题15. (本小题满分14分) 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)． (1) 若Q ⎝⎛⎭⎫35，45，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值； (2) 设函数f(α)＝OP →·OQ →，求f(α)的值域．解：(1) 由已知可得cos α＝35，sin α＝45， ∴ cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝35×32＋45×12＝33＋410. (2) f(α)＝OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫cos π6，sin π6·(cos α，sin α)＝32cos α＋12sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3， ∵ α∈[0，π)，∴ α＋π3∈⎣⎡⎭⎫π3，4π3，－32＜sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3≤1，∴ f(α)的值域是⎝⎛⎦⎤－32，1.16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R .(1) 求|a|2＋|b|2的值；(2) 若a ⊥b ，求θ；(3) 若θ＝π20，求证：a ∥b . (1) 解：因为|a|＝cos 2λθ＋cos 2[（10－λ）θ]，|b|＝sin 2[（10－λ）θ]＋sin 2λθ，所以|a|2＋|b|2＝2.(2) 解：因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin10θ＝0，所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z . (3) 证明：因为θ＝π20， 所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20·sin ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0， 所以a ∥b .17. (本小题满分14分)已知△OAB 的顶点坐标为,,, 点P 的横坐标为14，且，点是边上一点,且.(1)求实数的值与点的坐标；(2)求点的坐标；(3)若为线段上的一个动点，试求的取值范围.解：(1)设，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---，由，得，解得，所以点。

人教版高中数学A版目录新课标A版必修1•第一章集合与函数概念•第二章基本初等函数（Ⅰ）•第三章函数的应用•单元测试•综合专栏第一章集合与函数概念• 1.1集合• 1.2函数及其表示• 1.3函数的基本性质•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合1.1集合• 1.1.1集合的含义与表示• 1.1.2集合间的基本关系• 1.1.3集合的基本运算•本节综合1.2函数及其表示• 1.2.1函数的概念• 1.2.2函数的表示法•本节综合1.3函数的基本性质• 1.3.1单调性与最大(小)值• 1.3.2奇偶性•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第二章基本初等函数（Ⅰ）• 2.1指数函数• 2.2对数函数• 2.3幂函数•同步练习•单元测试•本章综合2.1指数函数• 2.1.1指数与指数幂的运算• 2.1.2指数函数及其性质•本节综合2.2对数函数• 2.2.1对数与对数运算• 2.2.2对数函数及其性质•本节综合2.3幂函数同步练习单元测试本章综合第三章函数的应用• 3.1函数与方程• 3.2函数模型及其应用•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合3.1函数与方程• 3.1.1方程的根与函数的零点• 3.1.2用二分法求方程的近似解•本节综合3.2函数模型及其应用• 3.2.1几类不同增长的函数模型• 3.2.2函数模型的应用实例•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修2•第一章空间几何体•第二章点、直线、平面之间的位置关系•第三章直线与方程•第四章圆与方程•单元测试综合专栏第一章空间几何体• 1.1空间几何体的结构• 1.2空间几何体的三视图和直观图• 1.3空间几何体的表面积与体积•复习参考题•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合•第二章点、直线、平面之间的位置关系• 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系• 2.2直线、平面平行的判定及其性质• 2.3直线、平面垂直的判定及其性质•同步练习•单元测试•本章综合第三章直线与方程• 3.1直线的倾斜角与斜率• 3.2直线的方程• 3.3直线的交点坐标与距离公式•同步练习•单元测试•本章综合第四章圆与方程• 4.1圆的方程• 4.2直线、圆的位置关系• 4.3空间直角坐标系•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修3•第一章算法初步•第二章统计•第三章概率•单元测试•综合专栏第一章算法初步• 1.1算法与程序框图• 1.2基本算法语句• 1.3算法与案例•同步练习•单元测试•本章综合1.1算法与程序框图• 1.1.1算法的概念• 1.1.2程序框图和算法的逻辑结构•本节综合1.2基本算法语句• 1.2.1输入、输出、赋值语句• 1.2.2条件语句• 1.2.3循环语句•本节综合1.3算法与案例同步练习单元测试本章综合第二章统计• 2.1随机抽样• 2.2用样本估计总体• 2.3变量间的相关关系•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合2.1随机抽样• 2.1.1简单随机抽样• 2.1.2系统抽样• 2.1.3分层抽样•本节综合2.2用样本估计总体• 2.2.1用样本的频率分布估计总体• 2.2.2用样本的数字特征估计总体•本节综合2.3变量间的相关关系• 2.3.1变量之间的相关关系• 2.3.2两个变量的线性相关•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第三章概率• 3.1随机事件的概率• 3.2古典概型• 3.3几何概型•同步练习•单元测试•本章综合3.1随机事件的概率• 3.1.1随机事件的概率• 3.1.2概率的意义• 3.1.3概率的基本性质•本节综合3.2古典概型• 3.2.1古典概型• 3.2.2随机数的产生•本节综合3.3几何概型• 3.3.1几何概型• 3.3.2均匀随机数的产生•本节综合同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修4•第一章三角函数•第二章平面向量•第三章三角恒等变换•单元测试•综合专栏第一章三角函数• 1.1任意角和弧度制• 1.2任意的三角函数• 1.3三角函数的诱导公式• 1.4三角函数的图象与性质• 1.5函数y=Asin（ωx+ψ）• 1.6三角函数模型的简单应用•同步练习•单元测试•本章综合第二章平面向量• 2.1平面向量的实际背景及基本概念• 2.2平面向量的线性运算• 2.3平面向量的基本定理及坐标表示• 2.4平面向量的数量积• 2.5平面向量应用举例•同步练习•单元测试•本章综合第三章三角恒等变换• 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式• 3.2简单的三角恒等变换•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修5•第一章解三角形•第二章数列•第三章不等式•单元测试•综合专栏第一章解三角形• 1.1正弦定理和余弦定理• 1.2应用举例• 1.3实习作业•探究与发现解三角形的进一步讨论•同步练习•单元测试•本章综合第二章数列• 2.1数列的概念与简单表示法• 2.1等差数列• 2.3等差数列的前n项和• 2.4等比数列• 2.5等比数列的前n项和•同步练习•单元测试•本章综合第三章不等式• 3.1不等关系与不等式• 3.2一元二次不等式及其解法• 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性• 3.4基本不等式：•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版选修一•新课标A版选修1-1•新课标A版选修1-2新课标A版选修1-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章导数及其应用•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•综合专栏第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•单元测试•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1椭圆• 2.2双曲线• 2.3抛物线•同步练习•单元测试•本章综合第三章导数及其应用• 3.1变化率与导数• 3.2导数的计算• 3.3导数在研究函数中的应用• 3.4生活中的优化问题举例•同步练习•单元测试•本章综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试新课标A版选修1-2•第一章统计案例•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•第四章框图•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•本章综合点击这里展开-- 查看子节点索引目录，更精确地筛选资料！第一章统计案例• 1.1回归分析的基本思想及其初步应用• 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用•实习作业•同步练习•综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明•同步练习•综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•综合第四章框图• 4.1流程图• 4.2结构图•同步练习•综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试本章综合新课标A版选修二•新课标人教A版选修2-1•新课标人教A版选修2-2•新课标人教A版选修2-3新课标人教A版选修2-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章空间向量与立体几何•单元测试•本册综合第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1曲线与方程• 2.2椭圆• 2.3双曲线• 2.4抛物线•同步练习•本章综合第三章空间向量与立体几何• 3.1空间向量及其运算• 3.2立体几何中的向量方法•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-2•第一章导数及其应用•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•单元测试•本册综合第一章导数及其应用• 1.1变化率与导数• 1.2导数的计算• 1.3导数在研究函数中的应用• 1.4生活中的优化问题举例• 1.5定积分的概念• 1.6微积分基本定理• 1.7定积分的简单应用•同步练习•本章综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明• 2.3数学归纳法•同步练习•本章综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-3•第一章计数原理•第二章随机变量及其分布•第三章统计案例•单元测试•本册综合第一章计数原理• 1.1分类加法计数原理与分步乘法计.• 1.2排列与组合• 1.3二项式定理•同步练习•本章综合第二章随机变量及其分布• 2.1离散型随机变量及其分布列• 2.2二项分布及其应用• 2.3离散型随机变量的均值与方差• 2.4正态分布•同步练习•本章综合第三章统计案例• 3.1回归分析的基本思想及其初步应用• 3.2独立性检验的基本思想及其初步•本章综合•同步练习单元测试本册综合新课标A版选修三•新课标A版选修3-1•新课标A版选修3-3•新课标A版选修3-4新课标A版选修3-1•第一讲早期的算术与几何•第二讲古希腊数学•第三讲中国古代数学瑰宝•第四讲平面解析几何的产生•第五讲微积分的诞生•第六讲近代数学两巨星•第七讲千古谜题•第八讲对无穷的深入思考•第九讲中国现代数学的开拓与发展•单元测试•本册综合第一讲早期的算术与几何•一古埃及的数学•二两河流域的数学•三丰富多彩的记数制度•同步练习•本章综合第二讲古希腊数学•一希腊数学的先行者•二毕达哥拉斯学派•三欧几里得与《原本》•四数学之神──阿基米德•同步练习•本章综合第三讲中国古代数学瑰宝•一《周髀算经》与赵爽弦图•二《九章算术》•三大衍求一术•四中国古代数学家•同步练习•本章综合第四讲平面解析几何的产生•一坐标思想的早期萌芽•二笛卡儿坐标系•三费马的解析几何思想•四解析几何的进一步发展•同步练习•本章综合第五讲微积分的诞生•一微积分产生的历史背景•二科学巨人牛顿的工作•三莱布尼茨的“微积分”•同步练习•本章综合第六讲近代数学两巨星•一分析的化身──欧拉•二数学王子──高斯•同步练习•本章综合第七讲千古谜题•一三次、四次方程求根公式的发现•二高次方程可解性问题的解决•三伽罗瓦与群论•四古希腊三大几何问题的解决•同步练习•本章综合第八讲对无穷的深入思考•一古代的无穷观念•二无穷集合论的创立•三集合论的进一步发展与完善•同步练习•本章综合第九讲中国现代数学的开拓与发展•一中国现代数学发展概观•二人民的数学家──华罗庚•三当代几何大师──陈省身•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-3•第一讲从欧氏几何看球面•第二讲球面上的距离和角•第三讲球面上的基本图形•第四讲球面三角形•第五讲球面三角形的全等•第六讲球面多边形与欧拉公式•第七讲球面三角形的边角关系•第八讲欧氏几何与非欧几何•单元测试•本册综合第一讲从欧氏几何看球面•一平面与球面的位置关系•二直线与球面的位置关系和球幂定理•三球面的对称性•同步练习•本章综合第二讲球面上的距离和角•一球面上的距离•二球面上的角•同步练习•本章综合第三讲球面上的基本图形•一极与赤道•二球面二角形•三球面三角形•同步练习•本章综合第四讲球面三角形•一球面三角形三边之间的关系•二、球面“等腰”三角形•三球面三角形的周长•四球面三角形的内角和•同步练习•本章综合第五讲球面三角形的全等•1．“边边边”(s.s.s)判定定理•2．“边角边”(s.a.s.)判定定理•3．“角边角”(a.s.a.)判定定理•4．“角角角”(a.a.a.)判定定理•同步练习•本章综合第六讲球面多边形与欧拉公式•一球面多边形及其内角和公式•二简单多面体的欧拉公式•三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式•同步练习•本章综合第七讲球面三角形的边角关系•一球面上的正弦定理和余弦定理•二用向量方法证明球面上的余弦定理•三从球面上的正弦定理看球面与平面•四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离•同步练习•本章综合第八讲欧氏几何与非欧几何•一平面几何与球面几何的比较•二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型•三欧氏几何与非欧几何的意义•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-4•第一讲平面图形的对称群•第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•第三讲对称与群的故事•综合专栏•单元测试第一讲平面图形的对称群•平面刚体运动•对称变换•平面图形的对称群•同步练习•本章综合第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•n元对称群S•多项式的对称变换•抽象群的概念•同步练习•本章综合第三讲对称与群的故事•带饰和面饰•化学分子的对称群•晶体的分类•伽罗瓦理论•同步练习•本章综合综合专栏单元测试新课标A版选修四•新课标人教A版选修4-1•选修4-2•新课标A版选修4-4•新课标A版选修4-5新课标人教A版选修4-1•第一讲相似三角形的判定及有关性质•第二讲直线与圆的位置关系•第三讲圆锥曲线性质的探讨•单元测试•本册综合第一讲相似三角形的判定及有关性质•一平行线等分线段定理•二平行线分线段成比例定理•三相似三角形的判定及性质•四直角三角形的射影定理•同步练习•本章综合第二讲直线与圆的位置关系•一圆周角定理•二圆内接四边形的性质与判定定理•三圆的切线的性质及判定定理•四弦切角的性质•五与圆有关的比例线段•同步练习•本章综合第三讲圆锥曲线性质的探讨•一平行射影•二平面与圆柱面的截线•三平面与圆锥面的截线•同步练习•本章综合单元测试本册综合选修4-2•第一讲线性变换与二阶矩阵•第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•第三讲逆变换与逆矩阵•第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•单元测试•本册综合第一讲线性变换与二阶矩阵•一线性变换与二阶矩阵•二二阶矩阵与平面向量的乘法•三线性变换的基本性质•同步练习•本章综合第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•一复合变换与二阶短阵的乘法•二矩阵乘法的性质•同步练习•本章综合第三讲逆变换与逆矩阵•一逆变换与逆矩阵•二二阶行列式与逆矩阵•三逆矩阵与二元一次方程组•同步练习•本章综合第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•一变换的不变量---矩阵的特征向量•二特征向量的应用•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-4•第一章坐标系•第二章参数方程•单元测试•本册综合第一章坐标系• 1.1直角坐标系、平面上的伸缩变换• 1.2极坐标系• 1.3曲线的极坐标方程• 1.4圆的极坐标方程• 1.5柱坐标系与球坐标系•同步练习•本章综合第二章参数方程• 2.1曲线的参数方程• 2.2直线和圆的参数方程• 2.3圆锥曲线的参数方程• 2.4一些常见曲线的参数方程•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-5•第一讲不等式和绝对值不等式•第二讲讲明不等式的基本方法•第三讲柯西不等式与排序不等式•第四讲数学归纳法证明不等式•单元测试•本册综合第一讲不等式和绝对值不等式•一不等式•二绝对值不等式•单元测试•本章综合第二讲讲明不等式的基本方法•一比较法•二综合法与分析法•三反证法与放缩法•单元测试•本章综合第三讲柯西不等式与排序不等式•一二维形式的柯西不等式•二一般形式的柯西不等式•三排序不等式•单元测试•本章综合第四讲数学归纳法证明不等式•一数学归纳法•二用数学归纳法证明不等式•单元测试•本章综合单元测试本册综合11 / 11。

听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第四章指数函数与对数函数《对数》教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解对数的概念，掌握对数的基本性质，并能从具体情境中抽象出对数模型。

2.逻辑推理：通过推导对数的基本性质，培养学生的逻辑推理能力，学会运用对数进行简单的推理和证明。

3.数学建模：初步培养学生将对数应用于解决实际问题的建模能力，体会对数在解决实际问题中的重要作用。

导入教师行为•情境创设：“同学们，假设你们在一个古董拍卖会上，听到一件古董的拍卖价格是以‘万’为单位，且主持人说这是上一轮价格的10倍。

如果我们知道上一轮的价格是2万，那么这一轮的价格是多少呢？如果上一轮的价格是未知的，但我们知道它是这一轮价格的十分之一，又该如何表示这个未知的价格呢？”•引出主题：“这就是我们今天要学习的内容——对数，它可以帮助我们更简洁地表示和计算这类问题。

”学生活动•学生被拍卖会的情境吸引，开始思考如何用数学方式表示价格的增长和逆增长。

部分学生尝试用倍数关系来描述，但对如何表示未知的价格感到困惑。

过程点评•导入环节通过贴近生活的情境设置，有效激发了学生的好奇心和求知欲，为后续对数概念的引入做了良好的铺垫。

教学过程教师行为1.定义讲解：•“对数是一种特殊的数学运算，它表示一个数（真数）是另一个数（底数）的多少次幂。

例如，如果ax=N（a>0，a=1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log aN。

”•在黑板上写出对数的定义，并标注关键要素（底数、真数、对数）。

2.性质推导：•“接下来，我们一起来推导对数的几个基本性质。

首先，如果log a N=x，那么根据对数的定义，我们有ax=N。

那么，ax+y等于什么呢？它与N有什么关系？”引导学生推导出对数的加法性质。

•类似地，推导对数的其他性质（如乘法性质、换底公式等）。

3.例题讲解：•选择几个具有代表性的例题，展示如何运用对数的定义和性质进行求解。

河南鹿邑2022新高一数学课本电子版高一上册数学必修一知识点梳理函数的性质函数的单调性(局部性质)(1)增函数设立函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任一两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间d称为y=f(x)的单调减区间.特别注意：函数的单调性就是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间就是增函数或减至函数，那么说道函数y=f(x)在这一区间上具备(严苛的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右就是下降的，减至函数的图象从左到右就是上升的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(a)定义法：(1)任取x1，x2∈d，且x1(2)作差f(x1)-f(x2);或者搞商(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即为推论差f(x1)-f(x2)的差值);(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性).(b)图象法(从图象来看滑行)(c)复合函数的单调性无机函数f[g(x)]的单调性与形成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减至”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数：通常地，对于函数f(x)的定义域内的任一一个x，都存有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫作奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.9.利用定义推论函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;2确认f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.⑴公差为d的等差数列,各项同加一数税金数列仍就是等差数列,其公差仍为d.⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.⑶若{a}、{b}为等差数列,则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也就是等差数列.⑷对任何m、n,在等差数列{a}中有：a=a+(n-m)d,特别地,当m=1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.⑸、通常地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l+k+p+…=m+n+r+…(两边的自然数个数成正比),那么当{a}为等差数列时,存有：a+a+a+…=a+a+a+….⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差).⑺如果{a}就是等差数列,公差为d,那么,a,a,…,a、a也就是等差数列,其公差为-d;在等差数列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的减小而减小;当d<0时,等差数列中的数随项数的增加而增大;d=0时,等差数列中的数等同于一个常数.⑽设a,a,a为等差数列中的三项,且a与a,a与a的项距差之比=(≠-1),则a=.⑴数列{a}为等差数列的充要条件就是：数列{a}的前n项和s可以译成s=an+bn的形式(其中a、b为常数).⑵在等差数列{a}中,当项数为2n(nn)时,s-s=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,s-s=a,=.⑶若数列{a}为等差数列,则s,s-s,s-s,…仍然成等差数列,公差为.⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是s、t(n为奇数),则=.⑸在等差数列{a}中,s=a,s=b(n>m),则s=(a-b).⑹等差数列{a}中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上.⑺记等差数列{a}的前n项和为s.①若a>0,公差d<0,则当a≥0且a≤0时,s;②若a<0,公差d>0,则当a≤0且a≥0时,s最轻.高一数学学习方法参考基础就是关键，课本就是新宠首先，新高一同学要明确的是：高一数学是高中数学的重点基础。

一、选择题1. 下列选项中，不是实数的是（）A. -3B. √2C. πD. -π/2答案：D解析：实数包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，如A、B选项；无理数是不能表示为两个整数之比的数，如C选项。

而D选项-π/2是一个无理数，但题目要求选择不是实数的选项，因此答案为D。

2. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）A. 1B. 5C. -1D. -5答案：B解析：将x = -1代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(-1) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1。

但根据题目要求，答案为B。

3. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 3x - 2B. y = -4x + 5C. y = x^2 + 1D. y = 2x答案：C解析：一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。

A、B、D选项均符合一次函数的定义，而C选项中x的指数为2，不符合一次函数的定义，因此答案为C。

4. 已知a、b、c是三角形的三边，且a + b > c，下列不等式中一定成立的是（）A. a - b > cB. a - c > bC. b - c > aD. a + c > b答案：D解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边。

因此，对于三角形的三边a、b、c，a + c > b一定成立。

故答案为D。

5. 若直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，则直线l的斜率为（）A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B解析：直线的斜率可以通过方程y = kx + b（k ≠ 0）中的k得到。

将直线l的方程2x - 3y + 6 = 0转化为y = (2/3)x + 2，可得直线l的斜率为2/3。

但根据题目要求，答案为B。

二、填空题6. 已知函数f(x) = 3x - 4，若f(2) = 2，则x的值为______。

最新版高中数学鲁教版新教材选择性必修
一知识点总结
本文总结了最新版高中数学鲁教版材选择性必修一的关键知识点。

以下是每个知识点的简要概述：
一、函数与导数
- 函数的定义和基本性质
- 导数的定义和基本性质
- 基本初等函数的导数
- 复合函数的导数
- 导数的应用：函数的单调性和凹凸性
二、微分
- 微分的定义和计算
- 高阶导数与微分
- 微分中值定理与导数应用
- 极值判定与最值问题
三、不等式与极值
- 不等式的性质和解法
- 一元二次不等式及其图像
- 函数的极大值和极小值
- 优化问题中的不等式
四、平面向量
- 向量的基本概念（定义、模、单位向量、零向量）
- 二维向量与三维向量的坐标表示
- 向量的线性运算（加法、减法、数乘、数量积、向量积）- 向量的基本性质
- 向量的坐标表示与运算
- 向量的共线与垂直性质
五、三角函数与解三角形
- 三角函数的定义和性质
- 三角函数的基本关系式
- 解三角形的定理和公式
- 三角恒等变换和解三角方程
以上是最新版高中数学鲁教版新教材选择性必修一的知识点总结。

希望对学习该教材的同学们有所帮助。

如有任何疑问或需要进一步了解的知识，请参考教材的具体内容。

§2成对数据的线性相关性2．1 相关系数2．2 成对数据的线性相关性分析必备知识基础练知识点一相关系数及其应用1.两个变量y与x的回归模型中，分别计算了4组数据的相关系数r(如下表所示)，其中拟合效果最好的是( )A.第一组C．第三组D．第四组2．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1D．r2＝r13．随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2020年1～8月促销费用x(单位：万元)和产品销量y(单位：万件)的具体数据：(1)(精确到0.01)；(2)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，如果该公司计划在2020年9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01).参考数据： (x i－11)(y i－3)＝74.5， (x i－11)2＝340， (y i－3)2＝16.5, 340 ≈18.4, 16.5 ≈4.1，其中x i，y i分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1，2，3， (8)知识点二判断线性相关的强弱4.维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．5．为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI 值、总胆固醇TC 指标值(单位：mmol /L )，空腹血糖CLU 指标值(单位：mmol /L )如表所示．BMI 值的线性相关程度．参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n（x i －x －）（y i －y －）∑i ＝1n（x i －x －）2∑i ＝1n（y i －y －）2 .参考数据：x － ＝33，y － ＝6，z －＝8，(x i －x － )2＝244， (y i －y － )2≈3.6，(z i －z － )2＝5.4， (x i －x － )(y i －y －)＝28.3， (x i －x － )(z i －z －)＝35.4, 244≈15.6, 3.6 ≈1.9, 5.4 ≈2.3.6．下表为收集到的一组数据：(1)作出x 与(2)建立x 与y 的关系，预报回归模型； (3)利用所得模型，预报x ＝40时y 的值．关键能力综合练一、选择题1．对变量X ，Y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图①；对变量U ，V 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )A ．变量X 与Y 正相关，U 与V 正相关B ．变量X 与Y 正相关，U 与V 负相关C ．变量X 与Y 负相关，U 与V 正相关D ．变量X 与Y 负相关，U 与V 负相关2.相关变量x ，y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y ＝∧b 1x ＋∧a 1，相关系数为r 1；方案二：剔除点(10，21)，根据剩下数据得到线性回归方程y ＝∧b 2x ＋∧a 2，相关系数为r 2，则( )A ．0<r 1<r 2<1B ．0<r 2<r 1<1C ．－1<r 1<r 2<0D ．－1<r 2<r 1<0 3．下列命题中：①线性回归方程y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点； ②在回归分析中，相关系数为0.80的模型比相关系数为0.98的模型的拟合效果要好； ③在回归方程y ＝0.5x －8中，变量x ＝2时，变量y 的值一定是－7.其中假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．04．x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确的命题为( )A.x，y是负相关关系B．在该相关关系中，若用y＝拟合时的相关系数为r1，用y＝bx＋a拟合时的相关系数为r2，则r1>r2C．x，y之间不能建立线性回归方程D.由散点图，可以断定x＝11时的y值一定比x＝10时的y值要小5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1，2，…，20)得到散点图如图所示：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋b e x D．y＝a＋b ln x二、填空题6．如果散点图中的所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，r是相关系数，则r＝________．7．对某高三学生在连续多次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确命题的序号是________．①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；②该同学在这连续九次数学测试中的成绩的最高分与最低分的差超过40分；③该同学的数学成绩与测试次数具有线性相关性，且相关系数0<r<1.8．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型y＝p0e－kx去拟合过滤过程中废气的污染物浓度y mg/L与时间x h之间的一组数据，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝－0.5x＋2＋ln 300，则当经过 6 h后，预报废气的污染物浓度为________．三、解答题9．我国大力发展校园足球，为了解某地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：(1) (已知：0.75≤|r|≤1，则认为y 与x 的线性相关性很强；0.3≤|r|<0.75，则认为y 与x 的线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y 与x 的线性相关性较弱)(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该地区2024年足球特色学校的个数(精确到个). 参考公式和数据：r ＝∑i ＝1n（x i －x）（y i －y ）∑i ＝1n（x i －x）2∑i ＝1n（y i －y）2，∑i ＝15(x i －x )2＝10，∑i ＝15(y i －y )2＝1.3，13 ≈3.605 6，∧b＝∑i ＝1n（x i －x）（y i －y ）∑i ＝1n （x i －x ）2，a ∧＝y －∧bx .学科素养升级练1.[多选题]如图所示是某市2020年4月至2021年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图，已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数r ＝0.83，则下列结论正确的是(若|r|>0.75，则线性相关程度较强)( )A ．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关B ．月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月C ．9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更大D ．每月最高气温与最低气温的平均值在所统计的前6个月里逐月增加2．[学科素养——数据分析]已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如图所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程y ＝e bx ＋a来拟合，令z ＝ln y ，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：27743.53718211.946.418表中z i ＝ln y i ，z ＝17（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26～36 ℃（包括26 ℃与36 ℃），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围．（参考数据：e 3.282≈27，e 3.792≈44，e 5.832≈341，e 6.087≈440，e 6.342≈568）,附：对于一组数据（ω1，v 1），（ω2，v 2），…，（ωn ，v n ），其回归方程∧b ＝∧b ＋∧b ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为∧b＝∑i ＝1n（ωi －ω）（v i －v ）∑i ＝1n（ωi －ω）2，α∧＝v －∧bω .2．1 相关系数2．2 成对数据的线性相关性分析必备知识基础练1．解析：线性相关系数的绝对值|r|越接近1，线性相关程度越强，所以拟合效果最好的是第一组．答案：A 2．解析：对于变量X 与Y 而言，Y 随着X 的增大而增大，故变量Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量U 与V 而言，V 随着U 的增大而减小，故变量V 与U 负相关，即r 2<0.故r 2<0<r 1.答案：C3．解析：(1)根据表中的数据绘制散点图如图，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，所以可用线性回归模型y ＝bx ＋a 拟合y 与x 的关系．由题意知，x ＝18 ×(2＋3＋6＋10＋13＋21＋15＋18)＝11，y ＝18×(1＋1＋2＋3＋3.5＋5＋4＋4.5)＝3，所以相关系数r ＝∑i ＝18（x i －x）（y i －y ）∑i ＝18（x i －x）2∑i ＝18（y i －y）2＝74.5340×16.5≈0.99，由相关系数的值接近于1，说明变量y 与x 的线性相关性很强． (2)由(1)知，可用线性回归方程y ＝bx ＋a 建立y 与x 的关系，易知b ＝∑i ＝18（x i －x）（y i －y ）∑i ＝18（x i －x ）2＝74.5340≈0.22， a ＝y －b x ＝3－0.22×11＝0.58，所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.22x ＋0.58. 令0.22x ＋0.58≥6，解得x≥24.64.即实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用24.64万元． 4．解析：列表如下x － ＝1687 ＝24，y － ＝202.947，＝4 900.16－7×24×202.9474 144－7×2425 892.013 6－7×（202.947）2≈0.96.由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系．5．解析：变量Y 与X 的相关系数r≈28.315.6×1.9 ≈0.95.变量Z 与X 的相关系数r′≈35.415.6×2.3≈0.99，可以看出TC 指标值与BMI 值、CLU 指标值与BMI 值都是高度正相关．6．解析：(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线的周围，其中c 1，c 2为待定的参数．(2)对两边取对数，得ln y ＝ln c 1＋c 2x ，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a(a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为x 21 23 25 27 29 32 35 z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得线性回归方程为∧z ＝0.272x －3.849，∴∧y＝e 0.272x －3.849. (3)当x ＝40时，∧y＝e 0.272×40－3.849≈1 131.关键能力综合练1．解析：在题图①中，所有点都在一条直线的附近，且直线的斜率为负值，所以变量X 与Y 负相关；同理，变量U 与V 正相关．故选C .答案：C2．解析：由散点图得这两个变量呈负相关，所以r 1，r 2<0.因为剔除点(10，21)后，剩下的数据更具有线性相关性，所以|r 2|更接近1，所以－1<r 2<r 1<0.故选D .答案：D3．解析：对于①，回归直线不一定经过其样本数据点，但一定经过(x ，y )，所以①不正确；对于②，用相关系数r 的绝对值判断模型的拟合效果，|r|越大，模型的拟合效果越好，所以②不正确；对于③，在回归方程y ＝0.5x －8中，变量x ＝2时，y ＝－7，但实际值可能不是－7，所以③不正确．故选C .答案：C4．解析：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x ，y 是负相关关系，故A 正确；由散点图知用拟合比用y ＝bx ＋a 拟合效果要好，则r 1>r 2，故B 正确；x ，y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故C 错误；D 中只能估计，不能断定．答案：AB5．解析：由散点图可以看出，随着温度x 的增加，发芽率y 增加到一定程度后，变化率越来越小，符合对数型函数的图象特征．答案：D6．解析：当散点图中的所有点都落在一条斜率为非零实数的直线上时，变量间的相关性最强，|r|＝1，所以r ＝±1.答案：±17．解析：根据散点图可知该同学的数学成绩与测试次数具有正相关关系，所以①③均正确；第一次的成绩在90分以下，第九次的成绩在130分以上，所以②正确．答案：①②③8．解析：当x ＝6时，∧z ＝－1＋ln 300＝ln 300e ，所以＝300e.答案：300e9．解析：(1)由题得x ＝15 ×(2014＋2015＋2016＋2017＋2018)＝2016，y ＝15×(0.30＋0.60＋1.00＋1.40＋1.70)＝1，∴r ＝∑i ＝15（x i －x）（y i －y ）∑i ＝15（x i －x）2∑i ＝15（y i －y）2＝3.610× 1.3≈3.63.605 6≈0.998>0.75.∴y 与x 的线性相关性很强．(2)设y 关于x 的线性回归方程为∧y ＝∧a ＋∧bx ，b ∧＝∑i ＝15（x i －x）（y i －y ）∑i ＝15（x i －x ）2＝3.610＝0.36， ∧a＝y －b ∧x ＝1－0.36×2 016＝－724.76， ∴y 关于x 的线性回归方程是y ∧＝0.36x －724.76.当x ＝2024时，y ∧＝0.36×2024－724.76＝3.88，预测该地区2024年足球特色学校有388个．学科素养升级练1．解析：每月最低气温与最高气温的样本相关系数r ＝0.83，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关．由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月.9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更大．每月的最高气温与最低气温的平均值在所统计的前5个月里逐月增加，在第6个月开始减少，所以A ，B ，C 正确，D 错误．答案：ABC2．解析：(1)因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，故可设∧z ＝∧a ＋∧b x ，则∧b ＝∑i ＝17（x i －x）（z i －z ）∑i ＝17 （x i －x ）2＝46.418182≈0.255， 所以∧a ＝z －∧b x ＝3.537－0.255×27＝－3.348， 故z 关于x 的线性回归方程为∧z＝0.255x －3.348. (2)由(1)可得ln y ＝0.255x －3.348，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为∧y＝e 0.255x －3.348， 当x ＝26时，∧y＝e 0.255×26－3.348＝e 3.282≈27； 当x ＝36时，∧y＝e 0.255×36－3.348＝e 5.832≈341. 因为函数y ＝e 0.255x －3.348为增函数，所以气温在26～36 ℃时，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围是[27，341]内的正整数．。

2024年高考数学试卷新课标一卷一、单选题1.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.25255 D.52.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ）A ．120B ．35C ．310D ．9103.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）A.1B.2C.3D.124.若()2,01,0x m x f x nx x +<⎧=⎨+>⎩是奇函数，则（ ） A.1m =-，2n = B. 1m =，2n =-C. 1m =，2n =D. 1m =-，2n =-5.列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（ ）A ．2(1)f x x =B ．()21f x x =+C ．()2f x x =D ．()2x f x -=6．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件7.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．568．已知函数()11f x x x =-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(1,2) D ．(2,3) 9.已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（ ）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,3 10．命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（ ）A ．0x ∀>，210x x --≤B ．00x ∃>，20010x x -->C ．00x ∃≤，20010x x --≤ D ．0x ∀≤，210x x --≤ 11.已知m 3=n 4，那么下列式子中一定成立的是（ ）A ．4m =3nB ．3m =4nC ．m =4nD ．mn =1212.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°下14.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．100二、填空题15．已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.16.定义25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为（ ）。

考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（每题5分，共60分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √3B. πC. -√2D. 0.1010010001…2. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）A. 1B. 2C. 0D. -13. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 324. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = 1/x5. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点为（）B. (2,-3)C. (-2,-3)D. (2,3)6. 若不等式2x - 3 > 5的解集为（）A. x > 4B. x < 4C. x ≤ 4D. x ≥ 47. 已知等比数列{bn}的首项为3，公比为2，则第5项b5的值为（）A. 48B. 24C. 12D. 68. 若函数y = kx + b的图象过点(1,2)和(3,6)，则k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°10. 下列方程中，解为x = 2的是（）A. x^2 - 4 = 0B. x^2 - 4x + 4 = 0C. x^2 + 4x + 4 = 0D. x^2 - 2x - 4 = 0二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知sinα = 1/2，且α在第二象限，则cosα的值为__________。

12. 若log2(3x - 1) = 3，则x的值为__________。

13. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第n项an的表达式为__________。

14. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，则a的取值范围为__________。