浙江省宁波市效实中学2020届高三下学期6月高考模拟数学试题(含解析)

选择题部分 (共50分)一.选择题(本大题共10小题.每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U R =,且2{12},{680}A x x B x x x =->=-+<,则()U C A B =A.(2,3)B.(2,3]C.(1,4)-D.[1,4)-2.若复数z 满足方程220z +=,则3z =A.±B.-C.-D.± 3. “23πθ=”是“tan 2cos()2πθθ=+”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的13倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的13倍(纵坐标不变)C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)5.设,a b 是两个非零向量，则下列结论不正确．．．的是 A.若存在一个实数k 满足a kb =,则a 与b 共线B.若a b =,则a b =C.a b a b +>-D.若a 与b 为两个方向相同的向量,则a b a b +=+6.从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有 A.300种 B.240种 C.144种 D.96种7. 已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是A.一定为等差数列B.一定为等比数列C.可能为等差数列，但不会为等比数列D.可能为等比数列，但不会为等差数列8. 已知12,F F 分别是双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的左右焦点，A 为双曲线的右顶点，线段2AF 的垂直平分线交双曲线于P ，且123PF PF =，则双曲线的离心率为A.12-B.129.将一些棱长为1的正方体放在33⨯的平面上如图1所示，其正视图，侧视图如下所示.若摆放的正方体的个数的最大值和最小值分别为,m n ，则m n -= A.5 B.6 C.8D.910.4三角形2个；边长分别为3,4,5的三角形4个，边长分别为3,4,8个，边长分别为6个，用这些三角形(每个三角形至多出现在一个四面体中)为面拼成四面体，最多可以拼A.5个B.4个C.3个D.2个非选择题部分 (共100分)二.填空题(本大题共7小题,每题4分,共28分)11.等差数列{}n a 各项为正,且23452534,52a a a a a a +++==,则公差d = ▲ .图1正视图 侧视图12.sin(0)()(1)1(0)x xf xf x xπ<⎧=⎨-->⎩,则1111()()66f f-+=▲.13.以下给出了一个程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x 值是▲.14.已知3,0),(0,1)A B,坐标原点O在AB上的射影为点C，则OA OC=▲.15. 过点(1,5)P--的倾斜角为3π的直线l与圆224x y+=交于,A B两点，则PA PB⋅=▲.16. 已知231(1)()()nx x x n Nx*+++∈的展开式中没有常数项,且28n≤≤，则n=▲.17.定义:对于区间[,),(,),[,],(,]a b a b a b a b,则b a-为区间长度.若关于x的不等式222222(22)47(45)47x a x a ax a a x a a++-+-<++--+-的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数a的取值范围是▲.三.解答题(本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18. （本题满分14分）在ABC∆中，D为BC 边上的点1,603BD BC ADC=∠=，且22ABCBA BC S BA BC∆+=⋅.（1）求B；（2）若6AC=,求ABCS∆.A19. （本题满分14分）在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球； 若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3 次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数. （1）求,,x y z 依次成公差大于0的等差数列的概率； （2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.20. （本题满分15分）如图,已知AB ⊥平面,//,3BEC AB CD AB BC ==,BEC ∆为等边三角形. （1）若32CD =，求证：平面ABE ⊥平面ADE ； （2）若多面体ABCDE的体积为求此时二面角A DE B -- 的余弦值.21. （本题满分15分）曲线221:1(0)164x y C y +=≤，曲线22:4C x y =.自曲线1C 上一点A 作2C 的两条切线切点分别为,B C . （1）若A 点的纵坐标为1-，求AB AC ； （2）求ABC S ∆的最大值.EABDC22. （本题满分14分）已知函数21()(2)ln 2xf x a x x a =-+（0a >且1a ≠）. （1）当a e ≥时，求证:()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）当21[,][,1)a e e e∈且[1,)t ∈+∞时,求证:2(21)2()3f t f t e --≥-+.（2）ξ的取值范围0，1，2，3，且311(0)()28p ξ===；1212331111113(1)()()6232848p C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=+=；3222233*********(2)()()63232628p A C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；332222*********(3)()()()()6363638p C C ξ==++⨯⨯+⨯⨯=.随机变量ξ的概率分布列ξ0 1 2 3P18 38 38 18数学期望为32E ξ=333(,1)2(0,3,1)DE BD =--=设平面BDE 的法向量为1111(,,)n x y z = 则1111130230x y z yz --=⎪+=⎩则12,6)n =- (0,3,2)AD =-设平面ADE 的法向量为2222(,,)n x y z =232222212332222221116164()2111717174(4)4(())242ABCk b S k x k b b k b k b b b ∆--=+-=++=++=-+=--+≤22、(1)'()ln (1)ln (1)ln xxf x a a x a a x a =-+=--,011x x a e x a x e x ≥>∴--≥--得证.。

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

2020年浙江省宁波市效实中学高考数学模拟试卷(6月份)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设A={x|3x<1}，B={x|x2−x−2<0}，则(C R A)∩B=()A. [0,2)B. (−1,2)C. (−1,0]D. [1,2)2.已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=()A. 36B. 40C. 42D. 453.下列说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B. 命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx<1C. 设有五个函数y=x−1，y=x 12，y=x3，y=x2，y=2x，其中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的有2个D. x=−1是x2−5x−6=0的充分不必要条件4.将函数y=sin(3x+π6)的图象向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为()A. y=sin(32x+2π3) B. y=sin(6x+π3)C. y=sin6xD. y=sin(6x+2π3)5.盒中有4个红球3个黄球，从中任取一个球，用X表示取出的黄球个数，那么DX等于()A. 1249B. 1649C. 1349D. 9496.设函数f(x)=e x−e−x−2x，下列结论正确的是()A. f(2x)min=f(0)B. f(2x)max=f(0)C. f(2x)在(−∞,+∞)上递减，无极值D. f(2x)在(−∞,+∞)上递增，无极值7.已知向量b⃗ =(3,4)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗−b⃗ |=2√5，则|a⃗|=()A. 5B. 25C. 2√5D. √58.如果a>b>0，那么下列不等式中不正确的是()A. ab>b2B. 1a >1bC. 1a<1bD. a2>ab9.已知函数f(x)={2e −x−1,x<−1(2a−1)x−2a,x≥−1若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围为()A. a≤−14B. a<12C. −14≤a<12D. a>1210.在数列{a n}中，若对任意的n∈N∗，都有a n+2a n+1−a n+1a n=t(t为常数)，则称数列{an}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{a n}满足a n=2n−1n2，则数列{a n}是比等差数列，且比公差t=12；③若数列{c n}满足c1=1，c2=1，c n=c n−1+c n−2(n≥3)，则该数列不是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真命题的序号是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）11.若复数z1=1+i，z2=2−i(i为虚数单位)，则z1z2的模为______ ．12.已知多项式(x+2)5=(x+1)5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0=______，a1=______．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______ ，体积为______ ．14.已知，b>0，且(a+b)b=1，则a+2a+b的最小值是______ ．15.如图所示，A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是________．16.若数列{a n}满足a1+2a2+4a3+⋯+2n−1a n=8n(n∈N∗)，则a n=________．17.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是______．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中，CN的长是定值；③若AB=BM，则AM⊥B1D；④若AB=BM=1，当三棱锥B1−AMD的体积最大时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积是4π．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.平面向量m⃗⃗⃗ =(cosA,cosC)，n⃗=(c,a)，p⃗=(2b,0)，且m⃗⃗⃗ ⋅(n⃗−p⃗ )=0(1)求角A的大小；)的值域．(2)当|x|≤A时，求函数f(x)=sinxcosx+sinxsin(x−π619.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，AB=2，BC=BB1=1．(Ⅰ)求证：平面DB1C1⊥平面DCC1D1；(Ⅱ)求二面角D−EB1−C1的余弦值．20.已知函数f(x)=xe x−a(x+lnx)．(1)当a=2时，求函数f(x)的极小值；(2)若f(x)>0在x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．21.已知，抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴上，抛物线上一点M(−3,m)到F的距离为4，(1)求m的值，并求出抛物线C的方程．(2)直线l过点F，与抛物线C交于A，B两点，求线段AB长的最小值．(x≥1)，构造数列a n=f(n)(n∈N+)．22.已知函数f(x)=1−2xx+1(1)求证：a n>−2；(2)数列{a n}是递增数列还是递减数列？为什么⋅-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．可求出集合A，B，然后进行补集，交集的运算即可．解：因为A={x|x>3或x<0},B={x|−1<x<2}，所以C R A={x|0≤x≤3}则(C R A)∩B={x|0≤x<2}故选A．2.答案：D解析：本题考查等差数列的性质，求和公式，属于基础题．由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=10，再利用求和公式即可得出．解：由等差数列的性质可得：a1+a9=a2+a8=10，则S9=9(a1+a9)2=9×102=45．故选D．3.答案：D解析：解：选项A，否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；选项B，命题p的否定应为“∃x∈R，sinx>1”，故B错误；选项C，这5个函数中符合题意的只有y=x2，共1个，故C错误；选项D，x=−1可得x2−5x−6=0；反之不成立，故D正确．写出命题的否命题，可判断A ；写出命题的否定，可判断B ； 由函数的奇偶性和单调性的定义，结合常见函数的性质，可判断C ； 由充分必要条件的定义和二次方程的解法，可判断D ．本题考查命题的真假判断，主要是四种命题和命题的否定，以及函数的奇偶性和单调性的判断，以及充分必要条件的判断，考查判断能力，属于基础题．4.答案：D解析：【试题解析】解：将函数y =sin(3x +π6)的图象向左平移π6个单位，可得函数y =sin[3(x +π6)+π6]=sin(3x +2π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为y =sin(6x +2π3)，故选：D ．根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.答案：A解析：解：由题意知X 的可能取值为0，1， P(X =0)=47，P(X =1)=37，EX =0×47+1×37=37，∴DX =(0−37)2×47+(1−37)2×37=1249． 故选：A ．由题意知X 的可能取值为0，1，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望，进而能求出方差． 本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要注意概率的求法和应用．解析：解：f′(2x)=2e2x+2e−2x−4≥4√e x⋅e−x−4=0，f(x)在(−∞,+∞)上递增，无极值．故选：D．求出函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．7.答案：D解析：本题考查了向量的数量积性质，属于基础题．利用数量积的运算性质即可得出．解：∵|a⃗−b⃗ |=2√5，∴a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =20，∵向量b⃗ =(3,4)，a⃗⋅b⃗ =5，∴a⃗2+(√32+42)2−2×5=20，化为a⃗2=5，则|a⃗|=√5．故选：D．8.答案：B解析：解：∵a>b>0，∴ab>b2，故A正确；1 a <1b，故B错误；C正确；a2>ab，故D正确；故选：B根据已知中a>b>0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个结论的正误，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度中档．9.答案：A解析：根据分段函数的表达式先求出当x<−1时的取值范围，然后根据函数f(x)的值域为R，确定当x≥−1时，函数f(x)的取值范围即可．本题主要考查函数值域的应用，根据分段函数的表达式的性质，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．解：当x<−1时，则−x−1>0，此时f(x)=2e−x−1>2，若2a−1=0，则a=12，此时当x≥−1时，f(x)=−1，此时函数f(x)的值域不是R，不满足条件．若2a−1>0，即a>12时，函数f(x)=(2a−1)x−2a，x≥−1为增函数，此时f(x)≥−(2a−1)−2a=1−4a，此时函数的值域不是R，若2a−1<0，即a<12时，函数f(x)=(2a−1)x−2a，x≥−1为减函数，此时f(x)≤−(2a−1)−2a=1−4a，若函数的值域是R，则1−4a≥2，即4a≤−1，即a≤−14，故选：A．10.答案：D解析：【试题解析】解：①若数列{a n}为等比数列，且公比为q，则a n+2a n+1−a n+1a n=q−q=0，为常数，故等比数列一定是比等差数列，若数列{a n}为等差数列，且公差为d，当首项不为0，d=0时，a n+2a n+1−a n+1a n=1−1=0，为常数，是比等差数列，当首项为0，d=0时，不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；②若数列{a n}满足a n=2n−1n2，则a n+2a n+1−a n+1a n=2(n+1)2(n+2)2−2n2(n+1)2不为常数，故数列{a n}不是比等差数列，故错误；③若数列{c n}满足c1=1，c2=1，c n=c n−1+c n−2(n≥3)，可得c3=2，c4=3，故c3c2−c2c1=1，c4 c3−c3c2=−12。

浙江省宁波市2023-2024学年高三下学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数z 满足()2i 5z +=，则z =（ ）A B C ．2D 2．若α为锐角，4sin 5α=，则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C D 3．已知平面,,,l αβγαβ⋂=，则“l γ⊥”是“αγ⊥且βγ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线:10l x y -+=与圆22:20C x y x m +--=相离，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．11m -<< C ．1m >D ．1m >-5．某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高()cm y 与父亲身高()cm x 之间的关系，抽样调查后得出y 与x 线性相关，且经验回归方程为ˆ0.8529.5y x =+.调查所得的部分样本数据如下：则下列说法正确的是（ ）A ．儿子身高()cm y 是关于父亲身高()cm x 的函数B ．当父亲身高增加1cm 时，儿子身高增加0.85cmC ．儿子身高为172cm 时，父亲身高一定为173cmD ．父亲身高为170cm 时，儿子身高的均值为174cm6．已知数列{}n a 满足2n a n n λ=-，对任意{}1,2,3n ∈都有1n n a a +>，且对任意{}7,N n n n n ∈≥∈都有1n n a a +<，则实数λ的取值范围是（ ）A ．11,148⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,147⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,157⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,158⎛⎤ ⎥⎝⎦7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA ，若球O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（ ） A ．9πB ．16πC ．25πD ．36π8．已知集合(){4,|20240P x y x ax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x=的同一侧，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),20232023,-∞-+∞U B ．()2023,+∞ C ．()(),20242024,-∞-+∞UD ．()2024,+∞二、多选题9．若平面向量,,a b c r r r 满足1,1,3a b c ===r r r 且a c b c ⋅=⋅r r r r，则（ ）A ．a b c ++r r r的最小值为2 B ．a b c ++r r r的最大值为5C ．a b c -+r r r的最小值为2 D ．a b c -+r r r10．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>，（ ）A ．若π2,2ωϕ==，则()f x 是最小正周期为π的偶函数 B ．若02,x ω=为()f x 的一个零点，则0π4x +必为()f x 的一个极大值点C ．若ππ,42x ϕ=-=是()f x 的一条对称轴，则ω的最小值为32D ．若()π,4f x ϕ=-在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的最大值为9211．指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元素个数有限，对于U 的任意一个子集S ，定义集合S 的指示函数()()U 1,1,10,S S x Sx x x S ∈⎧=⎨∈⎩ð若,,A B C U ⊆，则（ ）注：()x Mf x ∈∑表示M 中所有元素x 所对应的函数值()f x 之和（其中M 是()f x 定义域的子集）.A ．1()1()A A x Ax Ux x ∈∈<∑∑B ．1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤C ．()1()1()1()1()1()A B A B A B x Ux Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑D ．()()()11()11()11()1()1()A B C U A B C x Ux Ux Ux x x x x ⋃⋃∈∈∈---=-∑∑∑三、填空题12．在ABC V 中，11,2,cos 4AB AC A ===，则BC =. 13．某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有,a b 两种运输方式，第3，4两个环节各有,b c 两种运输方式，第5个环节有,d e 两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有种.14．在平面直角坐标系xOy 中，定义()1212,d A B x x y y =-+-为()()1122,,,A x y B x y 两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆22:12x C y +=，点,,P Q R 在椭圆C 上，PQ x ⊥轴.点,M N 满足,2RM MP PN NQ ==u u u u r u u u r u u u r u u u r.若直线MQ 与NR 的交点在x 轴上，则(),d R Q 的最大值为.四、解答题15．在菱形ABCD 中，2,60AB BAD =∠=o ，以AB 为轴将菱形ABCD 翻折到菱形11ABC D ，使得平面11ABC D ⊥平面ABCD ，点E 为边1BC 的中点，连接1,CE DD .(1)求证：CE P 平面1ADD ；(2)求直线CE 与平面1BDD 所成角的正弦值.16．已知等差数列{}n a 的公差为2，记数列{}n b 的前n 项和为12,0,2n S b b ==且满足12n n n b S a +=+.(1)证明：数列{}1n b +是等比数列；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .17．三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为()32,N n n n ≥∈个单位.第一个人抢到的金额数为1到21n -个单位且等可能（记第一个人抢完后剩余的金额数为W ），第二个人在剩余的W 个金额数中抢到1到1W -个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王（若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王）.(1)若2n =，则第一个人抢到的金额数可能为1,2,3个单位且等可能. （i ）求第一个人抢到金额数X 的分布列与期望； （ii ）求第一个人获得手气王的概率；(2)在三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率. 18．已知双曲线22:1C y x -=，上顶点为D ，直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点（B 在第一象限），与x 轴交于点T .设直线,DA DB 的倾斜角分别为,αβ.(1)若T ⎫⎪⎪⎝⎭，（i ）若()0,1A -，求β； （ii ）求证：αβ+为定值； (2)若π6β=，直线DB 与x 轴交于点E ，求BET △与ADT V 的外接圆半径之比的最大值. 19．定义：对于定义在区间[],a b 上的函数，若存在实数(),c a b ∈，使得函数在区间[],a c 上单调递增（递减），在区间[],c b 上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称c 为最优点.已知定义在区间[],a b 上的函数()f x 是以c 为最优点的单峰函数，在区间(),a b 上选取关于区间的中心2a b+对称的两个试验点12,x x ，称使得()()()1,2i f x f c i -=较小的试验点i x 为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点c 与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间[],a b 分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为[]11,a b ，再对区间[]11,a b 重复以上操作，可以找到新的存优区间[]22,a b ，同理可依次找到存优区间[][]3344,,,,a b a b L ，满足[][][][][]11223344,,,,,a b a b a b a b a b ⊇⊇⊇⊇⊇L，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数ω，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，ω称为优美存优区间常数.对区间[],a b 进行n 次“优美的”操作，最后得到优美存优区间[],n n a b ，令n n n b a b aε-=-，我们可任取区间[],n n a b 内的一个实数作为最优点c 的近似值，称之为()f x 在区间[],a b 上精度为n ε的“合规近似值”，记作[](),,n x f a b ε.已知函数()()π1cos 1,0,2f x x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，函数()()πsin ln 1π,,π2g x x x x ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦.(1)求证：函数()f x 是单峰函数；(2)已知c 为函数()f x 的最优点，d 为函数()g x 的最优点. （i ）求证：πc d +<；（ii ）求证：55πππ,,π,0,2210x g x f d c εε⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤->-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.2.646≈≈.。

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2020年浙江省高考数学选考模拟试卷（6月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{x |x 2﹣3x ＜0}，则A ∩B ＝（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（2，3）
D ．（﹣2，3） 2．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程是（ ）
A ．y ＝±√55x
B ．y ＝±√5x
C ．y ＝±12x
D ．y ＝±2x
3．若实数x ，y 满足约束条件{y ≥0
x +2y −2≤0x −y ≥0
，则z ＝|x ﹣2y |的最大值是（ ）
A ．23
B ．2√55
C ．2
D ．√5
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．4√2
D ．12
5．已知{a n }是等差数列，a 1＝11，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 5＝S 7，则S n 的最大值为
（ ）
A ．66
B ．56
C ．46
D ．36 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则“
a sinB =b+c sinC+sinA ”是“△ABC 为等腰三角形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知随机变量ξ满足P （ξ＝0）＝1﹣p ，P （ξ＝1）＝p ，且0＜p ＜1，令随机变量η＝|ξ
﹣E （ξ）|，则（ ）。

2020届浙江省高三下学期6月高考方向性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}2,0,2B =-，{}2,1,1,2C =--，则（ ） A ．A B =∅ B ．A B C = C ．()AB C C = D ．()=AB C C【答案】D【解析】根据题意依次计算选项即可得到答案. 【详解】 对选项A ，{}0A B =≠∅，故A 错误；对选项B ，{}2,1,0,1,2=--≠A B C ，故C 错误.对选项C ，(){}{}{}02,1,1,22,1,0,1,2=--=--≠A B C C ，故C 错误.对选项D ，(){}{}2,1,0,1,22,1,1,2=----=A B C C ，故D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的运算，属于简单题. 2．()31i i +=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】解：()()()3221111i i i i i i i i i i +=⋅+=-+=--=-.故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算法则，考查运算能力，属于基础题.3．“()f x 是R 上的奇函数”是“对任意x ∈R 均有()()0f x f x -≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先根据()f x 是R 上的奇函数得到()()0f x f x -≤，满足充分性，根据()()0f x f x -≤，不能推出()()f x f x -=-，不满足必要性，即可得到答案.【详解】充分性：()f x 是R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-.所以()()()()()20f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤-=⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，满足充分性.必要性：对任意x ∈R 均有()()0f x f x -≤，不能推出()()f x f x -=-，不满足必要性.所以“()f x 是R 上的奇函数”是“对任意x ∈R 均有()()0f x f x -≤”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，属于简单题.4．设a ，b ，()0,1c ∈.随机变量ξ的分布列如图所示.则（ ）A ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ<B ．()()E E ξξ<，()()D D ξξ>C ．()()E E ξξ>，()()D D ξξ<D ．()()E Eξξ>，()()D D ξξ>【答案】A【解析】由已知先得出随机变量ξ的分布列，再由离散型随机变量分布列的期望和方差公式，分别求得其期望和方差，比较可得选项. 【详解】由已知得随机变量ξ的分布列如下图所示：所以()()()()1+0+1,0+1++E a b c c a E b a c a c ξξ=-⨯⨯⨯=-=⨯⨯=，故()()E E ξξ<；又()()()()()()2222+++11+D c a c a c a a b c a c a c ξ=---⨯⨯=--⨯-，()()()()()()222+++1+++++3b a D a c a c c a a c c ξ⨯⨯==，所以()()()()22++>03D D a c c a ξξ-=-，故()()D D ξξ<，故选：A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，以及其期望和方差的公式，属于中档题. 5．设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ．12-C ．14D ．12【答案】C【解析】由()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，可将52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可计算. 【详解】()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，且当01x ≤≤时，()2f x x x =-，51112224f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查周期性和奇偶性的应用，属于基础题. 6．设*N a ∈，下列一定不是．．．．二项式()1ax x --展开式中的项的是（ ）A ．6B ．35x -C ．24x -D ．13x -【答案】C【解析】求得二项式()1ax x --的展开式的通项为21(1)r r a rr a T C x -+=-，当4,2a r ==时，可判定A 符合题意，当5,4a r ==时，可判定B 符合题意，当4,3a r ==时，可判定C 不符合题意，当3,2a r ==时，可判定D 符合题意. 【详解】由题意，二项式()1ax x--的展开式的通项为121()(1)r a r r r r a rr a a T C x x C x ---+=-=-，当4,2a r ==时，可得2242234(1)6T C x-⨯=-=，所以A 符合题意； 当5,4a r ==时，可得41524355(1)5T C xx -⨯-=-=，所以B 符合题意； 当4,3a r ==时，可得31423244(1)4T C xx -⨯-=-=-，所以C 不符合题意； 当3,2a r ==时，可得22322133(1)3T C xx -⨯-=-=，所以D 符合题意， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合通项逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.7．记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）A B C D【答案】D【解析】先根据题意，得到1F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2F ⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2y k x ⎛=- ⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，求出在点A ，B 处的切线方程，联立切线方程，得出点2P k -⎭，根据题意，得到PH x ⊥轴，得出H ，再由12F H PF ⊥求出H 的纵坐标为2H y k =，得出P H =+本不等式，即可得出结果. 【详解】椭圆2221x y +=的左右焦点为12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,02F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 由题意，易知直线l 的斜率存在，（若斜率不存在，则12,,F F P 三点共线，不能构成三角形），设直线l的方程为2y k x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ， 对2221x y +=两边同时求关于x 的导数，得240x yy '+=，则2xy y'=-， 则椭圆在点()11,A x y 处的切线斜率为1112x k y =-， 则椭圆在点()11,A x y 处的切线方程为()11112x y y x x y -=--， 即22111122x x y y x y +=+，即1121x x y y +=；同理，椭圆在点()22,B x y 处的切线方程为2221x x y y +=， 由11222121x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩得121222112122x y x y y y y x y x y y y y +=⎧⎨+=⎩，则211221k x x y y x x y x y --===-⎝⎭⎝⎭，所以11122y y k ===-⎝⎭，即2P k -⎭()0k ≠； 又12F F P 的垂心为H ，则12PH F F ⊥，12F HPF ⊥， 即PH x ⊥轴，则H ，记H 的纵坐标为H y ，由12F H PF ⊥得121F H PF k k⋅=-1-=-，则2H y =，因此H P PH y y =-=因为l 过点2F ，所以直线l 与椭圆必有两个交点，故k ∈R 且0k ≠，则P H==≥==，即k=时，等号成立.故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综合题.8．已知递增正整数数列{}n a满足12nnan aa C++=（*Nn∈），则（）A．123a a a⋅<B．1a，2a，3a可能成等比数列C．345a a a⋅<D．3a，4a，5a可能成等比数列【答案】C【解析】用组合和数列的性质可逐项排除可得结果.【详解】111211(1)(2)(1)=(1)21nnan an n n n nn na a a aaa Caa++++++---+-⨯=，因为{}n a是递增正整数数列，所以11nnaa-≥+，而当11n na a-=+时，111=nn nan a naa C aC-+==，不是递增数列，所以12n na a+≥+，易得12324,,6a a a≥≥≥，由于212a a≥+，则2111aa->，取122,4a a==，则36a=，所以A错误；13a≥时有22221311(1)(2)(1)(1)21a a a a aaa a---+=-⨯，若123,,a a a成等比数列，则3221=a a a，所以12122212131(1)(2)(1)=1(1)21aaa a a aa C aa-----+==--⨯，此时23+1=a a，所以B错误.33332333224(1)(2)(1)5543221(1)2143212a a a a a aa aa aa---+⨯⨯⨯>=>=+-⨯⨯⨯⨯，则4234454(1)2aa aa a aC->=>，所以C正确；1111(1)(2)(1)=(1)21n n n n nn n na a a a aa a a+------+-⨯，21111(1)(2)(1)=(1)21n n n n nn n na a a a aa a a+++++---+-⨯，当3n≥时，而1112111n n n n n n na a a a a a a+--+>-+=+>-+，则211n nn na aa a+++>，所以D错误；故选：B.【点睛】本题考查了数列与组合数的综合，要求熟练掌握等比数列性质、组合数公式的性质.9．如图是一各视图面积均为1的几何体的俯视图.下列说法错误．．的是（）A．体积可能是14B．体积可能是12C．表面积可能是3D．表面积可能是33+【答案】D【解析】根据几何体的三视图得出可能的几何体，结合正方体的性质和面积公式，即可求解.【详解】由各视图面积均为1的几何体的俯视图，可以是如图所示的几何体ABCDEF，其中ABCD是边长为1的正方形，其中//EF BD且1EF=，可该几何体的体积为112111211323ABCD MFNE A MEF C EFNV V V V---=--=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=, 由正方形ABCD的面积为1111S=⨯=，111122ABF BCF ADE CDES S S S====⨯⨯=,又由AEF和CEF△2的等边三角形，可得233(2)AEF CEFS S===所以该几何体的表面积为131423322S =+⨯+⨯=+. 所以该几何体的表面积可能是33+. 故选：D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积、体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．二、多选题10．设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和>0∆三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<， 当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥，此时函数()y g x =在1(,]2a-∞-单调递减，在1[,)2a -+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21ax x y e ++=在1(,]2a-∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=； 当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >，此时函数()y g x =在1(,]2a-∞-单调递减，在1[,)2a -+∞上单调递增， 由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a-∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且1y >，此时选项B 符合题意；当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点， 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a <-<， 此时函数()y g x =在1(,]2a-∞-单调递减，在1[,)2a -+∞上单调递增， 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a -∞-递减，在121[,],[,)2x x a-+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a -∞-递减，在121[,],[,)2x x a-+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.三、填空题11．已知双曲线E ：2201()mx ny n +=>的离心率为2，则其渐近线方程是______________.【答案】y x = 【解析】把双曲线化为221(0)y y m n m-=<-，求得,,a b c ，结合离心率2，求得3n m =-，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意，双曲线220):1(E mx ny n +=>可化为221(0)y y m n m-=<-，可得a b ==c ==，因为双曲线E 的离心率2，即2ca ==，解得3n m =-，所以双曲线的渐近线的方程为3y x x ==±.故答案为：y x =. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，其中解答熟记双曲线标准方程和几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．已知函数()32f x ax bx c =++（a ，b ，*N c ∈）有ac 个零点，bc 个极值点.则a =________，b =________，c =________.【答案】1 2 1【解析】求函数导数，分析函数单调性，得到极值点个数，再根据函数大致形状及极小值的正负，判断函数零点个数，即可求解. 【详解】()32f x ax bx c =++,2()32(32)f x ax bx x ax b '∴=+=+,a ，b ，*Nc ∈,∴当 23bx a<-或0x >时，()0f x '>， 当203bx a-<<时，()0f x '<， ∴ ()f x 在2(,),(0,)3b a -∞-+∞上单调递增，在2(,0)3ba-上递减，所以函数有2个极值点，即2bc =，由函数的增减性知，函数的零点个数可能为1，2,3， 若1,2==b c 时，有2a 个零点，此时1a =，()f x 极小值为(0)20f c ==>，函数只有一个零点，矛盾， 若 2,1b c ==，此时有a 个零点，而()f x 极小值为(0)10f c ==>，函数只有一个零点， 所以1a =，综上，1,2,1a b c ===， 故答案为：1；2；1 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，零点，考查了分类讨论思想，属于中档题.13．若实数x ，y 满足约束条件*1{3Nx y x y-≤∈+，则22xy +的取值范围是___________.【答案】(0,5]【解析】画出可行域，变换得到2222x y PO +==，根据图像得到答案.【详解】实数x ，y 满足约束条件*13N x y x y ⎧-≤⎪⎨∈⎪+⎩可行域如图所示，变换得到2222x y PO +==设()P x y ，为可行域内的点，则()222222x y x yPO +=+=由图可知()1,2P 或()2,1P ，max ||5PO = 所以22xy +的取值范围为(0,5]．故答案为：(0,5] 【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像，变换222x y PO +=是解题的关键.14．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，1AE CF ==.将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A '，C '，则A C ''取最小值时，二面角A EF C '--'的余弦值是___________.【答案】57【解析】本题考查空间中的折叠问题，涉及线面垂直，平行的判定与性质，涉及空间距离的最值问题，涉及余弦定理，二面角问题，属中高档题，难度较大.分别取BE ，DF 中点为M ，N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ，EF ，根据线面垂直的判定定理，先证明BE 、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线；分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，当且仅当A C ''为A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，，此时可以证明1C 为NE 的中点，1A 为MF 的中点；过点A '作A P '⊥EF 于点P ，过点C '作C Q '⊥EF 于点Q ，过点P 作//PG C Q '交FC '于点G ，连接AG ，得出A PG '∠即为二面角A EF C '--'的平面角；再由题中数据结合余弦定理计算，即可得出结果. 【详解】分别取BE ，DF 中点为M ，N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ，EF ，因为四边形ABCD 为矩形，22AB BC ==，1AE CF ==， 所以翻折前，四边形ABFE 和四边形CDEF 都是正方形，则1EF =，因此CE DF ⊥，AF BE ⊥，即NE DF ⊥，CN DF ⊥，AM BE ⊥，MF BE ⊥ 所以翻折后仍有A M BE '⊥，C N DF '⊥，NE DF ⊥，MF BE ⊥， 又A M MF M '⋂=，且,A M MF '⊂平面A MF '，所以BE ⊥平面A MF '； 同理，DF ⊥平面C NE '；且平面C NE '⊥平面BFDE ；又//DE BF ，且1DE BF ==，所以四边形BFDE 是平行四边形，则//BE DF ， 所以BE 、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线；又,BE DF ⊂平面BFDE ，所以平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ；分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，则点A '在底面的投影1A 落在直线MF 上，且沿MF 方向运动； 点C '在底面的投影1C 落在直线NE 上，且沿NE 方向运动； 当且仅当A C ''为A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A'C'ME , 故A'C'平面MFNE , 故11A A C C =''. 又11A A //C C '',11'A A C C ∴'，，，共面，平面11A AC C ''⋂平面11,MFNE AC =11A C 也是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，此时11RtA A M Rt C C N ≅'' ,11MA NC ∴=,又11//A C DF ，11//MA EC ,∴11MAC E 为平行四边形， 11MA EC ∴=, ∴1C 为NE 的中点，∴1A 为MF 的中点， 所以1124MA NC ==，因此11126216A A C C ''==-=， 所以6221616A F C E ''==+=， 将二面角A EF C '--'单独画出如下，过点A '作A P '⊥EF 于点P ，过点C '作C Q '⊥EF 于点Q ， 又1A E AE '==，1C F CF '==，所以221cos2A F EF A EA FEA F EF''+-'∠==='⋅因此1cos4FP A F A FE''=∠=，所以4A P'==；同理14EQ=，C Q'=1141314FPFQ==-，过点P作//PG C Q'交FC'于点G，连接AG，则GP EF⊥，所以A PG'∠即为二面角A EF C'--'的平面角；则13FG PGFC QC==''，因此PG=，13FG=，又A F A C'''==，1C F'=，则A FC''为等腰直角三角形，所以cos2A FC''∠=，故12A G'===，在A PG'中，2227710305144cos72724A P PG A GA PGA P PG+-''+-'∠===='⋅.故答案为：57.【点睛】本题主要考查求二面角的余弦值，熟记二面角的定义，结合题中条件求解即可，解题关键在于对A C''取最小值的处理，属于常考题型，难度较大.15．平面向量a，b，c 满足1aa b b cc===++=，0xa ya zc++=（,,0x y z≥且1x y z++=），则222x y z++的取值范围是___________.【答案】31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】把向量a，b，c，a b c++置于单位圆中，找到a c=-，再转化为代数关系，分类讨论. 【详解】如图，单位圆中OA a =，OB b =，OC c =，OP a b =+，OT a b c =++，根据向量加法的平行四边形法则：//BP OA 且BP OA =；//CO TP 且CO TP =； 1a b c a b c ===++=，111OT OB BP OA TP OC ∴======，，，OPB OPT ∴≅，即,B T 重合，//BP//OC OA ，且OC BP OA ==，所以a c =-.又0xa yb zc ++=，()0x z a yb ∴-+=，当a ，b 不共线时，有0,0x z y -==，又,,0x y z ≥，1x y z ++=. 得12x z ==，22212x y z ++= 当a ，b 共线时，1a b ==，z x y ∴-=±，若=z x y -，1x y z ++=，得12z =，12x y +=，2222221112242x y z x x x x ⎛⎫++=+-+=-+ ⎪⎝⎭ 10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；22231,82x y z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，若11,,=1,=,22z x y x z y x y z x z y -=-=++++=，2222221112242x y z z z z z ⎛⎫++=+-+=-+ ⎪⎝⎭ 10,2z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22231,82x y z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦综上：222x y z ++的范围是31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：31,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦利用平面几何知识寻找向量之间的关系，再把向量关系转换成代数关系，是处理向量问题常用方法，此题为难题,四、双空题16．托勒密定理指“圆内接凸四边形ABCD 两组对边乘积的和等于两条对角线的积”.若直径2AC =，21AB AD ==，则BD =____________，cos A =____________. 【答案】315+ 135-【解析】结合勾股定理求出,BC CD ，再由托勒密定理求出BD ；由()cos cos A DAC BAC =∠+∠结合三角函数即可求出cos A【详解】因为AC 为直径，2AC =，21AB AD ==，故3BC =，152CD =，由托勒密定理可知AD BC AB CD AC BD ⋅+⋅=⋅，即1153122BD =，解得315BD +=； 因为()cos cos cos cos sin sin A DAC BAC DAC BAC DAC BAC =∠+∠=∠⋅∠-∠∠，11513cos ,sin ,sin 42DAC DAC BAC BAC ∠=∠=∠=∠=， 故11153135cos 42428A -=⨯-=故答案为：3154；1358-本题主要考查圆内新定义的使用，三角函数与余弦的和角公式在解三角形中的使用，属于中档题.17．已知函数()2ln 2054x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若()0f a =，则实数a 的值是_________，若()f x 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在直线30kx y --=上，则实数k 的取值范围是___________.【答案】2e 或0或54-()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）分段讨论代入a 即可求解；（2）求出直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程10kx y ++=，然后将问题转化为直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点，构造函数()1ln 2,015,04x x xg x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，将问题转化为直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k 的取值范围. 【详解】（1）当0a >时，()ln 20f a a a a =-=，解得2a e =， 当0a ≤时，25()04f a a a ，解得a =0或54-，综上，a =2e 或0或54-； （2）直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程为()430kx y ----=，即10kx y ++=，对应的函数为1y kx =--. 所以，直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点.对于一次函数1y kx =--，当0x =时，1y =-，且()00f =. 则直线l 与函数()y f x =的图象交点的横坐标不可能为0. 当0x ≠时，令()1kx f x --=，可得()1f x k x+-=，此时，令()()1ln 2,0115,04x x f x xg x x x x x ⎧+->⎪+⎪==⎨⎪++<⎪⎩. 当0x >时，()22111x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 此时，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 函数()y g x =的极小值为()11g =-；当0x <时，()222111x g x x x-'=-=，当1x <-时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<.此时，函数()y g x =在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 函数()y g x =的极大值为()314g -=-. 作出函数yk =-和函数()y g x =的图象如下图所示：由图象可知，当1k -<-或34k ->-时，即当34k <或1k >时，直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点.因此，实数k 的取值范围是()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：2e 或0或54-；()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中档题.五、解答题18．已知函数()[](]sin cos ,0,sin cos ,,2x x x f x x x x πππ⎧+∈⎪=⎨-∈⎪⎩（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数()22x y f x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域.【答案】（1）()f x 的单调增区间是0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，7,24，减区间是,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）⎡+⎣.【解析】（Ⅰ）将函数转化为()[](][](],0,sin cos ,0,4sin cos ,,2,,24x x x x x f x x x x x x ππππππππ⎛⎫+∈ ⎪⎧+∈⎪⎝⎭==⎨-∈⎛⎫⎪⎩-∈ ⎪⎝⎭，分别令22242k x k πππππ-≤+≤+，22242k x k πππππ-≤-≤+，结合定义域求解.（Ⅱ）先得到()[](]2sin cos 1,0,sin 2cos ,,22x x x x y f x f x x x πππ⎧++∈⎪⎛⎫=+=⎨ ⎪-∈⎝⎭⎪⎩，当[]0,x π∈时，14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求得函数的值域，同理求得当[],2x ππ∈时，函数的值域，然后取并集. 【详解】（Ⅰ）()[](][](],0,sin cos ,0,4sin cos ,,2,,24x x x x x f x x x x x x ππππππππ⎛⎫+∈ ⎪⎧+∈⎪⎝⎭==⎨-∈⎛⎫⎪⎩-∈ ⎪⎝⎭，令22242k x k πππππ-≤+≤+，解得32244k x k ππππ-≤≤+，又[]0,x π∈， 所以0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π， 所以()f x 的单调增区间是0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，减区间是,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 令22242k x k πππππ-≤-≤+，所以32244k x k ππππ-≤≤+， 又(],2x ππ∈，所以7,24所以()f x 的单调增区间是7,24，减区间是7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦综上：()f x 的单调增区间是0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，7,24，减区间是,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()[](]2sin cos 1,0,sin 2cos ,,22x x x x y f x f x x x πππ⎧++∈⎪⎛⎫=+=⎨⎪-∈⎝⎭⎪⎩,当[]0,x π∈时，14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以10,14y x π⎛⎫⎡=++∈+ ⎪⎣⎝⎭；当[],2x ππ∈时，()y x ϕ=-，其中 tan 2ϕ=，因为[],2x ϕπϕπϕ-∈--，所以()y x ϕϕ⎡⎤=-∈⎣⎦；综上：函数()22x y f x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭的值域是⎡+⎣. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性和值域以及三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，1AB =，AD DP AP ===.BAD BCD ∠=∠90=︒.G 是BCD 的重心，PG ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：//AB 平面PCG ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）429【解析】（Ⅰ）过点G 作GM AD ⊥交AD 于点M 交BD 于点Q ，可证BQ DQ =，从而得到C 、G 、Q 共线，即//AB CG ，即可得证；（Ⅱ）连接AQ ，可得四边形ABCQ 是菱形，从而求出MG 、PG ，在Rt PGM 中，求出G PG MG h PM ⨯=，根据CMMG得到95C G h h =，最后根据sin C h CD θ=计算可得；【详解】解：（Ⅰ）如图过点G 作GM AD ⊥交AD 于点M 交BD 于点Q ，因为APD △是等边三角形，且PG ⊥底面ABCD ，所以PM AD ⊥，所以AM MD =， 又AB AD ⊥，所以//AB MG ，所以BQ DQ =，又G 是BCD 的重心，所以C 、G 、Q 共线，所以//AB CG ，又CG ⊂面PGC ，AB ⊄面PGC ，所以//AB 面PGC ，（Ⅱ）如图连接AQ ，因为1AB =，AD DP AP ===.BAD BCD ∠=∠90=︒所以2BD =，112AQ CQ BD ===， 所以=AB CQ AQ =，所以四边形ABCQ 是菱形，所以1122MQ AB ==，1133GQ CQ ==， 所以115236MG MQ GQ =+=+=所以3PG ==== 在Rt PGM中，5363272G PG MG h PM ⨯=== 因为13122CM CQ QM =+=+=，56MG = 所以392556CM MG ==所以95C G h h ==设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，所以sin C h CD θ===所以直线CD 与平面PAD【点睛】本题考查线面平行的证明，以及线面角的计算，考查空间想象能力，属于中档题.20．数列{}n a 满足10a =，121nn n a a +-=-（*N n ∈），求{}n a 的通项公式. 【答案】21nn a n =--【解析】用累加法可求出数列的通项公式. 【详解】121n n n a a +-=-，()()()112211n n n n na a a a a a a a---∴=-+-++-+1212121210n n1212221n n121212112nnn n，21nna n∴=--.【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，属于基础题.21．A，B是抛物线2y x=上两点.Ω是过A，B两点，半径为1的圆.l是抛物线的准线，M为Ω的圆心，O为坐标原点.（Ⅰ）若M在x轴上且Ω与l相切，求OAB的面积；（Ⅱ）求MA MB⋅的取值范围.【答案】（Ⅰ）(321812+；（Ⅱ）[)1,1-【解析】（Ⅰ）由已知准线与圆相切可得圆的方程，将圆的方程与抛物线方程联立可得交点的坐标，从而可得三角形的面积.（Ⅱ）利用向量数量积的定义以及余弦定理可得2112M ABA MB⋅=-，由02AB<≤即可求解.【详解】（Ⅰ）抛物线2y x=的准线方程为1=4x-，半径为1的圆的圆心在x轴上且圆与准线相切，可得圆心3,04M⎛⎫⎪⎝⎭，圆的方程为22314x y⎛⎫-+=⎪⎝⎭，将圆的方程与抛物线方程联立得，222314x y y x ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消y 得216870x x --=， 设交点()00,A x y，解得0x =， 由题意得点,A B 关于x 轴对称，200x y ==，()120112y =+，则()300032111228OABSy x y =⨯⨯=+=.（Ⅱ）cos cos MA MB MA MB AMB AMB ⋅=∠=∠22222211222MA MB ABAB AB MA MB+--===-, 又02AB <≤，所以211112AB -≤-<， 所以MA MB ⋅的取值范围为[)1,1- 【点睛】本题考查了圆与抛物线的位置关系、向量数量积的定义、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题.22．设0a >.已知函数()ln 1f x x =-（0x >）. （Ⅰ）证明：曲线()y f x =与曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭至少有一条公切线； （Ⅱ）若函数()()1g x f af x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围 注： 2.71828e =为自然对数的底数.【答案】（Ⅰ）存在公切线22ln1y a =-；1a ≤≤. 【解析】（Ⅰ）令()1h x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用导数可得()()max max f x h x =，从而可得两个函数图象的水平公切线.（Ⅱ）就01,1,1a a a <<=>分三类讨论，当01a <<时，可利用导数结合()1g g e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭得到a 的取值范围，当1a =时，1即为()g x 的零点，利用二次函数的性质和导数可证明1a >时，()0g x <在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，三者结合可得参数的范围.【详解】 （Ⅰ）()f x '=， 当240,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当24,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以()f x 在240,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在24,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数， 故()2max 422ln 1f x f a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 令()1h x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()22211122h x f x x x x x⎛⎫''=-⨯== ⎪⎝⎭⨯ 当20,4a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当2,4a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在20,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在2,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数，故()22max242ln 14a h x h f a a ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故曲线()y f x =与曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭至少有一条公切线为：22ln 1y a =-. （Ⅱ）()()()1ln 11ln g x f af x x a x a x ⎛⎫=+=-+++- ⎪⎝⎭当01a <<时，()((2223322222222aa a a x a ag x xx-+--+-'==，令t =，()()2222a t t a s t a -+-+=，()00s a =>，()()()()2212120a a a a s a -+-+=--<=，而对称轴为22202a t a -=<，故()s t 在()0,1有且只有一个零点0t ， 故()g x '在()0,1有且只有一个零点20t ，且当()200,x t ∈时，()0g x '>，当()20,x t ∈+∞时，()0g x '<，又()221110g a a a a =-++-=->，而201t <，故()()2010g t g >>.212g e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2g e a a =-， ()2122g g e a a e ⎛⎛⎫-=--- ⎪ ⎝⎭⎝222a a=-+-()12a ⎛=-- ⎝，因为()0,1a ∈，故220->>，故()10g g e e ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 所以()1g g e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 因为()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，故()010a g e <<⎧⎨≤⎩即0120a a a <<⎧⎪⎨-⎪⎩，1a ≤<. 若1a =，则()21110g =-=，故()g x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点1，符合.若1a >，下证：()0g x <对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.即证()ln 11ln 0x a x a -++-<对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.即证20a a->对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立. 令()1ln u x x =+()1u x x '==， 当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()21v x =-+，因为110e v e e-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()130v e e e =->->， 故任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总有()0u x '>，故()u x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， 故()()20u x u e ≤=<，故1ln 0x +--<对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2<，1<，因为1a >，故221110a x ⎛-+>-+=-≥ ⎝，故()ln 11ln 0x a x a -+++-对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立. 此时()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦无零点，综上，11a e≤≤. 【点睛】本题考查曲线的公切线和函数的零点，前者可先研究函数的最值，通过两个函数的最值相等得到水平的公切线，后者利用()211g a =-的符号来分类讨论，这是解决问题的核心和关系，本题属于难题.。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（6）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}2．（4分）若z=i2020+3i1+i，则z的虚部是（）A．i B．2i C．﹣1D．13．（4分）设x，y满足不等式组{x+y≤2．y≤x+a．y≥0．且yx+4的最大值为12，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4 4．（4分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数f(x)=(x−1x+1)e x的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．（4分）如图一，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC中点，DE⊥AC，将△CDE 沿DE翻折，得到直二面角C﹣DE﹣B，连接BC，F是BC中点，连接AF，如图二，则下列结论正确的是（）A．AD⊥CD B．AF∥DE C．DE⊥平面ACE D．AF∥平面CDE 7．（4分）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）8．（4分）函数f（x）={2−x−1，x＜0f(x−1)，x≥0，若方程f(x)=a√x有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．(√22，1]C．（1，+∞）D．(√22，+∞)9．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC=√3，F是线段BC上一点且满足BF＝1，E 是线段FC上一动点，把△ABE沿AE折起得到△AB1E，使得平面B1AC⊥平面ADC，分别记B1A，B1E与平面ADC所成角为α，β，平面B1AE与平面ADC所成锐角为θ，则（）A．θ＞α＞βB．θ＞β＞αC．α＞θ＞βD．β＞θ＞α10．（4分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1a n=a n2+2a n+1，则使得|√a2020−m|最小的整数m是（）A．65B．64C．63D．62二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）已知双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率e＞2，左、右焦点分别为F 1、F 2，其中F 2也是抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的焦点，C 1与C 2在第一象限的公共点为P ．若直线PF 1斜率为34，则双曲线离心率e 的值是 ．12．（6分）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 cm 3；表面积是 cm 2．13．（6分）在（√x −2x ）5的二项展开式中，x﹣2的系数为 ．（用数字作答）14．（6分）已知△ABC 内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b =2√3且（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，则△ABC 面积的最大值为 ． 15．（4分）已知F 为椭圆x 216+y 212=1的右焦点，A （﹣1，√3）是椭圆内的一点，点P 为椭圆上的点，则|P A |+|PF |的最大值为 ．16．（4分）在锐角△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，AC =√3，BA →•BC →的取值范围是 ． 17．（4分）设a ，b ∈R ，若函数f(x)=23ax 3+12bx 2+(1−a)x 在区间[﹣1，1]上单调递增，则a +b 的最大值为 ． 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（1）已知0＜α＜π2，2sin(α−π6)=65，求sin(2α−π12)． （2）已知cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4) （i ）求sin x 的值． （ii ）求sin(2x +π3)的值．19．（15分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是菱形，平面P AD ⊥平面ABCD ，O ，E 分别为AD ，AB 的中点，AB ＝6，DP ＝AP ＝5，∠BAD ＝60°．（1）求证：AC⊥PE；（2）求直线PB与平面POE所成角的正弦值．20．（15分）在各项均不相等的等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{b n}的前n项和S n＝2n+1﹣2．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n＝2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．（15分）抛物线M：y2＝8x的焦点为F，过焦点F的直线l（与x轴不垂直）交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为A1．（1）求证：直线A1B过定点，并求出这个定点；（2）若A1B的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形A1CBD外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程．22．（15分）已知函数f（x）＝alnx+a+12x2+1，g（x）＝x3−3(t+1)2x2+3tx+1（t＞0）．（1）当a=−12时，求f（x）在区间[1e，e]上的最值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若g（x）≤xe x﹣m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（4分）若z=i2020+3i1+i，则z的虚部是（）A．i B．2i C．﹣1D．1【解答】解：z=i2020+3i1+i=1+3i1+i=(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴z的虚部是1．故选：D．3．（4分）设x，y满足不等式组{x+y≤2．y≤x+a．y≥0．且yx+4的最大值为12，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：可知a≥﹣2，yx+4的几何意义是可行域内的点与Q（﹣4，0）连线的斜率，直线x+y﹣2＝0与直线y＝x+a的交点为A（1−a2，1+a2），当x＝1−a2，y＝1+a2时，yx+4的最大值为12，解得a＝2，所以实数a的值为2．故选：B．4．（4分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞b，取a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，则“a＞b”是“|a|＞|b|”不充分条件；若|a|＞|b|，取a＝﹣2，b＝1，则a＜b，则“|a|＞|b|”是‘a＞b”不必要条件；则a∈R，b∈R．“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．5．（4分）函数f(x)=(x−1x+1)e x的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x→﹣∞时，e x→0+，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f（x）→0+，排除C，D；因为x→+∞时，e x→+∞，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f（x）→+∞，因此排除B，故选：A．6．（4分）如图一，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC中点，DE⊥AC，将△CDE 沿DE翻折，得到直二面角C﹣DE﹣B，连接BC，F是BC中点，连接AF，如图二，则下列结论正确的是（）A．AD⊥CD B．AF∥DE C．DE⊥平面ACE D．AF∥平面CDE 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC中点，DE⊥AC，将△CDE沿DE翻折，得到直二面角C﹣DE﹣B，连接BC，F是BC中点，连接AF，∴DE⊥AE，DE⊥CE，∵AE∩CE＝E，∴DE⊥平面ACE．故选：C．7．（4分）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【解答】解：当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ＝1）=C31C64=15，P（ξ＝2）=C32C32C64=35，P（ξ＝3）=C31C64=15，∴E（ξ）=15+2×35+3×15=2，D（ξ）=15+15=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，P（η＝1）=C41C74=435，P（η＝2）=C42C32C74=1835，P（η＝3）=C43C31C74=1235，P （η＝4）=1C 74=135， ∴E （η）=435+2×1835+3×1235+4×135=167， D （η）=435（1−167）2+1835（2−167）2+1235（3−167）2+135（4−167）2=2449， ∴E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）． 故选：A ．8．（4分）函数f （x ）={2−x −1，x ＜0f(x −1)，x ≥0，若方程f(x)=a √x 有且只有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，1）B ．(√22，1]C ．（1，+∞）D ．(√22，+∞)【解答】解：因为方程f(x)=a √x 有且只有两个不等的实数根， 即说明函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝a √x 有两个交点，作出函数y ＝f （x ）的图象， 由图可知，当√22＜a ≤1时，满足题意． 故选：B ．9．（4分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =√3，F 是线段BC 上一点且满足BF ＝1，E 是线段FC 上一动点，把△ABE 沿AE 折起得到△AB 1E ，使得平面B 1AC ⊥平面ADC ，分别记B 1A ，B 1E 与平面ADC 所成角为α，β，平面B 1AE 与平面ADC 所成锐角为θ，则（ ）A．θ＞α＞βB．θ＞β＞αC．α＞θ＞βD．β＞θ＞α【解答】解：如图，过B1作B1O⊥AC，在RtABC中，∵AB＝1，BC=√3，∴AC＝2，∴在RtAB1C中，AB1＝1，B1C=√3，AC＝2，∵S△AB1C=12×AC×B1O=12×AB1×B1C，∴B1O=A1B×B1CAC=√32，AO=√1−34=12，∵平面B1AC⊥平面ADC，B1O⊥AC，∴B1O⊥平面ABCD，∴∠B1AO＝α，tanα=B1OAO=√3，∠B1EO＝β，tanβ=B1OEO＜tanα，∴β＜α，过O作OF⊥AE，垂足为F，连结B′F，则∠B′FO为平面B′FO与平面ADC所成锐角θ，∵O到AB的距离h＜14BC=√34，∴tanθ＞B1Oℎ=√3234=2，∴tanθ＞tanα，∴θ＞α，∴θ＞α＞β．故选：A．10．（4分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1a n=a n2+2a n+1，则使得|√a2020−m|最小的整数m是（）A．65B．64C．63D．62【解答】解：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n+1a n =a n 2+2a n +1，∴a n +1=a n 2+2a n +1a n =a n +2+1a n，∴a n +1﹣a n =1a n+2，∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 ＝2n ﹣1+（1a 1+1a 2+⋯+1a n）≥2n ，（n ≥2），∴a 2020≥4040，∴√a 2020＞63.5，∵a n +1=a n 2+2a n +1a n =(a n +1)2a n，∴√a n+1−√a n =a ≤2n =2n+2n√2n −√2n −2，n ≥2， ∴√a 2020=√a 2+(√a 3−√a 2)+⋯+(√a 2020−√a 2019)=2+√4038−√2＜64， ∴√a 2020最接近的整数是64，∴使得|√a 2020−m|最小的整数m 是64． 故选：B ．二．填空题（共7小题，满分36分） 11．（6分）已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＞2，左、右焦点分别为F 1、F 2，其中F 2也是抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的焦点，C 1与C 2在第一象限的公共点为P ．若直线PF 1斜率为34，则双曲线离心率e 的值是 4+√7 ．【解答】解：因为F 2是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以p2=c ，解得p ＝2c ，所以抛物线的方程为：y 2＝4cx ； 由k PF 1=tan∠PF 1F 2=34，∴cos ∠PF 1F 2=45，如图过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，设P （x 0，y 0）， 则PM =PF 2=x 0+p2=x 0+c ，∴PF 1=PMcos∠MPF 1=54(x 0+c)．由PF 1﹣PF 2＝2a ，可得54(x 0+c)−(x 0+c)=a ×2⇒x 0=8a −c在△PF 1F 2中，PF 2＝x 0+c ＝8a ，PF 1＝PF 2+2a ＝10a ，F 1F 2＝2c ， 由余弦定理得PF 22=PF 12+F 1F 22−2PF 1⋅F 1F 2⋅cos∠PF 1F 2即(8a)2=(10a)2+(2c)2−2⋅10a ⋅2c ⋅45，化简得5e 2﹣40e +45＝0∴e =4±√7，又e＞2，∴e =4+√7． 故答案为：4+√7．12．（6分）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 8+4√23cm 3；表面积是 20+4√3 cm 2．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故V =2×2×2+13×2×2×√2=8+4√23． S =4×12×2×√3+5×2×2=20+4√3． 故答案为：8+4√23；20+4√3． 13．（6分）在（√x −2x ）5的二项展开式中，x﹣2的系数为 ﹣80 ．（用数字作答）【解答】解：（√x −2x ）5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r x 12(5−r)(−2)r x −r ，由12(5−r)−r =−2得，3r ＝9，r ＝3，所以系数为C 53(−2)3=10×−8=−80，故答案为：﹣80．14．（6分）已知△ABC 内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b =2√3且（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，则△ABC 面积的最大值为 3√3 ．【解答】解：在△ABC 中，利用正弦定理化简（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，得（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，整理得：2sin A cos B ﹣sin C cos B ＝sin B cos C ，即2sin A cos B ＝sin （C +B ）＝sin A ， ∵sin A ≠0， ∴cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3， ∵b =2√3，∴根据余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，即12＝a 2+c 2﹣ac ， ∵a 2+c 2≥2ac （当且仅当时取“＝”号），∴12＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ＝ac ，即ac ≤12，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴S △ABC =12ac sin B =√34ac ≤3√3，则△ABC 面积的最大值为3√3． 故答案为：3√3． 15．（4分）已知F 为椭圆x 216+y 212=1的右焦点，A （﹣1，√3）是椭圆内的一点，点P 为椭圆上的点，则|P A |+|PF |的最大值为 10 ． 【解答】解：设椭圆左焦点为F '，则F '（﹣2，0）， ∵|PF |+|PF '|＝8，∴|PF |＝8﹣|PF '|， ∴|P A |+|PF |＝8+|P A |﹣|PF '，又∵A （﹣1，√3）是椭圆内的一点，连接AF '并延长交椭圆与点P ，如图所示：， 此时|P A |﹣|PF '|取最大值|AF '|，∴|P A |﹣|PF '|的最大值为√(−1+2)2+(√3)2=2， ∴|P A |+|PF |的最大值为8+2＝10， 故答案为：10．16．（4分）在锐角△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，AC =√3，BA →•BC →的取值范围是 （1，32] ．【解答】解：锐角△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，其对应的边分别为a ，b ，c ， ∴2B ＝A +C ， 又A +B +C ＝π， ∴B =π3， 由正弦定理可得asinA=c sinC=b sinB=√3sinπ3=2， ∴a ＝2sin A ，c ＝2sin C ＝2sin （2π3−A ）＝2（√32cos A +12sin A ）=√3cos A +sin A ，∴ac ＝2sin A （√3cos A +sin A ）=√3sin2A +2sin 2A =√3sin2A ﹣cos2A +1＝2sin （2A −π6）+1， ∵0＜A ＜π2，0＜2π3−A ＜π2 ∴π6＜A ＜π2∴π6＜2A −π6＜5π6， ∴12＜sin （2A −π6）≤1， ∴2＜2sin （2A −π6）+1≤3， ∴2＜ac ≤3，∵BA →•BC →=ac cos B =12ac ， ∴BA →•BC →的取值范围是（1，32]故答案为：（1，32]17．（4分）设a，b∈R，若函数f(x)=23ax3+12bx2+(1−a)x在区间[﹣1，1]上单调递增，则a+b的最大值为2．【解答】解：f′（x）＝2ax2+bx+1﹣a，∵函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，∴f′（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立，亦即（2x2﹣1）a+xb+1≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，令2x2﹣1＝x，解得x＝1或x=−1 2，将x=−12代入可得−12a−12b+1≥0，即a+b≤2，则a+b的最大值为2，下面证明a+b＝2可以取到，令g（x）＝f′（x）＝2ax2+bx+1﹣a，则g′（x）＝4ax+b，且g(x)≥0，g(−12)=0，则g′(−12)=−2a+b=0，解得a=23，b=43，当a=23，b=43时，g(x)=f′(x)=43x2+43x+13=13(2x+1)2≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，故a+b＝2可以取到，综上，a+b的最大值为2．故答案为：2．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（1）已知0＜α＜π2，2sin(α−π6)=65，求sin(2α−π12)．（2）已知cos(x−π4)=√210，x∈(π2，3π4)（i）求sin x的值．（ii）求sin(2x+π3)的值．【解答】解：（1）由已知可得：0＜α＜π2，2sin（α−π6）=65，即sin（α−π6）=35，∴cos（α−π6）=√1−sin2(α−π6)=45，∴sin（2α−π3）＝2sin（α−π6）cos（α−π6）=2425，cos（2α−π3）＝2cos2(α−π6)−1=725，∴sin（2α−π12）＝sin[（2α−π3）+π4]＝sin（2α−π3）cosπ4+cos（2α−π3）sinπ4=2425⋅√22+7 25⋅√22=31√250．（2）已知cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)，∴sin （x −π4）=√1−cos 2(x −π4)=7√210， （i ）∴sin x ＝sin[（x −π4）+π4]＝sin （x −π4）cos π4+cos （x −π4）sin π4=7√210⋅√210+√210⋅√22=45． （ii ）由题意，cos x =−√1−sin 2x =−35， 故sin2x ＝2sin x cos x =−2425，cos2x ＝2cos 2x ﹣1=−725， sin(2x +π3)=sin2x cos π3+cos2x sinπ3=−2425⋅12−725⋅√32=−24+7√350．19．（15分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是菱形，平面P AD ⊥平面ABCD ，O ，E 分别为AD ，AB 的中点，AB ＝6，DP ＝AP ＝5，∠BAD ＝60°． （1）求证：AC ⊥PE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：连结BD ，由菱形的性质可得：AC ⊥BD ， 结合三角形中位线性质得：OE ∥BD ，∴OE ⊥AC ， ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， ∴PO ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，∴AC ⊥OP ， ∵PO ∩OE ＝O ，∴AC ⊥平面POE ， ∵PE ⊂平面POE ，∴AC ⊥PE ．（2）解：由题意结合菱形的性质得OP ⊥OA ，OP ⊥OB ，AO ⊥OB ， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P （0，0，4），B （0，3√3，0），O （0，0，0），E （32，3√32，0）， 设平面POE 的一个法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅OP →=4z =0m →⋅OE →=32x +3√32y =0，取x =√3，得m →=（√3，−1，0）， 设直线PB 与平面POE 所成角为θ， 则sin θ=|PB →⋅m →||PB →|⋅|m →|=√32×43=386√129．∴直线PB 与平面POE 所成角的正弦值为386√129．20．（15分）在各项均不相等的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{b n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设c n ＝2a n+log 2b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）在各项均不相等的等差数列{a n }的公差设为d ，d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列，可得a 1a 5＝a 22即1（1+4d ）＝（1+d ）2，解得d ＝2，则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； 数列{b n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2，可得b 1＝S 1＝2；n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n +1﹣2﹣2n +2＝2n ，对n ＝1也成立， 则b n ＝2n ，n ∈N *； （2）c n ＝2a n+log 2b n ＝22n ﹣1+n ，则前n 项和T n ＝（2+8+…+22n ﹣1）+（1+2+…+n ）=2(1−4n )1−4+12n （n +1）=23（4n ﹣1）+12（n 2+n ）．21．（15分）抛物线M ：y 2＝8x 的焦点为F ，过焦点F 的直线l （与x 轴不垂直）交抛物线M 于点A ，B ，A 关于x 轴的对称点为A 1． （1）求证：直线A 1B 过定点，并求出这个定点；（2）若A1B的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形A1CBD外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程．【解答】解：（1）证明：由题意可得焦点F（2，0），显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，﹣y1），直线与抛物线联立{x=my+2y2=8x，整理得：y2﹣8my﹣16＝0，y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，直线A1B的方程为：y+y1=y2+y1x2−x1（x﹣x1），令y＝0，得：x=x2y1+x1y2y1+y2=(my2+2)y1+(my1+2)y2y1+y2=2my1y2y1+y2+2=2m×(−16)8m+2=−2．∴直线A1B恒过定点（﹣2，0）．（2）由（1）k A1B =y2+y1(my2+2)−(my1+2)=y2+y1m(−y1+y2)，y2﹣y1=±√(y2+y1)2−4y1y2=±8√m2+1，当y2﹣y1＝82+1时，k A1B =1√m+1，直线A1B：y=1√m+1+2)，设线段A1B的中点为E（x0，y0），则y0=12(−y1+y2)=4√m2+1，∴x0=√m2+1⋅y0−2=4m2+2，∴E（4m2+2，√m2+1），∴CD：y﹣42+1=−√m2+1（x﹣4m2﹣2），即y=2+1（x﹣4m2﹣6），上述方程代入y2＝8x，得x2−2[(4m2+6)+4m2+1]x+（4m2+6）2＝0，（*），∵CD是A1B的垂直平分线，∴CD是圆N的直径，∴x C+x D＝2[（4m2+6）+4m2+1]＝2×19，解得m=±√3．∴直线AB：x+√3y−2=0，此时CD：y＝﹣2x+36，x＝19时，y＝﹣2，方程（*）化简为x2﹣38x+324＝0，由题意解得CD＝2√185，圆N：（x﹣19）2+（y+2）2＝185，当y2﹣y1＝﹣8√m2+1时，同理求得AB：x±√3y−2＝0，圆N：（x﹣19）2+（y﹣2）2＝185．综上，直线AB的方程为x±√3y−2=0，圆N：（x﹣19）2+（y﹣2）2＝185．22．（15分）已知函数f（x）＝alnx+a+12x2+1，g（x）＝x3−3(t+1)2x2+3tx+1（t＞0）．（1）当a=−12时，求f（x）在区间[1e，e]上的最值；（2）讨论函数f （x ）的单调性；（3）若g （x ）≤xe x ﹣m +2（e 为自然对数的底数）对任意x ∈[0，+∞）恒成立时m 的最大值为1，求t 的取值范围．【解答】解：（1）当a =−12时，f （x ）=−12lnx +14x 2+1， ∴f ′（x ）=−12x +12x =(x−1)(x+1)2x，（x ＞0）， 当x ∈[1e，1)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（1，e ]时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，故当x ＝1时，f （x ）取得最小值f （1）=54， ∵f （e ）=2+e 24，f （1e ）=32+14e 2， ∴f （e ）＞f （1e），故函数的最大值为f （e ）=2+e 24，（2）∵f ′（x ）=1x +(a +1)x =(a+1)x 2+1x， ①当a +1≥0即a ≥﹣1时，f ′（x ）＞0恒成立，故f （x ）在（0，+∞）上单调递增， ②当a +1＜0即a ＜﹣1时，若x ∈(0，√−11+a )，f ′（x ）＞0成立，故f （x ）在（0，√−11+a ）上单调递增，若x ∈(√−11+a ，+∞)，f ′（x ）＜0成立，故f （x ）在（√−11+a ，+∞）上单调递减， （3）∵g （x ）≤xe x ﹣m +2对任意x ∈[0，+∞）恒成立时m 的最大值为1， ∴x 3−3(t+1)2x 2+3tx +1≤xe x﹣m +2对任意x ∈[0，+∞）恒成立， ∴m ≤xe x ﹣x 3+3(1+t)2x 2−3tx +1＝（e x ﹣x 2+3(t+1)x 2−3t ）x +1对任意x ∈[0，+∞）恒成立，且m 的最大值为1， 令g （x ）＝e x ﹣x 2+3(t+1)x2−3t ， 由题意可知，g （x ）≥0恒成立，则g （0）＝1﹣3t ≥0且t ＞0， 所以0＜t ≤13，∴g ′（x ）＝e x ﹣2x +3（t +1），x ＞0， 令h （x ）＝e x ﹣2x +3（t +1），x ＞0，∴h ′（x ）＝e x ﹣2，当x ∈（0，ln 2）时，h ′（x ）＝e x ﹣2＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（ln 2，+∞）时，h ′（x ）＝e x ﹣2＞0，h （x ）单调递增，故h （x ）min ＝h （ln 2）+32(t +1)−2ln2＞0， 故g （x ）单调递增，g （x ）≥g （0）＝1﹣3t ≥0 ∴0＜t ≤13即t 的取值范围（0，13]．。

宁波市2020年高考模拟考试高三数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 P n (k )=k n C p k(1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 212()13V h S S =球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{|06}U A B x Z x ==∈≤≤U ，(){1,3,5}U A C B =I ，则B =（▲）A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{0,2,4,6}D ．{|06}x Z x ∈≤≤ 2．把复数z 的共轭复数记作z ，若(1+)1i z i =-，i 为虚数单位，则z =（▲）A ．iB ．i -C ．1i -D ．1i + 3．()612x +展开式中含2x 项的系数为（▲）A ．15B ．30C ．60D ．120 4．随机变量X 的取值为0,1,2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()D X =（▲） A ．15 B ．25CD5．已知平面,αβ和直线12,l l ，且2l αβ=I ，则“12//l l ”是“1//l α,且1//l β” 的（▲）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设2,0()log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，．则函数(())y f f x =的零点之和为（▲）A ．0B ．1C ．2D ．47．从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须 是奇数的三位数个数为（▲）A ．12B ．18C ．24D ．8．如图，12,F F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若11AF BF ⊥，且13AF O π∠=，则1C 与2C 的离心率之和为（▲）A ．B ．4C ．D ．9．已知函数()=sin cos 2f x x x ，则下列关于函数()f x A ．最大值为1 B ．图象关于直线2x π=-对称C ．既是奇函数又是周期函数 D ．图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 10．如图，在直二面角A BD C --中，ABD ∆，CBD ∆均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到 1A BE ∆，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能．．．成立的是（▲） A ．BC 与平面1A BE 内某直线平行 B ．//CD 平面1A BE C ．BC 与平面1A BE 内某直线垂直 D ．1BC A B ⊥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

宁波效实中学 高考模拟测试卷数学（文）试题说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()2xf x =，则 2(log 0.5)f =A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2．已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“10,1a q”是“数列}{n a 是递增数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(1)g x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，若(1)1f =，则A ．(1)1f -=-B ．(2)1g =-C ．()01g =-D ． (3)9f -=-4．设不等式组518026030x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为M ，若直线:1l y kx =+上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是A ．32[,]23 B ．23[,]32C ．32(,][,)23D ．23(,][,)325．边长为1的正四面体的三视图中，俯视图为边长为1的正三角形，则正视图的面积的取值范围是 A ．13[]4 B ．31]2 C ．264 D ．33[86. 记O 为坐标原点，已知向量(3,2)OA =，(0,2)OB =-，点C 满足52AC =，则ABC ∠ 的取值范围为（A ）π06⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．设()0,A b ，点B 为双曲线2222:1x y C a b-=0(>a ，)0>b 的左顶点，线段AB 交双曲线一条渐近线于C 点，且满足3cos 5OCB ∠=，则该双曲线的离心率为A ．52B ．3C ．35 D 58．已知函数2()log ()f x ax =在1[,2]4x ∈上的最大值为()M a ，则()M a 的最小值是A ．2B ．32C ．1D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题, 第9题每空2分，10—12题每空3分，13—15题每空4分,共36分． 9．已知集合2{|42},{|+230}A x N y x B x Z x x =∈=-=∈-<，则A B =▲ ；A B = ▲ ；()Z A B = ▲ ．10．数列n a 的前n 项和n S 满足212nS n An ，若22a ，则A ▲ ，数列11n na a 的前n 项和nT ▲ ．11.设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左右焦点，P 为椭圆上任一点，则1||PF 的取值范围是 ▲ ，若M 是1PF 的中点，||3OM =，则1||PF = ▲ ． 12．已知函数()2sin(5)6f x x π=+，则()f x 的对称中心是 ▲ ，将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数()h x ,若2()322h ππαα⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭,则sin α的值是 ▲ ．13．已知三棱锥A BCD -的顶点都在球O 的球面上，,AB BCD ⊥平面90BCD ∠=，（第7O yx A B C2AB BC CD ===，则球O 的表面积是 ▲ ．14． ABC ∆的三边,,a b c 成等差数列，且22221a b c ，则b 的最大值是 ▲ ．15．过点(2,0)引直线l 与曲线22y x =-相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆面积取得最大值时，直线l 斜率为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分15分）已知向量=sin ,cos 6m x x π⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos ,cos n x x =.若函数()14f x m n =⋅-． （Ⅰ）求,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域；（Ⅱ） 在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，若()14f A =且=2AC AB -,求BC 边上中线长的最大值．17．（本题满分15分）已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是24,a a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若21log n n nb a a =+，12n n S b b b =+++，求使12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.18．（本题满分15分）如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．6PA PB AB BC ====，点M ，N 分别为PB ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：AM PBC ⊥平面；（Ⅱ）E 在线段AC 上的点，且//平面AM PNE . ①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．19．（本题满分15分）y xBCOFAD已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，()00,A x y 为Γ上异于原点的任意一点，D 为x 的正半轴上的点，且有||||FA FD =. 若03x =时，D 的横坐标为5.（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）直线AF 交Γ于另一点B ，直线AD 交Γ 于另一点C . 试求 ABC ∆的面积S 关于0x 的 函数关系式()0S f x =，并求其最小值.20．（本题满分14分）考查函数()f x 在其定义域I 内的单调性情况：若()f x 在I 内呈先减再增，则称()f x 为“V 型”函数；若()f x 在I 内呈减-增-减增，则称()f x 为“W 型”函数. 给定函数()()22,f x x ax b a b R =++∈.（Ⅰ）试写出这样的一个实数对(),a b ，使函数()fx 为R 上的“V 型”函数，且()f x 为R 上的“W 型”函数.（写出你认为正确的一个即可，不必证明）（Ⅱ）若()f x 为R 上的“W 型”函数，若存在实数m ，使()14f m ≤与()114f m +≤能同时成立，求实数2b a -的取值范围.参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6. A 7．D 8．B二、 填空题: 本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分． 9．{2,1,0,1,2,}--，{0}，{2,1}-- 10．12A，1n n T n11. [2,8]；412．(,0)305k k Z ππ-+∈322- 13． 12π 14．7 15． 33-三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分15分） 答案：（1）()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……3分，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围是32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…….5分 值域3142⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………7分；（2）3A π=………9分，由224b c bc +-=得228b c +≤………………12分3分 17．（本题满分15分）（1）132324232(2)a a a a a a +=⎧⎨+=+⎩1q ∴=（舍）或2q =，2n n a =………………7分（2）2n n b n =-，1(1)222n n n n S ++=--1(1)2474502n n n n S ++-+=-<， 2900n n +->，9n ∴>，又n N *∈，10n =………………8分18．如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．6PA PB AB BC ====，点M ，N 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AM PBC ⊥平面；（Ⅱ）E 在线段AC 上的点，且//平面AM PNE . ①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．答案：(1) PA AB AM PB PM MB BC PAB AM BC AM PBC AM PAB PB BC B =⎫⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎪⎪⎭平面平面平面 5分(2)连MC 交PN 于F ，则F 是PBC ∆的重心，且13MF MC =，////AM PEN AMC PEN EF AM EF AM AMC ⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面平面所以123AE AC ==， 9分 作EH AB ⊥于H ，则//EH BC ，所以EH PAB ⊥平面， 所以，EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成角. 12分PAB MNCE且123EH BC ==,123AH AB ==, 27PH ∴=,7tan 7EH EPH PH ∴∠==. 所以，直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为77. 15分（本题亦可用空间向量求解）19．（本题满分15分）解：（1）由题意知(,0)2PF ，设(5,0)D ， 因为||||FA FD =，由抛物线的定义得：3|5|22p p+=-，解得2p =,所以抛物线Γ的方程为24y x =. …………5分（2）知(1,0)F , 设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，因为||||FA FD =， 则0|1|1D x x -=+，由0D x >,得02D x x =+，故0(2,0)D x +，…………6分设直线AB 方程为：1x t y =+ ，联立24y x =，得：2440y ty --=，设()11,B x y ，则014y y =-，从而220101144y y x x =⋅=，110014,x y x y ∴==-， 由抛物线的定义得 000011||||||(1)(1)2AB AF BF x x x x =+=+++=++……9分 由于02AD y k =-，直线AD 的方程为000()2yy y x x -=--， 由于00y ≠，可得0022x y x y =-++.代入抛物线方程得2008840y y x y +--=，设22(,)C x y 所以0208y y y +=-，可求得2008y y y =--，20044x x x =++， ………11分 所以点C 到直线AB ：1x t y =+的距离为，其中0011AFx t k y -==0000248|4()1|1x t y d t ++++-==+2000000200418|4()()1|11()x y x x y -++++--+00x =004(x x =. 则ABC ∆的面积为 00001114(2)1622S AB d x x x x =⋅=⨯++≥， ………14分 当且仅当001x x =,即01x =时等号成立. 所以ABC ∆的面积的最小值为16. ………15分20．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）结合图像，若()fx 为R 上的“V 型”函数，则()()2222f x x ax b x a b a =++=++-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥()f x 为R 上的“W 型”函数，则()2min 0f x b a =-<，即2b a <.综上可知，只需填满足2a b a ≥⎧⎨<⎩的任何一个实数对(),a b 均可…………（5分） （Ⅱ）结合图像，()14f m ≤与()114f m +≤能同时成立等价于函数()f x 的图像上存在横坐标差距为1的两点，此时它们的函数值均小于等于14.由于()f x 为R 上的“W 型”函数，则20b a -<，下面分两种情形讨论：…………（7分） ① 当2104b a -<-<，即2214a b a -<<时，由2124x ax b ++=，得两根： 221211,44x a a b x a a b =---+=-+-+由于221114x x a b -=-+>，故必在区间()12,x x 内存在两个实数,1m m +，能使()14f m ≤与()114f m +≤同时成立 …………（10分）② 当214b a -≤-时， 令2124x ax b ++=，得：221211,44x a a b x a a b =---+=-+-+令2124x ax b ++=-，得：223411,44x a a b x a a b =----=-+--由于2211214x x a b -=-+≥> 22243122111224421144x x x x a b a b a b a b -=-=-+--=≤-++-- 故只需243114x x a b -=--≤，得：212a b -≤，结合前提条件， 即21124b a -≤-≤-时，必存在(][)1342,,1,m x x m x x ∈+∈，能使()14f m ≤与()114f m +≤同时成立综合①②可知， 所求的取值范围为2102b a -≤-< …………（14分）。

2020届高三数学6月统一练习（三模）考试试题（含解析）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合，，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，，且，解得，则，，.故选：C．考点：1.集合的运算；2.对数的计算．2. 若复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得.【详解】，因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】函数是单调递减函数，所以，函数是单调递增函数，所以，函数是单调递增函数，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.4. 已知函数的图象沿轴向左平移2个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（）A. -2B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，再由即可得解.【详解】先求与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，所以，可得：，故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题.5. 为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（）A. 150B. 250C. 200D. 50【答案】B【解析】【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数频率即可求解【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为，故选：B【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题6. “”是“函数与函数为同一函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可.【详解】若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题.7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.8. 等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.9. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.【详解】由图像可知，，则，因为棱长为，，所以，，故集合中的元素个数为，故选：A【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的橫向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算，再根据所给公式计算即可．【详解】，故，即，故．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的解析式求出，即可求解【详解】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题12. 的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】10.【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知13. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可.【详解】由，，可得：，，当时，，当时，，当且仅当时取等，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14. 在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果.【详解】根据题意有圆与双曲线的渐近线相交，则有圆心到直线的距离，所以，因为，所以，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简单题目.15. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】所有编号之和为，由甲、乙、丙三人每人抽到的3个小球的编号之和为15，在此条件下进行分析判断，即可得解.【详解】编号为1，2，3，，9的小球所有编号之和为，由甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，则每人抽到的3个小球编号之和为15，故①正确，依题意，由甲和乙的表述可知，甲和乙一人抽到了编号为8的小球，一人抽到了编号为9的小球，则丙所述没有抽到8号小球是正确的，故乙没有抽到2号小球，若甲抽到了编号为9的小球，乙抽到了编号为8的小球，设甲抽到的另外两个小球的编号分别为，乙抽到的另外两个小球的编号分别为，则，所以的取值只有1和5，2和4两种情况，当甲抽到的编号为1和5的小球时，乙只能抽到编号为3和4的小球，此时丙只能抽到编号为2，6，7，与条件矛盾，所以甲抽到编号为2与4的小球，则乙抽到编号为1和6的小球，所以甲抽到编号为2，4，9的小球，乙抽到编号为1，6，8的小球，丙则抽到编号为3，5，7的小球同理，也可以是甲抽到编号为1，6，8的小球，乙抽到编号为2，4，9的小球，而丙则抽到编号为3，5，7的小球，故②正确，③错误，④正确，故答案为：①②④【点睛】本题考查了命题的真假和逻辑关系，考查了逻辑推理能力和思维判断能力，考查了分类讨论思想，属于较难题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 在中，，，_________.求的值.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①：5；选②：5或3；选③：或.【解析】【分析】如果选①：利用正弦定理求出，再求出，利用正弦定理得解；如果选②：先求出，再利用余弦定理求出；如果选③：先求出，再利用余弦定理求解.【详解】如果选①：因为，，，所以在中，由正弦定理得.所以.故.，所以.又因为，所以.所以.在中，.所以.如果选②：因为，，，所以，由正弦定理得：.故，由余弦定理可得：，，解得或3.如果选③：，则，则，所以.当时，，；当时，，所以或.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）由，平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）取上的点，使得，证明且，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成角，求解三角形即可得出答案.【详解】（1）证明：四边形为正方形，，平面平面，且平面平面，平面，则.（2）取上的点，使得，则且，且，则四边形为平行四边形，则且，由，，可得，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成角，在中，求得，直线与平面所成角的正弦值为 .【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.18. 国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：300以上下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值：（1）从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随杋选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望.（3）设东部城市的AQI数值的方差为，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI数值的方差为，判断和的大小.（只需写出结论）附：方差计算公式.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市的个数，利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可列出分布列，由分布列即可求出期望.（3）利用方差的意义以及计算公式即可判断.【详解】（1）东部城市共个，空气质量为良有个，东部城市中任取一个，空气质量为良的概率.（2）空气质量“优”的城市有个，“轻度污染”的城市有个，根据题意的所有可能取值为，，，，的分布列为：所以.（3）如果将合肥纳入东部城市，可得【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.19. 已知函数（其中为常数）.（1）若且直线与曲线相切，求实数的值；（2）若在上的最大值为，求的值.【答案】（1）2；（2）2.【解析】【分析】（1）代入，得到，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据在的单调性求出最大值等于，从而求出.【详解】（1）时，，设切点为，则切线方程为点代入，化简解得.（2），①当即时，在上恒成立，故在单调递增，在的最大值为，故，满足；②当即时，在上恒成立，故在单调递减，在的最大值为，故，不满足，舍去；③当即时，由得，时，时，即在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为，即，所以，不满足，舍去，综上所述，.【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到的问题.20. 椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线，椭圆与直线交于，两点，当直线垂直于轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率可得，再代入点即可得解；（2）联立方程组，结合韦达定理可得的中点，由直线方程转化条件为，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，整理得，故椭圆的方程为，由已知得椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）由题意得直线的方程为，设，，的中点，由，消去整理得，，则，，所以，∴，所以点坐标为，假设在轴上存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段的垂直平分线与轴的交点.①当时，则过点且与垂直的直线方程，令，则，若，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以；若，则，当且仅当时，等号成立，所以，，所以；②当时，则有.所以存在点满足条件，且的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.21. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.（1）试判断与是否互为正交点列，并说明理由.（2）求证：不存在正交点列；（3）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论.【答案】（1）互为正交点列，答案见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义判断即可；（2）点列，，，是点列，，，的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明：，，，不存在正交点列；（3）有序整点列，，，，是点列，，，，的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案．【详解】解：（1）有序整点列，，与，，互为正交点列.理由如下：由题设可知，，，，因，，所以，.所以整点列，，与，，互为正交点列.（2）证明：由题意可得，，，设点列，，，是点列，，，的正交点列，则可设，，，，因为与，与相同，所以有因为方程②不成立，所以有序整点列，，，不存在正交点列.（3）存在无正交点列的整点列.当时，设，，其中，是一对互质整数，，若有序整点列，，，，是点列，，，，的正交点列，则，，由，得取，，，，，，，由于，，，，是整点列，所以有，.等式②中左边是3倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列.【点睛】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，存在性问题，反证法，难度较大，运算量也比较大，属于难题．2020届高三数学6月统一练习（三模）考试试题（含解析）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合，，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，，且，解得，则，，.故选：C．考点：1.集合的运算；2.对数的计算．2. 若复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得.【详解】，因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】函数是单调递减函数，所以，函数是单调递增函数，所以，函数是单调递增函数，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题. 4. 已知函数的图象沿轴向左平移2个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（）A. -2B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，再由即可得解.【详解】先求与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，所以，可得：，故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题.5. 为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（）A. 150B. 250C. 200D. 50【答案】B【解析】【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数频率即可求解【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为，故选：B【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题6. “”是“函数与函数为同一函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可.【详解】若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题.7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.8. 等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.9. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.【详解】由图像可知，，则，因为棱长为，，所以，，故集合中的元素个数为，故选：A【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的橫向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算，再根据所给公式计算即可．【详解】，故，即，故．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的解析式求出，即可求解【详解】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题12. 的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】10.【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知13. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可.【详解】由，，可得：，，当时，，当时，，当且仅当时取等，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14. 在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果.【详解】根据题意有圆与双曲线的渐近线相交，则有圆心到直线的距离，所以，因为，所以，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简单题目.15. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】所有编号之和为，由甲、乙、丙三人每人抽到的3个小球的编号之和为15，在此条件下进行分析判断，即可得解.【详解】编号为1，2，3，，9的小球所有编号之和为，由甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，则每人抽到的3个小球编号之和为15，故①正确，依题意，由甲和乙的表述可知，甲和乙一人抽到了编号为8的小球，一人抽到了编号为9的小球，则丙所述没有抽到8号小球是正确的，故乙没有抽到2号小球，若甲抽到了编号为9的小球，乙抽到了编号为8的小球，设甲抽到的另外两个小球的编号分别为，乙抽到的另外两个小球的编号分别为，则，所以的取值只有1和5，2和4两种情况，当甲抽到的编号为1和5的小球时，乙只能抽到编号为3和4的小球，此时丙只能抽到编号为2，6，7，与条件矛盾，所以甲抽到编号为2与4的小球，则乙抽到编号为1和6的小球，所以甲抽到编号为2，4，9的小球，乙抽到编号为1，6，8的小球，丙则抽到编号为3，5，7的小球同理，也可以是甲抽到编号为1，6，8的小球，乙抽到编号为2，4，9的小球，而丙则抽到编号为3，5，7的小球，故②正确，③错误，④正确，故答案为：①②④【点睛】本题考查了命题的真假和逻辑关系，考查了逻辑推理能力和思维判断能力，考查了分类讨论思想，属于较难题.。

浙江省2020届高三6月普通高中学业水平模拟考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在矩形ABCD 中的曲线是sin y x =，cos y x =的一部分，点,02B π⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)D ，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．4(31)π-B ．4(21)π-C ．4(31)π-.D ．4(21)π-2．已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图像与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图像，则()y g x =是减函数的区间为（ ）．A ．,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±4．空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ）A ．该地区在该月2日空气质量最好B ．该地区在该月24日空气质量最差C ．该地区从该月7日到12日持续增大D ．该地区的空气质量指数与这段日期成负相关5．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）A ．283πB ．323π C ．523π D ．563π6．在区间[1,2]-上随机取一个数k ，使直线(4)y k x =-与圆224x y +=相交的概率为（ ）A ．3B ．3C ．23D ．37．若函数()222,2log (),2x x f x x a x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥8．设实数x ，y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是（ ）A ．[]4,1- B ．33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(][),31,-∞-+∞U D ．[]3,1-9．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（ ） A ．726+ B ．722+C ．326+ D ．322+11．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．1412．已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80- B ．40- C ．40 D ．80二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届浙江省高三下学期6月新高考进阶数学试题一、单选题1．已知(){}2ln 2A x Ny x x =∈=--∣，{B y Ny =∈=∣，则()NA B ＝（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1C ．{}1,2,3D ．∅【答案】A【解析】首先确定集合,A B 中的元素，然后再由集合的运算法则计算． 【详解】由220x x -->得1x <-或2x >，∴{|2}A x N x =∈>，{0,1,2}NA =，10x -≥，11x -≤≤，011x ≤-≤，∴1e ≤≤，即1y e ≤≤，又y N ∈，∴1y =或2，即{1,2}B =，∴(){1,2}NA B =．故选：A ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合中的元素．一定要注意代表元的形式，对于与函数有关的数集，要注意是函数的定义域还是函数的值域．2．多项式396x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项是（ ） A ．216 B ．216-C ．540D ．540-【答案】D【解析】由于296x x =+-，故只需求解6的常数项即可. 【详解】解：因为332669x x ⎡⎤==⎢⎥⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()631663rrr rr r r T C C x --+⎛==- ⎝，令30r -=，得3r =， 所以常数项为：()3363540C -=-.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是二项式定理的展开式的通项公式.解题时多项式应化为二项式，这样求解较方便.3．正项等比数列{}n a ，m n p q +=+，“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先判断是否是充分条件，可令m n p q ===，显示条件成立，但结论不成立，故不充分；再证是否是必要条件，不妨假设m 最大，则n 最小，且0m p q n -=->，设{}n a 公比为,0x x >再得到()mnpqx x x x +-+(1)()m pp n xx x -=--，对x 分01x <<，1x =，1x >讨论，可证得m n p q x x x x +>+，从而得到m n p q a a a a +≥+，得到答案. 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为(0)x x >，因为m n p q +=+，当m n p q a a a a +≥+时，令m n p q ===，不等式成立，但是mn pq <不成立； 故“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的不充分条件；当mn pq <时，显然,,,m n p q 互不相等，设{}n a 公比为,0x x >m n p q a a a a +≥+等价于1111m n p q x x x x ----+≥+，即m n p q x x x x +≥+，因为m n p q +=+，mn pq <，所以()m p q m pq +-<，即()()0m p m q -->， 不妨假设m 最大，所以n 最小，所以0m p q n -=->，()m n p q x x x x +-+(1)(1)p m p n q n x x x x --=---(1)()m p p n x x x -=--当1x >时，1m p x ->，p n x x >，∴m n p q x x x x +>+； 当1x =时，m n p q x x x x +=+；当01x <<时，1m p x -<，p n x x <，∴m n p q x x x x +>+； 综上知，当mn pq <时，有m n p q a a a a +≥+， 故“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的必要条件.即“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的必要不充分条件. 故选：B ． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，等比数列的通项公式及性质，作差法比较厌，还考查了学生的分析推理能力，转化与化归思想，难度较大.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】D【解析】先根据三视图还原几何体的直观图，结合线面、面面垂直的判定定理即可. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -， 其中ABCD 为边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ， 所以平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAC ⊥平面ABCD ,又,,AD AB PA AD AB PA A ⊥⊥⋂=, 所以AD ⊥平面PAB ,平面PAD ⊥平面PAB ,又AC BD ⊥,,PA BD PA AC A ⊥⋂=,所以BD ⊥平面PAC ,平面PBD ⊥平面PAC ,同理可证：CD ⊥平面PAD ，CB ⊥PAB ，故平面PBC ⊥平面PAB ， 平面PCD ⊥平面PAD ，故该几何体两两垂直的平面共有7对.故选：D 【点睛】本题主要考查线面、面面垂直的判定定理，属于基础题. 5．若4AB =，3AC CB =，平面内一点P ，满足||||PA PC PB PCPA PB ⋅⋅=，sin PAB ∠的最大值是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】C【解析】由条件可得3,1AC BC ==，PC 是角平分线，然后由角平分线的性质可得3PA ACPB BC==，设PB x =，则3PA x =，然后221692222cos 22343393x x x PAB x x +-∠==+≥=⨯⨯，即可得出sin PAB ∠的最大值. 【详解】由4AB =，3AC CB =可得3,1AC BC == 因为||||PA PC PB PC PA PB ⋅⋅=，所以APC BPC ∠=∠，即PC 是角平分线所以由角平分线的性质可得3PA ACPB BC== 设PB x =，则3PA x =，由,PA PB AB PA PB AB +>-<可得12x <<因为221692222cos 22343393x x x PAB x x +-∠==+≥=⨯⨯当且仅当233x x =，即x =cos PAB ∠的最小值为3所以sin PAB ∠的最大值是13故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.6．已知函数22()(sin )(cos )()k k f x x x k Z +=-∈，()2121()(sin )(cos )k k g x x x k Z --+-=∈，()f x 与()g x 的最小正周期分别是（ ）A ．2,21k k ππ-B ．,2kππ C ．2,21k ππ- D ．,2ππ【答案】D【解析】用特殊值2k =分析，求出()f x 的周期，可知AB 错误，又33()sin cos g x x x =-，再验证并得到C 错，从而得到答案.【详解】令2k =，则44()sin cos cos2f x x x x =-=-，最小正周期为π，故AB 错误，33()sin cos g x x x =-，若其周期为23π，由(0)1g =-，21()38g π+=， 则2()(0)3g g π≠，故C 错误，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了特殊值法的应用，属于中档题.7．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE 上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ） A ．310B ．13C ．1130D ．25【答案】C【解析】5个快递送到5个地方有55120A =种方法，全送错的方法：第一步A 送错有4种可能，然后第二步是关键，考虑A 送错的地方对应的快递，如A 送到丙地，第二步考虑快递C ，而C 送错位置分两类，一类是送到甲，一类是送其他三个地方，再对剩下的3个快递分别考虑即可完成． 【详解】5个快递送到5个地方有55120A =种方法，全送错的方法数：先分步：第一步快递A 送错有4种方法，第二步考虑A 所送位置对应的快递，假设A 送到丙地，第二步考虑快递C ，对C 分类，第一类C 送到甲地，则剩下,,B D E 要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类C 送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的,,B D E 只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为4(1233)44⨯⨯+⨯=，所求概率为441112030P ==． 故选：C ． 【点睛】本题考查古典概型，快递送错位置与信装错信封（信封上已写地址）是同一回事，属于典型的计数问题，注意其求解方法，分类还是分步要确定好． 8．函数()0xy xx =>的最小值是（ ）A ．1eB ．11ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1D ．0+（无最小值，无限趋向于0）【答案】B 【解析】将()0xy xx =>变形得ln ln y x x =，可得ln x x y e =，求得该函数的导数，利用导数研究函数ln x xy e =的单调性与极值，进而可得出该函数的最小值.【详解】当0x >时，在等式x y x =两边取自然对数得ln ln y x x =，ln x xy e ∴=，()ln ln 1x x y e x '∴=+，令0y '=，得1=x e.当10x e<<时，0y '<，此时函数ln x xy e =单调递减；当1x e>时，0y '>，此时函数ln x x y e =单调递增. 因此，函数ln x xy e =在1=x e 处取得最小值，即1min 1e y e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，将函数解析式变形为ln x x y e =是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．双曲线上22221(0)x y b a a b-=>>有两点A 、B ，O 为坐标原点，F 为双曲线焦点，满足OA OB ⊥，当A 、B 在双曲线上运动时，使得恒222111||||||OA OB OF +≤成立，则离心率取值范围是（ ）A ．12⎦B ．32⎦C ．⎭ D ．⎛ ⎝ 【答案】A【解析】先根据OA OB ⊥得到12120x x y y +=，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到2222221m a b k b a =+-，从而得到22222211||||b a a b OA OB -+=为定值，即可求解离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB :y kx m =+ 因为OA OB ⊥，即12120OA OB x x y y ⋅=+=联立22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b ----=2122222kma x x b a k +=-，()22212222a m b x x b a k-+=- ()()()2212121112y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++代入得2222212222m b a b k y y b a k-=- 所以()2222222212122222220a m b m b a b k x x y y b a k b a k-+-+=+=-- 整理得2222221m a b k b a=+-即由()0,0O 到直线AB :y kx m =+的距离d =所以距离为一个定值又()()222222211||||||||||||||||||OA OB AB OA OB OA OB OA OB +==⋅⋅+ 又11||||||22ABCSOA OB AB d =⋅=⋅ 即()222||||||OA OB AB d ⋅=所以()2222222222211||11||||||||AB k b a d ma bOA OB OA OB +-+====⋅ 又222111||||||OA OB OF +≤所以222221112b a e a bc -+≤⇒<≤又b a e >⇒<12e +<≤ 故选：A 【点睛】此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，属于较难题目. 10．函数43221()x ax bx ax f x x--++=，a ∀，b R ∈，[1,2]x ∈上()f x 最大值(),M a b 的最小值为（ ）A ．916B ．932C ．716D ．732【答案】B 【解析】令1t x x=-，把函数式变形化简为2()()2f x g t t at b ==+--，注意30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后由(,)M a b 定义有(,)(0)M a b g ≥①，3(,)2M a b g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭②，3(,)4M a b g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭③，由①＋②＋2×③结合绝对值不等式的性质，计算后可得最小值．【详解】221()a f x x ax b x x =--++，令1t x x=-，则2()()2f x g t t at b ==+--， [1,2]x ∈，则130,2t x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 由题意(,)(0)2M a b g b ≥=-，3173(,)242M a b g a b ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭，3413(,)4164M a b g a b ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭3412(,)228M a b a b ⇒≥+-，∴173341(,)(,)2(,)224228M a b M a b M a b b a b a b ++≥-+--++- 17334192242288b a b a b ≥-+--++-=， ∴9(,)32M a b ≥．当且仅当553,322b a ==等号同时成立． ∴(,)M a b 的最小值为932．故选：B ． 【点睛】本题考查求绝对值函数的最值，考查绝对值不等式的性质和应用，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题11．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．【答案】118(,)55- 1-【解析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos 1313αα==A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos ,sin 1313αα==则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，则cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=-，sin()sin cos cos sin 65αβαβαβ+=+=，则118)55z i '=+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-. 故答案为：118(,)55-；1- 【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.12．在ABC 中，35AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，cos C 的最小值为_______．【解析】可先用向量的数量积公式将原式变形为：cos 3cos 5cos bc A ac B ab C +=，然后再结合余弦定理整理为222379a b c +=，再由cos C 的余弦定理得到,a b 的关系式，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】已知23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，可得cos 3cos 5cos bc A ac B ab C +=，将角A,B,C 的余弦定理代入得222379a b c +=，由222222239c 9s 22o a ba b C c ab ab ++-==≥，当b =时取到等号，故cos C.【点睛】本是考查了向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅是解题关键.属于中档题.13．“520”告白季，心形方程成为数学爱好者表白的不二之选．已知椭圆经旋转和对称变换后可得心形方程．若心形方程22||1x x y y -+=，则x y +的取值范围是_______．【答案】,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当0x ≥时，有221x xy y -+=，配方得22()133()2x y x y xy ++-=≤⋅，解得x y +的范围，当0x <时，有221x xy y ++=，配方得22()1()2x y x y xy ++-=≤，再解得x y +的范围，综合可得x y +的取值范围. 【详解】（1）当0x ≥时，有221x xy y -+=，配方得22()133()2x y x y xy ++-=≤⋅， 则2()4x y +≤，得22x y -≤+≤，当且仅当0x y =≥时取得最值，则1x y ==时，x y +有最大值为2；又由0x ≥时，有2210x yx y -+-=，则22()4(1)0y y ∆=---≥，得243y ≤，y ≤≤，即2x y ≤+≤；（2）当0x <时，有221x xy y ++=，配方得22()1()2x y x y xy ++-=≤， 则24()3x y +≤，得x y ≤+≤0x y =<时取得最值，则x y ==x y +有最小值为3-；综合（1）（2）可得x y +∈3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了有条件等式求值域，可利用等式，结合基本不等式构建不等式，再解构建的不等式求得值域，注意取“=”条件，还考查了分析推理能力，运算能力，难度较大. 14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 为线段OA 上动点，点Q 为平面OBC 上动点，且满足13OP OA ≤，OP BQ =，PQ 和OB 所成角θ，cos θ的最小值为_______．【答案】3【解析】如图所示,根据已知可设()10,0,03P t t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，()0,0,1A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(),,0Q a b ，由OP BQ =可得：()2221a b t -+=，(),,PQ a b t →=-，()1,0,0OB →=，cos cos ,OB PQ θ→→==.研究,a t 范围，化简计算即可得出结果. 【详解】如图所示,根据已知可设()(0,0,1),(1,0,010,0,03),(0,1,0),(,,0)A B C Q P t t a b ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭OP BQ =()2221a b t ∴-+=，(),,PQ a b t →=-，()1,0,0OB →=，cos cos ,OB PQ θ→→===，1t a t -≤-≤，11t a t -≤≤+，13t ≤，cos θ∴=≥==令187m a =-，则()21717766s 3co m m m m θ+⎛⎫==+≥⎪⎝⎭， 此时13t =，79a =符合条件.故答案为：73.【点睛】本题考查考查线线角求法、空间向量应用，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.三、双空题15．如表是随机变量102a ξ⎛⎫<<⎪⎝⎭的分布列，()E ξ=_______，()2D ξ∈_______． ξ0 12Pa12a -a【答案】1 ()0,4【解析】利用期望的公式求出()E ξ，再根据()2D ξ422()[]E E ξξ=-，化简求取值范围. 【详解】由题()E ξ01221a a a =⋅+-+=,又4444()01(12)2114E a a a a ξ=⋅+⋅-+⋅=+，2()E ξ=22201(12)212a a a a ⋅+⋅-+⋅=+，则()2D ξ422()[]E E ξξ=-22114(12)410a a a a =+-+=-+，1(0,)2a ∈，令2()410,f a a a =-+1(0,)2a ∈，则()f a 在1(0,)2a ∈递增，得()(0,4)f a ∈，故()2D ξ∈()0,4.故答案为：1；()0,4. 【点睛】本题考查了期望与方差的计算，熟记并灵活运用公式是解题的关键，属于中档题.16．已知2x y +=，2x >-，3y >-，则2223x y x y +++的最小值为_______，此时x y -_______．【答案】4725-【解析】令2,3m x n y =+=+，则0,0,7m n m n >>+=，再化简2223x y x y +++493m n =+-，利用49m n +149()()7m n m n=++化简，均值不等式求最值，得到答案. 【详解】令2,3m x n y =+=+，则0,0,7m n m n >>+=，再化简2223x y x y +++493m n=+-， 又49m n +149()()7m n m n =++13149131225()77777n m m n =++≥+=， 当且仅当49n m m n=时取得最小值，又7m n +=，得1421,55m n ==， 即当46,55x y ==时，2223x y x y +++有最小值254377-=，此时x y -=25-. 故答案为：47；25-.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，结合考查了换元法的应用，属于中档题.17．直线1: 2l y x =-与直线2:(0)l y kx k k =+>相交于点P ．直线1l 与x 轴交于点1P ，过点1P 作x 轴的垂线交直线2l 于点1Q ，过点1Q 作y 轴的垂线交直线1l 于点2P ，过点2P 作x 轴的垂线交直线2l 于点2Q ，，这样一直作下去，可得到一系列点1P 、1Q 、2P 、2Q ，，点(1,2,3)n P n =的横坐标构成数列{}n x .那么，k =_______时，{}n x 为周期数列；k =_______时，{}n x 为等比数列．【答案】1 2【解析】由题意依次计算1P 、1Q 、2P 、2Q ，，归纳出结论n x ，再由周期数列和等比数列的定义求解． 【详解】1l 的方程是2y x =-，2l 的方程是y kx k =+，则1(2,0)P ，()12,3Q k ，2(23,3)P k k -，22(23,33)Q k k k --，223(233,33)P k k k k -+-，2233(233,333)Q k k k k k -+-+，23234(2333,333)P k k k k k k -+--+，…，∴211233(1)3n n n x k k k --=-+++-⋅，∴()13121n nk k x k-⎡⎤--⎣⎦=-+，要使{}n x 为周期数列，则存在*n N ∈且1n >，2n x =，即()1310n k k -⎡⎤--=⎣⎦， ∵0k >，只有1k =且n 为奇数时满足题意，故1k =，要使{}n x 为等比数列，则2213x x x =，22(23)2(233)k k k -=-+，∵0k >，∴2k =，此时12(1)n n x -=⨯-，{}n x 是等比数列．故答案为：1；2． 【点睛】本题考查周期数列与等比数列的概念，考查归纳推理．解题关键是是由归纳推理得出n x 的表达式．也可由数列的前几项满足条件得出k 值，然后检验数列{}n x 后面的项也满足条件即可．四、解答题18．在非直角ABC 中，4tan tan tan tan tan 3A B C B C ++=⋅，5a =. （1）求sin A ；（2）若AD 是角平分线，AD =，求ABCS ．【答案】（1）4sin 5A =；（2）12. 【解析】（1）先根据内角和为π得到tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅，从而可求tan A 的值，利用同角的三角函数的基本关系式可求sin A .（2）由（1）可得sin2A =，设,AB x AC y ==，则根据面积公式可得()3011x y xy +=，再由余弦定理得,x y 的关系，两者结合可求30xy =，从而可求面积. 【详解】（1）因为()()tan tan tan A B C B C π=--=-+，故tan tan tan 1tan tan B CA B C+=--，整理得到tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅，所以4tan tan tan tan tan 3A B C B C ⋅=.因为,B C 为三角形内角，故tan tan 0B C ≠，故4tan 3A =，因为A 为三角形内角，故0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5A ==. （2）设,AB x AC y ==. 由（1）知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5A =，故3cos 5A =，故2312sin 52A =-，而0,24A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故5sin 25A =. 由ADBADCABCSSS+=可得111sin sin sin 22222A A AD AB AD AC AB AC A ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯， 故()245541155x y xy +⨯⨯=⨯，整理得到()3011x y xy +=. 由余弦定理可得2232255x y xy +-⨯=，整理得到：()216255x y xy +-=， 故()21212880259000xy xy --⨯=即()()121750300xy xy +-=， 故30xy =，所以面积为14301225⨯⨯=. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形以及面积公式的应用，当解三角形中遇到角平分线时，可考虑用面积关系来讨论，本题数据较大，不易计算.19．四面体A BCD -中，3AB AC AD BC BD =====，E 是AB 上一动点，F 、G 分别是CD 、EF 的中点．（1）当E 是AB 中点，3CD =时，求证：DG BC ⊥；（2）1AE =，当四面体A BCD -体积最大时，求二面角D CE B --的平面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（22203【解析】（1）当3CD =时，四面体A BCD -是正四面体，通过正四面体的性质建立空间直角坐标系，通过计算得0BC DG =，从而得证. （2）取AB 的中点H ，连接CH ，DH ，FH ，易证明13A BCD A CDHB CDH CDHV V V SAB ---=+=，设CF x =，利用勾股定理计算得到FH ，利用体积公式22411127272333244A BCD CDHV S AB x x x x -==⋅⋅⋅-⋅=-，算出体积表达式，进行配方得到体积取最大值时364CF =，22227364FH CH CF x CF =-=-==，故,,CH DH AB 两两互相垂直，利用空间直角坐标系计算得出答案. 【详解】（1）取BC 的中点H ，连接DH ，BF ，DH BF O =，连接OA ，过O 做CD 的平行线交BD 于点M ， 如图，3AB AC AD BC BD =====，3CD =，∴ 此三棱锥是正四面体，∴O 为BCD ∆的中心，AO ⊥ 面BCD ，以O 为坐标原点，分别以OF ，OM ，OA 为空间直角坐标系的x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知，2293394DH DC CH =-=-=，1332OH DH ==，233OD DH ==，22936AO AD OD =-=-= ∴(3,0,0)B - ，33(,,0)22C -，33(,,0)22D ，(0,0,6)A ，36(,0,)22E -，3(,0,0)F ，6(0,0,)G ， ∴333(,,0)2BC =- ，336(,,)2DG =-- ，∴0BC DG = ，∴DG BC ⊥得证. （2）如图，取AB 的中点H ，连接CH ，DH ，FH ， 3AB AC AD BC BD =====，∴ ABC ，ABD △ 均为等边三角形， ∴AB CH ⊥，AB DH ⊥，CH DH H =，,CH DH ⊂面CDH ，∴AB ⊥面CDH ，∴13A BCD A CDHB CDH CDHV V V SAB ---=+=，设CF x = ，则222223279()24CH DH BC BH ==-=-=，222274FH CH CF x =-=-， ∴22411127272333244A BCD CDHV S AB x x x x -==⋅⋅⋅-⋅=-，∴24222727729()4864A BCD V x x x -=-=--+， ∴当2278x =，即36x = 时，四面体A BCD -体积有最大值， 此时， 222273644FH CH CF x =-=-=， ∴FH CF =，∴CDH △为等腰直角三角形，CH DH ⊥，如图，以H 为坐标原点，HC 为x 轴，HD 为y 轴，HA 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AE =，∴3(0,0,)2B -，(,0,0)2C，(0,,0)2D ，1(0,0,)2E ，∴(CD =，1()2CE =，3()2CB =- 设面CDE 的法向量为111(,,)n x y z = ，由0n CD = ，0n CE =得，11110221022x y x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ∴取(1,1,3n =，设面BCE 的法向量为222(,,)m x y z = ，由0m CB = ，0m CE =得，2222302102x z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ∴取(0,1,0)m =，∴cos 2929n m n mθ===⋅ ，∴sin 29θ= ，故答案是29. 【点睛】（1）此题通过传统方法需要证明点G 在高线OA ，比较繁琐，建系可以有效的避免这一点，证明起来比较简单；（2）第二问的关键是找到什么时候四面体A BCD -的体积最大，需要构建体积表达式，利用函数的方法求出四面体A BCD -的体积最大时满足的条件，后建系计算即可得出答案，此题计算较为复杂，大家要细心解答.20．在数列{}n a 中，11a =，22a =，2134n n n a a a ++=+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）n b =n S是数列{n b 的前n项和，n n T =，求证：1232n T T T ++⋅⋅⋅+<． 【答案】（1）()11324155n n n a --=⋅+-⋅；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得()2114n n n n a a a a ++++=+，构造数列{}1n n a a ++为等比数列，得1134n n n a a -++=⋅，从而有1294n n n a a -+-=⋅，对n 分奇偶，采用累加法求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得42n nn b =-，则可得n S ，故131122121n n n T +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，采用裂项相消法求12n T T T ++⋅⋅⋅+即可证明. 【详解】（1）由2134n n n a a a ++=+得，()2114n n n n a a a a ++++=+，又213a a +=， 所以数列{}1n n a a ++为首项为3，公比为4的等比数列，故1134n n n a a -++=⋅，又2134n n n a a +++=⋅，则有1294n n n a a -+-=⋅，所以当n 为奇数时，()()()131532n n n a a a a a a a a -=+-+-+-⋅⋅⋅+()32231214432191441941455n n n ----⋅=++++=+⋅=⋅⋅⋅+⋅-，当n 为偶数时，1113234455n n n n a a --+=⋅-=⋅-，经验证12,a a 均符合， 故()11324155n n n a --=⋅+-⋅； （2）4n n b ==，则42n nn b =-， 所以()()224442224442221412n n nnn S -⋅-⋅=+++-+++⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-- 11124233n n ++=⋅-+，所以()()11112323112212122121124233n nn n n n n n n n n b T ++++⋅⎛⎫====⋅- ⎪----⎝+⎭-所以122312112131111221212211n n n T T T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥---⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+- ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣-⎝⎦⎭ 131312212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式，数列的通项公式，数列求和，考查了累加法，裂项相消法这些数列求解的基本方法，综合考查了学生的运算求解能力.21．已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>，过抛物线焦点F 的直线1l 、2l 分别交抛物线于A 、B 、C 、D （B 、C 在x 轴上方），()11,A x y ，()22,B x y ，1214y y =-.（1）求抛物线Γ的标准方程；（2）若45BFC ∠=︒，求AB CD ⋅的最小值． 【答案】（1）2y x =；（2）24162-【解析】（1）设直线1l 的方程为2p x ky =+，联立抛物线方程与2px ky =+，利用韦达定理写出12y y ，解出p 的值；（2）设直线1l 的倾斜角为α，利用含α的式子表示弦长AB ，同理可得CD ，得出AB CD ⋅的表达式，然后利用三角恒等变换结合三角函数等知识点求解最值.【详解】解：（1）由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为2p x ky =+，代入()220y px p =>得：2220y pky p --=，则21214yy p ⋅=-=-，得12p =，当AB x ⊥轴时，21214y y p ⋅=-=-成立， 所以抛物线Γ的标准方程为：2y x =.（2）设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为45α+，如图所示，分别过点,A B 作,BM AN 分别垂直于抛物线2y x =的准线，垂足分别为M 、N ，再分别作BP AQ 、垂直于x 轴，则cos BF p BF α⋅+=，得1cos pBF α=-，cos p AF AF α-⋅=，得1cos pAF α=+,所以22211cos 1cos sin sin p p p AB AF BF αααα=+=+==+-，同理可得()()2221sin 45sin 45p CD αα==++所以()22211sin sin 4522sin AB CD ααααα⋅==⋅+⎡⎤⎫⋅+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2211241621212sin 2242πα=≥=-⎡⎛⎛⎫-++ ⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭当且仅当242ππα-=， 3=8πα时AB CD ⋅取最小值.所以AB CD ⋅的最小值为24-【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，难度较大.解答时要合理设元，巧妙利用韦达定理求解，关于弦长最值问题一定要现将弦长用所设未知量表示出来，然后设法求出最值. 22．函数()ax f x e x =-，0a >.（1）对任意[0,)x ∈+∞，21()12f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围； （2）若1a >，对任意(,)x e ∈+∞，2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1a ≥；（2）>1a 【解析】（1）由已知条件得21102axe x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()2112ax g x e x x =---，即需()0g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，对()g x 求导，分析其导函数的正负，得出()g x 的图象变化趋势，可得出a 的取值范围； （2）不等式2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥等价于()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+，令()226x F x e x x =+-，对函数()F x 求导，分析函数的单调性，运用单调性求解不等式，得到ln xa x≥在(,)x e ∈+∞上恒成立，令()ln xG x x=，对其求导函数，研究其单调性，根据函数()G x 的最值，可得a 的取值范围． 【详解】（1）由函数()axf x e x =-，得不等式21()12f x x ≥+等价于21102ax e x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()2112axg x e x x =---，则()'1ax g x ae x =--，令()()'1ax h x g x ae x ==--，则()'21axh x a e =-，因为0a >，所以()'21axh x a e =-在R 上单调递增，又[0,)x ∈+∞，所以()()'2'2101ax h x a e h a =-≥=-，当210a -≥时，即1a ≥时，()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()010h x h a ≥=-≥，即()'0g x ≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以21102axe x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，满足题意，所以1a ≥满足；当210a -<时，即01a <<时，()'00h <，又()'h x 在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一0[0,)x ∈+∞使得()'0h x =，即02021ln ax a ex a a==-，，所以()'h x 在0[0,)x 上()'0h x <，()h x 在0[0,)x 上单调递减，()'h x 在()0+x ∞，上()'>0h x ，()h x 在()0+x ∞，上单调递增， 所以()()0h x h x ≥，而()000122ln 11+ln 1ax a a h x ae x a a a a-+=--=-=， 令()()'22ln 1,>0aH a a a H a a-=-+=，所以()H a 在()01，上单调递增，所以()()12ln11+10H a H <=-=，所以()00h x <，即()'00g x <，又()'010g a =-<，()'+x g x →+∞→∞，，所以存在()10+x x ∈∞，使得()'0g x =，即1110ax x ae --=，且()'g x 在()10x ，上()'0g x <，()g x 在()10x ，上单调递减，()'g x 在()1+x ∞，上()'>0g x ，()g x 在()1+x ∞，上单调递增，所以()()1g x g x ≥，而()00g =，所以()10g x <，这与()0g x ≥在[0,)+∞上恒成立相矛盾，所以01a <<不满足题意， 综上可得a 的取值范围1a ≥； （2）因为(,)x e ∈+∞，所以不等式2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥等价于()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+，令()226xF x e x x =+-，则()()'22623xxF x e x e x =+-=+-，因为()'F x 在R 上单调递增，且()()'12+13>0F e =-，1'2112+3022F e ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一的2112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()'20F x =， 所以()2x x ∈-∞，时，()'0F x <，()F x 在()2x -∞，上单调递减，()2+x x ∈∞，时，()'>0F x ，()F x 在()2+，x ∞上单调递增， 因为(,)x e ∈+∞，1a >，所以>1,ln >1ax e x >，所以要使()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+在(,)x e ∈+∞上成立，即()()ln F ax F x ≥在(,)x e ∈+∞上成立，则需ln >1ax x ≥，即ln x a x≥在(,)x e ∈+∞上恒成立，令()ln x G x x=，则()2'1ln x G x x -=，因为(,)x e ∈+∞，所以ln >1x ，所以1ln 0x -<，即()'0G x <，所以()ln x G x x=在(,)x e ∈+∞上单调递减，所以()()ln 1e G x G e e e <==，所以1a e≥ ，又>1a ，所以a 的取值范围是>1a ． 【点睛】本题考查运用导函数解决不等式的恒成立问题中求参数的范围的问题，关键在于构造合适的函数，通过对其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性，属于难题.。

2020年浙江高三下学期高考模拟数学试卷（6月山水联盟）-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第1题4分已知集合A={x|−2<x<2}，B={x|log2⁡x⩽1}则A∩B=（）．A. {x|−2<x<2}B. {x|−2⩽x⩽2}C. {x|0<x⩽2}D. {x|0<x<2}2、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第2题4分已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是（）．A. √2B. √5C. √3D. √523、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第3题4分若实数x，y满足约束条件{y+x−1⩽0x−y+1⩾0y⩾0，则z=3x−2y的最大值是（）．A. 3B. −2C. −3D. 14、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第4题4分某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何的体积（单位：cm3）是（）．A. 12B. 4C. 24D. 85、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第5题4分随机变量X的分布列如下表：已知p(X⩽2)=12，则当b在(0,12)内增大时（）．A. E(X)递减，D(X)递减B. E(X)递增，D(X)递减C. E(X)递减，D(X)递增D. E(X)递增，D(X)递增6、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第6题4分在直角坐标系中，函数f(x)=ax+e xx2的图象如下图所示，则a可能取值是（）．A. −4B. −1C. 1D. 07、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第7题4分设A 、B 、C 三点不共线，则“AB →与AC →的夹角是钝角”是“|AB →+AC →|<|BC →|”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第8题4分2020~2021学年浙江杭州高二下学期期中（北斗联盟）第15题4分已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，P 是平面A 1BCD 1上的动点，M 是线段BC 1的中点，满足PM 与CC 1所成的角为π6，则动点P 的轨迹为（ ）．A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第9题4分已知f (x )=ax 2−axln⁡(ax )−e x−1(a >0)在(0,+∞)内存在零点，则实数a 的取值范围（ ）． A. (0,e]B. (0,1]C. [e,+∞)D. [1,+∞)10、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第10题4分已知数列{a n }满足a n+1+√2=a n 22(a n +√2)，n ∈N ∗，则下列错误的是（ ）．A. 若a 1∈(3,4)，则数列{a n }单调递增B. 存在a 1∈(43,3)，使数列{a n }为常数列C. 若a 1∈(12,43)，则数列{a n }单调递减D. a 2=12−√22时，−√2<a n ⩽1二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第11题6分《数书九章》卷五中第二题，原文如下：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？答曰：田积三百一十五顷，术曰：以少广求之，以小斜幂（c 2）并大斜幂（a 2），减中斜幂（b 2），并半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，以四约之，为实；以为从偶，开平方，得积（S ）．译成现代式子是这个式子S =√14[c 2a 2−(a 2+c 2−b 22)2]称为秦九韶三斜求积公式．已知三角形的三边分别为5，6，7时，则面积为 ，最小角的余弦值为 ．12、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第12题6分复数z =2−i 1−2i （i 为虚数单位），则|z |= ，z 2= ．13、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第13题6分二项式(x +√x )5的展开式的所有项的系数和 ，展开式中有理数的项数为 ．14、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第14题6分在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PB ⊥PD ．则|PA →|的最大值是 ，|PA →|+|PC →|最大值是 ．15、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第15题4分将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有种不同的放法．16、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第16题4分已知点P为抛物线y2=4x上的动点，过点P作圆x2+(y−3)2=1的切线，切点为A，则PA的最小值为．17、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第17题4分已知函数f(x)=|√x−a|+2|x−b|(a∈R,b∈R)，当x∈[0,4]时，f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第18题14分已知函数f(x)=sin⁡x⋅(cos⁡x+√3sin⁡x)．(1) 求函数f(x)的最小正周期和对称轴．(2) 若f(x0)⩽√3，求x0的取值范围．19、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第19题15分四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，侧面PBC为正三角形，平面PBC⊥平面ABCD，∠ABC=π，点M为AD中点．3(1) 求证：CM⊥PB．(2) 若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第20题15分已知公差不为0的等差数列{a n}满足：a1=1，a2，a4，a8成等比数列，数列{b n}满足：b1=1，b n+1=(b n+n)b nn．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 记数列c n=1b n+a n ，数列{c n}的前n项和为T n，证明：12⩽T n<1．21、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第21题15分如图，已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1经过(2,0)和(0,√2)，过原点的一条直线l交椭圆于A，B两点（A在第一象限），椭圆C上点D满足AD⊥AB，连直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，△ABD的重心在直线x=1321的左侧．(1) 求椭圆的标准方程．(2) 记△AOM、△OMN面积分别为S1、S2，求S1−S2的取值范围．22、【来源】 2020年浙江高三下学期高考模拟（6月山水联盟）第22题15分已知f(x)=aln⁡x−√x+1．(1) 当a=1时，求f(x)的单调区间．(2) 当a∈(0,12)时，求证：xf′(x)>f(x)．(3) 满足（2）条件下的任意x1，x2，求证：f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 B;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 D;10 、【答案】 C;11 、【答案】6√6;57;12 、【答案】1;725+2425i;13 、【答案】243;3;14 、【答案】5;5√2;15 、【答案】10;16 、【答案】1;17 、【答案】5;18 、【答案】 (1) f(x)的最小正周期T=π，f(x)的对称轴为x=5π12+kπ2，k∈Z．;(2) {x0|−π2+kπ⩽x0⩽π3+kπ}，k∈Z．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √3020．;20 、【答案】 (1) a n=n．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y22=1．;(2) (0,√68)．;22 、【答案】 (1) f(x)在x∈(0,2+2√2)单调递增，在x∈(2+2√2,+∞)单调递减．;(2) 证明见解析．;(3) 证明见解析．;。

宁波市2019学年第二学期高考适应性考试数学试卷参考公式柱体的体积公式:V=Sh,其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高;锥体的体积公式:1,3V Sh =其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高;台体的体积公式:11221()3V S S S S h=++,其中12,S S分别表示台体的上､下底面积,h表示台体的高;球的表面积公式:24S Rπ=;球的体积公式:34,3V Rπ=其中R表示球的半径;如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B);如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率,()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n-=-=L第I卷(选择题部分,共40分)一､选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1},B={-1,1,2},则()()U UA B⋃=痧A.{-1,1}B.{-2,3}C.{-1,0,1,2}D.{-2,0,2,3}2.已知复数z是纯虚数,满足z(1-i)=a+2i(i为虚数单位),则实数a的值是A.1B.-1C.2D.-23.已知实数x,y满足约束条件14,35xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若z=3x+y的最大值是A.615.2B17.2C25.3D4.已知△ABC中角A､B､C所对的边分别是a,b,c,则“2222a b c+=”是“△ABC为等边三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知随机变量X的分布列是其中a≤2b≤6a,则E(X)的取值范围是4.[,1]9A 21.[,]93B - 15.[,]39C 14.[,]39D - 6.函数21cos 21x x y x +=⋅-的部分图像大致为7.设a,b ∈R ,无穷数列{}n a 满足:2*11,1,n nn a a a a ba n +==-+-∈N ,则下列说法中不正确的是 A.b=1时,对任意实数a,数列{}n a 单调递减B.b=-1时,存在实数a,使得数列{}n a 为常数列C.b=-4时,存在实数a,使得{}n a 不是单调数列D.b=0时,对任意实数a,都有201820202a >-8.若正实数x ､y 满足22,x y x y -=-则x 的取值范围是A.[4,20]B.[16,20]C.(2,10] .(2,25]D9.点M 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上,以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点,与y 轴相交于P,Q,若△MPQ 是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是62.(0,)A - 2.(0,)2B 23.(,)2C 2.(,1)2D 10.在正四面体S ABC -中,点P 在线段SA 上运动(不含端点).设PA 与平面PBC 所成角为1,PB θ与平面SAC 所成角为2,PC θ与平面ABC 所成角为3,θ则213.A θθθ<< 231.B θθθ<< 312.C θθθ<< 321.D θθθ<<第11卷(非选择题部分,共110分)二､填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.5111.()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2,则实数a=___,该展开式中常数项为____. 12.一个四面体的三视图如图所示(单位cm),则该四面体体积(单位cm³)为___，外接球的表面积(单位cm²)为___.13.已知函数的图像关于点对称,关于直线()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图像关于点(,0)4π对称,关于直线4x π=-对称，最小正周期(,)2T ππ∈，则T=__,f(x)的单调递减区间是_____. 14.已知过抛物线21:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,其中(4,42),A 双曲线22222:1(0,0)y x C a b a b-=>>过点A,B,则p 的值是____,双曲线2C 的渐近线方程是____. 15.某会议有来自6个学校的代表参加,每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团,不同的选取方法数为___.16.函数123,01()3log ,132x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，2()2g x x x =-,若y=g(f(x))-t 恰有3个零点,则实数t 的取值范围是___. 17.已知矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,动点M ､N 分别在射线CB ､CD 上运动,且满足22111CM CN +=.对角线AC 交MN 于点P,设,AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r 则x+y 的最大值是___.三､解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)已知△ABC 中角A ､B ､C 所对的边分别是a,b,c,且2cos 3(cos cos )a A c B b C =+. (I)求A 的值;(II)若a=1且3sin cos ,B C +=求△ABC 的面积.19.(本题满分15分)已知三棱柱111ABC A B C -中,M ､N 分别是1CC 与1A B 的中点,1ABA V 为等边三角形,111,2CA CA A A A M BC ===.(I)求证:MN//平面ABC;(II)(i)求证:BC ⊥平面11ABB A ；(ii)求二面角A-MN-B 的正弦值.20.(本题满分15分)已知正项数列{}n a 的首项11,a =其前n 项和为,n S 且n a 与1n a +数列{}n b 满足:122.2n n n a b b b a ++++=L (I)求23,,a a 并求数列{}n a 的通项公式;(II)记N *n c n =∈,证明:122(1n c c c +++<L21.(本题满分15分)已知椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>的焦点12,F F的距离为过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于A,B 两点,且|AB|=1.(I)求椭圆Γ的方程;(II)若存在实数t,使得经过相异两点P(42,)t t h +和Q(2t+2,t+h)的直线交椭圆Γ所得弦的中点恰为点Q,求实数h 的取值范围.22.(本题满分15分)已知实数a ≠0,函数()ln || 1.f x ax = (I)证明:对任意5(0,),()32a f x a ∈+∞≤-恒成立; (II)如果对任意x ∈(0,+∞)均有(),x a f x x a -≤+求a 的取值范围.。