一道线性规划问题的多解探讨
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题目
（０ １年全 国新课 标理 科 ）若变 量 ｚ Ｙ满 ２１ ，
所 以 乏 ＋２ 的最 小值 为 ～６ ：ｚ ．
足 约束 条 件
为
— —
ｚ一
的
值
彝
最 小值 点 时一些 同学 的畏难情 绪．
三
．
用 不 等式 的基 本性 质 ， 用 画 图， 接 求解 ， 免 了找 不 直 避
号２ ３ － （ 号ｘｙ ，一ｙ ｚ ） （ ） ＝ １＋ ＋ － ．
作直线 ｚ： ＋２ ＝０ 即 。 ｙ ， 一一寺ｚ作与 ｚ 平行 。
的一 组 直 线 Ｚ ，当 ｚ过 直 线 ２ ＋ Ｙ一 ３— ０与 直 线
又一＜ ＋＜ ’ 以２ ３∈３） 』 ４所 （８ 一 ，．
本题可 变 为 ：若变量 ｚ， 满 足 ３ ２ ≤ ｘ＋Ｙ ９且 ≤ ６ ≤ 一 ≤９ 则 ｚ Ｉ ｙ最小值 为 ， ＝２ ＂ ＋２ ．
解 法 １ 题 干 中 出现 “ 束 条 件 ” 可 从 线 性 规划 约 ，
人 手进行 解决 ．可 转 化 为求 线 性 目标 函数 ｚ ＋ ２ —ｚ ｙ 在 线性 约束 条件 下 的最／ 值． ｊ 、
２ ｘ一 ３ －（ － ｎ） － ” ～一 ． ｙ－ ｍ ｌ ｘ４ （ ｚ ）ｙ， －
、
、
＼＼ ／ ／ ｉ；
ｌ
／
解法 １ 令 ２ ｘ一３ —ｒ（ ＋ ） ／ ） 即 ｙ ｅ ｘ ＋Ｙ — ， （
Ｄ
— —
：
所 以｛
１
７ 一 ” 一 ，ｎ 一
解得
／ ９
ｌ ｘ ｙ ４且 ２ ＜ ＋ ％ ＜ —ｙ ３ 则 一 ２ 一 ３ 的 取 值 ％ ， ｘ ｙ
ｘ
￣ ｙ ６ Ｏ －
作 出可行域 如下 图 中四边 形 ＡＢＣ 易 知 为平 行 Ｄ（ 四边 形 ） 内部 及其边 界． 的
‘ ’
范 围是 分 方法求 解．
一丁
一Ａ～ Ｂ ．
’
考试 （ 课 标 ） 新 理科 数 学 题 第 １ ３题 作 了 分析 ， 出 了 给
另外 ２种 方 法 ， 指 出解 答 此类 题 目有 ３种 方 法 ， 并 解
答 时应灵 活选择 ．
＋２ ×
又 因 为 ３ Ａ≤ ９ ６ Ｂ ９ 所 以 一 ６ Ａ—Ｂ≤ ３ ≤ ，－ ≤ ， ％ ≤ ，
解 法 ２ 令 ｚ＋ ２ ｙ—ｍ（ ｘ＋ ） ２ ，＋ （ — ） ，即
２ ２
＝ 一Ａ十 Ｂ ５
又 ｛
所 ２３（） 以 －￣， ｘｙ３． － ８
（ 者单 位 ： 庆 市大足 中学） 作 重
数
解 法 ２ 设 则 ． － ７ Ｃ － ’
ｚ — 一９ 的交 点 Ａ（ ， ） ， —０ ４ 一５ 时
ｚ ｉ ４ ２ （ ５ 一 一 ６ 一 ＋ × 一 ） ．
解 ２设Ｂ 则 Ａ Ｂ所 法 ｛ 一， — 所 — 以
Ｉ 丁 ２ －３ ｘ 一（ Ａ＋Ｂ）． ＿ ．一． ３ （ ’
ｆｘ＋ｙ－ ≥ ２ －３
有学能利 同可要用
一
：解 ． ’ ｖ 先 的
线性 约束 条件可 化为 ：
ｊ
－
２ ＋ ｚ
一
９ ≤
范围 ， 代人 — 十２ 再 求 最小值 ， 样会 得 出 错误 的 那 值 一７ 题 目中加 了“ ． 约束 条件 ” 在 某种 程 度 上是 为 此 ， 题 降 低 了 难 度． ： ２ １ 如 （ ０ ０年 辽 宁 理 科 １ ４题 ） 知 已
） ３ ≤ ，即 一６ ｚ ｙ ３ ≤ ＋２ ≤ ，所 以 ｚ ＋２ — ｙ的最 小值
Ａ ＋ Ｂ
为～６ ．
本文对 ２ １ ０ １年 全 国普 通 高 等学 校 招 生 全 国统 一
解 法３令Ｉ： Ａ Ｂ
所以 ｚ ２ ＋ 一
＝
２ ＋ｙ ｘ
ｚ
一
ｖ，
’｛Ａ 解ｌ 二 得 ｚ
．
此 题为填 空 题 的 第 一 题 ， 从 线 性 规 划 解 决 ． 可 但 要 作 出可行域 ， 且力求 作 图 准确 ， 找最 小 值 点 ， 并 再 求 出最小 值 ， 真有 点麻烦 ． 还 可不 可 以不 画 图 ， 直接 通 过 计 算得 出最小 值 呢？ 以下给 出 ２ 解法 直接求 解 ． 种
咖遵缄犍魏 戆
的参解攘衬
◇ 重 庆 陈 显 富
ｚ ｙ ２ ＋ ） 一，Ｙ所以｛ ７ 。 十２＝（ｍ ＋（ ｚ ， ｆ ＋１ ） ２ 解 ｍ 一１
Ｉ — ｎ： Ｚ． ｍ
出 一 １ 一 一 １所 以 ｚ ２ 一 （ｚ ， ， ＋ ｙ ２ ＋ ） （ ） 一 ｚ— ． 因为 ６ ≤ 一 ≤ ９ 所 以 一 ９ 一 （ ） 一 ６ ， ≤ — ≤ ． 又 因 为 ３ ２ ≤ ９ 所 以 一６ （ ＋ 一 （ ≤ ｚ＋ ， ≤ ２ ） —
