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质点运动学典型例题

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1质点运动学课堂练习题

1质点运动学课堂练习题

质点运动学课堂练习题1．一质点在Oxy 平面内运动。

运动学方程为=x 2 t 和=y 19-2 t 2 ， (SI)，求1）在第2秒内质点的平均速度大小，2）2秒末的瞬时速度大小。

2．一质点沿直线运动，其坐标x 与时间t 有如下关系：t A x t ωβcos e-= (SI) (A 、β 皆为常数)，求(1) 任意时刻ｔ质点的加速度a ；(2) 质点通过原点的时刻t 3．已知质点的运动学方程为24t r = i +(2t +3)j (SI)，求该质点的轨道方程。

4．一质点沿半径为R 的圆周运动，其路程S 随时间t 变化的规律为221ct bt S -=(SI) ，式中b 、c 为大于零的常量，且b 2>Rc. 求此质点运动的(1)切向加速度a t ；(2)法向加速度a n ； (3)加速度a 大小。

5．在半径为R 的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为2ct =v （式中c 为常量），求从t = 0到t 时刻质点走过的路程S (t ) ；t 时刻质点的切向加速度a t ；t 时刻质点的法向加速度a n 。

6．一质点从静止出发沿半径R =1 m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是β =12t 2-6t (SI)，求质点的角速ω；切向加速度 a t 。

7．在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。

今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i 、j表示)，求在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）8．一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为：a ＝2＋6 x 2 (SI)；如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。

9.一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为a = 3+2 t (SI) ,如果初始时质点的速度v 0 为5 m/s ，求当ｔ为3s 时，质点的速度.。

质点运动学典型习题解析2019

质点运动学典型习题解析2019

y
4 大学物理教学中心
Northeastern University



r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
v

dx
i

dy
j
dz
k
dt dt dt
大小
*平均速率 *瞬时速率
v S t
5 大学物理教学中心
Northeastern University
它们之间关系：是微积分关系 (1)运用运动方程通过微分可以确定质点的位置、 位移、速度和加速度 (2)已知质点运动的加速度及初始条件通过积分 可以求出速度及运动方程．
8 大学物理教学中心
Northeastern University
二、 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度

a

dv

1一质点在一平面内做运动，其运动方程为:
试求:(1)质点的轨道方程
(2)质点从t=0到t=5s这段时间的平均速度
(3)质点在第5s末的速度；
(4)质点的加速度；
(1)x 5t, y 10 t2 y 10 ( x)2
(2)v (3)v

r drt dt

1 5

v2
n
dt
a a at2 an2
9 大学物理教学中心
Northeastern University
三、 圆周运动
1 描述圆周运动基本物理量 角位置
角位移
角速度 lim d
t0 t dt
角加速度


lim
t 0

t

d
dt

质点的运动例题

质点的运动例题

，0.225.0)(2+=t t y0.20.1)(，+=t t x，0.225.0)(2+=t t y0.20.1)(，+=t t x ，0.225.0)(2+=tt y0.20.1)(，+=t t x tl 例1 设质点的运动方程为其中式中x ，y 的单位为m(米)，t 的单位为s(秒)，（1）、求时的速度． （2）作出质点的运动轨迹图．已知： 解 (1) 由题意可得时速度为 速度 的值 ，它与 轴之间的夹角（2）运动方程消去参数 可得轨迹方程为例2 如图A 、B 两物体由一长为 的刚性细杆相连，A 、B 两物体可在光滑轨道上滑行．如物体 A 以恒定的速率v 向左滑行,当060α=时，物体B 的速率是多少？()()(),r t x t i y t j =+3s t = tty tx y x 5.0d d 0.1d d ====v v ，　s 3=t ji5.10.1+=vv 1s m 8.1-⋅=v x o3.560.15.1arctan==θ0.325.02+-=x x ytdyv v edt-==00y ttdy v e dt-=⎰⎰vO O10解：选如图的坐标轴ddA xxi i it===-v v vddB yyj jt==v v因222x y l+=两边求导得：d d220dx yx yt+=即d dd dy x xt y t=-ddBx xjy t=-v因为ddxt=-v所以tanBjα=v v当o60α=时， 1.73B=，v vBv沿y例3有一个球体在某液体中1.0a j=-v，问：(1)(2)此球体在停止运动前经历的路程有多长？解：因为= 1.0dvvdtα=-所以v tvdvdtv=-⎰⎰解得：e t-=v v因为所以解得：101e ty-=-（）e t-=，v v ym10,0 s,2.9≈≈=yt v 2012r t gt =+v 00co s x α=v v 00sin yα=v v 0x ya ag==-201sin 2y t gtα=⋅-v 2220tan 2cos g y x αxα=-v例4 如图一抛体在地球表面附近，从原点O 以初速0v 沿与水平面上O x 轴的正向成α角抛出．如略去抛体在运动过程中空气的阻力作用，求抛体运动的轨迹方程和最大射程？ 解y a a g g j ===-0x a =按已知条件，t=0时，有解得：0cos x t α=⋅，v轨迹方程为：O。

第1章例题_质点运动学

第1章例题_质点运动学
g
第5页 共6页
质点运动学
例1-6 某人在静水中游泳的速度为4km ·h-1 ,若现在他在 流速为2km ·h-1 的河水中游泳.若此人想与河岸垂直地游 到对岸,试问他应向什么方向游？ 解：该题中河岸为静参考系，水流为动参考系．
设人垂直对河岸的速度为 v人对岸 人对水的速度为 v人对水 水相对河岸的速度为 v水对岸
则有 v人对岸 v人对水 v水对岸
cos 2 1 , 60
42
人需与河岸成60°夹角，逆流水方向游向对岸．
第6页 共6页
质点运动学
例1-1
已知某质点的运动学方程为
r(t)

ti

(t 2
4t) j (m),
求该质点的轨迹方程．
解 由题意可知
x x(t) t

y

y(t)

t2

4t
消去参数t ， 可得轨迹方程为
y (x 2)2 4
第1页 共6页
质点运动学
例1-2 如图所示,一质点在坐标系xOy 平面内运动,轨道方

r(t )
,
v

d r(t) dt
,
a dv(t) , dt
a a(x)
复合函数求导 a dv dv dx dv v dt dx dt dx
v
5
vdv adx (2x 1)dx , 2 vdv 0 (2x 1)dx
得质点在x =5m 处的速度 v = 8m ·s -1 ．
第4页 共6页
质点运动学
例1-5 某质点以初速度 v0 、仰角θ 做斜上抛运动,忽略空 气阻力时,求在抛出点A和最高点B的曲率半径．

质点运动学习题和答案

质点运动学习题和答案

作业1 质点运动学知识点一、位移、速度、加速度1、位矢：位移：平均速度：（瞬时）速度：（瞬时）加速度：2、路程s：物体通过的实际距离。

平均速率：（瞬时）速率：速度的大小等于速率问题1、如何由求，如何由求。

利用求导，。

问题2、如何由求，如何由求。

若，利用若，利用若，利用问题3、如何由求位移和路程。

位移：路程：1、，求得速度为零的时间，然后求出的路程和的路程［ C］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是(A) 匀加速运动．(B) 匀减速运动．(C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动．【解答】如图建坐标系，设船离岸边x米，，，，，可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。

［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5 s时，质点在x轴上的位置为(A) 5m． (B)2m．(C) 0． (D) -2m．(E) -5 m.【解答】质点在x轴上的位置即为这段时间内v-t曲线下的面积的代数和。

［C］3、[自测提高6]某物体的运动规律为，式中的k为大于零的常量．当时，初速为v0，则速度与时间t的函数关系是(A)(B)(C)(D)【解答】，分离变量并积分，，得4、[基础训练12 ]一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t－t2 (SI)，则在t由0至4s的时间间隔内，质点的位移大小为 8m ，在t由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为 10m ．【解答】（1）x = 6 t－t2 (SI)，位移大小；（2），可见，t<3s时，>0；t=3s时，=0；而t>3s时，<0；所以，路程=5、[基础训练13 ]在x轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为，初始位置为x0，加速度（其中C为常量），则其速度与时间的关系为，运动学方程为。

第一章质点运动学_习题及答案

第一章质点运动学_习题及答案

第1章 质点运动学 习题及答案一、填空题1.一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为335x t t =-+,则质点在任一时刻的速度为 ，加速度为 。

2.一质点沿Ox 轴运动，其运动方程为335x t t =+-，则质点在2t s =时的加速度大小为 ，方向为 。

3. 一质点沿Ox 轴运动，其速度为22t υ=，初始时刻位于原点，则质点在2t s =时的位置坐标x = ,加速度大小为 。

4.一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t A a ωωcos 2-=，在t=0 时，,,0A x x ==υ其中ω,A 均为正常数，则此质点的运动方程是 。

5．一质点的运动学方程为cos sin R t R t =+r i j ，在任意时刻，切向加速度和法向加速度的大小分别为 ， 。

6．质点作圆周运动的法向加速度反映了 的变化快慢，切线加速度反映了 的变化快慢。

7.一质点沿半径为R 的圆周按规律221bt t s o -=υ而运动, o υ,b 都是常数. t 时刻质点的总加速度为 ; t 为 时总加速度在数值上等于b ，当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了 圈。

二、回答问题1．｜r ∆｜与r ∆ 有无不同?t d d r 和dr dt 有无不同? td d v 和dv dt 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解: ｜r ∆｜与r ∆ 不同. ｜r ∆｜表示质点运动位移的大小,而r ∆则表示质点运动时其径向长度的增量;t d d r 和dr dt 不同. td d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt 则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. td d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt 则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动？解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动.3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.三、计算题1．一物体做直线运动，运动方程为2362x t t =-，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。

第1章质点运动学题库

第1章质点运动学题库

一、选择题：1. 位置矢量、位移、速度、加速度是从不同角度来描写质点运动的基本物理量，它们都显示了运动的特征，请问以下哪一项不属于运动的特征：（）A．绝对性；B．标量性；C．矢量性；D．相对性.2．下列物理量是标量的为（）A．速度；B．加速度；C．位移；D．路程.3．下列物理量中是矢量的有（）A. 平均速度；B. 平均速率；C. 路程；D. 瞬时速率.4、下列关于质点运动的表述，不可能出现的情况是（）A. 质点速率不变而具有加速度；B. 质点速率增大，而法向加速度的大小不变；C. 质点的速率增大而加速度恒定；D. 质点速度方向变化而无加速度。

5.已知一质点在运动，则下列各式中表示质点作匀速率曲线运动的是（），表示作匀速直线运动的是（），表示作变速直线运动的是（），表示作变速曲线运动的是（）A. a t=0,a n=0；B. a t≠0,a n≠0；C. a t≠0,a n=0；D.a t=0,a n≠0.6. 从同一高度以不同的初速度将质量不同的物体同时水平抛出，则（）A. 质量大的物体先落地；B. 质量小的物体先落地；C. 速度大的物体先落地；D. 同时落地.7. 质点沿x轴正向运动，其加速度随位置的变化关系为：a=3x2+1。

若它在x=03处的速度v(0)=5m/s，那么，当它达到x=3m处时的速度为（）A. 8m/s；B. 9m/s；C. 7.8m/s；D. 7.8m/s.8.一质点沿x 轴运动，其速度与时间的关系式为：V= 4+t2，式中V的单位为cm/s，t 的单位为s，当t = 3s时质点位于x= 9cm处，则质点的位置x 与时间t的关系为（）（以cm为单位)3；3-12；3+12； D. 2t.9.一个玩具火箭从地面竖直向上射入空中，到达H高度处。

从火箭开始射出的时刻计时。

经过时间∆t后，火箭落回到其地面上的发射点。

对于这段时间，火箭的平均速度为（）A. H/ 2∆t；B. 0；C. 2H/ ∆t；D. H/ ∆t.10. 两艘赛艇A 和B，从同一起始线同时出发，作同向直线运动。

力学综合练习题一(质点运动学)

力学综合练习题一(质点运动学)

=
drv
=
2iˆ− 8tˆj(m / s)
dt
1
y
r1
v1
O r2 x v2
t2 = 2 秒时的速度为： vv2 = 2iˆ− 16 ˆj(m / s)
径向速度：
方法一（一般求法）：由 rv = 2tiˆ + (16 − 4t 2 ) ˆj (m) 求得矢径长度的表达式：
r = 4 t 2 + (16 − 4 t 2 ) 2 ( m ) ，
=
64t (m / s2 ) 4 + 64t 2
2
法向加速度为 an =
a2 − at2 =
64
−
(64t)2 4 + 64t2
(m
/
s2)
在 t2 = 2 秒时， at2 =
64 65
(m
/
s2 ) ，
an2
=
8 (m / s2) 。 65
轨道的曲率半径： ρ =
v
2 2
= 260
65 = 262.02(m)
（6）在 t1 = 2 秒时质点的切向加速度和法向加速度、轨道的曲率半径。
由质点任一时刻的速度 vv = drv = 2iˆ− 8tˆj(m / s) 可得任一时刻的加速度：
av
=
dvv
=
dt −8 ˆj(m / s2 )
dt
因速率为 v = 4 + 64 t 2 ，
则切向加速度为 at
=
dv dt
an2
8
2.[已知加速度求速度和运动学方程]一质点在x0作初速为V的直线运动，设质点的加速度
分别为 a = −kt, a = −kv, a = −kv2 , a = −kx ，求四种情况下质点任一时刻的速度，质

大学物理质点运动例题

大学物理质点运动例题

加速度的大小
2 a = at2 + an = 24 2 + 729 2 = 729m/s 2
设加速度与法向加速度的夹角为α 设加速度与法向加速度的夹角为 ，则
at 24 tan α = = = 0.0329 , ⇒ α = 1.9° an 729
例题2 质点沿半径为 R 的圆轨道运动，初速度为 0，加 的圆轨道运动，初速度为v 例题 度方向的夹角恒定，如图所示． 速度与速 度方向的夹角恒定，如图所示．求速度的大小与时 间的关系． 间的关系． 解 设加速度与速度方向的夹角 an 为α，则 ， tan α = at 即
则有
v v v v dr v= = ( −ωR sin ωt )i + (ωR cos ωt ) j dt v x = −ωRsinωt ; ωR ωt v y = ωRcosωt ωR ωt
2 2 速度的大小 v= vx + vy = (ωR sin ωt )2 + (ωR cos ωt )2 = Rω
v v v v = R cos ωti + R sin ωtv j r = xi + yj
(2) 由运动方程
消去
x = R cos ωt y = R sin ωt x 2 + y 2 = R2 t，可得质点的轨迹方程 ，可得质点的轨迹方程
可知， 时质点的位置P （3）由运动方程可知，t=0 时质点的位置 0点的坐标为 ） 运动方程可知
x
5
QHale Waihona Puke y =dvy dt= 12 ∴ d v y = 12 d t
Q v y (0) = 0 由初条件积分
∫
vy
0
d v y = ∫ 12 d t ∴ v y = 12 t

2-质点动力学例题

2-质点动力学例题

例13 在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为 静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近
，到相距为 r 时。 求 它们之间的相对速率为多少？ 解 由动量守恒，机械能守恒
m1
mv1 mv 2 0
1 1 m1m2 2 2 m1v1 m2v 2 G 0 2 2 r
t d(mg F0 kv) k dt 0 mg F0 kv m
k t mg F0 v (1 e m ) k
mg F0 kv k 解出小球的 ln t mg F0 m 速度
mg F0 v (1 e k
k t m
)
mg F0 v v vm k
解得
O
v1
v2
m2
x
v1 m2
2G (m1 m2 )r
2G v 2 m1 (m1 m2 )r
相对速率 v12 v1 v 2 m2
2G 2G m1 (m1 m2 )r (m1 m2 )r
例题14 一个质量 m 0.14kg 的垒球，以 v 40m s1的速率沿水平 方向飞向击球手，被击中后，又以相同的速率沿 60 的仰 角方向飞出。设球和棒的作用时间 Δt 1.2 ms，求垒球受到 棒的平均打击力。

ma0
N cos mg ma0 mar cos N m( g a0 ) cos ar ( g a0 ) sin
例题8 物体在黏滞流体中的运动。质量为m的小球在重力G （mg）、浮力F0、阻力f=－kv（其中k是一个比例常数，它与 小球的尺寸、材料与流体的黏度有关，而v是小球的运动速度） 的作用下竖直下降。试求小球的速度、位置随时间变化的函 数关系。

质点运动学习题

质点运动学习题

v车对地ctg30
17.3m/s
v v 雨对车 车对地 / sin30 20m/s
1）y=l tg kt 2）v=lk sec2kt 3）v=4 lk /3
5.距河岸(看成直线)500 m处有一艘静止的船，船上的探照 灯以转速为n =1 r/min转动．当光束与岸边成60°角时，求 光束沿岸边移动的速度v.
6.一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关 闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小 与速度平方成正比，即
(A) 3iˆ 3 ˆj, (C) - 3iˆ 3 ˆj,
(B) - 3iˆ 3 ˆj, (D) 3iˆ 3 ˆj.
[B]
12.一人骑车以18km/h的速率自东向西行进时，
看见雨点垂直下落，当他的速率增至36 km/h
时看见雨点与他前进的方向成120º角下落，求
v雨雨地点对v雨地人的速v度人地。
l dl )
l2 h2 dt
l2 h2 l l
v02
l2 h2 l2 h2

h2v02
3
(l 2 h2 )2


h2v02 s3
dl dt

v0
当x=s时
4.雷达与火箭发射台的距离为l，观测沿竖直方向上升的 火箭，如图所示，测得q的规律为q =kt（k为常量）求： 1）写出火箭的运动方程； 2）火箭速度随时间的变化关系； 3）当上升到q /6 时火箭的速度。
v0
h 解：
x(t) l 2 (t) h2
l
dl dt

v0
x
x
v dx d dt
l2 h2 dl 1 dl dt 2
2l l 2 h2 (v0 )

大学物理第一章 质点运动学 习题解(详细、完整)

大学物理第一章 质点运动学 习题解(详细、完整)

第一章 质点运动学1–1 描写质点运动状态的物理量是 。

解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。

1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。

解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。

1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m/s 102=g 。

解：此沟的宽度为m 345m 1060sin 302sin 220=︒⨯==g R θv1–4 一质点在xoy 平面内运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。

解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得2=x m ，7=y ms t 1=故时质点的位置矢量为j i r 72+=（m ）由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t tx y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为j i 82-=v （m/s ）质点在任意时刻的加速度为0d d ==ta x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2。

1–5 一质点沿x 轴正向运动，其加速度与位置的关系为x a 23+=，若在x =0处，其速度m/s 50=v ，则质点运动到x =3m 处时所具有的速度为__________。

解：由x a 23+=得x xt x x t 23d d d d d d d d +===v v v v 故x x d )23(d +=v v积分得⎰⎰+=305d )23(d x x v v v则质点运动到x =3m 处时所具有的速度大小为 61=v m/s=7.81m/s ；1–6 一质点作半径R =1.0m 的圆周运动，其运动方程为t t 323+=θ，θ以rad 计，t 以s 计。

质点运动学计算题

质点运动学计算题

一 计算题 (共133分)1. (本题 5分)(0004) 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a ＝2＋6 x 2(SI)如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．2. (本题 5分)(0258) 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a 0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间t 后，加速度为2a 0，经过时间2t 后，加速度为3 a 0 ,…求经过时间n t 后，该质点的速度和走过的距离．3. (本题 5分)(0259) 一球从高h 处落向水平面，经碰撞后又上升到h 1处，如果每次碰撞后与碰撞前速度之比为常数，问球在n 次碰撞后还能升多高？4. (本题 5分)(0265) 有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：(1) 第2秒内的平均速度；(2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．5. (本题 5分)(0505) 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为-=a ky ，式中k 为常量，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y 0处的速度为v 0，试求速度v 与坐标y 的函数关系式．6. (本题 5分)(5626) 一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．7. (本题 5分)(0266) (1) 对于在xy 平面内，以原点O 为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径r 、角速度w 和单位矢量i v、j v表示其t 时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r , 角速度w 如图所示；(2) 由(1)导出速度 v v 与加速度 a v的矢量表示 式；(3) 试证加速度指向圆心．8. (本题 5分)(0268) 由楼窗口以水平初速度0v v 射出一发子弹，取枪口为原点，沿0v v方向为x 轴，竖直向下为y 轴，并取发射时刻t 为0，试求：(1) 子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨迹方程； (2) 子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度．质点M 在水平面内的运动轨迹如图所示，OA 段为直线，AB 、BC 段分别为不同半径的两个1/4圆周．设t =0时，M 在O 点，已知运动学方程为S =30t +5t 2 (SI)求t =2 s 时刻，质点M 的切向加速度和法向加速度．10. (本题 5分)(0600) 一人自原点出发，25 s 内向东走30 m ，又10 s 内向南走10 m ，再15 s 内向正西北走18 m ．求在这50 s 内， (1) 平均速度的大小和方向; (2) 平均速率的大小．11. (本题 5分)(5007) 一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为221ct bt S += 其中b 、c 是大于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．12. (本题 5分)(5008) 如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m的圆轨道转动．转动的角速度w 与时间t 的函数关系为2kt =w (k 为常量)．已知s t 2=时，质点P 的速度值为32 m/s ．试求1=t s 时，质点P 的速度与加速度的大小．13. (本题 5分)(5386) 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v 0，与水平方向成a 角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为a n = v 2/r ．14. (本题 5分)(5628) 一物体以初速度0v 、仰角a 由地面抛出，并落回到与抛出处同一水平面上．求地面上方该抛体运动轨道的最大曲率半径与最小曲率半径．15. (本题 5分)(0021) 河水自西向东流动，速度为10 km/h ．一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30°，相对于河水的航速为20 km/h. 此时风向为正西，风速为10km/h ．试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向．(设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度)有一宽为l 的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u 0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今有相对于水的速度为0v v的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点．17. (本题 5分)(0272) 一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a ，他向车前进的斜上方抛出一球，设抛球过程对车的加速度a 的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角q 应为多大？18. (本题 5分)(0273) 一质点以相对于斜面的速度gy 2=v 从其顶端沿斜面下滑，其中y 为下滑的高度．斜面倾角为a ，它在地面上以水平速度u 向质点滑下的前方运动，求质点下滑高度为h (h 小于斜面高度)时，对地速度的大小和方向．19. (本题 8分)(0274) 一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T ．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为)1(<<=k k V v ．求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少．20. (本题 5分)(0516) 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h 的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h ，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．21. (本题 5分)(0517) 当一列火车以36 km/h 的速率水平向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的雨滴，在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成30°角．(1) 雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？ (2) 雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？22. (本题 5分)(0692) 当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为30°，当火车以35m/s 的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为45°，假设雨滴相对于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．23. (本题 5分)(0693) 一小船相对于河水以速率v 划行．当它在流速为u 的河水中逆流而上之时，有一木桨落入水中顺流而下，船上人两秒钟后发觉，即返回追赶，问几秒钟后可追上此桨？装在小车上的弹簧发射器射出一小球，根据小球在地上水平射程和射高的测量数据，得知小球射出时相对地面的速度为10 m/s ．小车的反冲速度为2 m/s ．求小球射出时相对于小车的速率．已知小车位于水平面上，弹簧发射器仰角为 30°．25. (本题 5分)(0695) 一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s 上升．当电梯离地面h =10 m 时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率200=v m/s ．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？。

01-2质点运动学两类基本问题

01-2质点运动学两类基本问题

x dx vB j y dt vB v tan j
vB 1.73v vB源自y 轴正向,当 60时 沿
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速 度为 v0 10 j, 它的加速度为 a 1.0v j . 问: （1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2） 此球体在停止运动前经历的路程有多长？
解:
例1 斜抛运动
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止 自由下落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子 ?
设在地球表面附近有一个可视为质点的抛体,以初 速 v0 在 Oxy 平面内沿与 Ox 正向成 角抛出, 的轨迹方程;（2）抛体的最大射程. 并略去
空气对抛体的作用. （1）求抛体的运动方程和其运动
1. 5 56.3 速度 v 与 x 轴之间的夹角 arctan
1
（2） 运动方程
x(t ) 1.0t 2.0 y(t ) 0.25t 2 2.0
2
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3
轨迹图
t 4s
6
y/m
t 4s
t0

l
A
物体B 的速度
dy vB v y j j dt
o
v
x
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x y =l
2 2
2
y
B
两边求导得
dx dy 2x 2 y 0 dt dt
即

l
A

质点运动学 习题分析与解答

质点运动学 习题分析与解答

第1章 质点运动学 习题解答（一）. 选择题1．一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处, 其速度大小为A. t r d dB. d d t rC. d d t rD.22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x [ ] 【分析与解答】t r d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率，d d t r表示速度矢量，d d t r 与t rd d 意义相同，在直角坐标系中，速度大小即速率可由2222d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x v v v yx求解，在自然坐标系中，速率可用公式t s v d d =计算。

正确答案是D 。

2. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为22at bt =+r i j （其中a 、b 为常量）, 则该质点作 A. 匀速直线运动． B. 变速直线运动． C. 抛物线运动． D.一般曲线运动． ［ ］ 【分析与解答】22at bt =+v i j 是变速运动，22,,ax at y bt x yb ===为直线方程正确答案是B 。

3． 某质点的速度为，已知，时它过点(3,-7)，则该质点的运动方程为：A. B.C. D.不能确定 [ ]【分析与解答】22d 24(23)(47)t t t t t ==-+=+-+⎰r v i j c i j正确答案是B 。

4. 以初速将一物体斜向上抛，抛射角为，不计空气阻力，则物体在轨道最高点处的曲率半径为:A. B. C. D.不能确定。

[ ] 【分析与解答】v 0θv 0sin θg g v 02v 02cos 2θg v =2i -8t j t =02t i -4t 2j (2t +3)i -(4t 2+7)j -8j轨道最高点22220,(cos ),x xn v v v v v a g θρ=====v i ，故曲率半径2v g ρ=正确答案是C 。

5. 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为．．［ ］ 【分析与解答】平均速度为位移除以时间间隔，平均速率为路程除以时间, 质点沿半径为R 的圆周转动一周，位移为零，路程等于。

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质点运动学典型例题1． 一质点做抛体运动（忽略空气阻力），如图一所示。

求：质点在运动过程中（1）dtdV 是否变化？ （2）dtV d 是否变化？ （3）法向加速度是否变化？（4）轨道何处曲率半径最大？其数值为多少？解：（1）如图一，如果把dtdV 理解为切向加速度，即τa dt dV =，则由图二（a ）所示，ατcos g a =，显然τa 先减小后增大。

（2）g dtV d = （3）αsin g a n =（4）质点在任一点的曲率半径φρcos 22g V a V n ==，质点在运动过程中，式中的速度V,夹角φ均为变量。

故质点在起点和终点处的速度最大（0V V =）。

φ最大，φcos 最小，所以在该处的曲率半径最大。

上抛石块的位移和路程一石块以V=4.9m/s 的初速度向上抛出，经过2S 后，石块的位移y ∆________，路程S______.解：如图一，设定石块上抛的初始点为原点，竖直向上为正方向。

则其运动方程为2021gt t V y -= 2S 内的位移为m y 8.928.92129.42-=⨯⨯-⨯=，负号表明所求位移的方向为竖直向下，即物体在2S 内改变了运动方向。

先求物体到达最高点的时刻，即00=-=gt V dt dy ，S g V t 5.08.99.40=== 则总路程m L L L 25.12)5.1(8.921)5.0(8.9212221=⨯⨯+⨯⨯=+= 求解某一位置的速度质点沿x 轴正向运动，其加速度随位置变化的关系为2331x a +=，如果在x=0处，其速度为s m V /50=，那么，在x=3m 处的速度为多少？ 解：因为2331x V dx dV dt dx dx dV dt dV a +====s m V x x V x x V V dx x VdV V V /9)25333(2)23(2322)331(2320332023020=++=++=+=-+=⎰⎰宇宙速度众所周知，人造地球卫星和人造行星是人类认识宇宙的重大发展．但怎样才能把物体抛向天空，使之成为人造卫星或人造行星呢：）这取决于抛体的初速度。

有趣的是，在1687年，牛顿出版的第一部著作——《自然哲学的数学原理》中，有一幅插图。

这幅图指出抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度，它明确地指出发射人造地球卫星的可能性，当然这种可能性在当时只是理论上的 270年后，人类才把理论上的人造卫星变成了现实1．人造地球卫星 第一宇宙速度没地球的半径为E R 、质量为E m 。

在地面上有一质量为m 的抛体，以初速1V 竖直向上发射，到达距地面高度为h 时，以速度V 绕地球作匀速率圆周运动，如略去大气对抛体的阻力，抛体最小应具有多大的速度才能成为地球卫星？如把抛体与地球作为一个系统，由于没有外力作用在这个系统上，系统的机械能守恒于是，hR Gmm mV R Gmm mV E E E E +-=-2212121 (1) 上式可写成EE E E R Gm h R Gm V V 22221++-= （2） 由牛顿第二定律和万有引力定律，有22)(h R Gmm h R V m E E E +=+ （3） 上式可写成hR Gm V E E +=2 （4） 将（4）式代入（2），得hR Gm R Gm V E E E E +-=21 已知地球表面附近的重力加速度2/EE R Gm g =，故上式为 )2(1hR R gR V E E E +-= ．上式给出了人造卫星由地面发射的速度V 1与其所应达到的高度之间的关系．卫星发射速度越大，所能达到的高度h 就越大．由上式可以看出，对于地球表面附近的人造地球卫星有h R E >>，故上式可简化为 E gR V =1其中26/8.9,1037.6s m g m R E =⨯=，可得s m V /109.731⨯=这就是在地面上发射人造地球卫星所需达到的最小速度，通常叫做第一宇宙速度．在地球表面附近的卫星（R E ）h ），由式（2）有1V V ≈.故常说，人造地球卫星环绕地球的最小速度亦为s m V /109.731⨯=把式（3）代入式（1），有)(2h R m Gm E E E +-= 上式表明，人造地球卫星的机械能是小于零的，即E ＜0．2人造行星 第二宇宙速度如果抛体的发射速度继续增大，致使抛体与地球之间的距离增加到趋于无限远时，即r=∞，这时可认为抛体已脱离地球引力的作用范围．抛体可成为太阳系的人造行星．在这种情况下，抛体在地球引力作用下的引力势能为零，即0=∞P E 、若此时抛体的动能也为零，即0=∞K E ，那么抛体在距地球无限远处的总机械能0=+=∞∞∞P k E E E ．这就是说，在抛体从地面飞行到刚脱离地球引力作用的过程中，抛体以自己的动能克服引力而作功，从而把动能转变为引力势能．由于略去阻力以及其他星体的作用力所作的功，故机械能应守恒，02122=+=-∞∞p k EE E E R m Gm mV 额中V 2是使抛体脱离地球引力作用范围，在地面发射时抛体所必须具有的最小发射速度．这个速度又叫第二宇宙速度．由上式可得第二宇宙速度为s m V gR R Gm V E EE /102.11222312⨯==== 从上述关于第二宇宙速度的讨论中可以看出，要使抛体脱离地球引力作用，只要 抛体具有不小于s m V gR R Gm V E E E /102.11222312⨯====的发射速度就行，而这时可以不考虑发射速度的方向，就能得到所要求的数值。

这是用能量观点来讨论这类问题最显著的一个优点．应当指出，若发射速度大于第二宇宙速医，这时抛体的机械能大于零．即E ＞0。

理论计算表明，这时抛体在太阳引力作用下绕太阳作椭圆轨道运动．成为人造行星。

图－绘出了在地面上水平发射的抛体，其能量与以地球为参考系的运动轨迹之间的关系．当E ＜0时，抛体的轨迹为椭圆（包括圆）；当E ＞0时．为双曲线；当E=0时，为抛物线．3 飞出太阳系 第三宇宙速度上面讲述了从地球表面发射的抛体达到或超过第二宇宙速度以后，它将外绕太阳成为太阳系中一颗人造行星。

如果我们继续增加从地球表面发射抛体的速度，并使之能脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系，这个速度称之为第三宇宙速度，用3V 来表示。

显然，要使抛体脱离太阳系的束缚，必须先脱离地球引力的束缚，然后再脱离太阳引力的束缚。

这就是说，抛体脱离地球引力束缚后还要具有足够大的动能实现飞出太阳系的目的首先讨论抛体脱离地球引力场的情形我们把地球和抛体作为一个系统，并取地球为参考系。

设从地球表面发射一个速度为3V 的抛体，其动能为2321mV E k =，引力势能为EE R m Gm -，当抛体脱离地球引力的束缚后。

它相村地球的速度为V '，按机械能守恒定律，有2232121V m R m Gm mV E E '=-（1） 为求V '，取太阳为参考系，此抛体距太阳的距离为R S ,相对太阳的速度为1V '。

则抛体相对太阳的速度3V '应当等于抛体相对地球的速度V '与地球相对太阳的速度V E 之和，即E V V V +'='3如E V V 与'方向相同，则抛体相对太阳的速度最大，有E 3V V V +'=' （2）此后．抛体在太阳的引力作用下飞行，其引力势能为SS R m Gm -，动能为2321V m E k '=；s m 为太阳的质量，故抛体要脱离太阳引力作用，其机械能至少是02123=-'ss R m m G V m （3） 213)2(ss R Gm V =' （4） 把式（4）代入式（2），有 E 213E 3)2(V R Gm V V V V ss -='=-'=' （5） 如设地球绕太阳的运动轨道近似为一圆，那么由于抛体与地球的运动方向相同亚都只受太阳引力的作用，故可以认为此时抛体至太阳的距离s R ，即是地球轨道圆的半径。

于是由牛顿第二定律有s E E sS E R V m R m m G 22=- 即得21)(ss E R m G V = 把上式代入（5）式，得2/1))(12(ss R m G V -=' 将m R kg m s s 11301050.1,1099.1⨯=⨯=，则s km V /3.12='，将其代入（1），可得 2/123)2(EE R m G V V +'= 其中，,1037.6,1099.1630m R kg m E E ⨯=⨯=，所以第三宇宙速度为s km V /4.163=自1957年世界上第一颗人造地球卫星上天以来，1961年前苏联宇航员加加林乘坐宇宙飞船环绕地球一周．人类首次进入了太空1969年7月美国阿波罗11号宇宙飞船首次实现载人登月．1976年美国海盗1号宇宙飞船成功登上火星，发回5万多张照片和大量探测数据。

1997年7月4日，美国“火星探路者”无人飞船又在火星上着陆，并以火星车在火星表面采集样品拍摄照片表明，在几十亿年以前火星上非常可能发生过特大洪水。

然而．火星上是否有过液态水，甚至有过生命，仍然是一个有待进一步考察研究的问题1983年美国先驱者10号宇宙飞船超过太阳引力的束缚成为了飞出太阳系的第一个人造天体，人类完全有信心指望载人火星飞行、建造适宜人类居住的太空城等愿望终能成为现实。

运用矢量运算求解平均速度如图一所示，雷达站探测飞机的方位，在某一时刻测的飞机离该站,40001m r =连线1r 与水平方向的夹角019.36=θ；经过0.8S 后，测得飞机离该站m r 42002=，连线2r 与水平方向的夹角0230=θ.求：飞机在这段时间内的平均速度。

解：取坐标系如图二所示，两次测的飞机的位矢分别为ji j r i r r 24003200sin cos 11111+=+=θθj i j r i r r 21003637sin cos 22222+=+=θθ根据平均速度的定义，在0.8S 内飞机的平均速度为j i t r r t r V 8.024*******.03200363712-+-=∆-=∆∆=j i 375545-=（m/s ）故平均速度的大小为./1062.6)375()546(222S m V ⨯=+=平均速度的方向与x 轴的夹角为05.34545375==-==x yx yV V arctg V V tg ϕϕ求解杆顶影子的速度地面上垂直竖立一根高20m 的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，如图一，问：在下午2时整，杆顶在地面上影子的速度为多少？在什么时刻杆的影子将伸展至20m.解：地球自西向东自转相当于太阳自东向西绕地球转动，地球自转一周为S 606024⨯⨯，故太阳绕地球转动一周也是S 606024⨯⨯。