高一数学上学期周清 第13周 且 或 非、全称量词与存在量词 理

` 第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断p q p且q p或q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，綈p(x0)任意x∈M，綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(綈p)且(綈q)”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(老教材选修1－1P18习题1-4T2（4）改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题.答案 B3.(新教材必修第一册P23A3改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________________________.答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等4.(2020·渭南调研)已知命题p：存在x0∈R，x20＋4x0＋6<0，则綈p为()A.任意x∈R，x2＋4x＋6≥0B.存在x∈R，x2＋4x＋6>0C.任意x∈R，x2＋4x＋6>0D.存在x∈R，x2＋4x＋6≥0解析 依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A 是正确的. 答案 A5.(2020·唐山模拟)已知命题p ：f (x )＝x 3－ax 的图像关于原点对称；命题q ：g (x )＝x cos x 的图像关于y 轴对称.则下列命题为真命题的是( ) A.綈pB.qC.p 且qD.p 且(綈q )解析 根据题意，对于f (x )＝x 3－ax ，有f (－x )＝(－x )3－a (－x )＝－(x 3－ax )＝ －f (x )，为奇函数，其图像关于原点对称，p 为真命题；对于g (x )＝x cos x ， g (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ，为奇函数，其图像关于原点对称，q 为假命题，则綈p 为假命题，q 为假命题，p 且q 为假命题，p 且(綈q )为真命题. 答案 D6.(2019·豫南五校联考)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，∴1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.∴实数m 的最大值为1. 答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A.p 或qB.p 且qC.(綈p )且(綈q )D.p 且(綈q )(2)(2020·广州调研)已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：m ，n 是直线，α为平面，若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n .下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.p 且(綈q ) C.(綈p )且qD.(綈p )且(綈q )解析 (1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0， ∴p 是假命题.又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b(x∈R)，由b∥c知b＝y c(y∈R)，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上知p或q是真命题，p且q是假命题.綈p为真命题，綈q为假命题.∴(綈p)且(綈q)，p且(綈q)都是假命题.(2)对于命题p，由a>|b|两边平方，可得到a2>b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p且(綈q)为真命题.答案(1)A(2)B规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.【训练1】(1)若命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题，则()A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q都是假命题C.命题p是真命题，命题q是假命题D.命题p是假命题，命题q是真命题(2)(2020·衡水中学检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.綈qC.p且qD.p或q解析(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题.(2)当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.考点二 全称量词与存在量词 多维探究角度1 含有量词命题的否定【例2－1】 (2020·河南八所重点高中联考)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集.若命题p ：任意f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则綈p 为( ) A.任意f (x )∈A ，|f (x )|∉B B.任意f (x )∉A ，|f (x )|∉B C.存在f (x )∈A ，|f (x )|∉BD.存在f (x )∉A ，|f (x )|∉B解析 全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论. ∴綈p ：存在f (x )∈A ，|f (x )|∉B . 答案 C角度2 全称(特称)命题的真假判断【例2－2】 (1)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A.任意x ∈R ，f (－x )≠f (x )B.任意x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C.存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D.存在x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)(2)(2020·九江检测)已知命题p ：任意x ∈N +，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，命题q ：存在x ∈R ，2x＋21－x ＝22，则下列命题中是真命题的是( ) A.p 且q B.(綈p )且q C.p 且(綈q )D.(綈p )且(綈q )解析 (1)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题. (2)因为y ＝x n (n ∈N +)在(0，＋∞)上递增. ∴任意x ∈N +，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，p 为真命题.又2x ＋21－x ≥22x ·21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ，即x ＝12时，上式取等号， 则q 为真命题.因此p 且q 为真命题.规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练2】 (1)(角度1)命题“存在x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A.任意x ∈R ，1<f (x )≤2 B.存在x 0∈R ，1<f (x 0)≤2 C.存在x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)>2 D.任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2(2)(角度2)已知命题p ：任意x ∈R ，x ＋1x ≥2；命题q ：存在x 0∈(0，＋∞)，x 20＞x 30，则下列命题中为真命题的是( )A.(綈p )且qB.p 且(綈q )C.(綈p )且(綈q )D.p 且q解析 (1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2”.(2)对于p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2，∴p 为假命题.对于q ：取x 0∈(0，1)，此时x 20＞x 30，∴q 为真命题.从而綈p 为真命题，(綈p )且q 为真命题. 答案 (1)D (2)A考点三 由命题的真假求参数典例迁移【例3】 (1)已知命题p ：“任意x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“存在x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________________.(2)(经典母题)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对任意x 1∈[0，3]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________.解析 (1)若命题“p 且q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题.由任意x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由存在x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4]. (2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14. 答案 (1)[e ，4] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞【迁移】 本例(2)中，若将“存在x 2∈[1，2]”改为“任意x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是__________________________________. 解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0，3]，任意x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练3】 已知命题p ：任意x ∈R ，2x <3x ，命题q ：存在x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )且q 为真命题，则x 的值为( ) A.1B.－1C.2D.－2解析 因为綈p ：存在x ∈R ，2x ≥3x ，要使(綈p )且q 为真，所以綈p 与q 同时为真.由2x≥3x，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x≥1，所以x ≤0.①由x 2＝2－x ，得x ＝1或x ＝－2.② 由①②知x ＝－2.答案D逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1 形如“对任意x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立”的问题 【例1】 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ，g (x )＝196x －13，若对任意x 1∈[－1，1]，总存在x 2∈[0，2]，使得f ′(x 1)＋2ax 1＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 由题意知，g (x )在[0，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，6.令h (x )＝f ′(x )＋2ax ＝3x 2＋2x －a (a ＋2)， 则h ′(x )＝6x ＋2，由h ′(x )＝0得x ＝－13.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13时，h ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1时，h ′(x )>0，所以[h (x )]min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－a 2－2a －13.又由题意可知，h (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，6的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）≤6，－a 2－2a －13≥－13，h （1）≤6，解得实数a 的取值范围是[－2，0].思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f (x )的值域是g (x )的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a 的不等式组，求得参数的取值范围.类型2 形如“存在x 1∈A 及x 2∈B ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立”的问题【例2】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，－13x ＋16，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，函数g (x )＝k sin πx6－2k ＋2(k >0)，若存在x 1∈[0，1]及x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围. 解 由题意，易得函数f (x )的值域为[0，1]，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2k ，2－3k 2，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即2－2k >1或2－32k <0，解得k <12或k >43，所以，要使两个值域有公共部分，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43.思维升华 本类问题的实质是“两函数f (x )与g (x )的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f (x )的值域和g (x )的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3 形如“对任意x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得f (x 1)<g (x 2)成立”的问题【例3】 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，存在x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞思维升华 理解量词的含义，将原不等式转化为[f (x )]max ≤[g (x )]max ；利用函数的单调性，求f (x )与g (x )的最大值，得关于a 的不等式，求得a 的取值范围. 思考1：在[例3]中，若把“存在x 2∈[2，3]”变为“任意x 2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a 的取值范围是________.问题“等价转化”为[f (x )]max ≤[g (x )]min ，请读者完成.思考2：在[例3]中，若将“任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1”改为“存在x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1”，其它条件不变，则a 的取值范围是______.问题“等价转化”为f (x )min ≤g (x )max ，请读者自行求解.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·咸阳调研)命题p ：“任意x >1，x 2－1>0”，则綈p 为( ) A.任意x >1，x 2－1≤0B.任意x ≤1，x 2－1≤0C.存在x 0>1，x 20－1≤0D.存在x 0≤1，x 20－1≤0解析 命题p ：“任意x >1，x 2－1>0”，则綈p 为：存在x 0>1，x 20－1≤0.答案 C2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) A.(綈p )或(綈q ) B.p 或(綈q ) C.(綈p )且(綈q )D.p 或q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )或(綈q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p 且q ”的否定，选A. 答案 A3.命题“任意n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A.任意n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B.任意n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C.存在n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D.存在n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解析 ∵全称命题的否定为特称命题，∴该命题的否定是：存在n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0. 答案 D4.已知命题p ：存在x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.p 且綈q C.綈p 且qD.綈p 且綈q解析 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，所以p 为真命题，则綈p 为假命题；当a ＝1，b ＝－2时，满足a 2<b 2，但不满足a <b ，所以q 为假命题，则綈q 为真命题，根据且命题同真则真的原则，p 且綈q 为真命题. 答案 B5.(2020·河南六校联考)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >x 2，q ：“ab >4”是“a >2，b >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.(綈p )且q C.p 且(綈q )D.(綈p )且(綈q )解析 当x ＝2时，2x ＝x 2，所以p 是假命题；由a >2，b >2可以推出ab >4；反之不成立，例如a ＝2，b ＝4，所以“ab >4”是“a >2，b >2”的必要不充分条件，故q 是假命题；所以(綈p )且(綈q )是真命题. 答案 D6.已知命题“存在x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞)D.(0，4)解析 因为命题“存在x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定命题“任意x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题. 则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0， 解得0<a <4.答案 D7.命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p 且qB.p 或qC.p 且(綈q )D.綈q解析 由于y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是(2，＋∞)， 所以命题p 是假命题.由3x >0，得3x ＋1>1，所以0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题. 所以p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，p 且(綈q )为假命题，綈q 为假命题. 答案 B8.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“任意x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“任意x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定：“存在x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题， ∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， ∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).答案 D 二、填空题9.若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 110.命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________________________.解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.答案 存在x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋111.(2020·湖南百校大联考改编)下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x >0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0；p 3：任意x ∈R ，sin x <2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1.其中是真命题的为________.解析 任意x ∈R ，2x >0恒成立，p 1是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴p 2是假命题.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π，知p 3是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则p 4为真.综上，p 1，p 4为真命题，p 2，p 3是假命题. 答案 p 1，p 412.已知命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围为________.解析 由命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：任意x∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2， 若p 且q 为真命题，则－2<m ≤－1， 因为p 且q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1. 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)B 级 能力提升13.命题“任意x ∈R ，存在n ∈N +，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.任意x ∈R ，存在n ∈N +，使得n <x 2B.任意x ∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 2C.存在x ∈R ，存在n ∈N *，使得n <x 2D.存在x 0∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 20解析 改变量词，否定结论.∴该命题的否定应为：存在x 0∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 20. 答案 D14.(2020·南昌质检)下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B.命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0＝62；命题q ：任意x ∈R ，x >sin x ，则命题p 或q 为真C.命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题解析 选项A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”， ∴A 选项错误.选项B ，∵sin x 0＝62>1，∴命题p 是假命题.命题q ：当x ＝0时，x ＝sin x ， ∴命题q 是假命题，则命题p 或q 为假. ∴B 选项错误.选项C ，命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，∴C 选项错误.选项D ，∵x ＝y ，∴sin x ＝sin y ， ∴该命题的逆否命题为真命题. ∴D 选项正确. 答案 D15.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：存在m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是____________(填序号).①p 且q ；②(綈p )且q ；③p 且(綈q )；④(綈p )且(綈q ). 解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13， 所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题；逐项检验可知，只有(綈p )且q 为真命题. 答案 ②16.已知命题p ：任意x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1<0的解集为空集；命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )<0，若命题p 且(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 由p 且(綈q )是真命题，知p 真q 假，对于p ：任意x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1<0的解集为∅， ∴⎩⎨⎧a >0，Δ＝（22）2－4a ≤0，解之得a ≥2.① 对于命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上是减函数， ∴0<2a －5<1⇔52<a <3.② 由于p 真q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，则2≤a ≤52或a ≥3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞)C 级 创新猜想17.(组合选择题)(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：存在(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：任意(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p或q；②綈p或q；③p且綈q；④綈p且綈q这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④解析由不等式组画出平面区域D，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x＋y＝9，可知命题p正确，作出直线2x＋y＝12，2x＋y≤12表示直线及其下方区域，易知命题q错误. ∴綈p为假，綈q为真，∴p或q为真，綈p或q为假，p且綈q为真，綈p且綈q为假.故真命题的编号为①③.答案 A。

专题1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【核心素养分析】1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。

2.理解全称量词和存在量词的意义。

3.能正确地对含一个量词的命题进行否定。

4.重点培养逻辑推理的学科素养。

【知识梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断p q p 且q p 或q 非p 真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真知识点二全称量词和存在量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．知识点三全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M 中任意一个x ，有p (x )成立∀x ∈M ，p (x )∃x 0∈M ，┐p (x 0)特称命题存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ，┐p (x )【典例剖析】高频考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断例1、(2020·山西平遥中学模拟)设a，b，c是非零向量.已知命题p:若a·b＝0，b·c＝0，则a·c ＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(┐p)∧(┐q)D.p∧(┐q)【答案】B【解析】取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb(x∈R)，由b∥c知b＝yc(y∈R)，∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.┐p为真命题，┐q为假命题.∴(┐p)∧(┐q)，p∧(┐q)都是假命题.【规律方法】1.“p∨q”、“p∧q”、“┐p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“┐p”形式命题的真假.2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相反”.【变式探究】(2020·吉林长春市实验中学模拟)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧┐qC.┐p∧qD.┐p∧┐q【答案】B【解析】∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p是真命题，┐p为假命题.∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，┐q为真命题.∴p∧┐q为真命题，p∧q，┐p∧q，┐p∧┐q为假命题.高频考点二全称(特称)命题的真假判断例2、(2020·浙江效实中学模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.∀x ∈R，f (－x )≠f (x )B.∀x ∈R，f (－x )≠－f (x )C.∃x 0∈R，f (－x 0)≠f (x 0)D.∃x 0∈R，f (－x 0)≠－f (x 0)【答案】C【解析】∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立.【变式探究】(2020·福建泉州五中模拟)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；命题q ：∀x sin x <x ，则下列命题为真命题的是()A.p ∧qB.p ∧(┐q )C.(┐p )∧qD.(┐p )∧(┐q )【答案】C【解析】因为当x <0>1，即2x >3x ，所以命题p 为假命题，从而┐p 为真命题；因为当x 时，x >sin x ，所以命题q 为真命题，所以(┐p )∧q 为真命题.高频考点三由命题的真假求参数的取值范围例3、(2020·山东日照一中模拟)已知命题p ：∀x ∈R，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，命题q ：∃x 0∈[－2，2]，2a ≤2x 0，若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________.，2【解析】由题知，命题p ：∀x ∈R，log 2(x 2＋x ＋a )>0恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54；命题q ：∃x 0∈[－2，2]，使得2a ≤2x 0，则a ≤2.当p ∧q 为真命题时，>54，≤2，故实数a ，2.【规律方法】1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【变式探究】(2020·广东湛江一中模拟)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.【答案】14，＋∞【解析】当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.。

理科第13周且或非、全称量词与存在量词
核心知识
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表：
2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．
3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
自我检测
1．若p是真命题，q是假命题，则( )．
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题
解析本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有¬q是真命题．答案D
2．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3。

第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断p q p且q p或q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，綈p(x0)任意x∈M，綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(綈p)且(綈q)”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(老教材选修2－1P19习题1－4T2(4)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题.答案 B3.(新教材必修第一册P23A3改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等4.(2020·渭南调研)已知命题p：存在x0∈R，x20＋4x0＋6<0，则綈p为()A.任意x∈R，x2＋4x＋6≥0B.存在x∈R，x2＋4x＋6>0C.任意x∈R，x2＋4x＋6>0D.存在x∈R，x2＋4x＋6≥0解析依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.答案 A5.(2020·唐山模拟)已知命题p ：f (x )＝x 3－ax 的图像关于原点对称；命题q ：g (x )＝x cos x 的图像关于y 轴对称.则下列命题为真命题的是( ) A.綈p B.q C.p 且qD.p 且(綈q )解析 根据题意，对于f (x )＝x 3－ax ，有f (－x )＝(－x )3－a (－x )＝－(x 3－ax )＝ －f (x )，为奇函数，其图像关于原点对称，p 为真命题；对于g (x )＝x cos x ，有 g (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ，为奇函数，其图像关于原点对称，q 为假命题，则綈p 为假命题，q 为假命题，p 且q 为假命题，p 且(綈q )为真命题. 答案 D6.(2019·豫南五校联考)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，∴1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.∴实数m 的最大值为1. 答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A.p 或qB.p 且qC.(綈p )且(綈q )D.p 且(綈q )(2)(2020·济南调研)已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：m ，n 是直线，α为平面，若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n .下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.p 且(綈q ) C.(綈p )且qD.(綈p )且(綈q )解析 (1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题.又a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b(x∈R)，由b∥c知b＝y c(y∈R)，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题.综上知p或q是真命题，p且q是假命题.綈p为真命题，綈q为假命题.∴(綈p)且(綈q)，p且(綈q)都是假命题.(2)对于命题p，由a>|b|两边平方，可得到a2>b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p且(綈q)为真命题.答案(1)A(2)B规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.【训练1】(1)若命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题，则()A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q都是假命题C.命题p是真命题，命题q是假命题D.命题p是假命题，命题q是真命题(2)(2020·衡水中学检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.綈qC.p且qD.p或q解析(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题.(2)当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.考点二 全称量词与存在量词 多维探究角度1 含有量词命题的否定【例2－1】 (2020·河南八所重点高中联考)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集.若命题p ：任意f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则綈p 为( ) A.任意f (x )∈A ，|f (x )|∉B B.任意f (x )∉A ，|f (x )|∉B C.存在f (x )∈A ，|f (x )|∉BD.存在f (x )∉A ，|f (x )|∉B 解析 全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论. ∴綈p ：存在f (x )∈A ，|f (x )|∉B . 答案 C角度2 全称(特称)命题的真假判断【例2－2】 (1)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A.任意x ∈R ，f (－x )≠f (x )B.任意x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C.存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D.存在x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)(2)(2020·九江检测)已知命题p ：任意x ∈N +，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，命题q ：存在x ∈R ，2x＋21－x ＝22，则下列命题中是真命题的是( ) A.p 且q B.(綈p )且q C.p 且(綈q )D.(綈p )且(綈q )解析 (1)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题. (2)因为y ＝x n (n ∈N +)在(0，＋∞)上递增. ∴任意x ∈N +，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，p 为真命题.又2x ＋21－x ≥22x ·21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ，即x ＝12时，上式取等号， 则q 为真命题.因此p 且q 为真命题.规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.【训练2】(1)(角度1)命题“存在x0∈R，1<f(x0)≤2”的否定形式是()A.任意x∈R，1<f(x)≤2B.存在x0∈R，1<f(x0)≤2C.存在x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2D.任意x∈R，f(x)≤1或f(x)>2(2)(角度2)(2020·合肥模拟)已知命题p：任意x>0，e x>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题正确的是()A.p且qB.(綈p)且qC.p且(綈q)D.(綈p)且(綈q)解析(1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”.(2)令f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，即e x>x＋1，命题p真；令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此綈q为真，故p且(綈q)为真.答案(1)D(2)C考点三由命题的真假求参数典例迁移【例3】 (1)已知命题p ：“任意x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“存在x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________________.(2)(经典母题)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对任意x 1∈[0，3]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 解析 (1)若命题“p 且q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题.由任意x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由存在x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4]. (2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14. 答案 (1)[e ，4] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞【迁移】 本例(2)中，若将“存在x 2∈[1，2]”改为“任意x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______________________________________. 解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0，3]，任意x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练3】 已知命题p ：任意x ∈R ，2x <3x ，命题q ：存在x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )且q 为真命题，则x 的值为( ) A.1B.－1C.2D.－2解析 因为綈p ：存在x ∈R ，2x ≥3x ，要使(綈p )且q 为真，所以綈p 与q 同时为真.由2x ≥3x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x≥1，所以x ≤0.①由x 2＝2－x ，得x ＝1或x ＝－2.② 由①②知x ＝－2. 答案 D逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1 形如“对任意x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得g (x 2)＝f (x 1)成立”的问题 【例1】 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ，g (x )＝196x －13，若对任意x 1∈[－1，1]，总存在x 2∈[0，2]，使得f ′(x 1)＋2ax 1＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 由题意知，g (x )在[0，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，6.令h (x )＝f ′(x )＋2ax ＝3x 2＋2x －a (a ＋2)， 则h ′(x )＝6x ＋2，由h ′(x )＝0得x ＝－13.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13时，h ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1时，h ′(x )>0，所以[h (x )]min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－a 2－2a －13.又由题意可知，h (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，6的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）≤6，－a 2－2a －13≥－13，h （1）≤6，解得实数a 的取值范围是[－2，0].思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f (x )的值域是g (x )的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a 的不等式组，求得参数的取值范围.类型2 形如“存在x 1∈A 及x 2∈B ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立”的问题【例2】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，－13x ＋16，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，函数g (x )＝k sin πx 6－2k ＋2(k >0)，若存在x 1∈[0，1]及x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围. 解 由题意，易得函数f (x )的值域为[0，1]，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2k ，2－3k 2，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即2－2k >1或2－32k <0，解得k <12或k >43，所以，要使两个值域有公共部分，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43.思维升华 本类问题的实质是“两函数f (x )与g (x )的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f (x )的值域和g (x )的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3 形如“对任意x 1∈A ，都存在x 2∈B ，使得f (x 1)<g (x 2)成立”的问题 【例3】 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，存在x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞思维升华 理解量词的含义，将原不等式转化为[f (x )]max ≤[g (x )]max ；利用函数的单调性，求f (x )与g (x )的最大值，得关于a 的不等式，求得a 的取值范围. 思考1：在[例3]中，若把“存在x 2∈[2，3]”变为“任意x 2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a 的取值范围是________.问题“等价转化”为[f (x )]max ≤[g (x )]min ，请读者完成.思考2：在[例3]中，若将“任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1”改为“存在x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1”，其它条件不变，则a 的取值范围是______.问题“等价转化”为f (x )min ≤g (x )max ，请读者自行求解.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·咸阳调研)命题p ：“任意x >1，x 2－1>0”，则綈p 为( ) A.任意x >1，x 2－1≤0B.任意x ≤1，x 2－1≤0C.存在x 0>1，x 20－1≤0D.存在x 0≤1，x 20－1≤0解析 命题p ：“任意x >1，x 2－1>0”，则綈p 为：存在x 0>1，x 20－1≤0.答案 C2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) A.(綈p )或(綈q ) B.p 或(綈q ) C.(綈p )且(綈q )D.p 或q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )或(綈q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p 且q ”的否定，选A.答案 A3.命题“任意n ∈N +，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A.任意n ∈N +，f (n )∉N +且f (n )＞n B.任意n ∈N +，f (n )∉N +或f (n )＞n C.存在n 0∈N +，f (n 0)∉N +且f (n 0)＞n 0 D.存在n 0∈N +，f (n 0)∉N +或f (n 0)＞n 0 解析 ∵全称命题的否定为特称命题，∴该命题的否定是：存在n 0∈N +，f (n 0)∉N +或f (n 0)>n 0. 答案 D4.已知命题p ：存在x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.p 且綈q C.綈p 且qD.綈p 且綈q解析 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，所以p 为真命题，则綈p 为假命题；当a ＝1，b ＝－2时，满足a 2<b 2，但不满足a <b ，所以q 为假命题，则綈q 为真命题，根据且命题同真则真的原则，p 且綈q 为真命题. 答案 B5.(2020·河南六校联考)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >x 2，q ：“ab >4”是“a >2，b >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.(綈p )且q C.p 且(綈q )D.(綈p )且(綈q )解析 当x ＝2时，2x ＝x 2，所以p 是假命题；由a >2，b >2可以推出ab >4；反之不成立，例如a ＝2，b ＝4，所以“ab >4”是“a >2，b >2”的必要不充分条件，故q 是假命题；所以(綈p )且(綈q )是真命题. 答案 D6.已知命题“存在x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)解析 因为命题“存在x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定命题“任意x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题. 则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 答案 D7.命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p 且qB.p 或qC.p 且(綈q )D.綈q解析 由于y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是(2，＋∞)， 所以命题p 是假命题.由3x >0，得3x ＋1>1，所以0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题. 所以p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，p 且(綈q )为假命题，綈q 为假命题. 答案 B8.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“任意x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“任意x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定：“存在x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题， ∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， ∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).答案 D 二、填空题9.若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 110.命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________________________.解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.答案 存在x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋111.(2020·湖南百校大联考改编)下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x >0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0；p 3：任意x ∈R ，sin x <2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1.其中是真命题的为________.解析 任意x ∈R ，2x >0恒成立，p 1是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴p 2是假命题.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π，知p 3是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则p 4为真.综上，p 1，p 4为真命题，p 2，p 3是假命题. 答案 p 1，p 412.已知命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围为________.解析 由命题p ：存在x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：任意x∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2， 若p 且q 为真命题，则－2<m ≤－1，因为p 且q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1. 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)B 级 能力提升13.命题“任意x ∈R ，存在n ∈N +，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A.任意x ∈R ，存在n ∈N +，使得n <x 2 B.任意x ∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 2 C.存在x ∈R ，存在n ∈N +，使得n <x 2 D.存在x 0∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 20 解析 改变量词，否定结论.∴该命题的否定应为：存在x 0∈R ，任意n ∈N +，使得n <x 20. 答案 D14.(2020·南昌质检)下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B.命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0＝62；命题q ：任意x ∈R ，x >sin x ，则命题p 或q 为真C.命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题解析 选项A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，∴A 选项错误.选项B ，∵sin x 0＝62>1，∴命题p 是假命题.命题q ：当x ＝0时，x ＝sin x ，∴命题q 是假命题，则命题p 或q 为假.∴B 选项错误.选项C ，命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，∴C 选项错误.选项D ，∵x ＝y ，∴sin x ＝sin y ，∴该命题的逆否命题为真命题.∴D 选项正确. 答案 D15.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：存在m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是____________(填序号).①p 且q ；②(綈p )且q ；③p 且(綈q )；④(綈p )且(綈q ). 解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13， 所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题；逐项检验可知，只有(綈p )且q 为真命题. 答案 ②16.(2020·漳州八校联考)设p ：函数f (x )＝ax 2－x ＋14a 的定义域为R ，q ：存在x∈(0，1)，使得不等式3x －9x －a <0成立.如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________. 解析 若命题p 为真，则ax 2－x ＋14a ≥0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（－1）2－4a ·14a ≤0，解得a ≥1. 设y ＝3x －9x .令3x ＝t ，则y ＝3x －9x ＝t －t 2， 当x ∈(0，1)时，t ∈(1，3)， 所以y ＝3x －9x 的值域为(－6，0). 若命题q 为真，则a >－6.由命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，可知p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，－6<a <1， 所以实数a 的取值范围是(－6，1). 答案 (－6，1)C 级 创新猜想17.(组合选择题)(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：存在(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：任意(x ，y )∈D ，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q②綈p或q③p且綈q④綈p且綈q这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④解析由不等式组画出平面区域D，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x＋y＝9，可知命题p正确，作出直线2x＋y＝12，2x＋y≤12表示直线及其下方区域，易知命题q错误. ∴綈p为假，綈q为真，∴p或q为真，綈p或q为假，p且綈q为真，綈p且綈q为假.故真命题的编号为①③.答案 A。

▼知识点：一、全称量词与全称命题1、全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；2、全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题；3、全称命题的格式：“对M中任意一个x，有p（x）成立”的命题，记为x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。

二、存在量词与特称命题1、存在量词：短语“存在一个”，“至少有一个”在陈述中表示个别或者一部分的含义，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示；2、特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题；3、“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”的命题，记为x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，使p （x0）成立”。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：它的否命题。

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：，其否定命题。

教案：3．含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．1．下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3[答案]C2．下列全称量词命题为真命题的是()A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5[答案]B3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2019<1D．∃x∈R,2x＞2B[当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．] 4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是()A．￢p：∃x∈R，sin ≥1B．￢p：∀x∈R，sin x≥1C．￢p：∃x∈R，sin x＞1D．￢p：∀x∈R，sin x＞1[答案]C全称量词命题和存在量词命题的判断【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使x－11＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＝21.[解](1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使x－11＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝21，所以该命题是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1. 判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.[解](1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，2＋y2＝0，故它是所以不存在x，y为正实数，使x假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．含有一个量词的命题的否定2>2n，则命题【例2】(1)设命题p：∃n∈N，np的否定为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2(1)C(2)D[(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是2>2n”的“∀x∈M，￢p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2≤2n”，故选C.否定是“∀n∈N，n(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以*，使得n≥x2”的否定形式为“∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2”．]“∃x∈R，∀n∈N含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：∀x∈R，212≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.[解](1)￢p：∃x∈R，212＜0，假命题．2≥0恒成立，所以￢p是假命题．因为∀x∈R，21(2)￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成因为∀x∈R，x立，所以￢r是真命题．(4) ￢s：∀x∈R，x＋1≠0，假命题．3＋1＝0，所以￢s是假命题．因为x＝－1时，x全称量词命题与存在量词命题的应用2＋4x－1的【例3】对于任意实数x，函数y＝x函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解]令y＝x2＋4x－1，x∈R，2－5，则y＝(x＋2)2＋4x－1>m恒成立，因为∀x∈R，不等式x所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y max(或a＜y min).(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y min(或a＜y max).3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≥1B．m＞1C．m＜1 D．m≤1B[命题p：∀x∈R，x－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.故选B.]1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．1．思考辨析(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．()(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．()(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.()[答案](1)√(2)×(3)×2．下列存在量词命题中，是假命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆C[A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题．只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.] 4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3.[解](1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理由于使x数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．课件：练习：。

人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词含有全称量词的命题命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词含有存在量词的命题命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【例1.2】已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【变式1.1】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式1.2】下列命题中，存在量词命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有2+>0.A．0B．1C．2D．3【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】下列命题中的假命题是（）A．∃∈s=0B．∀∈s2+1>0C．∀∈s3>0D．∃∈s2−10=1【例2.2】下列命题中为真命题的是（）A．1:∃∈，2+1<0B．2:∀∈，+|U>0C．3:∀∈，|U∈D．4:∃∈，2−7+15=0【变式2.1】下列三个命题中有几个真命题（）①∃∈R，2−5−6=0；②∀∈，2+2+3<0；③至少有一个实数，使得3+1=0A．0B．1C．2D．3【变式2.2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A．至少有一个∈，使得2<3成立B．菱形的两条对角线长度相等C．∃∈，2=D．对任意，∈，都有2+2⩾2(+−1)【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则的取值范围为（）A．−∞,0∪12,+∞B．−∞,0∪12,+∞C．0,12D．0,12【例3.2】已知“∃∈，>2−1”为真命题，则实数的取值范围为（）A．>−1B．>1C．<−1D．<1【变式3.1】已知命题p为“∃∈[−2,1]，2+2B−3≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A．≥1B．>1C．47<<1D．47≤≤1【变式3.2】已知命题：任意∈1,2,2−≥0，命题：存在0∈R,02+2B 0+2−=0，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】命题“∀∈，2≥0”的否定是（）A．∃∈，2≥0B．∃∉，2≤0C．∃∈，2<0D．∃∉，2<0【例1.2】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是（）A．∃≥0, 2−+1<0B．∀<0,2−+1≥0C．∀≥0,2−+1<0D．∃≥0,2−+1≥0【变式1.1】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【变式1.2】命题“∀∈，∃∈∗，>2”的否定形式是（）A．∀∈，∀∈∗，≤2B．∃∈，∃∈∗，<2C．∃∈，∀∈∗，≤2D．∃∈，∀∈∗，<2【考点2存在量词命题的否定】【例2.1】命题“∃0∈s 02+30−2=0”的否定为（）A．∀∈s 2+3−2=0B．∀∈s 2+3−2≠0C．∃∉s 12+31−2=0D．∃1∈s 12+31−2≠0【例2.2】已知命题：∃∈N,2−2是素数，则¬为（）A．∀∉N,2−2不是素数B．∃∈N,2−2不是素数C．∃∉N,2−2不是素数D．∀∈N,2−2不是素数【变式2.1】命题“∃>0，2++1≥0”的否定是（）A．∀≤0，2++1<0B．∀≤0，2++1≥0C．∀>0，2++1<0D．∃>0，2++1<0【变式2.2】关于命题“∃0∈R，02−0+1<0”的否定，下列说法正确的是（）A．¬：∀∈R,2−+1>0，为假命题B．¬：∀∈R,2−+1>0，为真命题C．¬：∃∈R,2−+1>0，为真命题D．¬：∀∈R,2−+1≥0，为真命题1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【考点1命题否定的真假判断】【例1.1】已知命题G∀∈s2−−2>0．(1)写出命题的否定；(2)判断命题的真假，并说明理由．【例1.2】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)G∀∈R,2++1>0；(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)G∃∈N,2−2+1≤0．【变式1.1】写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)∃∈，2+2+3≤0；(2)至少有一个实数，使3+1=0；(3)∃s∈，2+=3．【变式1.2】对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：(1)∀∈R，2−2+1≥0；(2)∃∈Q，2=2；(3)∃∈R，2−0；(4)∀≠0，+∈2,+∞；(5)任意三角形都有内切圆；(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．【考点2根据命题否定的真假求参数】【例2.1】已知命题G∃∈s−2+2−5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．【例2.2】已知命题G∀1≤≤3，都有≥，命题G∃1≤≤3，使≥，若命题为真命题，命题q 的否定为假命题，求实数m的取值范围．【变式2.1】已知命题：方程2+B+1=0有两个不等的负实根；命题：方程42+4−2+1=0无实根.(1)若命题¬为真，求实数的取值范围；(2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围.【变式2.2】已知：∀∈，B2+1>0，：∃∈，2+B+1≤0．（1）写出命题的否定¬；命题的否定¬；（2）若¬和¬至少有一个为真命题，求实数的取值范围．一、单选题1．下列正确命题的个数为（）①∀∈，2+2>0；②∀∈s4≥1；③∃∈s3<1；④∃∈s2=3．A．1B．2C．3D．42．已知命题G∀>0,e+3≤2，则¬为（）A．∃≤0,e+3>2B．∃>0,e+3>2C．∃>0,e+3≤2D．∀>0,e+3>23．下列命题中正确的是（）A．∃∈，≤0B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C．∃∈{U是无理数}，+5是无理数D．存在∈R，使得2+1<24．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（）A．所有的素数都是奇数B．∀∈，+1≥1C．有一个实数，使2+2+3=0D．有些平行四边形是菱形5．已知“∃0∈，202402−20240−<0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．>−506B．≥−506C．≤−506D．<−5066．下列结论中正确的个数是（）①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；②命题“∀∈R,+1≥1”是全称量词命题；③命题“∃∈R,2−+1=0”的否定为“∀∈R,2−+1=0”；④命题“∀∈Z,∈N”是真命题；A．0B．1C．2D．37．已知命题：∀∈，2−+2>0，则“≤0”是“¬是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设∈R，用表示不超过的最大整数，则=称为“取整函数”，如：1.6=1，−1.6=−2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合=U2−−1=0,−1<<2是单元素集：②对于任意∈R，+=2成立，则以下说法正确的是（）A．①②都是真命题B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题D．①②都是假命题二、多选题9．下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（）A．存在实数，使2≤0B．有一个无理数，它的立方是有理数C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数D．每个三角形的内角和都是180∘10．已知命题G∃∈{b−1≤≤1}，2−5+3<+2，若p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．≤0B．≥5C．≥0D．≤5三、填空题11．命题“∃∈−1,1,2+2≤1”的否定是．12．若“∃∈，使得22−B+1<0”是假命题，则实数m的取值范围是．四、解答题13．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：(1)实数都能写成小数；(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；(4)存在一个自然数n，使代数式2−2+2的值是负数．14．写出下列命题的否定：(1)一切分数都是有理数；(2)正方形都是菱形；(3)∃∈，使2−2=0；(4)∀∈，有2+2+2≤0．15．已知集合=−3≤≤10，=2+1≤≤3−2，且≠∅．(1)若命题p：“∀∈，∈”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q：“∃∈，∈”是真命题，求实数m的取值范围．16．已知命题G∀∈，2+2−3>0，命题G∃∈，2−2B++2<0.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词答案1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词含有全称量词的命题命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词含有存在量词的命题命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【解题思路】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答过程】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【例1.2】已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【解题思路】根据复合命题的真值表判断A，根据全称命题和特称命题的概念判断BCD．【解答过程】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，因此非p是假命题，A错；命题，实际上是说所有实数的平方都是非负数，是全称性命题，B错，C正确，D错．故选：C．【变式1.1】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据存在量词的意义逐一判断选择即可.【解答过程】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A.【变式1.2】下列命题中，存在量词命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有2+>0.A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据存在量词命题和全称量词命题的定义作出判断.【解答过程】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．故选：B.【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】下列命题中的假命题是（）A．∃∈s=0B．∀∈s2+1>0C．∀∈s3>0D．∃∈s2−10=1【解题思路】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解.【解答过程】对于A，当=0时，=0，为真命题，故A错误；对于B，因为∈，所以2≥0，则2+1≥1>0，为真命题，故B错误；对于C，当=0时，3=0，为假命题，故C正确；对于D，由2−10=1，得=112，为真命题，故D错误.故选：C.【例2.2】下列命题中为真命题的是（）A．1:∃∈，2+1<0B．2:∀∈，+|U>0C．3:∀∈，|U∈D．4:∃∈，2−7+15=0【解题思路】对A：由2+1≥1>0判断命题为假；对B：当=0时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由Δ=72−4×15<0判断命题为假.【解答过程】∀∈，2+1≥1>0，故1是假命题；当=0时，+|U=0，故2是假命题；∀∈，|U∈，故3是真命题；方程2−7+15=0中Δ=72−4×15<0，此方程无解，故4是假命题.故选:：C.【变式2.1】下列三个命题中有几个真命题（）①∃∈R，2−5−6=0；②∀∈，2+2+3<0；③至少有一个实数，使得3+1=0A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案.【解答过程】①由2−5−6=(+1)(−6)=0，可得=−1或=6，为真命题；②由2+2+3=(+1)2+2>0，为假命题；③当=−1时3+1=0，为真命题.故选：C.【变式2.2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A．至少有一个∈，使得2<3成立B．菱形的两条对角线长度相等C．∃∈，2=D．对任意，∈，都有2+2⩾2(+−1)【解题思路】由定义选择全称量词命题，再判断真假.【解答过程】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误，对任意，∈，都有2+2−2(+−1)=2−2+1+2−2+1=(−1)2+(−1)2≥0，即2+2≥2(+−1)，D选项正确.故选：D.【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则的取值范围为（）A．−∞,0∪12,+∞B．−∞,0∪12,+∞C．0,12D．0,12【解题思路】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围.【解答过程】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则当=0时，不等式为12>0对∀∈R恒成立；当≠0时，要使得不等式恒成立，则>0Δ=42−48<0，解得0<<12综上，的取值范围为0,12.故选：D.【例3.2】已知“∃∈，>2−1”为真命题，则实数的取值范围为（）A．>−1B．>1C．<−1D．<1【解题思路】由题意知需要大于2−1的最小值，求出其最小值即可得.【解答过程】由题意得>2−1min，又2−1min=−1，此时=0，故>−1.故选：A.【变式3.1】已知命题p为“∃∈[−2,1]，2+2B−3≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A．≥1B．>1C．47<<1D．47≤≤1【解题思路】将问题转化为命题¬“∀∈[−2,1]，2+2B−3<0”为真命题，令=2+2B−3，利用二次函数的性质求解.【解答过程】解：因为命题p “∃∈[−2,1]，2+2B −3≥0”为假命题，所以命题¬“∀∈[−2,1]，2+2B −3<0”为真命题，令=2+2B −3，其对称轴为=−，当−≤−2，即≥2时，1=1+2−3<0，解得>1，此时≥2；当−≥1，即≤−1时，−2=4−4−3<0，解得>47，此时无解；当−2<−<1，即−1<<2时，1=1+2−3<0−2=4−4−3<0，即>1>47，此时1<<2，综上：实数a 的取值范围是>1，故选：B.【变式3.2】已知命题：任意∈1,2,2−≥0，命题：存在0∈R,02+2B 0+2−=0，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞【解题思路】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案.【解答过程】命题为真时≤2恒成立，∈1,2，即≤2min ，≤1，命题为真时Δ≥0，即42−42−≥0，解得：≤−2或≥1.命题“且”是真命题时，取交集部分，可得≤−2或=1，所以命题“且”是假命题时，可得>−2且≠1，故选：D.1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】命题“∀∈，2≥0”的否定是（）A．∃∈，2≥0B．∃∉，2≤0C．∃∈，2<0D．∃∉，2<0【解题思路】根据命题“∀∈，”的否定是“∃∈，¬”直接得出结果.【解答过程】命题“∀∈，2≥0”的否定是“∃∈，2<0”．故选：C．【例1.2】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是（）A．∃≥0, 2−+1<0B．∀<0,2−+1≥0C．∀≥0,2−+1<0D．∃≥0,2−+1≥0【解题思路】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.【解答过程】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是“∃≥0, 2−+1<0”，故选：A.【变式1.1】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【解题思路】由命题否定的定义即可得解.【解答过程】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是∃0∈0,1，03≥02.故选：C.【变式1.2】命题“∀∈，∃∈∗，>2”的否定形式是（）A．∀∈，∀∈∗，≤2B．∃∈，∃∈∗，<2C．∃∈，∀∈∗，≤2D．∃∈，∀∈∗，<2【解题思路】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。

全称量词与存在量词高中数学　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．导语同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合，”也有“南使孤帆远，东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业，”还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词．而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词，“全体，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论．一、全称量词与全称量词命题问题1　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．知识梳理全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号表示∀全称量词命题含有全称量词的命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为形式“∀x∈M，p(x)”注意点：(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定；(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”；(3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；(4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可．例1　判断下列命题是否为全称量词命题并判断真假．(1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A＝cos B；(2)自然数的平方大于或等于零；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．解　(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．真命题；(2)全称量词命题．表示为∀n∈N，n2≥0.真命题；(3)全称量词命题．对于任意二次函数，它的图象的开口都向上．假命题．反思感悟　(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别．(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可．跟踪训练1　判断下列全称量词命题的真假．(1)每个四边形的内角和都是360°；(2)任何实数都有算术平方根；(3)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．2解　(1)真命题；(2)负数没有算术平方根，假命题；(3)x＝是无理数，但x2＝2是有理数，假命题．二、存在量词与存在量词命题问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．提示　容易判断，(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题．知识梳理存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为形式“∃x∈M，p(x)”注意点：(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；(2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题；(3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；(4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立．例2　判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假．(1)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(2)某个四边形不是平行四边形；(3)方程3x－2y＝10有整数解；(4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0.解　(1)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．真命题．(2)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．真命题．(3)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．真命题．(4)存在量词命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实根．假命题．反思感悟　(1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别．(2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立．跟踪训练2　判断下列存在量词命题的真假．(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；(2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数；(3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数．解　(1)菱形的对角线互相垂直，真命题；(2)n2＋n＝n(n＋1)，故n和n＋1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题；(3)当x＝π时，x2仍是无理数，真命题．三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以Error!解得2≤m≤3.即m的取值范围为{m|2≤m≤3}．延伸探究1．把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围．解　p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.所以Error!或Error!解得2≤m≤4.2．把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．解　由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，所以A⊆B，B≠∅，所以Error!解得m∈∅，所以不存在实数m，使命题p是真命题．反思感悟　依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．跟踪训练3　若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围．解　∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.即实数a的取值范围为{a|a≤4}．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．(2)含量词的命题的真假判断．(3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围．2．方法归纳：定义法、转化法．3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．1．(多选)下列命题是全称量词命题的是( )A．任意一个自然数都是正整数B．有的菱形是正方形C．梯形有两边平行D．∃x∈R，x2＋1＝0答案　AC解析　选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题．2．下列命题中是存在量词命题的是( )A．任何一个实数乘以0都等于0B．任意一个负数都比零小C．每一个正方形都是矩形D．一定存在没有最大值的二次函数答案　D解析　D选项是存在量词命题．3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象都开口向上B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立答案　C解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．答案　存在量词命题　假解析　命题p是存在量词命题，因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0，即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．课时对点练1．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方式的是( )A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3答案　C解析　“∀”表示“任意的”．2．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是( )A ．∀x ∈R,2x ＋1>0B ．若2x 为偶数，则x ∈NC ．菱形的四条边都相等D ．π是无理数答案　C解析　对A ，是全称量词命题，但不是真命题，故A 不正确；对B ，是全称量词命题，但不是真命题，故B 不正确；对C ，是全称量词命题，也是真命题，故C 正确；对D ，是真命题，但不是全称量词命题，故D 不正确．3．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，|x |＝0B ．∃x ∈R,2x －10＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R ，x 2＋1>0答案　C解析　当x ＝0时，x 3＝0，故选项C 为假命题．4．下列存在量词命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使4－x 2＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案　B 解析　对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝2＋>0恒成立．(x ＋12)345．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使>21x 答案　B解析　A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是存在量词命题又是真命题；C 中因为＋(－)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一33个负数x ，都有<0，所以D 是假命题．1x 6．(多选)下列命题中是存在量词命题的是( )A ．有些自然数是偶数B ．正方形是菱形C ．能被6整除的数也能被3整除D ．存在x ∈R ，使得|x |≤0答案　AD解析　选项A 是存在量词命题；选项B 可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；选项C 可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而选项D 是存在量词命题．7．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2>0”用“∃”写成存在量词命题为______________________．答案　∃x <0，(1＋x )(1－9x )2>0解析　存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”．8．给出下列命题(1)∀x ∈R ，x 2>0；(2)∃x ∈R ，x ＋1≤0；(3)∃a ∈∁R Q ，b ∈∁R Q ，使得a ＋b ∈Q .其中真命题的个数为____________．答案　2解析　(1)当x ＝0时，x 2＝0，是假命题；(2)存在x ＝－2，使得x ＋1≤0，真命题；(3)当a ＝2－，b ＝3＋时，a ＋b ＝5，是真命题．229．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性．(1)对所有的正实数t ，为正且<t ；t t (2)存在实数x ，使得x 2－3x －4＝0；(3)存在实数对(x ，y )，使得3x －4y －5>0；(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．解　(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t ＝1，则<t 不成立．t (2)为存在量词命题，且为真命题，因为判别式Δ＝b 2－4ac ＝25>0，所以存在实数x ，使得x 2－3x －4＝0.(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x －4y －5>0成立．(4)为全称量词命题，且为真命题．10．已知命题“∃－3≤x ≤2,3a ＋x －2＝0”为真命题，求实数a 的取值范围．解　由3a ＋x －2＝0，得3a －2＝－x ，∵－3≤x ≤2，∴－2≤－x ≤3，∴－2≤3a －2≤3，即0≤a ≤，53故实数a 的取值范围是Error!.11．下列命题中形式不同于其他三个的是( )A ．∀x ∈Z ，x 2－9<x 2B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≠0C ．每一个正数的倒数都大于0D ．∀x <2，x －3<0答案　B解析　ACD 均为全称量词命题，B 为存在量词命题．12．下列命题中正确的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；③∃x ∈{x |x 是无理数}，x ＋5是无理数．A ．0B ．1C ．2D ．3答案　D解析　①∃x ∈R ，x ≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x ∈{x |x 是无理数}，x ＋5是无理数，正确，例如x ＝π.综上可得①②③都正确．13．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．a>－1 B．a<－1C．a≥－1 D．a≤－1答案　B解析　依题意方程x2＋2x－a＝0无实根，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.14．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________．答案　a≤3解析　对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案　C解析　当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4.所以命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.16．若∀x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解　因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，即m2＋4a＋4≥0恒成立．设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．。

1.3 全称量词与存在量词1．全称量词定义:在语句中含有短语“所有”、“每一个”、“任何一个”、“任意一个”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词。

含有全称量词的命题叫作全称命题。

全称量词的否定是存在量词。

注意:在某些全称命题中，有时全称量词可以省略。

例如棱柱是多面体，它指的是“所有棱柱都是多面体”。

（1）“对所有的”、“对任意一个”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“∀”，含有全称量词的命题叫做全称命题。

对M中任意的x，有p(x)成立，记作"∀"x∈M，p(x)。

（2）“存在一个”、“至少有一个”等词在逻辑中被称为存在量词，记作“∃”，含有存在量词的命题叫做特称命题。

M中至少存在一个x，使p(x)成立，记作"∃"x∈M，p(x)。

否定：（1）对于含有一个量词的全称命题p："∀"x∈M，p(x)的否定┐p是："∃"x∈M，┐p(x)。

（2）对于含有一个量词的特称命题p："∃"x∈M，p(x)的否定┐p是："∀"x∈M，┐p(x)。

全称命题：其公式为“所有S是P”。

全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。

”2．存在量词定义:短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词。

含有存在量词的命题叫作特称命题。

特称命题 :其公式为“有的S是P”。

特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。

含有存在性量词的命题也称存在性命题。

例如：⑴有一个素数不是奇数；⑵有的平行四边形是菱形。

常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等。

特称命题“存在M 中的一个x ，使p （x ）成立”。