八年级数学不等式的解集2

不等式的解集求解方法不等式是数学中常见的一类问题，涉及到不等关系的确定和解的范围。

本文将介绍一些常见的不等式求解方法，帮助读者更好地理解和应用不等式解集的确定方法。

一、一元不等式的求解方法对于一元不等式，我们可以通过一些基本的规则和性质来确定其解集。

以下是一些常用的方法：1. 图像法：将不等式转化为图像的形式，从图像上确定解集。

例如，对于线性不等式ax + b > 0，可以将其转化为对应的直线ax + b = 0，并确定直线上方的部分为解集。

2. 数轴法：将不等式对应的解集在数轴上表示出来。

例如，对于不等式x > a，可以在数轴上标记点a，并将大于a的部分标记为解集。

3. 区间法：将解集表示为区间的形式。

例如，对于不等式x ∈ (a,b)，可以表示解集为开区间(a, b)。

4. 符号法：通过符号的变化来确定不等式的解集。

例如，对于不等式(ax + b)(cx + d) > 0，可以通过判断(ab + cd)的符号来确定解集。

若ab + cd > 0，则解集为x < -b/a 或 x > -d/c；若ab + cd < 0，则解集为 -b/a < x < -d/c。

二、多元不等式的求解方法对于多元不等式，其解集的确定需要考虑到各个变量之间的关系。

以下是一些常见的方法：1. 图形法：将多元不等式转化为在坐标系中的图形，通过观察图形的交点和区域来确定解集。

例如，对于二元不等式系统{ax + by > c，dx + ey > f}，可以将其转化为对应的两条直线，并观察两条直线的交点及其相对位置来确定解集。

2. 消元法：通过消去其中一个变量，将多元不等式转化为一元不等式。

例如，对于二元不等式系统{ax + by > c，dx + ey > f}，可以通过消去y变量，转化为关于x的不等式，然后再根据一元不等式的求解方法来确定解集。

2024年北师大版数学八年级下册2.3《不等式的解集》教学设计一. 教材分析《不等式的解集》是北师大版数学八年级下册第2.3节的内容，本节课主要让学生掌握不等式的解集及其表示方法，学会求解一元一次不等式组，并能够用数轴表示不等式的解集。

教材通过引入实际问题，引导学生探究不等式的解集，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了不等式的基本性质，具有一定的数学运算能力。

但部分学生对不等式的解集概念理解不深，容易与方程的解集混淆。

因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习情况，通过具体例子和实际问题，帮助他们更好地理解不等式的解集。

三. 教学目标1.知识与技能：（1）了解不等式的解集及其表示方法；（2）学会求解一元一次不等式组；（3）能够用数轴表示不等式的解集。

2.过程与方法：（1）通过实际问题，引导学生探究不等式的解集；（2）利用数形结合，培养学生解决实际问题的能力；（3）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：不等式的解集及其表示方法，一元一次不等式组的求解。

2.难点：不等式的解集与方程的解集的区别，用数轴表示不等式的解集。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究不等式的解集。

2.数形结合法：利用数轴帮助学生直观地理解不等式的解集，培养学生的空间想象能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现不等式的解集的性质，培养学生独立思考的能力。

4.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的解集的性质和表示方法。

2.数轴教具：准备数轴教具，方便学生直观地理解不等式的解集。

3.练习题：准备适量的一元一次不等式组练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“某班学生的身高大于160cm，求该班学生的身高范围”，引导学生思考不等式的解集。

不等式的解集求解方法不等式是数学中常见的一个概念，它描述了数与数之间的大小关系。

在数学中，我们常常需要求解不等式的解集，以确定变量的取值范围。

本文将介绍几种常见的不等式的解集求解方法。

一、一元一次不等式一元一次不等式是一元变量的一次方程与不等式的结合体，通常形式为ax + b > 0（或< 0）。

求解一元一次不等式的步骤如下：1. 将不等式化为等式：ax + b = 0。

2. 求解方程ax + b = 0的解集，得到解x0。

3. 根据x0的位置及a的正负情况，确定不等式的解集。

若a > 0，则解集为x > x0；若a < 0，则解集为x < x0。

举例说明：对于不等式2x + 3 > 0，我们可以按照以上步骤进行求解。

1. 将不等式化为等式：2x + 3 = 0，得到x = -3/2。

2. 方程2x + 3 = 0的解集为{-3/2}，即x0 = -3/2。

3. 由于a = 2 > 0，根据a的正负情况，不等式的解集为x > -3/2。

二、一元二次不等式一元二次不等式是一元变量的二次方程与不等式的结合体，通常形式为ax² + bx + c > 0（或< 0）。

求解一元二次不等式的步骤如下：1. 求出二次函数f(x) = ax² + bx + c的顶点坐标(-p,q)。

2. 根据a的正负情况，确定不等式的解集。

若a > 0，则解集为x < -p或x > -p；若a < 0，则解集为-p < x < +∞或x < -∞或x > +∞。

举例说明：对于不等式x² - 4x + 3 < 0，我们可以按照以上步骤进行求解。

1. 求出二次函数f(x) = x² - 4x + 3的顶点坐标。

首先求出顶点的横坐标x = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2。

初二数学不等式的解集知识点总结初二数学不等式的解集知识点总结漫长的学习生涯中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺精心整理的初二数学不等式的解集知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

初二数学不等式的解集知识点总结1不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

相信上面的知识同学们已经能很好的掌握了，希望同学们在平时认真学习，很好的把每一个知识点掌握。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

2.2.2不等式的解集课标要求素养要求1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.2.了解绝对值不等式的概念，会求形如|x|≤m，|x|≥m的绝对值不等式的解集. 1.通过学习不等式(组)解集的概念，提升数学抽象素养.2.通过求不等式(组)的解集，提升数学运算素养.3.通过学习绝对值不等式及其解法，提升直观想象及数学运算素养.教材知识探究如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等).问题1你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？提示x1＝50＋x3－55＝x3－5，x2＝x1－20＋30＝x1＋10，x3＝x2－35＋30＝x2－5.问题2你能判断出x1，x2，x3的大小吗？提示由1知x1＝x3－5，x2＝x3＋5，则x1<x3<x2.1.不等式的解集与不等式组的解集(1)不等式的解集不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.一元一次不等式均可化归为ax≥（>或<或≤）b求解集(2)不等式组的解集对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.不等式组中若有一个不等式的解集为，则不等式组的解集为；每一个不等式的解集均不是，不等式组的解集也可能是2.绝对值不等式(1)绝对值不等式的概念一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.至少一个绝对值号内含有未知数，如x>|－2|不是绝对值不等式(2)两种简单的绝对值不等式的解集①关于x的不等式|x|>m(m>0)的解为x>m或x<－m，解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)；当m＝0时，其解集为{x∈R|x≠0}，当m<0时，其解集为R②关于x的不等式|x|<m(m>0)的解为－m<x<m，解集为(－m，m).当m≤0时，其解集为(3)数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式,一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB AB＝|a-b|，这就是数轴上两点之间的距离公式.如果线段AB的中点M对应的数为x，即M(x)x＝a＋b 2；这就是数轴上的中点坐标公式.教材拓展补遗[微判断]1.不等式x>y2的解集为(0，＋∞).(×)提示未指明未知数.2.不等式组中的不等式不能有等号.(×) 提示 不等式组中的不等式可以有等号.3.关于x 的不等式|x |<m 的解集为(－m ，m ).(×) 提示 当m ≤0时，不正确. [微训练]1.平流层是指地球表面以上10 km 到50 km 的区域，下述不等式中，x 能表示平流层高度的是( ) A.|x ＋10|<50 B.|x －10|<50 C.|x ＋30|<20D.|x －30|<20解析 由题意知10<x <50，故选D. 答案 D2.不等式组⎩⎨⎧－2x －5≥0，2x －32≥0的解集为________.解析 由－2x －5≥0得x ≤－52， 由2x －32≥0得x ≥3，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∩[3，＋∞)＝.答案3.关于x 的不等式ax <1的解集为________. 解析 当a <0时，x >1a ，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞；当a ＝0时，x ∈R ；当a >0时，x <1a ，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a .答案 当a <0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞；当a ＝0，时解集为R ；当a >0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a . [微思考]1.解关于x 的不等式ax >b (a ，b 为常数)与解关于x 的一次不等式ax >b (a ，b 为常数)有什么区别？提示 解关于x 的不等式ax >b 时，要分a <0，a ＝0，a >0三种情况讨论求解；解关于x 的一次不等式ax >b 时，只分a <0，a >0两种情况讨论求解.2.若不等式ax －1>x ＋2的解集为M ，不等式ax －1>x ＋2在(m ，n )上恒成立，那么M ＝(m ，n )吗？ 提示 不一定.应有(m ，n )M .题型一 含参数的一元不等式 注意讨论参数，确定分类讨论的标准 【例1】 求关于x 的不等式ax >b (a ，b 为常数)的解集. 解 当a <0时，有x <ba ， 即解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b a ；当a ＝0时，若b <0，解集为R ，若b ≥0，解集为；当a >0时，有x >b a ，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞.综上，a <0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b a ；a ＝0时，若b <0，则解集为R ， 若b ≥0，则解集为；a >0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞.规律方法 1.不含参数的一元一次不等式都可化归为ax >b (ax ≥b ，ax ＜b ，ax ≤b )求解.2.含参数的一元不等式常需分类讨论(如本例)，还要关注不等式是否指明了未知数的次数(如本例改为求关于x 的一次不等式ax >b (a ，b 为常数)的解集时，则应不讨论a ＝0的情况.)【训练1】 已知不等式ax ＋1>－x ＋2的解集为(－∞，－2)，求a 的值. 解 原不等式可化为(a ＋1)x >1，由题意知a ＋1<0且1a ＋1＝－2，∴a ＝－32， 题型二 一元一次不等式组的解集解每个一元一次不等式时的依据：不等式的性质 【例2】 求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）－3<x ＋2，x 2－x －13>16的解集.解 由2(x ＋1)－3<x ＋2解得x <3， 由x 2－x －13>16解得x >－1.在数轴上分别表示出两个不等式的解集，如图. 故原不等式组的解集为(－1，3).规律方法 1.解一元一次不等式的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.2.解一元一次不等式组时，一般借助数轴求交集.【训练2】 求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）≥3（x －2）－2，2x ＋32>x2－3的解集. 解 由不等式2(x －1)≥3(x －2)－2可解得x ≤6，由不等式2x ＋32>x2－3可解得x >－3，利用数轴易知不等式组的解集为(－3，6].题型三 数轴上两点之间的距离及中点坐标与绝对值不等式 【例3】 (1)求不等式|1－2x |≥2的解集；(2)在数轴上A (3)，B (x )，AB 的中点M 到原点的距离不小于6，求x 的取值范围； (3)解不等式|x －1|＋|x －2|≤5.解 (1)令1－2x ＝t ，则原不等式可化为|t |≥2，则t ≤－2或t ≥2，即1－2x ≤－2 ①或1－2x ≥2 ②，由①得x ≥32，由②得x ≤－12，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2)AB 的中点M 的坐标为3＋x 2，由题意可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋x 2≤6， 即|3＋x |≤12， ∴－12≤3＋x ≤12，∴－15≤x ≤9，即x 的取值范围是[－15，9]. (3)法一 设A (1)，B (2)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则|x －1|＋|x －2|≤5⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≤52， ∴－52≤x －32≤52，即－1≤x ≤4，故原不等式的解集为[－1，4]. 法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋2－x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≤5， 解得－1≤x ≤1或1<x <2或2≤x ≤4， ∴－1≤x ≤4.故原不等式的解集为[－1，4].规律方法 (1)形如|f (x )|>m (m >0)，|g (x )|<m (m >0)的不等式一般可用换元法求解集； (2)涉及到数轴上两点距离的不等关系，转化为绝对值不等式求解；(3)形如|x ＋a |±|x ＋b |<c 的不等式可利用绝对值的定义或几何意义求解. 【训练3】 (1)求不等式|x －1|＋|x －2|>2的解集；(2)已知数轴上A (x )，B (－1)，且线段AB 的中点到C (1)的距离大于5，求x 的取值范围.解 (1)法一 设A (1)，B (2)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则|x －1|＋|x －2|>2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32>1x－32<－1或x －32>1x <12或x >52，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1；1－x ＋2－x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2>2， 解得x <12或或x >52，∴x <12或x >52.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 由题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－1>5， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32>5， ∴|x －3|>10，x －3<－10或x －3>10， 即x <－7或x >13，∴x 的取值范围是(－∞，－7)∪(13，＋∞).一、素养落地1.通过学习不等式(组)解集的概念，提升数学抽象素养；通过求不等式(组)的解集提升数学运算素养；通过求绝对值不等式的解集提升直观想象和数学运算素养.2.解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.求不等式组解集时常利用数轴求交集.3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0a <0|x |<a {x |－a <x <a }|x |>a{x |x <－a 或x >a }{x |x ∈R 且x ≠0}R(2)|ax |ax ＋b |≤c －c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法(ⅰ)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (ⅱ)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想. 二、素养训练1.不等式4x －511<1的正整数解有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 由4x －511<1，得x <4，又x ∈N *，∴x ＝1，2，3.答案 C2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13>1，x >m 的解集为(2，＋∞)，则( )A.m >2B.m <2C.m ＝2D.m ≤2解析 由2x －13>1，得x >2.由题意⎩⎨⎧x >2，x >m 的解集为(2，＋∞)，即(2，＋∞)∩(m ，＋∞)＝(2，＋∞)，∴(2，＋∞)(m ，＋∞)，∴m ≤2. 答案 D3.三角形三边长为4，1－2a ，7，则a 的取值范围是________.解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，4＋7>1－2a ，4＋1－2a >7，解得－5<a <－1.答案 (－5，－1)4.不等式|3x －4|<2的解集是________.解析 由|3x －4|<2，得－2<3x －4<2，∴23<x <2.] 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，25.求下列关于x 的不等式(组)的解集. (1)ax ≤b ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3－14≥16，－2x <b .解 (1)①当a <0时，x ≥b a ，不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫b a ，＋∞；②当a ＝0时，若b ≥0，不等式的解集为R ；若b <0，不等式的解集为.③当a >0时，x ≤b a ，不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，b a .综上，a <0时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫b a ，＋∞；a ＝0时，若b ≥0，则解集为R ，若b <0，则解集为；a >0时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，b a . (2)由x 3－14≥16解得x ≥54，由2x <b 得x <b2.当b 2≤54即b ≤52时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥54∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <b 2＝，原不等式组的解集为；当b 2>54即b >52时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥54∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <b 2＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，b 2，原不等式组的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，b 2.综上，b ≤52时，解集为；b >52时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，b 2.基础达标一、选择题1.代数式1－m 的值大于－1，又不大于3，则m 的取值范围是( ) A.(－1，3] B.[－3，1) C.[－2，2)D.(－2，2]解析 由题意知，－1<1－m ≤3，∴－2≤m <2. 答案 C2.已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3（x －2）≤4，a ＋2x 3>x －1的解集是[1，3)，则a ＝( )A.1B.2C.0D.－1解析 由x －3(x －2)≤4解得x ≥1，由a ＋2x3>x －1解得x <a ＋3，由于(－∞，a ＋3)∩[1，＋∞)＝[1，3)，∴a ＋3＝3，a ＝0. 答案 C3.若方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝1＋m ，2x ＋y ＝3中，未知数x ，y 满足x ＋y >0，则m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1＋m ，2x ＋y ＝3得⎩⎨⎧x ＝5－m 3，y ＝2m －13.由x ＋y >0，得5－m 3＋2m －13>0，解得m >－4.答案 A4.设不等式|x －a |<b 的解集为(－1，2)，则a ，b 的值分别为( )A.1，3B.－1，3C.－1，－3D.12，32解析 由|x －a |<b ，得a －b <x <a ＋b .由题意(a －b ，a ＋b )＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，a ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32.答案 D5.对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围为( )A.(－∞，3)B.(－∞，－3)C.(1，3]D.(－∞，－3]解析 |x ＋1|，|x －2|的几何意义分别为数轴上的点X 到表示－1和2的点的距离，|x ＋1|－|x －2|的几何意义为两距离之差，由图可得其最小值为－3，故选B.答案 B二、填空题6.已知数轴上，A (x )，B (1)，且AB ＝72，则x 的值为________.解析 由题意|x －1|＝72，∴x －1＝±72，∴x ＝92或x ＝－52.答案 92或－527.已知A ＝{x |x <3}，B ＝{x |2x ＋1<a }，A B ，则实数a 的取值范围是________.解析 A ＝(－∞，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －12， ∵A B ，∴a －12≥3，a ≥7.答案 [7，＋∞)8.不等式|x ＋1|>|5－x |的解集是________.解析 两边平方得(x ＋1)2>(5－x )2，即x 2＋2x ＋1>25－10x ＋x 2，∴x >2. 答案 (2，＋∞)三、解答题9.已知数轴上，A (－1)，B (x )，C (6).(1)若A ，B 关于点C 对称，求x 的值；(2)若线段AB 的中点到C 的距离小于5，求x 的取值范围.解 (1)由数轴上中点坐标公式得6＝－1＋x 2，∴x ＝13.(2)AB 的中点为－1＋x 2，由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－6<5，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －132<5，|x －13|<10， ∴－10<x －13<10，3<x <23，即x 的取值范围是(3，23).10.解不等式3<|2x －3|<5.解 ∵3<|2x －3|<5，∴3<2x －3<5或－5<2x －3<－3，即3<x <4或－1<x <0.故原不等式的解集为(－1，0)∪(3，4).能力提升11.解关于x 的不等式|2x －1|<2m －1(m ∈R ).解 (1)当2m －1≤0，即m ≤12时，因|2x －1|≥0，故原不等式的解集为；(2)当2m －1>0，即m >12时，原不等式等价于－(2m －1)<2x －1<2m －1，解得1－m <x <m . 综上，当m ≤12时，原不等式的解集为空集；当m >12时，原不等式的解集为{x |1－m <x <m }.12.解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5.解 法一 记A (1)，B (－2)，则AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， |x －1|＋|x ＋2|<5⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<52， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12<52， ∴－52<x ＋12<52，－3<x <2，故原不等式的解集为(－3，2).法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）<5或 ⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）<5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）<5， 解得－3<x ≤－2或－2<x <1或1≤x <2， ∴－3<x <2.故原不等式的解集为(－3，2).。

[数学教案－不等式的解集教学设计方案(二)]教学目标 1．使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式等概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法； 2．培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法； 3．在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题．教学重点和难点重点：不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．难点：不等式的解集的概念．课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题 1．什么叫不等式？什么叫方程？什么叫方程的解？(请学生举例说明) 2．用不等式表示： (1)x的3倍大于1； (2)y与5的差大于零； 3．当x取下列数值时，不等式x＋3＜6是否成立？－4，3.5，4，－2.5，3，0，2.9． (2、3两题用投影仪打在屏幕上) 二、讲授新课 1．引导学生运用对比的方法，得出不等式的解的概念 2．不等式的解集及解不等式首先，向学生提出如下问题：不等式x＋3＜6，除了上面提到的，－4，－2.5，0，2.9是它的解外，还有没有其它的解？若有，解的个数是多少？它们的分布是有什么规律？ (启发学生利用试验的方法，结合数轴直观研究．具体作法是，在数轴上将是x ＋3＜6的解的数值－4，－2.5，0，2.9用实心圆点画出，将不是x＋3＜6的解的数值3.5，4，3用空心圆圈画出，好像是“挖去了”一样．如下图所示) 然后，启发学生，通过观察这些点在数轴上的分布情况，可看出寻求不等式x＋3＜6的解的关键值是“3”，用小于3的任何数替代x，不等式x＋3＜6均成立；用大于或等于3的任何数替代x，不等式x＋3＜6均不成立．即能使不等式x＋3＜6成立的未知数x的值是小于3的所有数，用不等式表示为x＜3．把能够使不等式x＋3＜6成立的所有x值的集合叫做不等式x＋3＜6的解的集合．简称不等式x＋3＜6的解集，记作x＜3．最后，请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念．(若学生总结有困难，教师可作适当的启发、补充) 一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合．简称为这个不等式的解集．不等式一般有无限多个解．求不等式的解集的过程，叫做解不等式． 3．启发学生如何在数轴上表示不等式的解集我们知道解不等式不能只求个别解，而应求它的解集．一般而言，不等式的解集不是由一个数或几个数组成的，而是由无限多个数组成的，如x＜3．那么如何在数轴上直观地表示不等式x＋3＜6的解集x＜3呢？(先让学生想一想，然后请一名学生到黑板上试着用数轴表示一下，其余同学在下面自行完成，教师巡视，并针对黑板上板演的结果做讲解) 在数轴上表示3的点的左边部分，表示解集x＜3．如下图所示．由于x=3不是不等式x＋3＜6的解，所以其中表示3的点用空心圆圈标出来．(表示挖去x=3这个点) 记号“≥”读作大于或等于，既不小于；记号“≤”读作小于或等于，即不大于．例如不等式x＋5≥3的解集是x≥－2(想一想，为什么？并请一名学生回答)在数轴上表示如下图．即用数轴上表示－2的点和它的右边部分表示出来．由于解中包含X=－2，故其中表示－2的点用实心圆点表示．此处，教师应强调，这里特别要注意区别是用空心圆圈“&#176;”还是用实心圆点“&#183;”，是左边部分，还是右边部分．三、应用举例，变式练习例1 在数轴上表示下列不等式的解集： (4)1≤x≤4； (5)－2＜x≤3； (6)－2≤x＜3．解：(1)，(2)，(3)略． (4)在数轴上表示1≤x≤4，如下图 (5)在数轴上表示－2＜x≤3，如下图 (6)在数轴上表示－2≤x＜3，如下图(此题在讲解时，教师要着重强调：注意所给题目中的解集是否包含分界点，是左边部分还是右边部分．本题应分别让6名学生板演，其余学生自行完成，教师巡视,遇到问题，及时纠正) 例2 用不等式表示下列数量关系，再用数轴表示出来： (1)x小于－1； (2)x不小于－1； (3)a 是正数； (4)b是非负数．解：(1)x小于－1表示为x＜－1；(用数轴表示略) (2)x不小于－1表示为x≥－1；(用数轴表示略) (3)a是正数表示为a＞0；(用数轴表示略) (4)b是非负数表示为b≥0．(用数轴表示略) (以上各小题分别请四名学生回答，教师板书，最后，请学生在笔记本上画数轴表示) 例 3 用不等式的解集表示出下列各数轴所表示的数的范围．(投影，请学生口答，教师板演) 解：(1)x＜2；(2)x≥－1.5；(3)－2≤x＜1． (本题从另一侧面来揭示不等式的解集与数轴上表示数的范围的一种对应关系，从而进一步加深学生对不等式解集的理解，以使学生进一步领会到数形结合的方法具有形象，直观，易于说明问题的优点) 练习(1)用简明语言叙述下列不等式表示什么数：①x＞0；②x＜0；③x＞－1；④x≤－1． (2)在数轴上表示下列不等式的解集：①x＞3；②x≥－1；③x≤－1.5；(3)*观察不等式x－4＜0的解集是什么？用不等式和数轴分别表示出来.它的正数解是什么？自然数解是什么？(*表示选作题) 四、师生共同小结针对本节课所学内容，请学生回答以下问题： 1．如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念？ 2．找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同点． 3．记号“≥”、“≤”各表示什么含义？4．在数轴上表示不等式解集时应注意什么？结合学生的回答，教师再强调指出，不等式的解、不等式的解集及解不等式这三者的定义是区别它们的唯一标准；在数轴上表示不等式解集时，需特别注意解的范围的分界点，以便在数轴上正确使用空心圆圈“&#176;”和实心圆点“&#183;”．五、作业 1．不等式x＋3≤6的解集是什么？ 2．在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x≤1； (2)x≥0； (3)－1＜x≤5； 3．求不等式x＋2＜5的正整数解．vv数学教案－不等式的解集教学设计方案(二)。

2.2.2不等式的解集(教师独具内容)课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法.3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法．教学难点：绝对值不等式的几何解法.【知识导学】知识点一不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念(1)□01未知数的值称为不等式的解．(2)□02所有解组成的集合称为不等式的解集．(3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的□03解集的交集称为不等式组的解集．知识点二绝对值不等式一般地，含有□01绝对值的不等式称为绝对值不等式．知识点三数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为□01|a－b|，记作□02AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝□03a＋b2，这就是数轴上的中点坐标公式．【新知拓展】1．解绝对值不等式的主要依据解绝对值不等式的主要依据是绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质．2．绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x－3≤1的解集为{x|x≤2}．()(2)若|x|≥a的解集为R，则a＜0.()(3)|x－1|＞1的解集为{x|x＞2或x＜－2}．()(4)|x－a|＜|x－b|⇔(x－a)2＜(x－b)2.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)不等式|x|>x的解集是()A．{x|x≤0} B．{x|x<0或x>0} C．{x|x<0} D．{x|x>0} (2)不等式|3x－2|<1的解集为()A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 (3)不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．(4)已知数轴上，A (－2)，B (x )，C (5)，若A 与C 关于点B 对称，则x ＝________；若线段AB 的中点到C 的距离小于3，则x 的取值范围是________．答案 (1)C (2)B (3)[－1，＋∞) (4)32 (6,18)题型一 一元一次不等式组的解法 例1 解下列不等式组： (1)⎩⎨⎧2x －1＞x ＋1， ①x ＋8＜4x －1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥x ＋11， ①2x ＋53－1＜2－x . ②[解] (1)将①式移项、合并同类项，得x ＞2.将②式移项、合并同类项，得3x ＞9.系数化为1，得x >3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)将①式移项、合并同类项，得x ≥8. 将②式去分母，得2x ＋5－3＜6－3x .移项、合并同类项，得5x <4.系数化为1，得x <45. 所以不等式组的解集为∅. 金版点睛解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.[跟踪训练1] x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x －1≤7－32x 都成立？解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2＞3(x －1)，①12x －1≤7－32x .②将①式去括号，得5x ＋2＞3x －3.移项、合并同类项，得2x >－5.系数化为1，得x >－52. 将②式移项，合并同类项，得2x ≤8.系数化为1，得x ≤4. 所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，4，所以x 可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.题型二 |ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 例2 解下列不等式： (1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[解] (1)|5x －2|≥8可化为5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65， 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－65∪[2，＋∞)．(2)原不等式等价于不等式组⎩⎨⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由|x －2|≥2，得x －2≤－2或x －2≥2， 所以x ≤0或x ≥4.由|x －2|≤4，得－4≤x －2≤4，所以一2≤x ≤6.故原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}，即[－2,0]∪[4,6]． 金版点睛形如|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .[跟踪训练2] 解下列不等式： (1)|2x －3|≤1；(2)|4－3x |＞5.解 (1)由|2x －3|≤1可得－1≤2x －3≤1， 所以1≤x ≤2.故原不等式的解集为[1,2]．(2)由|4－3x |>5可得4－3x >5或4－3x <－5，所以x <－13或x >3，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(3，＋∞). 题型三 |x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c 型不等式的解法 例3 解下列不等式：(1)|x ＋1|＋|x －1|≥3；(2)|x －3|－|x ＋1|＜1.[解] (1)解法一：如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么点A ，B 之间的点到A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在点A 左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .由－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设点B 右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ， 由x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32，从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3， 解得x ≥32.综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎨⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴交点的横坐标是－32和32.从图像可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(2)解法一：如图所示，在数轴上－1,3，x 对应的点分别为A ，C ，P ，而点B 对应的实数为12，点B 到点C 的距离与到点A 的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含点B )时，不等式成立，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法二：原不等式⇔①⎩⎨⎧x ≤－1，－(x －3)＋(x ＋1)＜1或②⎩⎨⎧－1＜x ＜3，－(x －3)－(x ＋1)＜1或③⎩⎨⎧x ≥3，(x －3)－(x ＋1)＜1，解得①的解集为∅，②的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜3，③的解集为{x |x ≥3}． 综上可知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0，构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，则y ＝⎩⎨⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1＜x ＜3，－5，x ≥3.作出函数的图像，如图．函数图像与x 轴的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.由图像可知，当x >12时，有y <0， 即|x －3|－|x ＋1|－1<0，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.金版点睛形如|x －a |±|x －b |≤c 和|x －a |±|x －b |≥c型不等式的解法这种类型的不等式在求解时有三种方法：(1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键．(2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．(3)构造函数，利用函数图像求解，这种方法体现了函数与方程的思想，准确画出函数图像并求解函数图像与x 轴的交点坐标是解题的关键．[跟踪训练3] 解下列不等式：(1)|x －1|－|5－x |＞2；(2)|2x －1|＋|3x ＋2|≥8.解 (1)原不等式即为|x －1|－|x －5|>2， 其等价于①⎩⎨⎧ x ＜1，1－x －(5－x )＞2或②⎩⎨⎧1≤x ≤5，x －1－(5－x )＞2或 ③⎩⎨⎧x ＞5，x －1－(x －5)＞2， 解得①无解，②的解集为{x |4<x ≤5}，③的解集为{x |x >5}，故原不等式的解集为(4，＋∞)． (2)①当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，所以x ≤－95；②当－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，所以x ∈∅； ③当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，所以x ≥75. 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．不等式组⎩⎨⎧x ＋3＞0，3(x －1)≤2x －1的解集为( )A ．(－3,0]B ．(－3,2]C ．∅D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－45答案 B解析 解不等式组⎩⎨⎧x ＋3＞0， ①3(x －1)≤2x －1， ②将①式移项，得x ＞－3.将②式去括号，得3x －3≤2x －1.移项、合并同类项，得x ≤2.所以不等式组的解集为(－3,2]，故选B.2．不等式|4－x |≥1的解集为( ) A ．[3,5] B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．[－4,4] D ．R答案 B解析 |4－x |≥1⇒x －4≥1或x －4≤－1，即x ≥5或x ≤3.所以所求不等式的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.3．不等式1＜|x ＋1|＜3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2) 答案 D解析 由1＜|x ＋1|＜3，得1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1，所以0＜x ＜2或－4＜x ＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．4．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 答案 [1，＋∞)解析 解法一：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，两边平方，得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1， 故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二：不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．5．解不等式|x ＋2|＋|x －1|＜4.解 |x ＋2|＝0和|x －1|＝0的根－2,1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x ＋2|＋|x －1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组． (1)当x ≤－2时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔－2－x ＋1－x ＜4⇔－2x ＜5⇔x ＞－52， 所以不等式组⎩⎨⎧x ≤－2，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2.(2)当－2＜x ＜1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋1－x ＜4⇔3＜4，所以不等式组⎩⎨⎧－2＜x ＜1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为(－2,1)． (3)当x ≥1时，|x ＋2|＋|x －1|＜4⇔x ＋2＋x －1＜4⇔2x ＜3⇔x ＜32， 所以不等式组⎩⎨⎧x ≥1，|x ＋2|＋|x －1|＜4的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.因此原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－2∪(－2,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，x －1≤34x －18的解集为( )A ．(－∞，－12) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋5＞1－x ，x －1≤34x －18可化为⎩⎨⎧2x ＋15＞3－3x ， ①8x －8≤6x －1. ② 解不等式①，得x ＞－125.解不等式②，得x ≤72.所以原不等式组的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－125，72.故选B.2．“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|x －1|＜2成立⇔－1＜x ＜3成立，x (x －3)＜0成立⇔0＜x ＜3成立，又－1＜x ＜3⇒/0＜x ＜3,0＜x ＜3⇒－1＜x ＜3，∴“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的必要不充分条件．故选B.3．不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4] C ．[－2,1]∪[4,7] D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 不等式等价于⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得－2<x ≤1或4≤x <7.所以原不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．故选D. 4．不等式|x －1|＋|x －2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[2，＋∞) 答案 A解析 画数轴可得：当x ＝－1或x ＝4时，有|x －1|＋|x －2|＝5.由绝对值的几何意义可得，当x ≤－1或x ≥4时，|x －1|＋|x －2|≥5，故选A.5．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3答案 D解析 由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.二、填空题6．不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 答案 [0,4]解析 原不等式可转化为－1≤|x －2|－1≤1，故0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．7.|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为________．答案 (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵分母|x ＋3|＞0且x ≠－3，∴原不等式等价于|2x －1|－2＞0，即|2x －1|＞2， ∴2x －1＞2或2x －1＜－2，解得x ＞32或x ＜－12.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32或x ＜－12且x ≠－3，即(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 8．已知不等式|ax ＋b |＜2(a ≠0)的解集为{x |1＜x ＜5}，则实数a ，b 的值为________． 答案 1，－3或－1,3解析 原不等式等价于－2＜ax ＋b ＜2.①当a ＞0时，解得－2＋b a ＜x ＜2－ba ，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋ba ＝1，2－ba ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3.②当a ＜0时，解得2－b a ＜x ＜－2＋ba ，与1＜x ＜5比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b a ＝1，－2＋ba ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. 综上所述，a ＝1，b ＝－3或a ＝－1，b ＝3. 三、解答题 9．解下列不等式：(1)|4x ＋5|≥25；(2)|3－2x |＜9； (3)1＜|x －1|＜5；(4)|x －1|＞|x －2|.解 (1)因为|4x ＋5|≥25⇔4x ＋5≥25或4x ＋5≤－25⇔4x ≥20或4x ≤－30⇔x ≥5或x ≤－152，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－152∪[5，＋∞)．(2)因为|3－2x |＜9⇔|2x －3|＜9⇔－9＜2x －3＜9⇔－6＜2x ＜12⇔－3＜x ＜6， 所以原不等式的解集为(－3,6)．(3)因为1＜|x －1|＜5⇔1＜x －1＜5或－5＜x －1＜－1⇔2＜x ＜6或－4＜x ＜0， 所以原不等式的解集为(－4,0)∪(2,6)．(4)|x －1|＞|x －2|⇔(x －1)2＞(x －2)2⇔x 2－2x ＋1＞x 2－4x ＋4⇔2x ＞3⇔x ＞32， 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.10．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解 ①当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝2－3x ＋1－x ＝3－4x ，由3－4x ＞3，得x ＜0. ②当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3，得x ＞2，∴x ∈∅. ③当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3，得x ＞32，∴x ＞32. 故原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.B 级：“四能”提升训练1．若|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． 解 当a ≤－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎨⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )，x －2a －1(a <x ≤－1)，3x －2a ＋1(x >－1)，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝－a －1， 所以－a －1＝5，所以a ＝－6. 当a >－1时，|x ＋1|＋2|x －a |＝⎩⎨⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)，－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a )，所以(|x ＋1|＋2|x －a |)min ＝a ＋1， 所以a ＋1＝5，所以a ＝4. 综上可知，a ＝－6或a ＝4.2．已知P ＝|2x －1|＋|2x ＋a |，Q ＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12时，|2x －1|＋|2x ＋a |≤x ＋3，求a 的取值范围．解 (1)解法一：当a ＝－2时，不等式为|2x －1|＋|2x －2|＜x ＋3. 当x ≥1时，4x －3＜x ＋3⇒x ＜2； 当x ≤12时，－4x ＋3＜x ＋3⇒x ＞0； 当12＜x ＜1时，1＜x ＋3⇒x ＞－2.综上可知，当a ＝－2时，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3的解集为(0,2)．解法二：当a ＝－2时，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |＜x ＋3化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图像如图所示，由图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0，所以原不等式的解集为(0,2)．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12时，P ＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝1＋a ，不等式|2x －1|＋|2x ＋a |≤x ＋3化为1＋a ≤x ＋3， 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.。

北师大版数学八年级下册2.3《不等式的解集》教案一. 教材分析《不等式的解集》是北师大版数学八年级下册第2.3节的内容，本节主要让学生了解不等式的解集及其表示方法，学会通过图像和表格来表示不等式的解集，并能够求解一些简单的不等式组。

教材内容安排合理，由浅入深，通过具体的例子引导学生理解和掌握不等式的解集。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了不等式的基本性质和一元一次不等式，对不等式的概念和运算法则有一定的了解。

但学生对不等式的解集概念可能较难理解，需要通过具体的例子和实践活动来帮助学生掌握。

三. 教学目标1.让学生了解不等式的解集及其表示方法。

2.培养学生通过图像和表格来表示不等式的解集的能力。

3.使学生能够求解一些简单的不等式组。

四. 教学重难点1.教学重点：不等式的解集及其表示方法。

2.教学难点：不等式的解集的求解和表示。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作来掌握不等式的解集。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学案例。

2.准备黑板和粉笔，用于板书。

3.准备练习题，用于巩固所学内容。

七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容：某班有男生和女生共50人，其中男生人数是女生人数的3倍，求男生和女生各有多少人？呈现（10分钟）1.引导学生列出相应的不等式：x + y = 50，x = 3y。

2.通过解这个不等式组，引导学生思考解集的概念。

操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出一个不等式，求解其解集，并用图像或表格表示出来。

巩固（10分钟）1.让学生独立完成教材上的练习题。

2.引导学生总结解集的表示方法。

拓展（10分钟）1.引导学生思考：不等式的解集与方程的解集有什么关系？2.让学生举例说明，并进行讨论。

小结（5分钟）对本节内容进行总结，强调不等式的解集的表示方法和求解方法。

家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的解集的练习题，让学生巩固所学内容。

八年级下册数学不等式的解集教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的解集的概念，掌握求解不等式解集的方法。

2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对不等式的应用意识。

3. 培养学生团队合作精神，提高学生沟通交流能力。

二、教学内容：1. 不等式的解集概念：不等式解集的定义、性质。

2. 求解不等式解集的方法：（1）解不等式的基本步骤；（2）不等式组解集的求法；（3）实际问题中不等式解集的求法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式解集的概念，求解不等式解集的方法。

2. 教学难点：不等式组的解集求法，实际问题中不等式解集的求法。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究不等式解集的求解方法。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示不等式解集的求解过程。

3. 开展小组讨论，培养学生团队合作精神。

五、教学过程：1. 导入新课：复习不等式的基本概念，引导学生思考不等式的解集意义。

2. 讲解不等式解集的概念，通过实例让学生理解不等式解集的性质。

3. 讲解求解不等式解集的方法，结合实际例子，让学生掌握不等式解集的求解步骤。

4. 开展小组讨论：让学生分组解决实际问题，求解不等式解集，并交流解题心得。

6. 布置作业：设计适量练习题，巩固所学知识，提高学生解题能力。

六、教学评价：1. 通过对学生课堂参与、作业完成情况、小组讨论表现等方面的评估，了解学生对不等式解集知识的掌握程度。

2. 结合课后练习题的完成情况，检验学生对求解不等式解集方法的掌握。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生沟通表达和团队协作能力。

七、教学拓展：1. 不等式解集在实际生活中的应用：如线性规划、速度与时间的关系等问题。

2. 介绍不等式解集在高等数学中的应用，激发学生学习兴趣。

八、教学资源：1. 教材《八年级下册数学》；2. 多媒体教学设备；3. 练习题及实际问题案例；4. 教学课件。

九、教学进度安排：1. 第一课时：介绍不等式解集的概念及性质；2. 第二课时：讲解求解不等式解集的方法；3. 第三课时：实际问题中不等式解集的求法；十、课后作业：1. 请学生完成教材中的相关练习题，巩固所学知识；重点和难点解析一、教学目标：重点关注如何通过本节课的学习，使学生理解不等式的解集概念，并掌握求解不等式解集的方法。