网络计划费用优化中的线性规划数学模型

第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。

例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。

表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。

由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。

若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。

综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。

已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。

假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。

又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。

问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。

按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。

，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。

线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立方法、求解方法以及相关的应用案例。

一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

2. 约束条件：线性规划的解必须满足一组线性等式或者不等式，称为约束条件。

3. 变量：线性规划中的决策变量是用来表示问题中需要决策的量，可以是实数或者非负实数。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在可行解中，使目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。

二、模型建立方法1. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。

2. 建立约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性等式或者不等式。

3. 确定变量范围：确定变量的取值范围，可以是实数或者非负实数。

4. 建立数学模型：将目标函数和约束条件整合成一个数学模型。

三、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。

通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。

该方法通过逐步迭代，不断改变可行解以找到最优解。

3. 整数规划方法：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。

该方法将线性规划问题扩展为整数规划问题，通过特定的算法求解最优解。

四、应用案例1. 生产计划问题：某工厂需要生产两种产品，每种产品的生产时间、材料消耗和利润都不同。

通过线性规划，可以确定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。

2. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户，每一个仓库和客户之间的运输费用和容量都不同。

通过线性规划，可以确定最优的运输方案，以最小化总运输成本。

3. 资源分配问题：某公司有限的资源需要分配给多个项目，每一个项目的收益和资源需求都不同。

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP 问题是VRP 问题的特例。

● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

优化问题中的数学规划模型优化问题中的数学规划模型1．优化问题及其一般模型优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的问题之一。

例如：设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小等等。

一般地，优化模型可以表述如下：minz?f(x)s.t.gi(x)?0，i=1,2,?,m (1.1)这是一个多元函数的条件极值问题，但是许多实际问题归结出的这种优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。

2．数学规划模型分类“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。

在许多情况下，应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划工具。

”[H.P.Williams.数学规划模型的建立]。

数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划等，用数学规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、假设，确定变量与参数，建立适当层次上的数学模型，并求解。

3．建立数学规划模型的步骤当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻求的决策是什么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们，最后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性、定量的分析和必要的检验。

Step 1. 寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。

阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是…… Step 2. 确定决策变量第一来源：Step 1的结果，用变量固定需要回答的决策第二来源：由决策导出的变量（具有派生结构）其它来源：辅助变量（联合完成更清楚的回答） Step 3. 确定优化目标用决策变量表示的利润、成本等。

线性规划模型及应用场景线性规划是一种运筹学中的数学方法，用于在有限的资源下寻找达到最佳目标的方案。

线性规划模型是通过建立线性关系式和目标函数以确定决策变量的最优值，来求解问题。

应用线性规划模型可以在诸多领域中找到合理的应用场景。

一、生产调度与物流管理生产调度是指以资源约束为条件，在规定时间内安排、组织和运用生产资源的管理活动。

而物流管理则是通过有效的供应链管理来实现流程和原料的优化配置。

线性规划可以通过建立生产资源约束条件和目标函数，来确定合理的生产进度和物流配送计划，从而提高生产效率、降低物流成本。

举个例子，某工厂生产两种产品A和B，生产线的时间和效率是有限的，同时每个产品有不同的售价和成本。

这时可以使用线性规划模型来确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。

二、金融投资与资产配置金融投资是指将资金投入到各种金融市场和资产中，以期获得回报。

而资产配置则是指在不同风险水平下，按照一定的比例配置资金到各种资产上。

线性规划可以通过建立风险约束条件和目标函数，来确定最佳的资产配置组合，以实现风险和回报间的平衡。

举个例子，某投资者有一笔固定资金，可以投资于股票、债券和货币市场基金等多个金融工具。

他可以将自己的投资目标、预期收益和风险偏好建立为线性规划模型，以确定最佳的资产配置比例，从而达到理想的投资回报。

三、运输与配送运输与配送是指将物品从生产地或仓库运往销售点或用户手中的过程。

针对运输与配送的问题，线性规划可以通过建立运输路径、运输容量和运输成本等约束条件，来确定合理的物流方案，从而达到最佳的运输效益。

例如，某物流公司需要将商品从N个供应商处运输到M个销售点，每个供应商的供货量和每个销售点的需求量是已知的，同时每个运输路径的距离和费用也是已知的。

利用线性规划模型，可以确定每个运输路径上的货物运输量和运输方式，从而降低运输成本，提高物流效率。

四、人力资源管理人力资源管理是指通过合理的组织、激励和管理，利用有限的人力资源实现组织目标。

基于线性规划及流量分配的网络资源优化研究随着互联网的普及和发展，我们的生活已经离不开网络。

越来越多的企业、机构和个人都需要大量的网络资源来进行业务操作和社交活动。

而网络资源的优化可谓是网络经济发展的关键所在。

本文将围绕基于线性规划及流量分配的网络资源优化研究展开讨论。

一、线性规划在网络资源优化中的应用线性规划是一种优化方法，常用来解决线性约束下的最优化问题。

在网络资源优化中，线性规划的应用非常广泛。

比如，在数据传输方面，我们可以利用线性规划来寻找最优的网络带宽分配方案。

在云计算资源调度中，我们可以利用线性规划来优化资源分配，从而提高计算效率。

基于线性规划的网络资源优化，我们需要关注的是如何设计合适的模型，将现实中的网络资源优化问题转化为线性规划问题。

在设计模型时，需要考虑到网络中各个节点之间的关系，以及资源之间的冲突与互动。

只有将这些因素充分考虑进去，才能得到一个具有实际意义的线性规划模型。

二、流量分配在网络资源优化中的应用流量分配是网络资源优化中另一个重要的问题。

在网络资源的分配过程中，流量分配决定了一个节点和其他节点之间数据传输的速度和质量。

因此，流量分配的优化对于提高整个网络的效率和性能具有至关重要的作用。

常见的流量分配方法包括最小费用最大流、最大流最小割等。

最小费用最大流方法是一种基于网络流的贪心算法，主要用于解决带费用的最大流问题。

最大流最小割方法是一种经典的网络流算法，主要用于求解最大流和最小割问题。

在实际应用中，流量分配的优化需要考虑到多种因素，如带宽限制、数据传输速度、数据优先级等。

只有将这些因素充分考虑进去，才能得到一种既满足了网络性能要求，又最优化了网络资源利用率的流量分配方案。

三、基于线性规划及流量分配的网络资源优化案例基于以上的基础理论，我们可以研究多种网络资源优化问题。

下面以一些实际的案例来说明。

1.数据中心资源调度数据中心是应用云计算技术的核心，而数据中心内的服务器资源如何进行分配已经成为一个极具挑战的问题。

数学建模常用算法模型在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。

下面将对这些算法模型进行详细介绍。

1.线性规划：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。

它的目标是找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。

线性规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。

2.整数规划：整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。

在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题中的设备数量等。

整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。

3.非线性规划：非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中非常常见。

与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非线性的。

非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。

4.动态规划：动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。

它的特点是将问题划分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。

动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。

5.图论算法：图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。

图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。

最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。

网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。

6.遗传算法：遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。

它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。

遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。

总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。

管理科学与工程考研必备运筹学基本原理梳理运筹学是管理科学与工程考研中的重要学科，它主要研究在各种资源有限的条件下，如何对决策问题进行合理的规划、组织和控制，以最大程度地提高效率和效益。

本文将对运筹学的基本原理进行梳理，并探讨其在管理科学与工程中的重要性。

一、线性规划线性规划是运筹学中最基础的方法之一，它主要用于解决线性优化问题。

线性规划通过建立线性目标函数和线性约束条件，求解出最优的决策变量取值，以达到最大化利益或最小化成本的目的。

在管理科学与工程中，线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、物流优化等方面。

二、整数规划整数规划是在线性规划的基础上引入变量必须取整数值的条件，来解决离散决策问题。

整数规划可以处理更为复杂的决策问题，如分配整数数量的商品、制定整数数量的生产计划等。

在管理科学与工程中，整数规划在供应链优化、工程调度等方面有着广泛的应用。

三、动态规划动态规划是一种通过拆分复杂问题为若干个子问题，然后逐个求解并存储结果，最终得到整体最优解的方法。

动态规划的核心思想是“最优子结构”，即整个问题的最优解可以通过子问题的最优解推导而来。

在管理科学与工程中，动态规划常用于项目管理、资源调度等方面。

四、网络流网络流研究的是在网络中通过各个节点之间的流动进行资源分配和规划的问题。

网络流可以用来解决诸如最小费用最大流、最短路问题等。

在管理科学与工程中，网络流常用于物流管理、交通规划等方面，能够优化资源的利用和运输的效率。

五、排队论排队论是研究队列系统中等待时间、服务能力和利用率等问题的理论。

排队论常用于分析和优化服务系统中的瓶颈问题，以提高服务效率和优化资源利用。

在管理科学与工程中，排队论经常应用于客户服务、生产调度等方面。

六、决策分析决策分析是一种通过建立数学模型，对不确定性条件下的决策问题进行评估和分析的方法。

决策分析可以帮助管理者在面对不确定性和风险时，做出科学的决策。

在管理科学与工程中，决策分析被广泛应用于风险管理、供应链战略决策等领域。

数学建模中的线性规划方法随着科技和经济的发展，线性规划在多个领域中得到广泛应用，特别是在数学建模中，它是一种非常重要的工具。

在本文中，我们将探讨线性规划的基本概念、求解方法以及在数学建模中的实际应用。

一、基本概念线性规划是一种最优化的数学模型，通常用于寻找最大或最小值的解决方案。

这种模型通常由多个线性约束条件组成，并有一个或多个变量需要优化。

线性规划的目标是通过最小化或最大化目标函数，找到最优解。

一个典型的线性规划问题可以用如下的形式表示：\begin{aligned} & \min/\max\ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ &\text{subject to:} \\ & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\leq b_1 \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\ & \vdots \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leqb_m \\ & x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0 \end{aligned}其中，$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是待优化的目标函数，$a_{ij}$和$b_i$是已知的线性不等式限制条件。

二、求解方法线性规划有多种求解方法，包括单纯形法、内点法、网络流方法等。

其中，单纯形法是最常用的方法之一。

单纯形法是一种迭代的算法，它从一个起始基（基向量组成的矩阵）开始，不断交替地找出进入基的变量和离开基的变量，从而求出最优解。

具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最小化，并且所有约束条件都是等式形式。

2. 构造初始基。

3. 计算基的费用向量，即基所对应的目标函数系数。

运筹学算法的使用方法运筹学是一门研究如何通过数学模型和优化方法来解决实际问题的学科。

它涉及到许多算法和技巧，可以帮助我们在各种场景下进行决策和规划。

本文将介绍几种常用的运筹学算法及其使用方法，帮助您更好地应用运筹学于实际问题中。

一、线性规划线性规划是运筹学中最基本也是最常用的方法之一。

它的目标是在给定的约束条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的最佳决策方案。

线性规划的模型可以表示为以下形式：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，x₁, x₂, …, xₙ为待决策的变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, …, bₙ为约束条件的边界。

要求解线性规划问题，可以使用单纯形法、内点法等算法。

二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求变量的取值必须是整数。

整数规划广泛应用于许多实际问题，如生产计划、货物配送、员工排班等。

解决整数规划问题的算法主要包括分支定界法、割平面法、动态规划法等。

这些算法可以将整数规划问题转化为线性规划问题，并通过逐步迭代来搜索最优解。

三、网络流优化网络流优化是研究网络中最大吞吐量、最短路径、最小费用等问题的一类方法。

它可以应用于交通路网规划、电力调度、物流配送等领域。

在网络流优化中，常用的算法有最小费用流算法、最大流算法、最小费用最大流算法等。

这些算法可以帮助我们找到网络中的最优方案，并且具有良好的可扩展性和效率。

四、排队论排队论是研究排队系统的数学模型和解决方法的学科。

它可以应用于餐厅、银行、交通等场景中的排队问题。

排队论的模型包括顾客到达模型、服务模型和排队模型。

高三数学线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于经济、管理、工程等领域。

它通过建立数学模型，寻找一组最佳决策方案，以实现特定的目标。

在高三数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将介绍线性规划的基本概念、常见问题类型以及解题方法。

一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性函数，这个线性函数就是目标函数。

通常用Z表示目标函数的值。

2. 变量：目标函数中的每个变量都代表一个决策变量，这些变量的取值将影响目标函数的计算结果。

3. 约束条件：线性规划的一个重要特点是存在一组约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。

约束条件通常是由一组线性不等式或等式表示。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。

二、线性规划的问题类型1. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。

它通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。

单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。

2. 对偶性定理：线性规划中的对偶性定理是指对于一个标准型的线性规划问题，它与其对偶问题具有相同的最优解。

3. 整数线性规划：当决策变量要求为整数时，这就是一个整数线性规划问题。

整数线性规划的求解更加困难，常常需要借助于分支定界等特殊算法。

4. 网络流线性规划：网络流线性规划是线性规划与图论相结合的一种问题类型。

它通常用于解决最小费用流、最大流等网络优化问题。

三、线性规划的解题方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。

首先绘制出约束条件所构成的区域，然后绘制目标函数的等高线，并找到最优解所在的点。

2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。

单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。

3. 对偶问题：通过建立原始问题与对偶问题之间的关系，可以将原始问题的求解转化为对偶问题的求解。