【精品】2017年甘肃省张掖市高考数学一诊试卷及参考答案(理科)

甘肃省张掖市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·温州模拟) 设集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|x2≤1}，则A∩B=（）A . （0，1）B . （0，1]C . [﹣1，1]D . [﹣1，+∞）2. （2分）已知为虚数单位，则复数的模等于（）A .B .C .D .3. （2分）等比数列的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，由的前n项的和是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·丽水期中) 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则该双曲线的离心率等于（）A .B .C . 或D . 或5. （2分） (2018高三上·湖北月考) 已知实数满足约束条件，若，，设表示向量在方向上的投影，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·定州期末) 任取，直线与圆相交于A,B 两点，则的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）把函数y= cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m 的最小值是（）A . ﹣B .C .D .8. （2分）(2018·永州模拟) 运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合，从集合中任取一个元素，则函数在是增函数的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式 x2+（a1﹣）x+c≥0的解集是[0，22]，则使得数列{an}的前n项和大于零的最大的正整数n的值是（）A . 11B . 12C . 13D . 不能确定10. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .11. （2分）圆C：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，若直线AB恰好经过抛物线的焦点，则p等于（）A .B . 2C . 2D . 412. （2分） (2016高三上·怀化期中) 已知直线：bx+ay=0与直线：x﹣2y+2=0垂直，则二次函数f（x）=ax2﹣bx+a的说法正确的是（）A . f（x）开口方向朝上B . f（x）的对称轴为x=1C . f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增D . f（x）在（﹣∞，﹣1）上递减二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣3，则f（﹣2）=________14. （2分） (2017高三上·嘉兴期中) 二项式中，所有的二项式系数之和为________；系数最大的项为________．15. （1分） (2016高二上·南阳期中) 在约束条件下，目标函数z=|x﹣y+4|的最大值为________16. （1分） (2016高二上·晋江期中) 已知数列{an}中，a1=﹣1，an+1•an=an+1﹣an ，则数列的通项公式an=________．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共45分)17. （5分） (2018高三上·信阳期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+ cosA=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c= b．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）18. （5分） (2017高二下·南昌期末) 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：K是否愿意提供志愿者服务愿意不愿意性别男生205女生1015（Ⅰ）用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；（Ⅲ）你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．19. （5分）(2017·安庆模拟) 在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC= ，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．20. （5分）已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．21. （15分） (2016高三上·虎林期中) 设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．22. （5分）(2017·息县模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈[0，π））．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（Ⅰ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，求|AB|的最小值．23. （5分）设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共45分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．3．设有下面四个命题p1：若复数z 满足∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=； p4：若复数z∈R ，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p44．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．85．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（） A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]6．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（） A．15 B．20 C．30 D．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．168．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+29．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C 交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．1011．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．设x，y 满足约束条件，则z=3x﹣2y 的最小值为．15．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l 距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）--参考答案与试题解析一、选择题：1．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．2．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B3．【解答】解：若复数z 满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R ，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．4．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D6．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：6可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C．7．【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B8．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．9．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．10．【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A11．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg ＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y ，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．12．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n =+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，可知当N 为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A 项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．B 项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D 项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．14．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=3x﹣2y 的最小值为﹣5 ．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线C ：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C ：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A 为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．16．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f （x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x 4﹣2x3≤0，解得x ≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V ≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．18．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D （），B （），P（0，0，），C （）．，，．设平面PBC 的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB ，则为平面PAB 的一个法向量，．∴cos ＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为．19．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．20．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C 的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．21．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x +）（e x ﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x +）（e x ﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a ×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln +﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x +）（e x ﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x +）（e x ﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln （﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln （﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l 距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l 的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d==，φ满足tanφ=，且的d 的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17解得a=8≥﹣4，符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．。

2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2}D．{0，1，2，3}2．已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅ D．m⊥l，m⊥α5．在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，S n是数列{a n}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．10096．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2π B．8+2π C．4+πD．8+π7．若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．48．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.99．已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，]C．（﹣1，]D．[﹣，]10．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）11．设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A．=p B．=p C．=2p D．=12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行线x=x i（i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），成等比数列，其中i=1，2，…，（x2，y2），…，（x n，y n），且x i，2f（1），x n﹣i+1n，则=（）A．2n B．1 C．D．二、填空题（每小题5分）13．已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||=．14．已知（a+）6（a＞0）展开式中的常数项是5，则a=．15．已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是．16．设数列{a n}满足：a1=1，a n=e2a n（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示+1连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）．19．如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1． （1）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （2）若平面PAD 与PBC 所成的锐二面角的大小为，求线段PD 的长度．20．已知椭圆E ：x 2+3y 2=m 2（m ＞0）的左顶点是A ，左焦点为F ，上顶点为B ．（1）当△AFB 的面积为时，求m 的值；（2）若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点（不同于A ），以线段MN 为直径的圆过A 点，试探究直线l 是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）=（x 2﹣x ﹣1）e x ．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2}D．{0，1，2，3}【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}={﹣1，0，1，2，}，∴A∪B={﹣1，01，1，2，3}．故选：B．2．已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：=1+i，∴z+2=i﹣1，化为：z=﹣3+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，1）．故选：A．3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石【考点】简单随机抽样．【分析】根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石，故选：B．4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅ D．m⊥l，m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：设过l和l在平面α内的射影的平面为β，则当m⊥β时，有m⊥l，m∥α或m⊂α，故A，B正确．若m∥l，则m与平面α所成的夹角与l与平面α所成的夹角相等，即m与平面α斜交，故C正确．若m⊥α，设l与m所成的角为θ，则0＜θ＜．即m与l不可能垂直，故D 错误．故选：D．5．在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，S n是数列{a n}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．1009【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a1+a2017的值，由等差数列的前n项和公式求出S2017的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，因为a1+a2=1，a2016+a2017=3，所以a1+a2017=a2+a2016=2，所以S2017==2017，故选C．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2π B．8+2π C．4+πD．8+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．∴该几何体的体积V==8+．故选：D．7．若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5+a2，r2=5+a2，则圆心（﹣2，1）到直线x+y+5=0的距离为=2，由12+（2）2=5+a2，得a=±2，故选：A．8．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．9．已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，]C．（﹣1，]D．[﹣，]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出a的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可．【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：可知x≤﹣1，由ax﹣y+1﹣a=0，可得：a=，它的几何意义是可行域内的点与D（1，1）连线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为K BD==．最小值大于与直线x+y=0平行时的斜率．可得a∈（﹣1，]．故选：C．10．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．【解答】解：∵f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，可得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin2x+1，∴令2x=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，∴当k=﹣1时，可得函数的图象的对称中心为（﹣，1），故选：A．11．设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A．=p B．=p C．=2p D．=【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：y﹣y0=（x﹣x0），再根据点到直线的距离公式，化简计算即可得到．【解答】解：设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：y﹣y0=（x﹣x0），则x02=2py0，得l：x0x﹣py﹣py0=0，又F（0，），所以d====•⇒=，故选：D12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行线x=x i（i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），且x i，2f（1），x n成等比数列，其中i=1，2，…，﹣i+1n，则=（）A ．2nB ．1C ．D ．【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用x i ，2f （1），x n ﹣i +1成等比数列，得x i x n ﹣i +1=1，f （x i ）+f （x n ﹣i +1）=f （x i x n ﹣i +1）+=1，求出2=1+1+…+1=n ，即可得出结论．【解答】解：由题意，f （1）=， ∵x i ，2f （1），x n ﹣i +1成等比数列， ∴x i x n ﹣i +1=1，∴f （x i ）+f （x n ﹣i +1）=f （x i x n ﹣i +1）+=1，∴2=1+1+…+1=n ，∴=故选：C ．二、填空题（每小题5分）13．已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1）=， •=0，∴|﹣|2=||2﹣2+||2=4，∴||2=2，∴||=，故答案为：14．已知（a+）6（a ＞0）展开式中的常数项是5，则a=．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项的表达式，列方程求出a的值．【解答】解：（a+）6（a＞0）展开式中，通项公式为：T r=••=a6﹣r•••，+1令3﹣=0，解得r=2；∴展开式的常数项是a4••=5，解得a=±；又a＞0，∴a=．故答案为：．15．已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是（1，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x﹣1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，当a＞1时，函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象有唯一个交点，即方程f（x）﹣a=0有唯一解，．故答案为（1，+∞）．16．设数列{a n}满足：a1=1，a n=e2a n（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示+1连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为﹣．【考点】数列递推式．（n∈N*），可得a n=e﹣2（n﹣1）.﹣=n，化为：f（n）【分析】a1=1，a n=e2a n+1==．考查函数f（x）=的单调性，利用导数研究其单调性即可得出．（n∈N*），∴a n=e﹣2（n﹣1）．【解答】解：∵a1=1，a n=e2a n+1﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=，f′（x）=（4x2﹣12x+3）•，令f′（x）=0，解得x1=，x2=，∴0＜x1＜1，2＜x1＜3．当x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，∴h（x）min=h（x2），即f（n）min=min{f（2），f（3）}，f（2）=＞f（3）=﹣．∴f（n）min=f（3）=﹣．故答案为：﹣．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知化简可得：b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知及正弦定理可得b=2sinθ，c=2sin（﹣θ），利用，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可求y=sin（2θ﹣）+，由0＜θ＜，可得范围﹣＜2θ﹣＜，利用正弦函数的图象可求最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，由题意可得：bc=﹣a2+b2+c2，可得：b2+c2=a2+bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=．…6分（2）由a=，A=及正弦定理可得：，∴b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（﹣B）=2sin（﹣θ），∴y=bcsinA=sinθsin（﹣θ）=sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ﹣cos2θ+=sin（2θ﹣）+，由于0＜θ＜，可得：﹣＜2θ﹣＜，∴当2θ﹣=，即θ=时，y max=．…12分18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R （单词充电后能行驶的最大里程，R ∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由表格分别求出第一组、第二组、第三组、第四组的频率，由此利用频率分布直方图能估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程．（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表格知第一组的频率为0.1，第二组的频率为，第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，∴频率分布直方图估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程为：125×0.1+175×0.35+225×0.4+275×0.15=205（公里）．（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，P（ξ=2）=0.1，P（ξ=3.6）=0.75，P（ξ=4.4）=0.15，∴ξ的分布列为：Eξ=2×0.1+3.6×0.75+4.4×0.15=3.56．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设PC交DE于点N，连结MN，MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．（2）设PD=a，（a＞0），推导出PD⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DP 所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PD的长度．【解答】证明：（1）设PC交DE于点N，连结MN，在△PAC中，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，又AC⊄平面MDE，MN⊂平面MDE，∴AC∥平面MDE．解：（2）设PD=a，（a＞0），∵四边形PDCE是矩形，四边形ABCD是梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，又∵∠BAD=∠ADC=90°，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），，平面PAD的法向量=（0，1，0），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=a，得=（a，a，2），∵平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，∴cos===，解得a=．∴线段PD的长度为．20．已知椭圆E：x2+3y2=m2（m＞0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．（1）当△AFB的面积为时，求m的值；（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A 点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）将椭圆方程转化成标准方程，则三角形AFB的面积S=b×（b﹣c），代入即可求得m的值；（2）设直线AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得M和N的方程，当l的斜率不存在时，显然可得k=1，求得圆心为P（﹣，0），当l的斜率存在时，由利用两点的斜率公式求得k PM=k PN，直线l是否过定点．【解答】解：（1）由椭圆方程：，则a=m，b=，c=，由三角形AFB的面积S，S=b×（b﹣c）=，则（m﹣）﹣，解得：m=，∴m的值为；（2）由线段MN过直径的圆过A点，则MA⊥NA，设直线AM的斜率为k（k＞0），则直线AN的斜率为﹣，AM为y=k（x+m），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+1）x2+6k2mx+（3k2﹣1）m2=0，则x1（﹣m）=，则x1=，故y1=k（x1+m）=，则M（，），直线AN的方程为y=﹣（x+m），同理可得：N（，﹣），当l的斜率不存在时，显然可得k=1，此时M（﹣，），N（﹣，﹣），则圆心为P（﹣，0），由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点P（﹣，0），当l的斜率存在时，k PM===k PN（k＞0，k≠1），综上可知：l过定点（﹣，0）．21．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x2+x﹣2）e x=（x﹣1）（x+2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）方程a（+1）+ex=e x可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，g′（x）=e x﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=e x﹣2a，①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；②当0≤a≤时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；③当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣＜0，故＜a＜时，∀x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；④a≥时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞，则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，故g（x）在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，若＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，综上，a＜0时，方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），普通方程为（x﹣1）2+y2=1，（y＜0），极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），普通方程2x+y﹣6=0；（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；θ=﹣代入曲线C的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），2∴|PQ|=6﹣=5．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x 的取值范围．（2）当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函数f （x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，此时，﹣2≤x≤1．（2）函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|=，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜率为﹣a的一条直线，如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．2017年4月3日。

1. 已知集合})3(|{<-=xxxP，}2|||{<=xxQ，则=QP （）A．)0,2(-B．)2,0(C．)3,2( D．)3,2(-2. i是虚数单位,复数31ii--= （）A．2i+B．12i-C．i21+D．2i-3.将函数sin()()6y x x Rπ=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A．5sin(2)()12y x x Rπ=+∈B．5sin()()212xy x Rπ=+∈C．sin()()212xy x Rπ=-∈D．5sin()()224xy x Rπ=+∈4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( ) A．63π+B．π343+C．π3433+D．633π+5.设3212a=log2b=log3c=log5，，,则（）A．c﹤b﹤a B．a﹤c﹤b C. c﹤a﹤b．D．b﹤c﹤a6. 已知βα,是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则mm,；②若βαββαα//,////,,则，nmnm⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、nnmnm,,⊄⊂相交；④若.////,//,βαβαβαnnnnmnm且，则，且⊄⊄=⋂其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种.A.150B.300C.600D.9008．已知双曲线22221 x ya b-=(0,0)a b>>的左、右焦点分别为12,F F，以12||F F为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（）A．221169x y-=B．22134x y-=C．221916x y-=D．22143x y-=9.下列五个命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题2:,10p x R x x∃∈++<使得，则:p x R⌝∀∈，均有210x x++>；（2）3=m是直线02)3(=-++myxm与直线056=+-ymx互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x＋0.08(4)．若实数[],1,1x y∈-，则满足221x y+≥的概率为4π.(5) 曲线2y x=与y x=所围成图形的面积是12()S x x dx=-⎰A.2B.3C.4D.510. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S为( )(A)3 (B)43(C)12(D)－211.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C ,在函数())0(1>+=x x x x f 的图象上.若点n B 的坐标()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，则=+++1032a a a （ ）A ．208 B.216 C.212 D.22012. 设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件则称()f x 为闭函数：①()f x 是D 上单调函数；②存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上值域为[,]a b . 现已知()21f x x k =++为闭函数，则k 的取值范围是（ ）A ．112k -<≤-B ．1k <C ．112k ≤< D ．1k >-第Ⅱ卷 （90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 . 14．已知x ，y 满足约束条件220344,0x x y x y y ≥⎧⎪+≥+⎨⎪≥⎩则的最小值是15．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 。

2017-2018学年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．74．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列一定为真的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．48．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+39．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．4011．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a______．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为______．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=______．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集∁U N，再求（∁U N）∩M即可．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，∴∁U N={x|x＜2}则（∁U N）∩M={x|0≤x＜2}．故选：A．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，∴log3a l+log3a2+…+log3a8==4log39=8．故选：C．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列一定为真的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称；特称．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假；则其否定形式为真，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=﹣x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小．解方程组得x=4，y=5．∴z的最大值m=4+5=9．解方程组得x=1，y=2．∴z的最小值n=1+2=3．∴m﹣n=6．故选：B．6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角．【解答】解：设，，以，为邻边作平行四边形OACB，则=．∵||=||，∴四边形OACB是菱形．设OA=AC=1，则OC=．∴cos∠AOC==．∴∠AOC=30°．故选：D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，∴△PBC是该四面体各面中最大的面，∴△PBC的面积S==2，故选：C．8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3【考点】程序框图．【分析】由程序设计意图可知，②处应求通项，有a=a﹣3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求①处可填写：a＞0．【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a ﹣3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：A．9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），∴=（3，1），=（3，﹣9），∴•=0，故⊥，故△ABC为以B为直角的直角三角形，故AC为△ABC的外接圆的直径，∵k AC==﹣，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=（x+1），即3x﹣4y+3=0，故点B到直线l的距离d==1，故选：B．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．40【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由=5，确定A，B的坐标，即可求得||．【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵=5，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴||==35．故选：B．11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．【解答】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin （θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵xf′（x）＜2f（x），∴∀x∈（0，+∞），∴g′（x）＜0恒成立∴g（x）是在（0，+∞）单调递减，∴g（1）＞g（2），即4f（1）＞f（2）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a=±2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a的值．【解答】解：（a﹣）5展开式的通项为T r+1=C5r•（a）5﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•C5r•a5﹣r•x，令=0，可得r=3，又r=3时，T4=（﹣1）3•C53•a2=﹣10a2，由题意得﹣10a2=﹣40，解得a=±2．故答案为：±2．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据余弦定理计算BC，可发现BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．【解答】解：在△ABC中，BC==．∴BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．∴AB为△ABC所在球的截面的直径．取AB，A1B1的中点D，D1，则棱柱外接球的球心为DD1的中点O，设外接球的半径为r，则4πr2=12π，∴r=．即OB=，∴OD=．∴棱柱的高DD1=2OD=2．∴棱柱的体积V=S△ABC•DD1==．故答案为．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=﹣3．【考点】数列递推式．【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可．【解答】解：∵a n+1=a n+log2（1﹣）=log2（），∴a n+1﹣a n=log2（）∴a2﹣a1=log2，a3﹣a2=log2，…a n﹣a n=log2﹣1∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n）=log2（×…×）=log2（）=﹣log2n﹣1∴a n﹣2=﹣log2n，∴a n=2﹣log2n，∴a32=2﹣log232=﹣3，故答案为：﹣3．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣4e x有解，转化为g（x）=2x﹣4e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a≥0，即a≤2x﹣4e x有解，令g（x）=2x﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x=0，x=﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞﹣ln2∴当x=﹣ln2时，g（x）max=﹣2ln2﹣2，∴a≤﹣2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（I）由向量平行列出方程解出cosA；（II）根据余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积．【解答】解：（I）∵∥．∴cos2﹣cos2（B+C）=0，即（1+cosA）﹣cos2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=﹣．∴A=．（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．由正弦定理得，∴c==2．sinB=sin（A+C）=sin=．∴S△ABC===3．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：，解得t=60，∴n==0.4，a==0.8．∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，XE（X）==1．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0，0，2），H （，，0），C （0，2，0），B （，﹣1，0），F （0，1，1），则平面PAC 的法向量为=（1，0，0）， 设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos ＜，＞==，即二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值是．20．已知椭圆C ：=l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，过F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为时，F 1B ⊥l ．（I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线PM 、PN 的斜率记为k PM 、k PN ，且不为零，当直线l 垂直于x 轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得F 1（﹣c ，0），B 1（0，﹣b ），由题意知，从而b=，由此能求出椭圆C 的离心率．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±c ），M （c ，），N （c ，﹣），则=，由此能求出存在最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，∴F1（﹣c，0），B1（0，﹣b），∵过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l，∴由题知F1B1⊥l，∴，∴，∴b=，∴e====．（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0≠±c），M（c，），N（c，﹣），则=﹣=，又P∈C，∴=1，得，∴=====，∴||=||=，又∵﹣a≤x0≤a，且x0≠±c，∴﹣1≤，且，∴||=≥=．∴存在最小值．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，结合a＞0，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，即可证明．【解答】（I）解：当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，即x+1﹣a≥0在[0，+∞）内恒成立，∴a≤x+1在[0，+∞）内恒成立，又x+1的最小值为1，∴a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1；（Ⅱ）证明：要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，注意到2016=2015+1，所以ln﹣=ln（1+）﹣=ln（1+）﹣．构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）内是增函数，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，∴ln＞，∴．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB2=OE•OC，即可求OC的长．【解答】（I）证明：连接OD．∵AB为圆D的直径，∴AD⊥DB，∵AD∥OC，∴BD⊥OC，∴E为BD的中点，∴CB=CD，∴△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD为圆O的切线；（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2，Rt△OBC中，BE⊥OC，∴OB2=OE•OC，∴OC==8．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得：+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．【解答】解（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，∴ρ1ρ2=1．∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|=4．由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R．（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2．故有+=2（m＞0，n＞0），即+=1，∴m+2n=（m+2n）（+）=1++≥2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n的最小值是2．2016年9月17日。

甘肃省武威市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试）第I卷（60分）一. 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合P = {3,log2t/}. 0 = {d,b},若PDQ = {0},则P\JQ=（）扎{3,0} B. {3,0,2} C. {3,0,1} D. {3,0丄2}2.已知复数z满足（l-0z = 5 + /\则？=（）A. 2 + 3/ ”B. 2-3/C. 3 + 2,D. 3-2/3.在MBC中，a = 2、c = l, ZB = 60。

，那么Z?等于（）A. A/5*B. 5/3C. P1D. —24.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：'‘不便宜”是“好货的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件5.已知« , B是两个不同的平面，m, n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m丄o , mu 0 ,则（」丄B ：②若m丄n, m丄« ,则n〃a ；③若m〃，a 丄B ,则m丄B ,④若a C 0 =m, n〃m,且nG（】，nQ B ,则n// a » n// B （）A. ®®B.①②④C. ®®D.①③6.抛物线y = x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A . x2+（y-l）2 =2 B.（牙_l）2+（y_l）2 =4C. （x-l）2 + y2=lD. （x_l）2 + （y + l）2=5IT Tl 7.函数co$（2;v + 0）（-兀兰#5）的图象向右平移：个单位后，与函数戸=SIH（2A +—） 2* 3的图象重合，则卩的值为（）A.65兀~6D.8.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：•V2 ・4ln(x + l),x > 011 •已知函数/(x) = < ]若m < n 且/(〃2)= /(舁)，则”一加的取值范用()-x+Lx<0 12A. [3-2In2,2) B ・[3-21n2,2] C ・[幺一1,2] D ・[f —1,2)A ・ / W = sin AB ・ / (A ) = cos AC. /W = -X9. 圆柱被一个平而截去一部分后与半球(半径为厂)组成 一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如 图所示，若该几何体的表而积为16 + 20兀，则/•=()(A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 810. 如图所示，两个不共线向0B 的夹角为&， ACM 分别为创与0E 的中点，点U 在直线泗上，且 0C = xOA^yOB{x.y eR), 贝 ij x 2 +yB ・- D./籍氏函数/")/12.已知函数有两个极值点，则实数自的取值范围是（）A. （-co, 0）B. （0,》C. （0,1）D. （0,+«5）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列｛&｝的前n项和为若a,=4, S F3,则公差d二_14.B知向量旳=（人+1,1）卫=（久+2,2）,伽+詔）丄（7«-«）,则久=______________ .15.正三角形ABC的边长为2,将它沿髙AD翻折，使点B与点C间的距离为迈，此时四而体ABCD外接球表而积为 ____ .16.从圆A，2+= 4内任取一点P，则p到直线A- +〉, = 1的距•离小于近的槪率—.T三. 解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列｛"”｝的前"项和为S“，且满足4//S… = （n + 1）'a” （n e N*）. q = 1（1）求a”：（2）设b= —t数列0｝的前j项和为7；,求证：T… <-.你 418.（本小题满分12分）在2』17年髙校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制” 折算，排出前"名学生，并对这"名学生按成绩分组，第一组［75,80）,第二组［80,85）, 第三组［85,90）,第四组［90,95）,第五组［95,100］,如图为频率分布直方图的一部分，苴中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60（I）请在图中补全频率分布直方图；（II）若Q大学决左在成绩髙的第3, 4, 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行而试.①若Q大学本次而试中有B、C、D三位考官，规左获得两位考官的认可即而试成功"且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官而试的概率依况为苏1,1,求甲同学面试成功的概率②若Q大学决泄在这6需学生中随机抽取3名学生接受考官B的而试，第3组中有§需学生被考官B而试，求§的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，W\CDEF为正方形，而ABCD为等腰梯形, AB // CD, AB = 2BC, ZABC = 60°, AC 丄FB.（I）求证：AC丄平而FBC：（ID线段ED上是否存在点0,使平而EAC丄平面QBC2证明你的结论20.（本小题满分12分）Z\ \已知点A（0,-2），椭圆E:匚+二=1（。

2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix45．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．37．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．110．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．21．（12分）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】化简=，==，= =，进而得出．【解答】解：∵=，==，= =，而0＜＜2，∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．5．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论当x＞0时，运用一次函数的单调性，可得f（x）的范围；当x≤0时，求出f （x）的导数，单调区间和极大值，也为最大值，即可得到所求最大值．【解答】解：当x＞0时，f（x）=1﹣2x递减，可得f（x）＜1；当x≤0时，f（x）=x3﹣3x，导数f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得x=﹣1处f（x）取得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则f（x）的最大值为2．故选：B．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM ==≤=，当且仅当y 02=2p 2，取得等号．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积． 【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD 是边长为2的正方形，AE ，DF 为底面的垂线， 且AE=2，DF=1，∴V=V E ﹣ABC +V C ﹣ADFE =+=．故选D ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特征．【分析】设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似求出x=96 cm．推导出△BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似可得，解得x=96 cm．则=，解得α=60°，所以△BOB′为正三角形，则BB′=OB=96+48=144 cm．由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为：144cm．【点评】本题考查矩形铁皮长边的最小值的求法，是中档题，解题时要要认真审题，注意圆台的性质的合理运用．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有14个．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•甘肃一模）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，∴r≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（Ⅱ）由≈1.331及（Ⅰ）得=≈0.103，=1.331﹣0.103×4=0.92．所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t．将2017年对应的t=10代入回归方程得：=0.92+0.10×10=1.92所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．20．（12分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•甘肃一模）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣，∴f′（x）=﹣，∴g（x）=（x+1）（﹣），∴g′（x）=[（x+3）﹣1]，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x）），由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点，设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，其中a=，令G（x）=ln（x+1）﹣+4，则G′（x）=，易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0），由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；②当a=4时，g （t ）===g （0），由g （x ）的单调性可知t=0，则F （x ）max =F （t ）=G （t ）=G （0）=0，此时F （x ）有一个零点，与条件不符；③当a ＞4时，g （t ）=＜=g （0），由g （x ）的单调性知t ＜0， 则F （x ）max =F （t ）=G （t ）＜G （0）=0，此时F （x ）没有零点．综上所述，当F （x ）=ln （x+1）﹣af （x ）+4无零点时，正数a 的取值范围是a ∈（4，+∞）． 【点评】本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•甘肃一模）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），l 与C 1交与点A ，l 与C 2交与点B ，且|AB|=，求α的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将曲线C 1的方程化为普通方程，然后转化求解C 1的极坐标方程．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=，即可得出．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（β为参数）．可得（x ﹣1）2+y 2=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=，∴|OA|﹣|OB|=﹣2cosα=，即cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，∴a2﹣2a﹣1≤2，∴a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，两边平方，整理即证（2m+1）（2n+1）≤4，即证mn≤，又m+n=1，∴mn≤=．故原不等式成立．【点评】本题考查分析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。

张掖市2015-2016年度高三第一次诊断考试数学(理科)试卷命题人：王 浩 命题学校：张掖市第二中学 审题人：吴佩禄 审题学校：张掖市第二中学第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求。

（1）设集合}{{}2|11,|M x x N x x x =-<<=≤，则M N =I （ ）A ．[)0,1B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．(]1,0-（2）复数31iz i-=-等于 A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2D ．i -2（3）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=LA ．5B ．9C ．3log 45D ．10（4）过抛物线x y 42=的焦点的直线l 交抛物线于()()1122,,,P x y Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ = ( ) A ．9B ．8C ．7D ．6（5）盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为( ) A ．35B59C.110D.25（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.22B.43C.83D.4（7）已知函数1(),4()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则f （1+log 25）的值为（ ）A ．14B ．21log 51()2+ C ．12D ．120（8）已知图象不间断函数()f x 是区间[],a b 上的单调函数，且在区间(),a b 上存在零点.下图是用二分法求方程()0f x =近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①()()0;f a f m <②()()0;f a f m >③()()0;f b f m <④()()0;f b f m > 其中能够正确求出近似解的是（ ） A.①④B.②③C.①③D.②④（9）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E F 、，且21=EF ，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．BE AC ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等 D ．三棱锥BEF A -的体积为定值 （10）定义运算：4321a a a a 3241a a a a -=，将函数()xx x f ωωcos 1sin 3=（0>ω）的图象向左平移π65个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ）A ．51B ．1C ．511D ．2（11）如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．7B ．4C ．332D ．3（12）函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=,且当)1,(-∞∈x 时， 0)()1(<'-x f x ,设)3(),21(),0(f c f b f a ===,则 ( )A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

张掖市2016—2017年度高三第一次诊断考试理综试卷可能用到的相对原子质量：H 1；C 12；O 16；S 32；Na 23；Cl 35.5；Fe 56；Cu 64；I 127第I卷（选择题共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分，在给出的四个选项中，每小题中只有一个选项符合题目要求。

）1．下列关于酒精在生物实验中的相关应用，叙述不正确的是（）A．在使用苏丹Ⅲ鉴定脂肪的实验中，酒精的作用是洗去实验材料上的浮色B．无水酒精在绿叶中色素的提取和分离实验中起到提取色素的作用C．探究酵母菌细胞呼吸方式实验中，用酸性条件下重铬酸钾溶液检验酒精会变成灰绿色D．在观察DNA和RNA分布实验中，可用酒精来改变细胞膜通透性，加速染色剂进入细胞2．如图分别表示对几种生物体内正在进行分裂的细胞进行观察的结果，有关假设和推论正确的是（）A．若图甲表示有丝分裂过程中的某阶段，则下一时期细胞中央将出现赤道板B．若图乙表示有丝分裂过程中的某阶段，则染色体着丝点分裂可发生在这一阶段C．若图乙表示减数分裂过程中的某阶段，则同源染色体的分离可发生在这一阶段D．若图丙表示雄果蝇精巢内的几种细胞，则C组细胞中可能出现四分体3. 将一个不含放射性同位素32P标记的大肠杆菌（拟核DNA 呈环状，共含有m个碱基，其中有a个胸腺嘧啶）放在含有32P标记的胸腺嘧啶脱氧核苷酸的培养基中培养一段时间，检测到如图I、Ⅱ两种类型的DNA（虚线表示含有放射性的脱氧核苷酸链）。

下列有关该实验的结果预测与分析，正确的是A．DNA第二次复制产生的子代DNA有I、Ⅱ两种类型，比例为1：3B．DNA复制后分配到两个子细胞时，其上的基因遵循基因分离定律C．复制n次需要胞嘧啶的数目是（2n-1）2am D．复制n次形成的放射性脱氧核苷酸单链为2n+1-24．右图为某遗传病的家系图，据图可以判断A ．该病为常染色体显性遗传病B ．Ⅰ-1 的基因型为X A X a ，Ⅰ-2 的基因型为X aYC ．如该病为隐性遗传病，Ⅰ-1 为杂合子D ．如该病为显性遗传病，Ⅰ-2 为杂合子5．迄今已发现的流感病毒可分为甲(A)、乙(B)、丙(C) 三型，其中，甲型流感病毒变异性强，最容易感染人并引发严重症状，H7N9正属于此类。

甘肃省2017年高三第二次高考诊断考试理科数学试卷第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.X + ]1. 己知集合A = (-2,-1,0,1,2,3), B = [x\-—<0),则 A B=()x — 2A. (-2,-1,0,1,2,3} B. {-1,0,1,2} C. {-1,2}D. {0,1)Z7 — i2. 设i 是虚数单位，如果复数z =竺」，其实部与虚部互为相反数，那么实数。

=()2 + iA. -3B. 3C. --D.-3 33. 抛掷两枚骰子，记事件A 为“朝上的2个数之和为偶数”，事件3为“朝上的2个数均为偶数”，则P(B|A)=( )A. 181厂24 51 D.-24.已知实数x ，、满足<2.r+y-4>0x-y-l<0 ,贝\\z = x-3y 的最大值是()A. 2心口 1 八 1B . —C.c 17D.---2 35.圆心为(4,0)且与直线后x-y = O 相切的圆的方程为()2A. (a --4)2+j 2 =1B. (x-4)2 +/ =12C. (x-4)2+y 2=6D. (x + 4)2+y 2=96.如图所示，四面体的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，贝1|四面体ABCQ 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D.③④⑤7.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（）A.18种B.24种C.36种D.48种8.某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图所示的程序处理后，输出的S=（）~0~2633 345A.28B.29C.196D.2039.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，'KBC所在截面圆的圆心。

高三（2017届）数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（ ）A （0，3）B （0，2）C （0，1）D （1，2） 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ）A. 1B. iC. -1D. - i{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则27211log log a a +的值 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．在四边形ABCD 中，“AB =2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0, |φ|<2π)的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ）A ．f (x )=5sin(3πx -6π Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π)Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ． f (x )=5sin(6πx +6π)6.如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则( )A.a b c >>B.a cb >>C.b ac >> D. b c a >>8.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）x －5y O 5 2 5A ．433 B ．533 C ．23 D ．833x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 10．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是( )11. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．95 B. 75 C. 58 D. 6512、已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为/()f x ，满足/()f x <()f x ,且()(2)f x f x -=+，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A. ()2,-+∞B. (0，+∞)C.(1, +∞)D.(2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）. 13. (4y x 的展开式中33x y 的系数为 。

2017年甘肃省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2B．3C．4D．59．（5分）若双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

张掖市2014-2015年度高三第一次诊断考试数学（理科）第I 卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题冃要求的。

1. 设集合 U 二{1, 2, 3, 4, 5, 6}, M={1, 2, 4},贝（ ）A. UB ・{1, 3, 5}C. {3, 5, 6}D. {2, 4, 6}a+ 3z2. 若复数1 + 2： （Qw&i 为虚数单位）是纯虚数，则实数o 的值为（）兀 4XG ( ------- ,0),cosx = —,贝ijtan 2x =2 55. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（6. 若一条肓线与一个平而成720角，则这条肓线与这个平面内经过斜足的肓线所成角中最人角等于（） A. 720B. 900C. 1080D. 18007. 已知M 是 AABC 内的一点，且 AB AC = 2439 ZBAC = 30\ 若 AMBC , AA/CA ,A. _6B. _2C. 4D. 63.等差数列{。

“冲‘為+。

10 +%6 = 30,则Q]8 _2d]4的值为（A. 20B. -20C. 10 )D. -104. 已知24 ■ A. 77 B. '247 C. 2424 D. ~1 A. 6 B. 32 C. 3D. 1正视图 侧视图俯视图J 一 + ―的面积分别为2，则兀丿的最小值为（）9. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸岀1个球，摸岀红球的概率是°42, 摸出白球的概率是028,那么摸岀黒球的概率是（） A. 0-42B. 0.28c. 0.3D.10. 如图所示的程序框图输岀的结果是S=720,贝ij 判断框内应填的条件是（）A. iW7B. i>7 C ・ iW9 D. i>9X 2 y 2—l （d 〉b 〉0） 尸 F11. 椭圆M: X 左右焦点分别为匚，①，P 为椭圆M 上任一点口『用『坊|最大值取值范围是[2c 「,3c2],其中cjai ,则椭圆离心率°取值范围/输出S/ fI J1 1m ------ < x /n H —12. 给出定义：若 2 2 （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x},即"}=九 在此基础上给出下列关于函数=的四个命题:f （ ） = —f （ - ） < f （—）©22.②/（3.4） = -0.4 ；③44 ；④"/（兀）的定义域是R,值域是[一丄 ~]2‘2 .则其中真命题的序号是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

参考答案1．C解析∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}， 故选C ． 2．A 解析：3(3)(12)63212(12)(12)55a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-，所以6320,0,655a aa +-=≠∴=- 3．D 解析：1410161011814111,30109102(17)2(13)(9)10n a a a a a a a d a a a d a d a d D++=∴=+=-=+-+=-+=-设等差数列的首项为公差为d 即故选4．A解析：略 5. B解析:由三视图知底面是边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为2.∴V ＝××1×1×2＝. 6.B 解析略 7．B解：cos AB AC AB AC A ⋅==1sin 12ABC S AB AC A ∆∴==， =()(1442252518y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当时等号成立取最值 考点：向量数量积及均值不等式点评：均值不等式求最值验证等号成立条件 8．B解析：因为，所以函数在上单调递增，故可排除C 选项；又因为时，，故可排除A 选项；当时，，故此时函数的图像在直线的上方，故D 错误，B 正确． 考点：函数的图像． 9． C 解析： 10. B解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S ＝720，则应是10×9×8＝720，所以i ＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体． 11．B解析：设为点P 的横坐标，则， 222120 PF PF a e x ⋅=- ，(-a≤≤a) 所以取值范围是[],而最大值取值范围是，所以于是得到，故椭圆的离心率的取值范围是,32⎣⎦，选B 。

甘肃省兰州市2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)2017年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，N={x|﹣2≤x≤2}，则M∩N=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1] D．[1，2]2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3+a5+a7=24，则S9=（）A．36 B．72 C．C144 D．2884．已知某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 50 m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中m的值为（）A．45 B．50 C．55 D．605．下列命题中，真命题为（）A．∃x∈R，e≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件．6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．（9+）πB．（9+2）πC．（10+）πD．（10+2）π7．设变量x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值是（）A．B．C．D．58．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的”更相减损术“．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0时，则输出的i=（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果x1+x2=，则f（x1）+f（x2）=（）A． B． C．0 D．﹣11．已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共40分）13．cos2165°﹣sin215°=．14．的展开式中，x2项的系数为．（用数字作答）15．已知在三棱锥P﹣ABC中，VP﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB ⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为．16．已知数列{an }中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有=1成立，则S2017= ．三、解答题17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）人数45853年龄[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）人数67354经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足=m（m∈R），若二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，求实数m的值．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣，若动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=+lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若b＞0，试说明＜ln＜．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2n﹣4．2017年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，N={x|﹣2≤x≤2}，则M∩N=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，2] C．[﹣1，1] D．[1，2]【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出两解集的公共部分即可确定出两集合的交集【解答】解：由（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，∴M={x|x≤﹣1或x≥3}，∵N={x|﹣2≤x≤2}，则M∩N={x|﹣2≤x≤﹣1}=[﹣2，﹣1]故选A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3+a5+a7=24，则S9=（）A．36 B．72 C．C144 D．288【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据{an }是等差数列，a3+a5+a7=24，可得3a5=24，即a5=8．S9==可得答案．【解答】解：由题意，{an }是等差数列，a3+a5+a7=24，可得3a5=24，即a5=8．∵S9=，而a5+a5=a1+a9，∴S9═=72，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．已知某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 50 m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中m的值为（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点，求出m的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（2+4+5+6+8）=5，=×（30+40+50+m+70）=38+，∵回归直线方程=6.5x+17.5过样本中心，∴38+=6.5×5+17.5，解得m=60．故选：D．【点评】本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题．5．下列命题中，真命题为（）∈R，e≤0A．∃xB．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A，B，C举例即可说明，对于D根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：对于A：因为e x＞0恒成立，故A不正确，对于B：当x=2时，不成立，故B不正确，对于C：a=b=0时，则a+b=0，故C不正确，对于D：由a＞1，b＞1⇒ab＞1，当a=﹣2，b=﹣2时，满足ab＞1，但不满足a ＞1，b＞1，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件和命题的真假的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．（9+）πB．（9+2）πC．（10+）πD．（10+2）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据图中数据求表面积．【解答】解：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为2，所以几何体的表面积为π×12+π×2×4+=（9+）π；故选A．【点评】本题考查了由几何体的三视图求对应几何体的表面积；关键是正确还原几何体．7．设变量x，y满足不等式组，则x2+y2的最小值是（）A．B．C．D．5【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，x2+y2的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，则其最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．8．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的”更相减损术“．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0时，则输出的i=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8﹣6=2，i=2满足a＞b，a=6﹣2=4，i=3满足a＞b，a=4﹣2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为2，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为3．再由∠APB=90°，可得PO=AB=t，可得t≤3，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1，其圆心C（，1），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为2，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为3．再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=t，故有t≤3，∴A（﹣3，0），B（3，0）．∵圆心C（，1），直线OP的斜率k=，∴直线OP的方程为y=联立：解得：．故选D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的灵活运用，根据两点A（﹣t，0），B（t，0）与圆的最大值距离求出t是解决本题的关键．10．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果x1+x2=，则f（x1）+f（x2）=（）A． B． C．0 D．﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】根据图象求解f（x）=sin（ωx+φ）的解析式，不难发现图象关于（，0）中心对称，可得则f（x1）+f（x2）的值．【解答】解：根据图象可知A=1， T=（）=∴T=π，那么ω=，可得f（x）=sin（2x+φ）∵图象过（）∴sin（φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=．故得f（x）=sin（2x）．由对称中心横坐标：2x=kπ，（k∈Z）可得x=，（k∈Z）图象关于（，0）中心对称，x1+x2=，即则f（x1）+f（x2）=0．故选C．【点评】本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式．考查了函数的对称性问题．属于中档题．11．已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF1，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，由|NF2|=2|OM|=2a，则|NP|==2b=2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=c+a，4b2=（c+a）2，即4（c2﹣a2）=（c+a）2，4（c﹣a）=c+a，即3c=5a，则e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．12．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意设g（x）=f（x）﹣，由条件和奇函数的定义判断出g（x）是R上的奇函数，求出g′（x）后结合条件判断出符号，由导数与单调性的关系判断出在（0，+∞）上的单调性，由奇函数的性质判断出在R上的单调性，由g（x）的解析式化简已知的不等式，利用g（x）的单调性列出不等式，求出实数m的取值范围．【解答】解：由题意设g（x）=f（x）﹣，∵对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2，∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣x2=0，则函数g（x）是R上的奇函数，∵在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上递减，由奇函数的性质知：函数g（x）在（﹣∞，+∞）上递减，∵f（4﹣m）﹣f（m）=[g（4﹣m）+]﹣[g（m）+]=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），则4﹣m≤m，解得m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞），故选A．【点评】本题考查导数与单调性的关系，奇函数的定义以及性质，以及函数单调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共40分）13．cos2165°﹣sin215°=．【考点】二倍角的余弦．【分析】应用诱导公式、二倍角的余弦公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：cos2165°﹣sin215°=cos215°﹣sin215°=cos30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查应用诱导公式、二倍角的余弦公式进行化简求值，属于基础题．14．的展开式中，x2项的系数为﹣20 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T=•x5﹣r•（﹣1）r，r+1令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15．已知在三棱锥P﹣ABC中，V=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PBP﹣ABC⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC=x=x2，∴VP﹣ABC =VA﹣PBC==，解得x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键．16．已知数列{an }中，a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有=1成立，则S2017= ．【考点】数列的求和．【分析】当n≥2时，有=1成立，可得2（Sn ﹣Sn﹣1）=（Sn﹣Sn﹣1）Sn﹣，化为：﹣=，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵当n≥2时，有=1成立，∴2（Sn ﹣Sn﹣1）=（Sn﹣Sn﹣1）Sn﹣，化为：﹣=，∴数列是等差数列，公差为，首项为1．∴=1+（n﹣1）=，解得Sn=．∴S2017==．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2017•兰州一模）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…（2分）即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…（8分）即，解得或，…（10分）又，所以．…（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•兰州一模）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）人数45853年龄[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）人数67354经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休””为事件A，则P（A）=．（II）X的可能取值为0，1，2，3．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（I）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休””为事件A，则P（A）==．（II）X的可能取值为0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==．P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列如下：X0123P∴E（X）=0+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•兰州一模）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点；（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足=m（m∈R），若二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，求实数m的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结A1C∩AC1于F，则F为AC1的中点，连结DF，则A1B∥DF，由此能证明A1B∥平面AC1D．（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，则∠ENM为二面角E﹣AD﹣C的一个平面角，由此利用二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，能求出m的值．【解答】证明：（Ⅰ）连结A1C∩AC1于F，则F为AC1的中点，连结DF，则A1B∥DF，∵DF⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．解：（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，则EN⊥AD，∴∠ENM为二面角E﹣AD﹣C的一个平面角，设EM=h，则=，∴CM=，∴AM=2﹣，∵，∴MN=，∴EN2=EM2+MN2=h2+（1﹣）2，∵cos，故=，解得h=，此时，点E为A1C的中点，∴m=1．【点评】本题考查线面平行的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2017•兰州一模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣，若动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点（，1），且离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，由M，N都在椭圆=1上，设=﹣，得到点P是椭圆上的点，由此能求出F1，F2的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为，∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵M，N都在椭圆=1上，∴，∴（）=（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2），设=﹣，∴x1x2+2y1y2=0，∴x2+2y2=20，∴点P是椭圆上的点，∴由椭圆的定义知存在点F1，F2，满足|PF1|+|PF2|=2=4为定值，又∵|F1F2|=2=2，∴F1，F2的坐标分别为F1（﹣，0），F2（，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查焦点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量的数量积的合理运用．21．（12分）（2017•兰州一模）已知函数f（x）=+lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若b＞0，试说明＜ln＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（x）≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x，再由x的范围求得a的范围；（Ⅱ）b＞0，由（Ⅰ）知a≥1，可得＞1，由f（x）=+lnx在（1，+∞）上是增函数，可得f（）＞f（1），化简得到＜；由ln＜⇔＜0．构造辅助函数g（x）=ln（1+x）﹣x（x∈[0，+∞）），利用导数判断函数g（x）在[0，+∞）上为减函数．由g （）＜g（0）得ln＜．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，由f′（x）≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x，∵x∈（1，+∞），∴，即a≥1；（Ⅱ）∵b＞0，由（Ⅰ）知，a≥1．∴＞1，又f（x）=+lnx在（1，+∞）上是增函数，∴f（）＞f（1），即＞0．化简得：＜；ln＜⇔＜0．令g（x）=ln（1+x）﹣x（x∈[0，+∞）），则g′（x）=＜0．∴函数g（x）在[0，+∞）上为减函数．∴g（）=ln（1+）=ln﹣＜g（0）=0．综上，＜ln＜．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）（2017•兰州一模）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）将t参数消去可得直线l的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2带入圆C可得直角坐标系方程；（Ⅱ）利用弦长公式直接建立关系求解即可．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：4x+3y﹣8=0；由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0），可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得圆C的直角坐标系方程为：x2+y2﹣ay=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆C的圆心为（0，）半径r=，直线方程为4x+3y﹣8=0；那么：圆心到直线的距离d=直线l截圆C的弦长为=2解得：a=32或a=故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时a的值为32或．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•兰州一模）已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2n﹣4．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由题意，|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，利用基本不等式，可得求m的取值范围；（Ⅱ）m的最大值为4，关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤4，分类讨论，即可解关于x的不等式．【解答】解：（Ⅰ）由题意，|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立．∵|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣）x﹣3）|=4，∴m≤4；（Ⅱ）m的最大值为4，关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤4．∴或，∴x≥3或﹣≤x＜3，∴不等式的解集为{x|x≥3或﹣≤x＜3}．【点评】本题考查恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2017 年高考数学（理科）全国1 卷（精校版）一、选择题1. 已知集合A x x 1 , B x 3x 1 ，则（）A. A I B x x 0B. A U B RC. A U B x x 1D. A I B2.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. 1B.8C.1D.4 2 43.设有下面四个命题：p1：若复数z满足1R ，则 z R ； p2 ：若复数 z 满足z2 R，则 z R ；zp3：若复数 z1 , z2 满足 z1, z2 R ，则 z1 z2； p4：若复数 z R ，则 z R. 其中的真命题为（）A. p1，p3B. p1，p4C. p2，p3D. p2，p44. 设S n为等差数列an 的前n 项和.若a4 a5 24 ， S6 48 ，则a公差为（）nA.1B.2C.4D.85. 函数f x 在, 单调递减，且 f x 为奇函数.若 f 1 1 ，则满足1 f x2 1 的 x 取值范围是（）A. 2,2B. 1,1C. 0,4D. 1,36. 111 x 6 的展开式中的 x2系数为（）x 27. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.168. 如图所示的程序框图是为了求出满足3n 22 1000 的最小偶数n，那么和两个空白框中，可以分别填入（）A. A1000和 n n 1B. A1000 和 n n 2C. A1000和 n n 1D. A1000 和 n n 29. 已知曲线C1: y cosx ， C2 : y sin(2 x2 ) ，则下面结论正确的是（）3A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个6单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12 个单位长度，得到曲线 C2C. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6 2个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐伸到原来的1倍，坐不，再把得到的曲向左平移2 12个位度，得到曲C210. 已知 F 是抛物 C : y2 4x 的焦点， F 作两条互相垂直的直l1 ,l 2，直 l1与C交于AB 两点，直 l2与C交于 DE 两点，AB DE 的最小（）A.16B.14C.12D.1011. x, y, z 整数，且2x 3y 5z，（）A. 2x 3y 5zB. 5z 2x 3yC. 3 y 5z 2xD. 3 y 2 x 5z12.几位大学生响国家的号召，开了一款用件 . 激大家学数学的趣，他推出了“解数学取件激活”的活. 款件的激活下面数学的答案：已知数列 1，1,2 ， 1，2，4，1，2， 4， 8， 1，2，4， 8，16⋯，其中第一是20 ，接下来的两是 20 ,21，再接下来的三是20 ,21 ,2 2，依此推.求足如下条件的最小整数N : N 100且数列前 N 和 2 的整数 . 那么件的激活是（）A.440B.330C.220D.110二、填空13.r r r uur r r. 已知向量 a, b 的角 60o， a 2 ， b 1 ， a 2bx 2 y 114. x, y足束条件2x y 1 ， z 3x 2 y 的最大.x y 015. 已知双曲 C : x2 y 2 1 a 0,b 0 的右点 A ，以 A 心，b半径作 A ，a2 b2A 与双曲C的一条近交于M , N 两点.若 MAN 60o，C的离心率.16. 如，形片的心O ，半径 5 cm，片上的等三角形ABC 的中心 O . D, E,F O 上的点，DBC , ECA, FAB 分是以 BC, CA, AB 底的等腰三角形.沿虚剪开后，分以 BC, CA, AB 折痕折起DBC , ECA, FAB ，使得 D, E, F 重合，得到三棱 . 当ABC的化，所得三棱体（位：cm3）的最大.三、解答题（一）必考题17. ABC的内角A,B, C的对边分别为a, b, c .已知ABC 的面积为a2. 3sin A（1）求sin BsinC；（2）若6cosBcosC 1，a 3，求ABC的周长 .18. 如图，在四棱锥P ABCD 中， AB∥CD ，且BAP CDP90o. （1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA PD AB DC，APD 90o，求二面角A PB C的余弦值 .19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N ( , 2 ).（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在 3 ,3之外的零件数，求P( X1) 及 X 的数学期望；（2）一天内抽取零件中，如果出现了尺寸在 3 ,3之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ii ）下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.26 9.9110.1310.029.2210.0410.059.951 16x i 9.97 1经计算得 x ， s16 i 1 16 16 211622x ix i x 16x0.212 ，其中 x i为i 1 16 i 1抽取的第 i 个零件的尺寸， i 1,2, ,16 .用样本平均数x作为的估计值μ，用样本标准差s 作为的估计值μ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除μ3μμ3μ之外的数据，用剩下的数据估计,和（精确到0.01 ）附：若随机变量Z 服从正态分布 N ( , 2 ) ，则 P 3 Z 30.9974 ，0.997416 0.9592，0.008 0.0920. 已知椭圆 C :x2y 21 a 0, b 0 ，四点 P 11,1 ， P 2 0,1 ， P 31,3， P 4 1,3a 2b 222中恰有三点在椭圆 C 上 .（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过点 P 且与 C .若直线 P A 与直线 P B 的斜率的和为 1，2 相交于 A, B 两点 2 2证明： l 过定点 .21. 已知函数 f x ae2 x a 2 e x x . （1）讨论 f x的单调性；（2）若 f x有两个零点，求a的取值范围 .（二）选考题22.[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程]x 3cos ,l 的参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为sin（ 为参数），直线y ,x a 4t,为1 t, （ t 为参数） .y（1）若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为17 ，求 a .23.[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]已知函数 fxx 2 ax 4 ， g xx 1 x 1 .（1 ）当 a 1时，求不等式 f xg x 的解集 .（2 ）若不等式 f xg x 的解集包含1,1 ，求 a 的取值范围 .。