简单的二元二次方程组(课堂总结)

知识考点：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组（Ⅱ）。

一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【例3】已知方程组⎩⎨⎧+==+--201242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。

【例4】方程组⎩⎨⎧=+=+52932y x y x 的两组解是⎩⎨⎧==1111βαy x ，⎩⎨⎧==2222βαy x 不解方程组，求1221βαβα+的值。

（答案：353）二、由两个二元二次方程组成的方程组 1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例5】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩ 【例6】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩【例7】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩2．可消二次项型的方程组【例8】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩精典例题：【例1】解下列方程组：1、⎩⎨⎧=+--=-01101222x y x y x ；2、⎩⎨⎧==+67xy y x ；3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+023102222y xy x y x【例2】已知方程组⎩⎨⎧+==+--21242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。

初三数学二元二次方程组 知识精讲 人教版一. 本周教学内容： 二元二次方程组学习目标：1. 弄清二元二次方程组的概念及类型（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。

其一般式：ax bxy cy dx ey f 220+++++= （a ，b ，c 不同为0）（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组” 一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。

3. 熟练求解二元二次方程组的步骤4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。

5. 对于形如x y a xy b+==⎧⎨⎩的方程组，可通过构造以x ，y 为根的方程z az b 20-+=，达到消元目的。

二. 重点与难点：1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。

2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。

【典型例题】例1. 解方程组261560222x y x xy y -=-+=⎧⎨⎩()()解：解法1：由()()1263y x =-（3）代入（2）x x x x x x 2225266260538720----=-+=()()∴==x x 124185，代入（3）中，y y 12265==， ∴原方程组的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解法2：由（2）()()x y x y --=230 ∴-=-=x y x y 2030或∴原方程组可化为26202630x y x y x y x y -=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨⎩ ∴原方程的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。

初中数学教案解二元二次方程组一、教学目标1. 理解二元二次方程组的定义和概念。

2. 掌握解二元二次方程组的方法和步骤。

3. 能够应用解二元二次方程组解决实际问题。

二、教学准备1. 教师准备：黑板、粉笔、教材、习题册。

2. 学生准备：教材、习题册、尺子、计算器等。

三、教学过程本节课通过引入问题，引发学生对二元二次方程组的学习兴趣，再通过教师的讲解和学生的练习，帮助学生掌握解二元二次方程组的方法。

1. 问题引入教师可提出一个实际问题，如：小明和小红的年龄之和是35岁，小红的年龄是小明的两倍，求他们各自的年龄。

通过这个问题，引导学生思考如何建立二元二次方程组。

2. 二元二次方程组的定义和概念教师向学生介绍二元二次方程组的定义和概念，即包含两个未知数的二次方程组。

并给出二元二次方程组的一般形式：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 03. 解二元二次方程组的步骤教师向学生讲解解二元二次方程组的步骤，并结合示例进行说明。

步骤一：整理方程组，使其标准化通过合并同类项、整理方程组，消去一些项的系数，使得方程组变为标准形式。

步骤二：利用消元法解方程组通过消去一个未知数的方法，将二元二次方程组化简为一个一元二次方程。

步骤三：求解一元二次方程使用配方法、因式分解法、求根公式等方法，求解一元二次方程。

步骤四：带回求解另一个未知数将已解得的一个未知数的值带入另一个方程中，求解另一个未知数的值。

4. 解题练习教师布置一些二元二次方程组的求解题目，让学生进行练习。

可以分组合作，共同解题，并互相交流和讨论解题方法与过程。

5. 实际问题应用教师提供一些实际问题，并引导学生建立相应的二元二次方程组，通过解方程组求解实际问题。

如：甲、乙两人同时从A、B两地出发，速度分别是10km/h、12km/h，相向而行4小时后相遇，求A、B两地的距离。

通过以上的讲解和练习，学生能够掌握解二元二次方程组的方法和步骤，并能够应用所学知识解决实际问题。

初二数学解二元二次方程组的方法与应用二元二次方程组是数学中常出现的问题，解决这类问题需要运用特定的方法和技巧。

本文将介绍解二元二次方程组的常见方法以及其在实际问题中的应用。

1. 消元法消元法是解二元二次方程组常用的方法之一。

首先通过操作将其中一个方程的某一个未知数消去，然后将消去后的方程代入另一个方程中求解未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组1）①通过乘以适当的系数，使其中一个方程的两个未知数的系数相等；②将两个方程相减，消去一个未知数；③将求解得到的未知数的值代入其中一个方程，求解另一个未知数；④检验求解结果是否满足另一个方程。

2. 代入法代入法是另一种用于解二元二次方程组的常见方法。

通过将其中一个方程解出一个未知数，然后将该解代入另一个方程求解另一个未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组2）①选择其中一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数；②将该函数代入另一个方程，并解得未知数；③将求解得到的未知数代入其中一个方程，求解另一个未知数；④检验求解结果是否满足另一个方程。

3. 矩阵法矩阵法是解二元二次方程组的另一种常见方法。

通过将方程组转化为矩阵形式，利用矩阵的运算方法求解未知数。

具体步骤如下：（示例：方程组3）①将方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式；②对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形；③根据行最简形求解未知数的值；④检验求解结果是否符合所有的方程。

二元二次方程组的解法不止以上三种，还有配方法、因式分解法等等。

在实际问题中，解二元二次方程组可以帮助我们解决很多与多个未知数相关的问题，例如：1. 阶梯问题：解二元二次方程组可以用来求解楼梯的台阶数和踏步数；2. 交通问题：解二元二次方程组可以用来求解汽车、火车等交通工具的速度和时间；3. 销售问题：解二元二次方程组可以用来求解商品的进货价和售价等。

总结起来，解二元二次方程组是数学中重要的一部分，可以通过消元法、代入法和矩阵法等多种方法来解决。

中考数学辅导之—简单的二元二次方程组一、学习目标1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。

2、 把握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。

3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步明白得“消元、降次”的数学方法，获得对事物能够相互转化的进一步认识。

二、基础知识及应注意的问题1、 关于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的明白得。

2、 解二元二次方程组确实是求方程组中两个方程的公共解(或者说明那个方程组无解)；解二元二次方程组的差不多思想是消元和降次，消元确实是把二元化为一元，降次确实是把二次降为一次；其目的确实是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。

3、 关于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的差不多途径。

4、 关于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅能够用代入法来解，而且能够联系 xy ＝b已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。

5、 关于由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：(1)分析方程组，找出能够分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。

(2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。

(3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。

三、例题例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …①4x －3y ＝0 …②分析：(1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，能够用代入法来解。

初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
第七章二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程
关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法。

简单的二元二次方程组总结一、知识梳理1、解方程组基本思想：（1）消元；（2）降次。

常用的方法有：代入消元法、因式分解法、韦达定理法、换元法、方程组相加（或倒数相加法）、消项后因式分解法等。

2、当方程组中含有分式方程或无理方程时，一定要注意验根（因为可能存在增根）。

3、当方程组只有一组实数解时，先将方程组化为含一个未知数的一元二次方程，同时要注意观察原方程组的组成，分情况考虑：（1）当方程组为整式方程组时，考虑两种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=∆。

（方程组中若某个方程如：02=-y x ，则可理解为无理方程y x ±=来考虑。

） （2）当方程组中含有无理方程或分式方程时，分为以下三种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=∆；③一元二次方程的一个根为增根（对于分式方程：增根为使分母等于零的根；对于无理方程，增根为使0<a 或0<a 的根。

）二、解题方法1、代入消元法例1 ⎩⎨⎧=-=+-+340)2()(2x y y x y x (2)(1)解：由)2(式得：3+=x y )3(将)3(式代入（1）式得：034942=-+x x 即：0)174)(2(=+-x x 解得 417,221-==x x 代入)3(式可得： 45,521-==y y所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==5211y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4541722y x 。

2、因式分解法例2 ⎩⎨⎧=+=--4502322222y x y xy x (2)(1)解：由)1(式得：0)2)(2(=-+y x y x )3( 即 02=+y x 或02=-y x︒1 ⎩⎨⎧=+=+45222y x y x 解得：⎩⎨⎧=±=6311 y x ︒2 ⎩⎨⎧=+=-45222y x y x 解得：⎩⎨⎧±=±=3622y x 所以原方程组的解为：………3、利用韦达定理法例3 ⎪⎩⎪⎨⎧==-1010311xy y x (2)(1)解：由)2(式得：1011-=-xy )3( 令y x 1,1-为方程01011032=--t t 的两根， 则：013102=--t t 即 0)15)(12(=+-t t 51,2121-==∴t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∴511211y x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=211511y x解得：⎩⎨⎧-==5211y x 或 ⎩⎨⎧-==2522y x经检验，………是原方程组的解。

简单的二元二次方程组(必上)本讲将介绍二元二次方程组的解法，这是高中新课标必修2中研究圆锥曲线时需要掌握的知识。

二元二次方程是含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，都属于二元二次方程组。

对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，我们可以采用代入法求解。

即将二元一次方程化归为一元二次方程，再进行求解。

例如，对于方程组2x-y=0和x-y+3=0，我们可以通过方程(1)得到y=2x，代入方程(2)消去y，然后解得x=1或x=-1.将x的值代入方程(1)中得到对应的y的值，从而得到方程组的解。

需要注意的是，在消元后求出一元二次方程的根时，应代入变形后的二元一次方程求相应的未知数的值，而不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根。

另外，消元时应根据二元一次方程的系数来决定是消x还是消y，若系数均为整数，则最好消去系数绝对值较小的那个未知数。

对于方程组x+y=11和xy=28，我们可以把x、y看成是方程z2-11z+28的两根，从而更容易求解。

根据一元二次方程的根与系数的关系，我们可以把方程$z-11z+28=0$的两个根$x$和$y$看成原方程组的解。

解方程得到$z=4$或$z=7$，因此原方程组的解为：begin{cases}x=4.y=7 \\text{或} \\x=7.y=4end{cases}需要注意的是，对于这种对称性的方程组，我们应该利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于$x$、$y$的字母，如$z$。

对于由两个二元二次方程组成的方程组，如果其中一个方程可以因式分解为两个二元一次方程，那么原方程组就可以转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。

例如，对于方程组：begin{cases}x^2-y^2=5(x+y) \\2x+xy+y=43end{cases}我们可以注意到方程$x-y=5(x+y)$可以分解为$(x+y)(x-y-5)=0$，因此可以得到两个二元二次方程组，每个方程组中都有一个方程为二元一次方程。

二元二次方程组详细步骤二元二次方程组是指包含两个变量和两个方程的方程组。

解决这类方程组需要一系列的步骤和方法。

本文将详细介绍解决二元二次方程组的步骤。

步骤1：理解二元二次方程组首先，我们需要理解什么是二元二次方程组。

二元二次方程组可以用以下形式表示：ax^2 + bx + c = 0dx^2 + ex + f = 0其中，a、b、c、d、e、f 是已知常数，而 x 是未知变量。

我们的目标是找到满足同时满足两个方程的 x 的值。

步骤2：使用消元法消除 x 的系数为了简化方程组，我们可以使用消元法。

首先，我们选择一个系数（a 或 d）的绝对值较大的方程，并使其系数为正数。

然后，通过将两个方程相互相减，消除x 的系数。

例如，假设我们选择消除 x 的系数 a。

我们可以将第二个方程乘以 a 并减去第一个方程，得到一个新的方程组：ax^2 + bx + c = 0(ad)x^2 + (ae)x + (af) = 0(ax^2 + bx + c) - (ad)x^2 - (ae)x - (af) = 0 - 0这样，我们就消除了 x 的系数，并得到了一个新的方程组。

步骤3：化简方程组接下来，我们需要将方程组化简为一元二次方程。

通过将方程组中的项合并，我们可以得到一个一元二次方程。

继续上面的例子，我们可以将方程组化简为：(ax^2 - adx^2) + (bx - aex) + (c - af) = 0 - 0化简得到：(a - ad)x^2 + (b - ae)x + (c - af) = 0现在，我们得到了一个一元二次方程。

步骤4：求解一元二次方程一元二次方程可以用以下标准形式表示：px^2 + qx + r = 0我们需要使用一元二次方程的求解方法来找到 x 的值。

这可以通过使用求根公式来实现：x = (-q ± √(q^2 - 4pr)) / (2p)使用这个公式，我们可以求解出 x 的两个值。

二元二次方程的解法【学习目标】1．掌握解二元二次方程组的基本思想。

2．熟练掌握“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

3．亲历的二元二次方程组解法的探索过程，进一步发展探究、交流能力。

【学习重难点】重点：掌握二元二次方程组的解法。

难点：掌握“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

【学习过程】一、新知学习1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。

因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

2．“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。

（2）利用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如x y axy b+=⎧⎨=⎩的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把、y看做一元二次方程2-ab=0的两个根，解这个方程，求得的1和2的值，就是、y的值。

当1=1时，y 1=2；当2=2时，y 2=1，所以原方程组的解是两组“对称解”。

二元二次方程组知识讲解【学习目标】1、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的槪念，能够判左给立的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组：2、了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给左的数值是否是方程（组）的解；3、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；4、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；5、会熟练的列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.6、通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提岀问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元二次方程1.定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：ax1 +bxy + cy2 +dx + ey + f =o（“、》、c、d、匸、F都是常数，且“、b、c中至少有一个不为零），其中（ix2y bx）\cy2叫做这个方程的二次项，“、b、c分别叫做二次项系数，dx,ey叫做这个方程的一次项，d、匸分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解：二元二次方程的实数解的个数有多种情况.要点二、二元二次方程组1・概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最商次数为2,这样的方程组叫做二元二次方程组. 要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2.二元二次方程组的解：方程组中所含冬方程的公共解叫做这个方程组的解.要点三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二・一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程：③解这个一元二次方程，求得未知数的值：④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点诠释：(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二・一”型方程组：(2)'‘二•一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二・一”型方程组，解得这两个“二・一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.要点四、方程(组)的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：(1＞审题：(2)设未知数(2个)：(3)列二元二次方程组：(4)解方程组；(5)检验是否是方程的解以及是否符合实际；(6)写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、二元二次方程(组)判断Wr i.下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.(1)A2 + y = 1 ; (2)3-2y2 + y = 0;(3)J_ + 2/-x = 0; (4)x+y + 32 = l.【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的泄义。

二元二次方程组的概念1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个数学小话题——二元二次方程组。

听起来有点高大上，但其实呢，它就像一杯刚泡好的茶，细细品味，里面其实藏着不少有趣的东西！可能你一听到方程就想：“哎呀，这可又要费脑筋了！”别担心，今天我会把它说得轻松点，让大家都能听懂。

2. 什么是二元二次方程组？2.1 概念解析首先，我们得搞清楚什么是二元二次方程。

简单来说，二元二次方程就是那种形式像 (ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0) 的方程。

听上去是不是有点拗口？没关系，咱们把字母换成数字就简单多了。

比如，(x^2 + y^2 1 = 0) 就是个典型的二元二次方程。

这个方程其实描绘的是一个圆，想象一下那温柔的圆形，真是太美了！2.2 方程组的定义那么，什么是方程组呢？简单来说，方程组就是几道题放在一起，你需要同时解出来。

比如，你有两个方程：(x^2 + y = 4) 和 (x + y^2 = 5)。

这些方程好比是两个小朋友在讨论：嘿，我们一起来找找 (x) 和 (y) 的答案吧！所以，解这个方程组的过程就是找出两个小朋友同时都满意的答案。

3. 解二元二次方程组的方法3.1 代入法说到解方程组的方法，咱们可以先聊聊代入法。

想象一下，这就像你把一个朋友的喜好带到另一个朋友那儿。

比如，先从第一个方程出发，找到 (y) 的值，然后把这个 (y)的值代入到第二个方程里去。

最后，再解出来 (x) 和 (y)。

听起来是不是简单得像和朋友去吃饭，最后大家都找到了想要的餐厅？3.2 消元法再来说说消元法。

这种方法就像是在两个人争论时，你要让其中一个先闭嘴。

我们可以把一个方程的某个部分消掉，接着再解另一个方程。

就像是把一堆烦恼先放到一边，专心解决眼前的问题。

这种方法能让你事半功倍，真是聪明又高效。

4. 二元二次方程组的应用4.1 现实生活中的应用那么，二元二次方程组到底有什么用呢？其实，它们在生活中无处不在！比如说，你在规划一个花园，想知道放几种花才能既美观又节省空间。

简单的二元二次方程组二元二次方程组是指由两个二次方程组成的方程组。

二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。

二元二次方程组则是由两个二次方程组成的方程组，其中每个方程都有两个未知数。

解二元二次方程组的一种常见方法是将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。

具体步骤如下：假设我们有以下二元二次方程组：方程组1：a1x^2+b1y^2+c1xy+d1x+e1y+f1=0方程组2：a2x^2+b2y^2+c2xy+d2x+e2y+f2=0我们可以先将方程组1转化为关于x的一元二次方程。

假设我们固定y的值为y0，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于x的一元二次方程：a2x^2+b2y0^2+c2xy0+d2x+e2y0+f2=0解这个一元二次方程，可以得到两个解x1和x2。

将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与y0相关的解y1和y2。

重复以上步骤，我们可以固定x的值，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于y的一元二次方程：a1x0^2+b1y^2+c1x0y+d1x0+e1y+f1=0解这个一元二次方程，可以得到两个解y3和y4。

将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与x0相关的解x3和x4。

我们得到了四个解(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)，它们是原方程组的解。

当然，这只是解二元二次方程组的一种方法，还有其他方法可以求解。

无论使用哪种方法，都需要注意方程的特殊情况，例如方程没有解或有无穷多解的情况。

二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，可以使用不同的方法求解。

解二元二次方程组需要将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。

解二元二次方程组需要仔细分析方程的特殊情况，并注意求解过程中的计算准确性。

小学数学点知识归纳解二元二次方程组二元二次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组，每个方程都是二次方程。

在解二元二次方程组之前，我们需要先了解一些基本知识。

一、二次方程的定义二次方程是指一个未知数的最高次数为2的代数方程。

一般的二次方程表达式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知数，且a≠0。

二、一元二次方程的解法假设有一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过以下步骤解出x 的值：1. 判断a、b、c的值，如果a=0，方程不是二次方程；2. 计算Δ（判别式）=b^2-4ac的值；3. 如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；4. 如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；5. 如果Δ<0，则方程无实数根，但有两个共轭复数根。

三、二元二次方程组的解法1. 消元法消元法是解二元二次方程组的常用方法。

我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）将其中一方程两边乘以适当的数，使得两个方程的系数相等或者相差一个系数关系；（2）将所得的两个方程相减或相加，消去其中一个未知数；（3）解得另一个未知数的值；（4）将求得的未知数的值带入任意一个方程，解得另一个未知数的值。

2. 代入法代入法也是一种解二元二次方程组的方法。

我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）选取一个方程，解出其中一个未知数，得到它的值；（2）将所求的未知数值代入另一个方程，得到一个一元二次方程；（3）根据一元二次方程的解法，求出另一个未知数的值。

四、实例分析假设有以下二元二次方程组：1. -2x^2+3y^2-7=02. 4x^2+5y^2+11=0我们可以通过消元法解出该方程组的解：（1）将第一个方程两边乘以4，得到-8x^2+12y^2-28=0；（2）将所得的方程与第二个方程相减，消去x^2，得到-8x^2+12y^2-4x^2-5y^2-28+11=0；（3）整理化简，得到-12x^2+7y^2-17=0；（4）将该方程移项并因式分解，得到12x^2-7y^2+17=0；（5）将得到的方程两边除以17，得到12x^2/17-7y^2/17+1=0；（6）观察该方程，发现其形式为Ax^2+By^2+C=0，满足了一元二次方程的形式；（7）根据一元二次方程的解法，可以求出x和y的值。

掌握解二元二次方程组的方法一、引言解二元二次方程组是高中数学中的重要内容之一，掌握解题方法对于学生的数学能力和应试能力都有着重要的影响。

本文将介绍几种解二元二次方程组的方法，并给出详细的步骤和示例，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

二、方法一：代入法代入法是解二元二次方程组最常用的方法之一。

通过将其中一个方程的未知数表示为另一个方程的未知数的函数形式，并代入另一个方程，将二元二次方程组转化为一个关于单个未知数的一元二次方程，从而求解出未知数的值。

示例：考虑以下二元二次方程组：方程一：x^2 + y = 8方程二：x - y = 2首先，我们将方程二中的x表示为y的函数形式：x = y + 2然后将x代入方程一：(y + 2)^2 + y = 8展开并化简方程：y^2 + 6y + 4 = 0得到一个关于y的一元二次方程。

解这个方程可得：y = -2 或 y = -2将y的值分别代入方程二：当y = -2时，x = 0；当y = -2时，x = 4因此，此二元二次方程组的解为：(0, -2) 和 (4, -2)三、方法二：消元法消元法是解二元二次方程组的另一种常用方法。

通过对方程组进行线性组合，将两个方程中的某一未知数消去，然后求解得到另一个未知数的值，再将其代回到剩下的方程中求解。

示例：考虑以下二元二次方程组：方程一：x^2 + y = 10方程二：2x + 3y = 14首先，我们将方程一乘以2得到一个与方程二x系数相同的式子：2x^2 + 2y = 20然后，将方程二减去这个式子：(2x + 3y) - (2x^2 + 2y) = 14 - 20化简得：-2x^2 + x + y = -6再将方程一减去方程二：(x^2 + y) - (2x + 3y) = 10 - 14化简得：x^2 - 2x - 2y = -4通过这两个新得到的方程，我们可以将y消去：-2x^2 + x + y = -6 （式1）x^2 - 2x - 2y = -4 （式2）将式2的y替换为式1中的y：-2x^2 + x + (x^2 - 2x - 4) = -6化简得：-x^2 - x - 10 = 0得到一个关于x的一元二次方程，解这个方程可得：x = -5 或 x = 2将x的值分别代入方程一和方程二，再求解y的值：当x = -5时，方程一变为：(-5)^2 + y = 10，解得y = 5当x = 2时，方程一变为：2^2 + y = 10，解得y = 6因此，此二元二次方程组的解为：(-5, 5) 和 (2, 6)四、方法三：配方法配方法是解二元二次方程组的一种较为复杂但通用的方法。

二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。

解决这种方程组的关键是找到方程组的解。

一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。

5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。

二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。

例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。

简单的二元二次方程组一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或．说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 值；⑤写出答案．(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．∴ 原方程组的解是：11114774x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或． 说明：(1) 对于这种对称性的方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩．二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例3】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩分析：注意到方程225()x y x y -=+，可分解成()(5)0x y x y +--=，即得0x y +=或50x y --=，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得：225()0()()5()0()(5)0x y x y x y x y x y x y x y --+=⇒+--+=⇒+--=∴ 0x y +=或50x y --=∴ 原方程组可化为两个方程组：2222504343x y x y x xy y x xy y --=+=⎧⎧⎨⎨++=++=⎩⎩或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：3124123416,,61x x x x y y y y ⎧⎧==-==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎪⎪⎩⎩说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例4】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1) –(2)3⨯得：223()0x xy xy y +-+=即 22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=∴ 300x y x y -=+=或∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例5】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩分析：(1) +(2)2⨯得：2()36 (3)x y +=，(1) -(2)2⨯得：2()16 (4)x y -=，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或，(1) -(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或． 解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．说明：对称型方程组，如22x y a x y b ⎧+=⎨+=⎩、22x y a xy b⎧+=⎨=⎩都可以通过变形转化为x y mxy n +=⎧⎨=⎩的形式，通过构造一元二次方程求解． 2．可消二次项型的方程组【例6】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩分析：注意到两个方程都有xy 项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．解：(1) 3(2)⨯-得：313 1 (3)x y y x -=⇒=- 代入(1)得：212(31)33311x x x x x x -+=⇒=⇒==-或．分别代入(3)得：1224y y ==-或．A 组1．解下列方程组：(1) 26x y y x⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩(3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy +=-⎧⎨=⎩(2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩(2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩(3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩(4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩4．解下列方程组： (1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩B 组1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩(2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩ 2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩(2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组： (1) 2252x y xy ⎧+=⎨=-⎩(2) 22410x y x y +=⎧⎨+=⎩第六讲 简单的二元二次方程组答案A 组1．21212112121283204322(1),,(2),,(3),(4)32 223 344x x x x x x x y y y y y y y ⎧⎧⎧===-⎪⎪⎪=-===⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪=-==-⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2． 121212121232(1),,(2),2 1 2 3x x x x y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎩⎩ 3．23112121312122371320112,,(2),,(3),,3315211144x x x x x x x y y y y y y y ⎧=⎧⎧⎧⎧⎪=-===--==⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩=-=-=⎩⎩⎪⎩23414414*********,(4),,,2011022x x x x x y y y y y ⎧⎧==⎪⎪===⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩． 4．(1) 123412342222,2222x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-==-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩．(2) 43x y =⎧⎨=⎩．B 组1．1122122175154(1),,(2),4 1 3 3 2x x x x y y y y ⎧=-⎪=-==⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨===⎩⎩⎩⎪=-⎪⎩ 2．121212127312(1),,(2),372 1 22x x x x y y y y ==-⎧⎧==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩3．12343412221313(1),221313x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩3124123400(2),,22x x x x y y y y ⎧⎧====⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎪⎪⎩⎩4．312412341212(1),,,1221x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩，121213(2),3 1 x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩。

方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习一、选择题1．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.【详解】由②得：()()20x y x y +-=所以200x y x y +=-=或 44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.2．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.3．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．4．解方程组：22120y x x xy y -=⎧⎨--=⎩． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程分解因式可得：x ﹣2y =0或x +y =0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．【详解】解：22120y x x x y -=⎧⎨--=⎩①② 由②得：（x ﹣2y ）（x +y ）=0x ﹣2y =0或x +y =0原方程组可化为11200y x y x x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩， 解得原方程组的解为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， ∴原方程组的解是为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．5．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．【详解】原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.6．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：沿x 轴翻折后，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F （点F 在点E 的右侧）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线的解析式；（3）如图，在（2）的条件下，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，在抛物线上是否存在P 、Q 两点（点P 在点Q 的上方），PQ 与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，使得直线PQ 既平分△AFH 的周长，又平分△AFH 面积，如果存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）（1，），（3，0）．【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先求出直线与x轴、y轴交点坐标，根据沿x轴翻折，得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求出直线AB的解析式；（2）设抛物线的顶点为P（h，0），得出抛物线解析式为：，根据DF∥x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线AB 的解析式即可求出h的值，即可得到答案；（3）过M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△MNF和△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为：y=kx+b，把M、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线MN的解析式，解由方程和的解即可得出P、Q的坐标．【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b直线与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，），沿x轴翻折，∵直线，直线AB与x轴交于同一点（-2，0）∴A（-2，0）．与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称∴B（0，），∴解得k＝，b＝，∴直线AB的解析式为.（2）解：设抛物线的顶点为Q（h，0），抛物线解析式为：∴D（0，）．∵DF∥x轴，∴点F（2h，），又点F在直线AB上，∴，解得 h1=3，h2＝（舍去），∴抛物线的解析式为.（3）解：过M作MT⊥FH于T，∴Rt△MTF∽Rt△AGF．∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，则FN=AH+HF+AF)-FM=16-5k，∴S△MNF＝(AH+HF+AF)-FM=16-5k，又∵S△MNF＝S△AFH．∴＝24，解得k＝=或k=2 （舍去），∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，∴M （，））、N （6，-4），代入得：=k+b 且-4=6k+b ， 解得：k=，b=4， ∴y ＝x+4， 联立y ＝x+4与y ＝,求得P （1， ），Q （3，0）．答：存在P 的坐标是（1， ），Q 的坐标是（3，0）．【点睛】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．7．解方程组()()22x y x y 0x y 8⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩. 【答案】11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．【详解】解：由原方程组变形得：22x y 0x y 8⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②， 22x-y 0x y 8⎧=⎪⎨+=⎪⎩③④ 由①变形得：y=-x ，把y=-x 代入②得：22x -x 8+=（），解得12x =2x =-2，，把12x =2x =-2，代入②解得：12y =-2y =2，，所以解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 由③变形得：y=x ，把y=x 代入②得：22x x 8+=，解得34x =2x =-2，，把34x =2x =-2，代入②解得：34y =2y =-2，，所以解为：33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 综上所述解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．8．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩ 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①② 将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．9．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y ==解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．10．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．11．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩ 由②得：()221x y -=即：21x y -=或21x y -=-所以原方程组可化为两个二元一次方程组：23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.12．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962ab13．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.14．已知正比例函数()()249m n y m n xm -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.【答案】19y x =-【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.【详解】解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩， ∴函数解析式为：19y x =-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.15．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩①②． 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.【详解】解：由②得()()310x y x y ---+=，得30x y --=或10x y -+=，原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.16．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①② 由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --= 解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.17．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩． 【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-． 所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.18．（探究证明）(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.，求证：=EF AD GH AB； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM； （联系拓展）(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM的值．【答案】（1）证明见解析；(2)1115；（3）45.【解析】分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BNAM；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.∴AP ADBQ AB＝，∴EF ADGH AB＝.(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，∴由(1)的结论可得EF ADGH AB＝，BN ADAM AB＝，∴1115 BN EFAM GH＝＝.(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB＝．设SC ＝x ，DS ＝y ，则AR ＝BS ＝5＋x ，RD ＝10﹣y ，∴在Rt △CSD 中，x 2＋y 2＝25①，在Rt △ARD 中，(5＋x )2＋(10﹣y )2＝100②，由②﹣①得x ＝2y ﹣5③，222525x y x y ⎧⎨-⎩＋＝＝，解得34x y ⎧⎨⎩＝＝，50x y -⎧⎨⎩＝＝(舍)， 所以AR ＝5＋x ＝8，则84105DN AR AM AB ＝＝＝.点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.19．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②． 【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0 将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。

简单的二元二次方程组(3课时)一、教学目标1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。

2、掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解。

3、通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”“降次”的方法，了解“转化”的数学思想方法。

4、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。

5、通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”、“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识。

二、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。

因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。

2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。

“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。

（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。

（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。

当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。