精品】高二数学 8.2椭圆的几何性质(第一课时)大纲人教版必修

8.2 椭圆的简单几何性质一、 本章主要内容8.2 椭圆的简单几何性质 课本第97页至第103页 二、 本讲主要内容1、椭圆的第二定义（圆锥曲线的统一定义）；2、椭圆的简单几何性质；3、椭圆的参数方程。

三、 学习指导1、根据曲线的条件求出其对应的方程，根据曲线的方程特征研究它的几何性质，是解析几何的基本问题。

前者是手段，后者是目的。

本节的椭圆方程是在以椭圆两个焦点的中点为原点，以对称轴所在直线为坐标轴这个坐标系下推导出来的。

2、两个定义的统一性。

教材P.100例4是椭圆的第二定义（它同时又是圆锥曲线的统一定义），它与第一定义是统一的。

联系如下：教材第93页自上而下第七行为： 222y )c x (a cx a +-=- 接下来作如下整理： 22y )c x (x aca +-=-∴ 222y )c x ()x ca (a c +-=- ∴ac x ca y )c x (222=-+- 22y )c x (+-表示动点M 与右焦点F 2的距离x c a 2-表示直线ca x 2=到点M 的距离 图见课本第100页例4图，用文字语言表述，即为第二定义当涉及到椭圆上的点到焦点距离时，通常用第一或第二定义去转化，降低运算量。

利用第二定义可得焦半径（焦点与椭圆上点连线长度）：设椭圆上点P 坐标为（x 0,y 0） 当焦点在x 轴上时，左焦半径r=a+ex 0 右焦半径r=a-ex 0 当焦点在y 轴上时，上焦半径r=a+ey 0 下焦半径r=a-ey 0注：当点P 为长轴端点时，焦半径分别取得最大和最小值 4、椭圆的性质 （1）几何性质：①位置关系：中心是两焦点、顶点的中点，两准线关于中心对称；焦点在长轴上；长轴与准线垂直；对称性（具有轴对称和中心对称）②数量关系：主要是距离的不变性。

两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为2c ，2a ，2b ；两准线之间距离为c a 22⋅；焦点到对应准线距离（焦准距cb p 2=等等）③离心率：ace =，0<e<1 ④基本图形：中心、短轴顶点、焦点构成直角三角形，三边关系满足a 2=b 2+c 2（2）解析性质与坐标系的选取有关。

8.2 椭圆的简单几何性质课时安排5课时从容说课本节主要是通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质，而这种依据曲线的方法去讨论曲线的几何性质是学习解析几何以来的第一次，因此在教学中，不仅要注意对研究结果的理解和应用，而且应注意对研究方法的学习.由于学生己对由函数的解析式研究函数的性质或其图象的特点比较熟悉，所以在学习由椭圆的标准方程研究椭圆的范围、对称性、顶点时，可将两者进行对比，如在讲解椭圆的范围时，除课本上的方法外，提醒学生也可将椭圆标准方程12222=+by a x （a>b>0）化成y=±22x a a b -将对椭圆的范围讨论转化为对两个函数y=22x a ab -与y=-22x a ab -的定义域和值域的讨论，帮助学生体会解析几何中用代数方法研究曲线性质的过程.椭圆的离心率、准线方程与椭圆的关系是学生学习的难点，教学中应强调：椭圆的离心率（e =ac ）是表示椭圆扁平程度的量；椭圆的准线是用它和相应的焦点、离心率描述椭圆时得到的概念；由椭圆的对称性，相应于焦点F 1（-c,0）的准线方程是x=-ca 2，相应于焦点F 2（c,0）的准线方程是x=c a 2.椭圆的参数方程，是表示椭圆的又一种方程，它是相对于直接给出曲线上动点的坐标x、y的关系的普通方程而言的，是一种通过第三个变量ф，间接表示x、y之间的关系的形式，教案例7将距离最值问题通过椭圆的参数方程转化为三角函数最值问题，旨在让学生体会椭圆参数方程的巧妙应用.直线与椭圆的位置关系是本节的又一难点知识，教学中，应从直线和椭圆的公共点出发，将直线方程与椭圆方程联立成二元二次方程，消元得到一元二次方程，再运用一元二次方程的判别式及求根公式等知识处理有关问题，提醒学生对其中数形结合思想运用的理解.●课题§8.2.1 椭圆的简单几何性质（一）●教学目标（一）教学知识点椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点（截距）.（二）能力训练要求1.使学生了解并掌握椭圆的范围.2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a、b、c的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距.4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义.（三）德育渗透目标使学生充分认识到数与形的联系，体会数与形的辩证统一.●教学重点椭圆的简单几何性质.●教学难点椭圆的简单几何性质.（这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）●教具准备投影片两张第一张：P97图8—6（记作§8.2.1 A）第二张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.（记作§8.2.1 B）●教学方法师生共同讨论法.通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程已三个课时了，那么，研究讨论它的方程有什么意义呢？研究方程就是想进一步认识这种曲线的几何特征.（板书课题）Ⅱ.讲授新课［师］研究曲线的几何特征有什么意义？［生］（通过预习，学生大部分已清楚了）.研究曲线的几何性质可以从整体上把握曲线的形状.大小和位置.［师］怎样来研究曲线的几何特征呢？在解析几何里，是通过对曲线的方程的讨论来研究曲线的几何特征的.［师］我们对椭圆的标准方程.12222=+by a x (a ＞b ＞0)进行讨论. 1.范围：［师］能从椭圆的标准方程中找出椭圆的范围吗？[生]方程中两个非负数的和等于1，所以，椭圆上点的坐标（x ,y ）适合不等式：22a x ≤1, 22bx ≤1 即：x 2≤a 2,y 2≤b 2∴|x |≤a ,|y |≤b这说明椭圆位于直线x =±a ,y =±b 所围成的矩形里.[师]很好！请大家思考：对函数性质的研究常常是根据函数的解析来讨论的，能否从函数的思想出发，对椭圆的范围进行分析呢？[生]（师点拨、提示）椭圆的标准方程可化为两个函数y=22x a a b -、y=-22x a ab -，对它们的定义域、值域分别进行讨论可得-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b,即椭圆位于直线x=±a,y=±b 所围成的矩形里.[师]将由函数的解析式研究函数的性质与由椭圆的方程研究椭圆的性质结合起来学习，有助于我们理解知识与知识之间的本质联系，对我们的进一步学习是大有益处的.2.对称性：［师］在曲线的方程里，我们讨论过对称性，如果以-y代y方程不变，那么当点P（x,y）在曲线上时，它关于x轴的对称点P′(x,-y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，如果以-x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称，如果同时以-x代x，以-y代y方程不变，那么曲线关于原点对称.［师］我们来看椭圆的标准方程，以-x代x，或以-y代y或同时以-x代x,-y代y，方程怎样改变？［生］没有改变.［师］所以椭圆关于x轴、y轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.（板书）［师］请同学们注意：标准方程表示的椭圆，它的对称轴是坐标轴、中心是原点，那么能不能说椭圆的对称轴是坐标轴，椭圆的对称中心是原点呢？［生］不能说椭圆的对称轴是坐标轴，中心是原点.［师］既然不能这样说，那么椭圆是否就没有对称轴，没有中心了呢？［生］无论椭圆在什么位置，它都有互相垂直的两条对称轴，都有中心，椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程不是标准方程.［师］椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程是怎样的？［生］（回答不上来）［师］关于这个问题随着我们以后的不断深入学习大家会搞清楚的.（此课时不必研究）［师］现在我们应该明白的是：标准方程表示的椭圆，其中心是原点，对称轴是坐标轴，反过来，对称轴是坐标轴的椭圆，其方程是标准方程.3.顶点：［师］研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置，要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.同学们看一下，标准方程所表示的椭圆与x轴、y轴的交点坐标是怎样的.［生］在椭圆的标准方程里，令x=0得y=±b,所以得到：（0,b）、（0,-b）是椭圆与y轴的两个交点，同理令y=0，得x=±a，可得（a,0）、(-a,0)是椭圆与x轴的两个交点.［师］因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点，即椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.（板书）［师］线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a 和2b ,其中a 和b 分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.（板书）［师］观察图8—6（打出投影片§8.2.1 A ）由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即|B 1F 1|=|B 2F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 2|=a在Rt △OB 2F 2中|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2即c 2=a 2-b 2这就是在第8.1节中令a 2-c 2=b 2的几何意义.至此，a 、b 、c 三者都有了几何意义，它们分别是长半轴长、短半轴长、半焦距.4.离心率［师］椭圆的离心率是怎样定义的？［生］椭圆的焦距与长轴长的比ac a c =22=e ,叫做椭圆的离心率.（板书）［师］椭圆离心率e 的范围是怎样的？［生］因为a ＞c ＞0,所以0＜e ＜1［师］非常正确，e 既然在（0，1）变化，e 的变化又对椭圆有什么影响呢？［生］e 越接近于1，则c 就越接近于a ,从而b =22c a -越小，椭圆就越扁，反之，e 越接近于0，则c 就越接近于0，从而b 就越接近于a，椭圆就越接近于圆.［师］当且仅当a=b时，即c=0，两个焦点重合，这时图形变为圆，它的方程为：x2+y2=a2因此有些书把圆可以看作是椭圆的特例，它是离心率为0的椭圆，在我们的教材中，把圆单独作为一部分来研究.将圆与椭圆作为两种不同的曲线来讨论，所以椭圆的离心率为0＜e＜1.［师］下面同学们自己来看例1.（给学生几分钟时间）［师］根据椭圆方程求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标时，首先应该做些什么？［生］首先应将椭圆的方程化成标准方程.［师］前面大家已预习椭圆的草图画法了，那么请大家谈一下画椭圆草图有几个步骤？应该注意些什么？［生］三个步骤：①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边画矩形.②由矩形的四边中点即可得椭圆的四个顶点.③用光滑曲线将四个顶点连成一个椭圆.在画图时应注意图形的对称性及顶点附近的平滑性.Ⅲ.课堂练习对于椭圆的两种标准方程，请同学们列表整理椭圆的简单几何性质.Ⅳ.课时小结本节课我们讨论了椭圆的四个简单几何性质，即范围、对称性、顶点、离心率，熟悉这些性质是我们解决计算问题、证明问题、轨迹。

备课资料一、椭圆简单几何性质的学习利用椭圆的方程去讨论椭圆的性质，这种利用曲线的方程研究曲线的性质的方法，我们还是第一次遇到，所以，在教学中我们不仅要注意对研究结果的掌握和运用，而且还要对学生进行这种研究方法的思想渗透.椭圆几何性质的简单应用［例1］已知椭圆mx 2+5y 2=5m 的离心率e =510，求m 的值.分析：依题意，只有m ＞0且m ≠5时，方程才表示椭圆，又不能确定焦点位置，应分类讨论.解：由已知可得椭圆方程为1522=+m y x (m ＞0且m ≠5)当焦点在x 轴上，即0＜m ＜5时，有a =m b =,5，则c =m -5，依题意得解得：m =3当焦点在y 轴上，即m ＞5时，有a =5,=b m ，则c =m -5，依题意得解得：m =325 评述：本题中曲线类型所隐含的条件：m ＞0且m ≠5，不能忽视.［例2］若椭圆15522=++m y x 的离心率是21，求m 的值.分析：比较此题与上一个题目（即例1）的相同点与不同点，m 所满足的条件是什么？焦点位置能确定吗？请读者试探索. ［例3］F 1、F 2为椭圆的两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PF 1⊥PQ 且|PF 1|=|PQ |，求椭圆的离心率.分析：利用椭圆的定义列出a 、b 、c 三者间的关系解：设|PF 1|=m ,则|PQ |=m ,|F 1Q |=2m 由椭圆定义得 |PF 1|+|PF 2|=|QF 1|+|QF 2|=2a∴|PF 1|+|PQ |+|F 1Q |=4a即（2+2）m =4a∴m =(4-22)a又|PF 2|=2a -m =(22-2)m在R t △PF 1F 2中，|PF 1|2+|PF 2|2=(2c )2即(22-2)a 2+(4-22)2a 2=4c 2∴22a c =9-62=3(2-1)2∴e =36-=a c二、曲线图形的画法在利用椭圆的方程研究了椭圆的性质，即范围、对称性、顶点、离心率，这些性质给我们作曲线的图形奠定了基础，同时也为我们作曲线的图形提供理论依据.［例4］作方程3y =229x -的图象. 分析：由原方程可变为： 9y 2=4(9-x 2)即14922=+y x ① ∵3y =229y -∴y ≥0, ②9-x 2≥0 ③ 由①②③得：14922=+y x (-3≤x ≤3,y ＞0) ∴方程所表示的图形应该是椭圆的上半部分，如上图. ［例5］作方程241y -=-x 的图象.分析：由原方程可知将原方程变形得x 2+1412=y (x ≤0,-21≤y ≤21) ∴方程所表示的图形应该是椭圆的左半部分.请读者自己作出以上方程所表示的图形.评述：曲线上的点的坐标是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点是曲线上的点，如果满足以上两条，我们说，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线，故由曲线的方程的定义可以知道，如果曲线C 的方程是f (x ,y )=0，那么点P （x 0,y 0）在曲线C 上的充要条件是f (x 0,y 0)=0,在作方程的曲线时，我们应该遵循以上原则.●备课资料一、熟练掌握椭圆“准线”这一性质1.教学椭圆的准线时，要注意些什么？答：（1）使学生弄清椭圆与它的两条准线的位置关系，两条准线垂直于椭圆的长轴所在的直线，椭圆夹在两条准线之间，两条准线关于椭圆的短轴所在的直线与椭圆中心对称.（2）使学生巧记准线方程，首先记住准线与椭圆中心的距离是c a 2，再根据准线的位置写出准线方程.（3）使学生掌握准线的性质，椭圆上任何一点到焦点距离与它到相应准线的距离之比等于离心率e ,且0＜e ＜1.(4)掌握焦点到相应准线的距离叫焦准距.记作p ，且p =c a 2-c =c b 2.2.准线的简单应用［例1］方程1)1(2222=-+m y m x 表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围.解：∵方程1)1(2222=-+m y m x 表示椭圆且准线平行于x 轴∴⎪⎩⎪⎨⎧>->->2222)1(0)1(0m m m m 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≠≠2110m m m∴所求实数m 的取值范围是(-∞,0)∪(0,21)评述：此题分析时一定要注意曲线本身所隐含的m 的范围，即m ≠0且m ≠1，若分析不周密，将会导致错误发生.［例2］已知椭圆两准线间距离等于这个椭圆的焦距的两倍，求椭圆的离心率.解：∵e =ac ∴±ea c a ±=2 ∴椭圆的两准线之间距离为e a 2 而焦距2c =2ae ∴由题意，得ea 2=4ae ∴e =22 评述：此题的求解过程仅是基本量之间的关系，与椭圆方程无关，因此没有必要再考虑，椭圆的方程是个什么样子了.［例3］若椭圆1522=+m y x 的准线方程是x =±225,求实数m 的取值范围，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小.解：∵方程1522=+my x 表示椭圆 ∴m ＞0∵椭圆准线方程为x =±225 ∴椭圆的焦点在x 轴上∴5＞m∴a 2=5,b 2=m ,c =m b a -=-522 ∴225552=-=m c a ∴m =3,焦点坐标是(±2,0).离心率是e =51052= 评述：此题既要定性地去思考椭圆焦点所在的坐标轴，又要定量地去确定其中的a 、b 、c 的值，另外，整个求解过程用到了方程思想确定m 的值.二、深化掌握椭圆标准方程的求法［例4］求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程是x =3,离心率为35的椭圆方程. 解：设椭圆方程为12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，根据已知有35=a c ① ∵c a 2=3 ②由①②联立解得a =5,c =35 ∴b 2=a 2-c 2=5-(35)2=920 ∴所求的椭圆方程为：评述：此题关键仍是两个过程，即实现“定位”与“定量”. ［例5］若椭圆对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为2-1，求椭圆的标准方程.分析：将已知转化成a 、b 、c 之间的关系.解：∵焦点到同侧长轴端点的距离为2-1∴a -c =2-1又∵焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点∴b =c ∴由⎪⎩⎪⎨⎧+==-=-22212cb ac b c a 得a =2,b =c =1 ∴所求方程为12122222=+=+x y y x 或 ［例6］求焦点F （0，52），截直线y =2x -1所得弦中点的横坐标是72的椭圆标准方程.分析：由焦点坐标可设出椭圆标准方程的形式，由于被直线所截得弦的中点坐标知道，可用中点坐标公式解题.解：设所求椭圆方程为12222=+b x a y (a ＞b ＞0)∴c =52,即a 2-b 2=50 ①将y =2x -1代入椭圆方程中得∴(4b 2+a 2)x 2-4b 2x +b 2(1-a 2)=0 ∵2222142722a b b x x +==+ ∴a 2=75，b 2=25 ∴所求椭圆方程为1257522=+x y 评述：本题的难点是如何将中点坐标、原点斜率知识重新组合起来，以上方法是一种常规解法，本题若能设出弦的两端点坐标代入椭圆方程中，两式相减即能找到中点坐标与直线斜率间的关系式子.解法如下：解：设所求椭圆为：12222=+bx a y (a ＞b ＞0) 再设直线被椭圆所截端点A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)由题意可得弦AB 中点坐标为(221x x + ，221y y + )且72221=+x x ,73221-=+y y 将A 、B 两点坐标代入椭圆方程中得 a 2x 12+b 2y 12=a 2b 2 ①a 2x 22+b 2y 22=a 2b 2 ②①-②得a 2(x 12-x 22)=-b 2(y 12-y 22)即2121212122x x y y x x y y ba ++⋅---= =-2·37273=- ③ 又c 2=a 2-b 2=50 ④由③④得a 2=75,b 2=25 故所求椭圆方程为1257522=+x y 评述：后一种解法给我们简洁方便的感觉，对交点采用了“设而不求”的方法，这是解决解析几何中与弦中点坐标，弦所在直线斜率有关的问题常用的解法技巧.三、椭圆比值定义（第二定义）的应用［例7］椭圆的方程为16410022=+y x 上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P 到它的右焦点的距离.解：∵a 2=100,b 2=6∴c =66410022=-=-b a∴e =a c =53106= 依椭圆第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为x ，则5310=x ∴x =6∴点P 到椭圆右焦点距离为2×10-6=14评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在教学中的重要训练对象.［例8］已知定点A （-2，3），点F 为椭圆1121622=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求|MA |+2|FM |的最小值，并求出此时点M 的坐标.分析：设M （x ,y ），则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+-++=+11216)2(2)3()2(2222222y x y x y x FM MA 由②可将y 用x 表示出来，将其代入①，则式子|MA |+2|FM |可转化成一个关于x 的一元函数，再求其最小值.以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.解：∵a =4,b =23,c =2∴e =21 右焦点F （2，0），右准线方程l :x =8设点M 到右准线l 的距离为d ，则21==e d FM得2|MF |=d∴|MA |+2|MF |=|MA |+d由于点A 在椭圆内，过A 作A K ⊥l ，K 为垂足，易证|A K|为|MA |+d 的最小值，其值为8+2=10∵M 点的纵坐标为3，得横坐标为23 ① ②∴|MA |+|2MF |的最小值为10，点M 的坐标为（23，3） 评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义.［例9］设P （x 0,y 0）是离心率为e 的椭圆，方程为12222=+by a x 上的一点，P到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1和r 2.求证：r 1=a +ex 0,r 2=a -ex 0证明：由椭圆第二定义，得 ∴|PF 1|=eca x 20+=e )(20ca x +∴|PF 1|=a +ex 0 又e ca x PF =-202∴|PF 2|=ec a x 20-=e )(20ca x -∴|PF 2|=a -ex 0注意：|PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=a -ex 0，称为(x 0,y 0)点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.［例10］已知椭圆1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为30°的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.解法一：∵a =3,b =1,c =22 ∴F (-22,0) ∴直线方程为y =)22(31+x与1922=+y x 联立消元，得4x 2+122x +15=0 ①设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)则依韦达定理，得x 1+x 2=-32,x 1x 2=415 ∴|AB |=21221214)(32311x x x x x x -+=-+∴|AB |=2解法二：由于所求线段AB 是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：|AB |=|AF |+|BF |=2a +e (x 1+x 2)=2评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.●备课资料一、椭圆参数方程的深入探究1.教学椭圆的参数方程时，要注意些什么？答：①使学生弄清椭圆参数方程的来源，明确椭圆的参数方程，是表示椭圆的又一种方程，它是相对于直接给出曲线上动点的坐标x ,y 的关系的普通方程而言的，是一种通过第三个量中间接表示x ,y 之间关系的形式.②熟练掌握椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 与标准方程的关系，做到互化并灵活应用.2.椭圆的参数方程在证明问题中的应用 ［例1］设A （x 1,y 1）为椭圆1222=+y x 上一点，过A 作一条斜率为-112y x 的直线l ，又设d 为原点到直线l 的距离，r 1,r 2分别是A点到椭圆两焦点的距离，求证：21r r ⋅·d 为常数.分析：可利用椭圆参数方程. 证明：设椭圆参数方程为：⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x (θ为参数) ∵A (x 1,y 1)在椭圆上∴⎩⎨⎧==1111sin cos 2θθy x∴直线l 的方程为：2cos θ1·x +2sin θ1·y -2=0∴d =121212cos 22sin 4cos 22θθθ-=+∴2cos 22cos 2121221=-⋅-=⋅⋅θθd r r (常数)∴得证注意：由于本题涉及到椭圆上一点到焦点的距离问题，所以可使用“焦半径”公式进行推理和运算，请读者自行完成.［例2］AB 是椭圆2222by a x +=1的任意一条弦，P 为AB 的中点，O为椭圆的中心.求证：k AB ·k OP 为定值.证明：设A 、B 两点坐标分别为(a cos θ,b sin θ)(a cos φ,b sinφ)∵P (x ,y )是AB 的中点 ∴x =2a(cos θ+cos φ)y =2b (sin θ+sin φ)∴k AB =)cos (cos )sin (sin ϕθϕθ--a bk OP =)cos (cos )sin (sin ϕθϕθ++a b∴k AB ·k OP =)cos (cos )sin (sin 222222ϕθϕθ--a b ∵sin 2θ-sin 2φ=1-cos 2θ-1+cos 2φ=-(cos 2θ-cos 2φ)∴k AB ·k OP =-22ab3.椭圆的参数方程在与椭圆有关的最值问题中的应用. ［例3］若实数x ,y满足251622y x +=1，试求：v =y -3x的最大值.解：设椭圆上一点的坐标为(4cos θ,5sin θ)，则v =y -3x =5sin θ-12cos θ=13sin(θ－φ)(arctan 512=φ)∴当θ=2π+φ时，v max =13.评述：(1)本题是利用椭圆的参数方程设出动点坐标，再运用三角函数式的变换，通过讨论三角函数式的最值而得解的.(2)以上方法让我们体会到了巧用椭圆参数方程所带给我们的简单和明快.［例4］已知x ,y 满足1422=+y x ，求f (x ,y )=x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值.解：将224y x +=1转化成参数方程即⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x∴f (x ,y ) =(x 2+4y 2)+(2xy +x +2y ) =4+(2·2cos θsin θ+2cos θ+2sin θ) =4cos θsin θ+2(cos θ+sin θ)+4 令t=cos θ+sin θ 则2sin θcos θ=t 2-1∴f (x ,y )=2(t 2-1)=2t +4=2(t 2+t +1) ∵t =cos θ+sin θ=2sin(θ+4π)≤2 ∴f (x ,y )有最大值为: 2［(2)2+2+1］=2(3+2)评述：运用椭圆的参数方程于求最值问题中，其解法的巧妙简单令人陶醉，数学中一定要注重培养学生的技巧能力.二、椭圆中最大值、最小值问题的常用方法解决与椭圆有关的最值问题除可利用椭圆的参数方程外，以下几种方法也是常用的.［例5］已知x ,y ∈R ,且x ,y 满足方程x 2+4y 2=1，试求f (x ,y )=3x +4y 的最大值、最小值.分析：将所求f (x ,y )=3x +4y 经过令z =f (x ,y )变形为y =443z x +-，而4z是直线在y 轴上的截距，再根据A (x ,y )是x 2+4y 2=1上的点，故可采用判别式法去解决.解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1444322y x z x y①代入②中，得 13x 2-6zx +z 2-4=0∴Δ=36z 2-4×13(z 2-4)≥0 ∴-13≤z ≤13∴3x +4y 的最大值为13，最小值为-13.注意：直线-3x ±13=4y 是椭圆的斜率为-43的两条切线. ［例6］已知椭圆x 2+2y 2=98及点P （0，5），求点P 到椭圆距离的最大值与最小值.分析：以（0，5）为圆心，内切于椭圆的圆半径为r 1，即点P 到椭圆的最小值，以（0，5）为圆心外切于椭圆的圆的半径为r 2,即点P 到椭圆的最大值.解：∵02+2×52＜98 ∴点（0，5）在椭圆内部设以（0，5）为圆心和椭圆相切圆的方程为：x 2+(y -5)2=r 2 ①① ②将椭圆方程x 2+2y 2=98代入①中，得r 2=-(y +5)2+148(-7≤y ≤7)∴当y =-5时，r max 2=148 即：r max =237 当y =7时，r min 2=4， 即r min =2注意：本题的解法称为辅助圆法.●备课资料 参考练习题1.设0≤a ＜２π,若方程x 2sin a -y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 （ ）A.(6π, 4π)B.(4π, π43)C.(2π,43π) D.(43π,π)答案：C 2.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)，与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆 （ ） A.有等长的短轴、长轴 B.有共同的焦点 C.有公共的准线 D.有相同的离心率 答案：D3.中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于58，则此椭圆的方程是（ ）A.13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.192522=+y x答案：C4.若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )A.-16＜m ＜25B.29＜m ＜25 C.-16＜m ＜29 D.m ＞29 答案：B5.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0,)(0,2)，则此椭圆的方程是 （ ）A.116422=+y x 或141622=+y xB.116422=+y xC.141622=+y xD.1201622=+y x答案：C6.若椭圆2kx 2+ky 2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k 的值是 （ ）A.-81 B.81 C.-321D.321 答案：D7.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份，则椭圆的离心率等于（ ）A.3B.23 C.33D.43 答案：C8.中心在原点，长轴长是短轴长的2倍，一条准线方程是x =4，则此椭圆的方程是（ ）A.131222=+y xB.1422=+y xC.1422=+y x D.112322=+y x答案：A9.椭圆19822=++y k x 的离心率e =[S X()1[]2[S X]]，则k 的值等于（ ）A.4B.-45 C.4或-45 D.-4或45 答案：C10.椭圆的焦点F 1（0，6），中心到准线的距离等于10，则此椭圆的标准方程是______.答案：1602422=+y x11.动点P 到定点F （2，0）的距离与到定直线x =8的距离比是1∶2，则此点P 的轨迹方程是______.答案：1121622=+y x12.椭圆的短轴长等于2，长轴与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是______.答案：14142222=+=+x y y x 或3.椭圆的一个顶点和一个焦点在直线x +3y -6=0上，则此椭圆的标准方程是______.答案：144022=+y x 或1364022=+y x14.椭圆的准线方程是y =±18,椭圆上一点到两焦点的距离分别是10和14，则椭圆的标准方程是______.答案：11448022=+y x 15.椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间距离等于36，椭圆上一点到两焦点的距离分别是9，15时，则此椭圆的方程是______.答案：18014422=+y x 或11448022=+y x 16.直线y =x +k与椭圆14522=+y x 相交于不同两点，则实数k 的取值范围是______.答案：k ∈(-3,3)17.设椭圆⎩⎨⎧==ααsin 32cos 4y x (a 为参数)上一点P 与x 轴正向所成角∠POx =3π，则点P 的坐标是______.答案：（5154,554）18.设AB是过椭圆14522=+y x 的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为4π,则AB 的弦长是 .答案：5916备课资料 参考练习题1．已知椭圆2222by a x +=1(a>O,b>0)的离心率e =36，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为23．(1)求椭圆方程．(2)已知定点E(-1,0)，若直线y=kx+2(k ≠O)与椭圆交于C 、D 两点，试判断：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过点E?若存在，求出这个值；若不存在．说明理由．解：(1)e =,3622=-=a b a ac， ∴.96222=-ab a即a 2=3b 2,过A （0，-b ）,B(a,0)的直线为把a=3b 代入，即x-3y-3b=0．由已知，得 解得b=1． ∴a=3．∴所求方程为等.1322=+y x ．(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)．解⎪⎩⎪⎨⎧+==+,2,1322kx y y x消去y ，得(1+3k 2)x 2+12kx+9=O ． 必须l+3k 2≠O 且△>O ， 即(12k)2-36(1+3k 2)>0．∴k<-1或k>1． ①要存在k 的值使以CD 为直径的圆过点E ．即要使CE ⊥DE ，即要使k 满足①且使,1112211-=+•+x yx y 即要使x l x 2+x l +x 2+1+y l y 2=O ． ② ∵y l =kx 1+2，y 2=kx 2+2，∴②式即(1+k 2)x l x 2+(2k+1)(x l +x 2)+5=0． ③ ∵x 1+x 2=,319,31122212k x x k k +=+- 代入③得9k 2+9-24k 2-12k+5+15k 2=0， ∴k=67.又∵k=67满足①.∴存在k 的值使以CD 为直径的圆过E 点，这个k 值是67. 2．试问：当且仅当a,b 满足什么条件时，对椭圆C 1：2222by a x +=1(a>b>O)上任意一点P ，均存在以P 为顶点与圆C 0:x 2+y 2=1外切且与C 1内接的平行四边形？证明你的结论.(提示：“当且仅当”型的条件探索问题，是要寻找充要条件，因此要分别证明必要性 和充分性)解：如图所示，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心，所求条件为.11122=+ba 必要性的证明：设椭圆C 1上任意一点P(r 1cos θ，r 1sin θ)，所以有Q(r 2cos(θ+2π)，r 2sin(θ+2π))，其中|OP|=r 1,|OQ|=r 2,代入椭圆方程中，得又菱形PQRS 与单位圆C 0外切，所以Rt△POQ 斜边PQ 上的高h=1．而 h=充分性的证明：设11122=+b a ,P 是椭圆C l 上任意一点，过P 、O作C 1的弦PR,再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为椭圆C 1的内接菱形．设|OP|=r 1，|OQ|=r 2，则P 的坐标为(r 1cos θ，r 1sin θ)，Q 的坐标为(r 2cos(θ+2π)，r 2sin(θ+2π)),代入椭圆方程，得又在Rt △POQ 中，斜边PQ 上的高h=1,则h=22||||||||OQ OP OQ OP +•=.11122222121b a r r r r +=+∴.11122=+b a 同理，点O 到QR ，RS ，SP 的距离都是1，所以菱形PQRS 与单位圆C 0外切．。