珠海市2016届第一学期期末高三学生学业质量监测(理数参考答案)

珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ＤＤＣＣＢ　ＤＡＢＢＡ　ＣＣ1． 已知集合,,则（ ）ＤA. B. C. D.2． 已知复数，，则复数在复平面内对应的点位于（ ）ＤA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3． 若,满足不等式组，则的最大值是（ ）ＣA. B. C. D.4．已知，且，则与的夹角为（ ）ＣA. B. C. D.5． 当时,函数的（ ）ＢA．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是C．最大值是，最小值是 D．最大值是，最小值是6． 函数的单调增区间是（ ）ＤA. B.C. D.7．已知函数在点的切线与直线垂直,则（ ）ＡA． B． C． D．8． 已知的部分图象如图所示，则（ ）ＢA. B. C. D.9．执行如右下图的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）Ｂ否（第9题图）开始结束输入是输出A． B． C． D．（第10题图）俯视图左视图正视图10．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（ ）ＡA． B． C． D．11．若，且，设函数,若不等式的解集是，则的取值范围是（ ）ＣA. B. C. D.12．若偶函数的图像关于对称，且当时，，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）ＣA. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列的前项和为,且,则 ．14．由数字组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为 ．15．已知双曲线的半焦距为，直线过,两点，若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为 ．16．展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多，则展开式中的中间项是 ．三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 已知等差数列的前项和为,公差，.（1）求；（2）若,求数列的前项和为．解(1) ,，……………………………………………………2分,即………………………………………………………………………3分所以……………………………………………………………………………4分(2) ………………………………7分……………10分即……………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分） 某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示；(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；306010次数123人数(2)从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数的和，求的分布列.（结果用最简分数）解：（1）由题意得：……………………… 2分∴ 合唱团学生参加活动的人均次数为…………………………… 3分（2）由题意得的所有可能取值为…………………………………………………………… 5分，，，，，………………………………………………………………………………10分∴的分布列为：…………………………………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分） 已知如图：四边形是矩形，平面,且,点为上一点，且平面.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.解：（1）证明:连接交于，连结，是矩形为的中点…………………………………… 1分由平面得：由知：点为中点 (2)分∴为的中位线∴……………………………………………………………………………………3分∵ 平面；平面；∴ 平面；………………………………………………………………………… 4分（2）由平面得：；由平面得: ，；∴平面，则………………………………………………………… 6分在中，同理可得：,；……………………………………… 8分∵∴ 取中点，连结，,则,且,………………………………………………… 10分∴即为二面角的平面角；在中，；∴ 二面角的余弦值为.………………………………………………………………… 12分20．（本小题满分12分） 已知动圆过定点,且与定直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹曲线的方程；（2）若点是直线上的动点，过点作曲线的切线，切点记为，求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹是以点为焦点，以定直线为准线的抛物线；………………………………………………………………………………………………2分设∵ 点到准线的距离为,∴ 圆心的轨迹的方程为………………………………………………………………………… 4分(2) ∵,∴设切点的坐标分别为,,则,则过点的切线方程为，即，即过点的切线方程为，即，即∵过点的切线都过点∴，∴点,都在直线上∴直线的方程为，即…………………………………………………6分又因为点是直线上的动点,所以∴直线的方程为,即∴直线恒过定点…………………………………………………………………………………8分联立得到又因为点是直线上的动点,所以,即…①则是①的二根∴,∴ (10)分点到直线的距离是:…………………………………………………11分∴即面积的最小值是…………………………………………12分21．（本小题满分12分） 已知函数.（1）若，证明:；（2）讨论函数零点的个数.解(1) 证明:当时,列表:递增递减,即………………………………………………………………………………2分(2) (3)分讨论: 当时,由第(1)问可得函数没有零点;……………………………………………4分当,即时,令得,或,即函数的增区间为,令得,即函数的减区间为而, 因为函数的减区间为,所以又函数的增区间为,所以当时,所以当时, ，时，所以函数在区间没有零点,在区间有一个零点………………………………………6分当,即时,恒成立即函数在上递增而，时，所以函数在区间有一个零点……………………………………………………………………8分当,即时,令得,或,即函数的增区间为,令得,即函数的减区间为因为,所以，又时，根据函数单调性可得函数在区间没有零点,在区间有一个零点……………………10分当,即时,令得,即函数的增区间为令得,即函数的减区间为时，时，而当即时, 函数有两个零点;当即时, 函数有一个零点;当即时, 函数没有零点. ………………………………………11分综上，时, 函数有两个零点;时, 函数有一个零点;时, 函数没有零点；时, 函数有一个零点；………………………………………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过作直线于．(1)证明：；(2)为线段上一点，直线且交圆于点，过点的切线交直线于.证明：．证明：（1）由是圆的切线知:…………………………………………………………2分又∵；∴ 在中，由射影定理知：……………………………………………………4分（2）证明：由是圆的切线知：．同（1）……………………………6分由得：………………………………………………………………………7分即: ．又，则…………………………………………9分∴ ． (10)分(用四点共圆来证明也得分)23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线:，动圆：．(1)求，的直角坐标方程；(2)若射线与动圆相交于与两点，求的取值范围.解(1) ,所以的直角坐标方程为…………………………………………………………2分,所以的直角坐标方程.…………………………2分(2) 联立关于的一元二次方程在内有两个实根…………………………6分即,……………………………………………………………………………………8分得,即…………………………………………………………………10分(用数形结合法解出也给分)24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知不等式．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式在区间内无解，求实数的取值范围.解： (1)由题意得：，即：……………………………………………1分∴，即：……………………………………………………………3分解得：或；∴不等式的解集为……………………………………………………………………5分(2)设,则:, ……………………………7分其图像如图示：则的最大值为……………………8分∵ 不等式在区间无解，∴实数的取值范围为…………………………………………10分。

2016-2017学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）1．（5.00分）已知集合A={1，3，5}，B={1，m}，A∩B={1，m}，则m等于（）A．1 或3 B．3 或5 C．1 或5 D．1 或3 或52．（5.00分）函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，4）B．（2，4） C．（0，2）∪（2，4）D．（﹣∞，2）∪（2，4）3．（5.00分）直线l1：（a﹣1）x+y+3=0，直线l2：2x+ay+1=0，若l1∥l2，则a=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1，2 D．不存在4．（5.00分）a=log20.7，b=（），c=（）﹣3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c5．（5.00分）直线l：x+y+a=0与圆C：x2+y2=3截得的弦长为，则a=（）A．B．C．±3 D．6．（5.00分）指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数图象过点（9，2），则a=（）A．3 B．2 C．9 D．47．（5.00分）空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A．若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB．若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC．若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥b D．若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b 8．（5.00分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）9．（5.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD 中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角为（）A．30°B．60°C．45°D．90°10．（5.00分）关于x 的函数y=a x，y=log a x，其中a＞0，a≠1，在第一象限内的图象只可能是（）A．B． C． D．11．（5.00分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f （x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5.00分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y= B．y=2x C．y=2x D．y=x2二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共40分）13．（4.00分）x2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标是，半径是．14．（4.00分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的表面积为．15．（4.00分）圆C：（x﹣1）2+y 2=1 关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为．16．（4.00分）函数f（x）=（m2﹣1）x m是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．17．（4.00分）正方体的棱长是2，则其外接球的体积是．18．（4.00分），则的解集是．19．（4.00分）ABC 是边长为6的等边三角形，P 为空间一点，PA=PB=PC，P到平面ABC距离为，则PA与平面ABC 所成角的正弦值为．20．（4.00分）设y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=2﹣x，则f（3）=．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10.00分）求值：．22．（12.00分）一直线l 过直线l1：2x﹣y=1 和直线l2：x+2y=3 的交点P，且与直线l3：x﹣y+1=0 垂直．（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，求a．23．（12.00分）已知x满足．（1）求x 的取值范围；（2）求函数的值域．24．（12.00分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G 分别为AB、BB1、B1C1的中点．（1）求证：A1D⊥FG；（2）求二面角A1﹣DE﹣A 的正切值．25．（12.00分）定义域为R的奇函数f（x）=，其中h（x）是指数函数，且h（2）=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）的解集．2016-2017学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）1．（5.00分）已知集合A={1，3，5}，B={1，m}，A∩B={1，m}，则m等于（）A．1 或3 B．3 或5 C．1 或5 D．1 或3 或5【解答】解：∵集合A={1，3，5}，B={1，m}，A∩B={1，m}，∴由交集性质得m=3或m=5．故选：B．2．（5.00分）函数f（x）=的定义域是（）A．（﹣∞，4）B．（2，4） C．（0，2）∪（2，4）D．（﹣∞，2）∪（2，4）【解答】解：由，解得x＜4且x≠2．∴函数f（x）=的定义域是（﹣∞，2）∪（2，4）．故选：D．3．（5.00分）直线l1：（a﹣1）x+y+3=0，直线l2：2x+ay+1=0，若l1∥l2，则a=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1，2 D．不存在【解答】解：∵l1∥l2，∴，解得a=﹣1，2．故选：C．4．（5.00分）a=log20.7，b=（），c=（）﹣3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c【解答】解：a=log20.7＜0，0＜b=（）＜1，c=（）﹣3＞1，故c＞b＞a，故选：A．5．（5.00分）直线l：x+y+a=0与圆C：x2+y2=3截得的弦长为，则a=（）A．B．C．±3 D．【解答】解：∵直线l：x+y+a=0与圆C：x2+y2=3截得的弦长为，∴圆心（0，0）到直线x+y+a=0的距离为：=，即=，解得：a=，故选：D．6．（5.00分）指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数图象过点（9，2），则a=（）A．3 B．2 C．9 D．4【解答】解：指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数图象过点（9，2），根据反函数的值域是原函数的定义域，可知：指数函数图象过点（2，9），可得，9=a2，解得：a=3故选：A．7．（5.00分）空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A．若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB．若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC．若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥b D．若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b【解答】解：对于A，B，若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b、β的位置关系不确定；对于C，若α⊥β，a∥α，b∥β，则a、b的位置关系不确定；对于D，若α∥β，a⊥α，则a⊥β，∵b⊂β，∴a⊥b，正确．故选：D．8．（5.00分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）【解答】解：函数是单调增函数，也连续函数，因为f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，可得f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在区间为（2，3）．故选：C．9．（5.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD 中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角为（）A．30°B．60°C．45°D．90°【解答】解：根据条件知，P点在底面ABCD的射影为O，连接AC，BD，PO，则OB，OC，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：设棱长为2，则：O（0，0，0），C（0，，0），PP（0，0，），E（0，，A（0，﹣，0），B（，0，0），D（﹣，0，0）∴，，∴∴OE与PD所成角为60°．故选：B．10．（5.00分）关于x 的函数y=a x，y=log a x，其中a＞0，a≠1，在第一象限内的图象只可能是（）A．B． C． D．【解答】解：令a=2，则函数y=a x，y=log a x，化为：函数y=2x，y=log2x，三个函数的图象没有满足的图象；当a=时，函数y=a x，y=log a x，化为函数y=（）x，y=log x，分别为减函数、减函数，只有图象B满足题意．故选：B．11．（5.00分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f （x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据条件，f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）；∴由f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1①得，f（﹣x）﹣g（﹣x）=x2+x+1=f（x）+g（x）；即f（x）+g（x）=x2+x+1②；①+②得，2f（x）=2（x2+1）；∴f（x）=x2+1；∴f（1）=2．故选：B．12．（5.00分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y= B．y=2x C．y=2x D．y=x2【解答】解：函数f（x）=|log2x|的图象如下图所示：若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则b＜1＜a，且log2b=﹣log2a，即ab=1，故图象必定经过点（a，2b）的函数为y=，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共40分）13．（4.00分）x2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标是（1，﹣2），半径是．【解答】解：由方程x2+y2﹣2x+4y=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心坐标为（1，﹣2），半径为．故答案为：（1，﹣2），．14．（4.00分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的表面积为4．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积为：1×1﹣=1﹣，底面周长为：1+1+，柱体的高为1，故该几何体的表面积S=2×（1﹣）+（1+1+）×1=4，故答案为：4．15．（4.00分）圆C：（x﹣1）2+y 2=1 关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为（x+1）2+y2=1．【解答】解：∵圆C：（x﹣1）2+y 2=1的圆心为原点（1，0），半径为1，∴已知圆关于直线l：x=0对称的圆半径为1，圆心为（﹣1，0），因此，所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=1．故答案为：（x+1）2+y2=1．16．（4.00分）函数f（x）=（m2﹣1）x m是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．【解答】解：∵函数f（x）=（m2﹣1）x m是幂函数，∴m2﹣1=1，解得：m=±，m=时，f（x）=在（0，+∞）上是增函数，m=﹣时，f（x）=在（0，+∞）上是减函数，则实数m=，故答案为：．17．（4.00分）正方体的棱长是2，则其外接球的体积是．【解答】解：正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：=2，所以球的半径为：，∴正方体的外接球的体积V=π（）3=，故答案为．18．（4.00分），则的解集是（﹣1，1]∪（3，+∞）．【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x为增函数，，可得：2x，可得1≥x＞﹣1；故当x＞1时，f（x）=log9x，，可得：log9x，可得x＞3；解得：x∈（3，+∞），故答案为：（﹣1，1]∪（3，+∞）．19．（4.00分）ABC 是边长为6的等边三角形，P 为空间一点，PA=PB=PC，P到平面ABC距离为，则PA与平面ABC 所成角的正弦值为．【解答】解：过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接AO并延长交BC于E，因为P为边长为6的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC，P到平面ABC距离为，所以O是三角形ABC 的中心，且∠PAO就是PA与平面ABC所成的角，∵AO=AE==2．且PCA==，∴sin∠PAO===；即PC与平面ABC所成的角正弦函数值为．故答案为：20．（4.00分）设y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=2﹣x，则f（3）=．【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（1+x）=f（1﹣x），所以f （x+2）=f（﹣x）=f（x），所以函数的周期为2，所以f（3）=f（1），因为0≤x≤1时，f（x）=2﹣x，所以f（3）=，故答案为．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10.00分）求值：．【解答】解：原式===2+2=422．（12.00分）一直线l 过直线l1：2x﹣y=1 和直线l2：x+2y=3 的交点P，且与直线l3：x﹣y+1=0 垂直．（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C：（x﹣a）2+y 2=8 （a＞0）相切，求a．【解答】解：（1）由解得P（1，1）…（1分）又直线l与直线l3：x﹣y+1=0垂直，故l的斜率为﹣1所以l：y﹣1=﹣（x﹣1）…（3分）即直线l的方程为x+y﹣2=0 (4)（2）由题设知C（a，0），半径…（5分）因为直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8相切，∴a＞0且C到直线l的距离为…（6分）∴得a=6或a=﹣2（舍）…（9分）∴a=6．…（10分）23．（12.00分）已知x满足．（1）求x 的取值范围；（2）求函数的值域．【解答】解：（1）∵，∴，由于指数函数y=3x在R上单调递增，∴；（2）由（1）得，∴﹣1≤log2x≤1，令t=log2x，则y=（t﹣1）（t+3）=t2+2t﹣3，其中t∈[﹣1，1]，∵函数y=t2+2t﹣3开口向上且对称轴为t=﹣1，∴函数y=t2+2t﹣3在t∈[﹣1，1]上单调递增，∴y的最大值为f（1）=0，最小值为f（﹣1）=﹣4．∴函数y=（log2x﹣1）（log2x+3）的值域为[﹣4，0]．24．（12.00分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G 分别为AB、BB1、B1C1的中点．（1）求证：A1D⊥FG；（2）求二面角A1﹣DE﹣A 的正切值．【解答】证明：（1）连接B1C、BC1…（1分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，为F、G分别为BB1、B1C1的中点，∴FG∥BC1…（2分）又∵A1D∥B1C，B1C⊥BC1∴A1D⊥FG．…（4分）解：（2）过A作AH⊥ED于H，连接A1H…（5分）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥ED∵AH⊥ED∴ED⊥平面A1AH…（6分）∴ED⊥A1H，∴∠AHA1是二面角A﹣DE﹣A1的平面角…（7分）∵正方体的棱长为2，E为AB的中点，∴AE=1，AD=2，∴R t△EAD中，，∴R t△A1AH中，…（9分）∴二面角A1﹣DE﹣A的正切值为．…（10分）25．（12.00分）定义域为R的奇函数f（x）=，其中h（x）是指数函数，且h（2）=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）的解集．【解答】解：（1）由于h（x）是指数函数，可设h（x）=a x，a＞0，a≠1，∵h（2）=a2=4，∴a=2，∴函数f（x）==．∵函数f（x）=是定义域为R的奇函数，故有f（0）==0，∴b=1，∴f（x）=．（2）∵f（x）==﹣1，在R上单调递减，故由不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），可得2x﹣1＜x+1，求得x＜2，即原不等式的解集为{x|x＜2}．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

珠海市2012--2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知全集R U =，集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则A C U ＝A ．∅B ．(0，＋∞)C ． (－∞，0]D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“⎩⎨⎧>>32b a ”是“5>+b a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．74. 已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥αB ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mC ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥αD ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m 5．已知是虚数单位，复数ii+3＝ A ．i 103101+ B ．i 103101+- C ．i 8381+- D ．i 8381--6． 函数y ＝sin (2x ＋π4)的图象可由函数y ＝sin 2x 的图象 A ．向左平移π8个单位长度而得到 B ．向右平移π8个单位长度而得到 C ．向左平移π4个单位长度而得到 D ．向右平移π4个单位长度而得到7．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x ＋4y 的最小值是A ．6B ．4C ．2-D ．6-n ＝12, i ＝1n ＝3n ＋1开 始 n 是奇数?输出i 结 束 是 否 n ＝ n ＝5?是 否n 2i ＝i ＋1 (第3题图)8． 对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB ‖=1212x x y y -+-，给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D.3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13题） 9．函数=y xxsin 的导函数='y ． 10．在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝ ． 11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝3π，3=b ，若△ABC 的面积为233 ，则c = ． 13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0) 的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x O y 中， 已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .合唱社 粤曲社 武术社 高一 45 30 a高二 15 10 20xy OA BF 1F 2(第13题图)ODCB AP(第15题图）15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角． （1）若a ·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；（2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值．17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生： （1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A 选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：N B C BC 11//平面； （2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB ,并求PCBP的值.88 4主视图 侧视图俯视图44819．(本题满分14分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．20．(本小题满分14分)已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =. （1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调减函数，求a 的取值范围；（2）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S += *()n ∈N . （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）求证：33331231111532n a a a a ++++<*()n ∈N ； （3）是否存在非零整数λ，使不等式1121111(1)(1)(1)cos 21n n n a a a a a πλ+--⋅⋅-<+ 对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.ODCBAP(第15题图）珠海市2012~2013学年第一学期普通高中学生学业质量监测高三理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：CABD AADB 二、填空题： 9．函数=y xxsin 的导函数='y ． 10．在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝ ． 11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝3π，3=b ，若△ABC 的面积为233 ，则c = ．13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0) 的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x O y 中， 已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD 等于 .合唱社 粤曲社 武术社 高一 45 30 a高二 15 10 20xy OA BF 1F 2(第13题图)9、2sin cos x xx x - 10、2 11、150 12、713、13 14、 4 15、 6 三、解答题：12+12+14+14+14+14=80 16．（本小题满分12分）设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角． （1）若a ·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；（2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值．17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生： （1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A 选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：N B C BC 11//平面； （2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB ,并求PCBP的值.19．(本题满分14分)88 4主视图 侧视图俯视图448已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．20．(本小题满分14分)已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =. （1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调减函数，求a 的取值范围；（2）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S += *()n ∈N . （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）求证：33331231111532n a a a a ++++<*()n ∈N ； （3）是否存在非零整数λ，使不等式1121111(1)(1)(1)cos 21n n n a a a a a πλ+--⋅⋅-<+ 对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.三、解答题：16．（本小题满分12分）解：（1） 因为a ·b ＝2＋sin θcos θ＝136，所以sin θcos θ＝16． ……………… 3分所以 (sin θ＋cos θ)2＝1＋2 sin θcos θ＝43．又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝233． ……………… 6分（2） 解法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 8分所以 sin2θ＝2 sin θcos θ＝ 2 sin θcos θ sin 2θ＋cos 2θ＝ 2 tan θ tan 2θ＋1＝45， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ tan 2θ＋1＝－35．……………… 10分所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310． ……………… 12分 解法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 8分 所以 sin θ＝255，cos θ＝55．因此 sin2θ＝2 sin θcos θ＝45， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35． ……………… 10分所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310． ……………… 12分17、（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=64444=⨯⨯ …… 3分(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为1694442332432223242=⨯⨯⨯⨯⨯==A C C P ……………… 7分(Ⅲ) 设A 选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3＝64274333= P(ξ＝1)＝P(ξ＝0)6427433213=⋅C P(ξ＝2)＝64943313=⋅C P(ξ＝3)＝ 6414333=C ……………… 9分ξ的分布列是………… 10分43641364926427164270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………… 12分18.解：（1）证明： 该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴1,,BB BC BA 两两互相垂直。

珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试理科数学参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ＤＤＣＣＢ ＤＡＢＢＡ ＣＣ1． 已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x n n N ==+∈,则M N ⋂=（ ） A. (0,8) B. {3,5,7} C. {0,1,3,5,7} D. {1,3,5,7} 2． 已知复数11z i =+，232z i =-，则复数21z z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3． 若x ,y 满足不等式组240300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值是（ ）A. 6B. 7C. 9D. 10 4==，则与的夹角为（ ） A. 30oB. 45oC. 60oD. 120o5． 当2x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =的（ ）A ．最大值是1，最小值是．最大值是2，最小值是 C ．最大值是1，最小值是1- D ．最大值是2，最小值是1- 6． 函数2cos y x =的单调增区间是（ ）A. (2,2),k k k Z πππ-∈B. (2,2),2k k k Z πππ-∈C. (,),k k k Z πππ-∈D. (,),2k k k Z πππ-∈7．已知函数2()(1)x f x e x ax =++在点(0,(0))f 的切线与直线260x y -+=垂直,则a =（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．38． 已知cos()(0,[0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A. 32πB. 74πC. 4π D. 09．执行如右下图的程序框图，若输入2015n =，则输出T 的值为（ ） A ．12- B ．23 C ．3 D ．3410．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．3π．3π．2π．2π11．若0a >，且1a ≠，设函数2,1()2,1x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,若不等式()3f x ≤的解集是(,3]-∞，则a 的取值范围是（ ）A. (1,)+∞B. (1,3)C. (0,1)D. [3,)+∞12．若偶函数()f x 的图像关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =的图象与函数lg y x =的图象的交点个数为（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{}n b 的前n 项和为n S ,且231n n S b =-,则n b = ．13n -14．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为 ．122515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0)c ,(0,)b 两点，若直线l 与双曲线的（第10题图）俯视图左视图正视图22222一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．1216．(3)n x y +展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多240，则展开式中的中间项是 ．2254x y 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差2d =，10120S =. （1）求n a ； （2）若n b =,求数列{}n b 的前n 项和为n T ．解(1) 1(1)2n n n S na d -=+Q ,2d =，10120S =……………………………………………………2分 11091021202a ⨯∴+⨯=,即13a =………………………………………………………………………3分 所以1(1)21n a a n d n =+-=+……………………………………………………………………………4分(2) 12n b ===Q ………………………………7分11112222n T ∴=++++L ……………10分即11)2n T =……………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示； (1)求合唱团学生参加活动的人均次数； (2)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数的和，求ξ的分布列.（结果用最简分数） 解：（1）由题意得：1102603302.2100⨯+⨯+⨯=………………………………………………………… 2分∴ 合唱团学生参加活动的人均次数为2.2………………………………………………………………… 3分 （2）由题意得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6…………………………………………………………… 5分1091(2)10099110P ξ⨯===⨯，210604(3)1009933P ξ⨯⨯===⨯，21030605923(4)100991009955P ξ⨯⨯⨯==+=⨯⨯，230604(5)1009911P ξ⨯⨯===⨯，302987(6)10099990P ξ⨯===⨯，………………………………………………………………………………10分∴ξ的分布列为：…………………………………………………………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ,且2AE EB BC ===,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：//AE 平面BFD ；(2)求二面角C DE A --的余弦值.解：（1）证明:连接AC 交BD 于G ，连结GF ， ABCD 是矩形∴G 为AC 的中点…………………………………… 1分 由BF ⊥平面ACE 得：BF CE ⊥由EB BC =知：点F 为CE 中点 (2)分 ∴FG 为ACE∆的中位线∴FG//AE …………………………………………………………………………………… 3分 ∵ AE ⊄平面BFD ；FG ⊂平面BFD ；∴ //AE 平面BFD ；………………………………………………………………………… 4分 （2）由BF ⊥平面ACE得：BF AE ⊥；由BC ⊥平面ABE 得: BC AE ⊥，BC BE ⊥；∴AE ⊥平面BCE ，则BE AE ⊥………………………………………………………… 6分 在BCE Rt ∆中，CE ===同理可得：DE AB CD ===AC = 8分 ∵ 2AD BC AE ===F E D C B A∴ 取DE 中点H ，连结AH ，CH ,则AH DE ⊥,CH DE ⊥且12AH DE ==CH == 10分 ∴CHA ∠即为二面角C DE A --的平面角；在CHA ∆中，222cos 2CH AH AC CHA CH AH +-∠===⋅；∴ 二面角C DE A --的余弦值为………………………………………………………………… 12分20．（本小题满分12分）已知动圆过定点1(0,)4F ,且与定直线1:4l y =-相切． （1）求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；（2）若点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为,M N ，求证：直线MN 恒过定点，并求AMN ∆面积S 的最小值.解：（1）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹C 是以点1(0,)4F 为焦点，以定直线1:4l y =-为准线的抛物线；………………………………………………………………………………………………2分 设2:2(0)C x py p => ∵ 点1(0,)4F 到准线1:4l y =-的距离为12,∴12p =∴ 圆心的轨迹C 的方程为2x y =………………………………………………………………………… 4分 (2) ∵2x y =,∴2y x '=设切点,M N 的坐标分别为11(,)M x y ,22(,)N x y ,则211x y =,222x y =则过点11(,)M x y 的切线方程为1112()y y x x x -=-，即2112y x x x =-，即112y x x y =- 过点22(,)N x y 的切线方程为2222()y y x x x -=-，即2222y x x x =-，即222y x x y =- ∵过点,M N 的切线都过点00(,)A x y ∴01012y x x y =-，02022y x x y =-∴点11(,)M x y ,22(,)N x y 都在直线002y xx y =-上∴直线MN 的方程为002y xx y =-，即0020x x y y --=…………………………………………………6分 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=∴直线MN 的方程为002(1)0x x y x ---=,即0(21)(1)0x x y -+-=∴直线MN 恒过定点1(,1)2…………………………………………………………………………………8分联立00220x x y y y x--=⎧⎨=⎩得到20020x x x y -+= 又因为点00(,)A x y 是直线10x y --=上的动点,所以0010x y --=,即200210x x x x -+-=…① 则12x x 、是①的二根∴20012012044(1)021x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=⎨⎪⋅=-⎩,∴MN ===10分点00(,)A x y 到直线0020x x y y --=的距离是:d ===11分∴200112S MN d x x ∆=⋅==-+即14AMN S ∆==≥=∴面积的最小值是14…………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 已知函数21()(2)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈. （1）若0a =，证明:()0f x <； （2）讨论函数()f x 零点的个数.解(1) 证明:当0a =时, ()22ln (0)f x x x x =-+>22(1)()2x f x x x-'=-+= 列表:max ()(1)20f x f ∴==-<max ()()0f x f x ≤<,即()0f x <………………………………………………………………………………2分(2) 2()(2)(0)f x ax a x x'=-++>…………………………………………………………………………3分 2(2)2(1)(2)()(0)ax a x x ax f x x x x-++--'==>讨论: 01 当0a =时,由第(1)问可得函数()f x 没有零点; ……………………………………………4分02 当21a>,即02a <<时, 令(1)(2)()0x ax f x x--'=>得01x <<,或2x a >,即函数()f x 的增区间为(0,1),2(,)a +∞ 令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得21x a <<,即函数()f x 的减区间为2(1,)a 而11(1)(2)2ln12022f a a a =-++=--<,因为函数()f x 的减区间为2(1,)a ,所以2()(1)0f f a <<又函数()f x 的增区间为(0,1),2(,)a +∞所以当(0,1)x ∈时,()(1)0f x f <<所以当2(,)x a ∈+∞时, 2()()f x f a>，x →+∞时，()f x →+∞所以函数()f x 在区间2(0,)a 没有零点,在区间2(,)a+∞有一个零点………………………………………6分03 当21a=,即2a =时, 2(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x-----'===≥恒成立即函数()f x 在(0,)+∞上递增 而11(1)222022f a =--=-⨯-<，x →+∞时，()f x →+∞ 所以函数()f x 在区间(0,)+∞有一个零点……………………………………………………………………8分04 当201a<<,即2a >时, 令(1)(2)()0x ax f x x --'=>得20x a<<,或1x >,即函数()f x 的增区间为2(0,)a ,(1,)+∞ 令(1)(2)()0x ax f x x --'=<得21x a<<,即函数()f x 的减区间为2(,1)a 因为2a >,所以2222()22ln 22ln10f a a a a =--+<--+<，又x →+∞时，()f x →+∞根据函数单调性可得函数()f x 在区间(0,1)没有零点,在区间(1,)+∞有一个零点……………………10分05 当20a<,即0a <时, 令(1)(2)()0x ax f x x--'=>得01x <<,即函数()f x 的增区间为(0,1) 令(1)(2)()0x ax f x x--'=<得1x >,即函数()f x 的减区间为(1,)+∞ 0x →时，()f x →-∞x →+∞时，()f x →-∞而114(1)(2)2ln12222a f a a a --=-++=--= 当4(1)02a f --=>即4a <-时, 函数()f x 有两个零点; 当4(1)02a f --==即4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 当4(1)02a f --=<即40a -<<时, 函数()f x 没有零点. ………………………………………11分 综上，4a <-时, 函数()f x 有两个零点;4a =-时, 函数()f x 有一个零点; 40a -<≤时, 函数()f x 没有零点；0a >时, 函数()f x 有一个零点；………………………………………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP OM ⊥于P(1)证明：2OA OM OP =⋅；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB ON ⊥且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K .证明：090OKM ∠=．证明：（1）由MA 是圆O 的切线知:AM OA ⊥ …………………………………………………………2分 又∵AP OM ⊥；∴ 在Rt OAM 中，由射影定理知：2OA OM OP =⋅……………………………………………………4分（2）证明：由BK 是圆O 的切线知：BN OK ⊥．同（1）2OB ON OK =⋅……………………………6分由OB OA =得：OM OP ON OK ⋅=⋅………………………………………………………………………7分 即:OP OKON OM=．又NOP MOK ∠=∠，则NOP MOK V :V …………………………………………9分 ∴ 090OKM OPN ∠=∠=．………………………………………………………………………………10分 (用M P N K 、、、四点共圆来证明也得分) 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线1C :()03πθρ=≥，动圆2C ：220002cos 40()x x x R ρρθ-+-=∈．(1)求1C ，2C 的直角坐标方程；(2)若射线1C 与动圆2C 相交于M 与N 两点，求0x 的取值范围. 解(1) ()tan ,03y x πθθρ==≥Q(0)yx x∴=≥, 所以1C的直角坐标方程为(0)y x x =≥…………………………………………………………2分cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩Q ,所以2C 的直角坐标方程22200240x y x x x +-+-=.…………………………2分(2) 联立()22000032cos 40()x x x R πθρρρθ⎧=≥⎪⎨⎪-+-=∈⎩ 关于ρ的一元二次方程2200040()x x x R ρρ-+-=∈在[0,)+∞内有两个实根…………………………6分即220012021204(4)0040x x x x x x x x ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪⋅=->⎩,……………………………………………………………………………………8分得000002,2x x x x ⎧<<⎪⎪⎪>⎨⎪><-⎪⎪⎩或,即023x <<…………………………………………………………………10分(用数形结合法解出也给分) 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知不等式221x x a +-->． (1)当0a =时，求不等式的解集；(2)若不等式在区间[4,2]-内无解，求实数a 的取值范围.解： (1)由题意得：2210x x +-->，即：221x x +>-……………………………………………1分 ∴22(22)(1)x x +>-，即：231030x x ++>……………………………………………………………3分 解得：3x <-或13x >-； ∴不等式的解集为1(,3)(,)3-∞-⋃-+∞……………………………………………………………………5分 (2)设()221([4,2])f x x x x =+--∈-,则:3,(41)()31,(11)3,(12)x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪+≤≤⎩, ……………………………7分其图像如图示：则()f x 的最大值为(2)5f =……………………8分 ∵ 不等式221x x a +-->在区间[4,2]-无解，∴实数a 的取值范围为[5,)+∞…………………………………………10分。

珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合{}lg(1)A x y x ==-，{}2,xB y y x R ==∈，则A B ⋃＝A ．∅B ．RC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞ 2.若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝ A．5 C ．7 D ． 13 3.下列函数为偶函数的是A ． 21()f x x x=+B ．2()log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++4.若x y 、满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的最小值是A．5 B．5C ．45D ．1 5.执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．106. 二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是A ．240B ．60C ．192D ．1807.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的体积是A ．23B ．43C ．2D ．48.已知集合123{|(,,),{0,1},1,2,3}i S P P x x x x i ==∈=对于123(,,)A a a a =，123(,,)B b b b S =∈，定义A 与B的差为112233(||,||,||)A B a b a b a b -=---，定义A 与B 之间的距离为31(,)||iii d A B a b ==-∑.对于,,A B C S ∀∈,则下列结论中一定成立的是（ ）A. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +=B. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +>C. (,)(,)d A C B C d A B --=D. (,)(,)d A C B C d A B -->二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式21x x -≥的解集为 ．10.三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是 ． 11.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a = ．12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为 ．13.已知平面向量a b 、满足231a b +=，则a b ⋅的最大值为 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1:2C ρ=与曲线2:4sin ()2C πρθθπ=<<交点的极坐标是 ． 15．（几何证明选讲选做题）（第5题（第15题俯视图侧(左)视图正(主)视图(第7题图)22如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DE 与圆O 相切于点D ，AC BD F ⋂=，F 为AC 的中点，O BD ∈，CD =5BC =，则AE = ．三、解答题:本题共有6个小题，共80分．请写出解答的步骤与详细过程。

珠海市2016-2017 学年度第一学期期末学业质量监测高三理科数学试题一．选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡填涂正确的选项.1．设复数1z ＝1+2i ，2z ＝2－i ，i 为虚数单位，则12z z ＝ A ．4+3i B ．4－3i C ．－3i D ．3i2. 已知平面向量a ，b 满足a （a ＋b ）=5，且|a |=2， |b |＝1，则向量a 与b 的夹角为 A.6π B.3πC.23πD.56π 3．下列有关命题的说法中，正确的是A ．命题“若2x ＞1，则x ＞1”的否命题为“若2x ＞1，则x ≤1”B ．命题“若αβ>，则sin sin αβ> ”的逆否命题为真命题C ．命题“x ∃∈R ，使得x 2 +x +1＜0”的否定是“x ∀∈R ，都有2x +x +1 ＞0”D ．“x ＞1”是“2x +x －2 ＞0”的充分不必要条件4．若变量x , y 满足约束条件，则z ＝3x +5y 的取值范围是A ．[3,＋∞)B ．[－8,3]C ．(－∞，9]D ．[－8,9] 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是2513，则A. a ＝11B. a ＝12C. a ＝13D. a ＝146. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿。

大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。

大鼠日自倍，小鼠日自半。

问几何日相逢？各穿几何？”，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞，已知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的2倍，小鼠每天打的洞长是前一天的一半，已知墙厚五尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？设两鼠x 天后相遇(假设两鼠每天的速度是匀速的)，则x = A ．1218 B ．1217 C ．2217D ． 1297.某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．5408．某几何体的三视图如图所示（图中每个小网格的边长为1 个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．43π C ．143π D ．169π9．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><图象如图所示，则下列关于函数 f(x )的说法中正确的是A ．对称轴方程是B ．对称中心坐标是C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递减10．设集合，从集合 A 中随机地取出一个元素P (x , y )，则P (x , y )∈B 的概率是 A ．112 B ．1724 C ．23 D ．5611．已知双曲线221C 1164x y =：－，双曲线22222C 1(00)x y a b a b=>>：－，的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2 一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 12．已知定义域为R 的函数 f (x )的导函数为'()f x ，且满足'()f x - 2 f (x )>4，若 f (0)=－1，则不等式2()2xf x e +>的解集为A ．（0，＋∞）B ．（－1，＋∞）C ．（－∞，0）D ．（－∞，－1）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.请在答题卡上做答.13．若)nax展开式中所有二项式系数之和是64 ，常数项为15 ，则实数a 的值是 ． 14．若圆C 经过坐标原点和点（4,0），且与直线 y 相切，则圆C 的方程是______． 15．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4 ，底面边长为2 ，则该球的表面积为_________. 16．某校学生小王在学习完解三角形的相关知识后，用所学知识测量高为AB 的烟囱的高度。

试题类型:B珠海市2015-2016学年度第二学期高三学生学业质量监测理科数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ．1．已知复数i z −=21,),(2R m i m z ∈+=若21z z ⋅为纯虚数，则21z z ⋅=A ．25i B ． 25C ． i 2−D ． 2− 2．已知集合1{|0}3x A x x +=≥−，2{|log (1)2}B x x =−<，则()R C A B ∩=A ．B ．C ．(1,3](1,3)(1,5)−D ．(1,3]− 3．命题“若，则”的否定为220x y +=0x y ==A ．若，则且220x y +=0x ≠0y ≠ B ．若x y 220+=，则x 0≠或 0y ≠C ．若，则且220x y +≠0x ≠0y ≠ D ．若x y 220+≠，则x 0≠或 0y ≠4．计生部门为了解群众对中央二胎政策的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区群众的总人数为N，其中甲社区有群众960人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取群众的人数分别为120,210,250,430，则这四个社区群众的总人数N 为 A ．1010 B ．20120 C ．12120 D ．8080 5．在中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上,ABC ΔAB AD 53=,AC AE 32=,设=，,则→→=b AE BC =A ．B ．→→+b a 2→→−a b 3523 C ．→→+b a 3523 D ．→→+b a 26．若512−=a ，125b −=，201cos 2c π=∫xdx ，则实数的大小关系是,,a b c A ． B ． C ．a b c <<b a c <<c b a << D ．b c a << 7．已知函数x b x a x f 2cos 2sin )(+=),(R b a ∈的图像过点⎟⎠⎞⎜⎝⎛212，π，且点⎟⎠⎞⎜⎝⎛06-，π是其对称中心，将函数f(x)的图像向右平移6π个单位得到函数y=g(x)的图像，则函数g(x)的解析式为A ．g(x)=2sin2xB ．g(x)=2cos2xC ．⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=62sin 2)(πx x g D ．⎟⎠⎞⎜⎝⎛=6-2sin 2)(πx x g8．执行如图所示的程序框图,输出S 的值为A ．3919 B ．4321 C ．4522 D ．41209．已知以原点为中心，实轴在x 轴上的双曲线的一条渐近线 方程为y =34x ，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准 方程为 A ．x y 221691−= B ．x y 229161−= C ．x y 2264361−= D ．x y 2236641−=（第8题图）10．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A ．60B ． 50C ．24D ．2011．已知递减的等比数列，各项为正数，且满足{}n a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++213111926321321a a a a a a则数列的公比q 的值为{}n a A ．21 B ．31 C ．32 D ． 43 12．设点P 在曲线121+⋅=x e y 上，点Q 在曲线)22ln(−=x y 上，则的最小值为||PQ ) C ．2ln 2+ D ．()2ln 22+ A ． B ．2ln 2−(2ln 22−二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知动圆C 过定点(1,0)，且与直线1−=x 相切，则圆心C 的轨迹方程为 . 14．)0(32>+a xa x n（展开式中，若第三项为，则此展开式中的第六项为 228x . 15．已知实数y x ,满足，且⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+−0305k y x x y x y x z 42+=的最小值为6−，则常数k 的值为 .16．定义表示实数中的较大的数．已知数列满足{b a ,max 2),1,a a >=},a b{}n a 1a a =(01,2}2n a 2max{()nn a a n N ∗+=∈a +，若20154a =，记数列的前项和为，则的值为 {n a }n n S 2S 016．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知在ABC Δ中，角,,A B C 的对边分别为， 且a B ,,a b c sin cos 0b A −=． （1）求角A 的大小；（2）若2a b ==，求ABC Δ的面积． 18．（本小题满分12分）为振兴旅游业，香港计划向内陆地区发行总量为2000万张的紫荆卡，其中向内陆人士（广东户籍除外）发行的是紫荆金卡（简称金卡），向广东籍人士发行的是紫荆银卡（简称银卡）。

广东省珠海市2016-2017学年高三上学期周考数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}21110,24,2x M x x N xx Z +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ） A ．{}1,0 B ．{}1 C ．{}1,0,1- D ．φ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}{}{}21011,1,0,1,0M x x x x N M N =-≤=-≤≤=-∴⋂=-,故选A.考点：集合的运算.2.复数()()()2lg 3441x xz x i x R -=+-+-∈，z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A考点：复数的几何意义.【易错点睛】本题主要考查了复数的代数运算,复数的几何意义.复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．3.若点()4,2P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．2100x y +-=B ．20x y -=C ．280x y +-=D ．260x y --= 【答案】C 【解析】试题分析：2260x y x +-=的圆心坐标为(3,0),∴所求直线的斜率11,20243k =-=-∴--直线方程为 12(4),2802y x x y -=--∴+-=,故选C.考点：直线与圆的位置关系. 4.下列结论错误．．的个数是（ ） ①命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题；②命题[]:0,1,1xp x e ∀∈≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真；③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题； ④若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题.A ．0B ．1 C. 2 D ．3 【答案】B考点：命题.5.同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25 C. 30 D ．40 【答案】B 【解析】试题分析：5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为2235115()()2216C =,由题意可知ξ服从5(80,)16的二项分布,所以数学期望为5802516⨯=,故本题选B. 考点：二项分布与数学期望.6.某几何体的三视图如图所示。

珠海市2012--2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知全集R U =，集合A ＝{y | y ＝2x，x ∈R}，则A C U ＝A ．∅B ．(0，＋∞)C ． (－∞，0]D ．R2．已知a ，b 是实数，则“⎩⎨⎧>>32b a ”是“5>+b a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．74. 已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥αB ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mC ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥αD ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m 5．已知是虚数单位，复数ii+3＝ A ．i 103101+ B ．i 103101+- C ．i 8381+- D ．i 8381--6． 函数y ＝sin (2x ＋π4)的图象可由函数y ＝sin 2x 的图象 A ．向左平移π8个单位长度而得到 B ．向右平移π8个单位长度而得到C ．向左平移π4个单位长度而得到D ．向右平移π4个单位长度而得到7．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x ＋4y 的最小值是A ．6B ．4C ．2-D ．6-(第3题图)(第15题图）8． 对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB ‖=1212x x y y -+-，给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；②在△ABC 中，若∠C=90°，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D.3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13题） 9．函数=y xxsin 的导函数='y ． 10．在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝ ．11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝3π，3=b ，若△ABC 的面积为233 ，则c = ． 13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0) 的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中， 已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .xy OA BF 1F 2(第13题图)15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线， 若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角． （1）若a·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；（2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值． 17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A 选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：N B C BC 11//平面； （2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB ,并求PCBP的值.19．(本题满分14分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.8 主视图侧视图俯视图4（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．20．(本小题满分14分)已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =. （1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调减函数，求a 的取值范围；（2）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S += *()n ∈N . （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）求证：33331231111532n a a a a ++++<*()n ∈N ； （3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.(第15题图）珠海市2012~2013学年第一学期普通高中学生学业质量监测高三理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：CABD AADB 二、填空题： 9．函数=y xxsin 的导函数='y ． 10．在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝ ．11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝3π，3=b ，若△ABC 的面积为233 ，则c = ．13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0) 的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中， 已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线， 若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD 等于 .xy OA BF 1F 2(第13题图)9、2sin cos xxx x - 10、2 11、150 12、 7 13、13 14、 4 15、 6 三、解答题：12+12+14+14+14+14=80 16．（本小题满分12分）设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角． （1）若a·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；（2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值． 17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A ，B ，C ，D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A 选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：N B C BC 11//平面； （2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB ,并求PCBP的值.19．(本题满分14分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A，8 主视图 侧视图俯视图421F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．20．(本小题满分14分)已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =. （1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调减函数，求a 的取值范围；（2）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S += *()n ∈N . （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）求证：33331231111532n a a a a ++++<*()n∈N ； （3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.三、解答题： 16．（本小题满分12分）解：（1） 因为a ·b ＝2＋sin θcos θ＝136，所以sin θcos θ＝16． ……………… 3分所以 (sin θ＋cos θ)2＝1＋2 sin θcos θ＝43．又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝233． ……………… 6分（2） 解法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 8分 所以 sin2θ＝2 sin θcos θ＝2 sin θcos θ sin 2θ＋cos 2θ＝ 2 tan θ tan 2θ＋1＝45， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ tan 2θ＋1＝－35．……………… 10分所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310． ……………… 12分 解法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 8分 所以 sin θ＝255，cos θ＝55．因此 sin2θ＝2 sin θcos θ＝45， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35． (10)分所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310． ……………… 12分17、（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=64444=⨯⨯ …… 3分(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为1694442332432223242=⨯⨯⨯⨯⨯==A C C P ……………… 7分(Ⅲ) 设A 选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,30)＝64274333= P(ξ＝1)＝P(ξ＝433213⋅C P(ξ＝2)＝64943313=⋅C P(ξ＝3)＝ 6414333=C ……………… 9分ξ的分布列是………… 10分43641364926427164270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………… 12分18.解：（1）证明： 该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴1,,BB BC BA 两两互相垂直。