北京市丰台区2017届高三二模数学理科试卷答案 精品

丰台区2017年高三统一练习（二）数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角为︒90，则实数k 的值为A ．12-B ．12C ．2-D ．22．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ）A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离3．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（-1，1），若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A ．34π）B ．54π-）C ．114π）D ．4π-） 4．设p 、q 是简单命题，则""p q ∧为假是""p q ∨为假的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A ． 12x x =，12s s <B ． 12x x =， 12s s >C ． 12x x >， 12s s >D ． 12x x =， 12s s =6．已知函数2()log f x x =，若()1f x ≥，则实数x 的取值范围是（ ）A ． 1(,]2-∞ B ． [2,)+∞ C ． 1(0,][2,)2+∞ D ． 1(,][2,)2-∞+∞ 7．设f(x)、g(x)是R 上的可导函数，''(),()f x g x 分别是f(x)、g(x)的导函数，且''()()()()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（ ）A ． f(x)g(x)>f(b)g(b)B ． f(x)g(a)>f(a)g(x)C ． f(x)g(b)>f(b)g(x)D ． f(x)g(x)>f(a) g(a)8．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点G 与E 分别为线段11A B 和1C C 的中点，点D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点。

丰台区2016～2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017. 01（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项： 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{(2)(1)0}A x x x Z ，{2,B 1}，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，（B ）{210}，，（C ）{21}，（D ）{1}2. 如果0a b ，那么下列不等式一定成立的是（A ）ab（B ）11ab（C ）11()()22ab（D ）ln ln a b3. 如果平面向量(20)，a ，(11)，b ，那么下列结论中正确的是（A ）a b（B ）22a b（C ）()ab b（D ）//a b 4. 已知直线m ，n 和平面，如果n，那么“mn ”是“m ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5. 在等比数列}{n a 中，31a ，123+=a a a 9，则456+a a a 等于（A ）9 （B ）72 （C ）9或72 （D ）9或726. 如果函数()sin 3cos f x xx 的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f L的值为（A ）1（B ）1（C ）3（D ）37. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则. 例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(gu ǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的. 下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）.节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)清明(白露) 谷雨(处暑) 立夏(立秋)小满(大暑) 芒种(小暑)夏至晷影长（寸）135.0 5125.64115.163105.26295.36285.4675.5566.56455.66345.76235.86125.9616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A）72.4寸（B）81.4寸（C）82.0寸（D）91.6寸n S表示集合S的子集个数.8. 对于任何集合S，用|S|表示集合S中的元素个数，用()I等于U，则|A B|若集合A，B满足条件：|A|2017，且()()()n A n B n A B（A）2017 （B）2016（C）2015 （D）2014第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 设i 是虚数单位，则复数2i 1i= .10. 设椭圆C ：222+1(0)16x ya a 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF ，那么椭圆C 的离心率为.11. 在261()x x的展开式中，常数项是（用数字作答）．12. 若，x y 满足202200，，，x yx y y+则=2z xy 的最大值为.13. 如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续. 当△ABC 滚动到△A 1B 1C 1时，顶点B 运动轨迹的长度为；在滚动过程中，OB OP uu u r uu u r的最大值为．14. 已知)(x f 为偶函数，且0x时，][)(x x x f （][x 表示不超过x 的最大整数）.设()()()g x f x kxk kR ，当1k时，函数()g x 有个零点；若函数()g x 有三个不同的零点，则k 的取值范围是.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC ，2CD ，7AD，7sin 7B. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ；（Ⅱ）已知二面角P BF C --的余弦值为66，求四棱锥P ABCD -的体积．C BPGFD EQADCBAP OyxB 1C 1A 1C(B)A17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e xf x x 与函数21()2g x x ax 的图象在点(00)，处有相同的切线.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x bR ，求函数()h x 在[12]，上的最小值. 19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)ypx p 的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ,Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2p x分别交于S ,T 两点，试判断FS FT uu r uu u r是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112nn c c .（Ⅰ）若117c ，写出数列{}n c 的前5项；（Ⅱ）对于任意101c ，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c 时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。

丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CD AC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =.因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =，PD DC ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r =, 则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n ……………….11分 解得a =2,所以2PD =． ……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分 （Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分 来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分 ①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在上是增函数， 故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分 19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分 （Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分（Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2017年高三年级第二学期综合练习第一部分听力理解（共三节30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

1. What is the man’s plan for his holiday?A.To go to Hawaii.B. To go to HongKong.C. To stay at home.2. What pet does the man decide to keep finally?A. A dog.B. A cat.C. A rabbit.3. What time will the woman leave?A. At 13:00.B. At 14:30.C. At 16:20.4. Where does this conversation take place?A. On the train.B. In the airplane.C. In the hotel.5. What is the woman doing?A. Offering the man some advice.B. Telling the man some bad news.C. Playing a joke on the man.第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）听下面4段对话或独白。

每段对话或独白后有几道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有5秒钟的时间阅读每小题。

听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白你将听两遍。

听下面一段对话，回答第6至7两道小题。

6. What is Lucy’s New Year resolution?A. To take more exercise.B. To make big money.C. To do better in Chinese.7.What is the relationship between the two speakers?A. Family members.B. Friends.C. Classmates.听下面一段对话，回答第8至9两道小题。

2017-2018学年北京市丰台二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（只需从四个选项中选出唯一正确的选项，每题5分共40分）1．（5分）“a＞0”是“a＞﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）函数y=x+1是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数3．（5分）数列{2n﹣1}前10项的和是（）A．120 B．110 C．100 D．104．（5分）若S n是数列{2n}的前n项和，则S8﹣S3=（）A．504 B．500 C．498 D．4965．（5分）设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣36．（5分）某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在3km以内（含3km）为8.00元；达到3km后，每增加1km加收1.40元；达到8km后，每增加1km加收2.10元．增加不足1km按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的km数可以是（）A．22 B．24 C．26 D．287．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．8．（5分）若sin2α=a，cos2α=b，且tan（+α）有意义，则tan（+α）=（）A．B．C． D．二、填空题（只需填出正确答案，每题5分共30分）9．（5分）设集合M={x|y=}，集合N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=．10．（5分）若=（3，﹣4），=（4，3），则向量、夹角的余弦值为．11．（5分）若正数x，y的倒数和为1，则x+2y的最小值为．12．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的八条棱长都相等，SB的中点是E，则异面直线AE，SD所成角的余弦为．13．（5分）函数f（x）=2sinx+4cosx（x∈[，π]）的最大值是．14．（5分）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P ∩Q的元素个数为．三、解答题（必须写出详细的解答过程、推理依据及正确答案；共80分）15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）在△ABC中，•=|﹣|=2．（Ⅰ）求||2+||2的值．（Ⅱ）当△ABC的面积S最大时，求角A的大小．17．（13分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．18．（14分）如图，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且BA=BC=BD，∠CBA=∠CBD=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC．（Ⅱ）求直线AD与面BCD所成角的大小的正弦值．（Ⅲ）求二面角A﹣BD﹣C的大小的余弦值．19．（13分）已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）=x2+2ax（a＞0），g（x）=3a2lnx+b图象有公共点，且在公共点处的切线相同．（Ⅰ）用a表示b．（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞1）．20．（14分）已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f （x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．2017-2018学年北京市丰台二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（只需从四个选项中选出唯一正确的选项，每题5分共40分）1．（5分）“a＞0”是“a＞﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵{a|a＞0}⊊{a|a＞﹣1}，∴“a＞0”是“a＞﹣1”的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）函数y=x+1是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【解答】解：令f（x）=x+1，则f（﹣x）=﹣x+1，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x）∴y=x+1是非奇非偶函数，故选：D．3．（5分）数列{2n﹣1}前10项的和是（）A．120 B．110 C．100 D．10【解答】解：根据题意，数列{2n﹣1}，即其通项公式为a n=2n﹣1，其表示首项为1，公差为2的等差数列，则a10=2×10﹣1=19，则其前10项和S10===100；故选：C．4．（5分）若S n是数列{2n}的前n项和，则S8﹣S3=（）A．504 B．500 C．498 D．496【解答】解：数列{2n}为首项和公比均为2的等比数列，S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8===496．故选：D．5．（5分）设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．6．（5分）某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在3km以内（含3km）为8.00元；达到3km后，每增加1km加收1.40元；达到8km后，每增加1km加收2.10元．增加不足1km按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的km数可以是（）A．22 B．24 C．26 D．28【解答】解：根据题意可得，8+1.4×5+2.1（k﹣8）=44.4，解得k=22．故选：A．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选：C．8．（5分）若sin2α=a，cos2α=b，且tan（+α）有意义，则tan（+α）=（）A．B．C． D．【解答】解：si n2α=a，cos2α=b，tan（+α）====．故选：C．二、填空题（只需填出正确答案，每题5分共30分）9．（5分）设集合M={x|y=}，集合N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=[4，+∞）．【解答】解：∵集合M={x|y=}=[2，+∞）∴集合N={y|y=x2，x∈M}=[4，+∞）∴M∩N=[4，+∞）故答案为：[4，+∞）10．（5分）若=（3，﹣4），=（4，3），则向量、夹角的余弦值为0．【解答】解：若=（3，﹣4），=（4，3），则=3×4﹣4×3=0，则⊥，则向量、夹角的余弦值为0．故答案为：0．11．（5分）若正数x，y的倒数和为1，则x+2y的最小值为3+2．【解答】解：若x＞0，y＞0，且+=1，则x+2y=（x+2y）（+）=1+2++≥3+2=3+2，当且仅当x=y时，等号成立，则x+2y的最小值为3+2，故答案为：3+2．12．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的八条棱长都相等，SB的中点是E，则异面直线AE，SD所成角的余弦为．【解答】解：以正方形ABCD的中心O为原点，平行于AB的直线为x轴，平行于AD的直线为y轴，SO为z轴建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，设四棱锥S﹣ABCD棱长为2，则A（﹣1，﹣1，0），B（1，﹣1，0），S（0，0，），D（﹣1，1，0），E（），∴=（），=（﹣1，1，﹣），∴cos＜＞==﹣．故异面直线AE，SD所成角的余弦值为．故答案为：．13．（5分）函数f（x）=2sinx+4cosx（x∈[，π]）的最大值是2．【解答】解：函数f（x）=2sinx+4cosx则f′（x）=2cosx﹣4sinx，∵x∈[，π]∴2cosx＜0，4sinx＞0∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在x∈[，π]单调递减．当x=时，f（x）取得最大值为2．故答案为：2．14．（5分）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于2；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P ∩Q的元素个数为17．【解答】解：（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三项和等于1+0+1=2；（2）∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足P i+P i+1=1，1≤i≤99，∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0．则P={a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=…=q3n﹣2．∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．则Q={a1，a4，a7，…，a100}则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97．∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素．故答案分别为2，17．三、解答题（必须写出详细的解答过程、推理依据及正确答案；共80分）15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数．化简可得：f（x）=cos2x+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+．（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T=．（Ⅱ）由2x+≤，k∈Z．得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．16．（13分）在△ABC中，•=|﹣|=2．（Ⅰ）求||2+||2的值．（Ⅱ）当△ABC的面积S最大时，求角A的大小．【解答】解：（Ⅰ）•=|﹣|=2，∴+﹣2•=4，∴+=2•+4=2×2+4=8，∴||2+||2=8（Ⅱ）设||=m，||=n，由面积公式S=mnsin∠BAC△ABC又•=||•||cos∠BAC=mnsin∠BAC=2∴cos∠BAC=∴sin∠BAC═==mnsin∠BAC=≤∴S△ABC等号当且仅当m|=n|时成立，又由（1）m=n|=2时，三角形面积取到最大值．cos∠BAC=，即∠BAC=60°．17．（13分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．18．（14分）如图，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且BA=BC=BD，∠CBA=∠CBD=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC．（Ⅱ）求直线AD与面BCD所成角的大小的正弦值．（Ⅲ）求二面角A﹣BD﹣C的大小的余弦值．【解答】（Ⅰ）设AB=1，作AO⊥BC于O，连结DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则O（0，0，0），A（0，0，），D（，0，0），B（0，，0），C（0，，0），∴，，∵．∴AD⊥BC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面BCD的一个法向量为，∴cos＜＞=．∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设平面ABD的一个法向量，则，取x=1，得．∴cos＜＞=．又二面角A﹣BD﹣C为钝角，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．19．（13分）已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）=x2+2ax（a＞0），g（x）=3a2lnx+b图象有公共点，且在公共点处的切线相同．（Ⅰ）用a表示b．（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞1）．【解答】解：（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）公共点（x0，y0）处的切线相同．f′（x）=x+2a，g′（x）=．由题意知f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0）即x02+2ax0=3a2lnx0+b，x0+2a=，解得x0=a或x0=﹣3a（舍去），∴b=．（Ⅱ）证明：设F（x）=f（x）﹣g（x）=，则F′（x）=x+2a﹣=，（x＞1）．故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，所以函数F（x）在（0，+∞）上有最小值，F（a）=F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故当x＞1时，有f（x）﹣g（x）≥0，即当x＞1时，f（x）≥g（x）．20．（14分）已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f （x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=1时，f（x）=2x2+2x﹣1，解2x2+2x﹣1=x，解得，所以函数f（x）的不动点为；（Ⅱ）因为对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，所以对于任意实数b，方程f（x）=x恒有两个不相等的实数根，即方程ax2+（b+1）x+b﹣2=x恒有两个不相等的实数根，所以，即对于任意实数b，b2﹣4ab+8a＞0，所以，解得0＜a＜2；（Ⅲ）设函数f（x）的两个不同的不动点为x1，x2，则A（x1，x1），B（x2，x2），且x1，x2是ax2+bx+b﹣2=0的两个不等实根，所以，直线AB的斜率为1，线段AB中点坐标为，因为直线是线段AB的垂直平分线，所以k=﹣1，且（﹣，﹣）在直线y=kx+上，则﹣=+，a∈（0，2），所以b=﹣=﹣，当且仅当a=1∈（0，2）时等号成立，又b＜0，所以实数b的取值范围是[﹣，0）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是 （A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++L 的值为 （A ）1（B ）-1（C（D）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸 （B ）81.4寸 （C ）82.0寸 （D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．DCBA三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B . （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C --求四棱锥P ABCD -的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．CBPGF DE QA18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CD AC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =， P D D C ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分 如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r=,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u ruur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n ……………….11分 解得a =2,所以2PD =． ……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=． ……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x x h x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分。

DCBA丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么AB 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}- 2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是 （A ）a b < （B ）11a b> （C ）11()()22a b > （D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是 （A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b （D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9 （B ）72 （C ）9或72 （D ） 9或-72 6．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++的值为（A ）1 （B ）-1 （C（D）7. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A ）72.4寸 （B ）81.4寸 （C ）82.0寸 （D ）91.6寸且()()()n A n B n A B +=，则|A B |等于 （A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+ 则=2z x y -的最大值为 ． 13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B =（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求边AB 的长. 16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点. CBP GF DE Q A（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ；（Ⅱ）已知二面角PBF CP ABCD 的体积． 17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如右表所示。

1丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（文科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在 答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B = （A ）(24), （B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是(0+)∞,上的增函数的是（A ）3y x =（B ）x y 2=（C ）2y x =-（D ）)(log 3x y -=3. 某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 （A ）14，9.5（B ）9，9 （C ）9，10 （D ）14，94. 圆22(1)1x y ++=的圆心到直线1y x =-的距离为 （A ）1（B ）22（C ）2 （D ）25. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的值为 （A ）2-（B ）16 （C ）2-或8（D ）2-或166. 已知向量31()(31)22，，==-a b ，31()(31)22，，，==-a b ，则，a b 的夹角为 （A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）2π37. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则最长侧棱（不包括底面的棱）的长度为 （A ）2（B ）6 （C ）22（D ）238. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的是 （A ）首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用（B ）每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 （C ）每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用12111侧视图俯视图正视图218.（本小题共13分）某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.19.（本小题共14分）已知椭圆C：22143x y+=，点P(40),，过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切. 20.（本小题共13分）已知函数ln()xf xax=(0)a>.（Ⅰ）当1a=时，求曲线()y f x=在点(1(1)),f处的切线方程；（Ⅱ）若1()f xx<恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：总存在x，使得当(,)x x∈+∞，恒有()1f x<.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（文科）参考答案及评分参考2017．05一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C D B C D 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(50)±, 10．10 11．π612．2- 13．①②③④ 14．13()22,；4π3三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）3(n-214III 56()1f x ．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）7。

北京市丰台区2016-2017学年度高三第二次统练理科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}14A x x =≤≤，{}2B x x =>，那么A B =（ ）A ．()24，B ．(]24，C ．[)1+∞，D ．()2+∞，2．下列函数中，既是偶函数又是()0+∞， 上的增函数的是（ ） A ．3y x =-B ．2xy =C ．12y x =D ．()3log y x =-3．在极坐标系中，点4π⎫⎪⎭到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（ ）A ．2BC ．2D ．24．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y - 5．已知向量3122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ，()31b =-， ，则a ，b 的夹角为（ ）A ．4πB ．3πC ．2π D ．23π 6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（ ）A ．1BCD ．27．()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆， ， ， ， ， 若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是（ ） A ．10 B ．11 C ．12D ．138．血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（ ） ① 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用② 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③ 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数34ii+对应的点的坐标为__________． 10．执行如图所示的程序框图，若输入6x =的值为6，则输出的x 值为__________．11．点A 从()10， 出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，，记AOB α∠=，则sin 2α=__________．12．若x y ，满足11y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩且22z x y =+的最大值为10，则m =__________．13．已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()()ln f x x x =-+；当e x e -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，()()2f x f x +=，则()8f =__________． 14．已知O 为ABC ∆的外心，且BO BA BC λμ=+． ①若90C ∠=，则λμ+=__________；②若60ABC ∠=，则λμ+的最大值为__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，2sin a B b =． （Ⅰ）求A ∠的大小；cos 6B C π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的取值范围．某社区超市购进了A B C D ，，，四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i ，， ， ，，）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）； （Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，2260AB AD DAB ==∠=，，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF 平面ABCD ． （Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：//EG 平面BDF ； （Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC的值；若不存在，说明理由．已知函数()ln x f x e a x a =--．（Ⅰ）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于()()0a e f x ∀∈，，在区间1ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 上有极小值，且极小值大于0．已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点312M ⎛⎫⎪⎝⎭， 在椭圆E 上． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设()40P -， ，直线1y kx =+与椭圆E 交于A B ，两点，若直线PA PB ，均与圆()2220x y r r +=>相切，求k 的值．若无穷数列{}n a 满足：k N *∃∈，对于()00n n n N *∀≥∈，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“()0P k n d ，，”．（Ⅰ）若{}n a 具有性质“()320P ， ， ”，且246783518a a a a a ==++=，，，求3a ；（Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，133128b c b c ====，，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“()210P ， ， ”，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“P （i ，2，d 1）()12P i d ， ，”，又具有性质“()22P j d ， ，”，其中i j N *∈，，i j i j <，，互质，求证：{}n a 具有性质“12j i P j i i d i -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，， ”．2017年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B=（）A．（2，4）B．（2，4] C．[1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B={x|x≥1}=[1，+∞），故选：C2．（5分）下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y=﹣x3B．y=2|x|C．y=D．y=log3（﹣x）【解答】解：解：对于A，是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，不正确；对于B，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数，正确，对于C，非奇非偶函数，不正确；对于D，非奇非偶函数，不正确，故选B．3．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．4．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；故选C．5．（5分）已知向量=（，），=（，﹣1），则，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（，），=（，﹣1），∴=﹣=||•||•cosθ=1•2cosθ，求得cosθ=，∴θ=，故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2，四棱锥的4个侧面面积分别为：=；=；=；=．最大侧面面积为：．故选：C．7．（5分）S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S（A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：由题意得符合条件的非空集合A有：{3}，{1，2}，{1，5}，{2，4}，{4，5}，{1，2，3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共有11个．故选：B．8．（5分）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（4，﹣3）．【解答】解：复数==﹣3i+4对应的点的坐标为（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为0．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=6执行循环体，y=4，x=4不满足条件x≤1，执行循环体，y=2，x=2不满足条件x≤1，执行循环体，y=0，x=0满足条件x≤1，退出循环，输出x的值为0．故答案为：0．11．（5分）点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B的坐标是，，记∠AOB=α，则sin2α=﹣．【解答】解：由题意可得：sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故答案为：﹣．12．（5分）若x，y满足且z=x2+y2的最大值为10，则m=4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；则k＞1，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方由图象知，O到A的距离最大，∵z=x2+y2的最大值为10，由，解得A（m﹣1，1），则OA==即m2﹣2m+2=10，即m2﹣2m﹣8=0，解得m=4或m=﹣2（舍），故m=4，故答案为：4．13．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x；当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞1时，f（x+2）=f（x），则f（8）=2﹣ln2．【解答】解：∵当x＞1时，f（x+2）=f（x），∴当x＞1时，f（x）的周期为2．∴f（8）=f（2），∵当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2）=﹣f（﹣2），∵当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x，∴f（﹣2）=ln2﹣2，∴f（8）=f（2）=2﹣ln2，故答案为：2﹣ln2．14．（5分）已知O为△ABC的外心，且．①若∠C=90°，则λ+μ=；②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为．【解答】解：①若∠C=90°，则O是斜边AB的中点，如图①所示；∴=，∴λ=，μ=0，∴λ+μ=；②设△ABC的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，∵∠ABC=60°，∴AOC=120°，设A（1，0），C（﹣，），B（x，y），则=（1﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），∵，∴，解得，∵B在圆x2+y2=1上，∴（）2+（）2=（λ+μ﹣1）2，∴λμ=≤（）2，∴（λ+μ）2﹣（λ+μ）+≥0，解得λ+μ≤或λ+μ≥2，∵B只能在优弧上，∴λ+μ≤，即λ+μ得最大值为．故答案为：（1），（2）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在锐角△ABC中，2asinB=b．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求sinB﹣cos（C+）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）利用正弦定理化简b=2asinB，得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．（Ⅱ）∵=sin（﹣C）﹣cos（C+）=sin（C+）﹣cos（C+）=2sinC，又∵A=，△ABC为锐角三角形，可得：＜C＜，∴＜sinC＜1，∴=2sinC∈（，2）．16．（13分）某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i，i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）【解答】解：（I）由题意可得：5××30=3000（件）．因此产品A的月销售量约为3000（件）．（II）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率==．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为ξ，则ξ～B（3，）．P（ξ=k）=．随机变量X=2ξ的分布列为：EX==．（III）某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐B种新产品．17．（14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴CD=AB﹣2ADcos60°=1，即CD=AB．∵CD EF，CD AB，又BG=AB，∴EF BG，∴四边形EFBG是平行四边形，∴EG∥BF，又EG⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴EG∥平面BDF（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD==，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD．以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则A（1，0，0），E（0，0，1），B（0，，0），D（0，0，0），F（﹣，，1）∴=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（﹣，，1），设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1得=（2，0，1），∴cos＜，＞===﹣，设直线AE与平面BDF所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．（3）解：设H（﹣，，h），（0≤h≤1）当h=0时，显然平面BDF与平面HAD不垂直，则=（﹣，，h），=（1，0，0），设平面HAD的法向量为=（x，y，z），则，，∴，令y=得=（0，，﹣）．假设存在点H，使得平面BDF⊥平面HAD，则，∴=﹣=0，方程无解．∴线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD．18．（13分）已知函数f（x）=e x﹣alnx﹣a．（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间，上有极小值，且极小值大于0．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=e x﹣alnx﹣a，x＞0，由a=e，则f（x）=e x﹣e（lnx﹣1），求导f′（x）=e x﹣，由f（1）=0，f′（1）=0，∴y=f（x）在（1，f（1））处切线方程为y=0，（Ⅱ）由a∈（0，e），则导f′（x）=e x﹣，在（，1）上是单调递增函数，由f′（）=﹣e＜0，f′（1）=e﹣a＞0，则∃x0∈（，1）使得﹣=0，∴∀x∈（，x0），f′（x0）＜0，∀x∈（x0，1），f′（x0）＞0，故f（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴f（x）有极小值f（x0），由﹣=0，则f（x0）=﹣a（lnx0+1）=a（﹣lnx0﹣1），设g（x）=a（﹣lnx﹣1），x∈（，1），g′（x）=a（﹣﹣）=﹣，∴g（x）在（，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）=0，即f（x0）＞0，∴函数f（x）的极小值大于0．19．（14分）已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M，在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线P A，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），即c=1，点M，在椭圆E上，由椭圆的定义可得2a=+=+=4，即a=2，b=，则椭圆方程为+=1；（2）由P在x轴上，直线P A，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，可得k P A+k PB=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=0，即有x1y2+4y2+x2y1+4y1=0，由y1=kx1+1，y2=kx2+1，可得2kx1x2+（x1+x2）（4k+1）+8=0，①由直线y=kx+1代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，判别式△=64k2+32（3+4k2）＞0显然成立，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，代入①，可得2k•（﹣）+（﹣）（4k+1）+8=0，解得k=1．20．（13分）若无穷数列{a n}满足：∃k∈N*，对于∀ ，都有a n+k﹣a n=d（其中d为常数），则称{a n}具有性质“P（k，n0，d）”．（Ⅰ）若{a n}具有性质“P（3，2，0）”，且a2=3，a4=5，a6+a7+a8=18，求a3；（Ⅱ）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c3=2，b3=c1=8，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质“P（2，1，0）”，并说明理由；（Ⅲ）设{a n}既具有性质“P（i，2，d1）”，又具有性质“P（j，2，d2）”，其中i，j∈N*，i＜j，i，j互质，求证：{a n}具有性质“，，”．【解答】（Ⅰ）解：∵{a n}具有性质“P（3，2，0）”，∴a n+3﹣a n=0，n≥2．由a2=3，得a2=a5=a8=3．由a4=5，得a7=5．∵a6+a7+a8=18，∴a6=10．即a3=10；（Ⅱ）解：{a n}不具有性质“P（2，1，0）”．设等差数列{b n}的公差为d，由b1=2，b3=8，得2d=8﹣2=6，则d=3．∴b n=3n﹣1．设等比数列{c n}的公比为q，由c3=2，c1=8，得，又q＞0，∴q=，故．∴a n=b n+c n=3n﹣1+24﹣n．若{a n}具有性质“P（2，1，0）”，则a n+2﹣a n=0，n≥1．∵a2=9，a4=12，∴a2≠a4，故{a n}不具有性质“P（2，1，0）”．（Ⅲ）证明：∵{a n}具有性质“P（i，2，d1）”，∴a n+i﹣a n=d1，n≥2．①∵{a n}具有性质“P（j，2，d2）”，∴a n+j﹣a n=d2，n≥2．②∵i，j∈N*，i＜j，i，j互质，∴由①得a m+ji=a m+jd1，由②得a m+ij=a m+id2．∴a m+jd1=a m+id2，即．②﹣①得：，n≥2，∴，即{a n}具有性质“，，”．第21页（共21页）。

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合2{R |21},{R |20}A x x B x x x =∈-<<=∈-<，那么A B = （A ）(2,0)- （B ）(2,1)-（C ）(0,2) （D ）(0,1)2.极坐标方程ρ=2cos θ表示的圆的半径是（A ） 12（B ）14（C ）2 （D ）13. “0x >”是“2212x x +≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.已知向量13(,2a =，(3,1)b =-，c a b λ=+，则c a ⋅等于_________ . （A ）λ （B ）λ- （C ） 1 （D ）-15.如图，设不等式组11,01x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD内的曲线为抛物线2y x =的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于 （A ）23（B ）13（C ）12（D ）146.要得到2()log (2)g x x =的图象，只需将函数2()log f x x =的图象（A ）向上平移1个单位 （B ）向下平移1个单位 （C ）向左平移1个单位 （D ）向右平移1个单位 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论中一定成立的 （A ）若50a ，则20150a（B ）若50a ，则20150S（C ）若60a ，则2016a（D ）若60a ，则2016S8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD 为正方形，给出下列命题：① 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o ；② 四边形AECF 是正方形； ③ 点A 到平面BCE 的距离为1.其中正确的命题有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在复平面内，点A 对应的复数是2+i.若点A 关于实轴的对称点为点B ，则点B 对应的复数为___________.10. 执行右侧程序框图，输入n =4,A =4,x =2,输出结果A 等于______11.已知点(,4)P t 在抛物线24y x =上,抛物线的焦点为F ，那么|PF |=____________.12.已知等差数列{}n a 的公差不为零，且236a a a +=，则12345a a a a a +=++ ______.13. 安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A ，B 二人必须做同一项工作，C ，D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_________种.14.已知1,3x x ==是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数3'()02f <，则1()3f =________；三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1cos2a C c b+=.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，5b=,求c的值.16.（本小题共13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等.根据以上数据，回答下列问题.（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ,方差为21S ，如果表中n x ，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为22S ，试判断21S 与22S 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）.17.（本小题共14分）如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，∠B =90O , BE ∥CD ,且BE =2 CD =2BC =2，A 为BE 的中点.将△EDA 沿AD 折到△PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P-ABCD .图2图1（Ⅰ）求证AD ⊥PB ；（Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD .①求二面角B-PC-D 的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足(01)PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45O ，求λ的值.18.（本小题共13分）设函数()e (R)ax f x a =∈.（Ⅰ）当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值；（Ⅱ）若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围.19.（本小题共13分）已知椭圆C ：22143x y +=.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若椭圆C 与直线y x m =+交于M ，N 两点，且|，求m 的值；（Ⅲ）若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上，且点A 在第一象限，点P在第二象限，点B 与点A 关于原点对称，求证：当22124x x +=时，三角形△PAB 的面积为定值.20.（本小题共13分）对于数对序列11:(,)P a b ，22(,)a b ，，(,)n n a b ，(,R ,1,2,3,,)i i a b i n +∈=，记0()0(0)f y y =≥，10,1,2,3,,()max {()}(0,1)k k k k k k k x mf y b x f y a x y k n -==+-≥≤≤，其中m为不超过kya 的最大整数.(注：10,1,2,3,,max {()}k k k k k k x mb x f y a x -=+-表示当k x 取0,1,2,3，…,m时，1()k k k k k b x f y a x -+-中的最大数）已知数对序列:(2,3),(3,4),(3,)P p ，回答下列问题：（Ⅰ）写出1(7)f 的值；（Ⅱ）求2(7)f 的值，以及此时的12,x x 的值；（Ⅲ）求得3(11)f 的值时，得到1234,0,1x x x ===，试写出p 的取值范围.（只需写出结论,不用说明理由）.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（二）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 2-i 10. 49 11. 5 12. 1313. 12 14.12三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及1cos2a C c b+=得：1sin cos sin sin2A C C B+=，----------------------2分化简1sin cos sin sin()2A C C A C+=+----------------------4分解得：1cos2A=，----------------------6分因为0o<A<180o,所以60oA=. -----------------------7分（Ⅱ）由余弦定理得：221255c c=+-，即2540c c-+=.---------------------10分解得1c=和4c=，---------------------12分经检验1，4都是解，所以c的值是1和 4.---------------------13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种---—————-----—--3分设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ，则P （A ）=9395.——-——-----5分（Ⅱ）在该结案案件中任取一件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法.—8分设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B ，则P （B ）=1229.-----------10分 (注：讲评时应告诉学生这个概率低是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作，有时法律不能解决感情问题)（Ⅲ）21S >22S .--------------------------13分（可以简单直观解释，也可以具体：设4类案件的均值为X ，则34x xX x +==. 2222212342()()()()4x x x x x x x x S -+-+-+-=2222123()()()()4x x x x x x x x -+-+-+-=222123()()()4x x x x x x -+-+-=22221231()()()3x x x x x x S -+-+-<=）17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）在图1中，因为AB ∥CD ，AB =CD ，所以ABCD 为平行四边形，所以AD ∥BC ,因为∠B =90O ,所以AD ⊥BE ，当三角形EDA 沿AD 折起时，AD ⊥AB ，AD ⊥AE ，即：AD ⊥AB ，AD ⊥PA ，-----------------------3分又AB ∩PA =A .所以AD ⊥平面PAB ，-----------------------4分又因为PB 在平面PAB 上，所以AD ⊥PB .---------------------5分（Ⅱ）①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图. -------6分则A （0,0,0），B （1,0,0），C （1,1,0），P （0,0,1）.即(1,1,1)PC =-，(0,1,0)BC =，(1,0,0)DC =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,PC n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0,0x y z y +-=⎧⎨=⎩，取1z =，取1x =，所以(1,0,1)n =；同理求得平面PCD 的法向量(0,1,1)m =--.设二面角B-PC-D 为α，所以1cos 2||||n m n m α⋅-==⋅,所求二面角B-PC-D 为120o.②设AM 与面PBC 所成的角为ϕ.(0,0,1)(1,1,1)(,,1)AM AP PM λλλλ=+=+-=-，平面PBC 的法向量 1(1,0,1)n =,sin ϕ=1|cos ,|||2AM n <>==, 解得：20,3λλ==18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =-时，22()e x g x x -=，222'()e (22)=-2(1)e x x g x x x x x --=--—-2分x 与'()g x 、()g x 之间的关系如下表：函数在区间(0,)+∞内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点1x =，---4分最大值21(1)e g =. （Ⅱ）（1）当0a =时，2()1h x x =-，显然在区间(0,16)内没有两个零点，0a =不合题意.(2)当0a ≠时，2()1e ax x h x =-，222()(2)e '()e eaxax axax x x ax a h x ---==. ①当0a <且(0,16)x ∈时，'()0h x >，函数()h x 区间(0,)+∞上是增函数，所以函数()h x 区间(0,16)上不可能有两个零点，所以0a <不合题意；②当0a >时，在区间(0,)+∞上x 与'()h x 、()h x 之间的关系如下表：因为(0)1h=-，若函数()h x区间(0,16)上有两个零点，则2()0,216,(16)0haah⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪<⎪⎪⎩，所以22816410,1,8210ae aae⎧->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪-<⎪⎩，化简20,e1,8ln22aaa⎧<<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩.因为1ln214ln21ln1616 82e<⇔<⇔<⇔<，2ln24eln243eln2e2>⇔>⇔>>,所以1ln22 82e <<.综上所述，当ln222ea<<时，函数2()1()xh xf x=-在区间(0,16)内有两个零点.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为2,a b ==1c =，离心率12e =. ————————3分（Ⅱ）22,3412y x m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y的并化简得22784120x mx m ++-=.------4分2226428(412)16(213)0m m m ∆=--=->，—————----------5分设1122(,),(,)M x y N x y ，则||7MN ==，-------7分解得2m =±，且满足0∆>. —————————8分（Ⅲ）直线AB 的方程为11y y x x =，即110y x x y -=. 点22(,)P x y 到直线AB 的距离d =，||AB =分21211||||2PAB S AB d y x x y ∆===-， -----—10分因为12120,0,0,0x x y y ><>>，2222112233(4),(4)44y x y x =-=-，12y y ==--12分所以21212112||||||y x x y y x y x -=+-------------13分21|||)x x =2221)2x x =+，=.所以当22124x x +=时，三角形△PAB 的面积为定值. ---------------14分（Ⅲ）方法二：设直线AB 的方程为y kx =，即0kx y -=.220,3412kx y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2121234x k =+.1||2||AB x ==点22(,)P x y ）到直线AB 的距离d =，11221||||||||2PAB S AB d x x kx y ∆===-，-------------10分因为12120,0,0,0x x y y ><>>，则0k >.所以1x =，2x ==，212y x ===，----------------12分22kx y k -=⨯-=122||||PAB S x kx y ∆=-==.所以三角形△PAB 的面积为定值.---------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）1110,1,2,3(7)max {3}max{0,3,6,9}9x f x ====，当13x =时,1(7)9f =.-----4分（Ⅱ）222120,1,2(7)max{4(73)}x f x f x ==+-，111max{0(7),4(4),8(1)}f f f =+++当21x =时，1110,1,2(4)max{3}max{0,3,6}6x f x ====,当12x =时1(4)6f =.当22x =时，1110(1)max{2}0x f x ===,即当10x =时,1(1)0f =.2(7)max{9,46,80}10f =++=，即当21x =，12x =时2(7)10f =.-----10分（Ⅲ）答：4 4.5p <<. ----- -----13分。

2017-2018学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1，0，1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤1}2．（5分）“x＞1”是“2x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在极坐标系Ox中，方程ρ=sinθ表示的曲线是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4．（5分）若x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x的值在区间[﹣2，﹣1.5）内，那么输出的y属于（）A．[0，0.5）B．（0，0.5]C．（0.5，1]D．[0.5，1）6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A．2 B．C．2 D．37．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|=|OF|，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．8．（5分）全集U={（x，y）|x∈Z，y∈Z}，非空集合S⊆U，且S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线y=x均对称．下列命题：①若（1，3）∈S，则（﹣1，﹣3）∈S②若（0，4）∈S，则S中至少有8个元素；③若（0，0）∉S，则S中元素的个数一定为偶数；④若{（x，y）|x+y=4，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）||x|+|y|=4，x∈Z，y∈Z}⊆S其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）已知单位向量，的夹角为120°，则（）•=．10．（5分）若复数z=（1+i）（1+ai）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a=．11．（5分）在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是（用数字作答）．12．（5分）等差数列{a n}的公差为2，且a2，a4，a8成等比数列，那么a1=，数列{a n}的前9项和S9=．13．（5分）能够说明“方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是．14．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣kx（k∈R）①当k=1时，函数g（x）有个零点；②若函数g（x）有三个零点，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）在△ABC 中，sin2B=2sin2B（Ⅰ）求角B=6，求b的值．（Ⅱ）若a=4，S△ABC16．（12分）某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动．为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加．根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E （X）17．（14分）P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，PA=AD=2，CD=（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM⊥平面EFD\？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣a2lnx（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（Ⅰ）求C得方程；（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=|FB|．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（14分）在数列{a n}中，若a1，a2是整数，且a n=，（n∈N*，且n≥3）（Ⅰ）若a1=1，a2=2，写出a3，a4，a5的值；（Ⅱ）若在数列{a n}的前2018项中，奇数的个数为t，求t得最大值；（Ⅲ）若数列{a n}中，a1是奇数，a2=3a1，证明：对任意n∈N*，a n不是4的倍数．2017-2018学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1，0，1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤1}【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B={x|﹣1≤x≤1}．故选：C．2．（5分）“x＞1”是“2x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x＞1得x＞0，则“x＞1”是“2x＞1”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）在极坐标系Ox中，方程ρ=sinθ表示的曲线是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：方程ρ=sinθ转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣y=0，整理得：，所以：该曲线是以（0，）为圆心，为半径的圆．故选：B．4．（5分）若x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（0，﹣1）时，z最大，且最大值为z max=0﹣2×（﹣1）=2．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x的值在区间[﹣2，﹣1.5）内，那么输出的y属于（）A．[0，0.5）B．（0，0.5]C．（0.5，1]D．[0.5，1）【解答】解：模拟程序的运行，x∈[﹣2，﹣1.5）不满足条件x≥0，可得：x=x+1∈[﹣1，﹣0.5）不满足条件x≥0，可得：x=x+1∈[0，0.5），此时，满足条件x≥0，可得：y=x∈[0，0.5）．故选：A．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A．2 B．C．2 D．3【解答】解：由三棱锥的三视图可得几何体的直观图如下图所示：C是顶点P在底面上的射影，△ABC是等腰△，BC=2，中线AD=2，PC=2，∴AC=AB=，PB=2，PA=，故最长的棱为3，故选：D．7．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|=|OF|，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|=|OF|，可得∠AOF=60°，k OA=，即：，所以，可得e2=4，解得e=2故选：C．8．（5分）全集U={（x，y）|x∈Z，y∈Z}，非空集合S⊆U，且S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线y=x均对称．下列命题：①若（1，3）∈S，则（﹣1，﹣3）∈S②若（0，4）∈S，则S中至少有8个元素；③若（0，0）∉S，则S中元素的个数一定为偶数；④若{（x，y）|x+y=4，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）||x|+|y|=4，x∈Z，y∈Z}其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若（1，3）∈S，则关于y轴对称的点（﹣1，3）∈S，关于x轴对称的点（﹣1，﹣3）∈S，故正确；②若（0，4）∈S，则S中至少有4个元素，故错误；③若（0，0）∉S，则S中元素的个数一定为成对出现，故为偶数，故正确；④||x|+|y|=4，显然图象关于x轴，y轴，和y=x对称，∴若{（x，y）|x+y=4，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）||x|+|y|=4，x∈Z，y∈Z}⊆S，故正确．故选：C．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）已知单位向量，的夹角为120°，则（）•=．【解答】解：单位向量，的夹角为120°，则（）•=+=1+1×=．故答案为：．10．（5分）若复数z=（1+i）（1+ai）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a= 1．【解答】解：z=（1+i）（1+ai）=1﹣a+（1+a）i，对应点的坐标为（1﹣a，1+a），∵在复平面内所对应的点在虚轴上，∴1﹣a=0，得a=1，故答案为：111．（5分）在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是﹣40（用数字作答）．【解答】解：在（2﹣x）5的展开式中，通项公式为T r+1=•25﹣r•（﹣x）r，令r=3，得展开式中x3项的系数是（﹣1）3••25﹣3=﹣40．故答案为：﹣40．12．（5分）等差数列{a n}的公差为2，且a2，a4，a8成等比数列，那么a1=2，数列{a n}的前9项和S9=90．【解答】解：等差数列{a n}的公差d为2，且a2，a4，a8成等比数列，可得a42=a2a8，即为（a1+6）2=（a1+2）（a1+14），解得a1=2，S9=9a1+×2=18+72=90．故答案为：2，90．13．（5分）能够说明“方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是（﹣∞，1]∪{2}∪[3，+∞）．【解答】解：由（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）所表示的曲线是椭圆，可知（m﹣1）（3﹣m）≠0，得+=1．∴，解得1＜m＜3且m≠2．∴曲线表示圆时m的取值范围是（1，2）∪（2，3）；∴“方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是m∈（﹣∞，1]∪{2}∪[3，+∞）中任取一值即为正确答案．故答案为：（﹣∞，1]∪{2}∪[3，+∞）．14．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣kx（k∈R）①当k=1时，函数g（x）有1个零点；②若函数g（x）有三个零点，则k的取值范围是（0，] ．【解答】解：①当k=1时，g（x）=0，即f（x）=x，由0＜x＜π，xsinx=x，即为sinx=1，解得x=；x≥π，=x，解得x=0或1舍去，则g（x）的零点个数为1；②若函数g（x）有三个零点，当x≥π，=kx，（k＞0），最多一解，即有x=≥π，解得0＜k≤；又0＜x＜π时，xsinx=kx，即为sinx=k有两解，则k＞0且k≠1．综上可得0＜k≤．故答案为：1，（0，]．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）在△ABC中，sin2B=2sin2B（Ⅰ）求角B（Ⅱ）若a=4，S=6，求b的值．△ABC【解答】解：（Ⅰ）因为sin2B=2sin2B，所以2sinBcosB=2sin2B．因为0＜B＜π，所以sinB≠0，所以tanB=，所以B=．（Ⅱ）由a=4，B=，S△ABC=6=acsinB，可得：=6，解得c=6．由余弦定理可得b2=42+62﹣2×=28，解得b=2．16．（12分）某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动．为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加．根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）【解答】解：（Ⅰ）依题意，所以b=3．因为a=100﹣（12+20+15+30+10+3）=10，所以a=10，b=3．（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件A，则P（A）==．所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为．（Ⅲ）X可取0，10，20，30，40．P（X=0）=，P（X=10）==0.2，P（X=20）==0.5，P（X=30）==0.12，P（X=40）=．所以随机变量X的分布列为：所以E（X）=0×0.03+10×0.2+20×0.5+30×0.12+40×0.15=21.6．17．（14分）P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，PA=AD=2，CD=（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM⊥平面EFD\？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点G，连接AG，FG．因为F，G分别是PC，PD的中点，所以FG∥CD，且FG=CG．因为ABCD是矩形，E是AB中点，所以AE∥FG，AE=FG．所以AEFG为平行四边形．所以EF∥AG．又因为AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD．因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD．如图建立直角坐标系A﹣xyz，所以E（，0，0），F（，1，1），D（0，2，0），所以=（0，1，1），=（，﹣2，0）．设平面EFD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（2，1，﹣1）．又因为=（），设PC与平面EFD所成角为θ，所以sinθ=|cos＜＞|==．所以PC与平面EFD所成角的正弦值为．（Ⅲ）因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以只要在BC上找到一点M，使得DE⊥AM，即可证明平面PAM⊥平面EFD．设BC上存在一点M，则M（），（t∈[0，2]），所以=（）．因为=（﹣，2，0），所以令=﹣1+2t=0，解得t=．所以在BC存在一点M，使得平面PAM⊥平面EFD，且=．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣a2lnx（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）==．由f′（x）=0，可得x=a或x=﹣，当a=0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间是（0，+∞），没有单调递减区间；当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a，函数f（x）单调递增，由f′（x＜0，解得0＜x＜a，函数f（x）单调递减，∴f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＞﹣，函数f（x）单调递增，由f′（x＜0，解得0＜x＜﹣，函数f（x）单调递减，∴f（x）的单调递减区间是（0，﹣），单调递增区间是（，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=0时，f（x）=x2＞0，符合题意．当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．∴f（x）≥0恒成立等价于f（x）min≥0，即f（a）≥0，∴a2﹣a2﹣a2lna＞0，∴0＜a≤1．当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣），单调递增区间是（﹣，+∞）．∴f（x）≥0恒成立等价于f（x）min≥0，即f（﹣）≥0，∴a2+a2﹣a2ln（﹣）＞0，∴﹣2e≤a＜0，综上所述，实数a的取值范围是[﹣2e，1]．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．（Ⅰ）求C得方程；（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=|FB|．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x=﹣1的距离相等，∴动点P的轨迹是以点F（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线．设C的方程为y2=2px，则，即p=2．∴C的轨迹方程为y2=4x；（Ⅱ）设A（），则B（，0），∴直线AB的斜率为k=．设与AB平行，且与抛物线C相切的直线为y=﹣，由，得my2+8y﹣8b=0，由△=64﹣32mb=0，得b=﹣，∴y=﹣，则点D（）．当，即m≠±2时，直线AD的方程为：，整理得，∴直线AD过点（1，0）．当，即m=±2时，直线AD的方程为x=1，过点（1，0），综上所述，直线AD过定点（1，0）．20．（14分）在数列{a n}中，若a1，a2是整数，且a n=，（n∈N*，且n≥3）（Ⅰ）若a1=1，a2=2，写出a3，a4，a5的值；（Ⅱ）若在数列{a n}的前2018项中，奇数的个数为t，求t得最大值；（Ⅲ）若数列{a n}中，a1是奇数，a2=3a1，证明：对任意n∈N*，a n不是4的倍数．【解答】解：（Ⅰ）a3=5a2﹣3a1=10﹣3=7，a4=5a3﹣3a2=5×7﹣3×2=29，a5=a4﹣a3=29﹣7=22．所以a3=7，a4=29，a5=22．（Ⅱ）（i）当a1，a2都是偶数时，a1•a2是偶数，代入5a n﹣1﹣3a n﹣2得到a3是偶数；因为a2•a3是偶数，代入5a n﹣1﹣3a n﹣2得到a4是偶数；如此下去，可得到数列{a n}中项的奇偶情况是偶，偶，偶，偶，…所以前2018项中共有0个奇数．（ii）当a1，a2都是奇数时，a1•a2是奇数，代入a n﹣1﹣a n﹣2得到a3是偶数；因为a2•a3是偶数，代入5a n﹣1﹣3a n﹣2得到a4是奇数；因为a3•a4是偶数，代入5a n﹣1﹣3a n﹣2得到a5是奇数；如此下去，可得到数列{a n}中项的奇偶情况是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…所以前2018项中共有1346个奇数．（iii）当a1是奇数，a2是偶数时，理由同（ii），可得数列{a n}中项的奇偶情况是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数．（iv）当a1是偶数，a2是奇数时，理由同（ii），可得数列{a n}中项的奇偶情况是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…所以前2018项中共有1345个奇数．综上所述，前2018项中奇数的个数t的最大值是1346．（Ⅲ）证明：因为a1是奇数，所以由（Ⅱ）知，a n不可能都是偶数，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三种情况．因为a1是奇数，且a2=3a1，所以a2也是奇数．所以a3=a2﹣a1=2a1为偶数，且不是4的倍数．因为a4=5a3﹣3a2=a1，所以前4项没有4的倍数，假设存在最小正整数t（t＞3），使得a t是4的倍数，则a t﹣1，a t﹣2均为奇数，所以a t﹣3一定是偶数，由于a t﹣1=5a t﹣2﹣3a t﹣3，且a t=a t﹣1﹣a t﹣2，将这两个式子作和，可得3a t﹣3=4a t﹣2﹣a t．因为a t是4的倍数，所以a t﹣3也是4的倍数，与t是最小正整数使得a t是4的倍数矛盾．所以假设不成立，即对任意n∈N*，a n不是4的倍数．。

丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么AB 等于（A ）{2101}，，，--（B ）{210}，，--（C ）{21}，--（D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++的值为 （A ）1（B ）-1（C（D）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=，则|A B |等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是DCBA____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B = （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C， 求四棱锥PABCD 的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．CBPGF DE QA（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π；．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ， 因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，ADBC .因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD . 又因为EC ‖AD 且12EC AD ， 所以GH ‖EC ，GHEC ，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC . 又因为EG平面PDCQ ，HC平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ平面ABCDCD ，PDDC ，PD 平面PDCQ ，所以PD 平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PDa ，则 00002201P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，10 PF ,,a 120 FB ,,,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角PBF C， 所以得cos <,>||||⋅==m nm n m n (11)分解得a =2,所以2PD ． ……………….13分因为PD 是四棱锥PABCD 的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=． ……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分 来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--，24(2,)FT y =--，则12164FS FT y y ⋅=+． ……………….9分 由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-440=-=． 所以，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.aa 显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾； 所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.……………………10分 （Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）欢迎您的下载，资料仅供参考！。

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2017. 03（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 如果集合21A x x Z，101B ,,，那么AB =（A ）2101,,,（B ）101,,（C ）01,（D ）10,2.已知,a b R ，则“0b ”是“复数abi i 是纯虚数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 定积分311(2)d xx x=（A ）10ln 3（B ）8ln 3（C ）223（D ）6494. 设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且1=2AE AB ，2=3BF BC ，如果=+EF mAB nAC uu u r uu u r uuu r（m n ，为实数），那么mn 的值为（A ）12（B ）0 （C ）12（D ）15. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为64，则判断框内可填入的条件是（A ）3?k（B ）3?k （C ）4?k （D ）4?k k=0,S=1开始结束是否k=k +1 输出S S=S ×2k第5题第6题6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）56（B ）23（C ）12（D ）137.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（A ）60 （B ）72（C ）84（D ）968.一次猜奖游戏中，1,2,3,4四扇门里摆放了,,a b c d ,四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c . 如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（A ）a（B ）b（C ）c（D ）d第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.抛物线22yx 的准线方程是．10. 已知n a 为等差数列，n S 为其前n 项和. 若22a ，99S ，则8a ．11.在△ABC 中，若2bac ，3B，则A =．12.若x y ,满足20701,,xy xy x,则y x的取值范围是．13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线14C x y：，曲线21cos ,sinx C y：（为参数），过原点O 的直线l 分别交1C ，2C 于A ，B 两点，则OAOB 的最大值为．14. 已知函数()ee xxf x ，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）①()f x 是奇函数；②()f x 在R 上是单调递增函数；③方程2()2f x xx 有且仅有1个实数根；④如果对任意(0)x，，都有()f x kx ，那么k 的最大值为 2.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数()sin()f x A x (0)的图象如图所示.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()cos(2)6g x f x x，求()g x 在[0]2,上的单调递减区间.16.（本小题共14分）如图1，平面五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，90BAD，=2AB ，=1CD ，△AD E是边长为2的正三角形. 现将△ADE 沿AD 折起，得到四棱锥EABCD (如图2)，且DEAB .（Ⅰ）求证：平面ADE平面ABCD ；（Ⅱ）求平面BCE 和平面ADE 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE 上是否存在点F ，使得DF ∥平面BCE ？若存在，求EF EA的值；若不存在，请说明理由.17.（本小题共13分）某公司购买了A ，B ，C 三种不同品牌的电动智能送风口罩.为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：A 4 4 4.5 5 5.5 6 6B 4.5 5 6 6.5 6.5 7 7 7.5 C555.566777.588（Ⅰ）已知该公司购买的C 品牌电动智能送风口罩比B 品牌多200台，求该公司购买的B 品牌电动智能送风口罩的数量；（Ⅱ）从A 品牌和B 品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A 品牌待机时长高于B 品牌的概率；（Ⅲ）再从A ，B ，C 三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a ，b ，c （单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1，表格中数据的平均数记为.若01，写出a+b+c 的最小值（结论不要求证明）.18.（本小题共13分）已知函数1()ln()(0)f x kx k kx.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意12[]x k k，，都有ln()1x kx kxmx ，求m 的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆C ：222210x y a bab的离心率为22，右焦点为F ，点01，B 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，交直线2x于点P ，设=P M MF u u u r u u u r，=PN NF u u u r u u u r，求证：为定值．20.（本小题共13分）对于*N n，若数列n x 满足11nn x x ，则称这个数列为“K 数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m 2是“K 数列”，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为-1的等差数列n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 满足2*1(N )2nS nn n ？若存在，求出n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列n a 是“K 数列”，数列12n a 不是“K 数列”，若11nna b n ，试判断数列n b 是否为“K 数列”，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2016~2017学年度第二学期一模练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．03一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBBCAACA二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．12x10．011．312．9,6513．21414．①②④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（1）由图象可知2A，设函数()f x 的周期为T ，则ππ3()424T ，求得πT，从而=2，所以()2sin 2f x x5分（2）因为π()2sin2cos(2+)6g x x x =23sin2cos2sin 2x x x=311sin 4cos4222xx =π1sin(4)62x，所以ππ3π+2π42π262k xk ，即ππππ+12232k k x ，kZ令0k，得ππ123x，所以()g x 在π[0,]2上的单调递减区间为ππ[,]123. .………………13分16.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得，.因为，所以平面.又平面，所以平面平面..………………4分（Ⅱ）设的中点为，连接.因为△ADE 是正三角形，所以，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由已知，得，，.所以，.设平面的法向量. 则所以令，则，所以.又平面的一个法向量(0,1,0)n ，所以.所以平面和平面所成的锐二面角大小为. ………………10分（Ⅲ）在棱上存在点，使得∥平面，此时.理由如下：设的中点为，连接，，则∥，.ABAD AB DE ADDED ABADE AB ABCD ADEABCD AD O EO EAED EOAD ADE ABCD ADE ABCD AD EOADE EOABCD O OA x ABCD OAD y OE z Oxyz (0,0,3)E (1,2,0)B (1,1,0)C (1,1,3)CE(2,1,0)CBBCE (,,)=x y z m 0,0.CE CB m m 30,20.x y z xy 1x 2, 3yz (1,2,3)=m ADE 2cos ,2m n m nm nBCE ADE 4AE F DF BCE 12EF EABE G CG FG FG AB 12FGAB GBDCEA yxO z F因为∥，且12CD AB ，所以∥,且，所以四边形是平行四边形，所以∥. 因为平面，且平面，所以∥平面. .………………14分17．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设该公司购买的B 品牌电动智能送风口罩的数量为x 台，则购买的C 品牌电动智能送风口罩为54x 台，由题意得52004xx，所以800x.答：该公司购买的B 品牌电动智能送风口罩的数量为800台..………………5分（Ⅱ）设A 品牌待机时长高于B 品牌的概率为P ，则71788P.答：在A 品牌和B 品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A 品牌待机时长高于B 品牌的概率为18...………………10分（Ⅲ）18 .………………13分18．（本小题共13分）解：由已知得，()f x 的定义域为(0,).（Ⅰ）21()x f x x，.令()0f x ，得1x ，令()0f x ，得01x.所以函数()f x 的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1,)...………………5分（Ⅱ）由ln()1x kx kx mx ，得1ln()kx km x，即()max mf x .由（Ⅰ）知，（1）当2k 时，()f x 在12[,]k k 上单调递减，所以1()()0maxf x f k，所以0m；.（2）当01k时，()f x 在12[,]k k 上单调递增，所以2()()ln22maxk f x f k，所以ln 22k m；AB CD FG CD FGCD CDFG DF CG CGBCE DFBCE DF BCE（3）当12k时，()f x 在1[,1)k上单调递减，在2(1,]k上单调递增，所以12()(),()max f x max f f k k .又1()0f k，2()ln22k f k ,①若21()()f f kk ，即ln 202k ，所以12ln 2k，此时2()()ln22maxk f x f k，所以ln 22k m .②若21()()f f kk，即ln 202k ，所以2ln 22k，此时max()0f x ，所以0m综上所述，当2ln 2k时，0m ；当02ln 2k时，ln 22k m...………………13分19.（本小题共14分）（Ⅰ）解：因为点(01)B ,在椭圆C ：22221xy ab上，所以211b，即1b .又因为椭圆C 的离心率为22，所以22c a，由222abc ，得2a.所以椭圆C 的方程为2212x y....………………5分（Ⅱ）证明：由已知得,直线的斜率存在.设直线MN 的方程为(1)y k x ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(2,)P k . 由PM MF ，PNNF ,得121222,11x x x x ，所以121212121212223()2411()1x x x x x x x x x x x x ，.联立221,2(1),yk x xy得2222(12)4220k xk xk.所以2122412kx x k ，21222212kx x k .因为221212224223()243241212kkx x x x kk222212444812kk kk0，所以0为定值．...………………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得(1)11m ，①(1,0)F MN2(1)1mm ，②解①得1m ；解②得1m 或2m．所以2m，故实数m 的取值范围是2m．..………………4分（Ⅱ）假设存在等差数列符合要求，设公差为d ，则1d，由11a ，得(1)2nn n S n d ，.由题意，得2(1)122n n n dnn 对nN 均成立，即(1)n d n ．①当1n 时，d R ; ②当1n 时，1nd n ，因为1=1+111n nn ，所以1d ，与1d 矛盾，故这样的等差数列{}n a 不存在．..………………8分（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为q ，则11n na a q ，因为{}n a 的每一项均为正整数，且1(1)10nnn nn a a a qa a q ，所以10a ，且1q . 因为111()nnnn nn a a q a a a a ，所以在1{}nn a a 中，“21a a ”为最小项．同理，在111{}22nn a a 中，“211122a a ”为最小项．由{}n a 为“K 数列”，只需211a a ，即1(1)1a q ，又因为1{}2n a 不是“K 数列”，且“211122a a ”为最小项，所以2111122a a ，即1(1)2a q ，由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得1(1)2a q，所以11,3a q 或12,2a q.①当11,3a q时，13n na ，则31nnb n ，令*1()n nn c b b n N ，则13321321(1)(2)n nnnn c nn nn ，又1232133(2)(3)(1)(2)n nnn n n n n 2348602(1)(3)nn nn nn，所以{}n c 为递增数列，即121nnnc c c c ，{}n a所以111221n n nnnnb b b b b b b b ．因为21333122b b ，所以对任意的*nN ，都有11n n b b ，即数列{}n c 为“K 数列”．②当12,2a q时，2nna ，则121n nb n ．因为21213b b ，所以数列{}n b 不是“K 数列”．综上：当13n na 时，数列{}nb 为“K 数列”，当2nna 时，数列{}nb 不是“K 数列”．..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，--（B ）{210}，，--（C ）{21}，--（D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B ）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726． 如果函数()s i n 3c o s f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)f f ff ++++L 的值为（A ）1（B ）-1（C （D ）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最DCBA．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD sin B =（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.Q求四棱锥P ABCD -的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2p x =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 (2)分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分 因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =，PD DC ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分()10PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r =, 则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅==m nm n m n……………….11分解得a =2,所以2PD =．……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. (3)分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===．……………12分所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. (4)分因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． (6)分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， (8)分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分②若1l n 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln)x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． (9)分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， (11)分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅uu r uu u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分（Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 (13)分（若用其他方法解题，请酌情给分）。