二次函数y=ax2bxc应用题解读

专题06 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（七大类型）【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】【题型3：二次函数y=ax2+bx+c的性质】【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴问题】1．（2023•高阳县校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（）A．（1，﹣4）B．（1，4）C．（0，﹣3）D．（2，﹣3）2．（2022秋•合川区期末）抛物线y＝﹣x2﹣6x的顶点坐标是（）A．（﹣3，9）B．（﹣3，﹣9）C．（3，﹣9）D．（3，9）3.（2023春•宁波月考）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）两点，则它的对称轴是（）A．直线x＝7B．直线x＝8C．直线x＝9D．无法确定4．（2022秋•连平县校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表，则该函数图象的顶点坐标为（）x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）5．（2022秋•南充期末）若二次函数y＝x2+2x+c﹣1图象的顶点在x轴上，则常数c的值为（）A．c＝2B．c＝1C．c＝﹣2D．c＝06．（2022秋•新会区期末）二次函数y＝﹣x2+2x+m图象的顶点坐标是（1，3），则m＝（）A．1B．2C．3D．57．（2022秋•兰山区校级期末）已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣7，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）8．（2023•亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+8具有相同对称轴的是（）A．y＝4x2+2x+4B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4D．y＝﹣2x2+4x 9．（2023春•宁波月考）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）两点，则它的对称轴是（）A．直线x＝7B．直线x＝8C．直线x＝9D．无法确定【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】10．（2021秋•门头沟区期末）如果将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+311.（2023•温州二模）将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（）A．2B．3C．4D．512.（2023•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（）A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位13．（2023•神木市一模）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为（）A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3C．b＝0，c＝6D．b＝4，c＝614．（2023•阳泉二模）某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为y＝x2﹣6x+14，则原抛物线的表达式为（）A．y＝x2﹣4x+1B．y＝x2﹣4x+5C．y＝x2﹣8x+25D．y＝x2﹣8x+17 15．（2023•宁波模拟）将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（2，y1），B（4，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，则n 的值可以是（）A．3B．4C．5D．6 16．（2023•涡阳县模拟）将二次函数y＝x2﹣2x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2﹣2x+3B．y＝x2﹣2x+4C．y＝x2+2x+4D．y＝x2+2x+3 17．（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝﹣8，c＝18B．b＝8，c＝14C．b＝﹣4，c＝6D．b＝4，c＝6 18．（2023•坪山区一模）把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（）A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1【题型3：二次函数y=ax2+bx+c的性质】19.（2022秋•巩义市期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．抛物线的顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小20.（2022秋•西湖区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…188202…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．0＜x＜4B．0＜x＜5C．x＜0或x＞4D．x＜0或x＞5 21．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（）A．﹣1＜x＜3B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣1或x＞3D．x＜﹣3或x＞1 22．（2023•成都模拟）下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（）①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣4；③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．A．①③B．①④C．①③④D．①②③④23．（2022秋•绵阳期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：x…1346…y…8182018…下列结论中，正确的是（）A．抛物线开口向上B．对称轴是直线x＝4C．当x＞4时，y随x的增大而减小D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大24．（2022秋•巩义市期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．抛物线的顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小25．（2022秋•苏州期末）若抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2 26．（2023•会昌县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…则以下结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1C．m的值为0D．抛物线不经过第三象限27．（2022秋•槐荫区期末）下列关于抛物线y＝x2+2x﹣3的说法正确的是①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣2；③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④28．（2023•青白江区模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣7，下列结论正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，﹣1）C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．与x轴只有一个交点【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】29．（2023•天宁区模拟）已知点A（m，y1）B（m+2，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y2＞y1，则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞﹣3C．m＜﹣2D．m＞﹣2 30．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线：y＝mx2﹣2mx+8（m≠0），若点A （x1，y1），B（x2，y2），C（4，0）均在该抛物线上，且x1＜﹣2＜x2＜4，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞0B．0＞y2＞y1C．0＞y1＞y2D．y2＞0＞y1 31．（2022秋•盐湖区期末）抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较32．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x1，y1）、B （x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞2，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法判断33．（2023•灞桥区校级模拟）已知点A（n，y1）、B（n+2，y2）、C（x，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点，若y0≥y1＞y2，则n的取值范围是（）A．n＞﹣3B．n＜﹣3C．n＜﹣2D．n＞﹣2 34．（2023•莲池区二模）已知点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y1＜y2，则n的取值范围为（）A．n≤1B．n＜2C．1＜n＜2D．n＞2【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】35．（2023•山丹县模拟）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（）A．﹣2B．﹣10C．﹣6D．6 36．（2022秋•汝阳县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜2 37.（2022秋•蔡甸区校级月考）已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣638.（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（）A．﹣4或﹣B．4或﹣C．﹣4或D．4或39．（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y＝﹣x2﹣4x+c的最大值为0，则c 的值等于（）A．4B．﹣4C．﹣16D．1640．（2022秋•桥西区校级期末）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（）A．5B．﹣5或C．5或D．﹣5或41．（2022秋•长安区期末）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（）A．b＝2，c＝4B．b＝﹣2，c＝﹣4C．b＝2，c＝﹣4D．b＝﹣2，c＝4 42．（2022秋•宜阳县期末）当x＝﹣时，二次函数y＝2x2+3x﹣1的函数值最小．43．（2022秋•东丽区期末）当m≤x≤m+1，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则m的值为．44．（2022秋•天河区校级期末）当a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的最大值为3，则a的值为．【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】45．（2023•大观区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（）A．B．C．D．46．（2023•老河口市模拟）二次函数y＝mx2+2x+n（m≠0）与一次函数y＝mx+mn 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．47.（2023•全椒县一模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（）A．B．C．D．48.（2023•莱芜区模拟）一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．49．（2023•莱芜区模拟）一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】50．（2023•顺庆区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0．②2a+b＜0．③4a+2b+c＜0．④4ac﹣b2＞8a．⑤a≤﹣1．其中，结论正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个51．（2023•兴庆区模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤当x＝1数有最大值；⑥当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小；其中正确的序号有（）A．①②④B．②③⑤C．④⑤⑥D．②④⑤52．（2023•潮南区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0：②2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0时，0≤y≤c．其中正确结论的个数是（）A．4B．1C．2D．3。

专题2.13 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）类型六、两个二次函数图像的综合判断1．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，则c ＝ ；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：表中m 、n 、p 的大小关系为 （用“＜”连接）．2．如图，抛物线F ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线：与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：2y a x b x c '''=++，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ．（1）当a = 1，b =－2，c = 3时，求点C 的坐标(直接写出答案)；（2）若a 、b 、c 满足了22b ac =，⊥求b ：b ′的值；⊥探究四边形OABC 的形状，并说明理由．类型七、根据二次函数图象判断式的符号3．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点()1,2-和()1,0，且与y 轴相交于负半轴．第()1问：给出四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=．写出其中正确结论的序号（答对得3分，少选、错选均不得分）第 ()2问：给出四个结论：⊥abc ＜0；⊥2a +b ＞0；⊥a +c =1；⊥a ＞1．写出其中正确结论的序号．4．抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示：（1）判断a ，b ，c ，24b ac -的符号；（2）当OA OB =时，求a ，b ，c 满足的关系．5．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型八、根据抛物线上的对称点求对称轴6．已知二次函数y=ax2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．7．已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如表：（1）写出二次函数图象的对称轴．（2）求二次函数的表达式．（3）当41x -<<-时，写出函数值y 的取值范围．8．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．9．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C.（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.类型九、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)的最值10．如图在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像经过点()0,4A -、()2,0B 交反比例函数m y x=()0x >的图像于点()3,C a ，点P 在反比例函数的图像上，横坐标为n ()03n <<，//PQ y 轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求DPQ 面积的最大值．11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）x 在什么范围内，y 随x 增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．12．已知二次函数的图象经过三点（1,0)()3,0-，30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？类型十、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)图象中的将军饮马问题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．14．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线l 1：y ＝x 2+bx+c 过点C(0，﹣3)，且与抛物线l 2：y ＝﹣12x 2﹣32x+2的一个交点为A ，已知点A 的横坐标为2．点P 、Q 分别是抛物线l 1、抛物线l 2上的动点．（1）求抛物线l 1对应的函数表达式；（2）若点P 在点Q 下方，且PQ⊥y 轴，求PQ 长度的最大值；（3）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．16．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值． 类型十一、二次函数图象的平移17．已知：抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B （﹣1，0）和点C （2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．18．已知抛物线212y x bx c =-++经过点（1，0），（0，32）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线212y x bx c =-++可以由抛物线212y x =-怎样平移得到？请写出一种平移的方法．19．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3．（1）直接写出函数图象的顶点坐标、与x 轴交点的坐标；（2）将图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图象，直接写出平移后的图象与y 轴交点的坐标．类型十二、二次函数综合20．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索） 21．已知抛物线23y ax bx =++过()30A -,，()10B ,两点，交y 轴于点C ． （1）求该抛物线的表达式．（2）设P 是该抛物线上的动点，当PAB 的面积等于ABC 的面积时，求P 点的坐标．22．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和⊥BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把⊥PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．23．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．参考答案：1．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）⊥函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，⊥a＝±2，⊥抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，⊥c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，⊥1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，⊥p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．2．（1）C（3，0）；（2）⊥2：3；⊥矩形，理由见解析【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．（2）⊥与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．⊥探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC 是个平行四边形，已知了OA //BC ，只需看A ，B 的纵坐标是否相等，即OA 是否与BC 的长相等．根据抛物线F 的解析式可求出P 点的坐标，然后用待定系数法可求出OP 所在直线的解析式．进而可求出抛物线F 与直线OP 的交点B 的坐标，然后判断B 的纵坐标是否与A 点相同，如果相同，则四边形OABC 是矩形（⊥AOC ＝90°），如果B ，A 点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB 是个直角梯形．【详解】解：（1） ⊥a = 1，b =－2，c = 3⊥223y x x =-+=()212x -+⊥P （1，2）⊥过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，⊥D （1，0）由于抛物线F ′由抛物线F 平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a ＝a ′＝1；由于两条抛物线都与y 轴交于A 点，那么c ＝c ′＝3．⊥抛物线F ′：23y x b x '=++，代入D （1，0）得0=1+b ’+3解得b ’=-4⊥243y x x =-+=()()13x x --⊥点C 的坐标为（3，0）；（2）⊥抛物线2y ax bx c =++，令x =0，则y =c ，⊥A 点坐标（0，c ）．⊥22b ac =， ⊥244224442ac b ac ac ac c a a a --===， ⊥点P 的坐标为（2b a -，2c ）． ⊥PD ⊥x 轴于D ，⊥点D 的坐标为（2b a -，0）． 根据题意，得a =a ′，c = c ′，⊥抛物线F ′的解析式为2'y ax b x c =++．又⊥抛物线F ′经过点D （2b a-，0），⊥220()42b b a b c a a'=⨯+-+． ⊥2024b bb ac '=-+．又⊥22b ac =，⊥2032b bb '=-．⊥b :b ′=23．⊥由⊥得，抛物线F ′为232y ax bx c =++． 令y =0，则2302ax bx c ++=． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点D 的横坐标为2b a- ⊥点C 的坐标为（ba -，0）．设直线OP 的解析式为y kx =．⊥点P 的坐标为（,22b c a -）， ⊥22c b k a =-， ⊥22222ac ac b b k b b b =-=-=-=-， ⊥2b y x =-． ⊥点B 是抛物线F 与直线OP 的交点， ⊥22b ax bxc x ++=-． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点P 的横坐标为2b a-， ⊥点B 的横坐标为ba -． 把b x a =-代入2b y x =-，得22()222b b b ac y c a a a=--===． ⊥点B 的坐标为(,)b c a-． ⊥BC //OA ，AB //OC ．（或BC //OA ，BC =OA ），⊥四边形OABC 是平行四边形．又⊥⊥AOC =90°，⊥四边形OABC 是矩形．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．3．（1）正确的序号为⊥⊥；（2）正确的序号为⊥⊥⊥．【分析】（1）根据抛物线开口向上对⊥进行判断；根据抛物线对称轴x=-2b a在y 轴右侧对⊥进行判断；根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方对⊥进行判断；根据x=1时，y=0对⊥进行判断；（2）有（1）得到a>0，b<0，c<0，则可对⊥进行判断；根据0<-2b a<1可对⊥进行判断；把点(-1,2)和(1,0)代入解析式得a ﹣b +c =2，a +b +c =0,整理有a+c=1，则可对⊥进行判断；根据a=1-c ，c<0可对⊥进行判断．【详解】（1）⊥由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，正确；⊥因为对称轴在y 轴右侧，对称轴为x =2b a-＞0． 又⊥a ＞0，⊥b ＜0，错误；⊥由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，⊥c ＜0，错误；⊥由图象可知：当x =1时y =0，⊥a +b +c =0，正确．故（1）中，正确结论的序号是⊥⊥．（2）⊥⊥a ＞0，b ＜0，c ＜0，⊥abc ＞0，错误；⊥由图象可知：对称轴x =2b a -＞0且对称轴x =2b a -＜1，⊥2a +b ＞0，正确； ⊥由图象可知：当x =﹣1时y =2，⊥a ﹣b +c =2，当x =1时y =0，⊥a +b +c =0；a ﹣b +c =2与a +b +c =0相加得2a +2c =2，解得：a +c =1，正确；⊥⊥a +c =1，移项得：a =1﹣c ．又⊥c ＜0，⊥a ＞1，正确．故（2）中，正确结论的序号是⊥⊥⊥．【点睛】二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x =2b a-判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2﹣4ac ＞0；1个交点，b 2﹣4ac =0；没有交点，b 2﹣4ac ＜0．4．（1）240b ac ->；（2）10ac b -+=．【分析】（1）根据图形，开口向下得a ＜0，x =0时可得c ＞0，由对称轴可得b ＞0，与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）由于B 点坐标可以表示为：（0，c ），|OA |=|OB |，可知A （﹣c ，0）即可进行求解．【详解】（1）由图象可知，抛物线开口向下，可得：a ＜0；x =0时，y =c ＞0；⊥对称轴x =02b a->，a ＜0，⊥b ＞0； 图象与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）当|OA |=|OB |时，即A 点坐标为（﹣c ，0），代入抛物线方程得y =ac 2﹣bc +c 两边同时除以c 得：ac ﹣b +1=0．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键在已知条件下表示出A 点的坐标代入抛物线方程．5．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号；（2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系；（3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0．【详解】()1∵抛物线开口向下，∴0a <，∵对称轴12b x a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.6．（1）y=12x2﹣3x ；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a 、b 的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标．【详解】（1）⊥y=ax 2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．⊥3660428a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得：123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ⊥二次函数解析式为y=12x 2﹣3x ； （2）⊥y=12x 2﹣3x=12（x ﹣3）2﹣92， ⊥抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键. 7．（1）x=2；（2）242y x x =---；（3）22y -<≤【分析】（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求，（2）求二次函数解析式2y x bx c =-++，可知b,c 待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可，（3）由于对称轴与x 轴交点横坐标，在41x -<<-，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可．【详解】解：（1）⊥二次函数是轴对称图形，4x =-、0x =时的函数值相等，都是2-，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线，⊥此函数图象的对称轴为直线4022x -+==-； （2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上将()1,1-，()0,2-代入2y x bx c =-++，得：112b c c --+=⎧⎨=-⎩， 解得：42b c =-⎧⎨=-⎩， ⊥二次函数的表达式为：242y x x =---；（3）⊥()224222y x x x =---=-++，⊥当2x =-时，y 取得最大值2，由表可知当4x =-时=2y -，当=1x -时1y =，⊥当41x -<<-时，22y -<≤．【点睛】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值．8．（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a -，可求解； （2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1， 故答案为：1；（2）当a ＞0时，⊥对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，⊥3a ﹣（﹣a ）＝4．⊥a ＝1，⊥二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，⊥﹣a ﹣3a ＝4，⊥a ＝﹣1，⊥二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）⊥a ＜0，对称轴为x ＝1，⊥x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，⊥t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，⊥t ≥﹣1，t +1≤3，⊥﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．9．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ⊥A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，⊥C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92， ⊥抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ⊥E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.10．（1）624,y x y x=-=；（2）4. 【分析】（1）利用点()0,4A -、()2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则(),24,Q n n -再表示PQ 的长度，列出三角形面积与n 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．【详解】解：（1）设直线AB 为,y kx b =+把点()0,4A -、()2,0B 代入解析式得：420b k b =-⎧⎨+=⎩解得：24k b =⎧⎨=-⎩∴ 直线AB 为24,y x =-把()3,C a 代入得：2342,a =⨯-=()3,2,C ∴把()3,2C 代入：,m y x= 236m ∴=⨯=，6,y x∴= （2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭//PQ y 轴， 则(),24,Q n n - 由0＜n ＜3，()666242424,PQ n n n n n n∴=--=-+=-+ 16242DPQ S n n n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭()222314,n n n =-++=--+即当1n =时， 4.DPQ S ∴=最大【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【分析】（1）将（1，﹣4）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论．【详解】（1）根据题意得3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关键．12．(1)21322y x x =+-；(2)顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)=1x -时函数有最小值为2-．【分析】（1）抛物线的点过（1,0)3,0，可以设抛物线的解析式为y=a(x -1)(x+3)，把点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解得a 即可；（2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；（3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x -1)(x+3)， 将30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，解得12a =， 所以抛物线解析式为21322y x x =+-， 故答案为：21322y x x =+-； （2）抛物线解析式为21322y x x =+-， 配方可得，()221123=1222y x x x =+-+-（）， ⊥顶点()1,2-- ，对称轴=1x -，由（1）知，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故答案为：顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (3)由（2）可知，函数解析式为()21122y x =+-，开口向上，函数有最小值，当=1x - 时函数有最小值为2-， 故答案为：=1x -时函数有最小值为2-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（1）y ＝﹣x 2﹣3x+4（2）Q （﹣32，52） 【分析】（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4）＝﹣x 2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x ＝﹣32， 点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短14．（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣32，52）【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣32，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短15．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）12124；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(43-，139)或(﹣3，12)【分析】（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，从而得出点A的坐标，再将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得b与c的值，即可求得抛物线l1对应的函数表达式；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则可得点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），从而PQ等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC为平行四边形的一条边；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n的方程，解得n的值，则点P的坐标可得．【详解】解：（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得y＝﹣3，⊥点A的坐标为（2，﹣3）．将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得23=2+23b cc⎧-+⎨-=⎩，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，⊥抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）⊥点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．⊥设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），⊥点P在点Q下方，PQ⊥y轴，⊥点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），⊥PQ＝﹣12m2﹣32m+2﹣（m2﹣2m﹣3），＝﹣32m2+12m+5，⊥当m＝﹣112=3622⎛⎫⨯-⎪⎝⎭时，PQ长度有最大值，最大值为：﹣23126⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+1126⨯+5＝12124；⊥PQ长度的最大值为121 24；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边．AC=2⊥当点Q在点P右侧时，点Q的坐标为（n+2，﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2，解得，n＝0或n＝﹣1．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣1，⊥点P的坐标为（﹣1，0）；⊥当点Q在点P左侧时，点Q的坐标为（n﹣2，﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2，解得n＝3或n＝﹣43．⊥此时点P的坐标为（3，0）或（﹣43，139）；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．Q点的纵坐标y Q，n2-2n-3-(-3)=-3-y Q，y Q=-n2+2n-3，点Q的坐标为（2﹣n，﹣n2+2n﹣3），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得﹣n2+2n﹣3＝﹣12（2﹣n）2﹣32（2﹣n）+2，解得，n＝0或n＝﹣3．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣3，⊥点P的坐标为（﹣3，12）．综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(43，139)或(﹣3，12)．【点睛】本题考查抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．16．（1）215322y x x =++；（2【分析】（1）利用132y x =+的解析式求解A 的坐标，把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；（2）联立两个函数解析式，求解B 的坐标，线段BC 的长度， 如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,M MD MC =，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，再利用勾股定理求解BD =【详解】.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y =∴ 点()0,3A 把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴=如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x=++与x 轴的另一交点为D ， 抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ ()3,0C - ∴ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,MMD MC ∴=，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，此时：BD ==MBC ∴【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．17．（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）需将抛物线向上平移4个单位【分析】（1）把点B 和点C 的坐标代入函数解析式解方程组即可；（2）求出原抛物线上x ＝－2时，y 的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．【详解】解：（1）把B （﹣1，0）和点C （2，3）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c得10423b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为y ＝﹣x 2＋2x +3；（2）把x ＝﹣2代入y ＝﹣x 2＋2x +3得y ＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．18．（1）213y 22x x =--+；（2）先向左平移1单位，再向上平移2个单位 【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；（2）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后指出满足题意的平移方法即可．【详解】解：（1）把()1,0，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式得： 10232b c c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：132b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 则抛物线解析式为213y 22x x =--+； （2）抛物线解析式为22131y (1)2222x x x =--+=-++， 抛物线213y 22x x =--+可以由抛物线212y x =-先向左平移1单位，再向上平移2个单位． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 19．（1）顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）()0,3-． 【分析】（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；（2）根据图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得平移后的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得答案．【详解】解：（1）()22x 4321y x x =--＝－＋，顶点坐标为()2,1-， 当0y =时，2430x x -+=，解得1x =或3x =，即图象与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得()2,2212y x =-+--， 化简得23y x =-，当0x =时，3y =-，即平移后的图象与y 轴交点的坐标()0,3-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点坐标，利用图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减得出平移后的解析式是解题关键．20．（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-． 【分析】1（）根据点AB 、的坐标可设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，由C 点坐标即可求解；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，即可求解； 3（）512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，则125E y ＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解． 【详解】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，⊥抛物线经过点4(0)C ，， 则54a ＝，解得：45a ＝， 抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝ ， 函数的对称轴为：3x ＝； 2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k b b =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 直线BC 的表达式为：4y x 45=-+， 当3x ＝时，85y ＝， 故点835P （，）； 3（）存在，理由： 四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形， 则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝， 点E 在第四象限，故：则125E y ＝-， 将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-， 解得：2x ＝或4， 故点E 的坐标为122,5（-）或12,5（4-）． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．21．（1）y=-x 2-2x +3；（2）P 坐标为（-，-3）或（-1-3）．【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式；（2）根据已知三角形面积相等求出P的坐标即可．【详解】解：（1）把A与B坐标代入得：9330a ba b c-+=⎧⎨++=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=-⎩，则该抛物线的表达式为y=-x2-2x+3；（2）由抛物线解析式得：C（0，3），⊥⊥ABC面积为12×3×4=6，⊥⊥P AB面积为6，即12×|Py|×4=6，即Py=3或-3，当P y=3时，可得3=-x2-2x+3，解得：x=-2或x=0（舍去），此时P坐标为（-2，3）；当y P=-3时，可得-3=-x2-2x+3，解得：x=-此时P坐标为（-，-3）或（-1-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出⊥DMC、梯形MDBO和⊥BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,。

专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1） 【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2．通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3．经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与2(1)(0)y a x t k a =-+≠之间的相互关系 1．顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2．一般式化成顶点式 22222()()()22b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤=++=++=++-+⎢⎥⎣⎦224()24b ac b a x a a-=++．对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 特别说明：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1．一般方法：列表、描点、连线； 2．简易画法：五点定形法． 其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．（2）求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与性质2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b x a =-时，244ac b y a-=．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x2时，22y bx c ++；当x ＝x1时，211y ax bx c =++，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x1时，2max 11y ax bx c =++；当x ＝x2时，2min 22y ax bx c =++，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x1，x ＝x2，2bx a=-时y 值的情况． 特别说明： 【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式1．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 举一反三： 【变式1】2．用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】3．已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【变式3】4．已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C ，试求∴CAO 的面积． 类型二、画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象5．已知：二次函数243y x x =++ （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图．举一反三： 【变式1】6．已知二次函数y =﹣x 2+4x ．（1）写出二次函数y =﹣x 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围． 【变式2】7．已知二次函数y ＝12x 2﹣x ﹣32． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y ＞0； ②当0＜x ＜4时，y 的取值范围为 ．【变式3】8．已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质9．把抛物线21:23C y x x =++先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线2C 的函数关系式；（2）动点(),6P a -能否在拋物线2C 上？请说明理由；（3）若点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且0m n <<，比较12,y y 的大小，并说明理由． 举一反三： 【变式1】10．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【变式2】11．如图，已知抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点．（1）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）点P 为抛物线上一点，若S △PAB =10，求出此时点P 的坐标．【变式3】12．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型四、二次函数的图象及各项的系数13．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．举一反三：【变式1】14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：∴abc＞0；∴a﹣b+c＜0；∴2a+b﹣c＜0；∴4a+2b+c＞0，∴若点（﹣23，y1）和（73，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）类型五、一次函数、二次函数图象的综合判断15．如图，已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m 的值； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是x 轴上一点，当∴ABP 为直角三角形时直接写出点P 的坐标． 举一反三： 【变式1】16．已知二次函数()2229y mx m x m =++++．()1如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；()2如图，二次函数的图象过，点()4,0A ，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．【变式2】17．如图所示，已知直线y=12-x 与抛物线y=2164x -+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．(1)求出点A 、B 的坐标； (2)求出∴ABC 的面积；(3)在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得∴ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，4）【详解】解：（1）∴抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）， ∴抛物线的解析式为；()()y x 3x 1=--+，即2y x 2x 3=-++， （2）∴抛物线的解析式为()22y x 2x 3x 14=-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．2．抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵y ＝12x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0， ∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．4．（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）∴CAO 的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式即可； （2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO 的面积． 【详解】解：（1）把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， 所以此抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +4； （2）∴y ＝﹣2x 2﹣4x +4 ＝﹣2（x 2+2x ）+4 ＝﹣2[（x +1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x +1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C （﹣1，6）， ∴点A （0，4），∴OA ＝4， ∴S △CAO ＝12OA •|xc |＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2．故答案为（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO 的面积为2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． 5．（1） (－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可．【详解】（1）243y x x =++化为顶点式为2(2)1y x =+- 则该函数图象的顶点坐标为(2,1)--；（2）先求出自变量x 在4,3,2,1,0----处的函数值，再列出表格 当4x =-和0x =时，3y =当3x =-和=1x -时，2(1)4(1)30y =-+⨯-+= 当2x =-时，1y =- 列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．6．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．7．（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜52．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）∴利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；∴先确定x＝4时，y＝52，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．【详解】解：（1）∴y＝12（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝12x2﹣x﹣32＝﹣32，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣32）当y ＝0时，12 x 2﹣x ﹣32＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图，（2）∴当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0； ∴当0＜x ＜4时，﹣2≤y ＜52；故答案为x ＜﹣1或x ＞3；﹣2≤y ＜52．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．8．（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∴22232y ax ax a =--+， ∴22(1)32y a x a a =---+， ∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∴抛物线顶点在x 轴上， ∴2230a a --=， 解得：32a =或1a =-， 当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+， 当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-， 综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-． （3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =， ∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -， 当a ＞0时，若12y y <， 则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <， 则m ＜-1或m ＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．9．（1）2(3)3y x =--；（2）不在，见解析；（3）12y y >，见解析【分析】（1）先求出抛物线1C 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线2C 的顶点的纵坐标为3-，即可判断点()6P a -，不在拋物线2C 上； （3）根据抛物线2C 的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线221:23(1)2C y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点坐标为(﹣1，2)，根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线2C 的函数关系式为：2(3)3y x =--； （2）动点P 不在抛物线2C 上． 理由如下：∴抛物线2C 的顶点为()3,3-，开口向上， ∴抛物线2C 的最低点的纵坐标为3-． ∴63P y =-<-，∴动点P 不在抛物线2C 上； （3）12y y >． 理由如下：由（1）知抛物线2C 的对称轴是3x =，且开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小． ∴点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且03m n <<<， ∴12y y >．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∴2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭；（3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∴一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∴3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 11．(1) ﹣4≤y ＜0;(2) P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【详解】分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x 的取值范围，从而得出y 的取值范围；(2)、根据题意得出AB 的长度，然后根据面积求出点P 的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P 的坐标．详解：（1）∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x ＜3时，﹣4≤y ＜0． （2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0， 解得：x 1=-1 x 2=3 ∴A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴AB=4．设P （x ，y ），则S △PAB =AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ∴当y=5时，x 2﹣2x ﹣3=5，解得：x 1=﹣2，x 2=4， 此时P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ∴当y=﹣5时，x 2﹣2x ﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．12．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号； （2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系； （3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0． 【详解】()1∵抛物线开口向下， ∴0a <， ∵对称轴12bx a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.13．（1）3；（2）x ＞1；（3）-1＜x ＜3；（4）-5≤y ≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x +m 得，3＝m ， 故答案为3；（2）m ＝3时，抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 函数的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， 故答案为x ＞1；（3）令y ＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方； 故答案为﹣1＜x ＜3；（4）当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是﹣5≤y ≤4， 故答案为﹣5≤y ≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 14．∴∴∴【详解】解：∴抛物线开口向下， ∴a ＜0，∴对称轴在y 轴右边， ∴b ＞0，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故∴错误；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，c ＞0， ∴2b a-=1， ∴2a +b =0，∴2a +b ＜c ，∴2a +b ﹣c ＜0，故∴正确；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =23-时的点与当x =83时的点对称， ∴x ＞1，y 随x 的增大而减小，∴y 1＜y 2，故∴错误；故答案为∴∴∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：∴二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；∴一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）∴常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．15．（1）m ＝6；（2）y ＝﹣x 2+2x +3；（3）点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A 坐标代入y=-2x+m ，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y=a （x -1）2+4，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分∴BAP=90°、∴AP （P′）B=90°两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣2x+m 得：4＝﹣2+m ，解得：m ＝6；（2）y ＝﹣2x+6，令y ＝0，则x ＝3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4，将点B 的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3；（3）∴当∴BAP ＝90°时，直线AB 的表达式为：y ＝﹣2x+6，则直线PB 的表达式中的k 值为12，设直线PB 的表达式为：y ＝12x+b ，将点A 的坐标代入上式得：4＝12×1+b ， 解得：b ＝72， 即直线PB 的表达式为：y ＝12x+72， 当y ＝0时，x ＝﹣7，即点P （7，0）；∴当∴AP （P′）B ＝90°时，点P′（1，0）；故点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．16．（1）45m <且0m ≠；（2）P 点坐标为()1,6． 【分析】解：（1）根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB 的解析式，再求AB 与对称轴的交点P.【详解】解：()1根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>， 所以45m <且0m ≠； ()2把()4,0A 代入()2229y mx m x m =++++得()168290m m m ++++=，解得1m =-，所以抛物线解析式为2228(1)9y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，当0x =时，2288y x x =-++=，则()0,8B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把()4,0A ，()0,8B 代入得{408k b b +==，解得{28k b =-=，所以直线AB 的解析式为28y x =-+，当1x =时，286y x =-+=，所以P 点坐标为()1,6．【点睛】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.17．(1)点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)． 【分析】（1）由直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点，可得方程211x x 624-=-+，解方程即可求得点A 、B 的坐标；（2）首先由点C 是抛物线的顶点，即可求得点C 的坐标，又由S △ABC =S △OBC +S △OAC 即可求得答案；（3）首先过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，然后设21P a,a 64⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求得点D 的坐标，可得PD 的长，又由S △ABP =S △BDP +S △ADP ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．【详解】解：(1)∴直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点， ∴211x x 624-=-+， 解得：x ＝6或x ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝﹣3，当x ＝﹣4时，y ＝2，∴点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)∴点C 是抛物线的顶点．∴点C 的坐标为(0，6)，∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC ＝12×6×4+12×6×6＝30；(3)存在．过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，设P(a ，﹣14a 2+6)， 则D(a ，﹣12a)， ∴PD ＝﹣14a 2+6+12a ， ∴S △ABP ＝S △BDP +S △ADP ＝12×(﹣14a 2+6+12a)×(a+4)+12×(﹣14a 2+6+12a)×(6﹣a)＝25125(a 1)44--+ (﹣4＜a ＜6)， ∴当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。

二次函数代数推理综合问题解析二次函数是一种常见的二次曲线，其一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在代数推理的综合问题中，有一些与二次函数相关的问题需要解析。

下面将介绍几个常见的二次函数代数推理综合问题，并给出解析。

问题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(2,3)，且过点(-1,0)，求该函数的表达式。

解析：由题可知，二次函数的顶点坐标为(2,3)，则顶点坐标中的x坐标为2，代入函数表达式可以得到：3=a*2^2+b*2+c另外，已知过点(-1,0)，把该点的坐标代入函数表达式可以得到：0=a*(-1)^2+b*(-1)+c将上述两个方程组成一个方程组：4a+2b+c=3----(1)a-b+c=0----(2)解决方程组(1)和(2)，可以采用消元法或代入法：将公式(2)的c解出来得到c=-a+b，代入公式(1)可以得到：4a+2b+(-a+b)=3，整理得到3a+3b=3，整理为a+b=1由公式a+b=1可以得到a=1-b，代入公式(2)可以得到(1-b)-b+c=0，整理得到c=2b-1综上所述，函数表达式为：y = (1 - b)x^2 + bx + (2b - 1)。

问题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的两个零点为-2和5，求该函数的表达式。

解析：已知二次函数的两个零点为-2和5，可得到两个方程：a*(-2)^2+b*(-2)+c=0a*5^2+b*5+c=0整理得到：4a-2b+c=0----(3)25a+5b+c=0----(4)解决方程组(3)和(4)，可以采用消元法或代入法：将公式(3)的c解出来得到c=2b-4a，代入公式(4)可以得到：25a+5b+(2b-4a)=0，整理得到-21a+7b=0，整理为-3a+b=0。

由公式-3a+b=0可以得到b=3a，代入公式(3)可以得到4a-2(3a)+c=0，整理得到c=2a。

初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质本专题在初中、高中扮演的角色确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．典型考题【典型例题】二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】C【解析】由图象可得，，，故错误，当时，，故正确，当时，，由得，，则，得，故正确，，得，故正确，故选：C．【变式训练】下列说法错误的是( )A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点【答案】C【解析】A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；B、二次函数y=4x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故该选正确；C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确．故选C．【能力提升】抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2【答案】A【解析】∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又∵，∴抛物线y=x 2，y=﹣3x 2，y=﹣x 2，y=2x 2的图象开口最大的是y=x 2， 故选A ． 高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a-．典型考题【典型例题】如图，已知抛物线C 1：y ＝﹣x 2+4，将抛物线C1沿x 轴翻折，得到抛物线C 2 （1）求出抛物线C 2的函数表达式；（2）现将抛物线C 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线C 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E ．在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣4（2）当m ＝3时，以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形 【解析】（1）∵抛物线C 1的顶点为（0，4）， ∴沿x 轴翻折后顶点的坐标为（0．﹣4）， ∴抛物线C 2的函数表达式为y ＝x 2﹣4；（2）存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M（﹣m，4），N（m，﹣4），∴M，N关于原点O对称OM＝ON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA＝OE∴四边形ANEM为平行四边形，∴AM2＝22+42＝20，ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，若AM2+ME2＝AE2，∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，解得m＝3，此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．【变式训练】如图，抛物线轴的负半轴相交于点，将抛物线平移得到抛物线相交于点，直线于点，且.(1)求点的坐标；(2)写出一种将抛物线平移到抛物线的方法；(3)在轴上找点，使得的值最小，求点的坐标.【答案】(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先将向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到；(3)P(0，).【解析】（1）M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，∴A（-2，0），∵AB=BC，C（8，m），∴，设AB直线解析式为y=kx+b，∵y=x2-4与相交于点A和B，∴m=10，∴B（3，5），C（8，10）；（2）∵抛物线M1平移得到抛物线M2，∴a=1，∵B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，∴B'（-3，5），设直线B'C的直线解析式为y=mx+n，.【能力提升】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）将抛物线向上平移4个单位．【解析】（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+3；（2）把x ＝﹣2代入y ＝﹣x 2+2x+3得y ＝﹣4﹣4+3＝﹣5， 点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1）， 所以需将抛物线向上平移4个单位．专题验收测试题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．abc ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．9a+3b+c ＞0D ．c+8a ＜0【答案】D 【解析】根据图象可知抛物线开口向下，抛物线与y 轴交于正半轴，对称轴是x=1＞0，所以a ＜0，c ＞0，b ＞0，所以abc ＜0，所以A 错误；因为抛物线与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，所以B 错误；又抛物线与x 轴的一个交点为（-1,0），对称轴是x=1，所以另一个交点为（3,0），所以930a b c ++=，所以C 错误；因为当x=-2时，42y a b c =-+＜0，又12bx a=-=，所以b=-2a ，所以42y a b c =-+8a c =+＜0，所以D 正确，故选D.2．将抛物线y ＝ax 2+bx +c 向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y ＝﹣(x +2)2+3，则（ ） A ．a ＝﹣1，b ＝﹣8，c ＝﹣10 B ．a ＝﹣1，b ＝﹣8，c ＝﹣16 C ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝0 D ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝6【答案】D 【解析】∵y ＝－(x ＋2)2＋3，∴抛物线的顶点坐标为（-2， 3），∵抛物线y=ax 2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向下平移 3个单位长度得抛物线y ＝－(x ＋2)2＋3， -2+2=0，3+3=6，∴平移前抛物线顶点坐标为（0，6）， ∴平移前抛物线为y=-x 2+6，∴a ＝－1，b ＝0，c ＝6． 故选D.3．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；⑤2a ﹣b ＝0；⑥b 2﹣4ac ＞0．下列结论一定成立的是（ ）A ．①②④⑥B ．①②③⑥C ．②③④⑤⑥D ．①②③④【答案】B 【解析】①由图象可得，a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，故①正确，②方程当y=0时，代入y=ax 2+bx+c ，求得根是x 1=-1，x 2=3，故②正确， ③当x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确， ④∵该抛物线的对称轴是直线x=1312-+= ∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故④错误， ⑤12ba-=则2a=-b,那么2a+b=0，故⑤错误， ⑥∵抛物线与x 轴两个交点，∴b 2-4ac ＞0，故⑥正确， 故正确的为. ①②③⑥选：B ．4．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由方程组2y ax bx y bx a⎧=+⎨=-⎩得ax 2＝−a ，∵a≠0∴x 2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．A ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；但是一次函数b 为一次项系数，图象显示从左向右上升，b ＞0，两者矛盾，故A 错；C ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b ＜0，两者相符，故C 正确；D ：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D 错．故选C ．5．在下列函数图象上任取不同两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，一定能使2121y y x x --＜0成立的是( ) A ．y =3x ﹣1(x ＜0)B ．y =﹣x 2+2x ﹣1(x ＞0)C ．y =﹣3x(x ＞0) D ．y =x 2﹣4x +1(x ＜0) 【答案】D【解析】A 、∵k =3＞0∴y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2∴当x ＜0时，2121y y x x --＞0，故A 选项不符合；B 、∵对称轴为直线x =1，∴当0＜x ＜1时y 随x 的增大而增大，当x ＞1时y 随x 的增大而减小，∴当0＜x ＜1时：当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时2121y y x x --＞0， 故B 选项不符合；C 、当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时2121y y x x --＞0， 故C 选项不符合；D 、∵对称轴为直线x =2，∴当x ＜0时y 随x 的增大而减小，即当x 1＞x 2时，必有y 1＜y 2 此时2121y y x x --＜0， 故D 选项符合；故选：D ．6．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ）A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3【答案】D【解析】∵y=2x 2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x=-1时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确，故选D ．7．下列关于二次函数y =x 2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是( )A ．该函数图象的开口向上B ．函数值y 随着自变量x 的值的增大而增大C ．该函数图象关于y 轴对称D ．该函数图象可由函数y =x 2的图象平移得到【答案】B【解析】A ．由a =1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；B ．∵抛物线的开口向上且对称轴为y 轴，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而证得：故此选项描述错误； 由y =﹣x 2+2x =﹣(x ﹣1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误；C ．∵抛物线的对称轴为y 轴，∴该函数图象关于y 轴对称，此选项描述正确；D ．该函数图象可由函数y =x 2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确．故选：B ．8．对于抛物线y =ax 2+2ax ，当x =1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】把x=1，y>0，代入解析式可得，a+2a>0，解得a>0， 对称轴：2b x a=-=-1<0， y=4?4ac b a -=04?4a a -=-a<0， ∴这条抛物线的顶点一定在第三象限故选C ．9．如图，若抛物线y ＝﹣12x 2+3与x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k ，则反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线y＝﹣12x2+3，当y＝0时，x＝±6；当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝﹣12x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣2，1），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1）；共有8个，∴k＝8；故选：C．10．关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大【答案】C【解析】A 、△＝24k ﹣4（k ﹣1）＝22k 1（﹣）+3＞0，抛物线与x 轴有两个交点，所以A 选项错误； B 、k （2x+1）＝y+1﹣2x ，k 为任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣2x ＝0，所以抛物线经过定点（﹣12，﹣34），所以B 选项错误； C 、y ＝2x k +（）﹣2k +k ﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k ，﹣2k +k ﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y ＝﹣2x ﹣x ﹣1上运动，所以C 选项正确；D 、抛物线的对称轴为直线x ＝﹣22k ＝﹣k ，抛物线开口向上，则x ＞﹣k 时，函数y 的值都随x 的增大而增大，所以D 选项错误．故选：C ．11．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】 ∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ；∵当x=0时y=c=-2∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确；∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x ∵当12x =-时，与其对应的函数值0y >．∴3204a ->，∴a 83>；∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4203>；故③错误故选：C ．12．二次函数y=3（x ﹣h ）2+k 的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．h ＞0，k ＞0B ．h ＞0，k ＜0C ．h ＜0，k ＞0D ．h ＜0，k ＜0【答案】B【解析】观察函数图象可知：顶点（h ，k ）在第四象限，∴h ＞0，k ＜0，故选B ．13．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是()A ．bc 0<B ．a b c 0++>C ．2a b 0+=D ．24ac b >【答案】C【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 和b 异号，∴b ＜0，∵抛物线与x 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴bc ＞0，所以A 选项错误；∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，所以B 选项错误；∵抛物线经过点(-1，0)和点(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x=1， 即-b 2a=1， ∴2a+b=0，所以C 选项正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即4ac ＜b 2，所以D 选项错误．故选：C ．14．如图，抛物线y ＝2ax ＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和B ，与y 轴的正半轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②4a －2b ＋c ＞0；③2a －b ＞0；④3a ＋c ＞0.其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵点C 在y 轴左边，∴02b a-<，即b<0 ,∴abc ＞0，故①正确；当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故②正确；对称轴在-1右侧，∴12b a->- ∴b>2a,即2a-b<0，故③错误；当x=1时，抛物线过x 轴，即a+b+c=0，∴-b=a+c ，又2a-b<0，∴2a+a+c<0，即3a+c<0，故④错误；故答案选：B ．15．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a ），下列结论：①abc>0；②4a +2b+c<0；③9a-b+c=0；④若方程a （x+5）（x-1）=-1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则-5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8，其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】 函数的顶点坐标为(-2，-9a )则22b a -=- ，2494ac b a a-=- 则b=4a ，c=-5a函数开口向上，a ＞0，则b ＞0，c ＜0则abc ＜0,①错误把x=2代入二次函数表达式，则42y a b c =++=7a ＞0，②错误9y a b c =-+=0，③正确a （x+5）（x-1）=-1展开后得24510ax ax a +-+=函数2y ax bx c =++向上平移一个单位变成21y ax bx c =+++=2451ax ax a +-+其与x 轴的两个交点的横坐标1x 和2x 就是方程24510ax ax a +-+=的两个解而2y ax bx c =++与x 轴的交点的坐标为(-5，0)，(1，0)因为y=2451ax ax a +-+在2y ax bx c =++的上方，所以-5＜1x ＜2x ＜1，④正确21ax bx c ++= 化简为21ax bx c ++=或21ax bx c ++=-21ax bx c ++=的两解为1x 和2x由韦达定理1x +2x =b a-=-4 21ax bx c ++=-的两个解设为3x 和4x由韦达定理3x +4x =b a-=-4 故1x +2x +3x +4x =-8，⑤正确故本题答案为B ．16．从﹣2，0，1，32，52，3这六个数中，随机抽取一个数记为a ，则使关于x 的二次函数y ＝x 2+（3﹣a ）x ﹣1在x ＜﹣1的范围内y 随x 的增大而减小，且使关于x 的分式方程2﹣3x a x --＝3a x -的解为正数的a 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个【答案】A【解析】 ∵关于x 的二次函数y ＝x 2+（3﹣a ）x ﹣1在x ＜﹣1的范围内y 随x 的增大而减小，∴抛物线对称轴方程x ＝32a -， 即32a -＜﹣1， 解得a ＜1，∵关于x 的分式方程2﹣3x a x --＝3a x -的解为正数， ∴x ＞0，解分式方程，得x ＝2a+6，∴2a+6＞0，解得a ＞﹣3，∴﹣3＜a ＜1，∵从﹣2，0，1，32，52，3这六个数中，随机抽取一个数记为a ， ∴符合条件的正数a 共有2个，为﹣2，0．故选：A ．17．已知抛物线2y x bx c =++经过点()0,5A、()4,5B ，那么此抛物线的对称轴是___________． 【答案】直线2x =【解析】∵点()0,5A 、()4,5B 的纵坐标都是5相同， ∴抛物线的对称轴为直线0422x +==． 故答案为：直线2x =．18．如果将抛物线23y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(2，2)，那么平移后的抛物线的表达使为_____________【答案】()2322y x =-+【解析】∵原抛物线解析式为y=3x 2，的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，2），∴平移后的抛物线的表达式为：y=3（x-2）2+2．故答案为：y=3（x-2）2+2．19．抛物线y ＝x 2﹣4x+2m 与x 轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是______．【答案】（3，0）【解析】把点（1，0）代入抛物线y=x 2-4x+2m 中，得m=6， 所以，原方程为y=x 2-4x+3，令y=0，解方程x 2-4x+3=0，得x 1=1，x 2=3∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）．故答案为（3，0）. 20．对于每个非零自然数n ，抛物线y ＝x 2﹣21(1)n n n ++﹣111n n ++与x 轴交于A n ，B n 两点，以A n B n 表示这两点之间的距离，则A 2B 2+…+A 2019B 2019的值是_____． 【答案】10092020【解析】 ∵22211111111(1)11(1)1n y x x x x x x n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-++=-- ⎪ ⎪⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴抛物线与x 轴的交点A n 、B n 坐标为（11n +，0），（1n，0）， ∴A n B n ＝111n n -+， ∴A 2B 2＝1231-， A 3B 3＝1341-， …A 2019B 2019＝1120192020-， ∴A 2B 2+…+A 2019B 2019＝111111233420192020-+-+⋯+-＝11 22020＝1009 2020．故答案为：1009 2020．21．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象上的两点（x1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则x1的取值范围是_____．【答案】﹣1＜x1＜3．【解析】∵y1＞y2，∴ax12﹣2ax1+c＞9a﹣6a+c，∴ax12﹣2ax1﹣3a＞0，∵a＜0，∴函数y＝ax12﹣2ax1﹣3a开口向下，令ax12﹣2ax1﹣3a＝0，解得x1＝﹣1或3，画出函数图象示意图：由图象可得，当﹣1＜x＜3时，ax12﹣2ax1﹣3a＞0，∴x1的取值范围是﹣1＜x1＜3，故答案为：﹣1＜x1＜3．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①2a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣23；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．其中结论正确的序号是_____．【答案】②③．如图，∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴抛物线的对称性为直线x＝﹣b2a＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以①错误；∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣23，所以②正确；∵当x＝1时，y有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴直线y＝n与抛物线只有一个交点，∴直线y＝n+1与抛物线没有公共点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根，所以④错误．故答案为②③．23．如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最小时，PAB S ∆=_．【答案】125． 【解析】联立得2145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩， 解得，12x y =⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=⎩，∴点A 的坐标为()1,2，点B 的坐标为()4,5，∴()()22524132AB =-+-=作点A 关于y 轴的对称点'A ，连接'A B 与y 轴的交于P ，则此时PAB ∆的周长最小，点'A 的坐标为()1,2-，点B 的坐标为()4,5，设直线'A B 的函数解析式为y kx b =+，245k b k b -+=⎧⎨+=⎩，得35135k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线'A B 的函数解析式为31355y x =+， 当0x =时，135y =， 即点P 的坐标为130,5⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将0x =代入直线1y x =+中，得1y =，∵直线1y x =+与y 轴的夹角是45︒，∴点P 到直线AB 的距离是：1382421sin 455525⎛⎫-⨯︒=⨯= ⎪⎝⎭， ∴PAB ∆的面积是：423212525⨯=， 故答案为125．24．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣2，0）和B （4，0）、与y 轴交于点C ．点M ，Q 分别从点A ，B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行．当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．当t ＝_____时，△APQ 的面积S 有最大值，为_____．【答案】83；253．【解析】把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：424016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：121ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式是：y＝﹣12x2+x+4，∴C（0，4），对称轴为x＝1，∴AO＝2，CO＝BO＝4，AB＝AO+BO＝6，①当0＜t≤2时，∵MP∥CO，∴△AMP∽△AOC，∴PM AMCO AO=，∴PM＝AM COAO⨯＝2t，又AQ＝6﹣t，∴S＝12PM•AQ＝12×2t（6﹣t）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，当t＝2时，S取最大值，最大值为8；②当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则FP∥BO，∴△COB∽△CFP，∵CO＝OB，∴FP＝FC＝t﹣2，∴PM＝OF=4﹣（t﹣2）＝6﹣t，又AQ＝4+32（t﹣2）＝32t+1，∴S＝12PM•AQ＝12（6﹣t）（32t+1）＝﹣34t2+4t+3＝﹣34（t﹣83）2+253，当t＝83时，S取最大值，最大值为253，综上所述，当t＝83时，S取最大值，最大值为253．故答案为：83；253．25．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2顶点D的坐标为(, -).（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）.【解析】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 +bx-2上∴×(-1 )2 +b×(-1) –2 = 0解得b =∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,∴顶点D的坐标为(, -).（2）当x = 0时y = -2,∴C（0，-2），OC = 2．当y = 0时，x2-x-2 = 0，∴x1 = -1,x2 = 4∴B (4,0)∴OA =1, OB = 4, AB = 5.∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20,∴AC2 +BC2 =AB2.∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,则，解得n = 2，. ∴. ∴当y = 0时，，∴. 26．如图，抛物线23y ax bx =+-过A （－1，0）、B （3，0），直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为2，点P （m ，n ）是线段AD 上的动点．（1）求抛物线和直线AD 的解析式；（2）过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点H ，①求线段PH 的长度l 与m 的关系式；②当PH ＝2时，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；1y x =--；（2）①22l m m ；②(0,1),12，－P 【解析】（1）把（-1，0），（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝ ， 解得12a b ⎧⎨-⎩＝＝， 抛物线的解析式为y=x 2-2x-3；当x=2时，y=22-2×2-3，解得y=-3，即D （2，-3）．设AD 的解析式为y=kx+n ，将A （-1，0），D （2，-3）代入，得023k n k n -+⎧⎨+-⎩＝＝，解得11k n -⎧⎨-⎩＝＝，直线AD 的解析式为y=-x-1；（2）①设P 点坐标为（m ，-m-1），H （m ，m 2-2m-3），l=（-m-1）-（m 2-2m-3）化简，得l=-m 2+m+2；②∵l=2，∴-m 2+m+2=2，解得m=0或m=1，∴P 的坐标为（0，-1）或（1，-2）．27．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过A （n ，b ），B （m ，a ）且m+n=1． （1）当b=a 时，直接写出函数图象的对称轴；（2）求b 和c （用只含字母a 、n 的代数式表示）：（3）当a<0时，函数有最大值－1，b ＋c≥a ，n≤13，求a 的取值范围． 【答案】（1）12x =-；（2）b na =-，c na =-；（3）3611- ≤a≤167-． 【解析】（1）由题意可得 抛物线的对称轴为：直线1222b b x a b =-=-=- （2）因为二次函数2y ax bxc =++经过A （n ，b ），B （m ，a ），所以22am bm c a an bn c b ⎧++=⎨++=⎩①②方程组①-②，得22()()a m n b m n a b -+-=-，()[()]m n a m n b a b -++=-，∵m-n=1， a ()m n b a b ++=-，∴(21)a n b a b ++=-，得b na =-，把b na =-代入方程组中②，得c na =-，（3）由（2）可知：+2b c na =- 又b c +≥a2na -≥a ，当a ＜0时，n≥12-， 由n≤13-得，12-≤n≤13-， ∵224()24b ac b y a x a a-=++，a ＜0 24=14ac b a-- 24=4ac b a --，且b c na ==-，得24()()4a na na a ---=-，化简得，244na n a +=，∴211(2)14n a =+-， 配方得211(2)14n a =+-， ∵1a 在12-≤n≤13-时随n 的增大而增大 当n=12-时，1716a =-，当n=13-时，11136a =- 3611- ≤a≤167-． 28．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，3），点B 在x 轴的负半轴上，且OA 3OB =.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P 是抛物线上且位于直线AC 上方的一动点，求ACP 的面积的最大值及此时点P 的坐标； （3）在线段OC 上是否存在一点M ，使2BM 2+的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）ACP 的面积的最大值为278，此时315(,)24P -；（3）当(0,1)M 时，2BM 2+的最小值为22【解析】（1）∵(3,0)A ，OA 3OB =∴OA=3，OB=1∴(1,0)B -∴设抛物线的交点式为(1)(3)y a x x =+-，将(0,3)C 代入得31(3)a =⋅⋅-，解得1a =-∴21(1)(3)23y x x x x =-+-=-++，即该抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++.（2）作PD ⊥x 轴，与线段AC 相交于D.设直线AC ：y=kx+d将(0,3)C ,(3,0)A 分别代入得303d k d =⎧⎨=+⎩，解得31d k =⎧⎨=-⎩， 所以y=-x+3.设2(,23)P n n n -++，则(,3)D n n -+，2223(3)3DP n n n n n =-++--+=-+设△DCP 以PD 为底时高为h 1，△DAP 以PD 为底时高为h 2，则221212111139()(3)3222222APC DPC DPA S S S PD h PD h PD h h n n n n ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=-+⋅=-+因为302-<，所以923232()2n =-=⨯-时取得最大值为278.22331523()23224n n -++=-+⨯+=. 故ACP 的面积的最大值为278，此时315(,)24P -. （3）存在，如下图，作以CM 为斜边的等腰三角形，它的直角顶点为第一象限内的N 点，∵△MCN 为等腰直角三角形，∴MN=22MC ,即要使2BM 2+最短，只需要BM MN +最短为BN 即可， 设(0,)M m 则33,2m MC m EM EN -=-==，33(,)22m m N -+∴222233117(1)()2222m m BN m m -+=++=-+ 当12112m -==-⨯时，2BN 取得最小值为8，即22BN =. 当(0,1)M 时，2BM CM 2+的最小值为22. 29．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？【答案】（1）2114,33y x x =-++（2）存在，点Q 的坐标为：Q （1，3）或（522，8522-）；（3）P N 2（m ﹣2）222，当m ＝2时，PN 22． 【解析】（1） 抛物线y ＝ax 2+bx+4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，设2(3)(4)12,y a x x ax ax a =+-=--即：﹣12a ＝4，解得：1,3a =-则抛物线的表达式为2114,33y x x =-++ （2）存在，理由：2114,33y x x =-++ ∴ 点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝42，∠OBC ＝∠OCB ＝45°，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 并解得：y ＝﹣x+4…①， 同理可得直线AC 的表达式为：443y x =+， ①当AC ＝AQ 时，如图1，则AC ＝AQ ＝5，设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，由勾股定理得：222(7)5,n n -+=解得：n ＝3或4（舍去4），故点Q （1，3）；②当AC ＝CQ 时，如图1，CQ ＝5，则BQ ＝BC ﹣CQ ＝25, 则QM ＝MB ＝8522-， 故点Q （522，8522-）； ③当CQ ＝AQ 时，则Q 在AC 的垂直平分线上，设直线AC 的中点为K （32-，2）， 过点Q 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34QK k =-， 直线QK 的表达式为：3748y x =-+ ②， 联立①②并解得：252x =（舍去）； 故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（522，852-）； （3）设点21)1,433(P m m m -++，则点Q （m ，﹣m+4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQsin ∠PQN ＝22211222(44)(2),33m m m m -+++-=--+ ∵20,6-＜ ∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为：223． 30．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝3cm ，BC ＝4cm ，连接BD ，并过点C 作CN ⊥BD ，垂足为N ，直线l 垂直BC ，分别交BD 、BC 于点P 、Q ．直线l 从AB 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 方向匀速运动到CD 为止；点M 沿线段DA 以每秒1cm 的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，直线1与点M 同时出发，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）线段CN ＝ ；（2）连接PM 和QN ，当四边形MPQN 为平行四边形时，求t 的值；（3）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？【答案】（1）125；（2）t＝3625；（3）t＝4时，△PMN的面积取得最大值，最大值为5425．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形∴BC＝AD＝4cm，∠BCD＝90°＝∠A，∴BD22BC CD+5cm，∵S△BCD＝12BC CD＝12BD CN∴CN＝12 5故答案为：12 5（2）在Rt△CDN中，DN22CD CN-9 5∵四边形MPQN为平行四边形时∴PQ∥MN，且PQ⊥BC，AD∥BC ∴MN⊥AD∴MN∥AB∴△DMN∽△DAB∴DM DN AD BD=即95 45 DM=∴DM＝3625cm∴t＝36 25（3）∵BD＝5，DN＝9 5∴BN＝9 5如图，过点M作MH⊥BD于点H，∵sin∠MDH＝sin∠BDA＝AB MH BD MD=∴35MDt =∴MH＝3 5 t当0＜t＜64 25∵BQ＝t，∴BP＝45t，∴PN＝BD﹣BP﹣DN＝5﹣95﹣45t＝165﹣54t∴S△PMN＝12×PN×MH＝12×35t×（165﹣54t）＝﹣38t2+2425t∴当t＝3225s时，S△PMN有最大值，且最大值为384625，当t＝6425s时，点P与点N重合，点P，点N，点M不构成三角形；当6425＜t≤4时，如图，∴PN＝BP﹣BN＝54t﹣165∴S△PMN＝12×PN×MH＝12×35t×（54t﹣165）＝38t2﹣2425t当6425＜t≤4时，S△PMN随t的增大而增大，∴当t＝4时，S△PMN最大值为54 25，∵5425＞384625∴综上所述：t＝4时，△PMN的面积取得最大值，最大值为54 25．。

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 及其图象学习要求掌握并灵活应用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质及其图象．课堂学习检测一、填空题1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．2．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大．3．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．4．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．5．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______． 7．抛物线y ＝2x 2先向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．二、选择题8．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x xy +=③④y ＝5－2x 2，是二次函数的有( ) A ．② B ．②③④ C ．②③D ．②④9．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4)10．抛物线x x y --=221的顶点坐标是( ) A ．)21,1(-B ．)21,1(-C ．)1,21(-D ．(1，0)11．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点( )A ．(0，a )B ．(－1，－a )C ．(－1，a )D ．(0，－a )三、解答题12．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．(1)将其化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式； (2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线y ＝x 2的关系； (6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小； (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时，－4＜x ＜0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．综合、运用、诊断一、填空题13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；(2)若抛物线经过原点，则____________；(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．二、选择题20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜022．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )A ．a ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＜0B ．a ＞0，c ＜0，b 2－4ac ＞0C ．a ＜0，c ＞0，b 2－4ac ＜0D ．a ＜0，c ＜0，b 2－4ac ＞0 23．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )A ．b ＞0，c ＞0，＝0B ．b ＜0，c ＞0，＝0C ．b ＜0，c ＜0，＝0D ．b ＞0，c ＞0，＞024．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜325．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )26．函数xaby b ax y =+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )三、解答题27．已知抛物线y ＝x 2－3kx ＋2k ＋4．(1)k 为何值时，抛物线关于y 轴对称； (2)k 为何值时，抛物线经过原点．28．画出23212++-=x x y 的图象，并求：(1)顶点坐标与对称轴方程； (2)x 取何值时，y 随x 增大而减小? x 取何值时，y 随x 增大而增大?(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少? (4)x 取何值时，y ＞0，y ＜0，y ＝0? (5)当y 取何值时，－2≤x ≤2?拓展、探究、思考29．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；(2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．30．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x ＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)测试3答案1．).44,2(,44)2(222a b ac ab a b ac a b x a y ---++= ⋅-<-≥--=-=abx a b x a b ac a b x a b x 2,2,44,2,222．,43),849,43(-小，⋅>≤---43,43),5,0(),0,1()0,25(,849x x 、3．(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)． 4．y ＝(x －2)2＋1，低，(2，1)． 5．－2，－7，x ≥－2，.72±-=x 6．±2． 7．右，3，上，4． 8．D ． 9．B. 10．B ． 11．C ． 12．(1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)开口向上，直线x ＝－1，顶点(－1，－8)； (3)与x 轴交点(－3，0)(1，0)，与y 轴交点(0，－6)； (4)图略；(5)将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到y ＝2x 2＋4x －6的图象； (6)x ≤－1；(7)当x ＜－3或x ＞1时，y ＞0；当x ＝－3或x ＝1时，y ＝0； 当－3＜x ＜1时，y ＜0； (8)x ＝－1时，y 最小值＝－8； (9)－8≤y ＜10； (10)S △＝12．13．(1)b ＝c ＝0；(2)c ＝0；(3)b ＝0；(4)b 2－4ac ＝0． 14．原． 15．2，y ＝2x 2－3x ． 16．4． 17．－1． 18．1． 19．一、二、三．20．C. 21．B ． 22．D ． 23．B ． 24．C ． 25．B ． 26．C ． 27．(1)k ＝0；(2)k ＝－2． 28．,2)1(212+--=x y ①顶点(1，2)，直线x ＝1；②x ≥1，x ＜1； ③x ＝1，y 最大＝2；④－1＜x ＜3时，y ＞0；x ＜－1或x ＞3时y ＜0；x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；.225≤≤-y ⑤ 29．(1)y 1＝－x 2＋2x ＋3，y 2＝3x ＋1．(2)①当－2＜x ＜1时，y 1＞y 2． ②当x ＝－2或x ＝1时，y 1＝y 2． ③当x ＜－2或x ＞1时y 1＜y 2． 30．①，④．。

二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a ，b ，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上0，0y 轴x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．a 0 向下0，0y 轴x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．2.y ax2 c 的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上0，c y 轴x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值c ．a 0 向下0，c y 轴x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值c ．2 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上h ，0X=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0 ．a 0 向下h ，0X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 ．4.y a x h 2 k的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上h ，kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k ．a 0 向下h ，k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2 k，确定其顶点坐标h，k；⑵ 保持抛物线y ax2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y a x h 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ya (x +x 2x )24xx − x24x，其中h= -x2x，k 4xx − x24x五、二次函数 y ax 2 bx c 的性质 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为- x2x,顶点坐标为(−x 2x ,4xx − x 24x).当x - x2x 时，y 随x 的增大而减小； 当xx2x 时，y 随x 的增大而增大；当x =x2x 时，y 有最小值4xx − x 24x.当时，抛物线开口向下，对称轴为x- x 2x , 顶点坐标为(−x 2x ,4xx − x 24x).当x- x2x 时， y 随 x 的大而增大y;当随 x x2x 时,y 随 x 的增大而减小;当x = x2x 时 , y有最大值4xx − x24x.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax2 bx c（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式（交点式）：y a(x x1 )(x x2 )（a0，x1 ，x2 是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）3.常数项c⑴ 当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0 是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x 轴交于两点A x1，0，B x2，0(x1x2) ，其中的x1，x 2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根．② 当 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2 ' 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2.抛物线y ax2 bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例1 求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得{3=x−x+x3=x+x+x6=4x+2x+x解得{x=1x=0x=2∴解析式为 y=x2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8).设解析式为 y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.把x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8, ∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴4a(−3a)−(2a)24a=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2).⎬2. 二次函数的图象例 2 y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上 a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 c 0b bc>0.对称轴x2a在y 轴右侧 b 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:开口上下决定a 的正负左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号与a 的符号相同;)来判别b 的符号抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.23. 二次函数的性质例 4 对于反比例函数 y=- 2x与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命 题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x12+x 2=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点 P(m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2 得m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1. ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k. ∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1. ∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n 1=n 2.2 2 又 n 1=m 12+m 1,n 2=m2+m 2. ∴m 12+m 1=m2+m 2, 即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0. ∵P、Q 是抛物上不同的点, ∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0. ∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 yx 2 4x 7 的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线 y 2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）A. y2(x 1)2B. y2(x 1)2C. y 2x 2 1D. y 2x 2 13.函数 ykx 2k 和 yk(k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )x4.已知二次函数 y ax 2 bx c (a 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号; ② 当 x1和 x 3时,函数值相等;③ 4a b 0 ④当 y 2时,x 的值只能取 0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的两个根分别是x1 1.3和x（）2Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限的正根的个数为（）7.方程2x x2=2xA.0 个B.1 个C.2 个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y x2 x 2B. y x2 x 2C. y x2 x 2 或y x2 x 2D. y x2x 2 或y x2 x 2二、填空题9．二次函数y x2 bx 3 的对称轴是x 2 ，则b 。

专题07 二次函数y =ax ²+bx +c 的图象和性质（2）考点一 二次函数图象判断各项系数与式子的符号考点二 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断考点三 利用二次函数的对称性求最短路径考点四 二次函数与几何图形的综合应用考点一 二次函数图象判断各项系数与式子的符号例题：（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②20a b -=；③930a b c ++>；④24b ac >；⑤a c b +<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴对称轴为x ＝2b a-＞0，∵a ＜0，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵对称轴为x ＝2b a-＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b +c ＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ；故④正确；⑤由图象可知当x ＝﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，∴a c b +<，故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a 与b 的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③b a c ->；④3a c >-；⑤()a b m am b +>+（1m ¹，m 为实数），其中正确的结论有（ ）个．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】【分析】直接根据二次函数的图像与系数的关系及性质进行求解即可．【详解】解：由图像可知：对称轴为直线1,x =即200,0,0a b a b c +=，＜＞＞，∴①0,abc ＜，故错误．②由二次函数的图像可知与x 轴的一个交点在0和1-之间，根据二次函数的对称性可知抛物线与x 轴的另外一个交点在2和3之间，∴当2x =时，即420y a b c =++＞，故正确．③1x =-Q 时0,y <即0,a b c -+<,b ac \->故正确．④ 1x =-Q 时，0,y <即0y a b c =-+＜，又∵对称轴1,x =1,2b a\-=20,a b \+=30,a c \+<3,a c \<-故错误．⑤由图像可得当1x =时，函数取得最大值，即y a b c =++，当x m =时，2()1y am bm c m =++¹，2a b am bm \++＞，(),a b m ma b \+>+故正确．所以正确的有：②③⑤．故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像跟性质，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系及性质是解题的关键．2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴为x =12，且经过点（2，0）．下列结论：①abc <0；②-2b +c =0；③6a +c >0；④若（12-，y 1），（52，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；⑤14b >m （am +b ）（其中m ≠12）．正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】【分析】抛物线开口向下，且交y 轴于正半轴及对称轴为x =12，推导出a ＜0，b ＞0、c ＞0以及a 与b 之间的关系：b =-a ；根据二次函数图象经过点（2，0），可得出0=4a +2b +c ；再由二次函数的对称性，当a ＜0时，距离对称轴越远x 所对应的y 越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线x =12，可知当x =12时，y 有最大值．【详解】解：∵抛物线开口向下，且交y 轴于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵对称轴x =-2b a =12，即b =-a ，∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；又可知b =-a ，∴0=-4b +2b +c ，即-2b +c =0，故②正确；∵二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象过点（2，0），∴根据对称性可得，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象过点（-1，0），∴当x =-2时，420y a b c =-+<∵=-b a ，∴424(2)60y a b c a a c a c =-+=--+=+<，故③不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x =12，且12−(−12)=1，52-12=2，∴y 1＞y 2，故④不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x =12，∴当x =12时，抛物线y 取得最大值ymax =（12）2a +12b +c =14b +c ，当x =m 时，ym =am 2+bm +c =m （am +b ）+c ，且m ≠12，∴14b +c ＞m (am +b )+c （其中m ≠12）．故⑤正确，综上，结论①②⑤正确，共3个故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．考点二 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知函数()()y x m x n =--（其中m n <）的图象如图所示，则函数y nx m =+的图象可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．=【答案】D【解析】【分析】根据题意可得二次函数与x 轴的交点为（m ，0），（n ，0），从而得到1,01m n <-<<，进而得到函数y nx m=+经过第一三四象限，且与y 轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解．【详解】解：令y =0，则()()0x m x n --=，解得：12,x m x n ==，∴二次函数与x 轴的交点为（m ，0），（n ，0），∵m n <，∴1,01m n <-<<，∴函数y nx m =+经过第一、三、四象限，且与y 轴的交点位于点（0，-1）的下方．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则选项中函数y ＝a （x ﹣b ）2＋c 的图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】先根据y ＝ax 2+bx +c 的图象得到a 、b 、c 的正负情况，从而得到函数y ＝a （x ﹣b ）2+c 的图象的开口方向和顶点坐标所在的位置，分析判断即可得到正确的函数图象．【详解】解：由y ＝ax 2+bx +c 的图象可得a ＜0，b ＞0，c ＞0，∵函数y ＝a （x ﹣b ）2+c ，∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b ，c ），且该函数图象的顶点在第一象限，故选：B【点睛】本题考查由二次函数图象判断各项系数的符号，牢记相关知识点是解题关键．2．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图，则一次函数24y ax b ac =+-与反比例函数b c y x+=．在同一坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图像，确定二次函数系数的符号，再确定一次函数与反比例函数的系数，即可求得．【详解】解：二次函数图像开口向上，得到0a >二次函数图像与x 轴有两个交点，得到240b ac ->二次函数的与y 轴交点在x 轴的下方，得到0c <二次函数的对称轴b x 02a =->，得到0b <∴0b c +<∴一次函数24y ax b ac =+-图像经过一、二、三象限反比例函数b c y x +=的图像经过二、四象限故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数、反比例函数与二次函数图像与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．考点三 利用二次函数的对称性求最短路径例题:（2022·全国·九年级课时练习）已知：二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C ，点D （﹣2，﹣3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，求△PAD 周长的最小值．【答案】(1)223y x x =+-(2+【解析】【分析】（1）根据,A D 的坐标，待定系数法求解析式即可；（2）先求得点B 的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD 周长确定最小值时，,,D P B 三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值．(1)()()3,0,2,3A D ---Q 在二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上，930423b c b c -+=ì\í-+=-î解得23b c =ìí=-î\抛物线的解析式为223y x x =+-(2)Q 223y x x =+-()214x =+-\对称轴为1x =-如图，连接DB ，,A B Q 关于1x =-轴对称PA PB\=APD △的周长等于AD PA PD AD PB PD AD DP ++=++³+，当,,D P B 三点共线时，APD △的周长取得最小值，最小值为AD DP+由抛物线解析式223y x x =+-，令0y =，即2230x x +-=解得123,1x x =-=()1,0B \()()()3,0,2,3,1,0A D B ---QAD ==Q ，DB ==\APD △【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东临沂·一模）如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线114y x =-+过B 、C 两点，连接AC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点M (3，1)是抛物线上的一点，点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，点P 为抛物线对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD +PM 的最小值．【答案】(1)213144y x x =-++(2【解析】【分析】（1）根据一次函数解析式可求出点B ，C 的坐标，再代入抛物线解析式进而求解即可；（2）设点D 的坐标为（x ，213144x x -++），则点E 的坐标为（x ，114x -+），由坐标得DE ＝213144x x -++－（114x -+）=21(2)14x --+，当x ＝2时，线段DE 的长度最大，此时，点D 的坐标为（2，32），点C 和点M 关于对称轴对称，连接CD 交对称轴于点P ，此时PD ＋PM 最小，连接CM 交直线DE 于点F ，则∠DFC ＝90°，由勾股定理得CD，根据PD ＋PM ＝PC ＋PD ＝CD ，即可求解．(1)解：∵直线114y x =-+过B 、C 两点，且B ，C 分别在x 轴和y 轴上当x =0时，y =1当y =0时，x =4∴点B （4，0），点C （0，1）∵抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，∴4401b c c -++=ìí=î，解得341b c ì=ïíï=î，∴抛物线的解析式为：213144y x x =-++．(2)解：设点D 的坐标为（x ，213144x x -++），则点E 的坐标为（x ，114x -+），∵点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，∴DE ＝213144x x -++－（114x -+）=21(2)14x --+，∵14-＜0，∴当x ＝2时，线段DE 的长度最大，此时，点D 的坐标为（2，32），∵C （0，1），M （3，1），∴点C 和点M 关于对称轴对称，连接CD 交对称轴于点P ，此时PD ＋PM 最小，连接CM 交直线DE 于点F ，则∠DFC ＝90°，点F 的坐标为（2，1），∴CD ，∵PD ＋PM ＝PC ＋PD∴PD ＋PM ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解决本题的关键是数形结合思想，熟练掌握二次函数的性质、二次函数的对称性．2．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线213y x bx c =-++（b ，c 为常数），经过点A （－2，0），C （0，4），点B 为抛物线与x 轴的另一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△PBC 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)设点M ，N 是该抛物线对称轴上的两个动点，且2MN =，点M 在点N 下方，求四边形AMNC 周长的最小值．【答案】(1)214433y x x =-++(2)（3，5）(3)2【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；(2)首先点B 的坐标，再求出直线BC 的解析式，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交BC 于点Q ，设点214433P m m m -++（，），243Q m m -+（，）,当3m =时，PBC S D 有最大值,即可求出点P 的坐标；（3）由四边形AMNC 的周长AM MN CN AC =+++，得到当AM +CN 最小时，四边形AMNC 的周长最小，得出AM +CN=AM +DM ，求出AM DM +的最小值即可得到结论.(1)解：∵抛物线213y x bx c =-++经过点A （-2，0），C （0，4），∴42034b c c ì--+=ïíï=î解得434b c ì=ïíï=î∴该抛物线的解析式： 214433y x x =-++(2)解：∵点B 是抛物线214433y x x =-++与x 轴的交点，∴ 2144033x x -++=，∴1226x x =-=，，∴点B 的坐标为（6，0），设直线BC 的解析式为y=kx+n ，∵点B （6，0），C (0，4)∴604k n n +=ìí=î解得234k n ì=-ïíï=î ，∴直线BC 解析式为：243y x =-+， 如图，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交BC 于点Q ，设点214433P m m m -++（，），243Q m m -+（，） ∴2214214423333PQ m m m m m æöæö=-++--+=-+ç÷ç÷èøèø，∴()221116239223PBC S OB PQ m m m æö=××=´´-+=--+ç÷èøV ∴当3m =时，PBC S D 有最大值，∴点P 的坐标为（3，5）．(3)解：∵A （-2，0），C （0，4），∴AC ==，∵四边形AMNC 的周长AM MN CN AC =+++，2MN =，∴当AM +CN 最小时，四边形AMNC 的周长最小.将CN 向下平移2个单位长度，得到对应线段DM，∴点C 的对应点D 的坐标为（0，2），∴AM +CN=AM +DM ，可知抛物线213y x bx c =-++的对称轴为直线2x =， 如图，作点D 关于对称轴2x =的对称点D ¢，可求得D ¢（4，2），连接AD ¢，则AD AM MD AM DM ¢¢=+=+，过点D ¢作D E ¢⊥x 轴于点E ，2D E ¢=，6AE =，∴AM DM +的最小值为AD ==¢∴四边形AMNC 周长的最小值为2AC MN AD ++=¢．【点睛】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最短路线问题等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．考点四 二次函数与几何图形的综合应用例题：（2022·吉林·长春市绿园区教师进修学校二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线232y ax x =--与x 轴正半轴交于点()3,0A ．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF ．则点E 的坐标是______．【答案】(1，1【解析】【分析】先将点A （3，0）代入求出关系式，由正方形的性质可知点D 的纵坐标是3，即可求出点D 的横坐标，可得答案．【详解】将点A （3，0）代入232y ax x =--，得39302a --=，解得12a =，∴抛物线的关系式为21322y x x =--．∵四边形OABC 是正方形，∴CO=AO=3，∴点D 的纵坐标是3．当y=3时，213322x x --=，解得=1x +1x =-（舍），∴点D 的横坐标是1∵四边形EFBD 是正方形，∴1C D A F ==+，∴点E 的坐标是(1++．故答案为：(1．【点睛】这是一道二次函数和正方形的综合问题，考查了正方形的性质，求二次函数关系式等．【变式训练】1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，已知直线y ＝43x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣43x2﹣83x+4(2)S最大＝334，D（﹣32，5）(3)存在，Q（﹣2，198）【解析】【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．(1)解：当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，43x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），∴设抛物线的表达式：y ＝a （x ﹣1）•（x +3），∴4＝﹣3a ，∴a ＝﹣43，∴抛物线的表达式为：y ＝﹣43（x ﹣1）•（x +3）＝﹣43x 2﹣83x +4；(2)如图1，作DF ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∴D （m ，﹣243m ﹣83m +4），E （m ，﹣43m +4），∴DE ＝﹣243m ﹣83m +4﹣（43m +4）＝﹣43m 2﹣4m ，∴S △ADC ＝12DE ×OA ＝32•（﹣43m 2﹣4m ）＝﹣2m 2﹣6m ，∵S △ABC ＝12AB OC ×＝1432´´＝6，∴S ＝﹣2m 2﹣6m +6＝﹣2（m +32）2+334，∴当m ＝﹣32时，S 最大＝334，当m ＝﹣32时，y ＝﹣433(1)(3)322´--´-+＝5，∴D （﹣32，5）；(3)设P （﹣1，n ），∵以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形，∴PA ＝PC ，即：PA 2＝PC 2，∴（﹣1+3）2+n 2＝1+（n ﹣4）2，∴n ＝138，∴P （﹣1，138），∵xP +xQ ＝xA +xC ，yP +yQ ＝yA +yC∴xQ ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ ＝4﹣138＝198，∴Q （﹣2，198）．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质2．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于(3,0)(1,0)A B -,两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R 为抛物线上一点，满足45BCR Ð=°，求R 的坐标．(3)若点P 在抛物线的对称轴上，点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P 使得A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =(2)（4，-5）(3)存在，（4，1）或（-2，1）或æççè或æççè【解析】【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）过点B 作BM ⊥BC 交CR 于点M ，过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，证明△BOC ≌△MBE ，可得点E （2，-1），然后求出直线CR 的解析式，再与抛物线解析式联立，即可求解；（3）设(1,)P t ，点Q （m ，n ），分两种情况讨论：然后分两种情况讨论：当AC 为边时，当AC 为对角线时，即可求解．(1)解：∵抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，∴933030a b a b ++=ìí-+=î，解得：12a b =-ìí=î，∴该抛物线的解析式为()222314y x x x =-++=--+，∴对称轴为直线1x =；(2)解：当x =0时，3y =，∴OC =3，∵点B （-1，0），∴OB =1，如图，过点B 作BM ⊥BC 交CR 于点M ，过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，∵∠BCR =45°，∴△BCM 为等腰直角三角形，∠CBO +∠EBM =90°，∴BM =BC ，∵∠EBM +∠BME =90°，∴∠CBO =∠BME ，∵∠BEM =∠BOC =90°，∴△BOC ≌△MBE ，∴EM =BO =1，BE =OC =3，∴OE =2，∴点E （2，-1），设直线CR 的解析式为()10y kx b k =+¹把点C （0，3），M （2，-1）代入得：11321b k b =ìí+=-î，解得：123k b =-ìí=î，∴直线CR 的解析式为23y x =-+，联立得：22323y x x y x ì=-++í=-+î，解得： 045x y =ìí=-î 或03x y =ìí=î（舍去），∴点R （4，-5）；(3)解：存在．设(1,)P t ，点Q （m ，n ），当以AC 为边时，点C 向点P （或点Q ）平移的方向和距离与点A 向点Q （或点P ）平移的方向和距离相同，且AP =CQ （或AQ =CP ），∴()()222201330133m t n t m n ì-=-ïï-=-íï-+=+-ïî或()()222203130133m n t t m n ì-=-ïï-=-íï+-=-+ïî，解得：441t m n =ìï=íï=î或221t m n =-ìï=-íï=î，∴此时点Q 的坐标为（4，1）或（-2，1）如图，当AC 为对角线时，AC =PQ ，且PQ 与AC 的中点重合，如图，PQ =AC ==∴()()(22213223221m n t m n t +ì=ïï+ï=íïï-+-=ïî，解得：n m t ì=ïïïíïï=ïî或n m t ìïïïíïï=ïî，∴此时点Q的坐标为æççè或æççè；综上所述，点Q 的坐标为（4，1）或（-2，1）或æççè或æççè【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．一、选择题1．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =+-¹，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】利用排除法，由0c -<得出抛物线与y 轴的交点应该在y 轴的负半轴上，排除A 选项和D 选项，根据B 选项和C 选项中对称轴02b x a-=>，得出0a <，抛物线开口向下，排除B 选项，即可得出C 为正确答案．【详解】解：对于二次函数()20y ax bx c a =+-¹，令0x =，则y c =-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为()0,c -∵0c >，∴0c -<，∴抛物线与y 轴的交点应该在y 轴的负半轴上，∴可以排除A 选项和D 选项；B 选项和C 选项中，抛物线的对称轴02b x a-=>，∵ 0b >，∴0a <，∴抛物线开口向下，可以排除B 选项，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．2．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的图像顶点为P （1，m ），经过点A （2，1）；有以下结论：①a <0；②abc ＞0；③4a +2b +c ＝1；④x >1时，y 随x 的增大而减小；⑤对于任意实数t ，总有at 2+bt ≤a +b ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a 、b 、c 的正负即可解答；③将点A 的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a ＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P （1，m ）∴12b a-=，b =-2a ∵a ＜0∴b ＞0∵抛物线与y 轴的交点在正半轴∴c ＞0∴abc ＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A （2，1）∴1＝a ·22+2b +c ，即4a +2b +c ＝1，故③正确；④∵抛物线的顶点为P （1，m ），且开口方向向下∴x >1时，y 随x 的增大而减小，即④正确；⑤∵a ＜0∴at2+bt-（a+b）= at2-2at-a+2a= at2-2at+a=a（t2-2t+1）= a（t-1）2≤0∴at2+bt≤a+b，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数2=+与y＝ax＋b的图象不可能是y ax bx()A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．【详解】解：当a >0，b >0时，y =ax 2+bx 的开口上，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y =ax +b 经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x 的负半轴，无选项符合； 当a >0，b <0时，y =ax 2+bx 的开口向上，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y =ax +b 经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x 的正半轴，故选项A 正确，不符合题意题意； 当a <0，b >0时，y =ax 2+bx 的开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y =ax +b 经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x 的正半轴，C 选项正确，不符合题意； 当a <0，b <0时，y =ax 2+bx 的开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y =ax +b 经过第二、三、四象限，B 选项正确，不符合题意；只有选项D 的两图象的交点不经过x 轴， 故选D .【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a 、b 与0的大小关系进行分类讨论．4．（2022·天津和平·三模）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）的图像开口向下，与x 轴交于()1,0和()0m ,，且21m -<<-．有下列结论：①0abc >；②20a c +<；③若方程()()110a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<；④当32m =-时，若方程21ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为-1．其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据图像得到a <0，对称轴在y 轴左侧，图像与x 轴有两个交点，即为b <0，c >0，由此判断①正确；根据图像与x 轴交点可知a+b+c = 0，-2<m <-1，且抛物线开口向下，得到当x =-2时，y=4a-2b+c <0，当x =-1时，y=a-b+c >0，联立a+ b+c = 0和y= 4a- 2b+c < 0可得2a+c < 0，故结论②正确；若a (x- m )(x - 1) - 1 = 0有两个不相等的实数根，则a (x - m )(x - 1) = 1有两个不相等的实数根，则原抛物线的顶点纵坐标大于1，即2414ac b a->，由此判断③错误；当32m =-时，利用公式求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性得到四个根的和为1122144æöæö-´+-´=-ç÷ç÷èøèø，由此判断④正确．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）的图像开口向下，与x 轴交于()1,0和()0m ,，且21m -<<-．∴a <0，对称轴在y 轴左侧，图像与x 轴有两个交点，∴b <0，c >0，∴0abc >，故①正确；根据交点(1，0)，可知a+b+c = 0，根据交点(m ，0)，可知am 2 + bm +c = 0，∵-2<m <-1，且抛物线开口向下，∴当x =-2时，y=4a-2b+c <0，当x =-1时，y=a-b+c >0，联立a+ b+c = 0和y= 4a- 2b+c < 0可得 4a - 2(-a-c )+c < 0，化简得 2a+c < 0，故结论②正确；若a (x- m )(x - 1) - 1 = 0有两个不相等的实数根，∴a (x - m )(x - 1) = 1有两个不相等的实数根，则原抛物线的顶点纵坐标大于1，即2414ac b a->，∴244ac b a ->，故③错误；当32m =-时，抛物线的对称轴为31112224m -++==-，若方程21ax bx c ++=有四个根，则这四个根中有两个在x 轴上方，且关于对称轴对称；有两个在x 轴下方，且关于对称轴对称，故四个根的和为1122144æöæö-´+-´=-ç÷ç÷èøèø，故④正确；故选：C ．【点睛】此题考查了抛物线的性质，利用抛物线的图像判断式子的正负，正确理解抛物线的图像得到相关信息是解题的关键．二、填空题5．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴为直线1x =-，经过点（0，1）．有以下结论：①0a b c ++<；②0a b c -+<；③0abc >；④240b ac ->．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①③④【解析】【分析】根据抛物线开口方向判断a 的符号，根据对称轴及与y 轴交点坐标判断b 和c 的符号，据此可判断③的正误；根据函数在x =1和x =－1时的函数值判断①②的正误；根据抛物线与x 轴交点的个数判断④的正误．【详解】解：∵抛物线开口朝下，∴a <0，∵抛物线对称轴为x =-1，过（0，1），∴b <0，c >0，∴abc >0，③正确；由函数图象知，x =1时，y =a +b +c <0，故①正确；当x =－1时，y =a －b +c >0，故②错误；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，故④正确；综上所述，正确答案的序号为：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，掌握抛物线对称轴与a 、b 的关系及函数与方程间的转换是解题关键．6．（2022·全国·九年级课时练习）平面直角坐标系中，将抛物线2y x =-平移得到抛物线C ，如图所示，且抛物线C 经过点()1,0A -和()0,3B ，点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则OQ PQ +的最大值为______．【答案】214【解析】【分析】求得抛物线C 的解析式，设Q （x ，0），则P （x ，-x 2+2x +3），即可得出OQ +PQ ，根据二次函数的性质即可求得．【详解】解：设平移后的解析式为y =-x 2+bx +c ，∵抛物线C 经过点A （-1，0）和B （0，3），∴103b c c --+=ìí=î，解得23b c =ìí=î，∴抛物线C 的解析式为y =-x 2+2x +3，设Q （x ，0），则P （x ，-x 2+2x +3），∵点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，∴OQ +PQ =x +（-x 2+2x +3）=-x 2+3x +32321(24x =--+∴OQ +PQ 的最大值为214故答案为：214【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ +PQ =-x 2+3x +3是解题的关键．7．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，抛物线22y ax ax c =-+经过点B 、C ．（1）点B 的坐标为______．（2）若抛物线22y ax ax c =-+的顶点在正方形OABC 的内部，则a 的取值范围是______．【答案】 B （2，2） 0<a <2【解析】【分析】（1）观察图象即可得到0a >，求得对称轴为直线1x =，即可求得2BC =，即可求出点B 的坐标；（2）易求得2c =，得到抛物线为222y ax ax =-+，根据题意得到()422024a a a ´--<<，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线22y ax ax c =-+开口向上，∴0a >．∵对称轴为直线12b x a=-=，且经过点B 、C ，∴2BC =，∴正方形的边长为2，∴22B （，），故答案为：B （2，2）；（2）可求得点C 坐标为（0，2），∴2c =．∴抛物线为222y ax ax =-+．∵抛物线22y ax ax c =-+的顶点在正方形OABC 的内部，∴()2422024a a a ´--<<，解得2a <，∴02a <<．故答案为：02a <<.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，坐标与图形、二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质、解一元一次不等式组，根据题意得到关于a 的不等式组是解题的关键．8．（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc <；②0a b c -+>；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()(1a b m am b m +<+¹的实数），其中正确结论的序号有____．【答案】①③④【解析】【分析】根据图象开口方向，与y 轴交点及对称轴判断①；由x =-1时，y <0判断②；由图象与x 轴的另一个交点在2与3之间，由此判断③；由对称轴得到2b a =-，代入a -b +c <0，得到02b b c --+<，由此判断④；由x =1时，函数有最大值判断⑤．【详解】解：由图象得a <0，c >0，∵对称轴在y 轴右侧，a <0，∴b >0，∴abc <0，故①正确；由图象知，当x =-1时，y <0，即a -b +c <0，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x =1，图象与x 轴的一个交点在-1与0之间，∴图象与x 轴另一个交点在2与3之间，∴当x =2时y >0，即420a b c ++>，故③正确；∵抛物线的对称轴为直线x =1，即12b a-=，∴2b a =-，∵a -b +c <0，∴02b bc --+<，∴23c b <，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴当x =1时，函数有最大值，即最大值为y =a +b +c ，∴当x =m （1m ¹）时，a +b +c >am 2+bm +c ，∴a +b >m （am +b ），故⑤错误，故答案为：①③④．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，二次函数的对称轴，熟记二次函数的综合知识是解题的关键．三、解答题9．（2022·重庆市涪陵第十八中学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x 轴交于A (﹣2，0)，B (6，0)两点，与y 轴交于点C (0，﹣2)，点P 是抛物线上位于直线BC 下方的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AC ，过点P 作PG ∥AC 交BC 于点G ，求PG 长度的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB 的方向平移，使得新抛物线y '经过点（2，﹣），并记新抛物线y '的顶点为D ，若点M 为新抛物线y ′对称轴上的一动点，点N 为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．【答案】(1)126y =-(2)PG P 的坐标为5(3,)2-(3)当点N 的坐标为（10，0）或（-2，-10）或(2,-或(2--，时，以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形【解析】【分析】（1）根据抛物线与x 轴交于A (﹣2，0)，B (6，0)两点，可设两点式，再把点C (0，﹣2)代入，即可得；（2）先求出直线BC 的解析式，过点P 作直线l BC ∥，只有当直线l 与抛物线相切，PG 有最大值，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ，抛物线与直线联立，令=0D ，可求出直线的解析式，从而求得点P 的坐标，在求出AC 的解析式，由直线PG 与AC 平行，可求得直线PG 的解析式，与直线BC 联立，可求得点G 的坐标，从而求得PG 的长度；（3）过点C 作直线CE x ∥轴，过点B 作CE 的垂线，垂足为E ，求出BE 1CE 3=，设抛物线沿射线CB 的方向平移，使点C 平移到点G ，过点G 作GH CE ^，可证CHG CEB △∽△，则可以设抛物线沿着射线CB 方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度，即可求出平移后的抛物线的解析式，可求得D 点的坐标，然后根据菱形的性质分别讨论：当DM ，AN 以A 、D 、M 、N 为顶点的菱形的对角线时，当DM ，MA 以A 、D 、M 、N 为顶点的菱形的邻边时，当AD ，MD 以A 、D 、M 、N 为顶点的菱形的邻边时，进行求解即可得．(1)解：∵抛物线与x 轴交于A (﹣2，0)，B (6，0)两点，∴设抛物线解析式为：(2)(6)y a x x =+-，把点C (0，﹣2)代入(2)(6)y a x x =+-，得2(6)2a -=-g 122a -=-解得，16a =，则抛物线的解析式为：2112(2)(6)2663y x x x x =+-=--．(2)解：设直线BC 的解析式为：y kx b =+，把B (6，0)，点C (0，﹣2)代入y kx b =+中，得602k b b +=ìí=-î，解得，132k b ì=ïíï=-î，即直线BC 的解析式为：123y x =-，如图所示，过点P 作直线l BC ∥，只有当直线l 与抛物线相切，PG 有最大值，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ，设此时直线l 的解析式为：13y x b =+，联立21312263y x b y x x ì=+ïïíï=--ïî，得21206x x b ---=，2142(1)4(2)1063b b +=--´´--=+=Δ，解得，72b =-，即2172062x x --+=，2690x x -+=解得，3x =，即1P 的横坐标为3，代入直线l 解析式得，其纵坐标为1753322´-=-，故1P 的坐标为：5(3,)2-，即PG 长度最大时点P 的坐标为5(3,2-，。