高中数学1.2.2函数的表示法第2课时分段函数教案新人教A版必修1

1.2.2函数表示法(1)人教A版必修1一、教学目标（1）知识与技能目标：明确函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，了解简单的分段函数及其应用。

（2）过程与方法目标：利用实际生活中丰富的函数实例，帮助学生巩固对函数概念的理解，特别是从整体上把握函数概念；克服原有认知局限性，丰富对函数图像、函数对应关系的认识；帮助学生在解决具体问题的过程中领悟数形结合、转化与划归等数学思想方法的重要价值，发展学生思维能力。

（3）情感、态度与价值观目标：通过学习实际生活中丰富的函数实例，让学生感受到学习函数表示的必要性；通过函数的解析式与图象的结合渗透数形结合思想；通过课前预习、课上交流，培养学生良好的学习习惯，使学生获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣.二、教学重难点教学重点：会根据不同的实际情境需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示。

三、学情分析及教学内容分析函数是高中数学的重要内容，函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一。

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。

同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但对函数的认识还很不全面。

在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。

函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。

特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法。

因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。

四、教学过程设计环节1：理解函数表示中定义域的“不可或缺”，从整体把握函数的概念师：在初中我们已经接触过函数的三种表示法，它们分别是？生: 解析法、图像法、列表法.问题一：试用函数的三种表示法表示下列函数y=f(x)?(1)某种饮料单价是3元/瓶,买x（x∈{1，2，3，4，5}）瓶这种饮料需要y元;(2)某种食品的单价是3元/公斤，买x （ x ∈[1,5] ）公斤这种食品需要y 元. 学生活动：1，2两组写第(1)问，三四小组写第(2)问. 思考1：这两个函数有什么不同吗？为什么？学生回答：问题（1）中定义域是集合{1，2，3，4，5};而问题（2）中定义域是[1,5]，定义域不同，因此是两个不同的函数。

1．2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；(2)纠正认为“y＝f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识；(3)了解映射的概念及表示方法．2．过程与方法(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；(3)通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观(1)培养辨证地看待事物的观念和数形结合的思想；(2)使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式；(3)激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．●重点难点重点：分段函数的概念．难点：分段函数的表示及映射的概念(1)重点的突破：首先以两个例题为依据，通过学生的研习，组内讨论等活动，让学生先从感性上认识分段函数，再结合生活中的其他实例充分理解分段函数是一个函数，而不是几个函数．最后通过习题，利用师生合作探究的方式，让学生掌握分段函数问题的解法，在此过程中培养学生分析问题和归纳总结的能力，强化训练学生数形结合、分类讨论的思想意识，突出重点的同时化解分段函数的表示这一难点；(2)难点的解决：在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识，体会出映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．分段函数【问题导思】在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如：国内邮寄信函(本埠)，每封信函的重量和对应邮资如下表：(1)邮资M是信函重量m的函数吗？若是，其解析式是什么？【提示】 据函数定义知M 是m 的函数，其解析式为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.80，m ∈ 0，20]1.60，m ∈ 20，40]2.40，m ∈ 40，60]3.20，m ∈ 60，80]4.00，m ∈ 80，100](2)在(1)中有几个函数？为什么？【提示】 一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已．如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．【问题导思】在某次数学测试中，高一 1 班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A ，他们的成绩构成集合B .1．A 中的每一个元素，在B 中有且只有一个元素与之对应吗？ 【提示】 是的．2．从集合A 到集合B 的对应是函数吗？为什么？ 【提示】 不是．因为集合A 不是数集． 映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.映射已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12x ，－1<x <2x22，x ≥2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)若f (a )＝2，求a 的值．【思路探究】 (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32→求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32(2)就(a )的取值范围分三种情形分别求解．【自主解答】 (1)∵－1<32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×32＝3.又3>2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去； 当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1；当a ≥2时，由f (a )＝2，得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)． 综上所述，a 的值为1或2.1．求分段函数函数值的方法分段函数求值(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．已知n ∈N *，且f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2， n ≥10f n ＋5 ， n <10 ，则f (4)＝________.【解析】 由分段函数定义，f (4)＝f (4＋5)＝f (9)＝f (9＋5)＝f (14)＝14－2＝12【答案】 12画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出该函数的值域．【思路探究】y ＝|x ＋1|＋|x －3|――→绝对值定义 零点分段法 去绝对值 ――→分段分段函数―→作图分段函数的图象【自主解答】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝{ －2x ＋2，x ≤－1 4，－1<x ≤3 2x －2，x >3∴函数图象如图由图象易知函数的值域为[4，＋∞)1．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象．2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是()【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？映射的判断(1)A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝{ 1，x ≥0 0，x <0； (3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积．【思路探究】 紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断． 【自主解答】 (1)集合A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在集合B 中没有相对应的元素，所以不是映射．(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0，所以是映射．(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f 是从集合A 到集合B 的映射．判断一个对应是否是映射，关键有两点：(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素对应； (2)B 中的对应元素是否是唯一的．注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．已知点(x ，y )在映射f 作用下对应的元素是(2x ，x ＋y )，则(1,3)在f 作用下对应的元素是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52 B ．(2,4) C ．(3,5)D ．(4,6)【解析】 由题意知，x →2x ，y →x ＋y ，故(1,3)在f 作用下对应的元素是(2,4)．【答案】 B与分段函数有关的实际问题的解法(12分)如图1－2－4在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，图1－2－4沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB 的面积为y.试求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．【思路点拨】当点P在线段BC上时△APB的面积随点P的变化而变化，当点P在线段CD上时，△APB的面积是一个定值，当点P在线段AD上时，△APB 的面积随点P的变化而变化，可见应分三段考虑面积计算．【规范解答】(1)①当点P在线段BC上运动时，S△APB＝12×4x＝2x(0≤x≤4).2分②当点P在线段CD上运动时，S△APB＝12×4×4＝8(4＜x≤8).4分③当点P在线段AD上运动时，S△APB＝12×4×(12－x)＝24－2x(8＜x≤12).6分∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4 8， 4＜x ≤824－2x ， 8＜x ≤12 .8分(2)画出y ＝f (x )的图象，如图所示：12分1．本题因点P 所在的位置不同，得到的面积表达式不同，因而应分段计算，得出分段函数表达式．2．解决这类问题的关键点是根据自变量的取值情况决定其对应的运算法则，即保持自变量的取值范围与对应法则的一致性，一般需要分类讨论求解．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A ：看集合A 中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B 中的元素不作任何要求.1．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )【解析】 在映射中允许“多对一”，但不允许“一对多”． 【答案】 C2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )【解析】 ∵x ∈[－2,2]，故函数y ＝－|x |在x ＝±2处均有意义，排除C 、D 两选项．又当x ＝1时，y ＝－1<0，从而排除A 选项，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0－2x ＋1，x <0，则f (1)＋f (－1)＝________.【解析】∵f (1)＝2×1＋1＝3,f (－1)＝－2×(－1)＋1＝3，∴f (1)＋f (－1)＝3＋3＝6.【答案】 64．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．【解】 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝{ 1 0≤x ≤2 1－x －2<x <0 . (2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．一、选择题1．设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2【解析】 当x ∈[1,2]时，y ＝4－x 2∈[0,3]，故选项D 中的“f ”不能构成A 到B 的映射．【答案】 D2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )【解析】 f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥11－x ，x <1.由f (x )的解析式易知应选B.【答案】 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18【解析】 ∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 【答案】 A4．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝03－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，∴A 中的元素为(1,2)．【答案】 C图1－2－55．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图1－2－5，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13 B.13C ．－23D.23【解析】 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， 0＜x ＜1 x ＋1， －1＜x ＜0 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0 π x ＝00 x <0 ，则f (f (－2))＝________.【解析】 ∵f (－2)＝0，∴f (f (－2))＝f (0)＝π. 【答案】 π7．(2014·镇江高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.【解析】 由题意知f (0)＝2，又f (2)＝22＋2a ∴22＋2a ＝4a ∴a ＝2 【答案】 28．函数y ＝f (x )的图象如图1－2－6所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．图1－2－6【解析】 由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]．其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]．【答案】 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.(1)求a 的值； (2)求f (f (2))的值； (3)若f (m )＝3，求m 的值．【解】 (1)由函数定义，得当x ＝1时， 应有1＋a ＝12－2×1， 即a ＝－2.(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.因为2>1，所以f (2)＝22－2×2＝0， 因为0<1，所以f (f (2))＝f (0)＝0－2＝－2. (3)当m ≤1时，f (m )＝m －2，此时m －2＝3得m ＝5，与m ≤1矛盾，舍去； 当m ≥1时，f (m )＝m 2－2m ， 此时m 2－2m ＝3得m ＝－1或m ＝3. 又因为m ≥1，所以m ＝3. 综上可知满足题意的m 的值为3.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋bx ＋c ， x ≤0 ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，求f (x )的解析式．【解】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋4x ＋2， x ≤0 .11．为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算．电费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式； (2)小明家第一季度缴纳电费情况如下：【解】 (1)由题可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ，0≤x ≤10057＋12 x －100 ＝12x ＋7，x >100.(2)一月用电12x ＋7＝76，即x ＝138；二月用电12x ＋7＝63，即x ＝112；三月用电0.57x ＝45.6，即x ＝80； ∴138＋112＋80＝330(度) ∴第一季度共用电330度。

第二课时分段函数与映射选题明细表基础巩固1.(2019·江苏省盱眙中学、泗洪中学高一上第一次联考)函数f(x)=则f(f(-2 018))等于( B )(A)1 (B)-1 (C)2 018 (D)-2 018解析:由题意可得f(-2 018)=1,所以f(f(-2 018))=f(1)=1-2=-1.故选B.2.函数f(x)=|x-1|的图象是( B )解析:由绝对值的意义可知当x≥1时y=x-1,当x<1时,y=1-x.故选B.3.集合A的元素按对应法则“先乘再减1”和集合B中的元素对应,在这种对应所成的映射f:A →B.若集合B={1,2,3,4,5},那么集合A不可能是( C )(A){4,6,8} (B){4,6}(C){2,4,6,8} (D){10}解析:按对应法则“先乘再减1”,结合集合B={1,2,3,4,5}可知A中的元素可以为{4,6,8,10,12}.但是不可能为2.故选C.4.若A={某中学高一年级学生},B={男,女},从A→B的对应法则f1:A中的每一个元素,在集合B 中对应其性别.又C=D=R,从C→D的对应法则f2:x→x的倒数.则以下说法正确的是( B )(A)f1,f2都是映射(B)f1是映射,f2不是映射(C)f1不是映射,f2是映射(D)f1,f2都不是映射解析:A中的每一个元素在B中都有唯一元素与其对应;C中的数0在D中没有对应元素,故f1是映射,f2不是映射.故选B.5.(2019·重庆巴蜀中学高一上期中)已知函数f(x)=若f[f(0)]=a2+1,则实数a 等于( D )(A)-1 (B)2(C)3 (D)-1或3解析:由题意得f(0)=20+1=2,所以f[f(0)]=f(2)=2a+4,又f[f(0)]=a2+1,所以2a+4=a2+1,即a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3.故选D.6.(2019·河南林州第一中学高一调研)设f(x)=则f(5)的值为( B )(A)10 (B)11 (C)12 (D)13解析:因为f(11)=11-2=9,所以f(5)=f[f(5+6)]=f[f(11)]=f(9),因为f(15)=15-2=13,所以f(9)=f[f(9+6)]=f[f(15)]=f(13)=13-2=11.所以f(5)=11.7.(2017·山东卷)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()等于( C )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:因为y=(0<x<1)和y=2(x-1)(x≥1),都是单调函数,所以0<a<1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),所以a=,所以f()=f(4)=2×(4-1)=6.故选C.8.下列函数图象可能是分段函数图象的序号是.解析:②中的图象是y=x2的图象,④中不是函数图象.答案:①③能力提升9.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为( C )(A)2 800元(B)3 000元(C)3 800元(D)3 818元解析:设纳税额为y元,稿费(扣税前)为x元,由题意,知纳税额y元与稿费(扣税前)x元之间的函数关系式为y=由于此人纳税420元,所以当800<x≤4 000时,则(x-800)×0.14=420,解得x=3 800,符合题意;当x>4 000时,0.112x=420,解得x=3 750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.故选C.10.(2019·江苏南菁高级中学高一上第一次测试)设f(x)=则使得f(m)=1成立的m值是( D )(A)10 (B)0,10(C)1,-1,11 (D)0,-2,10解析:当m<1时,f(m)=(m+1)2=1,所以m=-2或m=0,当m≥1时,f(m)=4-=1,所以m=10.综上可知,m的取值为-2,0,10.故选D.11.若f:x→x2+1是从集合A到集合B的映射,且A={-3,-2,-1,0,1,2,3},则集合B中至少有个元素.解析:因为x=±3时,y=x2+1=10,x=±2时,y=x2+1=5,x=0时,y=x2+1=1,x=±1时,y=x2+1=2,因此在对应关系f的作用下,集合B中至少含有元素1,2,5,10.答案:412.(2019·湖南浏阳六校高一期中联考)某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为60元,为了鼓励更多销售商订购,该厂决定当一次订购超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不低于51元.(1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为51元?(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.解:(1)设一次订购量最少为a件时,零件的实际出厂单价恰好为51元.a=100+,所以a=550(件).(2)0<x≤100且x∈N,f(x)=60,100<x<550且x∈N,f(x)=60-(x-100)×0.02=62-0.02x,x≥550且x∈N,f(x)=51,所以P=f(x)=探究创新13.(2019·广东华南师范大学附中高一上期中)设函数f(x)=若对任意的x都满足x·f(x)≤g(x)成立,则函数g(x)可以是( B )(A)g(x)=x (B)g(x)=|x|(C)g(x)=x2(D)不存在这样的函数解析:当x为无理数时,f(x)=0,xf(x)≤g(x)⇔0≤g(x),当x为有理数时,f(x)=1,xf(x)≤g(x)⇔x≤g(x),若g(x)=x,当x=-时,g(x)<0,即A不正确;若g(x)=|x|,已知对任意实数,x≤|x|,且|x|≥0,故当x为有理数或无理数时,不等式恒成立,即B正确;若g(x)=x2,当x=,则g()=,>,即C不正确.故选B.。

1.2.2函数的表示法一、教材分析教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.教材将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.二、三维目标1．知识与技能（1）理解函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，掌握简单的分段函数及应用．2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法．三、教学重点：函数的三种表示方法，映射的概念．四﹑教学难点：分段函数的概念，分段函数的表示及其图象．五﹑教学策略：通过实例分析比较三种函数表示法的特点，分析比较映射与函数的区别与联系．六﹑教学准备教学手段：多媒体辅助教学，增强直观性，增大课容量，提高效率七﹑教学环节1、课堂导入⑴.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是Сднемрождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.⑵.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).2、课堂讲授⑴提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：①解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.②图象法:以自变量x 的取值为横坐标,对应的函数值y 为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.③列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.⑵明确三种方法各自的特点？解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况． 总结为下表：⑶例题讲解：例３．1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元,试用三种表示法表示函数y=f(x).分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素. 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}, 用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1例４．2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势. 解：把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高. 例５．1.画出函数y=|x|的图象. 分析：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有y=⎩⎨⎧<≥0.x x,-0,x x,所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.图1-2-2-10解法二：画函数y=x 的图象,将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方,与函数y=x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.归纳总结：带有绝对值问题的处理方法…………………………去掉绝对值符号． 例６．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 分析：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x 千米时,票价为y 元,根据题意得x∈(0,20］. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:图1-2-2-13y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<.2015,5,1510,4,105,3,50,2x x x x根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示. 归纳总结分段函数：① 研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象． ② 分段函数是一个函数．③ 定义域是各段自变量求值的并集，写定义域时区间端点需不重不漏． ④ 值域是各段函数值的并集．⑤ 最大值是各段最大值的最大者，最小值是各段最小值的最小者，求最值时先分段求，再比较．⑥ 求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．⑷映射的概念①．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．②．先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系： （ⅰ）开平方； （ⅱ）求正弦； （ⅲ）求平方； （ⅳ）乘以2．归纳引出映射概念：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ” 说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． 例７．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．解：⑴⑵⑶中的对应f ： A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，⑷中的对应f ： A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．课堂练习：１．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为__________，值域为__________．解析：由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)； 第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．因此该分段函数的定义域为[－1,0)[0,2]＝[－1,2]，值域为[0,1)[－1,0]＝[－1,1)．答案：[－1,2] [－1,1)２．已知函数f (x )＝2000x x x ⎧>⎨≤⎩，，，，求f (2)，f (－3)的值．解：∵2＞0，∴f (2)＝22＝4．∵－3≤0，∴f (－3)＝0． ３．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )．(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析： (1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2. 【探究提升】求下列函数解析式．(1)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )；(2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．解析： (1)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．(2)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴将以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .３﹑课堂活动：１．教师引导学生完成三种函数表示法的比较，并且归纳它们的优缺点． ２．教师引导学生完成教材例３﹑例４﹑例５﹑例６． ４﹑课堂小结：①分段函数的表示，求值等问题． ②表示函数的三种方法，映射的概念．５﹑作业布置：课本P 28 习题1．2（A 组） 第7题 （B 组）第3题 四、板书设计函数及其表示1.2.２函数的表示法一﹑教材分析二﹑三维目标三﹑教学重点四﹑教学难点五﹑教学策略六﹑教学准备七﹑教学环节九﹑教学反思：１．通过５个例题让学生体会三种表示函数的方法，掌握分段函数及其的概念．２．通过例５例６逐步培养学生分类讨论的数学思想，通过例４培养学生分析问题的能力．。

新教材高中数学新人教B 版选择性必修第二册：3.1.2 分段函数（第二课时）【教学目标】1．知识与技能（1）掌握分段函数的定义（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值（3）会运用分段函数的知识解决实际问题2．过程与方法（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。

（2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。

【教学重点、难点】（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题（2）难点：建立实际问题的分段函数关系【教学方法】讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。

通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。

【课时安排】 1课时【教学过程】一、复习函数的定义及表示方法1、函数的定义2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法二、基础知识分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数.思考：分段函数对于自变量x 的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.）三、基础自测1.函数()f x = ） A.[1,1)(1,)-⋃+∞ B.(1,)+∞C.(1,)-+∞D.(1,1)(1,)-⋃+∞[解析]:由函数解析式得1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-，且1x ≠. 故函数的定义域为[1,1)(1,)-⋃+∞，选A.2.若2(0)()(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则[(2)]f f -=（ ）A.2B.3C.4D.5[解析]:∵20-<，∴(2)(2)2f -=--=，又20>，∴2[(2)](2)24f f f -===，选C.3.函数||y x =的图象是（ ）[解析]:因为,(0)||,(0)x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，所以B 选项正确. 4.（2020▪江苏徐州高一期中测试）已知函数4(0)()4(0)x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，则[(3)]f f -的值为 . [解析]:∵4(0)()4(0)x x f x x x +<⎧=⎨->⎩， ∴(3)1f -=，∴[(3)](1)3f f f -==-.【题型探究】题型一 分段函数的求值问题例1 已知函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求(4),(3),[(2)]f f f f --；（2）若()10f a =，求a 的值.[分析]:分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值.[解析]:（1）(4)422f -=-+=-，(3)236,(2)220f f =⨯=-=-+=，2[(2)](0)00f f f -===；（2）当1a ≤-时，210a +=，可得8a =，不符合题意；当12a -<<时，210a =，可得a =当2a ≥时，210a =，可得5a =，符合题意；综上可知，5a =.[归纳提升]：求分段函数函数值的方法（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现0[()]f f x 的形式时，应从内到外依次求值.【对点练习】①已知3(10)()[(5)](10)x x f x f f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值是（ ） A.24 B.21C.18D.16[解析]: (5)[(10)],(10)[(15)](18)21,(5)(21)24f f f f f f f f f ======.故选A.题型二 分段函数的图象及应用例2 已知函数||()1(22)2x x f x x -=+-<≤. （1）用分段函数的形式表示函数()f x ；（2）画出函数()f x 的图象；（3）写出函数()f x 的值域.[分析]: 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象.[解析]:（1）当02x ≤≤时，()112x x f x -=+=； 当20x -<<时，()112x x f x x --=+=-. 所以1(02)()1(20)x f x x x ≤≤⎧=⎨--<<⎩； （2）函数()f x 的图象如图所示：（3）由（2）知，()f x 在(2,2]-上的值域为[1,3).[归纳提升]：1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤（1）定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.（2）设函数式：设出函数的解析式.（3）列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.（4）下结论：最后用“{”表示出各段的解析式，注意自变量的取值范围.2.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.【对点练习】② 已知函数221(1)()2(1)x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩.（1）画出函数的图象；（2）若()1f x =，求x 的值.[解析]:（1）函数图象如图所示：（2）由()1f x =和函数图象综合判断可知，当(,1)x ∈-∞时，得()211f x x =-+=， 解得0x =；当[1,)x ∈+∞时，得2()21f x x x =-=， 解得12x =+或12x =-（舍去）.综上可知x 的值为0或12+.题型三 分段函数的应用问题例3 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B （起点）向点A （终点）运动，设点P 运动的路程为x ，APB ∆的面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =：（2）画出()y f x =的图象；（3）若APB ∆的面积不小于2，求x 的取值范围.[分析]:（1）点P 位置不同ABP ∆的形状一样吗？（2）注意该函数的定义域.[解析]:（1）2(04)8(48)2(12)(812)x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）()y f x =的图象如图所示：（3）即()2f x ≥，当04x ≤≤时，22x ≥，∴1x ≥，当812x <≤时，2(12)2x -≥，∴11x ≤，∴x 的取值范围是111x ≤≤.[归纳提升]：利用分段函数求解实际应用题的策略（1）首要条件：把文字语言转换为数学语言．（2）解题关键：建立恰当的分段函数模型．（3）思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．【对点练习】③某市有,A B 两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B 俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．（1）设在A 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为()f x 元123()0x ≤≤，在B 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为()g x 元123()0x ≤≤，试求()f x 与()g x 的解析式；（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？[解析]:（1）由题()6,[12,30]f x x x =∈，90,[12,20]()250,(20,30]x g x x x ∈⎧=⎨+∈⎩； （2）1220x ≤≤时，690x =，解得：15x =，即当1215x ≤<时，()()f x g x <，当15x =时，()()f x g x =，当1520x <≤时，()()f x g x >．当2030x <≤时，()()f x g x >，故当1215x ≤<时，选A 家俱乐部合算．当15x =时，两家俱乐部一样合算，当1530x <≤时，选B 家俱乐部合算．【误区警示】分段函数概念的理解错误例4 求函数21(0)()(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩的定义域． [错解]:∵0x ≥时，2()1f x x =-，0x <时，()f x x =，∴当0x ≥时，()f x 的定义域为[0,)+∞，当0x <时，()f x 的定义域为(,0)-∞．[错因分析]:错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数21(0)()(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是两个函数．[正解]：函数()f x 的定义域为(,0)[0,)-∞⋃+∞，即(,)-∞+∞，∴函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞．【学科素养】建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识． 例5 某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数()h x ，其中21400,0400()280000,400x x x h x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪>⎩，x 是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．（1）试将自行车厂的利润y 表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？[分析]总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20000元，可变成本为100x 元．[解析]:（1）依题设，总成本为20000100x +， 则2130020000,0400,260000100,400,x x x x N y x x x N⎧-+-<≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩且且；（2）当0400x <≤时，21(300)250002y x =--+， 则当300x =时，max 25000y =.当400x >时，60000100y x =-是减函数，则6000010040020000y <-⨯=. 综上可知，当月产量300x =件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25000元．[归纳提升]：求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．。

必修一1.2.2 函数的表示法一、说教材函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．解析法优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．解析法缺点：不直观形象图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化的趋势，在生产和生活中有许多应用缺点：不精确列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．银行的利率表等．缺点：只能表示自变量个数较少的情况在研究函数时，函数有三种表示方法，但并不是每个函数都可以用三种方法表示，根据问题的特点，恰当的选取表示方法。

分段函数是一类重要的函数．所谓分段函数，就是在同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．这类似于，同一个国家的不同地区可以实行不同的社会制度．二、说目标1、知识目标：(1)理解函数的三种表示方法；(2)掌握简单的分段函数，并能简单应用．2、能力目标：(1) 进一步提高对函数本质的理解；(2) 初步培养学生运用函数知识解决实际问题的能力．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．三、说重难点1．函数三种表示方法的优缺点，恰当选取表示方法。

2．分段函数的理解突破方法：通过探究1、说明函数有三种表示方法，而例1 ，无法用列表法表示，引出问题，加上思考2，说明，函数有三种表示方法，但并不是每个函数都可以用三种方法表示，应根据问题的特点，恰当的选取表示方法。

如何选取呢，就要研究其优缺点，一气呵成，使学生易于接受分段函数，通过实例实践，加上画含绝对值号的函数的图象，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合．这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔．四、说教学基本流程五、教学过程设计一、自主学习我们在初中就已经知道函数的三种表示法：解析法，图象法，列表法．探索1：北方馒头的单价是0.5元，卖 x 个馒头得钱y 元，刚5岁的儿童暑期帮父母卖馒头，只要你说出购买个数，他就能准确说出钱数，其秘笈如右图，儿童的秘笈是用 法表示的函数，试用其它两种表示方法表示该函数。

第课时分段函数导入新课思路.当>时();当≤时(),请写出函数()的解析式.这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.思路.化简函数的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题.推进新课新知探究提出问题①函数()与()()在解析式上有什么区别?②请举出几个分段函数的例子.活动：学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例.讨论结果：①函数()是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.②例如等.应用示例思路.画出函数的图象.活动：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有所以,函数的图象如图所示.图解法二：画函数的图象,将其位于轴下方的部分对称到轴上方,与函数的图象位于轴上方的部分合起来得函数的图象如图所示.变式训练.已知函数()求{［()］}的值;()画出函数的图象.分析:本题主要考查分段函数及其图象()是分段函数,要求{［()］},需要确定［()］的取值范围,为此又需确定()的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.解：()∵>,∴().∵<,∴［()］().∵<<,∴{［()］}()×,即{［()］}.()图象如图所示:图.课本练习..画函数()≤>的图象.步骤:①画整个二次函数的图象,再取其在区间(∞］上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数的图象,再取其在区间(∞)上的图象,其他部分删去不要;③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图所示.图函数()的图象位于轴上方的部分和()的图象相同,函数()的图象位于轴下方的部分对称到上方就是函数()的图象的一部分.利用函数()的图象和函数()的图象的这种关系,由函数()的图象画出函数()的图象..某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:()乘坐汽车千米以内(含千米),票价元;()千米以上,每增加千米,票价增加元(不足千米按千米计算),如果某条线路的总里程为千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有。

第2课时 分段函数学习目标：1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)3.通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数对于自变量x 的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？[提示] 分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域．[基础自测]1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >0是分段函数．( )(3)函数f (x )＝|x |可以用分段函数表示( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．f (x )＝|x －1|的图象是( )B [∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A ，C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.【导学号：37102111】0 [∵f (4)＝－4＋3＝－1，f (－1)＝－1＋1＝0， ∴f (f (4))＝f (－1)＝0.] 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]B [当0≤x ≤1时，0≤2x ≤2，即0≤f (x )≤2；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上可知f (x )的值域为[0,2]∪{3}．][合 作 探 究·攻 重 难]分段函数的求值问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值.【导学号：37102112】[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥10，f f x ＋，x <10，则f (7)＝________.8 [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥10，f f x ＋，x <10，∴f (7)＝f (f (12))＝f (9)＝f (f (14))＝f (11)＝8.]分段函数的解析式如图1­2­7所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象.【导学号：37102113】图1­2­7思路探究：可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ， 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.(1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt△CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x，5]，－12x －2＋10，x ，7].图象如图所示．[跟踪训练]2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：分段函数的图象及应用 [探究问题]1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．思路探究：(1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式； (2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．，＋∞)． [当 堂 达 标·固 双 基]1．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )【导学号：37102114】A B C DD [∵f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，∴图象D 符合．]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤1，x ，1<x <2，则f (x )的定义域为( )A ．RB ．(－∞，1]C ．(－∞，2)D ．(1，＋∞)C [f (x )的定义域为(－∞，1]∪(1,2)＝(－∞，2)．]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )【导学号：37102115】A.15 B ．3 C.23D.139D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.] 4．函数y ＝f (x )的图象如图1­2­8所示，则其解析式为________．图1­2­8f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2 [当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又过点(1,2)，故k ＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域.【导学号：37102116】[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．。

1.2.2函数的表示法教学目的：（1）明确函数的三种表示方式；（2）在实际情境中，会按照不同的需要选择适当的方式表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正以为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误熟悉．教学重点：函数的三种表示方式，分段函数的概念．教学难点：按照不同的需要选择适当的方式表示函数，什么才算“适当”？分段函数的表示及其图象．教学进程：一、引入课题1.温习：函数的概念；2.常常利用的函数表示法及各自的长处：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．二、新课教学（一）典型例题例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它能够是解析表达式，能够是图象，也能够是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既能够是持续的曲线，也能够是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是不是是函数图象的依据；○2解析法：必需注明函数的概念域；○3图象法：是不是连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映概念域的特征．巩固练习：讲义P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同窗在高一学年度几回数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88．278．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同窗在高一学年度的数学学习情形做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情形，将离散的点用虚线连接，如此更便于研究成绩的转变特点；○2 本例可否用解析法？为何？ 巩固练习： 讲义P 27练习第2题例3．画出函数y = | x | ．解：（略）巩固练习：讲义P 27练习第3题拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．讲义P 27练习第3题例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1） 乘坐汽车5千米之内，票价2元；（2） 5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米按5千米计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1千米，若是沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请按照题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．按如实际情形公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 千米，同按照题意，若是某空调汽车运行线路中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19千米，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可取得以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈)按照那个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示： O x y543215101519注意：○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○2 本题可否用列表法表示函数，若是能够，应如何列表？ 实践与拓展：请你设计一张搭车价目表，让售票员和乘客超级容易地明白任意两站之间的票价．（能够实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并别离注明各部份的自变量的取值情形．三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方式，在具体的实际问题中能够选用适当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方式及其图象的画法．四、作业布置讲义P28习题1．2（A组）第8—12题（B组）第二、3题。