河北省衡水市冀州中学高三数学上学期第二次月考试题b卷文(复习班)

河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。

河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x 2−9x +20≤0}，B ={x|log 2(x−3)<1}，则A ∪B =( )A. (−∞,5)B. [4,5)C. (−∞,5]D. (3,5]2.设复数z 满足(1−i)z =3−i 3，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1−2iD. 1+2i3.已知非负实数x ，y 满足x +y =1，则12x +11+y 的最小值为( )A. 3+222B. 3+224C. 2D. 434.已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a|−|b |，则( )A. |a +b |>|b | B. |a−b |<|a |C. |a +b |>|a−b |D. (a +b )⋅(a−b )≥05.已知函数f(x)=cos ωx− 3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称B. 函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k ∈Z)C. 函数f(x)的图象可由y =2sin ωx 的图象向左平移5π6个单位长度得到D. 函数g(x)=f(tωx),(t >0)在(0,π)上有2个零点，则实数t 的取值范围为(724,1324]6.对于一个函数：当自变量x 取a 时，其函数值等于2a ，则称a 为这个函数的H 数．若二次函数y =ax 2+4x +c(a,c 为常数且a ≠0)有且只有一个H 数1，且当0≤x ≤m 时，函数y =ax 2+4x +c−2的最小值为−3，最大值为1，则m 的取值范围是( )A. 0≤m ≤2B. 1≤m ≤3C. 2≤m ≤3D. 2≤m ≤47.若e x 1⋅x 3=ln x 2⋅x 3=1，则下列不等关系一定不成立的是( )A. x 3>x 2>x 1B. x 3>x 1>x 2C. x 2>x 1=x 3D. x 2>x 1>x 38.在ΔABC 中，B =π4,C =5π12,AC =26，AC 的中点为D ，若长度为3的线段PQ(P 在Q 的左侧)在直线BC 上移动，则AP +DQ 的最小值为( )A.30+2 102B.30+3 102C.30+4 102D.30+5 102二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 3﹣3x 2﹣x +3＜0}，B ＝{x ||x +12|≥1}，则（ ） A ．A ∪B ＝（﹣∞，−32）∪（1，3） B ．A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）C ．A ∩B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D ．A ∩B ＝（﹣∞，−32]∪[12，3）2．已知复数z =−12+√32i ，则∑ 2023i=1z i的值为（ ）A ．−12+√32iB ．−12−√32iC ．0D ．13．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（ ） A ．13AB +23AD B ．34AB +14AD C ．14AB +34AD D ．13AD +AB4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A ．43πa 2bB ．43πab 2C ．43πa 3D ．43πb 35．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（ ） A ．110B ．15C ．310D ．256．已知f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）=2√33，周期T ∈（π4，3π4），（π6，0）是f （x ）的对称中心，则f （π3）的值为（ ）A ．−√3B ．√3C ．2√33D ．−2√337．若a ＝ln 1.01，b =2201，c =√1.02−1，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l ∈[√3，2]，则其体积的取值范围是（ ） A ．[4√3，9√32] B ．[4√3，128√327] C ．[9√32，128√327]D ．[64√327，4√3]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 10．关于函数f （x ）＝x 3﹣3x +1，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）有两个极值点 B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）有三个零点D ．2sin10°是f （x ）的一个零点11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，2），M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA 、MB 与抛物线分别切于A 、B ，则（ ） A ．C 的准线方程是x ＝﹣1 B ．|MF |2＝|F A ||FB | C ．|AM |2＝|AF ||AB |D ．MA →⋅MB →≠012．直线l ：y ＝ax 与y ＝e x 的图像交于A （x 1，y 2）、B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），y ＝e x 在A 、B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（ ） A ．a ≤eB ．点C 的横坐标大于1 C ．|x 1﹣x 2|＜√(a +2−e)2−4D ．CD 的斜率大于0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为 （用数字作答）． 14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程 ①焦点在x 轴上②渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点15．已知函数f （x ）、g （x ），g （x ）的图像关于x ＝1对称，且f （x ）﹣g （x ）＝1，f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，g （1）＝3，则∑ 23i=1f(x)= ． 16．已知x 2+y 2＝4，则√2−y +√5−2x 的最小值为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，其中S n 是{a n }的前n 项和． （1）求证：{a n }是等差数列；（2）若a 1＝1，a 2＝2，求b n =2n(1−a n )a n a n+1的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2R ﹣a =a(b 2+c 2−a 2)a 2+c 2−b2，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角． （1）若B =π6，求A 的大小； （2）求2a 2−c 2b 2的最小值．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点，AC 与OD 交于点E ，△P AB 的重心为G ． （1）求证：EG ∥平面PCD ；（2）若P A ＝PB ＝5，AB ＝8，BC ＝4，求二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值．20．（12分）某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布X ～N （10，0.25）（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在（8.5，11.5）之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题．求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性．（已知：P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973，0.997315≈0.9603）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？21．（12分）已知A （﹣2，0），B （2，0），P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34． （1）求P 的轨迹C 的方程．（2）l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和．22．（12分）已知函数f （x ）＝（π﹣x ）sin x ，x ∈[0，π]． （1）求f （x ）在（0，0）处的切线方程；（2）若f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2，求证： ①a ＜2；②|x 1﹣x 2|≤π﹣a −a．2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 3﹣3x 2﹣x +3＜0}，B ＝{x ||x +12|≥1}，则（ ） A ．A ∪B ＝（﹣∞，−32）∪（1，3） B ．A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）C ．A ∩B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D ．A ∩B ＝（﹣∞，−32]∪[12，3）解：A ＝{x |（x 2﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3或x ＜﹣1}，B ={x|x +12≤−1或x +12≥1}={x|x ≤−32或x ≥12}，∴A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞），A ∩B =(−∞，−32]∪(1，3)．故选：B ． 2．已知复数z =−12+√32i ，则∑ 2023i=1z i的值为（ ）A ．−12+√32iB ．−12−√32iC ．0D ．1解：由于复数z =−12+√32i ，故z 2=(−12+√32i)2=−12−√32i ，z 3=(−12−√32i)(−12+√32i)=14+34=1，故∑ 2023i=1z i =z 1+z 2+⋯+z2023=z(1−z 2023)1−z =z(1−z 674×3+1)1−z =z(1−z)1−z =z =−12+√32i ．故选：A ．3．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（ ） A ．13AB +23AD B ．34AB +14AD C ．14AB +34AD D ．13AD +AB解：如图：∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ， ∴DE =13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， 可得EFAF=13，可得AF =34AE ，∴AF →=34AE →=34（AD →+DE ）=34（AD →+13AB →）=14AB →+34AD →，故选：C ．4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A ．43πa 2bB ．43πab 2C ．43πa 3D ．43πb 3解：根据题意可得图形如图所示，由图可得O 1P =ba √a 2−ℎ2，圆柱中大圆的半径为b ， 小圆的半径为OB =bℎa ，易得S 圆＝S 圆环，则由祖暅原理可得V 椭球＝2（πb 2a −13πb 2a ）=43πb 2a ． 故选：B ．5．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（ ） A ．110B ．15C ．310D ．25解：从11到15这5个数中取出2个数，基本事件为C 52=10，故：11的因数为1和11，，12的因数为1，12，2，6，3，4， 13的因数为1，13；15的因数为1，15，3，5， 14的因数为1，14，2，7，故两个因数的和为8的是：11和12，12和13，14和15一共3种， 故P(A)=310． 故选：C ．6．已知f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）=2√33，周期T ∈（π4，3π4），（π6，0）是f （x ）的对称中心，则f （π3）的值为（ ）A ．−√3B ．√3C ．2√33D ．−2√33解：∵f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）＝2tan φ=2√33， ∴tan φ=√33，∴φ=π6，f （x ）＝2tan （ωx +π6）．∵周期T =πω∈（π4，3π4），∴43＜ω＜4．再根据（π6，0）是f （x ）的对称中心，可得ωπ6+π6=kπ2，k ∈Z ，即ω＝3k ﹣1，∴ω＝2，f （x ）＝2tan （2•x +π6）， 则f （π3）＝2tan5π6=−2tanπ6=−2√33，故选：D ． 7．若a ＝ln 1.01，b =2201，c =√1.02−1，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：a ＝ln 1.01＝ln （1+0.01），b =22×100+1=110.01+12，c =√1+2×0.01−1， 先比较a 与b ， 设f （x ）＝ln （1+x ）−11x +12=ln （1+x ）−2xx+2，0＜x ＜1， 则f '（x ）=11+x −2(x+2)−2x (x+2)2=x 2(x+1)(x+2)2＞0， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增， 所以f （x ）＞f （0）＝0，即a ＞b ， 再比较a 与c ，设g （x ）＝ln （1+x ）﹣（√1+2x −1），0＜x ＜1， 则g '（x ）=11+x 1√1+2x 11+x −11+x=0， 所以g （x ）在（0，1）上单调递减， 所以g （x ）＜g （0）＝0，即a ＜c ， 综上，b ＜a ＜c ． 故选：B ．8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l ∈[√3，2]，则其体积的取值范围是（）A．[4√3，9√32]B．[4√3，128√327]C．[9√32，128√327]D．[64√327，4√3]解：如图所示：设该正六棱锥的高PO1＝h，侧棱长为a，设该正六棱锥外接球的半径为r，因为正六棱锥外接球的表面积为16π，所以有16π＝4πr2⇒r＝2，因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以h≥2，设∠OPB＝θ，在正六边形ABCDEF，因为正六边形边长为l，所以O1B＝l，在△OPB中，由余弦定理可知cosθ=4+a2−42⋅2a=a4，在直角三角形△O1PB中，cosθ=ℎa，所以有cosθ=ℎa=a4⇒a2＝4h，由勾股定理可知h2+l2＝a2⇒h2+l2＝4h⇒l2＝4h﹣h2，因为l∈[√3，2]，所以l2∈[3，4]，因此有3≤4h﹣h2≤4⇒1≤h≤3，而h≥2，所以2≤h≤3，该正六棱锥的体积V=13×6×12⋅l⋅l⋅√32⋅ℎ=√32(4ℎ2−ℎ3)，V′(ℎ)=√32(8ℎ−3ℎ2)=−3√32ℎ(ℎ−83)，当2≤ℎ＜83时，V′（h）＞0，V（h）单调递增，当83＜ℎ≤3时，V′（h）＜0，V（h）单调递减，所以V(ℎ)max=V(83)=128√327，因为V(2)=4√3，V(3)=9√32，V(2)＜V(3)，所以V(ℎ)min=4√3，因此该正六棱锥的体积的取值范围是[4√3，128√327]，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解：对于A ，过不共线的任意三点有且仅有一个平面，所以选项A 错误；对于B ，m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，根据直线与平面垂直的性质定理知，α∥β，选项B 正确；对于C ，m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，不能得出m ∥n ，也可能是m 、n 相交或异面，选项C 错误；对于D ，m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，根据直线与平面垂直的性质定理知，m ∥n ，选项D 正确． 故选：BD ．10．关于函数f （x ）＝x 3﹣3x +1，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）有两个极值点 B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）有三个零点D ．2sin10°是f （x ）的一个零点解：因为f （0）＝1≠0，所以B 错；由f ′（x ）＝3x 2﹣3＝0得x ＝±1，且f ′（x ）＜0⇒﹣1＜x ＜1；f ′（x ）＞0⇒x ＜﹣1或x ＞1， 所以f （x ）的极大值为f （﹣1）＝3＞0，极小值f （1）＝﹣1＜0， 所以f （x ）有两个极值点，且有三个零点，所以AC 对； 由三倍角公式sin3α＝3sin α﹣4sin 3α得：f （2sin10°）＝﹣2（3sin10°﹣4sin 310°）+1＝﹣2sin30+1＝0， 所以2sin10°是f （x ）的零点，D 对． 故选：ACD ．11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，2），M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA 、MB 与抛物线分别切于A 、B ，则（ ） A ．C 的准线方程是x ＝﹣1 B ．|MF |2＝|F A ||FB | C ．|AM |2＝|AF ||AB |D ．MA →⋅MB →≠0解：将A （1，2）代入抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）中可得p ＝2， 则C 为y 2＝4x ，故C 的准线方程为x ＝﹣1，故A 正确，设点M （﹣1，m ），先考虑m ≠0情况，则过点M 作C 的切线MA ，MB ，切线斜率必存在且不等于0， 设切线方程为y ＝k （x +1）+m ，k ≠0，联立y 2＝4x ，可得y 2−4k y +4mk +4＝0， 则Δ=16k2−16（m k+1）＝0，即k 2+mk ﹣1＝0，△′＝m 2+4＞0，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2＝﹣m ，k 1k 2＝﹣1， 即MA ⊥MB ，即MA →•MB →=0，故D 错误；设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1＝2√x 1，y 2＝﹣2√x 2，由于y 2＝4x ，对于曲线在第一象限内部分有y ＝2√x ，y ′=1√x ，则k 1=1√x ，对于曲线在第四象限内部分有y ＝﹣2√x ，∴y =1√x ，则k 2=1x ，由于k 1k 2＝﹣1，故√x ×（1x ）＝﹣1，∴x 1x 2＝1，则（y 1y 2）2＝16x 1x 2＝16，∴y 1y 2＝﹣4，由于m ≠﹣0，故AB 斜率一定存在，设直线AB 的方程为y ＝μx +v ，联立y 2＝4x ，得y 2−4μy +4v μ+4＝0，故y 1+y 2=4μ，y 1y 2=4vμ=−4，∴μ＝﹣v ， 则直线AB 的方程为y ＝μx ﹣μ＝μ（x ﹣1），即直线AB 过定点F （1，0）， 所以A ，F ，B 三点共线，由于k AB ＝μ=4y 1+y 2=42√x −2√x =21k 1+1k2=2k 1k 2k 1+k 2=−2−m =2m ，k MF =−m2，故k AB •k MF ＝﹣1，∴MF ⊥AB ， 在Rt △AMB 中，△MBF ∽△AFM ∽△AMB ， 则|MF |2＝|F A ||FB |，|AM |2＝|AF ||AB |，当m ＝0时，即M （﹣1，0），A ，B 关于x 轴对称， k 1+k 2＝0，k 1k 2＝﹣1，MA →•MB →=0成立；此时AB 斜率不存在，不妨取k 1＝1，k 2＝﹣1，则MA ：y ＝x +1，MB ：y ＝﹣x ﹣1， 联立y 2＝4x ，解得A （1，2），B （1，﹣2），则AB 过定点（1，0），且MF ⊥AB ， 则|MF |2＝|F A ||FB |，|AM |2＝|AF ||AB |成立， 综合上述，BC 正确． 故选：ABC ．12．直线l ：y ＝ax 与y ＝e x 的图像交于A （x 1，y 2）、B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），y ＝e x 在A 、B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（ ） A ．a ≤eB ．点C 的横坐标大于1 C ．|x 1﹣x 2|＜√(a +2−e)2−4D ．CD 的斜率大于0解：对于A ：因为直线y ＝ax 与曲线y ＝e x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），ax ＝e x，即a =e xx 有两个不同的正根，即直线y ＝a 与曲线y =e xx 有两个不同的交点，因为（e xx）′=e x (x−1)x 2，所以y =e xx 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数y =e xx的最小值为e ，又x →0，y →+∞；x →+∞，y →+∞， 所以a ＞e ，故A 错误； 对于B ：由题意可得ax 1＝e x 1，ax 2＝ex 2（x 1＜x 2），所以0＜x 1＜1＜x 2， g （x ）=e xx ，设h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ），（0＜x ＜1）， h ′（x ）＝（e x x −e 2−x 2−x）′＝（x ﹣1）[e x x 2−e 2−x (2−x)2]，令m（x）=e xx2，m′（x）=e x(x−2)x3，所以m（x）在（0，2）单调递减，因为x∈（0，1），2﹣x∈（1，2），所以m（x）＞m（2﹣x），所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调减，所以h（x）＞h（1）＝0，g（x）＞g（2﹣x），因为0＜x1＜1＜x2，所以g（x1）＞g（2﹣x1），又g（x1）＝g（x2），所以g（x2）＞g（2﹣x1），因为x2∈（2，+∞），2﹣x1∈（2，+∞），所以x2＞2﹣x1，x1+x2＞2，直线AC的方程：y﹣e x1=e x1（x﹣x1），直线BC的方程为y﹣e x2=e x2（x﹣x2），联立得x=x1e x1−x2e x2e x1−e x2−1=ax12−ax22ax1−ax2−1＝x1+x2﹣1＞1，故B正确；对于C：设s（x）＝e x﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]，s′（x）＝e x﹣2x+2﹣e，s″（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2，所以在（0，ln2）上，s″（x）＜0，s′（x）单调递减，在（ln2，+∞）上，s″（x）＞0，s′（x）单调递增，且s′（1）＝0，s′（x）min＝s′（ln2）＜s′（1）＝0，因为s′（0）＞0，设m∈（0，1），x∈（0，m）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，x∈（m，1）时，s′（x）＜0，s（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，又因为s（0）＝s（1）＝0，所以s（x）min＝0，所以s（x）＝e x﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]≥0，所以e x ﹣ax ≥x 2﹣（a +2﹣e ）x +1，因为x 1，x 2是方程e x ﹣ax ＝0的两个根，x 3，x 4是方程x 2﹣（a +2﹣e ）x +1＝0的两个根， 所以|x 1﹣x 2|＜|x 3﹣x 4|=√(a +2−e)2−4，故C 正确； 对于D ：因为D （x 1+x 22，a(x 1+x 2)2），C （x 1+x 2﹣1，ax 1x 2），所以k CD =a[2x 1x 2−(x 1+x 2)]x 1+x 2−2， 因为a ＞e ，x 1+x 2＞2，0＜x 1＜1＜x 2， 设f （x ）＝e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2， f ′（x ）＝e x ﹣ax ﹣a （x ﹣lna ）， 所以f ″（x ）＝e x ﹣a ，所以当x ∈（0，lna ）时，f ″（x ）＜0，f ′（x ）＞f ′（lna ）＝0， 当x ∈（lna ，+∞）时，f ″（x ）＞0，f ′（lna ）＝0，所以在（0，+∞）上，f ′（x ）≥0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （lna ）＝0， 所以当x ∈（0，lna ）时，e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2＜0，e x ﹣ax ＜a2（x ﹣lna ）2， 所以x ∈（lna ，+∞）时，e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2＞0，e x ﹣ax ＞a2（x ﹣lna ）2， 因为0＜x 1＜1＜x 2，a2（x 1﹣lna ）2＞a 2（x 2﹣lna ）2，lna ﹣x 1＞x 2﹣lna ，所以x 1+x 2＜2lna ， 所以a 2x 1x 2＝e x 1+x 2＜a 2，x 1x 2＜1，又x 1+x 2＞2，所以k CD ＜0，故D 错误， 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为 1620 （用数字作答）．解：（x 2+y +3）6＝[x 2+（y +3）]6，其展开式为C 6r (x 2)6−r(y +3)r ，依题意，2（6﹣r ）＝4，解得r ＝4，又（y +3）4的展开式为C 4k y 4−k 3k ，依题意，4﹣k ＝1，解得k ＝3， 所以（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为C 64×C 43×33=1620．故答案为：1620．14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程 x 2−y 23=1（答案不唯一） ． ①焦点在x 轴上②渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点 解：设双曲线的渐近线方程为：bx ±ay ＝0， 渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点， 可得√a 2+b 2≤√3，可得b ≤√3a ，不妨取a ＝1，b =√3，所以满足条件的双曲线方程可以为：x 2−y 23=1．故答案为：x 2−y 23=1（答案不唯一）．15．已知函数f （x ）、g （x ），g （x ）的图像关于x ＝1对称，且f （x ）﹣g （x ）＝1，f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，g （1）＝3，则∑ 23i=1f(x)= 26 ． 解：因为g （x ）的图像关于x ＝1对称， 所以g （1+x ）＝g （1﹣x ）， 即有g （x ）＝g （2﹣x ）， 因为f （x +1）+g （2﹣x ）＝1， 所以f （x +1）+g （x ）＝1， 又因此f （x ）﹣g （x ）＝1， 所以f （x +1）+f （x ）＝2， 所以f （x +2）+f （x +1）＝2， 所以f （x ）＝f （x +2）， 所以f （x ）的周期为2，又因为g （1）＝3，f （x ）﹣g （x ）＝1， 所以f （1）＝g （1）+1＝4，又因为f （x +1）+g （2﹣x ）＝1， 所以f （2）+g （1）＝1， 所以f （2）＝1﹣g （1）＝﹣2， 所以f （1）+f （2）＝4﹣2＝2，所以∑ 23i=1f(x)=f （1）+f （2）+…+f （23）＝11[f （1）+f （2）]+f （1）＝11×2+4＝26． 故答案为：26．16．已知x 2+y 2＝4，则√2−y +√5−2x 的最小值为 √5 ． 解：设t =√2−y +√5−2x =√1−y +1+√4−2x +1 =√x 2+y 24−y +1+√x 2+y 2−2x +1 =12√x 2+(y −2)2+√(x −1)2+y 2，设圆x 2+y 2＝4上任意点P （x ，y ），M （0，2），N （1，0）， 则t =12|PM |+|PN |，设Q （n ，0），且|PN |=12|PQ |， ∴|PN||PQ|=12，又|ON||OP|=12，∴|PN||PQ|=|ON||OP|=12，又∠PON ＝∠QOP ，∴△PON ∽△QOP ， ∴|OP||OQ|=|ON||OP|=12，又|OP |＝2，∴|OQ |＝4，∴Q （4，0）又M （0，2），∴t min =12(|PM|+|PQ|)min =12|MQ |=12√12+4=√5． 故答案为：√5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，其中S n 是{a n }的前n 项和． （1）求证：{a n }是等差数列；（2）若a 1＝1，a 2＝2，求b n =2n(1−a n )a n a n+1的前n 项和T n ．（1）证明：因为数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2， 当n ≥2时，S n−1=(n−1)(a 1+a n−1)2，两式子相减得（n ﹣2）a n ＝﹣a 1+（n ﹣1）a n ﹣1，① 因此可得（n ﹣1）a n +1＝﹣a 1+na n ，②①②相减得：（2n ﹣2）a n ＝（n ﹣1）a n +1+（n ﹣1）a n ﹣1， 由于n ﹣1＞0，所以2a n ＝a n +1+a n ﹣1， 所以{a n }是等差数列；（2）解：由（1）知{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＝2，所以a n ＝n ，因此b n =2n(1−a n )a n a n+1=2n(1−n)n(n+1)=2nn −2n+1n+1，所以T n =(211−222)+(222−233)+⋯+(2nn −2n+1n+1)=2−2n+1n+1．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2R ﹣a =a(b 2+c 2−a 2)a 2+c 2−b2，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角． （1）若B =π6，求A 的大小； （2）求2a 2−c 2b 2的最小值．解：（1）由余弦定理可得2R ﹣a =a⋅2bccosA2accosB，可得2R cos B ﹣a cos B ＝b cos A ，再由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以cos B ＝sin A cos B +sin B cos A ＝sin （A +B ）， 在三角形中，可得A +B =π2−B ，而B =π6， 可得A =π6；（2）由（1）可得cos B ＝sin （A +B ）＝sin C ，在三角形中，可得sin （π2−B ）＝sin C 或sin （π2+B ）＝sin C ，即π2−B ＝C ，即B +C =π2，可得A =π2，与A 角不是直角矛盾，或π2+B ＝C ，可得A ＝π﹣B ﹣C =π2−2B ， 所以2a 2−c 2b 2=2sin 2A−sin 2Csin 2B=2cos 22B−sin 2C sin 2B2(1−2sin 2B)2−cos 2Bsin 2B=8sin 4B−7sin 2B+1sin 2B=8sin 2B +1sin 2B −7≥2√8sin 2B ⋅1sin 2B−7＝4√2−7，当且仅当8sin 4B ＝1时取等号，即sin B =√242时取等号， 所以2a 2−c 2b 2的最小值为4√2−7．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点，AC 与OD 交于点E ，△P AB 的重心为G ． （1）求证：EG ∥平面PCD ；（2）若P A ＝PB ＝5，AB ＝8，BC ＝4，求二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值．证明：（1）∵底面ABCD 为矩形，O 为AB 的中点，∴△AEO ∽△CED ， 可得OE ED=OA DC=12，又△P AB 的重心为G ，∴OG GP=12，则OE ED=OG GP，得EG ∥PD ，∵PD ⊂平面PDC ，EG ⊄平面PDC ，∴EG ∥平面PCD ； 解：（2）∵P A ＝PB ，O 为AB 中点，∴PO ⊥AB ， ∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则C （4，4，0），D （4，﹣4，0），G （0，0，1），E （43，−43，0），EC →=(83，163，0)，EG →=(−43，43，1)，ED →=(83，−83，0)，设平面CEG 与平面DEG 的一个法向量分别为m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)， 由{m →⋅EC →=83x 1+163y 1=0m →⋅EG →=−43x 1+43y 1+z 1=0，取y 1＝﹣1，得m →=(2，−1，4)；由{n →⋅EG →=−43x 2+43y 2+z 2=0n →⋅ED →=83x 2−83y 2=0，取y 2＝1，得n →=(1，1，0)．∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12×21=√4242．∴二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值为√1−(√4242)2=√172242．20．（12分）某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布X ～N （10，0.25）（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在（8.5，11.5）之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题．求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性．（已知：P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973，0.997315≈0.9603）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？解：（1）因为X ～N （10，0.52），所以P （8.5＜X ＜11.5）＝0.9973．所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为1﹣0.997315≈0.0397， 如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为0.0397，该事件是小概率事件， 因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的． （2）次品的概率为1﹣0.9973＝0.0027，抽取100个零件进一步检测，设次品数为Y ，则Y ～B （100，p ），其中p ＝0.0027，故P （Y ＝k ）=C 100kp k （1﹣p ）100﹣k ，设次品数最可能是k 件，则{C 100k p k (1−p)100−k ≥C 100k−1p k−1(1−p)101−k C 100k p k (1−p)100−k ≥C 100k+1p k+1(1−p)99−k，解得101p ﹣1≤k ≤101p （k ∈N *）． 因为p ＝0.0027，所以10lp ＝0.2727，101p ﹣1＝﹣0.7273，故k ＝0． 故这100个零件中的次品数最可能是0．21．（12分）已知A （﹣2，0），B （2，0），P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34． （1）求P 的轨迹C 的方程．（2）l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和．解：（1）因为P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34， 所以有y x+2⋅yx−2=−34(x ≠±2)⇒x 24+y 23=1(x ≠±2)；（2）设D （x 0，y 0），因为D 在C 内，所以x 024+y 023＜1⇒3x 02+4y 02＜12，设l 1的参数方程为：{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα，α为直线l 1的倾斜角，把{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα代入x 24+y 23=1(x ≠±2)中，得(3cos 2α+4sin 2α)t 2+t(6x 0cosα+8y 0sinα)+3x 02+4y 02−12=0，|t 1t 2|=|3x 02+4y 02−12|3cos 2α+4sin 2α=12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α，即|DM|⋅|DM|=|t 1t 2|=12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α，设直线l 2的倾斜角为β，上式用β代α， 同理可得|DE|⋅|DF|=|t 3t 4|=12−(3x 02+4y 02)3cos 2β+4sin 2β，因为l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆， 所以由圆的相交弦定理可知：|DM|⋅|DN|=|DE|⋅|DF|⇒12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α=12−(3x 02+4y 02)3cos 2β+4sin 2β，因为3x 02+4y 02＜12，所以有3cos 2α+4sin 2α＝3cos 2β+4sin 2β⇒3+sin 2α＝3+sin 2β⇒sin 2α＝sin 2β，因为α，β是直线的倾斜角，所以sin α≥0，sin β≥0， 所以sin 2α＝sin 2β⇒sin α＝sin β，因为l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，所以α≠β，因此由sin α＝sin β⇒α+β＝π⇒α＝π﹣β⇒tan α＝tan （π﹣β）⇒tan α＝﹣tan β， 设l 1，l 2的斜率为k 1，k 2，因此有k 1＝﹣k 2⇒k 1+k 2＝0， 即这两条直线斜率之和为0．22．（12分）已知函数f （x ）＝（π﹣x ）sin x ，x ∈[0，π]． （1）求f （x ）在（0，0）处的切线方程；（2）若f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2，求证： ①a ＜2；②|x 1﹣x 2|≤π﹣a −aπ．解：（1）因为f ′（x ）＝﹣sin x +（π﹣x ）cos x ，所以f ′（0）＝π，即f （x ）在（0，0）处的切线方程为y ＝πx ；证明：（2）①易得f （0）＝0，f （π）＝0，因为f （x ）＝（π﹣x ）sin x ＝（π﹣x ）sin （π﹣x ）， 设t ＝π﹣x ∈[0，π]，所以f （x ）＝φ（t ）＝t sin t ，所以f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2等价于φ（t ）＝a 在[0，π]上有两个不同的根t 1，t 2， 即直线y ＝a 与函数φ（t ）在[0，π]上的图象有两个交点，因为φ′（t ）＝sin t +t cos t ，易知当t ∈(0，π2]时，φ′（t ）＞0，当t ∈(π2，π]时， 设h （t ）＝φ′（t ）＝sin t +t cos t ，h ′（t ）＝2cos t ﹣t sin t ＜0， 而φ′(π2)=sin π2+π2cos π2=1＞0，φ′(π)=sinπ+πcosπ=−π＜0， 所以存在唯一的t 0∈(π2，π]，使得φ′（t 0）＝0，即sin t 0+t 0cos t 0＝0，故当t ∈(π2，t 0)时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，t ∈（t 0，π）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减， 综上可知，当t ∈（0，t 0）时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，t ∈（t 0，π）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减，f max ＝φ（t 0）＝t 0sin t 0，所以0≤a ＜f max ； 设F(x)=sinx −2x，x ∈[2，π)，F′(x)=cosx +2x 2=x 2cosx+2x2，设H （x ）＝x 2cos x +2， 所以H ′（x ）＝2x cos x ﹣x 2sin x ＝x （2cos x ﹣x sin x ）＜0， 因为π3＜2＜π，所以−1＜cos2＜−12，H(2)=4cos2+2＜0，从而，F （x ）在x ∈[2，π）上递减，故F （x ）≤F （2）＝sin2﹣1＜0，即sinx ＜2x， 当x ∈(π2，2)，显然sinx ＜2x ，故x ∈（0，π）时，sinx ＜2x 恒成立， 故f max ＝φ（t 0）＝t 0sin t 0＜2，即方程f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2时，0≤a ＜2，原命题得证； ②由①知，设t ＝π﹣x ∈[0，π]，所以f （x ）＝φ（t ）＝t sin t ，所以f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2等价于φ（t ）＝a 在[0，π]上有两个不同的根t 1，t 2， 不妨设t 1＜t 2，且0≤a ＜2，所以|x 1﹣x 2|＝|t 1﹣t 2|＝t 2﹣t 1，设s （t ）＝t sin t +π（t ﹣π），t ∈[0，π]，所以s ′（t ）＝t sin t +π（t ﹣π）＝sin t +t cos t +π≥π﹣t ≥0，所以，s （t ）≤s （π）＝0，即t sin t ≤﹣π（t ﹣π），又t sin t ≤t ，所以，a =t 1sint 1≤t 1⇒t 1≥a ，a =t 2sint 2≤−π(t 2−π)⇒t 2≤π−a π， 即t 2−t 1≤π−aπ−a ， 所以|x 1−x 2|≤π−a −aπ，原不等式得证．。

高一数学上学期第二次月考模拟试卷一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·河北·唐山一中高一阶段练习）已知全集U R =，集合{}|11A x x =-<，25|11x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()U A B ⋂=（ ）A ．{}12x x <<B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}14x x ≤< 【答案】C【解析】由题意得{}{}{}|1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<，{}25410|1411x x B x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥=≥=<≥⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭或， ∴{}14U B x x =≤<，∴(){}12U A B x x ⋂=≤<．故选C ．2．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数()y f x =的定义域为[3,5]-，则函数(21)()2f xg x x -=-的定义域是（ ） A ．[1,2)(2,3]- B ．[7,2)(2,9]- C ．[1,3]- D ．[7,9]- 【答案】A【解析】根据抽象函数定义域及分母不为0可得321520x x -≤-≤⎧⎨-≠⎩，解得[1,2)(2,3]x ∈-⋃，故定义域为[1,2)(2,3]-，故选：A.3．（2022·河北·石家庄市第十九中学高一阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；“返回家乡”一定是在“攻破楼兰”的前提下，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选：A ．4．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若52x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（ ） A ．0.431 B ．0.430 C ．0.429 D ．2.322 【答案】A【解析】由52x =得：5lg 2lg 2lg 20.3010log 20.43110lg51lg 210.3010lg 2x ====≈≈--.故选：A. 5．（2021·河北·唐山一中高一阶段练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，则不等式20cxbx a ++<的解集为（ ）A ．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{|1x x <-或1}3x > C ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|3x x <-或1}2x >【答案】C【解析】不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，∴方程20ax bx c ++=的实数根为1-和3，且0<a ，1313b a c a ⎧-+=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得2b a =-，3c a =-， 则不等式20cx bx a ++<可化为2320ax ax a --+<，即23210x x +-<，即113x -<<，∴所求不等式的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：C.6．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）设0.3log 3a =，132b -=，2log 3c =，则（ ）．A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】A【解析】由题得0.30.3log 3log 10a =<=，1030221b ，22log 3log 21c =>=，所以c b a >>.故选：A7．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数()f x 满足11()24(0)f x f x x xx ⎛⎫--=≠ ⎪⎝⎭，且()22[1,2],5()3log 15x f x a a ∃∈≥-，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,16]-B ．[2,0)(15,32]-C ．[2,32]-D ．[1,0)(15,16]- 【答案】D【解析】由()1124f x fx x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭①， 用1x -代换()()11240f x x x x f x ⎛⎫⎪⎝=⎭--≠中的x ，得()142xf f x x x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭②， 由2x ⨯-⨯①②，得()(2425f x x x ⎫-=+⎪⎭，令(0)x t t -=≠，所以(0)x t t =-≠所以()(242()5()f t t t ⎫=-+⎪-⎭即()2425f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若()22[1,2],5()3log 15x f x a a ∃∈≥-则()2max 23()log 155f x a a ≥-因为()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()max 1225f x f ==， 所以()222log 15401516a a a a -≤⇔<-≤，解得[1,0)(15,16]-．故选：D.8．（2022·广东·广州市第五中学高一阶段练习）已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦有五个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．()0,3 D ．()1,3 【答案】A【解析】由()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦可得()f x a =或()1f x =，当0x ≤时，()[)21120,1x x f x =-=-∈；当02x <≤时，()2121x xf x =-=-.作出函数()f x 、1y =、y a =的图象如下图所示：由图可知，直线1y =与曲线()y f x =有2个交点，即方程()1f x =只有2解， 所以，方程()f x a =有3解，即直线y a =与曲线()y f x =有3个交点，则01a <<.故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（ ）A ．2214a a -+= B ．13a a --= C ．11226a a -+=D ．332211224a a a a--+=+【答案】AC【解析】()21122224,216,14a a a a a a a a ----+=∴+=++=∴+=，故选项A 正确；()()22112144412,23a a a a a a ----=+-=-=∴-=±B 错误；21111122222426,6a a a a a a --⎛⎫+=++=+=∴+= ⎪⎝⎭C 正确； ()3322222331112111a aa a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝++⎭,33222111213a a a a a a ---+∴==++-,故选项D 错误．10．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）A ．2222a b a b ++≥B ．11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C ．111a a +>+D ．2abab a b>+【答案】BC【解析】对A ：因为0a >，0b >，且22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以2222a b a b ++≤，故选项A 错误；对B ：因为0a >，0b >，所以11()2224a b a b a b a abab b⎛⎫++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故选项B 正确；对C ：因为()()111112111111a a a a a a +=++-≥+⨯=+++，当且仅当111a a +=+， 即0a =时等号成立，但0a >，所以111a a +>+，故选项C 正确； 对D ：因为0a >，0b >，所以2a b ab +≥，所以(22a b ab ab ab ab +≥=，所以2abab a b≤+a b =时等号成立，故选项D 错误.故选：BC. 11．（2022·江苏省怀仁中学高一阶段练习）已知函数()[]()212,2f x x x =-+∈-，()[]()220,3g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（ ）A ．[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-B ．[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-C ．[]0,3x ∃∈，()g x a =，则实数a 的取值范围是[]1,3-D ．[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t = 【答案】AC【解析】A 选项，[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，即()min f x a >，()f x 为减函数，所以()min ()23f x f a ==->，A 正确；B 选项，[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，即()max f x a >，所以()25f a -=>，B 不正确；C 选项，[]0,3x ∃∈，()g x a =，即()()max min g x a g x ≥≥，()g x 的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴1x =处取最小值，在离对称轴最远处3x =取最大值， 所以()()3311g a g =≥≥=-，C 正确；D 选项，[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t =，即要求()f x 的值域是()g x值域的子集，而()f x 的值域为[3,5]-，()g x 值域为[1,3]-，不满足要求，D 不正确；故选：AC.12．（2022·吉林松原·高一阶段练习）设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()e 11e 2x x f x =-+，则下列叙述中正确的是（ ） A ．()f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()f x ⎡⎤⎣⎦的值域是{}1,0,1- 【答案】BC【解析】根据题意知，()e 11e 112111e 1e 221e x x x x xf x +-=-=-=-+++， ()e1101e 2f ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()1111e 12f ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦， 所以，()()11f f ≠-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦且()()11f f ≠--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数，也不是偶函数，A 错；()()()e 111111e 221e 2e 1e x x x x xf x f x ----=-=-=-=-+++，所以，函数()f x 为奇函数，B 对；因为函数1e xy =+为R 上的增函数，则函数11e xy =+为R 上的减函数， 故函数()1121e xf x =-+上的增函数，C 对；因为e 0x >，则1e 1x +>，所以，1011ex<<+，故()1122f x -<<， 所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，D 错.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）若幂函数()222()1mmf x m m x +=--的图象不经过原点，则实数m 的值为________．【答案】-1【解析】因为函数()()2221mmf x m m x+=--是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()1f x x -=，图象不经过原点，满足题意；当2m =时，()8f x x =，图象经过原点，不满足题意；所以1m =-.故答案为：1-.14．（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b =_______． 【答案】12【解析】因为3,1()2,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，所以555()3662f b b =⨯-=-，当512b -<即32b >时，555(())()3()4622f f f b b b =-=--=，解得78b =，舍去；当512b -≥即32b ≤时，5255(())()2462b f f f b -=-==，解得12b =，故答案为：1215．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）已知0a >，0b >，且122243a b +=+-，则2a b +的最小值为________. 【答案】12【解析】∵0a >，0b >，且122243a b +=+-， ∴[]31222(2)(4)2(2)(4)224a b a b a b a b ⎛⎫+=++-=⨯++-+ ⎪+-⎝⎭()344(2)3444122242b a a b -+⎡⎤=⨯++≥⨯+=⎢⎥+-⎣⎦， 当且仅当44(2)24b a a b -+=+-，即14a =，172b =时取等号， 故2a b +的最小值为12．16．（2022·山东·聊城二中高一阶段练习）命题“x ∃∈R ，2290x mx ++<”为假命题，则实数m 的最大值为___________. 【答案】62【解析】因为命题“x ∃∈R ，2290x mx ++<”为假命题，则2720m ∆=-≤，解得6262m -≤因此，实数m 的最大值为62四、解答题：本小题共6小题，共70分。

衡水中学2021-2021 学年度上学期高三年级二调考试语文试卷本试卷考试时间150分钟，总分值150分。

考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上。

2.答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

答复非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束一定时间后,通过扫描二维码查看讲解试题的视频。

一、文言文阅读(19分)阅读下面的文言文,完成1～4题。

邹智,字汝愚,合州人。

年十二能文。

家贫,读书焚木叶继晷者三年,举成化二十二年乡试．．第一。

时帝益倦于政,而万安、刘吉、尹直居政府,智愤之。

道出三原,谒致仕尚书王恕,慨然曰：“治天下,在进君子退小人。

方今小人在位,毒痛四海,而公顾屏弃田里。

智此行非为科名,欲上书天子，矫世变俗，拯斯民于涂炭耳。

〞恕奇其言,笑而不答。

明年登进士,改庶吉士,遂上疏曰：“陛下于辅臣遇事必咨殊恩异数必及恋云任矣然或进退一人处分一事往往隆中旨使一二小人阴执其柄是既任之而又疑之也陛下岂不欲推诚待物哉?〞疏入,不报。

智既慷慨负奇,其时御史汤鼐、中书舍人吉人、进士李文祥亦并负意气,智皆与之善。

因相与品核公卿,裁量人物。

未几,孝宗嗣位，弊政多所更。

智喜,以为其志且得行,复上书曰：“少师安持禄怙宠,少保吉附下罔上,太子少保直挟诈怀奸,世之小人也。

陛下留之，那么君德必不就，朝政必不修,此弊所当革者也。

致仕尚书王恕忠亮可任大事,尚书王兹刚毅可寝大奸,都御史彭韶方正可决大疑,世之君子也。

〞帝得疏,颔之。

居无何,安、直相继罢斥。

而吉任寄如故,衔智刺骨。

鼐常朝当侍班．．,智告之曰:“祖宗盛时,御史侍班,得面陈政务得失,立取进止。

自后惟退而具疏,君幸值维新之日,盍仿先朝故事行之。

〞及恕赴召至京,智往谒曰：“后世人臣不获时见天子,故事多苟且。

愿公且勿受官,先请朝见,取时政不善者历陈之，力请除革,而后拜命,庶其有济。

河北省衡水市2024-2025学年高三上学期第二次调研考试（9月月考）英语试题一、阅读理解Below are some strategies that can be employed in class to engage students in learning activities.Think — Pair — ShareThis technique is popular in the lower elementary grades to encourage speaking and listening skills. First, ask students to think about their response to a question, and then ask them to pair up with another person, usually someone nearby. The pair discuss their response, and then they share that response with a larger group.FishbowlA fishbowl is organized with two four student groups who sit facing each other in the center of the room. All the other students sit in a circle around them. Those students seated in the center discuss the question. Students on the outside circle take notes. In a variation, students on the outside may provide quick notes known as “fish food” by passing them to students on the inside for use in their discussion.Concentric CirclesOrganize students into two circles, one outside circle and one inside circle so that each student on the inside is paired with a student on the outside. The teacher poses a question to the whole group. Each pair discuss how to respond. After this brief discussion, the students on the outside circle move one space to the right. This will mean each student will be part of a new pair. The teacher can have them share the results of that discussion or pose a new question.PyramidStudents begin this strategy in pairs and respond to a discussion question with a single partner. At a signal from the teacher, the first pair join another pair which creates a group of four. These groups of four share their ideas. Next, the groups of four move to form groups of eight in order to share their best ideas. This grouping can continue until the whole class is joined up in one large discussion.1．Which strategy can a teacher adopt if he doesn’t want all the students to speak?A．Think — Pair — Share.B．Fishbowl.C．Concentric Circles.D．Pyramid.2．What’s a unique aspect of Concentric Circles?A．Students change partners.B．Students respond to a question.C．Students pass notes to each other.D．Students take turns to present their ideas. 3．How does Pyramid work?A．Best ideas are collected for a presentation.B．One group combines with another with each step.C．The whole class work together to carry out a project.D．Groups of four move around the classroom to share ideas.Malonga was born in Brazzaville, Congo, where his grandmother owned a restaurant. His love for food and cooking started there. He spent his teenage years in Germany and he started his career working in top European restaurants.In 2015, he competed in the French Top Chef TV show as the first Black chef to do so. When it came time to open his own restaurant, he took a two - year tour of the African continent, seeking inspiration.He opened Meza Malonga in 2020. Dinners at Meza Malonga have no menu — the meal changes based on seasonally available ingredients(食材)and what’s exciting Malonga at the moment. Giant windows open onto the hills of Kigali. The chefs present each course. There’s nobody yelling(大喊), “Yes chef!” and Malonga pointedly refers to “our restaurant… our menu… our project.” His longest employee is Frank Buhigiro, who says “The way we work is like we are family. You know, we don’t have pressure because we get time to think and create.”The restaurant is only open for eight months out of the year. For the other four months, Malonga and his team travel the continent. They experience different African cuisines first - hand, and source unique ingredients. But it’s more driven, more intense, than just sourcing. Malonga has visited 48 African countries, eating his way across the continent. Upon returning to Kigali, he brings back new flavors as souvenirs(纪念品). He describes new tastes like a shiny new toy. “Right now, I’m eating cassava leaves — I love it!”Malonga wants to carve out a space for African food in the global fine dining scene. Something he thinks is increasingly possible based on how people travel. Now, he says, people book trips not based on where they sleep, but where they eat.4．What gave Malonga his early inspiration for his career?A．A European cooking show.B．A famous chef in Germany.C．His book about African cuisine.D．His grandmother’s restaurant.5．In what way is Meza Malonga unique?A．It combines dining with traveling.B．It has a fixed menu that never changes.C．Diners can choose their own ingredients.D．The chefs present each course to the diners.6．What’s the working atmosphere like in Meza Malonga?A．Easy and simple.B．Warm and relaxing.C．Formal but exciting.D．Positive but tense.7．What is the main purpose of Malonga and his team’s travels across Africa?A．To enhance their team spirit.B．To search for designs for toy souvenirs.C．To experience cuisines and source ingredients.D．To seek suitable locations for opening new restaurants.Ernesto Gomez’s journey into ornithology (鸟类学) began with a childhood encounter with scarlet macaws as they flew past him in the green rainforest of Chiapas, Mexico. This experience fired a lifelong passion for birds and conservation, leading him to specialize in ornithology and join Pronatura Península deY ucatán (PPY), an environmental conservation group in Mexico.Gomez’s work is supported by Fish and Wildlife Service grant programs that improves wetland habitats for migratory birds and promotes environmental education and research. One of Gomez’s key projects involves restoring and managing wetland habitats in the Yucatan Peninsula, which has led to the return of several species. These efforts not only support bird populations butalso reduce the vulnerability of coastal communities by improving their capacity to adapt to environmental risks.Community engagement is central to PPY’s success, with the annual Toh Festival being a key example. This festival, named after a bird of cultural significance, hosts a variety of bird-related activities from March to November, including birding marathons, photo expeditions (探险), contests, tours, and workshops. These events inspire community members to appreciate and protect the region’s rich biodiversity.As a nature photographer, Gomez approaches his work with respect for the wildlife, aiming to remain careful to avoid disturbing the birds. His photography serves a higher purpose, creating media communications that support PPY’s environmental education and community outreach initiatives. His images not only record the beauty of birds but also provide a window into their world, inspiring people to learn more about the challenges they face and the habitats they depend on.Ernesto Gomez proved to us the power of photography to inspire and educate. His work ensures that the beauty of Yucatan’s birds and habitats continues to inspire, reminding us of the vital link between people and nature.8．Where did Ernesto Gomez’s interest in ornithology come from?A．An encounter with scarlet macaws.B．A documentary on wetland conservation.C．A photography exhibition about Mexican forests.D．An educational program onenvironmental science.9．What does the underlined word “vulnerability” mean in paragraph 2?A．The stability of regional biodiversity.B．The quality of being weak and easily hurt.C．The capability of managing wetland habitats.D．The probability of being adaptive to environmental risks.10．What is a primary purpose of the Toh Festival?A．To raise funds for conservation projects.B．To engage people in bird-related activities.C．To promote bird - watching as a tourism activity.D．To recognize the work of nature photographers.11．How do Gomez’s photos contribute to PPY’s mission?A．By providing visual documentation for scientific research.B．By attracting birding marathoners to the Yucatan Peninsula.C．By creating media communications for environmental education.D．By encouraging people to face the challenges of environmental conservation.Albino redwoods, with their slightly shining white appearance, are a rare sight in California’s coastal forests. Despite lacking chlorophyll, which is used to photosynthesize(光合作用), these trees have managed to survive, puzzling researchers for over a century. However, a recent study by biologist Zane Moore from the University of California in Davis may have uncovered the secret to their existence.Redwoods rank among the tallest organism on earth and claim an existence of some 3,500 years. They are known for their complex root systems that allow them to communicate and share nutrients during tough times. Researchers have seen this firsthand by introducing dye to trees on one side of an area of redwoods and tracing it all the way to the further reaches. In summer, they become more independent, and those unable to sustain themselves are cut off from the shared system in the autumn needle drop.So, if albino red woods can’t photosynthesize, why are they able to stick around? Moore’s research suggests that albino redwoods survive by tapping into the communal root system and absorbing sugars from healthier neighbors. Contrary to the belief that they are parasites(寄生植物), Moore’s findings indicate a symbiotic(共生) relationship.Albino redwoods tend to grow in less healthy conditions and have been found to contain high levels of poisonous heavy metals in their leaves. Moore theorizes that these trees are not only surviving but also serving a purpose by acting as a “reservoir(水库) for poison”, thus protecting their healthier counterparts. This discovery could potentially make it possible to use albino redwoods in polluted areas to safeguard other trees.The study highlights the interconnectedness of trees and their ability to look out for one another, forming bonds and even recognizing their offspring. Moore’s research emphasizes the importance of considering the entire community of trees, rather than focusing on individuals, to understand what’s happening in the forest.12．What can be learned about redwoods?A．They depend on each other for nutrition in tough times.B．They have unusually strong roots that can reach very far.C．How they photosynthesize has puzzled researchers for long.D．How they communicate among individuals remains a secret.13．How do albino redwood s survive?A．They become parasites of other tree species.B．They rely on the fallen needles for their growth.C．They have developed an alternative method of photosynthesis.D．They absorb sugars from the root system of healthier redwoods.14．What role do albino redwood s play in the forest ecosystem?A．They transport water for the forest.B．They act as a source of food for other plants.C．They protect other redwood trees by absorbing poison.D．They are responsible for the reproduction of the redwood species.15．What’s the best title of the text?A．Albino Redwoods May be the Result of PollutionB．Albino Redwoods May Survive to Help Nearby TreesC．Symbiotic Relationship is Built among Albino RedwoodsD．Researchers Discovered Complex Root System of Albino RedwoodsMischief Night, also known by various names like Devil’s Night and Cabbage Night, is a tradition that has changed over time in the United States and Canada. Historically, Halloween pranks(恶作剧)were performed on October 31st. 16 However, by the 1920s and 1930s, these pranks changed into more serious acts of destruction, possibly due to the social tensions of the Great Depression.In an effort to deal with this destructive behavior, parents and community leaders encouraged the tradition of trick-or-treat. 17 This shift effectively moved the mischief from October 31st to October30th.The custom of Mischief Night is particularly popular in areas with a history of Irish and Scottish immigration, such as the northeastern United States and English-speaking communities inCanada. 18According to a Cambridge Online Survey of World Englishes, 74% of Americans surveyed do not have a specific name for this night. 19 East Michigan referred to it as Devil’s Night, parts of New Jersey and New York as Mischief Night, and Washington State as Devil’s Eye. A similar study conducted by Harvard University a decade ago revealed other names like Gate Night, which involved opening farmers’ gates to let livestock roam free.20 The term Cabbage Night, for instance, originates from an old Scottish tradition where young women would use cabbages in fortune- telling rituals on All Hallows’ Eve, leading to a tradition of throwing cabbages at neighbors’ homes. Despite the decline in the use of specific names, Mischief Night continues to be a part of local traditions.A．Yet, regional names do exist.B．They offered candy to children in costumes as an alternative.C．The origins of these names have long been a topic of discussion.D．They involved light - hearted tricks such as throwing eggs at houses.E．Children had great fun but parents were concerned about the serious destruction.F．The data suggest that the specific names for this night are gradually fading away. G．However, it is less common in the South, West, and French-speaking regions of Canada.二、完形填空My friend Julie and I had completed an incredibly complicated set of instructions which led us to our comfortable room in Tokyo. The next morning, still with a white wine hangover from celebratory night, we 21 a most unexpected sensation: The whole room was shaking from side to side. My friend Julie was up and screaming “what’s happening?” I was very 22 but my mind was 23 .“I think it’s an earthquake,” I said.I staggered (踉跄) out of 24 and noticed a helpful guide page which was 25 on the small table that I hadn’t noticed before.The room stopped shaking and then started again like a 26 sailor. The cups were shaking and I was feeling rather 27 . Sure enough, the guide page had a section on what todo in an earthquake. It 28 that all buildings in Tokyo were earthquake-proof, but if you were worried, the door frames could 29 you as they were all reinforced (强化的) steel.We didn’t feel particularly protected. Julie rushed downstairs to seek 30 , but she was me t with a shrug (耸肩) from the old lady there who simply 31 that Japan sometimes shakes.Although the center of the earthquake was off the coast of the Ogasawara Islands, it 32 the whole of Japan and the aftershocks were felt as far away as India and Nepal. I was 33 that it got so little international 34 . It didn’t cause a tsunami and no nuclear power plants were affected — but it was still a crazy 35 .21．A．caught up with B．put up with C．looked forward to D．woke up to 22．A．curious B．careful C．dizzy D．calm 23．A．working B．disturbed C．slow D．blank 24．A．reach B．bed C．place D．sight 25．A．actually B．previously C．accidentally D．accordingly 26．A．worried B．seasoned C．drunken D．scared 27．A．sick B．easy C．tired D．sleepy 28．A．proved B．noted C．ensured D．predicted 29．A．interest B．bother C．support D．protect 30．A．comfort B．approval C．fortune D．assistance 31．A．replied B．complained C．hoped D．denied 32．A．panicked B．moved C．shook D．troubled 33．A．skeptical B．anxious C．surprised D．fortunate 34．A．business B．cooperation C．privilege D．attention 35．A．action B．experience C．idea D．game三、单词拼写36．The change of seasons is a natural (现象).(根据汉语提示单词拼写)四、语法填空37．She decided to take an (addition) course to enhance her skills in data analysis.(所给词的适当形式填空)38．The rapid (respond) of the firefighters helped to minimize the damage caused by the fire. (所给词的适当形式填空)39．A (type) day for a student might involve attending classes, studying, and participating in extracurricular activities. (所给词的适当形式填空)五、单词拼写40．The fundamental (原则) of good nutrition is to consume a balanced diet that includes a variety of fruits, vegetables, and proteins. (根据汉语提示单词拼写)六、语法填空阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。

2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。

2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,2,3,4}，B ={x ∈Z|y =ln (9−x 2)}，则A ∩B =( )A. {1,2,3}B. {−1,2}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4}2.已知复数z 1=a 2−3a +3i ，z 2=2+(a 2−4a)i ，a ∈R ，若z 1+z 2为纯虚数，则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33.已知向量a ,b 满足|a |=2,b =(2,0)，且|a +b |=2，则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. (−1,0)B. (1,0)C. (−2,0)D. (2,0)4.已知cos (α+π2)=2cos(α+3π)，则sin 2α+12sin2αcos 2α=( )A. −14 B. 34 C. 2D. 65.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为( )A. 16π3B. 16πC. 64π3D. 72π6.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，3S 2=a 1+2a 3，a 3=8，则数列{a n +2n−1}的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)−m =0在x ∈[−π12,π6]上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为( )A. (−2,2]B. (−2,− 3]C. [ 3,2]D. (− 3, 3]8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数，且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=0，则∑2026i=1f (i)=( )A. −2B. 2C. −2026D. 2026二、多选题：本题共3小题，共18分。

河北省衡水市衡水中学2024-2025学年高二上学期综合素质评价二数学试题一、单选题130y --=的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π6C ．π4D ．2π3 2．已知直线a 的方向向量为a r ，平面α的法向量为n r ，下列结论成立的是（ ）A ．若//a n r r ，则//a αB ．若a n ⊥r r ，则a α⊥C ．若//a n r r ，则a α⊥D ．若a n ⊥r r ，则//a α 3．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（ ）A ．2±B ．±C ．±D ．8±4．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．(][),11,-∞-+∞UB ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知(0,1,1)A ，(2,1,0)B -，(3,5,7)C ，(1,2,4)D ，则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为（ ）A B ． C D ．6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）A B C D 7．若动点()11,M x y ，()22,N x y 分别在直线70x y ++=与直线50x y ++=上移动，则MN 的中点P 到原点的距离的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 中点，M 是DB 靠近B的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，则DP u u u r 的最大值是（ ）A ．1 BC D二、多选题9．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1CD 的中点，Q 为1CA 上靠近点1A 的五等分点，则（ ）A ．11132AM AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r B ．122AM AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r C ．1133545AQ AB AD AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r D ．154AQ AB AD AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r10．已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，下列结论正确的是（ ）A ．若12//l l ，则6a =B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交11．如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，M N ，分别是线段BC SB ，的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点D C ，），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得NQ SB ⊥B ．存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60oC ．三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D ．当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大三、填空题12．已知点()4,2P -，点A 为圆224x y +=上任意一点，则PA 连线的中点轨迹方程是． 13．已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是.14．如图，已知点A 是圆台1O O 的上底面圆1O 上的动点，,B C 在下底面圆O 上，11AO =，12OO =，3BO =，BC =AO 与平面1O BC 所成角的正弦值的最大值为.四、解答题15．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC 边上的高AD 所在直线的方程为220x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，点B 的坐标为()1,3.(1)求直线BC 的方程；(2)求直线AC 的方程及点C 的坐标.16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，且12,,AA AB AD E F ==分别为111,C D DD 的中点.(1)证明：//AF 平面1A EB .(2)求平面11A B B 与平面1A BE 夹角的余弦值.17．已知直线()1:340l kx y k k ---=∈R 过定点P ．(1)求过点P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线2l 方程；(2)若直线1l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴负半轴于点B ，ABC V 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值并求此时直线1l 的方程．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD =(1)求证：PD ⊥平面PAB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求出AM AP的值；若不存在，请说明理由. 19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =r ，点()0000,,P x y z 若直线l 以u r 为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000x x y y z z a b c---==（0abc ≠）；若平面α以u r 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.(1)已知直线l 的标准式方程为112x z -==，平面1α的点法式方程可表示为50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的余弦值；(2)已知平面2α的点法式方程可表示为2320x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，点P 到平面2α的距离；(3)（ⅰ）若集合(){},,|2,1M x y z x y z =+≤≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积：（ⅱ）若集合(){},,|2,2,2N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.记集合N 中所有点构成的几何体为T ，求几何体T 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.。

2010-2023历年河北省衡水市冀州中学高三上学期第一次月考化学试卷（带解析）第1卷一.参考题库(共25题)1.下列物质中不属于合金的是（）A．硬铝B．钢铁C．青铜D．金箔2.科技工作者提出用铝粉处理含亚硝酸盐废水的思路：调节亚硝酸盐废水酸碱性，使其pH>12，然后加入适量的铝粉、搅拌，从而实现预期目的。

下列判断错误的是A．废水处理时铝单质转化为Al3+B．废水处理中，亚硝酸盐被还原C．处理过程中，OH一参与了反应D．铝粉颗粒大小影响废水处理的速率3.室温下，在0.2mol/L Al2(SO4)3溶液中，逐滴加入1.0mol/LNaOH溶液，实验测得溶液pH随NaOH溶液体积变化曲线如下图，下列有关说法正确的是A．a点时，溶液呈酸性的原因是Al3+水解，离子方程式为：Al3++ 3OH－Al(OH)3B．a－b段，溶液pH增大，Al3+浓度不变C．b－c段，加入的OH－主要用于生成Al(OH)3沉淀D．d点时，Al(OH)3沉淀开始溶解4.下图是一种综合处理SO2废气的工艺流程。

下列说法正确的是A．向B溶液中滴加KSCN溶液，溶液不会变为血红色B．溶液B转化为溶液C发生的变化的离子方程式为4H++ 2Fe2++O2= 2Fe3++ 2H2O C．溶液酸性A > B > CD．加氧化亚铁可以使溶液C转化为溶液A5.（本题共6分）将含O2和CH4的混合气体充入有23.4gNa2O2的密闭容器中，电火花点燃，反应结束后，容器内于150℃时压强约为0，将残留物溶于水，无气体逸出。

（1）原混合气体中O2和CH4体积比为。

（2）残留固体成分。

6.用FeCl3溶液腐蚀印刷电路板上的铜，所得溶液中加入铁粉。

对加入铁粉充分反应后的溶液分析合理的是A．若无固体剩余，则溶液中一定有Fe3＋B．若有固体存在，则溶液中一定有Fe2＋C．若溶液中有Cu2＋，则一定没有固体析出D．若溶液中有Fe2＋，则一定有Cu析出7.（本题共10分）(NH4)2Fe(SO4)2·6H2O俗名摩尔盐，价格便宜，可用来净水或治疗缺铁性贫血等，是一种重要的化工原料。

2023—2024学年度下学期高三年级二调考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a b a b +=- ,()()1,2,,3a b m == ，则实数m =（）A ．6B ．6-C ．3D ．3-2．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（）A ．90B ．75C ．95D ．703．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE BCF -，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若AD ⊥面ABFE ，且222EF AB AE BF ===，记三棱锥D ABF -的体积为1V ，则该五面体的体积为（）A ．18V B ．15V C ．14V D ．13V 4．已知tan 2α=，则sin3sin cos ααα=+（）A ．215-B ．215C ．79-D ．795．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A ．78B ．92C ．100D ．1226．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．3B CD ．27．已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A ．(4)2f =B ．()20g '=C ．(1)(3)f f -=-D ．(1)(3)4f f +=8．已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知,z z ∈C 是z 的共轭复数，则（）A ．若13i13i z +=-，则43i 5z --=B ．若z 为纯虚数，则20z <C ．若(2i)0z -+>，则2iz >+D ．若{||3i3}M z z =+≤∣，则集合M 所构成区域的面积为6π10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．如图所示，有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．ABE 的周长最小值为4C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B = R ，则实数a 的取值范围为.13．已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C的圆的方程为．14．已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，则以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有个.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()()21sin 02f x x x ωωω=-+>的最小正周期为4π.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()2cos cos ,a c B b C -=⋅求()f A 的取值范围.16．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB =MD =(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若23DC AB = ，2BE EM = ，求直线CE 与平面BDM 所成角的正弦值．17．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X ，求()E X ；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记n P 为王老师第n 天坐地铁去学校的概率，求{}n P 的通项公式.18．已知()2e 2e x xf x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，(2)当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；(3)()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.19．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．1．B【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b+=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅= ，因为()1,2a =r ，(),3b m = ，所以6a b m ⋅=+，所以60+=m ，解得6m =-.故选：B.2．A【分析】根据第p 百分位数定义计算判断即可.【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，575% 3.75i =⨯=，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.故选：A.3．C【分析】将五面体分割成三个三棱锥,,D AEF D ABF F BCD ---，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积.【详解】因为ABCD 为平行四边形，所以ABD BCD S S =△△，所以1F BCD F ABD V V V --==.记梯形ABFE 的高为h ，因为2EF AB =，所以112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅= ，所以122D AEF D ABF V V V --==，所以该五面体的体积111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=.故选：C4．A【分析】利用两角和的正弦，二倍角余弦结合齐次式化简求值.【详解】sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1ααααααααααααα++==+++()()22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+()()2221tan 2tan 2153tan 1ααα-+==-+.故选：A 5．C【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有2343C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.故选：C 6．C【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422a a a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．7．ABD【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.【详解】对A ：∵()g x 为偶函数，则()()g x g x =-，两边求导可得()()g x g x ''=--，∴()g x '为奇函数，则()00g '=，令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B ：令=2x ，则可得()()(2)22(2)22f g f g ⎧+='-='⎪⎨⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f x g x '+++=，()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=，两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立，又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f x g x f x g x ''-+-=---=，()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-，∴()f x 以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立，故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.8．D【分析】分别构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，利用导数研究其单调性，得到223111ln(1)223x x x x x x -<+<-+，(0)x >，再将a 看成3ln(10.1)+，c 看成ln(10.3)+，利用上述的不等式比较大小即可．【详解】解：由251030b b +-=解得1b =-，构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯-⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>．故选：D ．9．AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A ；z 为纯虚数，可设()i 0z b b =≠，根据复数的四则运算可判断B ；由()2i 0z -+>结合数大小比较只能在实数范围内可判断C ；设复数i z a b =+，根据复数模长定义计算可判断D.【详解】()()()213i 13i 43i13i 13i 13i 5z ++-+===--+，所以43i 5z --=，故A 正确；由z 为纯虚数，可设()i R,0z b b b =∈≠，所以222i z b =，因为2i 1=-且0b ≠，所以20z <，故B 正确；由()2i 0z -+>，得i(2)z a a =+>，因为i(2)z a a =+>与2i +均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C 错误；设复数i,,R z a b a b ∈=+，所以()3ia b ++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】A 选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一平面内，由余弦定理求出AE BE +的最小值，得到周长的最小值；C 选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D 选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C 选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.【详解】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以PB ⊥CD ，PB ⊥AD ，又CD AD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB ⊥AE ，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于AD CD ==4AC =，22222241cos23CD AD ACADC CD AD+-+-∠===⋅，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，所以(222222cos 22222163AB BD AD BD AD ADB ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-=+ ⎝⎭故AB ==ABE 的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM =PM =，则133MF BM ==，故PF =设OF ON R ==，故OP PF OF R =-=，因为PNO ∽PFM △，所以ON OP FM PM =3R-=解得3R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C选项可知，其高为3r ，由C 选项可知，PF 是正四面体-P ABC 的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则3QS r =，SF r =，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14得，如图正四面体P HJI -中，QZ r =，3QP r =，正四面体P ABC -高为34r r r +⨯，解得r =，D 正确.故选：ACD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径12．()0,1【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.【详解】由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0B x x a a x x a =>>=或},0x a a -，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.13．()(223328x y -+=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+=.14．502【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到250250240a b -≥，想要有实根，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，结合根的判别式与基本不等式得10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理得到20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，即可解决问题.【详解】由题意得，210031003410030S T -⨯≥，又因为1100310035021003()10032a a S a +==，1100310035021003()10032b b T b +==，代入得250250240a b -≥，要使方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 有实数解，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，显然第502个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程1003103200x a x b -+=的判别式分别为11003,∆∆，则22222110031100311100310031100311003502()(4)(4)4()422a a ab a b a a b b b +∆+∆=-+-=+-+≥-⨯即2250211003502502502(2)82(4)02a b a b ∆+∆≥-=-≥，等号成立的条件11003a a =，所以10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理可得20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，故答案为：502.15．(1)2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得ω的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可；（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得π,3B =继而得到ππ,62A <<整体代入求函数值的范围即可.【详解】（1）()21sin 22f x x x ωω=-+11cos2sin2222x x ωω-=-1πcos2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为2π4π,2T ω==所以1,4ω=故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π,,2262k x k k -+≤+≤+∈Z 解得4π2π4π4π,,33k x k k -≤≤+∈Z 当0k =时4π2π,,33x -≤≤又[]0,π,x ∈所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()2cos cos ,a c B b C -=⋅得（2sin sin )cos sin cos ,A CB BC -=所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A .因为sin 0,A ≠所以1cos ,2B =又()0,π,B ∈所以π,3B =又三角形为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A <<，所以ππ5π42612A <+<，又()26πsin A f A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5πππππππsin sin sin cos cos sin 12464646⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则πsin 2264A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以()f A的取值范围为⎝⎭.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据2AB AM ==，MB =利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，MD =120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM 的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）为2AB AM ==，MB =，所以222AM AB MB +=，所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A = ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，MD =则44121cos 2222MAD +-∠==-⨯⨯，且0180MAD ︒<∠<︒，可知120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ，分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则)3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，则420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得723,,33EC ⎫=-⎪⎭ ，()0,2,2BM =-，)3,1,2BD =-- ，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则·220·320BM n y z BD n y z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，取1z =得)3,1,1n = ，设直线EC 与平面BDM 所成角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯，所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15.17．(1)0.15(2)()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭(3)1225757n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出数学期望；(3)由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，由递推关系求出数列的通项.【详解】（1）记事件A =“硬币正面向上”，事件B =“7：40-7：45到校”则由题有()0.5P A =，()0.2P B A =，()0.1P B A =，故()()()()()0.50.20.50.10.15P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2892232323312391055555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2891032323232331289105555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以上两式相减得：()28922232323235555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()1028910313333553513555522515E X ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅++==-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.所以()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.（3）由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，则1525757n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，这说明57n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为以15277P -=为首项，25-为公比的等比数列.故1522775n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1225757n n P -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭.18．(1)4e 2ey x =-+(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析(3)()1⎡⎣【分析】（1）当0a =时，求得()()21e xf x x +'=-，结合导数的几何意义，即可求解；（2）当12a =时，求得()()e e 22x xf x x '=--，令()e 22x F x x =--，利用导数求得()F x 的单调性与min ()0F x <，得到存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，进而得到答案；（3）求得()()2e e 1x xf x a x '=--，根据题意，得到a<0，令()e 1xg x a x =--，得到()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，利用函数()f x 的单调性，求得002max 0()e 2e x x f x a x =-，再由max 1()0f x a +≤，求得01x ≤<-，再由001e x x a +=，设()1ex x h x +=，利用导数求得函数()h x 的单调性，即可求解.【详解】（1）解：当0a =时，()2e x f x x =-，可得()()21e xf x x +'=-，则()()14e,12e f f =-=-'，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 4e 1y x +=--，即4e 2e y x =-+.（2）解：当12a =时，()21e 2e 2x xf x x =-，定义域为R ，可得()()()2e 21e e e 22x x x xf x x x =-+=--'，令()e 22x F x x =--，则()e 2xF x '=-，当(),ln2x ∞∈-时，()0F x '<；当()ln2,x ∞∈+时，()0F x '>，所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，所以()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<，又由()()2110,2e 60eF F -=>=->，存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，当()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；当()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）解：由()2e 2e x x f x a x =-，可得()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x a x a x =-+=--'，由()1R,0x f x a ∀∈+≤，因为()211100a f a a a a++=+=≤，可得a<0，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，当0x <时，可得e (0,1)x ∈，则e (,0)x a a ∈，所以()e 11xg x a x a x =-->--，则()()1110g a a a ->---=，又因为()11e 0g a --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >，即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，所以()002max 00()e 2e x xf x f x a x ==-，由()000e 10xg x a x =--=，可得001e x x a +=，由max1()0f x a+≤，可得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+，即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<，可得2011x -≤，所以01x ≤<-，因为001e x x a +=，设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-='>，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((1e h x h ≥=-()()10h x h <-=，所以实数a的取值范围是()1⎡⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m+=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN=因此，,,M A M '三点共线，且BN AM =='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313282y y y y t +==-+，由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以131344222222112222x x ty ty AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=⋅--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪++==++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=4=，解得AM =，4=，解得AM ='，所以111122144AM BN AM AM θθ=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8//,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN -⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x yn m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n mn y y y y mn s nmn s n--∴+=-=----，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m nAM BN AM AM m n m n m nθθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QM BNBQ=，解得()2n AM BNBQ AM BN+⋅=+，同理根据AM AQ BNQN=，解得()2n BN AMAQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN-+=+=++，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n n λ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

2023届新高三摸底联考数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(,2][3,)=−∞−+∞A ，则()=Z R A （ ）A ．{2,1,0,1,2,3}−−B ．{2,1,0,1,2}−−C ．{1,0,1,2,3}−D ．{1,0,1,2}− 2．已知命题()2:[0,),ln 10∀∈+∞+≥p x x ，则⌝p 为（ ）A ．()2(,0),ln 10∃∈−∞+<x x B ．()2[0,),ln 10∃∈+∞+<x xC ．()2(,0),ln 10∀∈−∞+<x xD ．()2[0,),ln 10∀∈+∞+<x x3．已知某质点从平面直角坐标系xOy 中的初始位置点(4,0)A ，沿以O 为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B 点，设B 在x 轴上的射影为C ，则C 点的坐标为（ ）A ．(4sin ,0)∠AOB B ．(4|sin |,0)∠AOBC ．(4cos ,0)∠AOBD ．(4|cos |,0)∠AOB 4．《周髀算经》中有这么一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ） A ．25.5尺 B ．34.5尺 C ．37.5尺 D ．96尺5．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的左右焦点分别为12、F F ，若C 上存在无数个点P ，满足：122π∠>F PF ，则b a 的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎝⎭C ．,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,2⎛ ⎝⎭6．在△ABG 中，已知31,83==BE BG AF AG ，AE 与BF 交于O ，则=AO （ ）A ．2173+AB BG B ．43510+AB BG C ．43714+AB BG D ．34147+AB BG 7．若51sin 4,log 3,lg6,lg15====a b c d ，则（ ）A ．<<<b c d aB ．<<<a d b cC ．<<<a b c dD ．<<<a b d c 8．一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 为7个开关，其闭合的概率均为23，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）A ．75513−B ．71113−C ．7233D ．553 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若复数z 满足之(2i)86i +=+z z ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．=zzD ．z 在复平面上的点位于第一象限10．若直线0−+=x y m 与圆22:(1)(2)9−++=C x y 交于A ，B 两个不同的点，且2π∠=ACB ，则m的值为（ ）A ．0B ．5C ．6D ．6− 11．已知0,1>=a ab ，则（ ） A ．2+≥a b B ．lg lg 0>a b C ．22114+<+a b a bD ．332+≥a b12．在四棱锥−P ABCD 中，已知1===AB BD AD ，3==BC CD ，6====PA PB PC PD ，则（ ）A ．四边形ABCD 内接于一个圆B ．四棱锥−P ABCD 的体积为36C ．四棱锥−P ABCD 外接球的球心在四棱锥−P ABCD 的内部D ．四棱锥−P ABCD 外接球的半径为712三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．223sinsin 88ππ−的值为____________． 14．已知函数()f x 是奇函数，且最小正周期为2π，则()=f x __________（写出符合的一个答案即可）． 15．“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家．现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成．根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为____________．16．已知函数()g x 的图象与函数2()([0,))=∈+∞f x x x 的图象关于直线=y x 对称，将函数()g x 图象右移2个单位，下移2个单位得到函数()h x 的图象，若P ，Q 分别为函数(),()f x h x 图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足1221,3,2,3,+−⎧===⎨⎩为奇数为偶数n n n a n a a a a n ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前2n 项的和2n S ． 18．（本小题满分12分）随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型．为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图．其中质量指数值分组区间是：[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]．（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间[]40,45中含有的个数为X ，求X 的分布列及数学期望，附：22()()()()()χ−=++++n ad bc a b c d a c b d ．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos )sin (2sin sin )cos −=−C A B A C B ． （1）求∠B 的大小；（2）若224+=+a c △ABC 的面积为34+△ABC 的周长． 20．（本小题满分12分）如图，在长方体1111−ABCD A B C D 中，15,4===AB BC CC ．若平面APSB 与棱1DD ，1CC 分别交于P ，S ，且(04)=≤≤DP a a ，Q ，R 分别为棱1,BB BC 上的点，且11==B Q BR ．（1）求证：平面1⊥PB R 平面11C D Q ；（2）求平面APSB 与平面11C D Q 所成的夹角的余弦的最小值． 21．（本小题满分12分）设函数()cos sin ,0,22ππ⎛⎫⎡⎤=−−∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f x a x x x x ． （1）当1=−a 时，求函数()f x 的导函数()'f x 的值域；（2）如果()0≤f x 恒成立，求实数a 的最大值． 22．（本小题满分12分）设直线=x m 与双曲线22:(0)3−=>y C x m m 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB 的面积（1）求m 的值；（2）已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为'M ，F 为C 的右焦点，若'M ，F ，N 三点共线，证明：直线L 经过x 轴上的一个定点．2023届新高三摸底联考 数学参考答案及评分细则一、单选题1．D 【解析】()(2,3){1,0,1,2}=−=−Z Z RA ．故选D ．2．B 【解析】()2:[0,),ln 10⌝∃∈+∞+<p x x ．故选B ．3．C 【解析】由三角函数的定义得，C 点的坐标为(4cos ,0)∠AOB ．故选C ．4．A 【解析】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为14731.5++=a a a ，小寒、雨水、清明日影长之和为25828.5++=a a a ，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为369++a a a ，所以()()369258147225.5++=++−++=a a a a a a a a a ．故选A ．5．D 【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为C 上存在无数个点P 满足：122π∠>F PF ，所以>c b ，所以22−a b222−>a b b，所以02<<b a ．故选D ． 6．C 【解析】如图，过E 作直线∥EH BF 交AG 于H ，因为38=BE BG ，所以35==FH BE HG EG ，因为13=AF AG ，所以设1=AF ，则2=FG ，所以33284=⨯=FH ，因为∥EH BF ，所以143714===+AO AF AE AH ，所以4443()7778⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭AO AE AB BE AB BG 43714=+AB BG ．故选C ．7．C 【解析】因为342ππ<<，所以sin 40<，即0<a ，令5log (3)(1)=≥x y x x ，所以2ln(3)ln(5)ln(3)0ln(5)ln (5)'⎛⎫−==>⎪⎭' ⎝x x x y x x x ，所以5log (3)=x y x 在[1,)+∞上单调递增，所以5100log 3log 6<<<15log 9，所以5151510log 3lg6log 9log 10lg15<<<<=，所以0<<<<a b c d ．故选C ．8．A 【解析】电路由上到下有3个分支并联，开关A ，B 所在的分支不道的概率为2251339−⨯=，开关C，D 所在的分支不通的概率为111339⨯=，开关E ，F ，G 所在的分支不通的概率为211111133327⎛⎫−⨯−⨯=⎪⎝⎭，所以灯亮的概率是75111551199273−⨯⨯=−．故选A ． 二、多选题9．ABD 【解析】设i(,)=+∈R z a b a b ，因为(2i)86i +=+z z ，所以2i 86i +=+zz z ，所以()2222i 86i +−+=+ab b a ，所以2228,26+−==a b b a ，所以3,1==a b ，所以3i =+z ，所以z 的实为3，虚部为1，所以A ，B 正确；2||10==zz z ，所以C 不正确；z 在复平面上的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选ABD ．10．AD 【解析】圆C 的半径为3，设圆心C 到直线0−+=x y m 的距离为d ，则==d ，因为2π∠=ACB ，所以32=⨯d 2=，0=m 或6=−m ．故选A D ．11．AD 【解析】因为0,1>=a ab ，所以0>b ，选项A ：因为1=ab ，所以2+≥=a b ，当且仅当1==a b 时等号成立，故正确；选项B ：因为22lg lg lg()lg lg 022+⎛⎫⎡⎤≤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a b ab a b ，当且仅当1==a b 时等号成立，故不正确；选项C ：因为22221111()⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b +4=，所以22114+≥+a b a b ，当且仅当1==a b 时等号成立，故不正确；选项D ：332()()3⎡⎤+=++−⎣⎦a b a b a b ，令+=a b t ，则2≥t ，令()2333=−=−y t t t t ，所以2330'=−>y t ，所以()2333=−=−y t t t t 在2≥t 时单调递增，所以32322≥−⨯=y ，所以332+≥a b ，故D 正确．故选AD ．12．AD 【解析】选项A ：由已知==AB BD AD 得三角形ABD 为正三角形，又1=BD ，3==BC CD ，所以23π∠=BCD ，且2π∠=∠=ABC ADC ，所以A ，B 、C 、D 四点共圆，故正确；选项B ：由上得A 、B 、C 、D 四点共圆，设圆心为1O ，=AC 所以12==AC O A 设点P 在平面ABCD 的投影为2O ，因为6====PA PB PC PD ，所以2222===O A O B O C O D ，即2O 为四边形ABCD 的外接圆的圆心，所以12,O O 重合，所以1⊥PO 平面ABCD ，112==PO ，所以四棱锥−P ABCD的体积为11111333218⎛⋅=⨯⋅=⎝⎭ABCD S PO ，故不正确；选项C ：设四棱锥−P ABCD 外接球的球心为O ，因为1⊥PO 平面ABCD ，且1111===O A O B O C O D ，所以球心O 在1PO 上，设1=O O h ，所以()22211+=−O A h PO h ，所以222132⎛⎫⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h ，解得112=−h ，所以球心O 在1PO 的延长线上，所以四棱锥−P ABCD 外接球的球心在四棱锥−P ABCD 的外部，故不正确；选项D ：四棱锥−P ABCD 外接球的半径为1171212=+=PO PO ，所以D 正确．故选AD ． 三、填空题13．2【解析】由题意，22223sin sin cos sin cos 888842πππππ−=−==．故答案为2．14．()sin4=f x x 或()tan2=f x x （答案不唯一）．15．18 【解析】志愿者分组情况有24223=C A 种，搭配3名医生，33318=A 种．故答案为18．16．4【解析】由已知得，将(),()f x g x 图象的对称轴=y x 右移1个单位再下移1个单位，即得到函数(),()f x h x 图象的对称轴为直线(1)1=−−y x 即2=−y x ，所以P ，Q 两点之间距离的最小值等于P到直线2=−y x 距离最小值的2倍，函数2=y x 的图象在()00,P x y 点处的切线斜率为02=k x ，令021=x ，得0011,24==x y ，所以P 到直线2=−y x距离的最小值为8==d ，所以这两点之间距离的最小值为24=d．故答案为4．四、解答题17．解：（1）当n 为奇数时，21+−=−n n a a ，所以所有奇数项构成以13=a 为首项，公差为1−的等差数列， 所以173(1)22−−=+−⋅=n na n ， 当n 为偶数时，23+=n n a a ，所以所有偶数项构成以22=a 为首项，公比为3的等比数列，所以222223−−=⨯=⨯n n n a ，所以227,223,−−⎧⎪=⎨⎪⨯⎩为奇数为偶数n n nn a n ，（2）()()212213521242−=+++=++++++++=n n n n S a a a a a a a a a a (1)(1)32−−++n n n ()2213(7)17313113222−−=+−=−++−−n n n n n n n ．18．解：（1）由题意可得22⨯列联表为：则22()()()()()χ−==++++n ad bc a b c d a c b d 2200(42001200)20018.18210.8281001001109011⨯−=≈>⨯⨯⨯． 所以有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关．（2）由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间[]40,45中含有10个， 随机变量X 的可能取值有0，1，2，02102023019038(0)43587====C C P X C ，11102023020040(1)43587====C C P X C ，210230459(2)43587====C P X C ， 随机变量X 的分布列如下：X 满足超几何分布(2,10,30)~X H ，所以2102303⨯===nM EX N （或384092()0128787873=⨯+⨯+⨯=E X ）． 19．解：（1）因为2cos )sin (2sin sin )cos −=−C A B A C B ，sin 2cos sin 2sin cos sin cos −=−C B A B A B C B ，所以sin cos )2sin cos 2cos sin +=+C B B A B A B ， 所以sin cos )2sin()+=+C B B A B ， 因为sin cos )2sin +=C B B C ，因为sin 0≠C ，cos 2+=B B ， 所以2sin 26π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ，所以sin 16π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ， 因为0π<<B ，所以3π=B ．（2）因为△ABC 的面积为34+，所以13sin 24+=ac B ，因为3π=B ，所以1=+ac ，因为224+=+a c 2+=a c ， 在△ABC 中，由余弦定理得，=b ==所以△ABC的周长为2++=a b c ．20．解：（1）在长方体1111−ABCD A B C D 中，因为11⊥D C 平面11BB C C ，1⊂B R 平面11BB C C ， 所以111⊥B R D C ，因为1111,==B Q BR B C BB ，所以111tan tan ∠=∠BB R B C Q ，∴111∠=∠BB R B C Q ，所以11⊥B R C Q ， 因为1111=C QD C C ，所以1⊥B R 平面11C D Q ；因为1⊂B R 平面1PB R ，所以平面1⊥PB R 平面11C D Q ．（2）以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，因为∥AB CD ，所以∥AB 平面11CDD C ，又平面11CDD C 平面=ABSP SP ，所以∥AB SP ，所以∥CD SP ，所以==SC DP a ，因为5=AB ，14==BC CC ，1=BR ，所以(0,0,)P a ，(4,0,0)A ，(0,5,)S a ，1(4,5,4)B ，(3,5,0)R ， 所以(4,0,),(0,5,0)=−=PA a PS ， 设平面APSB 的法向量为(,,)=n x y z ， 所以40,50−=⎧⎨=⎩x az y ，不妨设(,0,4)=n a ，其中[0,4]∈a ，由（1）得，平面11C D Q 的法向量为1(1,0,4)=−−B R ， 设平面APSB 与平面11C D Q 所成的夹角为θ， 则121||cos |||θ⋅===∣∣∣∣n B R n B R a令16+=a t ，则11116[0,4],[16,20],,2016⎡⎤=−∈∈∈⎢⎥⎣⎦a t t t ，所以|cos |θ===所以当且仅当20,4==t a 时，|cos |θ21．解：()sin sin cos 2π⎡⎤⎛⎫=−−+−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎦'⎣f x a x x x x (1)sin cos 2π⎛⎫−+−− ⎪⎝⎭a x x x ， （1）当1=−a 时，()cos 2π⎛⎫=− ⎪⎝⎭'f x x x ， 令()cos 2π⎛⎫=−⎪⎝⎭g x x x ，所以()cos sin 02π⎛⎫=−−−'≤ ⎪⎝⎭g x x x x ， 所以()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以0()(0)22ππ⎛⎫=≤≤=⎪⎝⎭g g x g ， 所以()'f x 的值域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）方法一： 若()0,0,2π⎡⎤≤∈⎢⎥⎣⎦f x x 恒成立，首先(0)0,002π⎛⎫=≤=≤ ⎪⎝⎭f a f ，所以0≤a ， 当1≤−a 时，因为0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，所以()(1)sin cos 02π⎛⎫=−+−−≥ ⎪'⎝⎭f x a x x x ，所以函数()cos sin 2π⎛⎫=−−⎪⎝⎭f x a x x x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时单调递增，所以()02π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭f x f ， 当10−<≤a 时，令()()(1)sin cos 2π⎛⎫==−+−− '⎪⎝⎭h x f x a x x x ， 所以()(2)cos sin 02π⎛⎫=−++−≤ ⎪'⎝⎭h x a x x x ， 所()(1)sin cos 2π⎛⎫=−+−− ⎪⎝⎭h x a x x x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 所以(1)()(0)22ππ⎛⎫−+=≤≤=⎪⎝⎭a h h x h ， 因为10−<≤a ，所以1(1)0−≤−+<a ，所以()()(1)sin cos 2π⎛⎫==−+−− '⎪⎝⎭h x f x a x x x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在一个零点0x ， 当0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x x 时，()0'<f x ，所以()f x 单调递减， 所以()02π⎛⎫>=⎪⎝⎭f x f ， 即()0≤f x 不恒成立．综上：所以1≤−a ．则实数a 的最大值为1−． 方法二：()cos sin 2π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭f x a x x x ，()cos (1)sin 2π⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭'f x x x a x ， 02π⎛⎫= ⎪⎝⎭f ，且()0≤f x 恒成立，则02π⎛⎫≥ '⎪⎝⎭f ． ∴(1)02π⎛⎫=−+≥⎪⎝'⎭f a ，∴1≤−a ， 现证明当1≤−a ，原式恒成立， ()cos sin cos sin ()22ππ⎛⎫⎛⎫=+−≤−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x a x x x x x x t x ， ()sin cos 2π⎛⎫=−− ⎪⎝⎭t x x x x ， ∴()cos 02π⎛⎫=−≥ ⎪⎝⎭'t x x x ， 即()t x 在0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 单调递增，∴()02π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭t x t 成立， ()()0≤≤f x t x ，原式成立．∴1≤−a ，∴max 1=−a ．22．解：（1）双曲线22:(0)3−=≠y C x m m的渐近线方程为=y ， 因为三角形OAB12||||sin 23π=OA OB ，2=，又0>m ，所以1=m ．（2）双曲线C 的方程为22:13−=y C x ，所以右焦点F 的坐标为(2,0)， 若直线l 与x 轴交于点(,0)p ，故可设直线l 的方程为()(0)=−≠y k x p k ， 设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,'−M x y ， 联立22()13=−⎧⎪⎨−=⎪⎩y k x p y x ，得()()222223230−+−+=k x pk x k p ， 230−≠k 且()()()22222Δ24330=+−+>pk k k p ，化简得23≠k 且()22130−+>p k ， 所以22212122223,33++=−=−−−pk k p x x x x k k， 因为直线MN 的斜率存在，所以直线'M N 的斜率也存在， 因为'M ，F ，N 三点共线，所以'=M F FN k k ， 即121222−=−−y y x x ，即()()122122−−=−y x y x ， 所以()()()()122122−−−=−−k x p x k x p x ，因为0≠k ，所以()()()()1221220−−+−−=x p x x p x ， 所以()12122(2)40−+++=x x p x x p ， 所以22222322(2)4033⎛⎫⎛⎫+⋅−−+−+= ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭k p pk p p k k ， 化简得12=p ，所以MN 经过x 轴上的定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

冠夺市安全阳光实验学校专题4.5 氨和铵盐1．【河北冀州中学第二次】下列反应中的氨与反应4NH3 + 5O2→ 4NO + 6H2O 中的氨作用相同的是（）A．2Na + 2NH3→ 2NaNH2 + H2↑B．NH3 + HNO3→ NH4NO3C．4NH3+ 6NO → 5N2 + 6H2O D．3SiH4 + 4NH3→ Si3N4 + 12H2【答案】C考点：考查氨气在不同反应中的作用的知识。

2．【邗江中学下学期期中】通过一步反应不能直接完成的是（）①N2→ NO2②NO2→ NO ③NH3→ NO ④NH3→ N2⑤Cu→ Cu(NO3)2⑥HNO3→ NO2A．①④ B．②⑤ C．③④⑥ D．①【答案】D【解析】试题分析：①N2与氧气生成NO再与氧气生成NO2正确；②NO2与水反应生成NO，错误；③NH3与氧气反应生成NO，错误；④NH3与氯气反应生成N2，错误；⑤Cu 与硝酸反应生成Cu(NO3)2 ，错误；⑥HNO3与铜反应生成NO2，错误；D项正确；答案选D。

考点：考查物质转化3．将氨水分别滴加到下列4种溶液中，下列说法不正确．．．的是（）A．试管a中产生白烟B．试管b中溶液由红色变为蓝色C．试管c中能发生氧化还原反应D．试管d中先有沉淀，后沉淀溶解【答案】D考点：元素化合物知识4．【内蒙古包头九中下第一次月考】无色的混合气体甲，可能含NO、CO2、NO2、NH3、N2中的几种，将100 mL甲气体经过下图实验的处理，结果得到酸性溶液，而几乎无气体剩余，则甲气体的组成为（）A．NH3、NO2、N2 B．NO、CO2、N2C．NH3、NO2、CO2 D．NH3、NO、CO2【答案】D考点：考查混合气体中成分的确定5．下列不属于铵盐共同性质的是（）A．易溶于水 B．跟苛性钠共热生成NH3C．都是晶体 D．受热分解都能生成NH3【答案】D【解析】试题分析：A.所有铵盐都易溶于水，是铵盐共同性质，错误。

2023-2024学年河北省邯郸市高三上学期第二次调研监测数学试题（邯郸二调）❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B.C.D.2.若角为第二象限角，，则()A. B. C.D.3.设，为两个不同的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若，，，则4.已知复数z 满足，则()A. B. C.1D.25.直线被圆截得的弦长的最小值为()A.4B.C. D.6.在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则() A.4 B.5C.6D.77.已知函数，若，则实数a 的取值范围是()A.B. C.D.8.在棱长为4的正方体中，P ，Q 分别为AB ，的中点，则平面截此正方体所得的截面周长为()A. B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则下列描述正确的是()A.函数的最小正周期为B.是函数图象的一个对称轴C.是函数图象的一个对称中心D.若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，则为奇函数10.已知实数a ，b ，m 满足，则以下大小关系正确的是()A. B.C.D.11.已知等差数列的前n 项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则下列叙述正确的是()A. B.C.D.数列的前10项和为12.已知椭圆的上顶点为B ，左、右焦点分别为，，则下列叙述正确的是()A.若椭圆C 的离心率为，则B.若直线与椭圆C 的另一个交点为A ，且，则C.当时，过点B 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最大值为D.当时，椭圆C 上存在异于B 的两点P ，Q ，满足，则直线PQ 过定点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

方法3.3 待定系数法（讲）一、待定系数法：待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法．待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.二、待定系数法解题的基本步骤：使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，从以下四个方面总结高考中的待定系数法.1．用待定系数法求曲线方程确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等，当已知曲线类型及曲线的几何性质时，往往利用待定系数法，通过设出方程形式，布列方程（组），使问题得到解决.例1.【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x yb-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）（A）22443=1yx-（B）22344=1yx-（C）2224=1x yb-（D）2224=11x y-【答案】D 【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 例2.【2015江苏高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=．（2）直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．)22112kk+AB==+．若0k=，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而0k≠，故直线CP的方程为222121212k ky xk k k⎛⎫+=--⎪++⎝⎭，则P点的坐标为()22522,12kk k⎛⎫+⎪-⎪+⎝⎭，从而(()22231C12kk k+P=+．因为C2P=AB，所以(())222223111212k kkk k++=++，解得1k=±．此时直线AB方程为1y x=-或1y x=-+．例3.【2015高考安徽】设椭圆E的方程为()222210x ya ba b+=>>，点O为坐标原点，点A 的坐标为()0a，，点B的坐标为()0b，，点M在线段AB上，满足2BM MA=，直线OM的斜率为10.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为()0b-，，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程.【答案】（I（II ）221459x y +=．点T 在直线AB 上，且1NS ABk k ⋅=-,从而有11744171x b b b ⎧+-+⎪+=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=. 2．用待定系数法求函数解析式利用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，在教材中有系统的介绍，通过练习应学会“迁移”，灵活应用于同类问题解答之中. 例4.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移__________个单位得到．【答案】6π例5.【2016高考上海】已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数. 【答案】2log (x 1)-【解析】将点39（，）带入函数()x f x 1a =+的解析式得a 2=，所以()x f x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.例6.【2015高考四川】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx by e+=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时 【答案】C例7.【2015·湖北高考】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<错误！未找到引用源。

2023—2024学年河北省石家庄二中实验学校高一上学期第二次月考（10月）数学试卷一、单选题1. 设集合，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．2. 若，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）A．若且，则B．若，则C．若，则D．若且，则4. 命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．A．命题“，”的否定是“，”B．“”是“”的充要条件C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是D．若，，，则的最小值为6. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（）A．B．C．D．7. 函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8. 已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知实数，且，则（）A．的最小值为18B．的最小值为64C．的最小值为128D．的最小值为A．已知集合，全集，若，则实数的集合为B．“”是“”的必要不充分条件C．已知，则的最小值为D．命题成立的充要条件是11. 下列命题中，正确的有（）A．函数与函数表示同一函数B．已知函数，若，则C．函数的值域是D．若函数的定义域为，则函数的定义域为12. 表示两个数中较小者，已知，若对任意实数，记．若的图像与轴至少有3个交点，则实数的取值可以为（）A．11B．10C．9D．8三、填空题13. 函数的值域是 ___________ ．14. 已知，则的最小值是 __________ .15. 已知实数、，满足，，则的取值范围是 _______ .16. 关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则不等式的所有整数解的和为 ___________ ．四、解答题17. 命题关于的方程有两个相异负根；命题，．(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题与命题至少有一个命题为真命题，求实数的取值范围．18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式的解集或，关于的不等式的解集为（其中）．(1)求、的值；(2)求集合；(3)是否存在实数，使得______？19. 小王大学毕业后，决定自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流利成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20. 已知二次函数．(1)当时，若函数的最大值为，求的值；(2)若的两实数根均在内，求实数的取值范围．21. 设，其定义域为，，其定义域为(1)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的范围．(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的范围．22. 设常数记函数的最小值为．(1)求函数的定义域．设，求的取值范围;(2)由（1）中题设的把表示为的函数并求。