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数学必修4平面向量公式总结平面向量是高中数学必修4新教材中新增加的重要内容之一，是高中学生需要学习的重要知识点。
下面店铺给大家带来数学必修4平面向量公式总结，希望对你有帮助。
数学必修4平面向量公式高中数学必修4平面向量知识点坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y 轴上的坐标。
来表示平面内的各个方向在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.向量的运算1、向量的加法：AB+BC=AC设a=(x,y) b=(x',y')则a+b=(x+x',y+y')向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x',y-y')若a//b则a=eb则xy`-x`y=0若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=0高中数学学习方法抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。
高中数学必修4平面向量知识点平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，是同学们学习数学的一个重点，下面是店铺给大家带来的高中数学必修4平面向量知识点，希望对你有帮助。
1.平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB;向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。
(注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆);相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a;单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e 表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
2.平面向量运算加法与减法的代数运算：(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
(1)| |=| |·| |;(2) 当 a>0时，与a的方向相同;当a<0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0.两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .(2) 若 =( ),b=( )则‖b .3.平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得 = e1+ e2.4.平面向量有关推论三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。
平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作：uuur rAB 或 a 。
uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。
r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若e是单位向量，则| e| 1。
r r4.零向量：长度为 0 的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
8.三角形法则：uuur uuur AB BA。
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。
r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。
当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。
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平面向量的基本概念与线性运算__________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则:加法法则,减法法则，数乘法则.*创设情境兴趣导入如图7－1所示,用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车,效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量:在数学与物理学中，有两种量．只有大小,没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量)，例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段(有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7—2所示,有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头,记作a．BaA图7－22、向量的模长:向量的大小叫做向量的模．向量a，AB的模依次记作a,AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量:与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa＋μb叫做a, b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μ b，则称l可以用a，b线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则:位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC=AB+BC．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A （如图7－6),依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则:如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：(1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0;（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c )．3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即图7－7ACBaba +bab图7－9Aa −b = a ＋（−b )．设a =OA ，b =OB ，则 ()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=．即．2)观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ,其差a －b 仍然是一个向量,叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为．3）若||λ≠a 0,则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有（7．4） 一般地，有0a = 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题:① 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ② 若|a ｜＝|b ｜，则a ＝b ；③ 若错误!＝错误!，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形; ④ 在ABCD 中，一定有错误!＝错误!；⑤ 若m ＝n ,n ＝p ，则m ＝p ; ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 。
平面向量（江苏如东县双甸中学）一、选择题：1．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 ( )A 20B 20-C 320D 320- 错误分析:错误认为︒==60,C CA BC ,从而出错. 答案: B略解: 由题意可知︒=120,CA BC ,故CA BC ⋅=202185,cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅CA BC CA BC .2．关于非零向量a 和b，有下列四个命题：（1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b的方向相同”；（2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A 1B 2C 3D 4错误分析:对不等式b a b a b a+≤±≤-的认识不清.答案: B.3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA ·OP 的最大值为 （）A ．3B ．6C ．9D ．12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA ·OP 即为最大。
4．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）A ． a 与b 的夹角等于α-βB ．a ∥bC ．(a +b )⊥(a -b )D ． a ⊥b正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
5．已知向量 a =(2cos ϕ，2sin ϕ)，ϕ∈(ππ,2)， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( )A ．π32-ϕB ．2π+ϕ C ．ϕ-2π D ．ϕ正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，π]。
必修4平面向量一．基本概念1.向量： ．2.平行向量： ．3.相等向量：b a =⇔ ；相反向量：b a-=⇔4.两个非零向量a 、的夹角：作 =a ； =b ； 叫做a 与b的夹角。
5.坐标表示：i 、j分别是 ，若=a则 叫做a的坐标。
6.向量a 在方向上的投影：设θ为a 、的夹角，则一． 基本运算：三、基本定理、公式：1． 平面向量基本定理：若1e 与2e，则对平面内的任意一个向量a，一对实数1λ、2λ；使得=a____________________ 2． 向量的模：a＝ ＝ ；a 与b夹角：=θcos _________ = _____________3． 向量平行：a ∥b⇔_________________ ⇔__________________ ；向量垂直：a ⊥b⇔_________________ ⇔_________________4． 中点坐标公式：_________________ 四、复习题1、在下列命题中，正确命题的个数为 ．①a ·0＝0；②0·a＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （→b ·→c ）+=-，则0=b ；⑤→a ·→b -→b ·→a =→0；⑥1===→→→c b a ，且→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a 与→c 是模相等且同向或反向的两个向量⑦ a ·b ＝０，则a 与b中至少有一个为0； 2、化简下列各式：（1）)(CD AB -－)(BD AC -= ；（2）MP MN -－QM QN += ； （3）BA CO BO OC OA -+++= ． （4）)(++)(++=__________3．已知平面内三点A （-1，0），B （x ，6），P （3，4），且−→−AP =λ−→−PB ，x 和λ的值分别为( )A ．-7，2B ．5，2C ．-7，52 D ．5，524、向量，6=10=-的取值范围是 ．56=8=10=-=+ ． 6、已知=1e +2e ，=２1e －2e ，则向量+2与2－（ ）ABM CA 、一定共线B 、一定不共线C 、仅当1e 与2e 共线时共线D 、仅当1e =2e 时共线7、已知OA＝1e ，OB ＝2e1==．∠AOB ＝︒1205=， 且平分∠AOB ，用1e ，2e 表示= ． 8、已知∆ABC 顶点A （―1，12-），B （2，3）及重心坐标G （1，12），则顶点C 的坐标为__________9．已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且2PA OP =，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是1032==，且4=⋅，则向量b 在向量a 上的投影为 ．11、已知|a |=3，|b |=4，且|a －b ，则a 与b的夹角为 ．12．已知|→a |=|→b |，→a⊥→b ，且（→a +→b ）⊥（k →a -→b ），则k 的值是( )A ．1B ．-1C ．0D ．-213．已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____________________14、ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量()a b =，，q (12)=，.若q p //，则C ∠角的大小为（ ） Ａ6πＢ3π Ｃ2π Ｄ32π 15、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）,P 为一动点，及AB t OA OP +=， （1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。
16．在四边形ABCD 中，AD ‖BC ，AC ⊥BD ，已知−→−AB =6→i +→j ，−→−BC =x →i +y →j ，−→−CD =-2→i -3→j ，(→i ，→j 分别是x ，y 轴方向上的单位向量），求x ，y （x ，y ∈ R ）的值.17、如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且 BN =31BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．18.已知点A （4，1），B （-2，7），P 是直线AB 是一点，且||2||AP PB =，求P 的坐标。
19. 已知：→a 、→b 、→c 是同一平面内的三个向量，其中→a =（1，2） （1）若|→c |=25，且→c ‖→a，求→c 的坐标（2）若|→b |=25，且→a +2→b 与2→a -→b 垂直，求→a 与→b 的夹角θ.20．已知向量33(cos,sin )22=x x a ,(cos ,sin )22=-x x b ,且x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及+a b ；（2）若()2λ=∙-+f x a b a b 的最小值为32-，求λ的值参考答案一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2.平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行3、向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a-=⇔模相等，方向相反4、两个非零向量a 、的夹角：做=a ；=b ；AOB ∠叫做a 与b的夹角。
5、坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=ay x +，则()y x ,叫做的坐标。
6.向量a 在b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ为a 在b 方向上的投影三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e 与2e 不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+。
2、向量的模：a＝22y x +；非零向量a 与b 的夹角：=θcos 222221212121y x y x y y x x +++=3、向量平行：a ∥b⇔b a λ=⇔1221y x y x =； 向量垂直：a ⊥b ⇔0=⋅⇔02121=+y y x x4、中点坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ；四、复习题1、2；2、（1）0； （2）PM ； （3）0； （4）AC ；3、B ；4、［4，16］；5、10；6、C ；7、1255e e +；8、(2，-1)；9、(4，2)； 10、2； 11、120°； 12、A ； 13、503λλ>-≠且； 14、A 15、（1）设P （x ，y ），则（x,y ）=(3t+1,3t+2)23t =-时，P 在x 轴上；13t =-时，P 在y 轴上；当P 在第二象限时，3102132033t t t +<⎧⇒-<<-⎨+>⎩（2）若四边形OABP 为平行四边形，则(3,3)OP AB ==,又t +=，即（3,3）=(3t+1,3t+2)，3231t t =⎧∴⎨=⎩，矛盾；所以四边形OABP 不能为平行四边形16、(6,1),(,),(2,3)(6,1),(4,2),(2,3)(6)(2)(1)(3)0//(4)(2)026,13AB BC x y CD AC x y AD x y BD x y AC BD x x y y AD BC x y x y x x y y −−→===--∴=++=+-=--⊥⇒+-++-=⇒+--===-⎧⎧∴⎨⎨=-=⎩⎩或17、a 1a 21111111a a ()2323633//AB AD bMC MB BC bMN MB BN BD b a a b MC MC MNM M N C ===+=+=+=+=+-=+=∴∴设，又有公共点，、、三点共线18、P(0,5)或P(－8，13)19. （1）设→c =（x ，y ），则|→c |=25，又→c ‖→a ，则2x=y2244c 24c 24x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩∴==或（，）或（-，-）（2）→a +2→b 与2→a -→b 垂直22(2)(2)2320a b a b a a b b ∴+-=+-=∵|→b |=25，a →=52a b ∴=-5cos 1θ-∴==- ∴→a 与→b 的夹角θ为135°20． （1）a b ∴=cos 2x ，a b +=2cos x（2）λ=12。
