专题十平移、对称、旋转、方向、位置

平移旋转与对称平移、旋转和对称是几何学中常见的变换形式，在数学中有着重要的应用和研究价值。

本文将介绍平移、旋转和对称的基本概念、性质以及它们之间的关系。

一、平移平移是指将一个图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，移动后的图形与原来的图形形状完全相同。

我们可以通过向量来描述平移。

设有平面上的一点A，平移的向量为v，则A点平移后得到的点A'可表示为A + v。

简单来说，平移是保持形状不变的移动。

平移的性质：1. 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

2. 平移保持图形上的任意两点之间的距离和夹角不变。

3. 平移具有可逆性，即可以通过反向平移将图形移回原来的位置。

二、旋转旋转是指将一个图形绕着某个点或某条线旋转一定的角度，使得旋转后的图形在形状上与原来的图形相似。

我们可以通过旋转矩阵来描述旋转变换。

设有平面上的一点A，绕O点逆时针旋转θ度后得到的点A'可表示为：[x' y'] = [cosθ -sinθ] [x - x0] + [x0][y - y0]其中(x0, y0)为旋转中心坐标。

旋转的性质：1. 旋转不改变图形的大小，只改变图形的位置和方向。

2. 绕同一个点旋转的图形之间的大小和形状相似。

3. 旋转保持图形上的任意两点之间的距离和夹角不变。

4. 旋转也具有可逆性，即可以通过逆时针旋转将图形旋转回原来的位置。

三、对称对称是指将一个图形中的点绕着一个轴进行翻转，使得翻转后的图形与原来的图形完全重合。

我们可以通过对称轴来描述对称变换。

设有平面上的一点A，关于对称轴l对称后得到的点A'可表示为A' = 2l - A。

简单来说，对称是保持形状不变的镜像变换。

对称的性质：1. 对称不改变图形的大小和方向，只改变图形的位置。

2. 关于直线对称的图形之间的大小和形状完全相同。

3. 对称保持图形上的任意两点关于对称轴的距离不变。

4. 对称具有可逆性，即可以通过再次对称将图形还原到原来的位置。

初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念初中数学知识归纳：平移、旋转和对称的基本概念数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要工具。

在初中阶段，数学的教学内容涵盖了广泛的概念和技巧，其中平移、旋转和对称是数学中的重要概念。

本文将围绕这三个概念展开讨论，介绍它们的基本概念以及在数学中的应用。

1. 平移：平移是指在平面上把一个图形沿着规定的方向进行“平行移动”，保持图形的形状和大小不变。

平移可以由向量来描述，其中向量的大小和方向决定了平移的幅度和方向。

平移的基本概念包括起点、终点、向量以及平移矢量。

在数学中，平移有着广泛的应用。

它可以用于解决几何问题，比如寻找两个图形之间的关系以及判断两个图形是否相似。

平移还可以应用于向量的运算和矩阵的变换，这些概念在高中数学和物理学中有着重要的地位。

2. 旋转：旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。

旋转可以通过给定旋转中心和旋转角度来确定。

旋转的基本概念包括旋转中心、旋转角度、顺时针旋转和逆时针旋转等。

旋转在数学中是一个重要的几何概念，在解决旋转对称性问题和图形变换中起着关键作用。

旋转可以通过向量运算和矩阵变换来实现，并且在建模和计算机图形学中有着广泛的应用。

3. 对称：对称是指一个图形在某种变换下保持不变或变成自身，这种变换被称为对称变换。

常见的对称变换包括中心对称和轴对称。

中心对称是指图形围绕一个中心点进行对称，而轴对称是指图形围绕一个轴线进行对称。

对称在数学中是一个重要的概念，它可以用于解决关于对称性的问题以及判断两个图形是否相等。

对称也可以应用于线性代数和几何代数中，并在图像处理和密码学中有着广泛的应用。

总结：初中数学中的平移、旋转和对称是三个基本的几何概念，它们在解决几何问题和图形变换中起着重要作用。

通过了解和掌握这些基本概念，学生可以培养几何思维和观察问题的能力，并将其应用于更高级的数学学科中。

通过本文的介绍，我们了解了平移、旋转和对称在数学中的基本概念和应用，而且对它们的关系和联系也有了更深的认识。

二、图形的平移、旋转与轴对称1.图形的平移●平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定距离的图形运动。

●平移两要素：平移的方向、平移的距离●平移前的图形：画虚线；箭头：表示平移的方向；平移后的图形：画实线。

●注意：平移几格不是原图形与平移后图形之间的格数，而是指图形的对应点之间的格数。

●关键点：一般是图形的各顶点或线段的交点。

●注意：平移前后，图形的大小、形状、方向都不变，只是位置变了。

●画平移后图形的方法：①找关键点②定平移方向、距离③找对应点④依次连线。

2.图形的旋转●旋转的定义：旋转是指在平面内，将某个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度的图形运动。

这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。

●旋转三要素①旋转中心：点/轴②旋转方向：顺时针方向/逆时针方向③旋转角度●怎样描述图形的旋转：将某图形绕某点沿某时针方向旋转某度到某位置。

●画旋转后图形的方法：①找旋转中心②找准关键线段③旋转关键线段④画出旋转后的图形●旋转中心：一般是两个图形的公共点●关键线段：过旋转中心的线段。

为了保证旋转角度，一般选与方格纸重合的线段作为关键线段。

●注意：旋转前后，图形的大小、形状都不发生改变，但位置和方向一般会发生变化。

3.轴对称图形●定义：轴对称图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴（对称轴画虚线，画超出图形）。

●轴对称图形至少有一条对称轴。

●轴对称图形中每一组对称点到对称轴的距离相等。

●轴对称图形中对称点的连线与对称轴互相垂直。

●轴对称图形和对称轴的数量：①正方形（4条对称轴）②长方形（2条对称轴）③等腰三角形（1条对称轴）④等边三角形也叫正三角形（3条对称轴）⑤菱形（2条对称轴）⑥圆形（无数条对称轴）⑦等腰梯形（1条对称轴）⑧五角星（5条对称轴）⑨正五边形（5条对称轴）●生活中的轴对称图形或轴对称现象：京剧脸谱、剪纸、国徽、天坛、北京故宫、凯旋门、蝴蝶、空调、人的五官和身体等●画对称轴的方法：①找一组对应点②画对应点间线段的中垂线③画虚线●画轴对称图形另一半的方法：①找关键点②定对称点③依次连线（一般画虚线）4.设计图案●利用平移设计图案的方法：①选好基本图形②确定平移的方向③确定平移的距离④进行多次平移●利用旋转设计图案的方法：①选和基本图形②确定旋转方向和角度③确定旋转中心④依次画出每次旋转后的图形●利用轴对称设计图案的方法：①选好基本图形②确定对称轴③画出基本图形的另一半5.探索规律●观察图形变化时，先确定变化方式（平移、旋转或轴对称），再确定位置变化的规律。

初中数学知识归纳平移旋转和对称变换初中数学知识归纳：平移、旋转和对称变换数学是一门具有广泛应用的学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要学科之一。

在初中数学中，平移、旋转和对称变换是数学中常见的几何变换操作，对于学生们的几何观念理解和图形思维的培养具有重要意义。

本文将对初中数学中的平移、旋转和对称变换进行归纳和总结。

一、平移（Translation）平移是指在平面内按照一定的方向和距离将图形移动到另一个位置的几何变换操作。

平移操作不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。

在平移中，每个点都按照相同的方向和距离进行移动。

平移的基本要素有：平移向量和被平移图形。

平移向量是指平移的方向和距离，可以用箭头表示。

被平移图形是指需要进行平移操作的图形。

二、旋转（Rotation）旋转是指按照某个中心点和旋转角度将图形绕这个中心点进行旋转的几何变换操作。

旋转不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。

在旋转中，每个点都绕着中心点按照相同的角度进行旋转。

旋转的基本要素有：旋转中心、旋转角度和被旋转图形。

旋转中心是指旋转的中心点，旋转角度是指旋转的角度大小，可以用度数表示。

被旋转图形是指需要进行旋转操作的图形。

三、对称变换（Symmetry）对称变换是指通过某条线、某个点或某个面将图形镜像成另一个图形的几何变换操作。

对称变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置或方向。

在对称变换中，每个点通过指定的对称轴或对称中心得到对应的镜像点。

常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称等。

关于x轴的对称是指图形在x轴上下对称，即图形上的每个点与其镜像点关于x轴对称；关于y轴的对称是指图形在y轴左右对称，即图形上的每个点与其镜像点关于y轴对称；关于原点的对称是指图形在原点内外对称，即图形上的每个点与其镜像点关于原点对称。

综上所述，初中数学中的平移、旋转和对称变换是数学几何中常见的几何变换操作。

通过学习和理解这些几何变换，学生们可以更好地把握图形的性质和形态，同时培养几何思维和问题解决能力。

平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质平移、旋转和对称是几何学中重要的概念和操作。

它们是描述和变换图形位置和形状的基本工具。

本文将详细介绍平移、旋转和对称的定义及其性质。

一、平移的定义与性质平移是指将一个图形沿着一定方向移动一定距离，而不改变其形状和方向。

下面是平移的定义与性质：定义：平移是指将一个图形中的所有点，按照同样的方向和距离，同时保持相对位置的变换操作。

性质：1. 平移不改变图形的大小、形状和方向。

2. 平移后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。

3. 平移是一个向量运算，可以用向量表示平移的方向和距离。

4. 任意两个平移可以合成为一个平移。

二、旋转的定义与性质旋转是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定角度，使得旋转后的图形与原图形相似但方向和位置发生变化。

下面是旋转的定义与性质：定义：旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，使得旋转前后图形中的对应点的距离保持不变。

性质：1. 旋转不改变图形的大小、形状和方向。

2. 旋转后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。

3. 旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。

4. 旋转是一个变换操作，可以用旋转中心和旋转角度来描述。

三、对称的定义与性质对称是指将一个图形分割成两个部分，使得两个部分关于某条直线、点或中心对称。

下面是对称的定义与性质：定义：对称是指将一个图形按照某个轴线或点进行折叠或旋转，使得折叠或旋转后的图形与原图形重合。

性质：1. 对称不改变图形的大小、形状和方向。

2. 对称后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。

3. 图形关于对称轴对称时，对称轴上的点不动；图形关于对称中心对称时，对称中心不动。

4. 对称操作是可逆的，即对称两次会得到原来的图形。

综上所述，平移、旋转和对称是几何学中常用的图形变换操作。

它们各自有着特定的定义和性质，可以描述和变换图形的位置和形状。

理解和掌握平移、旋转和对称的定义与性质，将有助于我们在解决几何问题和应用几何知识时进行准确的操作和分析。

平移旋转和对称平移、旋转和对称在数学和几何学中是非常重要的概念。

本文将介绍平移、旋转和对称的定义、性质以及它们在实际应用中的意义。

一、平移平移是指将一个图形按照指定的方向和距离移动到另一个位置，而不改变其形状和大小。

平移可以看作是将整个图形沿着指定的方向平行移动。

平移有以下性质：1. 平移后的图形与原图形形状相同，大小相等；2. 平移后的图形与原图形相互重合；3. 平移与图形的位置无关，只与方向和距离有关；4. 平移是一种向量运算，可以用向量表示。

平移在日常生活中有许多应用，例如地图中的位置标记、机器人的行走路径规划等。

在艺术和设计领域中，平移可以使图形或图案产生一种整齐、规则的效果。

二、旋转旋转是指将一个图形按照指定的中心点和角度旋转。

旋转可以改变图形的朝向和位置，但不改变其形状和大小。

旋转有以下性质：1. 旋转后的图形与原图形形状相同，大小相等；2. 旋转后的图形与原图形相似，它们的对应点之间的距离保持不变；3. 旋转可以是顺时针或逆时针方向；4. 旋转角度可以用正数表示顺时针旋转，用负数表示逆时针旋转。

旋转也有广泛的应用。

在地理学中，地球的自转和公转是旋转的典型例子。

在航空航天领域，飞机和火箭的飞行轨迹是通过旋转实现的。

三、对称对称是指一个图形可以通过某条直线或某个中心点将其分成两个完全相同的部分。

对称可以是关于直线对称或中心对称。

对称有以下性质：1. 对称轴是将图形分成两个对称的部分的直线或点；2. 对称轴上的点与它们的对称点距离相等；3. 关于直线对称的图形在对称轴上没有变化；4. 关于中心对称的图形与其对称轴上的点相互重合。

对称在艺术、建筑和自然界中都有广泛的应用。

例如，许多建筑物的设计和花朵的形状都具有对称性，给人一种美感和和谐感。

总结：平移、旋转和对称是数学和几何学中重要的概念。

平移是指将图形沿着指定的方向平行移动，保持其形状和大小不变；旋转是指将图形按照指定的中心点和角度旋转，改变其朝向和位置但不改变形状和大小；对称是指图形可以通过某条直线或某个中心点将其分成两个完全相同的部分。

初一数学掌握几何中的平移旋转和对称几何学作为数学的重要分支之一，在初中数学教学中占据着重要地位。

其中，平移、旋转和对称是初一学生所学的基本几何变换方法。

本文将详细介绍初一数学中的平移、旋转和对称的概念、性质和应用。

一、平移平移是指将一个图形按照某个方向和距离移动，移动之后的图形与原图形形状完全相同。

平移有以下几个基本要素：1. 向量：平移的方向和距离可以用向量来表示。

我们可以将向量看作是有大小和方向的箭头，用向量来表示平移的方向和距离，如A B⃗表示从点A平移至点B的向量。

2. 平移的性质：平移具有以下几个重要性质：- 平移不改变图形的形状和大小；- 平移不改变图形的内部角度大小，即图形内部的角度大小保持不变；- 平移不改变图形的对称性。

3. 平移的表示方法：平移可以通过向量的方法来表示。

二、旋转旋转是指将一个图形按照某个中心点旋转一定的角度，使得图形在旋转过程中保持形状不变。

旋转有以下几个基本要素：1. 旋转中心：旋转的中心点是固定不动的点，图形围绕旋转中心旋转。

2. 旋转角度：旋转的角度是图形旋转的大小，单位为度。

顺时针旋转角度取负值，逆时针旋转角度取正值。

3. 旋转的性质：旋转具有以下几个重要性质：- 旋转不改变图形的形状和大小；- 旋转改变了图形的方向；- 旋转不改变图形的内部角度大小；- 若一个图形可以通过旋转变换得到另一个图形，则称两个图形是旋转关系。

4. 旋转的表示方法：旋转可以通过中心点和旋转角度来表示。

三、对称对称是指图形相对于某条直线、点或平移中心呈镜像关系。

对称有以下几个基本要素：1. 对称轴：对称轴是指图形的每一点关于该轴上的点在图形中心对称。

2. 对称中心：对称中心是指图形的每一点关于该中心点对称。

3. 对称的性质：对称具有以下几个重要性质：- 对称不改变图形的形状和大小；- 对称不改变图形中点的位置；- 图形对称轴上的每个点关于轴对称的点在图形中心对称；- 图形对称中心上的每个点关于中心点对称。

2021年初中数学旋转、平移、对称知识点总结1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

〔旋转角小于0°，大于360°〕。

2.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。

旋转中心可在图形上，也可以在图形外部或内部，始终保持不动的那个点就是旋转中心，旋转中心就是两组对应点连线的垂直平分线的交点。

3.旋转中心确实定方法：〔1〕首先找出旋转前后两个图形上的两组对应点；〔2〕然后分别连接这两组对应点得到两条线段；〔3〕分别作这两条线段的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为旋转中心。

4.旋转的性质〔1〕对应点到旋转中心的距离相等。

〔2〕对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

即图形上每一点都绕转中心按相同的方向和角度旋转。

〔3〕旋转前后的图形全等:对应边相等、对应角相等、图形的形状大小不改变。

如下列图所示：5.旋转作图的具体步骤：找转截连写〔1〕找：找准图形中的关键点，并将每个关键点与旋转中心连结；〔2〕转：把连线围绕定点转过一定角度〔画旋转角的另一边〕〔3〕截：在旋转角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各关键点的对应点；〔4〕连：连结所得到的各对应点；〔5〕写：写出结论，说明作出的图形；即先找出关键点，然后连接关键点与旋转中心，将这些线段按同一方向旋转同一角度，标出对应点，连接对应点。

6.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

7.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。

8. 平移的性质〔1〕对应点的连线平行(或共线)且相等〔2〕对应线段平行(或共线)且相等；〔3〕对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。

9.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法〔1〕找关键点；〔2〕过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点〔3〕连接对应点。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------平移、旋转、轴对称什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的的方向什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的的方向和距离？如何确定旋转角度和旋转中心？（1）什么是平移、旋转、轴对称？平移：一个图形在平面内沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。

旋转：一个图形在平面内绕着一个固定点转动一定角度，这样的图形运动叫旋转，这个固定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角度。

轴对称：如果一个平面图形，沿着某一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线叫对称轴。

互相重合的点叫对称点。

（2）如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？在学习中，学生可能会问到摩天轮的运动、窗帘的拉动、门的转动、荡秋千、钟摆等生活现象算不算旋转。

回答这些具体的问题，教师首先需要理解轴对称、平移和旋转的概念在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，1 / 5也叫做合同变换。

如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，即原来的图形中，任意两点的距离假设是 l 的话，经过变换后的两点之间的距离仍是 l，所以全等变换是一个保距变换，而且由于距离保持不变，图形整体的形状、大小，都可以证明仍然是保持不变的。

全等变换有几种方式。

我们可以想象一下两个完全一样的图形，要由一个图形的运动得到另一个图形，可以作怎样的运动呢？可以是平移。

除此以外呢？比如两个三角形有一顶点重合，那么有两种情况：一种是这两个三角形的三个顶点顺序是一致的，这时其中一个经过旋转就能与另一个重合；还有一种是顶点的顺序相反，这时将其中一个反射（翻折）就能得到另一个。