课时10：函数的表示方法

人教版数学八年级下册19.1.2《函数的表示方法》（第2课时）教案一. 教材分析《函数的表示方法》是中学数学中重要的概念之一，对于八年级的学生来说，这是一个新的知识领域。

本节课的内容包括函数的定义、函数的表示方法以及函数的性质。

通过本节课的学习，学生可以掌握函数的基本概念，了解函数的表示方法，并能够运用函数的性质解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些基本的数学概念和运算规则有了初步的了解。

但是，学生在学习新的知识时，往往还存在一定的困难，需要教师的耐心引导和讲解。

此外，学生对于实际问题的解决能力还有待提高，需要通过大量的练习来加强。

三. 教学目标1.了解函数的定义和表示方法。

2.掌握函数的性质，并能够运用函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.函数的定义和表示方法。

2.函数的性质的理解和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索，从而掌握函数的基本概念和性质。

同时，通过案例分析和小组合作，培养学生的实际问题解决能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学PPT，包括函数的定义、表示方法和性质等内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考函数的定义和表示方法。

例如，什么是函数？函数如何表示？2.呈现（15分钟）通过PPT展示函数的定义和表示方法。

详细解释函数的定义，以及如何用图像、表格和解析式来表示函数。

3.操练（15分钟）让学生通过练习题来巩固函数的定义和表示方法。

可以选择一些简单的练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题来巩固函数的性质。

例如，给定一个函数的图像，让学生判断函数的性质。

5.拓展（10分钟）让学生通过小组合作，解决一些复杂的实际问题。

例如，给定一个实际问题，让学生运用函数的性质来解决。

教学内容知识梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示． 区间表示：区间表示：{x|a≤x≤b}=[a ，b]；； ；. 知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a). 2.函数：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意：注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 原象集合例题讲解类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)】判断下列命题的真假真假【变式1】判断下列命题的(1)y=x-1与是同一函数；是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；是同一函数；(3)是同一函数；是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义域(用区间表示). 求下列函数的定义(1)；(2)；(3). 】求下列函数的定义域：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3). 3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；域；(2)求f(-3)，的值；的值；f(a-1)的值. (3)(3)当a＞0时，求f(a)×f(a)×f(a-1)【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4；. 类型二、映射与函数5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象； (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ； (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；(3)A=R ，B=R ，(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素是从集合的象，B中元素的原象. 的映射，其中【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？的原象分别为什么？y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x么？么？类型三、函数的表示方法7. 求函数的求函数的解析式解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 8.作出下列函数的作出下列函数的图象图象. (1)；(2)；类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值. 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约解析式，并画出个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数函数的图象. 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，之间的函数关系式？Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？元，应选择哪种通讯方式？话费200元，应选择哪种通讯方式？若某人预计一个月内使用话费Ⅲ. 若某人预计一个月内使用一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵．⑴、⑵ B．⑵、⑶．⑶、⑸．⑷ D．⑶、⑸．⑵、⑶ C．⑷2．函数y=的定义域是() 0≤x≤1 1 D．{-1，1} x≤-1-1或x≥1 C．0≤x≤A．-1≤x≤1B．x≤3．函数的值域是( ) A．(-(-∞∞，)∪(，+∞)B．(-(-∞∞，)∪(，+∞)C．R D．(-(-∞∞，)∪(，+∞) 4．下列从．下列从集合的对应中：集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x 2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从其中，不是从集合集合A 到集合B 的映射的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知映射f:A→B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A ． A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象中元素可以有两个原象 C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象中的任何元素有且只能有唯一的象 D ． A 与B 必须是非空的必须是非空的数集数集 6．点(x ，y)在映射f 下的象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在f 下的原象( ) A ．(，1)B ．(1，3) C ．(2，6)D ．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各，下列各表达式表达式中不表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．y=B ．y=C ．y=x D ．y=x 28．下列．下列图象图象能够成为某个函数图象的是( ) 9．函数的图象与的图象与直线直线的公共点数目是( ) A ．B ．C ．或D ．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ．C ．D ． 11．已知，若，则的值是( ) A ．B ．或C ．，或D ．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) 的图象适当平移A．沿轴向右平移个单位个单位 B．沿轴向右平移个单位个单位C．沿轴向左平移个单位个单位个单位 D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．上的值域4．若最大值为，则这个二次函数的表，且函数的最大值．若二次函数二次函数的图象与x轴交于，且函数的达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．的定义域．2．求函数的值域．的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：．根据下列条件，求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x 2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知； (5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业一．选择题一．选择题1．下列四种说法正确的一个是．下列四种说法正确的一个是（ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的．函数的值域也就是其定义中的数集数集B C ．函数是一种特殊的映射．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于等于 （ ） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+´-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为的定义域为（ ） A ．]1,(-¥ B ．]2,(-¥C ．]1,21()21,(-Ç--¥D ． ]1,21()21,(-È--¥ 5．设ïîïíì<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f p ，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+pB ．0 C ．pD ．1- 6．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．xx +-11 D ．12+x x 7．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为的定义域为（ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-8．设îíì<+³-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题9．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 10．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个”的运算对于任意三个实数实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 11．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成可构成 个不同的映射. 12．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >ïïîïïíì<³-=若则实数a 的取值范围是的取值范围是 。

函数的表示法内容分析函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习函数的应用提供依据．知识结构模块一：解析法知识精讲1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．例题解析【例1】填空：（1）正方形的边长x和面积y之间的函数解析式是__________；（2）长方形的周长为10厘米，长是x（厘米），宽是y（厘米），则y关于x的函数解析式是___________．【例2】已知矩形的面积是24平方厘米，其长为y（厘米），宽为x（厘米），则y与x之间的函数关系的图像大致在___________象限，y随x的增大而_________．【例3】某高速公路全长200公里，汽车以80公里每小时的速度行驶，开了x小时后，剩下的路程y（公里）关于行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为____________．【例4】某人将2万元现金存入银行，存款的年利率为1.5%，存入x年，则到期后取出的本利和y关于期数x的函数解析式为___________．【例5】若点P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数解析式为_______________．【例6】从A市向B市打长途电话，收费的方式如下：0~3分钟收费2.4元，3分钟以后每加1分钟加收1元．（1）求当时间t≥3分钟时（t是整数），电话费y（元）和时间t（分钟）之间的函数关系式；（2） 若某次通话总费用为9.4元，求通话的时间．【例7】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90°得到直线l ，直线l与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A (a ，3)，试确定反比例函数的解析式．【例8】 将长为38厘米，宽为5厘米的长方形白纸，按如图所示的方式粘合在一起，粘合部分白纸为2厘米 （1）求10张白纸粘合后的长度？（2）设x （张）白纸粘合后的总长为y （厘米），写出y 和x 的函数关系式．【例9】 某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P (万平方米)与市场新房均价x (千元/平方米)之间存在函数关系P =25x ；年新房销售面积Q (万平方米)与市场新房均价x (千元/平方米)之间的函数关系为12010Q x=-．（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上,如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?2厘米38厘米5厘米【例10】 小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，销售收入是50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共销售收入70元，已知在降价前销售收入y （元）与销售重量x （千克）之间成正比例关系．请你根据以上的信息解答下列问题： （1） 求降价前销售收入y （元）与售出草莓重量x （千克）之间的函数关系式； （2） 小强共批发购进多少千克的草莓；（3） 小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强共捐款多少元? 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例11】如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点()T m n ，表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M 点开始传递，到离北京路1000米的N 点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O （北京路与奥运路的十字路口），OATB 为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）； （2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；（3）设t = m n ，用含t 的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】（火炬） y MxNAT BO 奥林匹克广场 北京 路 鲜花 方阵（指挥部）奥运路【例12】如图所示：长方形ABCD 中，AB = 5，AD = 3，点P 从A 点出发，沿长方形ABCD 的边逆时针运动，再次回到A 点时停止运动，设点P 运动的距离是x ，△APC 的面积是y ，求y 和x 的函数关系式及定义域．A B CDPABCDP ABCD备用图1C D1、 列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．【例13】函数2y ax 的部分对应值如下表：x … -1 0 1 2 … y…22b…根据表格回答问题:（1） 函数的解析式为__________，定义域为__________，b =____________； （2） 请再举一些对应值，猜想该函数的图像关于_________对称．【例14】某商店有铅笔出售，铅笔的总售价与所售铅笔的数量之间的数量关系如下表:所售铅笔的数量x (支) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 售价y (元)0.511.522.533.54（1）上表反映的变量是_____和____，_______是自变量， _____随_____的变化而变化，_____是______的函数；（2）若出售10支铅笔，售价应为_____元；（3）根据你的预测，付款20元，可买_________支铅笔；（4）请写出售价y 与所售铅笔数量x 的函数关系式________________．【例15】如果函数y=ax+b 的部分对应值如下表：x -2 -1 0 1 2 3 y642-2-4根据表格回答：模块二：列表法知识精讲例题解析2=n 4=n 6=n （1）求方程ax+b =0的解?（2）不等式ax+b <0的解集又是多少?【例16】在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：观察图形，填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 ...... n （奇数）黑色小正方形个数正方形边长 2 4 6 8 ...... n （偶数）黑色小正方形个数【例17】某市全面推行农村合作医疗，农民每年每人只拿出10元就可以享受合作医疗：住院费（元） 报销费（%） 不超过3000元部分 15 3000~4000 25 4000~5000 30 5000~10000 35 100000~2000040设报销的费用是y元（1）求住院费不超过3000元时，报销费y与住院费x元之间的关系；（2）求住院费不超过4000时，报销费y与住院费x之间的关系；（3）某人住院费报销了805元，求花费的总费用．模块三：图像法知识精讲1、图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．2、三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．例题解析【例18】一辆客车从上海出发开往北京，设客车发t小时后与北京的距离为S千米，下列图像能大致反应S和t的函数关系的是（）A B C D【答案】【解析】【例19】图中是某水池有水Q(万吨)与排水时间t小时的函数图像．试根据图像，回答Ot （小时）Q （万吨）87654321400300200100下列问题：（1） 水池内有水________万吨； （2） 向水池内注水_____小时；每小时注水_________万吨；（3） ______小时把水排完，每小时排水____万吨．【例20】已知，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上运动，连结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图像是（）．A B C D【例21】 如图是一位同学骑自行车出行时，所行路程S （km ）和时间t （min ）的函数关系图像，从中得到正确的信息是（）A ．整个行程的平均速度是7/60km hB ．前20分钟的速度比后半个小时的速度慢512yx0453 512yx0453 512yx0453 512yx045310 20 3040 506070t (小时)13 S （千米） 5 7C ．前20分钟的速度比后半个小时的速度快D ．从起点到达终点，该同学共用了50分钟【例22】折线表示一辆电瓶车的行程图，骑车者7:30离开家，14时回到家，根据图像中提供的有关信息，解答下列问题：（1） 离家最远的地方离家____________千米； （2） 在目的地游玩并午餐用了____________分钟； （3） 回家所用的时间是___________； （4） 回家的平均速度____________． 【答案】【解析】【例23】小华、爸爸、爷爷同时从家中出发，到达同一目的地后立即返回，小华去时骑自行车，返回时步行，爷爷去时步行，返回时骑自行车，爸爸往返都步行，三人步行速度不等，小华与爷爷骑车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系可用下面三个图象分别表示，根据图象回答下列问题： 89 101424 6 10 x （小时）y （千米）13.2 t/min S/m 0 2026 t/minS/m t/minS/m 0 024 6 21 12 1200120012006543121x （小时）x （小时）y （万立方米）y （万立方米）y （万立方米）x （小时）10（1）说说三个图象中对应小华、爸爸、爷爷的分别是哪个? （2）小华家距离目的地多远?（3）小华和爷爷骑车的速度是多少?三人的步行速度分别是多少? 【答案】【解析】【例24】某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图(甲)所示，出水口出水量与时间的关系如图(乙)所示．已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示，根据图像说明：（1）进水口单位时间内进水量是多少?出水口单位时间内出水量是多少? （2）求0点到3点这段时间水池内水量y 与时间x 的函数解析式及定义域； （3）试说明3到4点和4点到6点这个时间段内进出水口的开放情况． 【答案】【解析】【例25】小刚从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A ，再走上坡路到达B ，最后走下坡路到达单位，所用的时间和路程的关系如图所示，下班后，如果他按照原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和上班的时候一致，求他从单位到家的时间．12 34812路程（千米） 家单位时间（分）1y2y【例26】函数124(0)(0)y x x y x x=≥=>，的图像如图所示，则结论：①两函数图像的交点A 的坐标为（2，2）；②当112x y y >>时，；③当13x BC ==时，；④当x 逐渐增大时，1y 随着x 的增大而增大，2y 随着x 的增大而减小 ．其中正确的结论的序号是______________________． 【答案】【解析】【例27】在四边形ABCD 中，动点P 从A 开始沿A -B -C -D 的路径匀速运动到D 为止，在这个过程中，设△APD 的面积是S ，运动的时间为t ，则S 关于t 的函数图像为 （）．A x =1BCxyPA B C D DAyxxy y yx【例28】 如图，表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9点钟离开家，15点回到家，请根据图像回答下列的问题：（1）（2） 她何时开始第一次休息?（3） 第一次休息时，离家多远? （4） 11：00~12:00她骑了多远?（5） 她在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度是多少?（6） 她在何时至何时停止休息用午餐? （7） 她在停止前进后返回，骑了多少千米? （8） 返回时的平均速度是多少?【例29】在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图1）按一定方向运动.图2是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图3是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分． （1）s 与t 之间的函数关系式是______________；（2）与图③相对应的P 点的运动路径是___________；P 点出发______秒首次到达点B ； （3）补全图3中函数图象．O1 2xt （秒）【习题1】 与函数3y x =-的图像关于x 轴对称的图像的函数解析式为________________．【习题2】 某水库在汛期当水库内贮满水时，泄洪闸会自动打开，到水库内剩下一半水量时停止排水，当水库再次注满水后，又一次自动将水量排剩一半，假设水库的进水量和排水量都是匀速的，这一过程中水库的存水量v 与时间t 之间函数关系的大致图像是 ( )【习题3】 小张第一次离家到县城上学，假期回家写了一首小诗：“首次离家今日返,父亲 早早到车站，父子见面细端详，双双高兴把家还．”若用y 表示小张和父亲行进中离开家的距离，用x 表示父亲离家的时间，则与诗意大致吻合的图像是（）随堂检测x yx yx yxy tt t tvvvv【习题4】某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费，若每月用水不超过7m3，则按1元/m3收费；若每月用水超过7m3，则超过部分按2元/m3收费．如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为多少立方米?【习题5】某市的空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元．（不足5公里的，按5公里计算）（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元．已知相邻的两个公共汽车站之间相距1公里，如果沿途（包括起点和终点）共有21个站点，请根据题意，写出票价y与里程x之间的函数解析式，并画出函数图象．【习题6】夏日的一个星期六，小红全家上午8时自驾车从家出发，到距她家180km的一旅游景点去玩，若小红离家的距离s（km）与时间t（h）的关系可以用下图中的折线表示，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）小红全家是几点钟到达目的地?游玩了多少小时?（2）求出返程途中，距离s（km）与时间t（h）的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）小红全家是什么时间到家的?返回时小汽车的平均速度是多少?S（千米）180【习题7】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系，寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么?【习题8】依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过3500元，不需交税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，都应(1)某工厂一名工人2016年5月的收入为4000元，问他应交税款多少元?(2)设x表示公民每月收入（单位：元），y表示应交税款（单位：元），当60008000x≤≤时，请写出y关于x的函数关系式；(3)某公司一名职员2016年8月应交税款600元，问该月他的收入是多少元?s （米）t （秒）400 300 200 100O 40 50 55 AB C 甲 乙35 25 10 yxOCBA D【习题9】 如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图像分别为折线OAB 和线段OC ，请根据图上信息回答下列问题： （1）________先到达终点；（2）第________秒时，_________追上__________； （3）比赛全程中，____________的速度始终保持不变；（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系式__________．【习题10】 如图，在长方形ABCD 中，以对角线AC 与BD 的交点O 为原点，建立直角坐标系，使x 轴和y 轴分别与两组对边平行，已知长方形的长为25，宽为16，分别求直线AC 和BD 所对应的函数解析式．【习题11】 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =BC =8cm ，矩形MNPQ 的长和宽分别为9cm和2cm ，点P 和点A 重合，NP 和AC 在同一条直线上（如图所示），Rt △ABC 不动，矩形MNPQ 沿射线NP 以每秒1cm 的速度向右移动，设移动x （0 < x ≤ 9）s 后，矩形MNPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y cm 2，求y 与x 之间的函数关系式 ．【作业1】 某种灯的使用寿命是100小时，它可使用的天数y 与平均每天使用的时间x 之间的函数关系式是__________．课后作业【作业2】如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24平方米的矩形饲养场地ABCD.设BC为x米，AB为y米.（1）求y与x的函数关系式；（2）延长BC至E，使CE比BC少1米，围成一个新的矩形ABEF，结果场地的面积增加了16平方米，求BC的长.【作业4】某水产公司有一种海产品共2104千克，为寻找合适的销售价格，进行了8天观察表中数据，发现可以用反比例函数表示这种海产品每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系．（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出．【作业5】 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事；领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S 1，S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程；t 为时间，则下列图像中与故事相吻合的是（ ）【作业6】 李丹家距学校m 千米，一天她从家上学先以a 千米／时的速度跑步锻炼前进，后以匀速b 千米／时步行到达学校，共用n 小时,下面能够反映李丹同学距学校的距离s （千米）与上学的时间t (小时)之间的大致图象是 （）【作业7】 若用（1）（2）（3）（4）四幅图像分别表示下面四个函数的关系，请根据图像所给顺序，将下面（a ）（b ）（c ）（d ）四个函数关系对应排序：Oy x) 1 (Oy xOy xOyx) 2 () 3 ()4 (S 1 S 1S 1 A BCDststststS 1S 2S 2S 2 S 2S （千米）S （千米）S （千米）S （千米）t （小时）A B CDn mmmmn nnt （小时）t （小时）t （小时）（a）静止的小车从光滑的斜面上滑下，小车的速度y与时间x的关系；（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度y与所挂重物x的关系；（c）运动员推出去的铅球，铅球的高度y与时间x的关系；（d）小明从A到B后，停留一段时间，然后按原速度原路返回，小明到A的距离y与时间x的关系．正确的顺序是（）（A）（c）（d）（a）（b）（B）（a）（b）（c）（d）（C）（c）（b）（a）（d）（D）（d）（a）（c）（b）【作业8】已知正方形ABCD的边长为5cm，在BC边上有一个动点G，联结AG，如果BG为x cm，ABG的面积为2S cm，那么S是不是x的函数?如果是，请写出函数解析式．【作业9】某商店销售一批小家电，进价为16元，售价为22元，前段时间平均每天可售出20件，商店扩大销售，尽量减少库存，准备适当的降价销售，经市场调查发现，如果每件降价1元，平均每天可多售出5件，记降价后每天售出y件，盈利z元．（1）设降价后每件的售价为x元，分别列出y与x、z与x之间的函数关系式；（2）设每件降价x元，分别列出y与x、z与x之间的函数关系式．【作业10】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（3m）的反比例函数，其图象如右图所示（千帕是一种压强单位）．（1）这个函数的解析式是怎样的?（2）当气球的体积为0.6立方米时，气球内的气压是多少千帕?（3）当气球内的气压大于148千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少?【作业11】 如图，李老师设计了一个杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A 中放置一个重物，在右边的活动托盘B （可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B 与点O 的距离x （cm ），观察活动托盘B 中砝码的质量y （g ）的变化情况，实验数据记录如下表（1）把上表中（x ，y ）的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；（2）观察所画的图象，猜测y 与x 之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； （3）当砝码的质量为24g 时，活动托盘B 与点O 的距离是多少cm ? （4）当活动托盘B 往左移动时，应往活动托盘B 中添加还是减少砝码．x （cm ） 10 15 20 25 30 y （g ）3020151210【作业12】 如图，在等边三角形ABC 中，边长为6，E 是AB 的中点，点P 在边AC 上，AP ：PC ＝2：1，EF 垂直于BC ，垂足为F ，点Q 是FC 上的一个动点．设QC =x ，四边形EFQP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．AQBCPEF【作业13】 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y （千米），图中折线表示y 与x 之间的函数关系．根据下图进行研究：（1） 甲、乙两地之间的距离是____________千米； （2） 请解释图中B 的实际意义； （3） 求慢车和快车的速度；（4） 若第二列快车从甲地出发驶向乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少时间?y （千米）900 412 x （小时）O AB C D。

函数的基本性质一． 单调性（一）．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当 时都有 ，那么就说()f x 在这个区间上是 。

（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当 时都有 ，那么就说()f x 在这个区间上是 。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是 。

那么就说函数()y f x =在这一区间具有 ，这一区间叫做()y f x =的 。

（二）.单调性的判定方法 1定义法 证明方法和步骤如下：（1）.设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； （2）.作差：)()(21x f x f -； （3）.变形：（如因式分解、配方等）；（4）.定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； （5）.定论。

2.图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

例1.证明：函数1()f x x=在(0,)+∞上是减函数。

例2.讨论函数f (x )＝axx －1(a ＞0)的单调性．例2.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-注：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集。

练习：1．根据单调函数的定义，判断函数3()1f x x =+的单调性。

2.函数f (x )＝1－1x －1 ( )．A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减 3．若y ＝(2k ＋1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )． A ．k ＞12 B ．k ＜12 C ．k ＞－12D ．k ＜－124．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么( )． A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥25．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )． A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 二、奇偶性探究()f x =x 2的图像与()f x =x 的图像。

函数的表示法1．了解函数的三种不同的表示方法；(重点)2．在实际情境中，会根据不同的需要，选择恰当的函数的表示方法；(重点)3．函数三种表示方法的优点的认识．(难点)一、情境导入问题：(1)某人上班由于担忧迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？(2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？二、合作探究探究点：函数的表示方法【类型一】用列表法表示函数关系有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据答复以下问题：质量(克)1234…伸长量(厘米)12…总长度(厘米)1112…(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？(2)当所挂重物为x克时，用h表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式；(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克？解析：，可知要伸长5厘米需挂重物质量；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据题意求出函数值，可得所挂重物质量．解：×1＝10(克)，答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；(2)函数的表达式为hx(0≤x≤50)；(3)当h＝25时，25x，x＝30.答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．方法总结：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．【类型二】用图象法表示函数关系如下图，修建高速公路的过程中，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，暴雨过后施工队加快了施工进度，按时完成了工程任务，下面能反映该工程未修建的公路里程y(千米)与时间x(天)之间的函数关系的大致图象是()解析：∵y表示未修建的公路里程，x 表示时间，∴y由大变小，∴选项A、D错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，随后加快了施工进度，∴y随x 的增大减小得比开始的快，线段与x轴夹角变大．∴选项C错误，选项B正确．应选B.方法总结：在选择适宜图象时，要先弄清横纵坐标表示的意义，再根据描述找出关键转折点，分析转折前后是否都均匀变化，确定图象的线条是直线还是曲线．变化的趋势是快是慢，那么可用与x轴的夹角来表示出来．如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的关系如图，请根据图象答复以下问题：(1)汽车共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，那么返回用了多长时间？解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)；(2)由横坐标看出，2－1.5＝0.5(小时)，汽车在行驶途中停留了0.5小时；(3)由纵坐标看出汽车到达D点时的路程是120千米，由横坐标看出到达D点时的时间是3小时，由此算出平均速度120÷3＝40(km/h)；由纵坐标看出返回的路程是120千米，由横坐标看出－3＝1.5(小时)，，由此算出平均速度是120÷1.5＝80(km/h)；(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．方法总结：图象法的优点：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．【类型三】用解析法表示函数关系一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1km，，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值．解：(1)yx＋48；(2)当x＝35时，y×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．方法总结：解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．三、板书设计1．函数的三种表示方法及其优点：(1)解析法：可以方便地计算函数值；(2)列表法：自变量取的值与因变量取的值看得很清楚；(3)图象法：直观看出因变量如何随自变量变化．函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题如何对这三种方法进行选择．针对这个问题，通过让学生对例子进行比拟来解决．这样学生通过对不同例子的比拟就能很好的区分这三种方法，并学会选择适宜的方法.第1课时教学目标【知识与技能】1.理解方差的意义，掌握方差计算公式并会运用方差解决实际问题.2.理解方差作为刻画一组数据离散程度的统计量的特征.【过程与方法】1.经历画图、观察，探索如何表示一组数据的离散程度，开展合情推理能力，开展统计观念.2.通过实践观察，掌握衡量一组数据的离散程度的方法，感受数学来源于实践，又作用于实践，感知数学知识的抽象美，提高参与数学学习的积极性.【情感态度】经历探索如何表达一组数据的离散程度，增强数学应用的意识，激发学数学的热情.教学重难点【教学重点】方差的意义及用方差度量数据波动大小的规律.【教学难点】方差意义的理解.课前准备无教学过程一、情境导入，初步认识探究思考在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：甲队：26 25 28 28 24 28 26 28 27 29乙队：28 27 25 28 27 26 28 27 27 26〔1〕两队参赛选手的平均年龄分别是多少？〔2〕怎样用图表来分析两队参赛选手的年龄分布情况？〔3〕分析图表，你能得出哪些结论？〔4〕能否用一个统计量来刻画你从图表中观察到的结论？【教学说明】教师提出问题，让学生逐一进行探究，相互交流.教师深入学生中，参与讨论，形成认知.为了刻画一组数据的波动大小，通常计算这组数据的方差，根据方差的大小来确定数据的大小.1.方差：设有n个数据x1，x2，…x n，各数据与它们的平均数的差的平方分别是：()()()22212,,,nx x x x x x--⋯-，我们用()()()222 122nx x x x x xsn-+-+⋯+-=来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记为s2.2.从方差的计算公式可以看出：当数据分布比拟分散〔即数据在平均数附近波动较大〕时，方差就越大；当数据分布比拟集中时，方差越小，故有方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小.【教学说明】教师可引导学生完成探究思考中〔4〕的结论，与〔3〕比拟，体会用来刻画数据波动大小的方法.二、典例精析，掌握新知例在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高〔单位：cm〕分别是：甲团163 164 164 165 165 166 166 167乙团163 165 165 166 166 167 168 168哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？【教学说明】教师出例如题，引导分析，板书解题过程.学生思考，与老师一起进行计算、判断，解决问题.让学生从中体会用方差衡量一组数据波动的大小的方法，掌握方差计算公式，学会计算方差.三、运用新知，深化理解教材P126练习1、2【教学说明】通过练习，使学生更好地掌握方差的计算方法和根据方差衡量数据波动大小的规律，同时也能锻炼学生的计算能力和解题的标准性.【答案】1.解：〔1〕x＝6，s2=0；〔2〕x＝6，s2=47;〔3〕x＝6，s2=447.〔4〕x＝6，s2=547.2甲＜s 2乙.四、师生互动，课堂小结这节课学习了哪些新知识？你有哪些收获和体会？【教学说明】让学生在互相交流活动中，通过归纳总结，更加清楚地理解方差的意义以及方差在统计学中的作用.课后作业1.布置作业：从教材“〞中选取.2.完成练习册中本课时练习. 教学反思“正负抵消〞的问题.。

课题：函数的表示法（一）课 型：新授课教学目标：（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：一、课前准备（预习教材19p ---21p ，找出疑惑之处)复习1.回忆函数的定义；复习2.函数的三要素分别是什么？二、新课导学：（一）学习探究探究任务：函数的三种表示方法讨论：结合课本P 15 给出的三个实例，说明 三种表示方法的适用范围及其优点小结：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。

*典型例题例1．（课本P 19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．{}5,4,3,2,1,5∈=x x y变式：作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元），试用三种方法表示此实例中的函数。

反思：例1及变式的函数有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？例2：（课本P 20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)祖π数学之高分速成新人教八年级下册基础知识3 函数的表示1.函数的表示方法可以用解析式法、列表法和图像法。

解析式法是用公式表示函数，列表法是将函数的定义域和值域列成表格，图像法是用函数的图像来表示函数。

2.描点法画函数图形的一般步骤是先确定定义域和值域，然后选择若干个自变量值，计算出相应的函数值，最后在平面直角坐标系中标出这些点，连接起来就是函数的图形。

题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进。

官兵们坐车以某一速度匀速前进，但中途被阻停下。

为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往。

根据函数的图像，可以判断出官兵们行进的距离S与行进时间t之间的关系。

2.故事中的乌鸦喝水问题可以用函数的图像来表示。

设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，可以画出函数的图像来表示乌鸦喝水的情景。

3.在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止。

设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y。

根据函数的图像，可以求出当x=7时，点E应运动到哪个位置。

4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动。

根据函数的图像，可以求出△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像。

5.XXX骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，加快了骑车速度。

根据XXX到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像，可以判断出符合XXX行驶情况的图像。

6.XXX每天坚持体育锻炼，星期天从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家。

根据XXX离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的函数图像，可以判断出当天XXX的运动情况。

7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。

高一数学教案：函数的概念高一数学教案：函数的概念精选4篇（一）教案标题：函数的概念教学目标：1. 理解函数的基本概念；2. 能够根据给定的函数定义进行函数值的计算；3. 能够掌握函数的图像表示方法。

教学准备：1. PowerPoint或黑板；2. 教材《高中数学》；3. 教学PPT或教学黑板稿。

教学步骤：步骤一：引入问题（5分钟）1. 通过生活中的例子引导学生思考“什么是函数？”；2. 引导学生记忆和理解“自变量”和“因变量”的概念。

步骤二：函数的定义（10分钟）1. 引导学生学习教科书上的函数定义；2. 解释函数的定义中自变量、因变量和对应规律的含义；3. 通过一些例子帮助学生理解函数的定义。

步骤三：函数的表示方法（10分钟）1. 引导学生学习函数的表示方法；2. 介绍函数的表格表示和解析式表示；3. 通过具体例子的计算来展示函数的表示方法。

步骤四：函数值的计算（15分钟）1. 引导学生学习函数值的计算方法；2. 通过给定函数和自变量求因变量的例子来演示函数值的计算。

步骤五：函数的图像表示（15分钟）1. 引导学生学习函数的图像表示方法；2. 通过函数表格和坐标系画出函数的图像；3. 解释图像上自变量和因变量的含义；4. 引导学生发现函数图像的特点，如单调性和奇偶性。

步骤六：练习与总结（10分钟）1. 给学生提供一些练习题，加深对函数的理解和掌握；2. 回顾课堂内容，让学生总结函数的概念和表示方法。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究函数的性质，如定义域、值域、单调性等；2. 引导学生学习更复杂的函数概念，如反函数、复合函数等。

教学反思：通过讲解函数的概念和表示方法，学生能够初步理解函数的含义和计算方法。

在教学过程中，可以适当增加一些生动的例子和练习，培养学生的兴趣和动手能力。

在教学结束前，可以布置一些相关的课后作业，巩固学生的学习成果。

高一数学教案：函数的概念精选4篇（二）教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质；2. 掌握函数的表示法：显式表示法、隐式表示法和参数表示法；3. 能够根据题目要求选择适当的函数表示法。

DCBA1. 2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法【教学目标】1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.例如，学生的身高 单位：厘米 学号 1 2 3 4 5 678 9 身高125135140156138172 167158169数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。

09-10三角函数在单位圆的表示方法2 三四1、2在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线与正切线，并能由图象讲座三角函数的值域和已知三角函数值，作出对应的角。

三角函数在单位圆的表示正切线正切在单位圆上的表示讲授与讨论相结合三角函数在单位圆的表示方法课本P14 图4-12MP y yr y ====1sin α -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1例 题 OM x xr x ====1cos α例 题P20 第2 题一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。

二、单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。

三、角α的正弦、余弦在单位上的表示1．作图：（课本P14 图4-12 ）此处略 …… …… ……… …… ……设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PM ⊥x 轴于M ，简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。

例：有向线段OM ，OP 长度分别为y x ,当OM=x 时 若0>x OM 看作与x 轴同向 OM 具有正值x若0<x OM 看作与x 轴反向 OM 具有负值x2．MP y y r y ====1sin α OM x x r x ====1cos α 这就是说：角α的正弦等于它的终边和单位圆的交点的纵坐标，而它的余弦则等于交点的横坐标。

有向线段MP,OM,分别称作α角的正弦线,余弦线。

由图可知， -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1即sin α与cos α的值域都是[-1,1]。