韦 达——符号代数的先驱

从破解密码到代数之父
数学家有数学家的语言他们会用一些抽象的字母和符号来表达．不过，这一套数学语言可不是天生的，是有人最先创造使用，然后其他人也开始用，才逐渐推广开的．
首先开始意识到有意识地、系统地使用符号的人就是韦达．韦达是16世纪末法国的科学家．因为他在发展现代的代数学上起了决定性的作用，后世称他为“代数之父”．
那个时候，西班牙和法国正在进行战争，有一次，法国军队截获了一些秘密信件，但是没有办法破译密码的意思．法国国王就请来了大名鼎鼎的韦达帮忙．经过一番研究，韦达终于揭开了密码的秘密，帮了法国军队一个忙．韦达在破解密码时大受启发．在数学中，我们不也可以借助这样的做法吗？数学家可以约定好，特定的符号表示特定的意思，这样写起来就方便多了，也简单多了．对啊！以前怎么没想到呢？
后来，韦达又进一步研究，出版了一部数学专著．他不但用字母来表示未知数，还用字母来表示方程中的系数．比如一次方程我们可以表示为：ax+b=0．(a≠0)韦达是一个伟大的开拓者．他赢得了“代数之父”的美誉．不过他的工作还没有完成，后来很多科学家在他的基础上，不断完善这个符号体系．今天数学还在发展，数学语言也在不断地丰富它的“词汇”．。

部分数学符号的来历
数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞，＜，∽，（），等，你知道它们都是谁首先使用，何时被人们所公认的吗？
加减号“＋”，“－”，1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从1514
年荷兰数学家荷伊克开始．
乘号“×”，英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘．另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首创的．
除号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“:”表示除或比．也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号．
等号“＝”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用．1591年法国数学家韦达在其著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受．十七世纪微积分创始人莱布尼兹广泛使用了这个符号，从此人们普遍使用．
大于号和小于号“＞”“＜”，1631年为英国数学家赫锐奥特创用．相似号“∽”和全等号“≌”是数学家莱布尼兹创用．
括号“（）”，1591年法国数学家韦达开始使用括线，1629年格洛德开始使用括号．
平方根号“”，1220年意大利数学家菲波那契使用Ｒ作为平方根号．十七世纪法国数学家笛卡儿在他的《几何学》一书中第一次用“”表示根号．“”是由拉丁文root（方根）的第一个字母“ｒ”变来，上面的短线是括线，相当于括号．
本文摘自《人教网学·趣味数学》。

法国数学家韦达和符号代数代数学是数学中最古⽼的的学科之⼀，从最早的整数，有理数，到⽅程，再到群环域，最后到如今各种各样的代数体系，代数学这个学科⼏经兴衰后才发展如今这样的数学主流学科。

那么代数学发展过程中最重要的节点是什么呢？我们从整个数学发展的历史来看，符号代数的出现⽆疑是⼀件不可或缺的⾥程碑事件，⽽符号代数的关键⼈物正是我们中学⽣都知道的被誉为“符号代数之⽗”的法国数学家韦达。

韦达(François Viète,1540~1603)出⽣于法国普⽡图地区的⼀个贵族家庭，他早年的职业是律师，这⼀点和费马很像，实际上我们可以发现，很多当时的数学家都当过律师，这是因为律师是最体⾯的⼯作之⼀，贵族⼦弟中有能⼒的⼈中很多都会选择从事这⼀职业。

后来韦达⾛上仕途，在政府部门出任议员等职。

但数学⼀直是韦达的“业余爱好”，为此他花费了⼏乎所有闲暇时间，实际上在韦达的时代，还没有出现专职的数学家。

在韦达之前，数学家们基本是沿⽤被称为“代数学之⽗”的古希腊数学家丢番图(Diophantus)所留下的代数符号体系，即使后⼈有所改进，也只不过是将单词缩写⽽已，加减这样的运算符号也只是⽤字母代替，这⼀局⾯⼀直持续到16世纪初。

到了韦达的时代，为了数学的有效发展，⼀些数学家有了以符号代替词语的意识，但⼀直都不成体系，⽽韦达则是历史上第⼀个有意识⽽且系统使⽤字母和符号的数学家。

韦达的习惯是⽤辅⾳字母表⽰已知数⽽⽤元⾳字母表⽰未知数，⽽⽤拉丁语表⽰数的指数，例如a^2他记作a quadratum。

尽管韦达明确地使⽤了“+”和“-”的运算符号，但却没表⽰乘法和相等的符号，⽽仍是⽤拉丁语表⽰，例如他将a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3记作a cubus+b in a quadr. 3+a inb quad. 3+b cubo aequalia a + b cubo.这些都说明，韦达的符号体系还是不全⾯的，后来经过许多数学家的完善才形成了我们今天的体系，例如笛卡尔明确地以字母表前⾯的字母a,b,c等表⽰已知数或⽅程的系数，⽽已字母表最后的x,y,z等表⽰未知量或⽅程未知数，这样的习惯被沿⽤⾄今。

康熙皇帝与符号代数欧基里得（Euclid）曾说：“学习几何学没有王者之路！”。

事实上，学习代数学亦然，譬如说吧，在中国数学史上鼎鼎大名的康熙皇帝，就在符号代数的学习过程中，表现了类似今日国中学生茫然不知所措的模样，这个历史经验，实在很值得教学工作者参考与借镜。

这里所指的符号代数，当然是清初传教士传入中国的西方数学知识。

当时有两种西方代数传入中国，第一种被称作“借根方比例法”，第二种则叫作“阿尔热巴拉新法”。

所谓“阿尔热巴拉”，无疑是英文“algebra”的音译，也曾被称作“阿尔热巴达”或“阿尔朱巴尔”（当是法文“algebre”的音译）。

其实，这几个名称也都曾指涉第一种，譬如在公元1711年，康熙皇帝与直隶巡抚赵宏燮讨论数学时，就指出：算法之理，皆出于‘易经’，即西洋算法亦善，原系中国算法，彼称为“阿尔朱巴尔”者，传自东方之谓也。

来年梅觳成入宫肄业于畅春园的蒙养斋，负责主编《数理精蕴》等书，康熙皇帝授以传教士传入的代数学，并且谕示：西洋人名此书为阿尔热巴达，译言东来法也。

按此书可能是某传教士所译的《借根方算法节要》。

至于在该书中不沿袭原名而改称为“借根方法”，“乃译书者就其法而质言之也。

”换句话说，“借根方（比例）法”是一种“意译”！后来奉康熙皇帝指示，梅觳成遂将它编入《数理精蕴》（1723）卷三十二——三十六。

然则何以“algebra”是一种“东来法”呢？这就必须追溯这个英文字的语源了。

原来“algebra”相当于拉丁文的“al-jabr”，出自阿拉伯数学家阿尔花拉子模（Al-Khwarizmi，第九世纪）的一本代数著作的书名（Hisabal-jabrw‘almuqabala），原指“还原”（restoration）之意，例如将2x+5=5-3x“还原”成5x+5=8.这种代数不但未涉及符号法则（symbolism），当然也不曾引进文字系数；同时，方程式（equation，原意是令相等之后所得到的式子）两端也像天平平衡一样而不等于零，譬如二次方程就表示成像x+6x=4等等；此外，求解程序也都以文字叙述。

符号化思想在小学数学教学中的作用及渗透研究一、符号化思想的研究意义（一）教学现状分析：数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。

符号就是数学存在的具体化身。

英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。

”数学离不开符号，数学处处要用到符号。

面对一个普通的数学公式:S=πr2，任何具有小学文化程度的人，无论他来自地球的哪一方都知道它表示的意思。

数学的符号化语言能够不分国家和种族到处通用。

尽管我们数学老师每天都在和符号打交道，但能理解化符号思想的并不多；能有意识地培养学生运用符号去研究对象的更是微乎其微；也许有的老师在给学生解题时，经常运用符号进行了推理，但并没有意识到这是一种应该有意识的培养学生逐步学会运用来解决问题的一种思维方式——符号化思想，只是为了数学内容的学习需要强加给学生的一种方法，认为是完成了任务，没有把符号化思想的教学渗透于数学教学的始终。

而对于小学生来说，从他们记事起就开始接触数学符号了，比如小时候玩的积木里就有了三角形、长方形、正方形、平行四边形等图形符号；家长的启蒙教育大多从认识1、2、3等数字符号开始；进入幼儿园后又接触了更多的数学符号，比如运算符号“+”“-”、关系符号“=”等。

这些数学符号经常被学生说在口头，用在笔端。

但是，学生们并不会将其上升到“符号”的意义。

久而久之，数学符号的抽象、数学概念的枯燥就会让部分孩子对数学望而却步。

如何能让学生意识到这些符号的奥妙、喜欢这些符号并且有意识地运用符号，提高学生思维的简洁性、敏捷性和逻辑性，同时培养学生思维的高度概括性，在数学的符号王国中畅游，是摆在我们数学教师面前的一个迫在眉睫的任务，因此我们希望通过对符号化思想的研究，让学生感受到符号的魅力，像喜欢听故事一样喜欢上我们的数学课。

最终达到提升学生的数学素养和思维能力的目的！（二）符号化思想的发展及国内外研究现状使用符号是数学史上的一件大事。

代数就是由于引用了较好的符号系统才发展成一门学科。

常见的数学符号都是谁发明的？⼩数点的由来在很久以前，⼈们写⼩数的时候，就将⼩数部分降⼀格写，略⼩于整数部分。

例如写63.35，就写成6335。

16世纪，德国数学家鲁道夫⽤⼀条竖线来隔开整数部分和⼩数部分，例如257.36表⽰成257|36。

17世纪，英国数学家耐普尔采⽤⼀个逗号“，”来作为整数部分和⼩数部分的分界点，例如 17.2记作是17,2。

这样写容易和⽂字叙述中的逗号相混淆，但是当时还没有发现更好的⽅法。

在17世纪后期，印度数学家研究分数时，⾸先使⽤⼩圆点“·”来隔开整数部分和⼩数部分，直到这个时候，⼩数点才算是真正诞⽣了。

等于号的由来为了表⽰等量关系，⽤“=”表⽰“相等”，这是⼤家最熟悉的⼀个符号了。

说来话长，在15、16世纪的数学书中，还⽤单词代表两个量的相等关系。

例如在当时⼀些公式⾥，常常写着aequaliter这个单词，其含义是“相等”的意思。

1557年，英国数学家列科尔德，在其论⽂《智慧的磨⼑⽯》中说：“为了避免枯燥地重复aequalite （等于）这个单词，我认真地⽐较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有⽐两条平⾏⽽⼜等长的线段，意义更相同了。

” 于是，列科尔德有创见性地⽤两条平⾏且相等的线段“＝”表⽰“相等”，“＝”叫做等号。

⽤“＝”替换了单词表⽰相等是数学上的⼀个进步。

由于受当时历史条件的限制，列科尔德发明的等号，并没有马上为⼤家所采⽤。

历史上也有⼈⽤其它符号表⽰过相等。

例如数学家笛卡⼉在1637年出版的《⼏何学》⼀书中，曾⽤“∞”表⽰过“相等”。

直到17世纪，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下⼤⼒倡导使⽤“=”，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世⼈所公认。

加号和减号的由来“+” 和“-”并不是随着加减运算的产⽣⽽⽴即出现的。

如中国⾄少在商代（约三千年前），已经有加法、减法运算，但同其他⼏个⽂明古国如埃及、希腊和印度⼀样，都没有加法和减法符号。

⼗六世纪，意⼤利科学家塔塔⾥亚⽤意⼤利⽂“plus”（相加的意思）的第⼀个字母P 表⽰加，⽤”Minus” （相减的意思）的第⼀个字母M表⽰减。

第一节代数学的发展一、伽罗瓦理论及群论的发展长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了．不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．则该方程可用根式求解．阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换x i和x j就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程x p-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是x p-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traitédes Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号G i/G i+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．…，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，…，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．二、四元数与向量在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi 与c＋di，他这样定义复数的运算：(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq--111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响．正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：1．等量各加上第三个等量得到等量；2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；4．等量加等量给出等量；5．等量加不等量给出不等量；6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；7．ab＝ba (乘法交换律)；8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b ≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，…，x n)与一个x1e1＋x2e2＋…＋x n e n这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，…，e n的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名．1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量c为实数，称为分量．规定这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；从而建立了向量代数．数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了梯度公式写成了希维赛德把麦克斯韦方程写成了物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．三、线性代数四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”1815年柯西给出了行列式乘法：|a ij|·|b ij|=|c ij|，其中|a ij|、|b ij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数其中a ij是t的函数，A ij是a ij的代数余子式．行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中分也有类似结果．1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，F M(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明y2s+1-…-y2r-s了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p 矩阵去乘．凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如AB≠BA．的公式凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1(其中A ij为行列式|A|中a ij的代数余子式．)他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足A n=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足A n=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵A M＝0与幂等矩阵Am＝A．19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵A T的逆，即M＝(M T)．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S-1－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1们也这样定义了相似行列式．1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：+…＋(-1)n C n．F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑a ij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，C n＝|A|．西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是f AB(λ)，BA的特征多项式是f BA(λ)，则f AB(λ)=λM·f BA(λ)．-n1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型J称为约当标准型，J i称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式矩阵的约当标准型的完整理论．1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如e M，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．四、数论数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范。

人物简介代数学之父韦达 The document was prepared on January 2, 2021人物简介: 代数学之父——韦达韦达(F Viete，Francois，1540～1603)，法国数学家。

韦达1540年出生于法国普瓦图地区的一个律师家庭，早年在家乡接受初等教育，后来考入普瓦杰大学学习法律。

20岁时，他大学毕业了，理所当然地继承父业，成为一名律师。

但过了4年之后，他便辞掉律师职务，去给别人做了一段时间的秘书和家庭教师。

直到1573年，韦达才又重操旧业，出任法国某地方法院律师，后来在政治上几经波折，于1589年被亨利三世任命为法国最高法院律师。

1595年～1598年，法国和西班牙发生战争，韦达效力于亨利四世，为法国军队翻译截获的军事密码，立下汗马功劳。

但政治生涯多变化，在韦达去世前一年，他被亨利四世免去了职务，韦达的一生可谓波折起伏。

但就是在这样一种环境下，他始终将数学作为业余爱好，在工作之余坚持数学研究，并自费印刷和发行自己的数学着作，最终取得了许多创造性的成就，充分体现了一个数学家对数学事业的热爱和执着追求。

韦达在数学上的研究领域主要包括方程理论、符号代数、三角学及几何学等，在每一个领域他都做了一些有意义的工作。

符号代数与方程理论数学中代数与算术的区别在于代数引入了未知量，用字母等符号表示未知量的值进行运算，而算术则是以具体的数进行运算。

1591年，韦达出版了他最重要的代数学着作《分析方法入门》，这是最早的符号代数专着。

在书中，韦达引入字母表示未知量，并使之系统化，使得代数成为研究一般的类和方程的学问，为代数学的进一步发展奠定了基础。

为此，韦达被后人称为“代数学之父”。

在研究方程的一般解法的过程中，韦达试图创立一种一般的符号代数来代替原来的每一问题各有一种特殊解法的情形。

他引人字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A表示未知量，并将这种代数称为“类的运算”以区别于原来的“数的运算”。

从愚昧到科学答案DNA与遗传（一）1、孟德尔的本职工作是?A。

神父2、能量守恒转换定律最早是由焦耳发现的.（否）3、摩尔根发现了遗传学三大定律，他以果蝇作为研究对象来进行实验的。

（否）DNA与遗传（二）1、在生物学发展史上，使生物研究进入分子生物学阶段的研究成果是? B。

DNA双螺旋结构的发现2、沃森和克里克都是生物学专业的博士，在博士阶段建立了DNA双螺旋结构模型.（否）3、核苷酸只有四种,而氨基酸则有二十多种，从生物多样性的角度看，蛋白质才是构成生命本质的最重要的物质，是构成性状多样性的最重要的物质.（否）DNA与遗传（三）1、密码子是在哪一年由美国科学家nirenberg（尼伦伯格)破译的？B。

1961年2、基因操作，或者叫DNA重组，是整个现代生物技术的一个核心。

（是)3、克隆羊多莉的诞生，严格来讲不是纯粹的基因操作，而是细胞融合，类似这样的工作在20世纪40年代就已经在做了。

(是）DNA与遗传（四）1、基因病可以遗传，为了解决这些疾病需要？C。

置换基因2、我国赞同治疗性克隆和生殖性克隆，因为这对于治疗遗传病有很大帮助。

（否）3、器官移植之后,一定要将人体免疫系统的免疫能力降低，以免免疫系统攻击新植入器官，导致手术失败。

（是）近代数学（一）1、哪本书标志着三角学脱离了天文学，成为一门独立的数学分支？B。

《三角全书》2、文艺复兴时期，数学取得了长足的进步，但是主要还是局限于学术研究，在学者的小范围圈子内交流。

（否)3、在文艺复兴时期，代数方程论取得了长足的进步，其最重要的是三次，四次方程的公式解法取得了突破性的进展.（是）近代数学（二）1、下列关于符号代数的事件，描述错误的是?A.1514年，荷兰人赫克首次使用“+”“-”来分别表示过剩和不足2、韦达是第一个有意识、有系统地在代数中使用字母的数学家，他的《分析术引论》实际上就是用符号代数的方法来解决各类代数问题。

（是)3、变量的数学的第一个里程碑就是解析几何的诞生。

====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====代数学符号发展的历史代数是一门具有丰富内容并且与现实世界、学生生活、其他学科联系十分密切的学科，同时代数也是一门基础的数学学科，它为数学本身和其他学科的研究提供了语言方法和手段.是谁最先用字母表示数呢？系统地使用字母表示数的最主要的人是法国的数学家韦达（F.Vieta,1540-1603）.代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。

第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。

第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。

三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。

然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。

第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。

16世纪韦达的名著《分析方法入门》，对符号代数的发展有不少贡献。

16世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡儿改进后成为现代的形式。

“＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年魏德曼的著作。

不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。

1540年，雷科德开始使用“＝”。

到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。

1600年哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”。

1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。

1637年，笛卡儿第一次使用了根号，并引进用字母表中前面的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。

至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。

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