2013湖北省八市高三3月调考数学理试题及答案(不看多得)

2013年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数2i 1iz =+（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】2i i(1i)1i 1i z ==-=++，则1i z =-，其对应点()1,1Z -位于第四象限，故选D ． （2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为R ，集合1{()1}2xA x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =RI ð（ ）（A ）{0}x x ≤ （B ）{24}x x ≤≤ （C ）{024}x x x ≤<>或 （D ）{024}x x x <≤≥或 【答案】C【解析】∵26802,4x x x x -+>⇔<>，1102xx ⎛⎫≤⇔≥ ⎪⎝⎭，∴A B =I Rð{024}x x x ≤<>或，故选C ． （3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝（C ）()p ⌝∧()q ⌝（D ）p ∨q 【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数3sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6（C ）π3（D ）5π6【答案】B【解析】因为3sin ()y x x x =+∈R 可化为()2cos()6y x x R π=-∈，将它向左平移6π个单位得 2cos ()2cos 66y x xππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，其图像关于y 轴对称，故选B ．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的（ ）（A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等 【答案】D【解析】对于双曲线1C ，有1sin cos 222=+=θθc ，θcos 1==a c e ． 对于双曲线2C ，有θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c，θθθcos 1sin tan ===a c e ． 即这两双曲线的离心率相等，故选D ．（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 方向上的投影为（ ）（A ）32 （B ）315 （C ）32 （D ）315【答案】A【解析】2,1AB =u u u r （），5,5CD =u u u r （），则AB u u u r在CD u u u r 方向上的射影为2232cos 5255AB CD AB CDθ⋅====+u u u r u u u ru u u r u u u r ， 故选A ．（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止． 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） （A ）125ln5+ （B ）11825ln 3+ （C ）425ln5+ （D ）450ln2+ 【答案】C【解析】令25()731v t t t =-++=0，解得4t =或83t =-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为4442253()d (73)d 725ln(1)425ln 512v t t t t t t t t ⎛⎫=-+==-++=+ ⎪+⎝⎭⎰⎰，故选C ．（8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）（A ）1243V V V V <<< （B ）1324V V V V <<< （C ）2134V V V V <<< （D ）2314V V V V <<< 【答案】C【解析】显然23V V <，所以B 不正确． 又2217(2121)33V ππ=++⨯=，22122V ππ=⋅⋅=，3328V ==，224128(4242)33V =++⨯=，从而2134V V V V <<<，故选C ．（9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）（A ）126125 （B ）65 （C ）168125 （D ）75【答案】B 【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为15017505=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =16655⨯=，故选B ． （10）【2013年湖北，理10，5分】已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）（A ）1()0f x >，21()2f x >- （B ）1()0f x <，21()2f x <- （C ）1()0f x >，21()2f x <- （D ）1()0f x <，21()2f x >- 【答案】D【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点()0,1-作ln y x =的切线，设切点为()0,x y ，则切线的斜率01k x=，切线方程为011y x x =-．切点在切线上，则010x yx =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01xx =⇒=，即切点为()1,0，切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<． 则这函数的两个极点12,x x 满足1201x x <<<，所以12()(1)()f x f f x <<，而1(1)(,0)2f a =-∈-，即12()()f x a f x <-<，所以121()0,()2f x f x <>-，故选D ．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中x 的值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为 ． 【答案】（1）0.0044 （2）70【解析】（1）1[150(0.00600.003620.00240.0012)]0.004450x =-++⨯+=． （2）用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.00360.00600.0044)5010070++⨯⨯=．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = ．【答案】5 【解析】已知初始值10,1a i ==，∵104a =≠，则执行程序，得5,2a i ==；因为54a =≠，则执行程序，得16,3a i ==；164a =≠，则第三次执行程序，得8,4a i ==；∵84a =≠，则第四次执行程序，得4,5a i ==；∵4a =，执行输出i ，5i =．（13）【2013年湖北，理13，5分】设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=则x y z ++= ．314【解析】由柯西不等式得2222222()()1(23)32x y z x y z ≥＋＋＋＋＋＋当且仅当123x y z==时等号成立，此时2y x =， 3z x=．∵2221x y z ＋＋=，2314x y z =++，∴14x =，214y =，314z =614314x y z ++ （14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数． 如三角形数1，3，6，10，L ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+． 记第n 个k边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数231(,5)22N n n n=-，六边形数2(,6)2N n n n=-，…………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含2n 项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公 差是12-的等差数列，因此22111124()33222222N n k k k k n k n n n⎡⎤--⎡⎤⎛⎫=+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，．故()2210,241110111010101000N n n =-=⨯-⨯=．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO 的值为_______． 【答案】8【解析】根据题设，易知3OC AO DO ==，Rt Rt Rt ODE DCE OCD ∆∆∆∽∽，∴31OD CD OC OE DE OD ===， 即39CO OD OE ==，在Rt ODE ∆中，22222298DE DO OE OE OE OE =-=-=，在Rt CDE ∆中， 22222229864CE CD DE DE DE DE OE =-=-==，即2264CE EO=，∴8CE EO=． （16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴 正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为π2sin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=． 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 ． 6【解析】椭圆C 的方程可以化为22221x y a b +=，圆O 的方程可化为222x y b +=，直线l 的方程可化为x y m +=，因为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则c m =，2b =，2262m a m =+=，所以椭圆的离心率66c e am===三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2013年湖北，理17，11分】在△ABC 中，角A ，B ，C对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积53S =5b =，求sin sin B C 的值． 解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或 cos 2A =-（舍因为0πA <<，所以π3A =． （2）由1133sin 53,22S bc A bc ====得20bc =．又5b =，知4c =．由余弦定理故21a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin2147b c bcB C A A A a a a=⋅==⨯=．（18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列{}na 满足：23||10a a -=，123125a a a =．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设等比数列{}na 的公比为q ，则由已知可得331211125||10a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1533a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或151a q =-⎧⎨=-⎩．故1533n na-=⋅，或15(1)n na-=-⋅-．（2）若1533n na -=⋅，则1131()53n na -=⋅，故1{}na 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑．若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}na 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21()1502()mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑,N N ，故111m n na =<∑．综上，对任何正整数m ，总有111m n na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L 成立．（19）【2013年湖北，理19，12分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =u u u r u u u r． 记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．解：（1）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ． 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF I 平面ABC l =，所以EF ∥l ． 因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ．（2）解法一：（综合法）如图，连接BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ．因为AB 是O e 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥．已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥．而PC BC C =I ，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=．由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =． 连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=．又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=． 解法二：（向量法）如图，由12DQ CP =u u u r u u u r，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =．连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ．以点C 为原点，向量,,CACB CP u u u r u u u r u u u r所在直线分别为 ,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ． 于是1(,0,0)2FE a =u u u r ，(,,)QP a b c =--u u u r ，(0,,)BF b c =-u u u r ， 所以222||cos ||||FE QP FE QP a b c α⋅==⋅++u u u r u u u ru u ur u u u r ，从而222222sin 1cos b c a b cαα+=-++又取平面ABC的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得222||sin ||||QP QP a b c θ⋅==⋅++u u u ru u u r m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，可得1020ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩．取(0,,)c b =n ．于是22|||cos |||||b cβ⋅==⋅+m n mn ，从而222sin 1cos b cββ=-=+．故2222222222sin sin sin b c a b cb ca b cαβθ+==+++++，即sin sin sin θαβ=．（20）【2013年湖北，理20，12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ． （1）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）； （2）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆． 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆． 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?解：（1）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=，(700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，得(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=． （2）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +．依题意， , x y 还需满足：21, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（1）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件21 73660900, 0, x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩，N，且使目标函数16002400z x y=+达到最小的,x y ．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．（21）【2013年湖北，理21，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x ya m+=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.m nλ=> （1）解法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=， 211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||SBD SAB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得Ay m =，By n =，Dym=-，于是||||1||||1BD A Byy BD m n AB yy m n λλ-++===---．若12SSλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得21λ=+．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则21λ=+． 解法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--．若12S Sλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得21λ=+．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则21λ=+．（2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为12211d k k ==++，22211d k k ==++，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得222Axa k m=+，222Bxa k n=+．根据对称性可知C Bx x =-，D Ax x =-，于是222222221||2||||21||A D ABB C k x x x AD m a k nBC x n a k mk x x +-+===++-．② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以2k>． 于是③式关于k有解，当且仅当22222(1)(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0tt λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得12λ>+，所以当112λ<≤+时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=；当12λ>+l 使得12S S λ=． 解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则12211d k k ==++22211d k k =++所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==． 因为221||||||1||B D A B A BA B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-，所以11ABxxλλ+=-．由点(,)AAA x kx ，(,)BBB x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m+=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0AB xx >>，所以22A B xx >．所以由上式解得22222222()()A B B A m x x ka x x λ-=-．因为2k>，所以由2222222()()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABxxλ<<．从而111λλλ+<<-，解得12λ>+112λ<≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=；当12λ>存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ= （22）【2013年湖北，理22，14分】设n 是正整数，r 为正有理数．（1）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（2）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n nn r r ++++--+-<<++；（3）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥． 令3333818283125S L ，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）解：（1）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r rf x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =．当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =．（2）由（1），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，1(1)1(1)r x r x ++>++．①在①中，令1x n=（1x >-且0x ≠），111(1)1r r n n+++>+．上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r rn nn r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+②当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+③且当1n =时，③也成立．综合②，③得1111(1)(1)11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++． ④ （3）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333333818081(8281)44--（），44443333333828182(8382)44-<-（），44443333333838283(8483)44-<-（），………44443333333125124125(126125)44--（）．将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）．代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S⎡⎤⎢⎥的定义，得211S=⎡⎤⎢⎥．。

≤≥12013届高三第二次联考数学试题（理）命题学校：孝感高中命题人：王国涛审题人：李 冉 蒋志方考试时间：2013年3月28日下午15：00——17：00 试卷满分：150分 编辑人：丁济亮祝考试顺利！一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设x R ,∈则“1x=”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件2．已知命题:,p m n为直线，α为平面，若//,,m n n ⊂α则//m α; 命题:q 若,>a b 则>ac bc ,则下列命题为真命题的是（ ）A ．p 或qB ．⌝p 或qC ．⌝p 且qD ．p 且q3．设221(32)=⎰-ax x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为（ ）A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-4．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）7 98 6 3 893 9 8 84 1 510 3 111 4A ．7B ．8C ．9D ．105．若23529++=x y z，则函数μ= ） A． B ．2C． D湖北省 八校鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中荆州中学 孝 感高中 襄阳四中 襄阳五中 八校2013届第二次联考数学（理科）试题 第 1页 共 4页侧视图6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积为2V ，则12:V V =（ ） A ．1:2 B ．2:1C ．1:1D ．1:47.已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为 ()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）8．已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b ab右支上的一点00(,)P x y 到左焦点距离与到右焦点的距离之差为23,则双曲线的离心率为（ ） A．B．C2D 29．已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．3443,,4532⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．3443,,4532⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．1253,,2342⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．1253,,2342⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦10．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系。

湖北省八市2013年高三年级三月调考语文答案（2013年3月）随州市教研室吴军十堰市教科院许典国潜江市教研室金星铭一、语文基础知识（共15分，共5小题，每小题3分）1．D（A. tiē/tiě；qiān；qì/qiè；B . lì／shuò ;yì；ráo；C .tǎng；fǔ；zhù；D. shā／chà; shēng ／shēn；màn/wàn；）2.C（解析：A苍—沧；B盅—蛊，落—罗；D红襟翠袖—红巾翠袖”。

）3.D（A表示“一定要有”的知识，所以要用“必需”；B. 狡兔三窟：喻藏身处多，便于避祸。

C. 不虞之誉：没有意料到或意想不到的赞扬。

与前面的“没想到”重复。

D等闲视之：等闲，寻常，一般。

把它看成平常的事，不予重视。

）4．C（解析：A项，结构混乱，“围绕以高考为目标”可改为“围绕高考”或“以高考为目标”；B. 关联词位置不当，应将“不但”提至“使日本”前；D．否定不当，意思弄反了。

）5、C（只带回鱼骨头，没保住鱼。

）二、现代文（论述类文本）阅读（共9分，共3小题，每小题3分）6、答案：B(“无限量下载”文中无据）7、答案：D（说的是“用手机等终端阅读电子书”的缺点和不足，与题干不符）8、答案：A（“预示着步入了......”为完成时态，从文中的表述看，电子书的阅读时代即将来临，而非完成时态）三、古代诗文阅读（共34分，共7小题）9、B(狱:诉讼案件)10、C（①说明刘基利用敌人的弱点，打击敌人。

②说明刘基不图赏赐。

⑥说明刘基忠于朝廷，排除私情。

）11、A（文中没有“他嫌官职太小”的意思，行省是因为他有廉直声才辟之，任职肯定比他在高安做县丞大。

）12.（9分）（(1) 正逢陈友谅攻陷了太平，考虑向东进军，气焰十分嚣张。

将领们有的建议投降,有的建议逃到钟山盘踞下来。

("会"、"陷""或"各1 分,句意1分)(2)等到李善长被罢免,皇帝打算让杨宪做丞相。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz+(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．(2013湖北，理2)已知全集为R，集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A ∩＝( )．A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|0＜x≤2或x≥4}3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q) C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q4．(2013湖北，理4)将函数yx＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( ).A．π12 B．π6 C．π3 D．5π65．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C1：2222=1cos sinx yθθ-与C2：22222=1sin sin tany xθθθ-的( )．A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等6．(2013湖北，理6)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )．A．2 B． C．2-D．7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝25 731tt-++(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A．1＋25ln 5 B．118+25ln3 C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 28．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V49．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )．A ．126125B ．65C ．168125D ．7510．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f(x1)＞0，f(x2)＞12-B ．f(x1)＜0，f(x2)＜12-C ．f(x1)＞0，f(x2)＜12-D ．f(x1)＜0，f(x2)＞12-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝__________.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________. 14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．)15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程) 在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21．(2013湖北，理21) (本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n是正整数，r为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r rrn n n nnr r++++-(-)(+)-++；(3)设x∈R，记[x]为不小于．．．x的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.令3125S+，求[S]的值．(参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：∵2i 2i 1i =1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i=1iz +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．答案：C解析：由题意知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x |x ≥0}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，＝{x |x ＜2或x ＞4}．因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．3．答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．4．答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象.又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ，而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C.设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．答案：A解析：由题意可知AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，故AB 在CD方向上的投影为2AB CD CD⋅==. 7．答案：C 解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝423725ln 12tt t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦ ＝4＋25ln 5(m)． 8．答案：C解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋. 10．答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0， ∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f (x 1)＜f (1)＝－a ＜0，f (x 2)＞f (1)＝12a ->-.故选D. 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应．．．．．题号．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．答案：(1)0.004 4 (2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22， 于是x ＝0.2250＝0.004 4. (2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7， ∴所求户数为0.7×100＝70. 12．答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5. 13．答案：7解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =. ∴x ＋y ＋z=14．答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8， 则CD＝在Rt △OCD 中，DE＝·133OD CD OC ⨯==.则83CE ==，EO ＝OC －CE ＝81333-=.因此83=813CE EO =.16．答案：3解析：将椭圆C的参数方程cos,sinx ay bϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a＞b＞0)化为标准方程为22221x ya b+=(a＞b＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin42mρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭(m为非零常数)，即sin cosρθθ⎛=⎝⎭，则该直线的一般式为y＋x－m＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b，其标准方程为x2＋y2＝b2.∵直线与圆O相切，=b，|m.又∵直线l经过椭圆C的焦点，∴|m|＝c.∴c=，c2＝2b2.∵a2＝b2＋c2＝3b2，∴22223cea==.∴e=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由S＝12bc sin A＝1224bc⋅==bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a=又由正弦定理得sin B sin C＝222035sin sin sin2147b c bcA A Aa a a⋅==⨯=.18．解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得331211125,||10,a qa q a q⎧=⎨-=⎩解得15,33,aq⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.aq=⎧⎨=-⎩故1533nna-=⋅，或a n＝－5·(－1)n－1.(2)若1533nna-=⋅，则113153nna-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531=113mmn na=⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若a n＝(－5)·(－1)n－1，则111(1)5nna-=--，故1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn nm k kam k k+=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑NN故111mn na=<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立．19． (1)解：直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以EF ∥AC .又EF 平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l 平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， 所以直线l ∥平面PAC .(2)证明：(综合法)如图1，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径， 所以AC ⊥BC ， 于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC . 连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ， 所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角， 即∠CBF ＝β. 由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =. 连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角，故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β. (向量法)如图2，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =. 连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA ，CB ，CP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫=⎪⎝⎭，QP ＝(－a ，－b ，c )，BF＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FEQPa ⋅=⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QPa θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )．于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n ， 从而sin β=故sin αsin β=sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．解：(1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,50)， 故有μ＝800，σ＝50，P (700＜X ≤900)＝0.954 4. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800＜X ≤900) ＝1122P +(700＜X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,,0,,,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．21．解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12=SS λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12=SS λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |，|AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1，即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以 当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A B x x BD AB x x λ+===-，所以11A Bx x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a mλ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-).因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<1λλλ+-，解得λ＞，所以 当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.22． (1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r－1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即(1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有(1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘nr ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞nr ＋1＋n r(r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④(3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--＜， 4444333333(8281)(8382)44--， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜． 将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(126)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。