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专题复习++化归与转化思想

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2012届高考数学专题复习 化归与转化思想在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.下面就一些题目谈谈一些处理策略. 1．陌生与熟悉的转化例1 若关于x 的方程 01234=++++ax ax ax x 有实数根，求实数a 的取值范围. 解析：点评 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.2．复杂与简单的转化例2 在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 2的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+.求点M 的轨迹方程.解析：在求得曲线C 的方程)0,0(1422>>=+y x yx 后，将其转化为函数)10(122<<-=x xy 的图像来认识，通过导数得y '=－2x 1－x2设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0<x 0<1, y 0=21－x 02, y '|x=x0= － 4x 0y 0 ,得切线AB 的方程为: y=－ 4x 0y 0(x－x 0)+y 0。

于是得A(1x 0，0)和B(0，4y 0)，设M(x ，y)，由O M O A O B =+ 得：x=1x 0y=4y 0，所以x x 10=，y y 40=，代入14220=+y x 得点M 的轨迹方程为: 1x 2 + 4y 2 =1 (x>1,y>2)。

点评 此题表面上为解析几何的试题，看似与函数无关，因此很容易想到用解析法确定椭圆切线方程的方法，这样就会陷入繁杂的计算之中，事实上，联想到函数切线的几何意义以后，将问题转化到函数的导数，问题得到了大大简化。

3．变量与常量的转化 例3 对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围． 解析：习惯上把x 当作自变量，记函数p x p x y -+-+=3)4(2，于是问题转化为： 当[]4,0∈p 时，0>y)恒成立，求x 的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．设函数)34()1()(2+-+-=x x p x p f ，显然1≠x ，则)(p f 是p 的一次函数，要使0)(>p f 恒成立，当且仅当0)0(>f ，且0)4(>f 时，解得x 的取值范围是),3()1,(+∞⋃--∞．点评 本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p 的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.4．空间与平面的转化例4 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABC D 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为__________________. 解析： 4+5．数与形的转化 例5 求函数3712134)(22+-++-=x x x x x f 的最小值.解析：=+-++-=3712134)(22x x x x x f 22)10()6(-+-x ，设())0,(),1,6(,3,2x P B A 题转化为求PB PA +的最小值，如图点A 关于x 点为)3,2(-C ,因为BC PB PC PB PA ≥+=+所以)(x f 的最小值为24.点评 本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题.6．方程与函数的转化例6 若关于x 的方程02sin 42cos =-++a x a x 在区间[]π,0上有两个不同的解，则实数a 的取值范围是 .解析：2sin 4sin212sin 42cos 2-++-=-++a x a x a x a x1sin 4sin22-++-=a x a x令x t sin =，[]1,0∈t ，则原题转化为方程01422=-++-a at t 在[]1,0上有两个根.令142)(2-++-=a at t t f ，由二次函数图象可知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤≤>∆14400)1(0)0(0a f f 解得：5321≤<a点评 本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.αlODCBA课堂练习:1.设y 的实数，05442=+++x xy y 则x 的取值范围是：___________分析：把05442=+++x xy y 看作是关于y 的二次方程，则利用△≥0求解x 的范围。

略解：把05442=+++x xy y 看作是关于y 的二次方程，因为y 的实数，所以方程有解。

∴△=)6(4)4(22+-x x ≥0 ∴｛x | x ≤-2或x ≥3｝2.设对于任意实数]2,2[-∈x ,函数)3lg()(2x ax a x f --=总有意义，求实数a 的取值范围。

解法一：)(x f 有意义，有032>--x ax a ，即032<-+a ax x 在]2,2[-∈x 时总成立，设a ax x x g 3)(2-+=，即当]2,2[-∈x 时，0)(<x g 总成立。

依抛物线)(x g y =的特征，将其定位，有,040540)2(0)2(⎩⎨⎧<-<-⇒⎩⎨⎧<<-a a g g 解得：4>a解法二：不等式可化成6393)(--+-=>xx x h a只要6393)(--+-=xx x h 的最大值即可。

设x t -=3,]5,1[∈t ,6)(+x h 的图象如图，可知6)(+x h 的最大值为10，故最小值为4.故4>a[点评] 通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，建立了实数a 的不等式组，从而求出a 的范围。

解法二是通过分离参数的方法，再通过换元，利用函数uu 1+的特征求其最值，同样体现了数形结合的特点。

3.若0sin cos sin cos 4a b παβααββ<<<+=+=，，，则（ ）A ．a b <B ．a b >C ．1ab <D ．2ab >【解析】若直接比较a 与b 的大小比较困难，若将a 与b 大小比较转化为22a b 与的大小比较就容易多了.因为221sin 21sin 2a b αβ=+=+， 又因为0222παβ<<<所以sin 2sin 2αβ<，所以22a b < 又因为0a b >，，所以a b <故选（A ）.4.已知函数ln ()1a xb f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b xf x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 11x x x++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x xxx---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x xh x x-++=。

(i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-；当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x- h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +xk）>0，即f （x ）>1ln -x x +xk .（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k-11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k-11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0].5.设函数f(x)=x 2-mlnx,h(x)=x 2-x+a.（I ） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围;（II ） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围;（III ） 是否存在实数m ，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由。

解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx ≥-x ，即ln x m x≤记ln x xϕ=，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m in ()m x ϕ≤.求得2ln 1'()ln x x xϕ-=当(1,)x e ∈时;'()0x ϕ<;当(,)x e ∈+∞时，'()0x ϕ> 故()x ϕ在x=e 处取得极小值，也是最小值， 即m in ()()x e e ϕϕ==，故m e ≤.（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a ，在［1,3］上恰有两个相异实根。

令g(x)=x-2lnx,则2'()1g x x=-当[1,2)x ∈时，'()0g x <,当(2,3]x ∈时，'()0g x > g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数。

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化归与转化的数学思想解题举例

化归与转化的数学思想解题举例

化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。

它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。

本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。

一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。

它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。

例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。

首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。

这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。

接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。

由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。

最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。

求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。

通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。

二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。

它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。

例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。

首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。

接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。

然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。

通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。

专题四转化与化归思想

专题四转化与化归思想


则a≥ x ，x∈(0， ］恒成立.
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模拟训练
【点评】 本题主要考查转化思想和分类整合思想，分类讨论实 质上也是一种转化思想. 解法1 采用的是分类讨论的方法, 将比较复杂问题通过分类转化 为一些较简单的问题进行求解, 而每一分类中又将恒成立的问题又转 化为最值问题.
1 (0，］, 变为不等式一边为参数 , 另一边为含有x的代数式，a只要大 2 1 1 于或等于y= x ，x∈(0， ］的最大值就满足上式要求. x 2
消去x2得2 x12
2 1 x1 2 6m 1 0 ， m m
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模拟训练
2 1 ∴x1∈R，∴Δ= 8 2 6m 1>0, m m 1 ∴(2m+1)(6m2-2m+1)<0，∴m< . 2 1 即当m< 时，抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称. 2
x12 满足 2 x1 x 1
2 x2 x1 x 2 m 3 , 2 2 2 x2 1 . x2 m
2 x12 x 2 m( x1 x 2 6), ∴ 1 x x . 1 2 m
行转化, 使问题逐次达到规范化、模式化，直至问题的解决.
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模拟训练
1. 函数f (x)=cos2x-2 3 sinxcosx的最小正周期是__________.
π 【解析】 ∵f(x) =cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=-2sin 2x ,
祝您高考成功！
作文成绩
语文作文课上, 老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了, 一学生发现自己只写了250字, 灵机一动,在
竞赛辅导--化归转化思想

竞赛辅导--化归转化思想

学生辅导----化归转化思想方法化归转化思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的数学思想方法，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。

其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理，从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题、解决问题。

转化与化归的原则：（1）熟悉化原则：即陌生问题--熟悉问题，也就是常说的通过旧知解决新知（2）简单化原则：即复杂问题--简单问题，（3）具体化原则：即抽象问题--具体问题或直观问题（4）极端化原则：即运用极端化位置或状态的特性引出一般位置上或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。

（5）和谐化原则：即对问题进行转化时要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式和形内部固有和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。

转化与化归的主要途径有：（1）正与反、一般与特殊的转化；（2）常量与变量的转化；（3）数与形的转化；（4）数学各分支之间的转化；（5）相等与不相等之间的转化；（6）实际问题与数学模型的转化.典型题例：一、计算中的转化技巧-----字母与数互化，简化形式，突出特征。

1、1987×20002000-2000×198719872、1992×19941994－1994199319933、19971996199319911995)39851994)(20001994(22⨯⨯⨯⨯+- 4、- 5、2200612008200720062005-+⨯⨯⨯6、3005200520052003200330052003200420034008200220034004200322⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯- 7、试说明22222007200720062006+⨯+是一个完全平方数8、20002000200020001998357153)37(++⨯(因式分解转化） 1919191901901900190093939393093093009300--9、279318629311263842421⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 10、)200611()311)(211(222-⋅⋅⋅-- 11、201320121431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯(裂项法） 12、2012211432113211211+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++++++++ 二、代数式求值转化技巧---整体换元13、代数式的求值：如果,6232=-x x 则12692--x x 的值是_____.14、已知2-=x 时，973=-+bx ax ，则2=x 时，23++bx ax 的值为_____.15、已知012=-+m m ，那么代数式2008223-+m m 的值是_______.16、已知0132=+-x x ，那么10423+--x x x 的值为________.17、如果311=-y x ，求分式yxy x y xy x ---+2232的值。

2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第4讲转化与化归思想(含答案)

2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第4讲转化与化归思想(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋32＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C等于( )A.45B.15C.35D.25 思路分析 求cos A ＋cos C 1＋cos A cos C→考虑正三角形ABC 的情况 答案 A 解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二 命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2 (1)由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2 思路分析 命题：存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0是假命题→任意x ∈R ，e |x －1|－m >0是真命题→m <e |x －1|恒成立→求m 的范围→求a答案 C解析 由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．思路分析 g x 在t ，3上总不为单调函数→先看g x 在t ，3上单调的条件→补集法求m 的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三 函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析 ∵2x －2y <3－x －3－y ，∴2x －3－x <2y －3－y. ∵y ＝2x －3－x ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递增， ∴x <y ，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>ln1＝0.例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g x 的极值→ln x <x －1→赋值叠加证明结论(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域问题，从而求出参变量的范围.。