江苏省徐州市六校高一数学下学期期中联考试题(含解析) 苏教版

江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（ ）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为 ，ABC V 面积的最小值为 ．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。

【答案】
【解析】
平面 ，那么 ，又 平面 ， 平面 ，设 ，在 中， ，在 中， ， ， 时，三棱锥P-AEF体积最大为 ，此时， ， .
【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.
【详解】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
那么由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1，所以直径为2．
故答案为：2．
【点睛】此题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：〔1〕圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；〔2〕圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
那么k2= =﹣4，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
那么直线l的斜率的取值范围是〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕，
故答案为〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕．
【点睛】此题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道根底题．
10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸局部〔即樟卯结构〕啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内〔容器壁的厚度忽略不计〕，假设球形容器外表积的最小值为30π，那么正四棱柱的高为______．
【详解】
证明：〔1〕取PB的中点E，连接EN，AE．

徐州市2015～度第二学期期中考试高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.直线的倾斜角为. ▲ ___2.化简sin10cos50+cos10sin50=o o o o ▲ ___3. 在数列中， =1，，则的值为 ▲ ___4. 在等比数列中,已知,12nn a a -=且,求数列的通项公式为.▲ ___5. 在中，若b=2,,则a= ▲ ___6. 已知x∈（-2π，0），cosx=45，则tan2x= ▲ ___7.一个等比数列前n 项的和为48，,2n 项的和为60，则前3n 项的和为 ▲ ___8. 已知直线1l :()()3150m x m y ++--=与直线()213m 910l :m x ()y -++-=互相垂直,求m 的值为 ▲ ___9. 在△ABC 中，∠A=60°，AB+AC=10，面积，则BC= ▲ ___10. 在△ABC 中,已知,,则b= ▲ ___11. 若数列{}n a 的前n 项和S n =n 2 -10n （n=1，2，3，…），则数列{}n na 中数值最小的项是 第 ▲ ___项． 12. 经过点,倾斜角是直线倾斜角一半的直线的方程是▲ ___注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．13. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2123262319a a ,a a a +==设，求数列的前项和为 ▲ ___14. 将正偶数排列如图，其中第行第列的数表示为()ij a i,j N *∈，例如4318a ,= 若2016ij a =，则i j += ▲ ___二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分14分）已知等差数列{}n α满足124310,2αααα+=-=（1）求数列{}n α的通项公式（2）若等比数列{}n b 满足2337,b b αα==，求数列{}n b 的通项公式16. （本题满分14分） 已知直线10l :x y +-=,(1)若直线1l 过点()32,且1l l ∥,求直线1l 的方程;(2)若直线2l 过l 与直线270x y -+=的交点,且2l l ⊥,求直线2l 的方程.17. （本题满分14分）数列{}n α中，32n a ,n =前项和为63n S =， （1）若数列{}n α为公差为11的等差数列，求1α（2）若数列{}n α为以11α=为首项的等比数列，求数列{}2n α的前m 项和m T18. （本题满分16分）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足BbA a cos 3sin = (1)求.(2)若点M 为BC 中点,且AM AC =,求sin BAC ∠的值.19. （本题满分16分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．（1）若，求的长；（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20. （本题满分16分）设数列}{n a 的前项和为n S ,11=a ,且对任意正整数n,点()1n n a ,S +在直线220x y +-=上.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)是否存在实数λ,使得数列}2{nn n S λλ++为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,则说明理由.徐州市2015～度第二学期期中考试答案一、填空题1、3π 2、 23 3、397 4、12-n 5、26- 6、724- 7、63 8、m =1或－39、132 10、10 11、3 12、093=+-y x 13、12+-n n14、63二、解答题15、解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则234=-=a a d ， ……2分 又1021=+a a ，∴1021=+d a ，解得41=a ， ……4分 所以22)1(24+=-+=n n a n ． ……6分（2）设等比数列}{n b 的公比为q ，由（1）知832==a b ，1673==a b ， ……8分∴223==b bq ， ……10分又q b b ⨯==128，有41=b ， ……12分 ∴11224+-=⨯=n n n b ． ……14分 16、解：（1）设直线1l 的方程为0=++m y x ， ……2分 ∵直线1l 过点(3,2) ，∴5-=m ……4分 ∴直线1l 的方程为05=-+y x ……6分（2）由 ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+-=-+3207201y x y x y x 解得，l 与直线072=+-y x 的交点为)3,2(- ……9分∵l l ⊥2 ∴直线2l 的斜率为1， ……11分 ∴直线2l 的方程为23+=-x y 即05=+-y x ……14分 17、解：（1）由已知：632)(1==+n n S a a n ① ……2分 3211)1(1==⨯-+n a n a ② ……4分解①②得：101=a ，3=n （11=a ，1142=n 舍去） ……7分 （2）由已知：3211=⨯-n q a 且631)1(1=--⨯qq a n ……9分 解得：q=2 ，n=6 ……11分∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， ……12分∴31441)41(1-=--⨯=m m m T ……14分18、解：（1）由正弦定理得B bA a sin sin =，又有Bb A a cos 3sin =， ……2分 ∴B B cos 3sin =，即3tan =B ， ……4分 又0B π<<，所以3B π=． ……6分(2)由（1）知3B π=，又M 为BC 中点，所以BM = MC =2a， ……8分在ABM ∆与ABC ∆中，由余弦定理分别得：,24cos 22)2(22222ac c a B c a c a AM -+=-+=,cos 222222ac c a B ac c a AC -+=-+= ……10分又AM AC =，所以2422acc a -+ac c a -+=22， ……12分 因为0a ≠，所以23ac =，故,b = ……14分由2πsin sin 3a BAC =∠，得721sin =∠BAC ． ……16分 19、解：（1）由已知，点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形，∵8AB =，6ABC π∠=，∴3BAC π∠=，4AC =， ……2分在ACE ∆中，由余弦定理：2222cos CE AC AE ACAE A =+-，且CE = ……4分 ∴213164AE AE =+-，解得1AE =米或3AE =米 ……6分 （2）∵2ACB π∠=，6ECF π∠=，∴ACE α∠=[0,]3π∈， ∴362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭，在ACF ∆中，由正弦定理得：sin sin cos sin()2CF AC AC ACA CFA παα===∠-∴CF =， ……8分在ACE ∆中，由正弦定理得：sin sin sin()3CE AC ACA AEC πα==∠+∴sin()3CE α=+ ， ……10分若产生最大经济价值，则△ECF 的面积ECF S ∆最大，1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++ ……13分因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13πα+≤≤， ……14分∴当=3πα时，S △ECF取最大值为价值最大． ……16分 20、解：（1）由题意可得：0221=-++n n S a ① ∴当n ≥2时，0221=-+-n n S a ② ……2分①－②得：0221=+-+n n n a a a ，有211=+n n a a （n ≥2） 又11=a ，02212=-+a a ，有212=a ，2112=a a……4分∴}{n a 是首项为1，公比为21的等比数列，从而1)21(-=n n a ……6分（2）由（1）知：1212--=n n S ，n n n n n S 2222-++=++λλλλ ……8分若数列}2{n n n S λλ++为等差数列，则有：)47825()123()2349(2+++=+λλλ ……10分解之得：2=λ ……12分当2=λ时，令n b =222+=++n n S nn λλ（*N n ∈）有2)22(2)1(21=+-++=-+n n b b n n ……14分所以存在实数2=λ，使得数列{nn n S 2λλ++}为等差数列。

2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，则i 2033＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣12．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)．若p →∥q →，则角C 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π23．复数z 满足z （1+i ）＝|1−√3i |，则复数z ＝（ ） A ．√2（cos π4+i sin π4）B ．√2（cos3π4+i sin3π4）C ．√2（cos π4−i sin π4）D ．√2（cos7π4−i sin7π4）4．定义：|a →×b →|=|a →||b →|sinθ，其中θ为向量a →，b →的夹角，若|a →|=2，|b →|=5，(a →+b →)⋅a →=−2，则|a →×b →|=（ ） A ．6B ．﹣6C ．﹣8D ．85．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC 中，BC AC=√5−12．根据这些信息，可求得cos144°的值为（ ）A ．1−√54B ．−√5−12C ．−√5+14D ．−3+√586．已知cos α=√55，sin （β﹣α）=−√1010，α，β均为锐角，则β＝（ ） A ．π4B ．π8C ．π3D ．π67．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →+PB →+PC →=0→；乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)；丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|；丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知锐角三角形△ABC 的内角A ．B 、C 的对边的长分别为a 、b ，c ，且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（ ） A ．(1，√3]B ．(√32，√3] C ．(√32，32) D ．(12，√32)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分. 9．已知复数z =12+√32i ，则下列结论正确的是（ ） A ．zz =1 B ．复数z 的虚部为√32i C ．z 2=zD ．若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值为210．下列等式成立的有（ ） A ．sin75°cos75°=12B ．1+tan15°1−tan15°=√3C ．tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1D ．1tanθ−1tan2θ=1sin2θ11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．AO →=14AB →+12AC →B ．|OA →+OB →+OC →|=√32C ．BD →⋅CE →=−1D ．ED →在BC →上的投影向量为712BC →12．在△ABC 中角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．则下列结论中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则cos2A ＜cos2BB ．若b 2+c 2﹣a 2＞0，则△ABC 是锐角三角形 C ．若a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 是等腰三角形D ．若C ＝60°，c ＝2，则△ABC 面积的最大值为√3 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，则|a →+2b →|＝ ． 14．已知tan(α+π4)=−3，则tan α＝ ，sin(2α+π4)= ．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝35m ，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则AB 两点的距离为 m ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C ，则a 2+b 2c 2= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 1＝m +i ，z 2＝1﹣i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求z 1⋅z 2的值； （2）若z 1﹣2z 2是纯虚数，求m 的值；（3）若z 1z 2在复平面上对应的点在第二象限，求m 的取值范围．18．（12分）已知向量a →、b →、c →在同一平面上，且a →=（3，2），b →=（﹣2，1）． （1）若k a →−b →与a →+2b →垂直，求k 的值；（2）若c →=a →+x b →（其中x ∈R ），当|c →|取最小值时，求向量c →与b →的夹角大小． 19．（12分）已知cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)． （1）求cos x 的值； （2）求sin(2x +π3)的值．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinA+sinB sinC=c+b a−b．（1）若a =2√3，b ＝2，求角B ；（2）设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为√3，求AD 长的最大值．21．（12分）已知函数为f （x ）＝a sin x +b cos x ，称向量p →=（a ，b ）为f （x ）的特征向量，f （x ）为p →的特征函数．（1）若g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)，求g （x ）的特征向量；（2）设向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）．记函数h （x ）＝p （x ）q（x）．（i）求h（x）的单调增区间；（ii）若方程ℎ(x)=23在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）．22．（12分）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为200米的半圆，出入口在圆心D处，C点为一居民小区，CD距离为200米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段AC为一边向圆外作等边三角形ABC，使改造之后的公园成四边形ABCD，并将△BCD区域建成免费开放的植物园，如图所示．（1）若DA⊥DC时，点B与出入口D的距离为多少米？（2）A设计在什么位置时，免费开放的植物园区域△BCD面积最大？并求此最大面积．2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，则i 2033＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：i 2033＝（i 4）508•i ＝i ． 故选：A ．2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)．若p →∥q →，则角C 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π2解：∵p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)，p →∥q →， ∴（c +a ）（c ﹣a ）＝b （b +a ），即c 2﹣a 2＝b 2+ab ， ∴c 2＝a 2+b 2+ab ，∴由余弦定理可得，﹣2cos C ＝1，解得cos C =−12， ∵C ∈（0，π），∴C =2π3． 故选：C ．3．复数z 满足z （1+i ）＝|1−√3i |，则复数z ＝（ ） A ．√2（cos π4+i sin π4）B ．√2（cos3π4+i sin3π4）C ．√2（cos π4−i sin π4）D ．√2（cos 7π4−i sin7π4）解：z （1+i ）＝|1−√3i |=√12+(−√3)2=2， 则z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，即z =√2(cos π4−isin π4)． 故选：C ．4．定义：|a →×b →|=|a →||b →|sinθ，其中θ为向量a →，b →的夹角，若|a →|=2，|b →|=5，(a →+b →)⋅a →=−2，则|a →×b →|=（ ） A ．6B ．﹣6C ．﹣8D ．8解：因为(a →+b →)⋅a →=−2，所以a →2+a →⋅b →=−2，即|a →|2+|a →||b →|cosθ=−2，所以22+2×5×cos θ＝﹣2，所以cosθ=−35，因为0≤θ≤π，所以sinθ=45，所以|a →×b →|=|a →||b →|sinθ=2×5×45=8．故选：D ．5．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC 中，BC AC=√5−12．根据这些信息，可求得cos144°的值为（ ）A ．1−√54B ．−√5−12C ．−√5+14D ．−3+√58解：由图形知，∠A ＝36°，且12∠A ＝18°， sin18°=12×BC AC =12×√5−12=√5−14； ∴cos36°＝1﹣2sin 218＝1﹣2×（√5−14）2=1+√54； ∴cos144°＝cos （180°﹣36°）＝﹣cos36°=−1+√54． 故选：C ．6．已知cos α=√55，sin （β﹣α）=−√1010，α，β均为锐角，则β＝（ ）A ．π4B ．π8C ．π3D ．π6解：∵α，β均为锐角，sin(β−α)=−√1010，cosα=√55， ∴cos(β−α)=3√1010，sinα=2√55，∴sin β＝sin[（β﹣α）+α]＝sin （β﹣α）cos α+cos （β﹣α）sin α=−√1010×√55+3√1010×2√55=√5010=√22，且β为锐角， ∴β=π4． 故选：A ．7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →+PB →+PC →=0→；乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)； 丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|；丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解：对于甲：PA →+PB →+PC →=0→，设M 是BC 的中点，则PB →+PC →=2PM →，所以PA →=−2PM →， 故P 点是PM 的靠近M 的三等分点，即该三角形的重心；对于乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)，移项整理得BA →⋅(PA →−PC →)=0，即BA →⋅CA →=0， 故AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形；对于丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|，则P 为△ABC 的外心； 对于丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →．则PA →•PB →−PB →•PC →=PB →•（PA →−PC →）=PB →•CA →=0，所以PB ⊥CA ， 同理可得P A ⊥BC ，PC ⊥AB ， 所以P 为△ABC 的垂心，如果只有一个等式不成立，则该等式为乙． 故选：B ．8．已知锐角三角形△ABC 的内角A ．B 、C 的对边的长分别为a 、b ，c ，且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（ ） A ．(1，√3]B ．(√32，√3]C ．(√32，32) D ．(12，√32)解：因为b ＝2a sin B ，由正弦定理可得，sin B ＝2sin A sin B ， 因为sin B ≠0，故sin A =12， 因为A 为锐角，故A =π6，由题意可得，{0＜B ＜12π0＜5π6−B ＜12π， 解可得，13π＜B ＜12π，则cos B +sin C ＝cos B +sin （5π6−B ）＝cos B +12cos B +√32sinB =√32sinB +32cosB =√3sin （B +13π）∈(√32，32)． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分. 9．已知复数z =12+√32i ，则下列结论正确的是（ ） A ．zz =1 B ．复数z 的虚部为√32i C ．z 2=zD ．若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值为2解：因为z =12+√32i ，所以z =12−√32i ， 所以zz =(12+√32i)(12−√32i)=14+34=1，故A 正确； 复数z 的虚部为√32，故B 错误；z 2=(12+√32i)2=14−34+√32i =−12+√32i ，所以z 2≠z ，故C 错误； 若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则点（a ，b ）的轨迹是以(12，√32)为圆心，半径为1的圆，所以|z 1|的最大值为√(12)2+(√32)2+1=2，故D 正确．故选：AD ．10．下列等式成立的有（ ） A ．sin75°cos75°=12B ．1+tan15°1−tan15°=√3C ．tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1D ．1tanθ−1tan2θ=1sin2θ解：对于A ，sin75°cos75°=12sin150°=14，故A 项错误； 对于B ，1+tan15°1−tan15°=tan45°+tan15°1−tan45°tan15°=tan60°=√3，故B 项正确；对于C ，因为tan45°=tan(20°+25°)=tan20°+tan25°1−tan20°tan25°=1，所以tan20°+tan25°＝1﹣tan20°tan25°，所以tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1，故C 项正确； 对于D ，1tanθ−1tan2θ=cosθsinθ−cos2θsin2θ=cosθsinθ−cos2θ2sinθcosθ=2cos 2θ−cos2θ2sinθcosθ=2×1+cos2θ2−cos2θ2sinθcosθ=12sinθcosθ=1sin2θ，故D 项正确．故选：BCD ．11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．AO →=14AB →+12AC →B ．|OA →+OB →+OC →|=√32C ．BD →⋅CE →=−1D ．ED →在BC →上的投影向量为712BC →解：已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，对于A 项，因为BD 与CE 交于点O ，则BO →，BD →共线，CO →，CE →共线，设CO →=λCE →，CE →=CA →+AE →=12AB →−AC →，则BO →=CO →−CB →=λCE →+BC →=−λAC →+12λAB →+AC →−AB →=(12λ−1)AB →+(1−λ)AC →， 又BD →=AD →−AB →=−AB →+23AC →，因为BO →，BD →共线，设BO →=μBD →，即(12λ−1)AB →+(1−λ)AC →=−μAB →+2μ3AC →，因为AB →，AC →不共线，由平面向量基本定理可得：{12λ−1=−μ1−λ=2μ3，解得{λ=12μ=34， 所以CO →=12×(−AC →+12AB →)=14AB →−12AC →， 所以AO →=AC →+CO →=14AB →+12AC →， 故A 项正确；对于B 项，由A 可知CO →=14AB →−12AC →，AO →=14AB →+12AC →，BO →=−34AB →+12AC →，所以AO →+BO →+CO →=−14AB →+12AC →， 由向量的模的运算可得：|OA →+OB →+OC →|=|AO →+BO →+CO →|=√(−14AB →+12AC →)2=√116AB →2+14AC →2−2×14AB →⋅12AC →=√32，故B 项正确；对于C 项，由A 知BD →⋅CE →=(−AB →+23AC →)⋅(12AB →−AC →)=−12AB →2−23AC →+43AB →⋅AC →=−2−83+83=−2，故C 项错误； 对于D 项，因为ED →=AD →−AE →=−12AB →+23AC →，BC →=−AB →+AC →，所以ED →⋅BC →=(−12AB →+23AC →)⋅(−AB →+AC →)=12AB →2+23AC →2−73AB →⋅AC →=2+83−73=73， 又|BC →|=2，所以ED →在BC →上的投影向量为ED →⋅BC →|BC →|⋅BC →|BC →|=712BC →，故D 项正确．故选：ABD ．12．在△ABC 中角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．则下列结论中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则cos2A ＜cos2BB ．若b 2+c 2﹣a 2＞0，则△ABC 是锐角三角形 C ．若a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 是等腰三角形D ．若C ＝60°，c ＝2，则△ABC 面积的最大值为√3 解：对于选项A ，已知a ＞b ，则sin A ＞sin B ，则cos2A ﹣cos2B ＝（1﹣2sin 2A ）﹣（1﹣2sin 2B ）＝2（sin 2B ﹣sin 2A ）＜0， 即cos2A ＜cos2B ，即选项A 正确；对于选项B ，已知b 2+c 2﹣a 2＞0，则cosA =b 2+c 2−a 22bc＞0，即A 为锐角， 则△ABC 不一定是锐角三角形，即选项B 错误； 对于选项C ，已知若a 2tan B ＝b 2tan A ，则sin 2A ×sinB cosB =sin 2B ×sinAcosA，即sin A cos A ﹣cos B sin B ＝0， 即sin2A ﹣sin2B ＝0，又2cos （A +B ）sin （A ﹣B ）＝0，﹣π＜A ﹣B ＜π或A +B =π2，则A ＝B 或C =π2， 则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，即选项C 错误；对于选项D ，已知C ＝60°，c ＝2，则c 2=a 2+b 2−2ab ×12，即a 2+b 2＝4+ab ≥2ab ， 即ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，即S △ABC =12absinC ≤√34×4=√3，则△ABC 面积的最大值为√3，即选项D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，则|a →+2b →|＝ √7 ． 解：两个单位向量a →，b →的夹角为60°， ∴a →•b →=1×1×cos60°=12，∴(a →+2b →)2=a →2+4a →•b →+4b →2＝1+4×12+4×1＝7， ∴|a →+2b →|=√7． 故答案为：√7．14．已知tan(α+π4)=−3，则tan α＝ 2 ，sin(2α+π4)= √210． 解：由tan(α+π4)=−3， 得tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−3⇒tanα=2，sin(2α+π4)=√22(sin2α+cos2α)=√22⋅2sinαcosα+cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=√22⋅2tanα+1−tan 2α1+tan 2α=√210． 故答案为：2，√210． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝35m ，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则AB 两点的距离为 35√5 m ．解：如图所示：△BCD 中，CD ＝35m ，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝∠ACB +∠DCA ＝120°+15°＝135°， 所以∠CBD ＝30°，由正弦定理得BD sin135°=35sin30°，解得BD ＝35√2（m ），△ACD 中，CD ＝35m ，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝135°+15°＝150°， 所以∠CAD ＝15°，所以AD ＝CD ＝35（m ），△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ＝352+（35√2）2﹣2×35×35√2×cos135° ＝352×5，所以AB ＝35√5（m ），即A 、B 两点间的距离为35√5m ． 故答案为：35√5．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C ，则a 2+b 2c 2= 9 ．解：tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C 可化为：sinA cosA ⋅sinBcosB=4×(sinA cosA+sinB cosB)×sinC cosC=4×(sinAcosB+cosAsinB cosAcosB )×sinCcosC=4×sin(A+B)cosAcosB ×sinC cosC =4sin 2CcosAcosBcosC ，故原式化为sin A sin B =4sin 2CcosC， 由正余弦定理得：ab =4c 2a 2+b 2−c 22ab，化简得a 2+b 2c 2=9．故答案为：9．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 1＝m +i ，z 2＝1﹣i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求z 1⋅z 2的值； （2）若z 1﹣2z 2是纯虚数，求m 的值；（3）若z 1z 2在复平面上对应的点在第二象限，求m 的取值范围．解：（1）当m ＝1时，z 1⋅z 2=（1﹣i ）（1﹣i ）＝1﹣2i +i 2＝﹣2i ； （2）由题意z 1﹣2z 2＝（m ﹣2）+3i 为纯虚数， 则m ﹣2＝0，得m ＝2； （3）z 1z 2=m+i 1−i=(m+i)(1+i)(1−i)(1+i)=m+mi+i+i 22=m−12+m+12i ，z 1z 2在复平面上对应点的坐标为(m−12，m+12)，由题意得{m−12＜0m+12＞0，解得﹣1＜m ＜1． 故m 的范围是（﹣1，1）．18．（12分）已知向量a →、b →、c →在同一平面上，且a →=（3，2），b →=（﹣2，1）． （1）若k a →−b →与a →+2b →垂直，求k 的值；（2）若c →=a →+x b →（其中x ∈R ），当|c →|取最小值时，求向量c →与b →的夹角大小． 解：（1）∵a →=（3，2），b →=（﹣2，1）， ∴k a →−b →=（3k +2，2k ﹣1），a →+2b →=(−1，4)， ∵k a →−b →与a →+2b →垂直，∴（k a →−b →）•（a →+2b →）＝﹣（3k +2）+4（2k ﹣1）＝5k ﹣6＝0，解得k =65． （2）∵c →=a →+x b →（其中x ∈R ），a →=（3，2），b →=（﹣2，1）， ∴c →=(3−2x ，2+x)，∴|c →|=√5x 2−8x +13=√5(x −45)2+495， ∴当x =45时，|c →|取得最小值7√55，此时c →=(75，145)， ∵b →=（﹣2，1），∴b →⋅c →=−2×75+1×145=0，即b →⋅c →=0，故向量c →与b →的夹角大小为π2．19．（12分）已知cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)． （1）求cos x 的值； （2）求sin(2x +π3)的值． 解：（1）∵cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)， 故x −π4为锐角，∴sin （x −π4）=√1−cos 2(x −π4)=7√210，∴cos x ＝cos[π4+（x −π4）]＝cos π4cos （x −π4）﹣sin π4sin （x −π4）=√22×√210−7√210•√22=−35．（2）由（1）可得，sin x =√1−cos 2x =45，tan x =sinx cosx =−43，∴sin2x =2sinxcosx sin 2x+cos 2x =2tanx tan 2x+1=−2425，cos2x =cos 2x−sin 2x sin 2x+cos 2x=1−tan 2x tan 2x+1=−725， 故 sin(2x +π3)=sin2x cos π3+cos2x sin π3=−2425×12+（−725）×√32=−24+7√350．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinA+sinB sinC=c+b a−b．（1）若a =2√3，b ＝2，求角B ；（2）设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为√3，求AD 长的最大值． 解：（1）∵sinA+sinB sinC=c+b a−b ，∴正弦定理可得：a+b c=c+ba−b⇒a 2−b 2=bc +c 2，∴b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12， 又A ∈（0，π），∴A =2π3， ∵a =2√3，b ＝2，∴在△ABC 中，由正弦定理得：a sinA=b sinB⇔√3√32=2sinB⇒sinB =12，∵b ＜a ⇔B ＜A ，∴B =π6；（2）∵S △ABC =12bcsin∠BAC =√34bc =√3⇒bc =4， AD 是∠BAC =2π3的角平分线，而S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ， ∴12×AB ×AD ×sinπ3+12×AC ×AD ×sinπ3=12×AB ×AC ×2π3，即（b +c ）AD ＝bc ，∴AD =bc b+c， ∵b ＞0，c ＞0，b +c ≥2√bc ，且bc ＝4， ∴AD =bc b+c ≤2bc=1，当且仅当b ＝c ＝2取等， ∴AD 最大值为1．21．（12分）已知函数为f （x ）＝a sin x +b cos x ，称向量p →=（a ，b ）为f （x ）的特征向量，f （x ）为p →的特征函数．（1）若g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)，求g （x ）的特征向量；（2）设向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）．记函数h （x ）＝p （x ）q（x ）．（i ）求h （x ）的单调增区间；（ii ）若方程ℎ(x)=23在（0，π）上的解为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）．解：（1）∵g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)=12sin x +√32cos x +√32cos x +12sin x ＝sin x +√3cos x ， ∴g （x ）的特征向量为p →=（1，√3）；（2）∵向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）， ∴p （x ）=√3sin x ﹣cos x ，q （x ）＝sin x +√3cos x ，∴h （x ）＝p （x ）q （x ）=√3sin 2x +2sin x cos x −√3cos 2x ＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3）， （i ）令−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π，k ∈Z ， 则−π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z ， ∴h （x ）的单调增区间为[−π12+k π，5π12+k π]，k ∈Z ；（ii ）ℎ(x)=23⇔2sin （2x −π3）=23，∴sin （2x −π3）=13， ∵（0，π），∴2x −π3∈（−π3，5π3），∴2x 1−π3+2x 2−π3=π，∴x 1+x 2=5π6，x 1=5π6−x 2， ∴cos （x 1﹣x 2）＝cos （5π6−2x 2）＝sin （2x 2−π3）=13．22．（12分）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为200米的半圆，出入口在圆心D 处，C 点为一居民小区，CD 距离为200米，按照设计要求，取圆弧上一点A ，并以线段AC 为一边向圆外作等边三角形ABC ，使改造之后的公园成四边形ABCD ，并将△BCD 区域建成免费开放的植物园，如图所示．（1）若DA ⊥DC 时，点B 与出入口D 的距离为多少米？（2）A 设计在什么位置时，免费开放的植物园区域△BCD 面积最大？并求此最大面积．解：（1）设∠DAC ＝θ，∵DA ⊥DC ，∴sinθ=25cosθ=15，在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcos(θ+π3)=1002+(100√5)2−2⋅100⋅(100√5)⋅(12cosθ−√32sinθ)=10000(5+2√3)，∴BD=100√5+2√3米．（2）设∠ADC＝α，∠ACD＝β，AC＝BC＝x，在△ACD中，x2＝1002+2002﹣2×100×200cosα＝50000﹣40000cosα①，cosβ=40000+x2−10000400x=30000+x2400x②，在△ACD中，由正弦定理得100sinβ=xsinα③，将①②③代入下式可得S△BCD=12BC⋅CDsin(β+π3)=50xsinβ+50√3xcosβ=10000√3+10000sin(α−π3)，∴当∠ADC=56π时，S max=10000(√3+1)m2．。