2013年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试题（含答案全解全析）(满分120分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共42分)一、选择题(本大题共16个小题,1~6小题,每小题2分;7~16小题,每小题3分,共42分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.气温由-1 ℃上升2 ℃后是( ) A.-1 ℃ B.1 ℃C.2 ℃D.3 ℃2.截至2013年3月底,某市人口总数已达到4 230 000人.将4 230 000用科学记数法表示为( ) A.0.423×107B.4.23×106C.42.3×105D.423×1043.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )4.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A.a(x-y)=ax-ay B.x 2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x 2+4x+3 D.x 3-x=x(x+1)(x-1)5.若x=1,则|x-4|=( ) A.3B.-3C.5D.-56.下列运算中,正确的是( ) A.√9=±3B.√-83=2 C .(-2)0=0D.2-1=127.甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同,已知甲队比乙队每天多修10 m,设甲队每天修路x m.依题意,下面所列方程正确的是( ) A.120x =100x -10 B.120x =100x+10 C.120x -10=100xD.120x+10=100x8.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为() A.40海里 B.60海里C.70海里D.80海里9.如图,淇淇和嘉嘉做数学游戏:假设嘉嘉抽到牌的点数为x,淇淇猜中的结果应为y,则y=()A.2B.3C.6D.x+3的图象如图所示,以下结论:10.反比例函数y=mx①常数m<-1;②在每个象限内,y随x的增大而增大;③若A(-1,h),B(2,k)在图象上,则h<k;④若P(x,y)在图象上,则P'(-x,-y)也在图象上.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④11.如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=()A.3B.4C.5D.612.如已知:线段AB,BC,∠ABC=90°.求作:矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:对于两人的作业,下列说法正确的是()A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对13.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=()A.90°B.100°C.130°D.180°14.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠C=30°,CD=2√3,则S阴影=()A.πB.2πC.2√3 D.23π315.如图,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如图.则下列说法正确的是()A.点M在AB上B.点M在BC的中点处C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远16.如图,梯形ABCD中,AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE=EF=FB=5,DE=12,动点P从点A出发,沿折线AD—DC—CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒,y=S△EPF,则y与t的函数图象大致是()第Ⅱ卷(非选择题,共78分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分.把答案写在题中横线上)17.如图,A是正方体小木块(质地均匀)的一顶点,将木块随机投掷在水平桌面上,则A与桌面接触的概率是.18.若x+y=1,且x≠0,则(x+2xy+y2x )÷x+yx的值为.19.如图,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B=°.20.如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;……如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=.三、解答题(本大题共6个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.(本小题满分9分)定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2⊕5=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5.(1)求(-2)⊕3的值;(2)若3⊕x的值小于13,求x的取值范围,并在如图所示的数轴上表示出来.22.(本小题满分10分)某校260名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2),经确认扇形图是正确的,而条形图尚有一处错误.图1图2回答下列问题:(1)写出条形图中存在的错误,并说明理由;(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数;(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时,小宇是这样分析的:①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的?②请你帮他计算出正确的平均数,并估计这260名学生共植树多少棵.23.(本小题满分10分)如图,A(0,1),M(3,2),N(4,4).动点P从点A出发,沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动,且过点P的直线l:y=-x+b也随之移动,设移动时间为t秒.(1)当t=3时,求l的解析式;(2)若点M,N位于l的异侧,确定t的取值范围;(3)直接写出t为何值时,点M关于l的对称点落在坐标轴上.24.(本小题满分11分)如图,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80°,以点O为圆心,6为半径的优弧MN⏜分别交OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP',求证:AP=BP';(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;⏜上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.(3)设点Q在优弧MN25.(本小题满分12分)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x 的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.次数n21速度x4060指数Q420100(1)用含x和n的式子表示Q;(2)当x=70,Q=450时,求n的值;(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值;(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420,若能,求出m的值;若不能,请说明理由.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-b2a ,4ac-b24a)26.(本小题满分14分)一透明的敞口正方体容器ABCD-A'B'C'D'装有一些液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为α(∠CBE=α,如图1所示).图1探究如图1,液面刚好过棱CD,并与棱BB'交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如图2所示.解决问题:图2(1)CQ与BE的位置关系是,BQ的长是dm;(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V液=底面积S△BCQ×高AB)(3)求α的度数.(注:sin49°=cos41°=34,tan37°=34)拓展在图1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图3或图4是其正面示意图.若液面与棱C'C或CB交于点P,设PC=x,BQ=y.分别就图3和图4,求y与x 的函数关系式,并写出相应的α的范围.图3图4延伸在图4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图5,隔板高NM=1dm,BM=CM,NM⊥BC.继续向右缓慢旋转,当α=60°时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到4dm3.图5备用图答案全解全析：1.B 气温由-1 ℃上升2 ℃后的温度为-1+2=1 ℃,故选B.2.B 4 230 000是一个7位整数,所以4 230 000用科学记数法可表示为4.23×1 000 000=4.23×106,故选B.评析科学记数法是将一个数写成a×10n的形式,其中1≤|a|<10, n为整数.其方法是(1)确定a,a是只有一位整数的数;(2)确定n,当原数的绝对值≥10时,n为正整数,n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时,n为负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零).3.C A选项图不是轴对称图形,是中心对称图形;B选项图是轴对称图形,不是中心对称图形;C选项图既是轴对称图形,又是中心对称图形;D选项图是轴对称图形,不是中心对称图形.故选C.4.D A项:a(x-y)=ax-ay右边不是整式积的形式,错误;B项:x2+2x+1=x(x+2)+1只是把多项式前两项提取公因式,错误;C项:(x+1)(x+3)=x2+4x+3是整式的乘法,错误;D项:x3-x=x(x+1)(x-1)右边是整式积的形式,正确.故选D.5.A 当x=1时,|x-4|=|1-4|=|-3|=3,故选A.6.D A 项:√9=3,错误; B 项:√-83=-2,错误; C 项:(-2)0=1,错误; D 项:2-1=12,正确.故选D.评析 本题主要考查了实数中零指数幂、负指数幂、算术平方根及立方根的运算,解决本题的关键就是熟悉相关概念及简单的运算法则,难度较小.7.A 因为甲队比乙队每天多修10 m,所以乙队每天修路(x-10)m.根据“甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同”,可列方程120x=100x -10,故选A.8.D 由题意得 MN=40×2=80海里,∠M=70°,∠MPN=180°-40°-70°=70°, ∴∠M=∠MPN=70°,∴MN=NP,∴N 处与灯塔P 的距离为80海里,故选D.评析 本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识.利用平行线的有关知识得到角度的关系,从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路. 9.B 淇淇猜中的结果应为y=2x+62-x=3,故选B.10.C ∵反比例函数图象位于第一、三象限,∴m>0,①错误;∵反比例函数图象位于第一、三象限,∴在每个象限内,y 随x 的增大而减小,②错误;∵点A(-1,h),B(2,k)是此双曲线上的点,∴h<k,③正确;∵点P(x,y)在图象上,则xy=m,把点P'(-x,-y)的坐标代入反比例函数的解析式中等式成立,④正确.故选C. 11.B 过点M 作MG⊥AB,垂足为G, ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC 平分∠DAB, ∵ME⊥AD,MG⊥AB,∴MG=ME=3. ∵NF⊥AB,MG⊥AB,∴NF∥MG,∴△ANF∽△AMG,∴AN AM =NFMG,即ANAN+2=23,解得AN=4.故选B.12.A 由甲的做法可知AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD 为平行四边形.∵∠ABC = 90°,∴四边形ABCD 为矩形,甲的作图正确;由乙的做法可知AM=CM, 又∵∠ABC = 90°,∴MB=AM=CM.∵MD=MB,∴AM=MB =CM =MD, ∴四边形ABCD 为矩形,乙的作图正确.故选A.13.B 如图,一个正方形和两个等边三角形所夹图形为△ABC,由三角形外角和定理可知∠DAB+∠EBC+∠FCA=360°,即∠1+90°+∠3+60°+∠2+60°=360°. ∵∠3 = 50°,∴∠1+∠2 =100°,故选B.14.D 设AB 与CD 的交点为E,∵AB 是☉O 的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE=12CD.∵CD=2√3,∴CE=DE=√3. ∵∠C =30°,∴∠AOD=60°,∴OD=DE sin60°=2,∴OE=AE=1,∴△AEC≌△OED,∴S 阴影=S 扇形AOD =60·π·22360=23π,故选D.15.C 由三角形三边关系可知AC+BC>AB,所以AD 的中点M 不可能在AB 上,故选项A 错误;若点M 在BC 的中点处,且M 是铁丝AD 的中点,所以AC=AB,∠B=∠C,与题意矛盾,故选项B 错误;因为AC<AB,所以点M 在BC 上,且距点B 较近,距点C 较远,C 正确,D 错误.故选C. 16.A ∵AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE = EF = FB = 5,DE = 12,∴AD=BC=13.当点P 在线段AD 上运动时,过点P 作PG⊥AB 于点G,∵DE⊥AB,∴APAD =PGDE ,即t13=PG12,解得PG=12t13,∴y=12EF·PG=30t13为一次函数;当点P 在线段DC 上运动时,△EFP 的面积保持不变;当P 点在线段CB 上运动时,过点P 作PH⊥AB 于点H,∵CF⊥AB,∴BP BC =PHCF ,即31-t 13=PH 12,解得PH=12(31-t )13,∴y=12EF·PH=30(31-t )13为一次函数.故选A.17.答案 12解析 由题意可知正方体小木块有六个面,其中含有点A 的面有三个.将木块随机投掷在水平桌面上,则与桌面接触的面有六种情况,出现点A 与桌面接触的有三种情况,故概率等于36=12.18.答案 1解析 根据分式的运算法则得(x +2xy+y 2x)÷x+y x=x 2+2xy+y 2x·x x+y=(x+y )2x+y=x+y,若x+y=1,则原式=x+y=1. 19.答案 95解析 ∵MF∥AD,∴∠A=∠BMF=100°,由翻折的性质得∠BMN=12∠BMF=50°.同理,∠BNM=12∠BNF=35°.由三角形内角和定理得∠B+∠BMN+∠BNM=180°,则∠B =180°-50°-35°=95°. 20.答案 2解析 将抛物线旋转可发现C 1、C 3、C 5…的形状相同,开口方向相同.A 1坐标为(3,0),A 2坐标为(6,0),A 3坐标为(9,0)……以此类推,A 13坐标为(39,0).由于抛物线C 13与C 1的形状相同,开口方向相同,所以点P(37,m)是由抛物线C 1上的点(1,m)经过多次旋转得到的.把(1,m)代入y=-x(x-3),解得m=2.21.解析 (1)(-2)⊕3=-2×(-2-3)+1 =-2×(-5)+1 =10+1=11.(2)∵3⊕x<13,∴3(3-x)+1<13.∴9-3x+1<13,-3x<3,∴x>-1. 数轴表示如图所示.22.解析(1)D有错.理由:10%×20=2≠3.(2)众数为5棵.中位数为5棵.(3)①第二步.=5.3.②x=4×4+5×8+6×6+7×220估计这260名学生共植树5.3×260=1 378(棵).23.解析(1)直线y=-x+b交y轴于点P(0,b),由题意,得b>0,t≥0,b=1+t,当t=3时,b=4.∴y=-x+4.(2)当直线y=-x+b过点M(3,2)时,2=-3+b,解得b=5,5=1+t,∴t=4.当直线y=-x+b过点N(4,4)时,4=-4+b,解得b=8,8=1+t,∴t=7.∴4<t<7.(3)t=1时,对称点落在y轴上;t=2时,对称点落在x轴上.评析此题并没有考查常见的动点问题,而是将动点问题和一次函数结合在一起,应用动点的移动带来一次函数截距的变化.把一次函数图象的形成和几何的动点运动过程相结合,化静为动是解决本题的关键所在.24.解析(1)证明:∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,∠BOP'=∠POP'+∠BOP=80°+∠BOP,∴∠AOP=∠BOP'.又∵OA=OB,OP=OP',∴△AOP≌△BOP',∴AP=BP'.(2)连结OT,过T作TH⊥OA于点H,∵AT 与MN⏜相切,∴∠ATO=90°. ∴AT=√OA 2-OT 2=√102-62=8.∵12×OA×TH=12×AT×OT,即12×10×TH=12×8×6,∴TH=245,即点T 到OA 的距离为245.(3)10°,170°.[注:当OQ⊥OA 时,△AOQ 面积最大,且左右两半弧上各存在一点] 25.解析 (1)设W=k 1x 2+k 2nx,∴Q=k 1x 2+k 2nx+100, 由表中数据,得{420=402k 1+2×40k 2+100,100=602k 1+1×60k 2+100,解得{k 1=-110,k 2=6.∴Q=-110x 2+6nx+100.(2)由题意,得450=-110×702+6×70n+100,∴n=2.(3)当n=3时,Q=-110x 2+18x+100. 由a=-110<0可知,要使Q 最大,则x=-182×(-110)=90.(4)由题意,得420=-110[40(1-m%)]2+6×2(1+m%)×40(1-m%)+100,即2(m%)2-m%=0, 解得m%=12,或m%=0(舍去).∴m=50. 26.解析 探究 (1)CQ∥BE;3. (2)V 液=12×3×4×4=24(dm 3).(3)在Rt△BCQ 中,tan∠BCQ=34,∴α=∠BCQ=37°.拓展当容器向左旋转时,如图1,0°≤α≤37°.图1(x+y)×4×4=24.∴y=-x+3.∵液体体积不变,∴12.当容器向右旋转时,如图2,同理得y=124-x图2×PB×BB'×4=24,得当液面恰好到达容器口沿,即点Q与点B'重合时,如图3,由BB'=4,且12PB=3.图3,得∠PB'B=37°,∴α=∠B'PB=53°,此时37°≤α≤53°.∴由tan∠PB'B=34[注:本问的范围中,“≤”为“<”不影响得分]延伸当α=60°时,如图4所示,设FN∥EB,GB'∥EB.过点G作GH⊥BB'于点H.在Rt△B'GH中,GH=MB=2,∠GB'B=30°,∴HB'=2√3.∴MG=BH=4-2√3<MN.图4此时容器内液体形成两层液面,液体的形状分别是以Rt△NFM 和直角梯形MBB'G 为底面的直棱柱.∵S △NFM +S 梯形MBB'G =12×√33×1+12(4-2√3+4)×2=8-11√36,∴V 溢出=24-4(8-11√36)=223√3-8>4(dm 3).∴溢出液体可以达到4 dm 3.评析 本题属于几何知识综合题目,主要考查了几何体的三视图、体积计算公式、直角梯形的性质、锐角三角函数及函数的确定等知识.本题的难点在于当α=60°时,容器内液体形成两层液面容易被学生忽略.。
