4.1 数列概念

4.1 数列的概念（第1课时）一、教材分析1．内容：数列的概念，数列的通项公式.2．内容解析（1）教材来源：本节课选自《人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》；（2）地位与作用：“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。

数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用。

学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。

数列的概念、通项公式在学习过程中起着承上启下的作用.一方面，在数列概念的归纳提炼及具体问题的解决过程中常会用到函数思想，通过学习数列能进一步加深对函数的认识，深化对函数思想方法的运用；另一方面，它们是学习本章的后续内容-等差数列、等比数列的基础；同时，通过这部分内容的学习，可以强化学生的运算能力，提升分析归纳能力. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：数列的概念和通项公式.二、学情分析1.认知基础：学生小学初中接触过数列的概念，在高一系统学习了函数的概念与性质，基本初等函数等知识，知道研究函数的路径.2.认知障碍：从函数的角度认识数列.3.教学问题诊断：在学习本章之前，学生对于数列并非一无所知，尤其是在函数的学习中，他们已经接触过一些实际上是数列的函数.但学生缺乏对数列内容的总体了解，也不清楚学习数列的一般思路和方法，这是本节教学的第一个难点，教学时可通过“章引言”的教学，结合函数学习的思路和方法，让学生对数列的内容及方法有一个大致了解，引起学生对数列内容的关注与兴趣。

本节课通过具体实例抽象出数列定义，对数列概念的理解是本节的第二个教学难点。

学生可能忽视数列概念的形成过程及对概念内数学的眼光看世界的很好的案例.经历这样并用数学语言进行表达，是一个让学生体验用要的意义.此外，在把实际问题转化为数列问题，尤其是涉及年份等时间顺序时，学生在用数列进行表达时容易犯错误.在对用数列解决实际问题的教学中，要注意引导学生正确地构建数列，刻画实际问题中的等差关系、等比关系、递推关系等.三、教学目标1．目标：（1）经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义，了解数列是一种特殊的函数，了解数列的表示方法，提升数学抽象素养；（2）理解数列的通项公式．2．目标解析：达成上述目标的标志是：（1）能从具体实例中归纳、概括出数列的共同特征，得到数列的定义和一般形式；能结合函数的定义，认识到数列是一种特殊的函数；能类比函数的表示方法，了解数列的表格、图象和通项公式三种表示方法.（2）能说明数列的通项公式中各元素的意义；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项；能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.四、教学重点、难点重点：数列的有关概念与数列的表示方法难点：数列的函数特征五、教法与学法分析1.教法分析本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的变式教学方法.课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动构建数列的概念的过程，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思考，能从具体实例中归纳、概括出数列的共同特征，得到数列的一般形式；能结合喊得定义，认识数列是一种特殊的函数；能类比函数的表示方法，了解数列的表格、图像和通项公式的三种表示方法。

高二年级数学学科问题式导学理想课堂导学案时间：年月日名称： 4.1数列的概念班级：姓名：学号：_________________一、学习目标1.数列的通项公式、递推公式、前n项和公式．(重点)2.数列的函数性质．(难点)3.前n项和与通项公式的关系．(易错点)二、导学指导与检测【经典例题】1．数列的概念有关知识例1 数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是na=（）A．1(1)23nn--+B．(1)32nn-+C．1(1)32nn--+D．(1)23nn-+【名师点睛】本题主要考查了数列通项公式的判定与排除法的运用，注意数列的通项公式的概念．例2 数列{}n a满足112,0,2121,1,2n nnn na aaa a+⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a=，则2021a等于（）A．15B．25C．35D．45【名师点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．2．数列的通项公式与前n项和公式以及递推公式例3 数列{}n a中，121,2a a==，且21n n na a a++=-()n N*∈，则2020a为（）A．2 B．1 C．1-D．2-【名师点睛】本题考查数列的周期性，通过递推公式求出数列的前几项，归纳出数列的性质是解决数列的一种常用方法，考查了从特殊到一般的思想方法．例4 已知数列{}n a的前n项和为n S，且221nS n=-，则3a=（）A．-10 B．6 C．10 D．14【解题技巧】本题主要考查,n na S之间的关系，掌握11,2,1n nnS S naa n--≥⎧=⎨=⎩.3．前n 项和S n 与a n 的关系例5 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n+1,则a n = .三、三讲（根据课堂情况选择讲述内容）四、巩固训练1．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（ ）A ．12B ．1C ．1-D ．22．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212C ．2155D ．23663．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--4．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（ ） A ．92B ．254C ．458D ．4095．已知数列{a n }满足：a 1＝1，122nn n a a a +=+ (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．21n a n =+ B ．11n a n =- C ．1n n a n =+ D ．11n a n =+ 6．已知数列{}n a 满足*112,10()n n a a a n N +=-+=∈，则此数列的通项n a 等于A ．3n -B ．1n +C ．1n -D ．21n +7．已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a -+=+，则5a =（ ） A ．16B ．17C ．31D ．328．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ）A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n =+，则n a =________10．已知数列{}n a 中，12a =，且点1(,)n n a a +在抛物线24x y =上，则数列{}n a 的前4项和是__.五、课堂小结。

4.1数列的概念一、数列的概念及表示方式1、数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫做数列项数列中的每一个数叫做这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n 项叫做数列的通项2、数列的表示（1）一般形式：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…（2）字母表示：上面的数列也可以记为{}n a 注：n a 是数列的第n 项，也叫通项。

3、数列的通项公式（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列1n n a a +>其中n ∈N +递减数列1n n a a +<常数列1n na a +=摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的函数性质1、数列可以看成以正整数集N ＋(或它的有限子集{1，2，…，n })为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。

3、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列；10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列；10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列．（2）作商比较法：ⅰ.当0n a >时，则11n na a +>⇔数列{}n a 是递增数列；11n na a +<⇔数列{}n a 是递减数列；11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列；ⅱ.当0n a <时，则11n na a +>⇔数列{}n a 是递减数列；11n na a +<⇔数列{}n a 是递增数列；11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列．（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．四、求数列最大(小)项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．（2）利用11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，求数列中的最大项n a ；利用11n n n n a a a a +-≤⎧⎨≤⎩，求数列中的最小项n a .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．五、由数列的前几项求数列的通项公式（1）各项的符号特征，通过()1n-或()11n +-来调节正负项．（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．（4）拆项、添项后的特征．（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.六、数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系11,1=,2n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩①当1n =时，a 1若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；②当1n =时，a 1若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示.题型一数列的概念及分类【例1】现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B 【变式1-1】下列有关数列的说法正确的是（）A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列2-，0，2与数列2，0，2-是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为{}2,4,6,8D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【解析】对于A 中，常数列中任意两项都是相等的，所以A 不正确；对于B 中，数列2-，0，2与2，0，2-中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B 不正确；对于C 中，{}2,4,6,8表示一个集合，不是数列，所以C 不正确；对于D 中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D 正确.【变式1-2】下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（）A．1，2，3，…，20B．-1，-2，-3，…，-n ，…C．1，2，3，2，5，6，…D．-1，0，1，2，…，100，…【答案】D【解析】由递增数列和无穷数列的定义知D 项正确.答案：D 【变式1-3】下列命题中错误的是（）A．()()21f n n n N +=-∈是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列【答案】C【解析】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的；根据无穷数列的概念，可知D 是正确的.故选:C.题型二由数列的前几项写通项【例2】（1）数列12，34，78，1516，…的一个通项公式为n a =______；（2）数列13-，16，19-，112，…的一个通项公式为n a =______；（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为n a =______．【答案】（1）212n n -；（2）()13nn-；（3）()11019n -【解析】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为12，22，32，42（分式中应分别考虑分子、分母的特征），所以数列的一个通项公式为212n n n a -=．（2）所给数列可写成()13111-⨯⨯，()23112-⨯⨯，()33113-⨯⨯，()43114-⨯⨯，…，所以数列的一个通项公式为()()11133nnn a n n-=-⨯=⨯．（3）所给数列可写成()11019-，()110019-，()1100019-，()11000019-，…，所以数列的一个通项公式为()11019nn a =-．故答案为：212n n -；()13nn-；()11019n -．【变式2-1】按一定规律排列的单项式：a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，…，第n 个单项式是（）A．n a B．na -C．()11n na +-D．()1nna -【答案】C【解析】因为前6项为：a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，所以第n 项为()11n n a +-.故选：C.【变式2-2】数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是n a =（）A．()11019n -B．()11013n -C．111310n ⎛⎫- ⎪⎝⎭D．()310110n -【答案】C【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是101nn b =-，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是()1110111010n n n n c =⨯-=-，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是111310n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：C．【变式2-3】数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）A．()11nn a =-+B．()1221n n a +=-⨯-C．()12cos2n n a π-=D．()12cos 2n n a π-=【答案】D【解析】A.当1n =时，10a =，不符；B.当1n =时，10a =，不符；C.当3n =时，32a =-，不符；D.当2,n k k Z =∈时，()212cos 2cos 2cos 0222n k a k ππππ-⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，当21,n k k Z =+∈时，()2112cos2cos 22n k a k ππ+-===，符合.故选：D.题型三写出或判断数列中的项【例3】已知数列{}n a 的通项公式为()1*11,N 2n n a n -+-=∈，则该数列的前4项依次为（）A．1，0，1，0B．0，1，0，1C．12，0，12，0D．2，0，2，0【答案】A【解析】由通项公式可知：1234111111111,0,1,02222a a a a +-+-========，故选：A 【变式3-1】已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足122n n n a a +=+，则此数列的第3项是（）A．4B．12C．24D．32【答案】B【解析】由题意，121224a a =+=，2322212a a =+=故选：B【变式3-2】若一数列为1，73，143，213，…，则983是这个数列的（）．A．不在此数列中B．第13项C．第14项D．第15项【答案】D【解析】因707711472217313,33,33,33⨯⨯⨯⨯====，因此符合题意的一个通项公式为7(1)3n n a -=，由7(1)9833n -=解得：15n =，所以983是这个数列的第15项.故选：D【变式3-3】已知数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，则下列不是数列{}n a 的项的是（）A．2B．4C．8D．16【答案】A【解析】由于数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，故令122n n a +==，则0n =，与N n *∈不符，故2不是数列{}n a 的项；令124,1n n +==，令128,2n n +==，令1216,3n n +==，即4，8，16是数列{}n a 的项，故选:A【变式3-4】已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则57是数列中的（）A．第58项B．第59项C．第60项D．第61项【答案】C【解析】对该数列进行重新分组：1:1p 212:,21p 3123:,,321p 41:4p ，23，32，41，⋅⋅⋅12:,,,11n np n n ⋅⋅⋅-，则57出现在1112345:,,,,,1110987p ⋅⋅⋅，其项数是12345678910560++++++++++=，故选：C题型四根据递推关系求数列通项【例4】已知数列{}n a 满足11a =，对任意的n *∈N 都有11n n a a n +=++，则10a =（）A．36B．45C．55D．66【答案】C【解析】由11n n a a n +=++得：11n n a a n +-=+，1n n a a n -∴-=，121n n a a n ---=-，232n n a a n ---=-，…，212a a -=，各式作和得：()()112232n n n a a n -+-=++⋅⋅⋅+=，()()1212n n n a -+∴=+，109121552a⨯∴=+=.故选：C.【变式4-1】在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a 等于（）A．2ln n n +B．2(1)ln n n n +-C．2ln n n n +D．1ln n n n ++【答案】C 【解析】因11ln(1)1n n a a n n n +=+++，则有1(1)ln 1ln n n a n n a nn +-=+-+，于是得，当2n ≥时，23111223(()()1121n n n a a a a n an a a a n -++++=----()()()2ln 2ln1ln 3ln 2ln ln 12ln n n n ⎡⎤=+-+-++--=+⎣⎦，因此，2ln n a n n n =+，显然，12a =满足上式，所以2ln n a n n n =+.故选：C【变式4-2】已知11a =，()()1n n n a n a a n ++=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式是n a =（）A．21n -B．11n n n ++⎛⎫⎪⎝⎭C．2n D．n【答案】D【解析】由()1+=-n n n a n a a ，得()11n n n a na ++=，即11n n a n a n ++=，则11nn a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，…，21221a n a =≥，，由累乘法可得1na n a =，所以2n a n n =≥，，又11a =，符合上式，所以n a n =.故选：D．【变式4-3】已知数列{}n a 满足11n na n a n ++=，13a =，则数列{}n a 的通项公式是（）A．3n a n =B．2n a n =+C．21n a n =+D．23n a n =【答案】A 【解析】由题意得11n n a a n n +=+，即1213121n n a a a an n +=====+L 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以131a =首项为的常数列，则3n a n =，得3n a n =.故选：A【变式4-4】数列{}n a 满足()()*111n n na n a n N +=++∈，且11a =，则2022a =（）A．4043B．4044C．2021D．2022【答案】A【解析】因为()()*111n n na n a n N +=++∈，所以()1111111n n n aaan n n n n n n +=+=+-+++，所以11111n n a a n n n n ++=+++，即1n a n n ⎧⎫+⎨⎩⎭为常数列，又11a =，所以111211n a a n n +=+=，所以20221220222022a +=，解得20224043a =，故选：A.【变式4-5】已知数列{}n a 满足()()()12123n a a a n n n ⋅⋅⋅=+++，则19a a ⋅=（）A．32B．489C．1320D．291320【答案】A【解析】当1n =时，123424a =⨯⨯=，当2n ≥时，由()()()12123n a a a n n n ⋅⋅⋅=+++，可得()()12112n a a a n n n -⋅⋅⋅=++，两式相除可得(1)(2)(3)3(1)(2)n n n n n a n n n n++++==++，所以993124993a +===，所以19424323a a ⋅=⨯=，故选：A 题型五由数列的前n 项和求通项【例5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()12nn n a S +=，则2020a =（）．A．2018B．2019C．2020D．2021【答案】C【解析】因为11a =，()12nn n a S +=，所以当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-，化为11n n a a n n -=-，从而1211121n n a a a an n -==⋅⋅⋅===-，所以n a n =．适合1n =.所以n a n =.故20202020a =．故选：C【变式5-1】已知数列{}n a 的前n 项和为2223n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.【答案】3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】2223n S n n =-+Q ,故当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()2121212n S n n -=---+，144n n n a S S n -∴=-=-113a S ==不适合上式，3,144,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故答案为：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩.【变式5-2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()ln 12n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】()31e 1,1e 1e ,2n n n a n +⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】因为()ln 12n S n +=+，所以21e n n S ++=，即2e 1n n S +=-．当1n =时，311e 1a S ==-，当2n ≥时，()()()2111e 1e 1e 1e n n n n n n a S S +++-=-=---=-，显然31e 1a =-不满足上式.所以()31e 1,1e 1e ,2n n n a n +⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩．故答案为：()31e 1,1e 1e ,2n n n a n +⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩.【变式5-3】若数列{}n b 满足()1233721n n b b b b n ++++-=，则数列{}n b 的通项公式为（）A．2n b n =B．2nn b =C．42n nb =D．121n n b =-【答案】D【解析】因为()1233721n n b b b b n ++++-=①，当1n =时，11b =，当2n ≥时()1123137211n n b b b b n --++++-=-②，①-②得()211nn b -=，所以121n n b =-，当1n =时121n n b =-也成立，所以121n n b =-；故选：D【变式5-4】已知在数列{}n a 中，12a =，3211223nn a a a a a n+++++=-，则n a =__________．【答案】2n 【解析】因为3211223n n a a a a a n +++++=-，当2n ≥时，31212231n n aa a a a n -++++=--，则1n n n a a a n +=-，即有11n n a a n n +=+，当1n =时，122a a =-，得24a =，2121a a =满足上式，N n *∈，11n n a a n n +=+，因此数列{}n a n 是常数列，即121n a an ==，所以2n a n =.故答案为：2n题型六数列的单调性的判断【例6】已知数列{}n a 的通项公式是342n na n =+，则{}n a （）A．不是单调数列B．是递减数列C．是递增数列D．是常数列【答案】C【解析】因为1n n a a +-()()3336046424642n n n n n n +=-=>++++，所以{}n a 是递增数列.故选：C.【变式6-1】已知数列{}n a 的通项公式为()10111nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该数列为（）A．递增数列B．递减数列C．摇摆数列D．先增后减数列【答案】D【解析】因为()10111nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()1110109102111111111n n nn n n n n a a ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+，易知：100111n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以当9n ≤时，10n n a a +-≥，9n >时，10n n a a +-<，故该数列{}n a 为先增后减数列，故选：D.【变式6-2】函数()y f x =的图象在下列图中并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +>，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知()1n n n a f a a +=>，故()f x 满足()f x x >，即()f x 的图象在y x =的图象上方，故A 项正确.故选：A.【变式6-3】在数列{}n a 中，13a =，n a =，则（）A．数列{}n a 单调递减B．数列{}n a 单调递增C．数列{}n a 先递减后递增D．数列{}n a 先递增后递减【答案】A【解析】由13a =，n a =2a =，3a =，且可知0n a >．再由n a 212n n a a -=+①，则212n n a a +=+②，②﹣①得：2211n n n n a a a a +--=-，∴111(n n n n n n a a a a a a ++--+﹣＝)()，∵0n a >，∴1n n a a +-与1n n a a -﹣同号,由210a a -<，可知，10n n a a -<﹣，即1n n a a <﹣，可知数列{}n a 单调递减．故选：A．【变式6-4】已知数列{}n b 的通项公式为()2*3n b n n n N λ=--∈，且数列{}n b 是递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．(),2-∞B．(],2-∞C．(),3-∞D．(],3-∞【答案】C【解析】由()()()()2211133210n n b b n n n n n λλλ+-=+-+----=+->，∴21n λ<+，即是λ小于2n +1的最小值，∴3λ<，故选：C题型七求数列的最大（小）项【例7】已知数列{}n a 满足26n na n =+，n 为正整数，则该数列的最大值是（）A．12B．15C．16D．531【答案】B【解析】由26n n a n =+，得117a =，215a =，315a =，4211a =，5531a =．又16n a n n =+，*N n ∈，又因为16y x x=+在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以{}n a 的最大值为2315a a ==．故选：B．【变式7-1】已知数列{}n a 的通项公式为5051nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭{}n a 中的最大项为（）A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项【答案】C【解析】因为0n a >令11n n a a +>1>，解得22250123.85150n <-≈-．所以当123n ≤≤时，1n n a a +>，即2423221a a a a >>>>，当24n ≥时，1n n a a +>，即242526a a a >>>，因此当24n =时，n a 最大．故选：C.【变式7-2】已知数列{}n a 满足()102113nn a n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的最大项为（）．A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项【答案】D【解析】假设第n 项最大（2n ≥），有()()()()()11111010232121131332010102121231313n n n n n n n n n n n n n a a a a n n n n n --++⎧⎛⎫⎛⎫⎧+≥-⎪≤ ⎪ ⎪⎪≥⎧⎪⎝⎭⎝⎭⎪⇒⇒⎨⎨⎨≥⎩⎛⎫⎛⎫⎪⎪≥+≥++ ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎝⎭⎩，又n *∈N ，所以7n =，即数列{}n a 的最大项为第7项.故选：D.【变式7-3】已知)*n a n =∈N ，则数列{}n a 的前50项中，最小项和最大项分别是（）A．1a ，50a B．1a ，44a C．45a ，50a D．44a ，45a 【答案】D【解析】1n a ==，∵2441936=，2452025=，∴当44n ≤时，数列{}n a 单调递减，且1n a <；当45n ≥时，数列{}n a 单调递减，且1n a >.∴在数列{}n a 的前50项中，最小项和最大项分别是44a ，45a .故选：D.【变式7-4】若数列{}n a 满足123111142321n na a a na n +++⋯+=+，若2n a λ恒成立，则λ的最大值（）A．34B．38C．32D．3【答案】C【解析】由于123111142321n n a a a na n +++⋯+=+，当1n =时，1143a =，即134a =，当2n 时，12111144...2(1)21n n a a n a n --+++=--，又123111142321nna a a na n +++⋯+=+，以上两式相减可得214444212141nn n na n n n -=-=+--，得14n a n n =-，上式对1n =也成立，所以2na λ 恒成立即为12()4n nλ- 恒成立，由12()4n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递增数列，得12(4n n -的最小值为132(1)42⨯-=，所以32λ，即λ的最大值为32.故选：C.题型八与周期有关的数列问题【例8】在数列{}n a 中，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则2022a 等于（）．A．12-B．12C．1-D．2【答案】C【解析】由12a =，()1112n n a n a -=-≥可得：23452341111111111,12,122a a a a a a a a =-==-=-=-==-=，故数列{}n a 为周期性数列，每3项为一循环，而20223674=⨯，故202231a a ==-，故选：C【变式8-1】数列{}n a满足()1121,2,3,2n na a n a +===-，则123420222021a a a a a a ++++++=（）A．2022B．2020C．2022+D．2020+【答案】C【解析】由题意，12222a a==+3a ==4222a===51a a =，故{}n a 的周期为4.又1234224a a a a =++=+，故123420222021a a a a a a ++++++=()4212315052022a a a a a a +++++=+故选：C【变式8-2】在数列{}n a 中，11a =，23a =，35a =，31n n a a +=，则515252022log log log a a a +++=（）A．0B．1C．5log 3D．5log 15【答案】A【解析】由31n n a a +=，得361n n a a ++=，两式相除可得6n n a a +=，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，又1234561425361a a a a a a a a a a a a =⋅⋅=，所以()()337515252022512202251265log log log log log log 10a a a a a a a a a +++====．故选：A．【变式8-3】已知函数()11,22121,121,1x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，若数列{}n a 满足173a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则2022a =（）A．73B．43C．56D．13【答案】D【解析】由题意知，173a =，27433a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则34133a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，41536a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，55263a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，62133a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，71536a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，…，所以数列{}n a 从第三项起构成周期为3的数列，故20226743313a a a ⨯===．故选：D．【变式8-4】已知数列{}n a 满足13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-（n 为正整数），则308a =___________【答案】6【解析】123214325436543,6,3,3,6,3a a a a a a a a a a a a a a ===-==-=-=-=-=-=-7658763,6a a a a a a =-==-=即7182,a a a a ==,所以{}n a 是周期为6的数列因为3086512=⨯+所以30826a a ==.。

§4.1数列的概念第1课时数列的概念及通项公式学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用a n 表示．其中第1项也叫做首项．2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案不是．顺序不一样．知识点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列知识点三函数与数列的关系数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项a n，记为a n＝f(n)．知识点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列知识点五 通项公式1．如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？ 答案 还可以用列表法、图象法．1．1,1,1,1是一个数列．( √ )2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( × )3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )4．a n 与{a n }表达不同的含义．( √ )一、数列的有关概念和分类例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(4)13，19，127，181，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列．反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；(2)0，12，23，…，n －1n，…； (3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (5)1,0，－1，…，sinn π2，…； (6)9,9,9,9,9,9.解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列．二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－1，12，－13，14； (2)12，2，92，8； (3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n n，n ∈N *. (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，…， 所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *. (3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，由第(1)题也可以写成a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)． (4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 或(－1)n ＋1处理符号．(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－12，14，58，1316； (2)22－12，32－13，42－14，52－15； (3)7,77,777,7 777.解 (1)各项分母分别为21,22,23,24，易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，则原数列可化。