2010年初中数学周报杯全国竞赛试题

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++=L（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD 明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. NCA又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ 又因为MD 又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m -++<，与②式矛盾.因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x 4＋y 4的值为 （ ）（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋132 （D ）5 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ） （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ）（A ）6条 （B ）8条（C ）10条 （D ）12 4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ） （A ）52a （B ）1 （C ）32 （D ）a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________． F M D B A三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9. 163； 10. x ＝48， x ＝160， ＝32； y ＝32．三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2； （2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足 24242a b a -++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b ++=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A）12 （B）12 （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC=，即 11a a a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得a = 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ． 解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）． （A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为 ． 解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．【答】7． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以 2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分 把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③ ………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 22-t ≤22+所以，t 的取值范围为22-t ≤22+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-t ≤22+22t =-时,2min 31(21)22c =-+=………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅． 同理可得 CE EG AD AB =⋅．又因为tan AD BE ACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=； 且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-． 于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分 由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c ==，，则a bb c++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 代数式变形，同除b2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．方程思想，未达定理；要解一元二次不等式3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB=BC=4-CD＝则AD 边的长为（ ）．（A）（B ）64（C ）64+ （D ）622+ 解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE，CF＝DF ＝于是 EF ＝4＋过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2． 高斯函数；找规律。

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ B ） 1. 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或 110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。

A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ C ） 2. 由已知，693)15121512c b b b b ==-=-≤，∴2c ≤. A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 3．若ba ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则（ C ）3. 当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。

观察4个选项，只能选CA ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤.4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）4. 由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。

∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100a b a b c a c ++=⎧⇒+-=-⎨++=⎩A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B ) 5. 如图，由已知，ADE 是正三角形。

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤.B ．113a b <+≤.C ．413a b <+≤.D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++=（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 一点，且PA PC ＝5，则PB ＝___．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.A又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△A CP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<. 又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有 p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ． 不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m -++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．2012年全国初中数学竞赛试题副题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（B）12 （C）13 （D）143．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD 上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012-04-16 人教网2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理， tan， tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14. 解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc ca a b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】 B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b x x a+=-，12c x x a=，且120x x ≠，所以0c ≠，且221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C（第3题答题）（第3题）（第4题）【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积． 连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==．（第4题答题）7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一（第7题答题）（第7题）元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y 所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223y x x=--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝CE BE ＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒． 因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形． 因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（第12题答题（i ））（第12题答题（ii ））（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，可得…………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.（第11题）解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． ⎧⎨⎩＝B '(2-，2)是CO 的延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+， 所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =. 所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12n a a a <<< 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， …………（15分）故20分）。

2010年全国初中数学联赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.【答】B.因为,,a b c 均为整数，所以a b -和a c -均为整数，从而由1010()()1a b a c -+-=可得 ||1,||0a b a c -=⎧⎨-=⎩或||0,|| 1.a b a c -=⎧⎨-=⎩ 若||1,||0,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a c =，从而|||a b b c c -+-=|||a b b a a a -+-+-=. 若||0,||1,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a b =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a a a c c a a c -+-+-=-=.因此，||||||a b b c c a -+-+-=2.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.【答】C.32(3),||(2)55c b c =+=-，而||0b ≥，所以2c ≤. 当2c =时，可得9,0a b ==，满足已知等式.所以c 可能取的最大值为2.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ ）A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 【答】C. 由1110a b b a--++=可得b a b ab a +=++22，则 2()()()(1)ab a b a b a b a b =+-+=++-①由于b a ,是两个正数，所以,0>ab 0a b +>，所以10a b +->，从而.1>+b a 另一方面，由22()()44a b a b ab ab +=-+≥可得4)(2b a ab +≤，结合①式可得14a b a b +≥+-，所以.34≤+b a 因此，413a b <+≤.4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.【答】A.设m 是方程2310x x --=的一个根，则2310m m --=，所以231m m =+.由题意，m 也是方程420x ax bx c +++=的根，所以420m am bm c +++=，把231m m =+代入此式，得22(31)0m am bm c ++++=，整理得2(9)(6)10a m b m c +++++=. 从而可知：方程2310x x --=的两根也是方程2(9)(6)10a x b x c +++++=的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有22(9)(6)1(31)a x b x c k x x +++++=--（其中k 为常数），故961131a b c +++==--，所以333,10b a c a =--=--.因此，2(333)2(10)13a b c a a a +-=+-----=-.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.【答】 B.如图，延长AB 到F ，使BF =ED ，连CF ，EF ．∵ ︒=∠=∠60AED EAB ，∴︒=∠60EDA ，︒=∠=∠120CED EDB ，BF ED AE AD ===，DF BF DB DB ED CE =+=+=，于是，AF AC =，︒=∠=∠60AFC ACF ．又∵︒=∠120EDB ，CDE CDB ∠=∠2，∴ ︒=∠︒=∠80,40CDB CDE ,︒=∠-∠-︒=∠20180EDC CED ECD ．在△CDA 和△CBF 中，CA=CF ，︒=∠=∠60CFB CAD ，AD=BF ，∴ △CDA ≌△CBF ， ∴ ︒=∠=∠20ACD FCB ．于是，︒=∠-∠-︒=∠2060FCB CDE DCB ．6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则123a a a a ++++（ ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变n a 的值）.1在千位上出现的次数为310，1在百位上出现的次数为2210⨯，1在十位和个位上出现的次数均为22101⨯+，因此，1出现的总次数为3210210321602+⨯⨯+=.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2210⨯，2在个位上出现的次数为22101⨯+，因此，2出现的总次数为21121031612+⨯⨯+=.类似的，可求得(3,4,5,6,7,8,9)k k =出现的总次数均为221031601⨯⨯+=.因此11a a ++＝28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .【答】 13.由3319x y +=得2()[()3]19x y x y xy ++-=，把1x y +=代入，可得6xy =-. 因此，,x y 是一元二次方程260t t --=的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和2-，所以22223(2)13x y +=+-=.2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ． 【答】 19． 由题意知，点C 的坐标为),0(c ，c OC =．设B A ,两点的坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，则21,x x 是方程02=++c bx x 的两根． 由根与系数的关系得c x x b x x =-=+2121,．又︒=∠30CAO ，则c AC AB c AC 323,2===． 于是，c AC OA x 330cos 1=︒==，c AB OA OB x 332=+==． 由c c x x ==2219，得91=c ． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PAPC ＝5，则PB ＝______．【答】作P E ⊥AB ，交AB 于点E ，作P F ⊥BC ，交BC 于点F ，设,PE mPF n ==，分别在△PAE 、△PCF 中利用勾股定理，得22(5)5m n +-= ①22(5)25m n -+= ②②－①，得10()20n m -=，所以2m n =-，代入①中，得27120n n +-=，解得13n =，24n =. 当3n =时，21m n =-=，在Rt △PAE中，由勾股定理可得PB ==当4n =时，22m n =-=，此时PE AE >，所以点P 在△ABC 的外面，不符合题意，舍去.因此PB =4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.【答】 15.将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.C于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ …………10分 （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. …………15分（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. ……………………20分二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ， …………10分所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.………………………………20分又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线. NCA又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线. ……………………………25分三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-错误！未找到引用源。

12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则|||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤.B ．113a b <+≤.C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°. 6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则1232a a a a a+++++=（ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ＝PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC. 由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=. (2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54m n m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩NCA解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有pk x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即41)1(=-++mk p m②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．。

2010“数学周报”杯全国数学竞赛答案1．解：由题设得．2.解．C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式≥0,解得a≤或a≥4．3.解：D如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是EF＝4＋．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD＝．4.解：B由和可得，，，，，，，，……因为2010=4×502+2，所以=2．5.解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．记，其中．根据对称关系，依次可以求得：，，，．令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．6. 解：0由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7.解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，②．③由①②，得，所以，x=30．故（分）．8解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．设直线的函数表达式为，则解得,故所求直线的函数表达式为．9解：见题图，设．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．又因为FC＝DC＝AB，所以即，解得，或（舍去）．又Rt△∽Rt△，所以，即=．10.解：因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．由于，因此满足的正整数的最小值为．11.证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线. …………（5分）连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得，从而，所以. …………（20分）12.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得…………（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．所以，点的坐标是（8，），或（2，）. …………（20分）13．解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或. ……（5分）（1）若，令，k是正整数，于是，，故，从而.所以解得…………（10分）（2）若，令，k是正整数.当时，有，，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是这不可能.当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）14.解：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，，所以 .因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，，即≥11. …………（15分）≤，故≤60. 所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61. …………（20分）。

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题及参考答
案
冼词学
【期刊名称】《数学学习（海口）》
【年(卷),期】2011(000)001
【摘要】一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分.每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
【总页数】4页(P31-34)
【作者】冼词学
【作者单位】国兴中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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5.“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛（辽宁赛区北师大版九年级）初赛试题及参考答案
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2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-a b b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CEDB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB( B ) A ．15°. B ．20°. C ．25°. D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则123a a a a ++++（ D ） A ．28062. B ．28065. C ．28067. D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19 ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ，PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ① 令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ② 由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△A CP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6m n m n -+=-，NC A两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=.第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ① 令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ② 由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩（1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m -+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m -++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。

2010年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1．（7分）若，则的值为（）A．B．C． D．2．（7分）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤43．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．4．（7分）在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1=1，且当k≥2时，（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x2010等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P （0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．（7分）已知a=﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣12的值等于．7．（7分）一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等．走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上了客车．问过分钟，货车追上了客车．8．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l 经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．9．（7分）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A 作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD=CF，则=．10．（7分）对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i﹣1．若n的最小值n0满足2000＜n0＜3000，则正整数k的最小值为．三、解答题（共4小题，满分80分）11．（20分）如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC 上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：．12．（20分）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．13．（20分）求满足2p2+p+8=m2﹣2m的所有素数p和正整数m．14．（20分）从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？2010年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1．（7分）若，则的值为（）A．B．C． D．【解答】解：∵，∴得．故选：D．2．（7分）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤4【解答】解：把看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式△≥0，即a2﹣4（a+2）≥0，a2﹣2a﹣8≥0，（a﹣4）（a+2）≥0，解得a≤﹣2或a≥4．故选：C．3．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得BE=AE=，CF=，DF=2，于是EF=4+．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD=====．故选：D．4．（7分）在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1=1，且当k≥2时，（取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0），则x2010等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：已知x1=1，当k=2时，x2=x1+1﹣4（[]﹣[0]）=2；当k=3时，x3=x2+1﹣4（[]﹣[]）=3；当k=4时，=4；当k=5时，=1；当k=6时，=2；…∵2010=502×4+2∴x2010=x2=2，故选：B．5．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P （0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）【解答】解：根据题意，以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，即A是PP1的中点，又由A的坐标是（1，1），结合中点坐标公式可得P1的坐标是（2，0）；同理P2的坐标是（2，﹣2），记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2），令P6（a6，b2），同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标是（2010，﹣2），故选：B．二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．（7分）已知a=﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣12的值等于0．【解答】解：由已知得（a+1）2=5，所以a2+2a=4则原式=2a3+4a2+2a+3a2﹣4a﹣12=2a（a2+2a+1）+3a2﹣4a﹣12=2a（a+1）2+3a2﹣4a﹣12=2a×5+3a2﹣4a﹣12=3a2+6a﹣12=3（a2+2a）﹣12=3×4﹣12=0故答案07．（7分）一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等．走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上了客车．问过15分钟，货车追上了客车．【解答】解：设小轿车速度为a，货车为b，客车为c，某一刻的相等间距为m，则=10①，=10+5②，化简可得：2（10c﹣10a）=15c﹣15b，所以：a=4b﹣3c假设再过t分钟，货车追上客车，则10a﹣10b=（15+t）（b﹣c）15+t=10（a﹣b）/（b﹣c）将a代入15+t=10×3=30，解得：t=15．所以再过15分钟，货车追上了客车．8．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l 经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．【解答】解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为y=kx+b，则解得，故所求直线l的函数表达式为．故答案为．9．（7分）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A 作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D，若CD=CF，则=．【解答】解：设AF=a，FC=b；∵AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN；∴△AEF∽△CBF；∴AE：BC=AF：FC=a：b；Rt△ABC中，BF⊥AC，由射影定理，得：AB2=AF•AC=a（a+b）；∵AM⊥AB，BN⊥AB，CD⊥AM，∴四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=CF=b；∴b2=a（a+b），即a2+ab﹣b2=0，（）2+（）﹣1=0解得=（负值舍去）；∴==．10．（7分）对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i﹣1．若n的最小值n0满足2000＜n0＜3000，则正整数k的最小值为9．【解答】解：因为n+1为2，3，…，k的倍数，所以n的最小值n0满足n0+1=[2，3，…，k]，其中[2，3，…，k]表示2，3，…，k的最小公倍数．由于[2，3，…，8]=840，[2，3，…，9]=2520，[2，3，…，10]=2520，[2，3，…，11]=27720，因此满足2000＜n0＜3000的正整数k的最小值为9．故答案为9．三、解答题（共4小题，满分80分）11．（20分）如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC 上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：．【解答】证明：如图，连接ED，FD．∵BE和CF都是直径，∴ED⊥BC，FD⊥BC，∴D，E，F三点共线，连接AE，AF，∵∠AFE与∠ACB是同弧所对的圆周角，∴∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，∴△ABC∽△AEF，作AH⊥EF，垂足为H，又∵AP⊥BC，DF⊥BC，∴四边形APDH是矩形，∴AH=PD，∵△ABC∽△AEF，∴，∴，∴．12．（20分）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．【解答】解：（1）∵反比例函数经过A（1，4），∵k=1×4=4，即y=；设B（m，），已知A（1，4），可求得直线AB：y=﹣x+4+；∵S=×（4+）×（1﹣m）=3，△BOA∴2m2+3m﹣2=0，即m=﹣2（正值舍去）；∴B（﹣2，﹣2）．由于抛物线经过A、B两点，则有：，解得；∴y=x2+3x．故a=1，b=3，k=4．（2）设抛物线与x轴负半轴的交点为D；∵直线AC∥x轴，且A（1，4），∴C（﹣4，4）；已求得B（﹣2，﹣2），则有：∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；①将△BOA绕点O顺时针旋转90°得到△B1OA1，作AM⊥x轴于M，作A1N⊥x 轴于N．∵A的坐标是（1，4），即AM=4，OM=1，∵∠AOM+∠NOA1=90°，∠OAM+∠AOM=90°∴∠OAM=∠NOA1，又∵OA=OA1，∠AMO=∠A1NO∴△AOM≌△OA1N，∴A1N=OM=1，ON=AM=4∴A1的坐标是（4，﹣1），此时B1是OC的中点，延长OA1至E1，使得OE=2OA1，则△COE1∽△B1OA1∽△BOA；则E1（8，﹣2）；②以OC所在直线为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，延长OA2至E2，使得OE2=2OA2，则△COE2≌△COE1∽△BOA；易知A2（1，﹣4），则E2（2，﹣8）；故存在两个符合条件的E点，且坐标为E1（8，﹣2），E2（2，﹣8）．13．（20分）求满足2p2+p+8=m2﹣2m的所有素数p和正整数m．【解答】解：由题设得p（2p+1）=（m﹣4）（m+2），由于p是素数，故p是（m﹣4）的因数，或p是（m+2）的因数．（5分）（1）若p整除（m﹣4），令m﹣4=kp，k是正整数，于是m+2＞kp，3p2＞p（2p+1）=（m﹣4）（m+2）＞k2p2，故k2＜3，从而k=1，所以解得（10分）（2）若p整除（m+2），令m+2=kp，k是正整数．当p＞5时，有m﹣4=kp﹣6＞kp﹣p=p（k﹣1），3p2＞p（2p+1）=（m﹣4）（m+2）＞k（k﹣1）p2，故k（k﹣1）＜3，从而k=1，或2，由于p（2p+1）=（m﹣4）（m+2）是奇数，所以k≠2，从而k=1，于是，这不可能．当p=5时，m2﹣2m=63，m=9；当p=3，m2﹣2m=29，无正整数解；当p=2时，m2﹣2m=18，无正整数解．综上所述，所求素数p=5，正整数m=9．14．（20分）从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？【解答】解：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，另一方面，设a1＜a2＜a n是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数a i，a j，a k，a m，因为33|（a i+a k+a m），33|（a j+a k+a m），所以33|（a j﹣a i），∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，设a i=a1+33d i，i=1，2，3，n，由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），所以33|3a1，11|a1，即a1≥11，≤，故d n≤60，所以n≤61，综上所述，n的最大值为61．。

12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，则2a b c +-的值为 （）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝_____．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积..第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.第二试 （C ）三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．。

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题详细解答一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c ==，，则a b b c++的值为（ ） （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011【答案】D【解析1】由题设知0c ≠，10,20200b c a b c ===，于是200102101011a b c c b c c c ++==++． 【解析2】 由题设知0b ≠，于是12012101111110a ab bc b c b +++===+++，故选D. 2．若实数,a b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（ ） （A ）2a ≤- （B ）4a ≥ （C ）2a ≤-或4a ≥ （D ）24a -≤≤【答案】C 【解析】21202b ab a -++=可以看作是关于b 的一元二次方程，因为b 是实数，所以21202b ab a -++=的判别式21()41(2)02a a ∆--⨯⨯+≥＝,即2280a a --≥，(2)(4)0a a +-≥，解得2a ≤-或4a ≥．故a 的取值范围是2a ≤-或4a ≥,故选C . 3．如图，在四边形ABCD 中，135,120B C ∠=∠= ,23AB =,422BC =-, 42CD =，则AD 边的长为（ ）（A ）26 （B ）64（C ）64+ （D ）622+【答案】（D ）【解析1】如图1，过点A 作AE BC ⊥交CB 的延长线于点E ，过点D 作DF BC ⊥交BC的延长线于点F ，过点A 作AG DF ⊥于点G ,135ABC ∠= ,∴45ABE BAE ∠=∠=在Rt AEB ∆中,2sin 2362BE AE AB BAE ==⋅∠=⨯=,又∵120BCD ∠= ，∴60DCF ∠=，cos6022,sin6026CF CD DF CD ==== , 于是46EF BE BC CF =++=+．在Rt ADG ∆中，46,AG EF ==+2666DG DF GF DF AE =-=-=-=,根据勾股定理得2222(46)(6)28864(726)226AD AG DG =+=++=+=+=+．【解析2】如图2，过点A 作AE BC ∥交CD 于E ,AF DC ⊥交DC 的延长线于F ;过点B作BM AE ⊥于M ; 过点C 作CN AE ⊥于N ,135ABC ∠= ,∴45ABM BAM ∠=∠= , 2sin 452362BM AM AB ==⋅=⨯= ∵四边形BMNC 为矩形，∴6CN BM ==,422MN BC ==-在Rt CNE ∆中，30NCE ∠= ,60CEN ∠= , tan302,NE CN =⋅= 22CE = 462AE AM MN NE =++=+-,22DE CD CE =-=462cos cos602EF AE FEA AE +-=⋅∠=⋅= 43326sin sin 602AF AE FEA AE +-=⋅∠=⋅=43262DF DE EF ++=+=,在Rt ADF ∆中， 22224332643264(72622622AD AF DF ⎛⎫⎛⎫+-++=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）【解析3】如图3，过点A 作AE BC ∥交CD 于E ,过点B作BM AE ⊥于M ; 过点C 作CN AE ⊥于N ,则四边形BMNC 为矩形，ABM ∆为等腰直角三角形62ABBM AM ===,在Rt CEN ∆中，030NCE ∠=, 由6CN =得0tan 6tan302NE CN NCE =⋅∠=⨯=，22CE =,422MN BC ==-,462AE AM MN NE =++=+-,22ED CD CE =-=,又0120AED BCD ∠=∠=,在AED ∆中，根据余弦定理得， 2222cos AD AE ED AE ED AED =+-⋅∠220(462)(22)2(462)(22)cos120=+-+-⨯+-⨯⨯2(226)=+ 于是226AD =+,故选（D ）.(说明：本题与1991年全国初中数学联合竞赛第一试填空第4题类型完全相同，只是数值不同)4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（2k ≥）,（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】B【解析】由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得11x =，22x =，33x =， 44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……，归纳可得 41421,2,k k x x ++==434(1)3,4k k x x ++==，（k 为自然数），因2010=4×502+2，故2010x =2． 5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-） （D ）（0，2）【答案】B【解析1】由已知得，点1P ，2P 的坐标分别为12(2,0),(2,2)P P -,记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-,根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，（第5题）522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，,令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即1022(42,)P a b ⨯+，因2010=4⨯502+2，故点2010P 的坐标为（2010，2-）． 【解析2】由已知得，12(2,0),(2,2)P P -，34(6,0),(4,2),P P -56(2,0),(6,2),P P --789101112(10,0),(8,2),(6,0),(10,2),(14,0),(12,2),P P P P P P ---- 归纳可得4142434(1)(24,0),(42,2),(64,0),(44,2)k k k k P k P k P k P k ++++-+---+（k 为自然数） 因2010=4⨯502+2，故点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知51a =-，则3227212a a a +--的值等于 ．【答案】0【解析】由已知得2(1)5a +=，224a a +=，于是原式=22222(2)321236123(2)1234120a a a a a a a a a ++--=+-=+-=⨯-=.7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．【答案】15 【解析1】画出某一时刻三辆车的位置示意图，如图所示，设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，依题意得()10a b S -= ① ， ()152a c S -= ② ， ()x b c S -= ③由①②，得30b c S -=（），与③比较得，x =30，故 3010515t =--=（分）．【解析2】设在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，客车与小轿车间隔为2，则小轿车与货车的速度差为110，小轿车与客车的速度差为2210515=+，则货车与客车的速度差为211151030-=，货车追上了客车需113030÷=分钟，所以货车追上了客车，需再过3010515t =--=分钟． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．【答案】11133y x =-+ 【解析】如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接,OB AF ;连接,CE DF ,且相交于点N ．则(4,0)F ,由已知得点(2,3)M 是OB AF 与的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点(5,2)N 是矩形CDEF 的中心，所以， 过点(5,2)N 的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，, 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交,BE BN 于点,F C ,过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD CF =,则 AE AD= ． 【答案】 215- 【解析】如图，因Rt AFB ∆∽Rt ABC ∆，所以AB AF AC AB=, 即2AB AF AC =⋅．∵AB CD CF ==，∴2()CF AF AF CF =⋅+ , 即210AF AF CF CF ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得512AF CF -=, 或512AF CF --=（舍去）． （第8题）答案图（第8题）（第9题）又∵Rt AFE Rt CFB ∆∆∽,∴512AE AF BC CF -==,而AD BC =,故AE AD =512-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为1i -．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ． 【答案】9【解析】因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k += ，，，，（其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数） 由于[]2 3 8840,= ，，，[]2 3 92520 = ，，，，[]2 3 102520= ，，，，[]2 3 1127720= ，，，，因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11(A).如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x y 4=.设点4(,),0B t t t <， AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 故44(1)t y x t t +=-+，于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或12t =（舍去）． 故点B 的坐标为(2,2)--．（第11(A)题）因为点(1,4),(2,2)A B --都在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，，解得13.a b =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）由（1）知23y x x =+，因为AC x 轴且(1,4)A ,所以令4y =，得234x x +=，解得4x =-，或1x =，故(4,4)C -，于是42OC =. 又22OB =，所以2OC OB=. 设抛物线2(0)y ax bx a =+>与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）. 因为45COD BOD ∠=∠= ，所以90COB =. （i ）将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.此时，点(2,2)B '-是OC 的中点，点1(4,1)A -,延长1OA 到点1E ，使得112OE OA =，这时点1(8,2)E -是符合条件的点. （ii ）作AOB ∆关于x 轴的对称图形2A OB '∆，得到点2(1,4)A -；延长2OA 到点2E ，使得222OE OA =，这时点2(2,8)E -是符合条件的点．故点E 的坐标是(8,2)-，或(2,8)-. …………（20分）11(B). 设实数a ，b 满足：2231085100a ab b a b -++-=，求u =29722a b ++的最小值.解：由已知得,(2)(34)5(2)0a b a b a b --+-=，即(2)(345)0a b a b --+=，所以20a b -=，或3450a b -+=.…………（5分）（i ）当20a b -=，即2a b =时，22297223672236(1)34u a b b b b =++=++=+-， 于是当1b =-时，u 的最小值为34-，此时2a =-，1b =-.…………（15分）（ii ）当3450a b -+=，即345a b =-时， 2222(3)722(45)72216322716(1)11u a b b b b b b =++=-++=++=++， 于是1b =-时，u 的最小值为11，此时3a =-，1b =-.综上可知，u 的最小值为34-.…………（20分）12(A). 如图，ABC ∆为锐角三角形，点,P Q 为边BC 上的两点，ABP ∆和ACQ ∆的外接（第11(A)题）答案图圆圆心分别为1O 和2O ,试判断1BO 的延长线与2CO 的延长线的交点D 是否可能在ABC ∆的外接圆上，并说明理由.解：答案是否定的，即1BO 的延长线与2CO 的延长线的交点D 不可能在△ABC 的外接圆上. ……（5分）理由如下:如图，连接1O P ,设直线1BO 与直线2CO 的交点为D ，则11180902BO P O BP BAP ︒-∠∠==︒-∠，22180902QO C O CQ CAQ -∠∠==︒-∠ ， 所以 12180O BP O CQ BAP CAQ ∠+∠=︒-∠-∠，即180180()BDC BAP CAQ -∠=-∠+∠ , 故BDC BAP CAQ ∠=∠+∠.……（15分） 由于点P Q ，为边BC 上的两点，所以BAP CAQ BAC ∠+∠≠∠，即BDC BAC ∠≠∠ 因此，点D 不在△ABC 的外接圆上．…………（20分）12(B).如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证：tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接,ED FD .（第12A 题） （第12A 题）答案图（第12（B ）题）（第12(B)题）答案图因为BE 和CF 都是直径，所以,ED BC FD BC ⊥⊥,因此,,D E F 三点共线. …（5分） 连接,AE AF ,则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，AEF ∆∽ABC ∆…（10分） 过点A 作AH EF ⊥于H ,则AH PD =. 由AEF ∆∽ABC ∆,可得EF AH BC AP =， 从而EF PD BC AP =，所以 tan PD EF PAD AP BC∠==. …………（20分） 13(A). 实数,a b 使得关于,x y 的方程组2221.....................0...xy x xy ax bx a ⎧-=⎨+++=⎩①②有实数解(,)x y . （1）求证2y ≥；（2）求22a b +的最小值. 解: (1)(证法1)由方程①知0x ≠,且211x y x x x+==+ ∴112y x x x x=+=+≥(当且仅当1x =时取等号). 即2y ≥……(5分) (或书写如下:)由方程①知0x ≠，且211x y x x x+==+. 所以，当0x >时，2y ≥；当0x <时，2y ≤-，故2y ≥. …………（5分）(证法2)由方程①得210x xy -+=，此方程可视为关于x 的一元二次方程，由于x 为实数，故2()40,y ∆=--≥即2y ≥.…………（5分）(2)(解法1) 由方程①得21x xy =-③，将③代入方程②，得2(1)0x y ax y b x a +-++=，即2()0x y ay b ++=，∵0x ≠， ∴20y ay b ++=④.由于方程组有实数解，故方程20y ay b ++=④在2y ≤-，或2y ≥的范围内至少有一个实数根.（i ）当4a ≤时，有2422a a b ---≤-，或2422a ab -+-≥， 故2440a b a -≥-≥，或2440a b a -≥+≥，即24a b ≥+或2(4)a b ≤-+.若40b +≥，即4b ≥-时，202b a ≥+≥或202b a ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，由此得22244b a b ≥++，于是 222222255844541616244()445554555a b b b b b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥++=++-+=++≥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （当且仅当45b =-时，上式取等号，此时85a =±.） 若40b +<，即4b <-时，对于满足24a b ≥+，或2(4)a b ≤-+的任意实数a ， 均有2216165a b +>>.…………（15分） （ii ）当4a >时，2216165a b +>> . 综上（i ）、（ii ）可知，22a b +的最小值为516.………（20分） （解法2：）由方程①得21x xy =-③，将③代入方程②，得2(1)0xy a xy bx a +-++=，即2()0x y ay b ++=，∵0x ≠， ∴20y ay b ++=，2()b y ay =-+2222222234()2a b a y ay a a y ay y ⎡⎤+=+-+=+++⎣⎦∴22333224222(1)2111y y y y a a y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2362422(1)11y y y a y y y ⎛⎫=++-+ ⎪++⎝⎭234222(1)11y y y a y y ⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭ 于是，当3201y a y +=+时，22a b +有最小值421y y +， 又∵2y ≥，244,16,y y ≥≥∴241111,416y y ≤≤，241111541616y y +≤+=∴ 从而24116115y y ≥+，即421651y y ≥+（当且仅当2y =±时取等号） 故当2y =±时，85a = ，22a b +有最小值165. (解法3:) 由方程①得21xy x =+③,将③代入②得22(1)0x y ax bx a ++++=,即2()()0a y x bx a y ++++=④(i) 当0a y +=，即y a =-时，方程④变为0bx =，由方程①知0x ≠，∴0b =， 此时②变为22()0a x ax a -++=，即2(1)0a x ax ++=，若0a =，则由方程②得20xy =，因0x ≠，故0y =，由（1）知0y ≠，从而0a ≠， ∴210x ax ++=，∵x 为不等于0的实数，∴240a ∆=-≥，24a ≥，∴2224a b a +=≥（当且仅当2y =±，即2a = 时取等号）………（10分） (ii)当0a y +≠，即y a ≠-时，方程④可视为关于x 的一元二次方程.∵x 为不等于0的实数，∴224()0b a y ∆=-+≥，∴224()b a y ≥+， ∴222222222444164()5845()5555a b a a y a ay y a y y y +≥++=++=++≥≥ （当且仅当22244(),0,45b a y a y y =++==同时成立，即2y =±，85a = 时取等号） 综上(i)、(ii)可知，22a b +的最小值为165.………（20分） 13(B). 求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，则2=6,m kp kp ++>又∵p 是素数∴1,p > 从而321p p >+，于是2223(21)(4)(2),p p p m m k p >+=-+>故23k <,从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m np +=，n 是正整数.当5p >时，有4(2)66(1)m m np np p p n -=+-=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m n n p >+=-+>-，故(1)3n n -<，从而1n =或2n =. 由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，故2n ≠，从而1n =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，，解得79p m =-⎧⎨=-⎩，这不符合题意. 当5p =时，2263m m -=，解得9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数5p =，正整数9m =.…（20分）14(A)．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下的61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12,,,n a a a （12n a a a <<< ）是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++，33()j k m a a a ++，故33()j i a a -.即所取的数中任意两数之差都是33的倍数.（10分） 设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n .由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即111a ≥. ……（15分）1201011613333n n a a d --=≤<，60n d ≤. 所以，61n ≤.综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）14(B). 将凸五边形ABCDE 的5条边和5条对角线染色，且满足任意有公共顶点的两条线段不同色，求颜色数目的最小值.解：由于顶点A 是4条线段AB AC AD AE ，，，的公共点，因此至少需要4种颜色. 若只有4种颜色，不妨设为红、黄、蓝、绿，则每个顶点引出的4条线段的颜色包含红、黄、蓝、绿各1种，因此，红色的线段共有52条，矛盾.故至少需要5种颜色. …（10分） 下面的例子说明5种颜色可以将这10条线段染为满足条件的颜色. 将AB CE ，染为1号颜色；将BC DA ，染为2号颜色；将CD EB ，染为3号颜色；将DE AC ，染为4号颜色；将EA BD ，染为5号颜色，则任意有公共顶点的两条线段不同色．综上所述，颜色数目的最小值为5. ……（20分）。