概率论16

考研数学之概率论16句口诀,以供大家参考：
第一章随机事件
互斥对立加减功，条件独立乘除清;
全概逆概百分比，二项分布是核心;
必然事件随便用，选择先试不可能。

第二、三章一维、二维随机变量
1)离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵
2)连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算
3)离散先列表，连续后求导;分布要分段，积分画图算
第五、六章数理统计、参数估计
正态方和卡方出，卡方相除变F，
分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。

第七章假设检验
检验均值用U-T，分位对称别大意;
方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇;
不论卡方或U-T，维数减一要牢记;
代入比较临界值，拒绝必在否定域!
熟记这些口诀能避免在做题当中犯细小的错误，并且有助于在复习过程中对知识点的记忆和巩固。

第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。

(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。

(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

(4)抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。

解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。

（2）4只中至少有2只红球。

（3）4只中没有白球。

解: （1）所求概率为338412131425=C C C C ； （2） 所求概率为165674952014124418342824==++C C C C C C ； （3）所求概率为16574953541247==C C 。

6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。

习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

河北科技大学理工学院2016--2017学年第一学期《概率论》期末考试试卷（A ）学院 班级 姓名 学号一. 填空题（每小题3分，共30分）1. 设A 与B 相互独立,()0.5,()0.9P A P A B ==U ,则()P B = .2. 三人独立地破译一密码，他们能单独破译出的概率分别为13,14,15，则此密码被破译出的概率为 ．3. 设随机变量X 的分布律为()3{},1,2,4kP X k c k ===L ，则c = .4. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{()}P X E X == ．5. 设随机变量~(1,6)K U ,则关于x 的方程240x x K ++=有实根的概率是 .6. 已知随机变量X 与Y 独立同分布，且1{0}{1}2P X P X ====，设Z X Y =+，则{0}P Z == .7. 设()1,()2E X D X =-=,则2(32)E X -= .8. 设随机变量X 与Y 的方差分别为1和4，相关系数为0.25，则=+)(Y X D . 9. 设随机变量X 的方差为1，则由切比雪夫不等式可知{|()|2}P X E X -≥≤ . 10. 设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>，有lim n n P p n με→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭.二. 单项选择题（每小题3分，共18分）1. 设随机事件A 与B 互不相容，则 【 】 (A)()0P AB =(B)()()()P AB P A P B =⋅ (C)()1()P A P B =- (D)()1P A B =U2. 设某连续型随机变量X 的分布函数是(1),0()0,0x k x e x F x x -⎧-+≥=⎨<⎩则常数k 的值是 【 】(A)1k = (B) 0k = (C) 1k =- (D) k 为任意常数 3. 设2~(,4)X N μ,2~(,5)Y N μ,记1{4}p P X μ=≤-,2{5}p P X μ=>+，则 【 】(A) 对任何实数μ ,都有12p p = (B) 对任何实数μ ,都有12p p < (C) 对任何实数μ ,都有12p p > (D) 只对个别的μ ,才有12p p =4. 设随机变量X 的密度函数为()f x ，则23Y X =-的密度函数()Y f y 为 【 】(A) 13()22y f +-(B) 13()22y f -- (C) 13()22y f + (D) 13()22y f - 5. 若随机变量X 与Y 满足)()()(Y E X E XY E =，则 【 】(A)X 与Y 相互独立 (B) ()()()D X Y D X D Y -=+ (C)1XY ρ= (D) ()()()D X Y D X D Y -=-6. 设随机变量Y X ,分别服从(0,1)N 和(1,1)N ,且X 与Y 相互独立，则 【 】(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤= (D)1{1}2P X Y -≤=三．计算题（共52分）1.（10分）现有一批零件是由甲、乙两人共同加工而成的，其中甲加工了60%，乙加工了40%，甲加工的零件的次品率为10%，乙加工的零件的次品率为15%， (1) 从这批零件中任取一只，求取到次品的概率； (2) 若已知取到的是次品，求它是甲生产的概率.101111424X P -011122Y P 2. （10分）设连续型随机变量X 的概率密度函数为23(1),118()0,x x f x ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他求（1）X 的分布函数F (x );（2）概率{02}P X <≤；(3)()E X .3. (10分)设X 与Y 为相互独立的离散随机变量，概率分布律分别为求 (1)(,)X Y 的联合分布律；(2){}P X Y =.分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他求 (1)X 的边缘概率密度函数()X f x ；(2){}P X Y ≤； (3)()E XY .5. (10分) 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户中占20%．现随意抽查100个索赔户，设X 表示这100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数． (1) 写出X 的概率分布律；(2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户的概率的近似值． 注：(1.5)0.933Φ=。

16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。

常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。

以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。

1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。

2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。

3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。

4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。

5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。

6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。