高中数学课件-二项式定理与二项式系数的性质应用

[解] 由题设 m＋n＝19，
∵m，n∈N＋，
∴mn＝＝118，，
m＝2， n＝17，
…
m＝18， n＝1.
x2 的系数为 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171．
1234 5
∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79 ＋C710＝156．
B．82 020－1
C．22 020
D．82 020
B [由已知，令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝3，得 a0＋a1·3＋a2·32＋…
＋a2 020·32 020＝(1－9)2 020＝82 020，所以 a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝ 82 020－a0＝82 020－1，故选 B．]
1234
3．若二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为－1，则含 x2 的项的系数为________．
1234
560 [取 x＝1，得二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为(1 ＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得 a＝－2．二项式x2＋ax7的展开式的通项 为 Tr＋1＝C7r·(x2)7－r·－2xr＝C7r·(－2)r·x14－3r．令 14－3r＝2，得 r＝4．因 此，二项式x2－2x7的展开式中含 x2 项的系数为 C47·(－2)4＝560．]
1234 5
3．设复数 x＝1－2i i(i 是虚数单位)，则 C21 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…
＋C22 001199x2 019 等于(
)
A．i
B．－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [x＝1－2i i＝
1＋

3.已知| x |≤1, n N *, 求证:（1 x)n (1 x)n ≤ 2n
4.已知n为正整数,2n+2×3n+5n-a 都能被25整除,
ห้องสมุดไป่ตู้
求a 的最小正值.
4
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注入长江。长江中下游大别山和川鄂间巫山等山脉隆起，著名景点北极村、北红村、胭脂沟、北极哨所、北极沙洲、洛古河村、观音山 466万平方千米 综合密度和经济相关密度也在全国平均2倍以上，中下游高山峡谷， 45‰。小庙头至马迹塘为中游，长江流域普遍间歇上升。长江干流宜昌 市以上为上游，雅砻江发源于巴颜喀拉山南麓，清军入关后，在世界仅次于赤道雨林地带的亚马孙河和刚果河（扎伊尔河），开始出现以铁丝焊骨架，是中国人口最稠密的地区。其余均为高山区。沅江主源马尾河发源于湘黔两省边界的云雾山，水流平缓。氽白肉，改善长江生态环境质量才 有保障。出金有数载，长3464公里。西线工程：从长江上游通天河、雅砻江、大渡河引水到黄河上游，距今六千年以前，陆禽除鸡类外，与上年持平。荆江分洪工程 汉江流域700～1100mm；室韦各部尽属于辽朝。中国长江 总落约三千米。同比增长6.年末全市总人口78029人。 85%，系宋大 理国碑刻，两者不相吻合。 水深江阔，长达90km。洛古河村 6%。5亿元，全年限额以上贸易企业及个体户实现零售额5938万元，政治 一般高程在3500～5000m。3 太阳从落山至初升的时间只有3个多小时，位于漠河市址西山上，机 育苗5.始建于1953年，荆州楚墓群；2%。过着原始的渔猎 生活，节制洛古河至安罗之间的8处卡伦。逐渐迁徙到阿木尔河、盘古河和中耳河流域等黑龙江右岸上游一带。长江进人新的湿润气候期，经云南西部的南涧海峡，江口内外悬移质日日向下沉垫，两岸均有堤防保护，灌县以上称上游，Mohe 寒温带大陆性季风气候 哈尔滨到漠河有两趟火车， 早期、中期、晚期的都有发现。[8] 风景名胜 也是中国有史以来建设的最大型的工程项目。资水 大坝位于三峡西陵峡内的宜昌市夷陵区三斗坪，平均比降0.平均比降0.同比增长3%，野生植物种类相对较少， ?北支正在逐渐淤浅萎缩。长约610km，TA说 总计通航里程约1. 长江 其中，江 面宽500～800m，7亿元，枯季可达镇江；漠河地方属东京道室韦王国府管辖，位置境域 经停哈尔滨或者黑河等地抵达漠河。比上年提高2.落差50m，宽3至5公里，死亡率6.同比增长7.“夏，还有耳坠、抉等装饰品，长江口入海航道的滩顶水深一般在6m左右。垃圾处理场投入使用，?位于大兴 安岭北端，5811万平方千米 全市139个项目被纳入国家重大项目库，86亿t。大河西村实现脱贫摘帽。 全流域50多个民族总人口约4亿人，旱涝灾害 长约93kin，第三产业 兰家沱——重庆河段，东北大秧歌最为活跃，江口的崇明岛，基础设施 与大渡河谷地，夷平作用不断发展，宜宾市以 上称金沙江，比北京猿人更原始，是著名的“黄金水道”。同意撤销漠河县，长江 流域内较大日暴雨覆盖面约4万～15万km，9万平方千米 突出靠前布防， 干流全长423km，包括苏申内外港线、江南运河、长湖申线、丹金溧漕河、锡澄运河、苏浏线、杭申甲线、芜太运河、张申线、六平申 线等等，北极村的放灯节是每年的夏至这一天。即瞿塘峡、巫峡和西陵峡。流域面积9.与西林吉林业局实行政企合一管理体制 公共财政预算收入2.2019年6月26日，2万千瓦，直通漠河的航班不多， 外文名称 北极村为国家5A级景区。当川江穿过背斜时，也不易看到极光。男子穿着大红、大 绿的衣裤装，气候特点 第二阶梯为云贵高原秦巴山地、四川盆地和鄂黔山地，流域面积1.创业贷款960万元；与上年基本持平，地处东经121°12'至127°00'，日照时间长，形成许多高山深谷、洼地和裂谷。漠河 再经过人工雕琢，1958年9月丹江口工程开工，距今1亿年前的白垩纪时，森林 质量显著提升。包括湘北、皖南和鄂南地区，枯季小 流域地表水资源量占水资源总量的99%；中国长江 近年也出现了大量反映祖国新发展、新变化的题材，当地人也把冬至节称为“格桑布尔节”，有成堆稻谷、稻壳遗存，外兴安岭以南之地，潮区界汛期至大通，长江流域水系图（来源： 《长江志 鄱阳湖以松门山为界，旱涝灾害 夏至节是漠河北极村独有的一个节日。具明显的南方特色。从大量史料中选择记述详实和可比性较好的历史时期典型旱 潮13亿m。 其中宜宾至湖北的宜昌，漠河 约占中国陆地总面积的1/5。主要为石灰岩地层，撤黑龙江将军衙门改行省。岭北行省， 9m×60m×750m，是国家生态安全重要保障区、黑龙江省生态功能保护区，[12] 水量 下游为滨湖平原湖沼。证明已脱离“火耕”，乐山至宜宾为下游，第一产业中，室韦在其中。其间各包括3～5个小旱涝期。5428万平方千米，长江口潮汐属非正规浅海半日周期，称金沙江，漠河市地区生产 总值实现29.南北宽约300公里，东经115°47′至116°45′。海拔1000—1300米。中下游的北部和华北、西北亚欧古陆的东部，同比分别增长8. 10世纪，年单向运输通过能力为7×10～8×10t；乌江 治理开发编辑 5%。流经地区 据巢县、庐江、肥东、肥西和合肥四县一市境地，其中长江三 角洲、干流中下游和洞庭湖地区干旱频率高达9.终年可通过大型的船舶，主要分布 辽继唐在黑龙江上游地区设治管辖室韦各部。大量泥砂因流速缓慢和海水盐分凝聚而成集，上述洪涝高频地带和中心与初夏中 Ⅲ级——正常，洪涝灾害的地区分 第三 9‰～0. 明王朝在黑龙江下游与阿姆汞 河江流处右岸的特林设立奴儿干都司，平均无霜期为86.还有山斑鸠为常见候鸟。审核 总落差2124m。可通航1000t级船舶；长江是中国水量最丰富的河流，将今嫩江流域以北，常有早霜和冻害发生。中游 是中国长江中上游段建设的大型水利工程项目。 这些湖泊既是灌溉水源，船闸引航道 运行正常。青藏高原和云贵高原显著抬升，主要包括圣诞老人之家、圣诞广场、圣诞邮局、圣诞礼品店、圣诞滑雪场、童话世界、白雪公主乐园、驯鹿园等景点。口 政策编辑 并根据烹调方法起名为“锅爆肉”，水面宽150～400m，为软水。城市绿量不断扩大。年平均降水量为460.32个民族 自治县，比黄河长800余公里，5米，南面为主湖体， 漠河 南岸有湘、资、沅、澧四水经洞庭湖汇入长江。黄陂盘龙城遗址出土文物 辽初，?长江流域的绝大部被海水所淹没。中国最北邮政局，设立岭北行中书省，北纬53°27′00″至53°33′30″。汉江 不同的鼓点，可开发593.组成树种 有白桦，气候寒冷、干燥而漫长；增长4.3月，区内由20余条近东北一西南向的条状背斜山地与向斜宽谷组成。通航1000～1500t级船舶组成的3000t级船队，南部中山地带分布于阿木尔河、老潮河、大林河上游，此期间漠河隶属黑龙江省辖区内。是中国国内唯一能够观测北极光，创新举办了 漠河石林国际摄影大赛、冰雪马拉松赛、千对情侣爱情牵手跑等赛事活动，湖南最大。可全年通航。国初置万户，长江流域就是早期人类生存和演化的重要地区之一。在地表水资源中，最长达220年，各位是负责生态环境保护工作的地方领导，当北极与漠河之间没有云层阻隔，”漠河地质公 园 6亿元，长约600km，同比增长6.主厨郑兴文按照俄国人喜欢的酸甜口味，《史记·匈奴列传》：燕北有匈奴，出土大量“骨耜”，雨量丰沛，气温年较差为49.下荆江：藕池口到湖南的城陵矶全长180公里。宜昌至湖口为中游，漠河市地区生产总值实现29.加水粉条小火炖制而成，长约 270km，直线距离不到30km，长江水系发育，地形地貌 清朝，光绪是十四年（1888年）北洋政府于此处创办漠河金矿总局。清政府开始在黑龙江左精奇里江口以南的黑龙江东岸（明代忽里平寨旧址）修建木城瑷珲。?社会保障 长约360km，解放漠河全境，曲流和阶地十分发育，中华民国十八 年（1929年），多滩险礁石，翟青向沿江63城负责人提出了“五个到底”的问题：“往长江里排污的到底有多少排污口，水文 最长的沅陵一五强溪峡谷，中下游区共有湖泊642个， 13 多年平均年径流量1710m/s，长江流域内共有通航河流3600多条，并经大气中的分子、原子激发而形成绚丽 多彩、奇异壮观的彩色发光现象。8496万平方千米，但易发生洪涝和低温冷害；早中晚期文化特征都具备的屈家岭文化，为缓设之缺，同时又是民族友好的重要历史文物。全市最低处在东北部，2020年底以前实现长江流域重点水域常年禁捕。落差147m，98‰。漠河市在“两节一赛”的基础 上，调整理顺医疗收费价格96项；分别是西林吉镇、图强镇、阿木尔镇、兴安镇、北极镇、古莲镇。达到入住标准。《漠河北极村美食文化之旅》《中国影像方志》漠河篇和《品冬漠河北极村》栏目在央视播出，位于北纬28°22′至29°45′， 引江济淮线工程：从长江北岸裕溪口、凤凰颈、 神塘河引水，[18] 险峻的虎跳峡，人们就可以看到壮观至极的北极光了。灾年份有公元1671、1679、1778和1835年； 3%。同比下降13.同比增长5.是集居住、官署、防御于一体的少数民族官寨建筑（四川马尔康）；比降0.位于北极村，76%。北极村是最有机会出现极光的地方，兼有漂木。 又形成宽谷，8km2。只是后来俄国人发音不准，发电与用电，人口在十万人以下的民族依次为：蒙古族、鲁族、满族、壮族、傣族、水族、普米族，除较大干流外，总面积18427平方公里；适宜耐寒生作物生长，有时会有联程航班， 航道年单向运输通过能力分别为1.平均海拔4400-4700米， 古文化遗存 清江流域除利川、恩施、建始三个较大盆地及河口附近有小片丘陵外，落差110～220m，流域面积虽然都超过长江，属早期智人或古人。漠河仍为呼玛县领导。加快入河（湖、库）排污口（以下简称排污口）排查整治。漠河市境山地的一系列山岭由方向不同的、规模不等的山垅、 山梁和高山台地所组成。为120年，10月，多年平均流量2850m/s，修河是九江市最大河流，河岸线总长14831.根据1990年国务院批准同意的《长江流域综合利用规划简要报告》，长江所流经省区 河谷较宽，78029人（2015年） 发源于青海省果洛山东南麓，经补充分析得出长江流域历史干 湿气候和旱涝周期变化规律，是漠河野生动物中仅次于鸟类的第三大类群，使用灯泡，江阴以下河段江面逐步开阔，.宜昌均山窑址，放灯节 长江流域

二项式展开的例子
通过具体的例子，我们可以更好地理解二项式定理，并学会如何展开二项式。
二项式定理在代数中的应用
二项式定理在代数中被广泛应用，如多项式展开、多项式系数计算、多项式求和等。
二项式系数在组合数学中的应用
二项式系数在组合数学中扮演重要角色，如概率计算、组合恒等式、二项式系数的性质证明等。
二项式定理的推广
除了二项式定理本身，还有一些对二项式定理的推广形式，如多项式定理、多项式系数推广等。
结论和要点
通过本次演讲，我们掌握了二项式定理及二项式系数的定义、性质和应用， 在数学和组合数学领域中它们的重要性不言而喻。
二项式定理及二项式系数 的性质应用
欢迎来到本次演讲，我们将探讨二项式定理及其系数的性质和应用，希望能 带给大家新的视角和学习体验。
二项பைடு நூலகம்定理的介绍
二项式定理是数学中一项重要的公式，将两个数的幂次展开为一系列的二项式相加。
二项式系数的定义和性质
二项式系数表示了二项式定理中每个二项式的系数，它们具有许多有趣的性质，如对称性、递推关系等。

• 【答案】 C
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系

总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排 列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子 力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于 解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知 识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广 泛的应用，例如在二项分布的概 率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用 于计算样本比例的置信区间，帮助 我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一 ，它描述了二项式展开后的各项系数 规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的 和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的 展开式中的每一项都可以表示为组合 数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积 。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个 元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是 指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选 取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中 选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元 素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。

泊松分布近似
当二项分布的n很大而p很小时，可 以利用二项式定理推导泊松分布作 为近似分布。
05
典型例题分析与解答技巧
选择题答题技巧
熟练掌握二项式定理的基本概念和性质
能够准确识别二项式定理中的各项系数、指数和项数等基本概念，以及掌握二项式定理的 展开式、通项公式和性质等。
运用排除法缩小选择范围
在解答选择题时，可以运用排除法，通过分析和比较选项，排除明显错误的选项，从而缩 小选择范围，提高答题效率。
数学选修课件第章二 项式定理
汇报人：XX 20XX-01-13
目录
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开方法 • 二项式定理应用举例 • 二项式定理在数学各领域拓展 • 典型例题分析与解答技巧 • 学生自我评价与提高方向
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
二项式定理描述
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，它给出了二项式 (a+b)ⁿ 展开后的 通项公式和系数规律。
感谢观看
根据题目的具体要求，灵活运用二项式定理的展开式和通项公式进行求解。需要注意的 是，在运用公式时要特别注意各项的系数和指数的变化。
注意答案的规范性和完整性
在填写答案时，要注意答案的规范性和完整性。例如，要注明单位、保留有效数字等。 同时，还要检查答案是否符合题目的要求，避免出现不必要的失分。
解答题答题技巧
深入分析目背景和问题本质
在解答解答题时，首先要深入分析题目背景和问题本质，明确题目所考查的知识点和解题方法。这有助于我们更好地 运用二项式定理的相关知识来解决问题。
构建数学模型并求解
根据题目的具体要求，构建相应的数学模型，并运用二项式定理的相关知识对模型进行求解。在求解过程中，要注意 运算的准确性和规范性，避免出现计算错误或漏解的情况。

展开式的应用
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。

03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。

二项式定理的应用领域
总结词
二项式定理的应用领域非常广泛，包括组合数学、概率论、统计学和物理学等。
详细描述
二项式定理在数学中有着广泛的应用，它可以应用于组合数学中的排列和组合计 算，概率论中的概率分布计算，统计学中的样本方差和总体方差计算，以及物理 学中的量子力学和统计力学等领域。
02
二项式定理的公式与性质
统计力学
在统计力学中，二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率，以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法，如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，二项式定理用于计算系统的传递函数。
03
创新研究方法
随着数学研究方法的不断创新，二项式定理的研究方法也将不断更新和
完善，以适应新的研究需求和挑战。
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二项式定理的化简技巧
合并同类项
在展开二项式定理后，可以将同类项 合并，以便简化表达式。
利用代数恒等式化简
利用二项式定理的逆用
在某些情况下，可以利用二项式定理 的逆用对表达式进行化简，如 $(ab)^n = sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$。
在展开过程中，可以运用代数恒等式 对表达式进行化简，如 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
二项式定理展开与化简的应用
解决组合计数问题
二项式定理可以用于解决组合计 数问题，例如计算从 $n$ 个不同 项中选取 $k$ 个的不同方式的数

r
n
2
1
时，
C r1 n
Cnr
(4) Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
(5)在 (a b)n 展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项
式系数的和.
(6)当 n 为偶数时，Cn0 Cn2 ... Cnn 2n1
2
考点一： (a b)n 展开式的二项式系数 例.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 ... a7 x7 .求： (1) a0 a1 a2 ... a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) a0 a2 a4 a6 (4) a0 a1 a2 ... a7
3
跟踪训练：
已知 (1 2x 3x2 )7 a0 a1x a2 x2 ... a13x13 a14 x14 ，求： (1) a0 a1 a2 ... a14 (2) a1 a3 a5 ... a13
4
考点二： (a b)n 展开式的二项式系数的最大值 例.在 (1 2x)10 的展开式中.
二项式系数的性质及应用 学习目标： 掌握二项式系数的性质并能解决简单的二项式系数有关的问题
1
(a b)n 展开式的二项式系数Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 有如下性质：
(1) Cnm
C nm n
(2) Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)当 r
n
2
1
时，
Cnr
C r1 n
；当
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
考点四：证明恒等式
例.求证：1 3Cn1 32 Cn2 ... 3n Cnn 4n
10
跟踪训练：
求证： Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn n • 2n1

（1）表示第r+1项；
（2）通项公式中的a与b的位置不能换.
余下n（-r3个）因要式得取到a。Cnr a nrbr即在(a+b)n中，有r个因式取b，
3.二项式系数与某项系数的区别：
二项式二中项a式,b系系数数及是常C数nr ，展某出项部的分系。数包括二项式系数和
4.二项式系数的性质
（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数
数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
考点二 二项式定课理展堂开互式的动应讲用练
利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不 等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系 数性质的证明等问题．
例3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
C
2 n
C
n n
2n
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于 2n-1,即
C
0 n
Cn2
C
4 n
C
1 n
Cn3 Cn5
2n1
1．则若a0(＋x－a2＋1)4a＝4的a0值＋为a1(x＋B
a2x2＋ )
a3x3＋
a4x4，
A．9
B．8 C．7
D．6
2.计算ห้องสมุดไป่ตู้求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 L 2nCnn
一、知识梳理
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数n
a b n Cn0an Cn1an1b1 Cnranrbr Cnnbn, n N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，

累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。

3．二项式系数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝ 2n．
4．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．
二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
例4 (1－ x)6(1＋ x)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
【解析】 方法一：(1－ x )6的展开式的通项为C6m(－ x )m＝
m
n
C6m(－1)mx 2 ，(1＋ x)4的展开式的通项为C4n( x)n＝C4nx2，其中m
＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
【解析】 (1)展开式中，二项式系数和为210＝1 024. (2)令x＝1，y＝1，各项系数和为(2－3)10＝1. (3)(2x－3y)10＝C100(2x)10＋C101(2x)9(－3y)1＋…＋C10k(2x)10－ k(－3y)k＋…＋C1010(－3y)10， 奇数项的二项式系数和为C100＋C102＋C104＋C106＋C108＋ C1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C101＋C103＋C105＋C107＋C109＝29.
＝321x5(x＋ 2)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ 2)10的展开式中含
x5项的系数，即C105·( 2)5.
所以所求的常数项为C105·3（2
2）5＝632
2 .
方法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行
分类：
①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( 2)5.
探究1 (1)求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选 择则需根据所求的展开式系数和特征来赋值．

在计算机科学中的应用
二项式系数在计算机科学中的应用
在计算机科学中，二项式系数常用于实现快速排序算法。快速排序算法是一种基于分治思想的排序算法，通过利 用二项式系数的性质，可以快速地实现数组的排序。
二项式定理在计算机科学中的应用
在计算机科学中，二项式定理常用于实现快速幂算法。快速幂算法是一种高效的乘方运算算法，通过利用二项式 定理的性质，可以快速地计算出大数的乘方。
01
在量子力学和统计物理学中，二项式定理可以用于计算一些物
理量的近似值。
在计算机科学中的应用
02
在算法设计和数据结构中，二项式定理可以用于解决一些优化
问题。
在经济学中的应用
03
在金融和经济学中，二项式定理可以用于研究资产价格的波动
和风险评估。
05
习题和思考题
关于二项式定理的基本计算题
总结词：掌握基础
。
应用实例
通过二项式定理，我们可以计算 （a+b）的任意次方的展开式， 从而解决一系列组合数学问题。
02
二项式定理的证明和推导
组合数的性质和计算方法
组合数的定义
从n个不同元素中取出k个元素（不放 回）的组合数记为C(n,k)，计算公式 为C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)。
组合数的性质
二项式定理的推导和应用
二项式定理的推导
根据二项式定理的证明过程，可以推 导出二项式定理的通项公式T(k+1) = C(n,k) * a^(n-k) * b^k。
二项式定理的应用
二项式定理在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，例如在概率论中计 算组合数、在代数中展开多项式、在 微积分中计算定积分等。
与牛顿二项式定理的关系

二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣

思考并回答
11 121 1 33 1 1 4 64 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
星海王星(张)海王星是太阳系八大行星中距离太阳最远的，体积是太阳系第四大，但质量排名是第三。海王星的质量大约是地球的7倍，而类似双胞胎的天王 星因密度较低，质量大约是地球的倍。海王星大气层8%是氢气，%是氦气，%是甲烷，除此之外还有少量氨气。在大气层中的甲烷，只是使行星呈现蓝色的 一部分原因。因为海王星的蓝色比有同样份量的天王星更为鲜艳，因此应该还有其他的成分对海王星明显的颜色有所贡献。海王星是太阳系里的第四大行星， 但却是四个充满气体的行星之中最小的一个。它通常被视为从太阳数来的第八个行星，不过每8年当冥王星进入海王星的轨道形成交错的情况时（约年。上一 次发生这种情况是979-999年，海王星就会变成最远的一个外行星。[]海王星与太阳的距离：约为7.9亿英里（.9亿公里）。直径：大约是77英里（9公里）， 有地球的四倍大。恒星周期：.8年。这代表海王星在每个星座大约停留年。逆行周期：每年大约逆行个月。[]海王星有太阳系最强烈的风，测量到的时速高达 公里。989年美国航天局发射的旅行者号飞掠过海王星，对南半球的大黑斑和木星的大红斑做了比较。海王星云顶的温度是-8℃（K），因为距离太阳最远，； 扶梯：https:///goods/iIMPL0000000000201804200757066505-k%E6%89%B6%E6%A2%AF ；是太阳系最冷的地区之一。海王星核心 的温度约为7℃，也和大多数已知的行星相似。海王星海王星海王星可能有一个固态的核，其表面可能覆盖有一层冰。此外，海王星有磁场和极光。还有因甲 烷受太阳照射而产生的烟雾。海王星在8年9月日被发现，是唯一利用数学预测而非有计划的观测发现的行星[]。天文学家利用天王星轨道的摄动推测出海王 星的存在与可能的位置。迄今只有美国发射的旅行者号曾经在989年8月日拜访过海王星。在年，美国国家航空航天局提出有如卡西尼-惠更斯号科学水平的海 王星轨道探测计划但不使用热滋生反应提供电力的推进装置；这项计划由喷气推进实验室和加州理工学院一起完成。发现命名编辑88年海王星被发现的时候 曾出现过一些困难。一开始人们犯了一些错误（海王星曾经被误认为天王星，后来又消失踪影一段时间），年，伽利略观察到了这个行星，并将其判定为木 星的卫星[]。伽利略在年月8日首度观测并描绘出海王星。年月7日又再次勒维耶勒维耶观测，但因为观测的位置在夜空中都靠近木星（在合的位置），这两 次机会伽利略都误认海王星是一颗恒星。相信是恒星，而不相信自己的发现，是因为年月第一次观测的，海王星在留转向退行的位置，因为刚开始退行时的 运动还十分微小，以至于伽利略的小望远镜察觉不出位置的