2020版高考数学新增分大一轮江苏专用名师精编讲义 习题：第四章 三角函数、解三角形 高考专题突破二 Word版

§4.5　简单的三角恒等变换考情考向分析　三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，此处为C 级要求，填空、解答题均有可能出现，中低档难度．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β))tan(α－β)＝(T (α－β))tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)＝(T (α＋β))tan α＋tan β1－tan αtan β2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝.2tan α1－tan 2α概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·(k ∈Z )时的特殊情形．π22．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 函数的性质？提示　先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k a 2＋b 2的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)(sin α2＋cos α2)(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.(　×　)(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意tan α＋tan β1－tan αtan β角α，β都成立．(　×　)题组二　教材改编2．[P109T6]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝ .45(α＋π4)答案　－7210解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，1－cos 2α35∴sin ＝－×＋×＝－.(α＋π4)3522(－45)2272103．[P111T2]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案　22解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.224．[P117T1]tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .3答案　3解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝－tan 10°tan 50°，33∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.3333题组三　易错自纠5．化简：＝ .1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°答案　1解析　因为sin 40°<cos 40°，所以sin 40°－cos 40°<0.所以＝＝＝＝1.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°(sin 40°－cos 40°)2cos 40°－(cos 50°)2|sin 40°－cos 40°|cos 40°－|cos 50°|cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°6．化简：＝ .2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2答案　4sin α解析　＝＝＝4sin α.2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α22sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)4sin α(1＋cos α)1＋cos α7．已知θ∈，且sin ＝，则tan 2θ＝ .(0，π2)(θ－π4)210答案　－247解析　方法一　sin ＝，得sin θ－cos θ＝，(*)(θ－π4)21015θ∈，(*)平方得2sin θcos θ＝，(0，π2)2425可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，754535∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.432tan θ1－tan 2θ247方法二　∵θ∈且sin ＝，(0，π2)(θ－π4)210∴cos ＝，(θ－π4)7210∴tan ＝＝，∴tan θ＝.(θ－π4)17tan θ－11＋tan θ43故tan 2θ＝＝－.2tan θ1－tan 2θ247第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一　和差公式的直接应用1．若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为 ．13π2答案　－429解析　因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，13π2所以cos α＝－＝－，1－sin 2α223所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.13(－223)4292．已知tan ＝，tan ＝，则tan(α＋β)的值为 ．(α－π6)37(π6＋β)25答案　1解析　∵tan ＝，tan ＝，(α－π6)37(π6＋β)25∴tan(α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)]＝tan (α－π6)＋tan (π6＋β)1－tan (α－π6)·tan (π6＋β)＝＝1.37＋251－37×253．(2018·江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝x ＋上的两点，则tan(α＋β)的值为．32答案　－3解析　由题意可得，点A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是单位圆与直线y ＝x ＋的交点，32由Error!解得Error!或Error!∴cos α＝，sin α＝，－6＋246＋24∴tan α＝＝－2－.6＋24－6＋243同理tan β＝2－，3∴tan(α＋β)＝＝＝－.tan α＋tan β1－tan αtan β(－2－3)＋(2－3)1－(－2－3)(2－3)34．计算的值为 ．sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°答案　12解析　＝sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°sin 70°sin 20°cos 310°＝＝＝.cos 20°sin 20°cos 50°12sin 40°sin 40°12思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二　和差公式的灵活应用命题点1　角的变换例1 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .5535答案　2525解析　依题意得sin α＝＝，1－cos 2α255因为sin(α＋β)＝<sin α且α＋β>α，35所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.(π2，π)45于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.4555352552525(2)设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为 ．(α＋π6)45(2α＋π3)答案　2425解析　因为α为锐角，且cos ＝，(α＋π6)45所以sin ＝ ＝，(α＋π6)1－cos 2(α＋π6)35所以sin ＝sin 2(2α＋π3)(α＋π6)＝2sin cos ＝2××＝.(α＋π6)(α＋π6)35452425(3)(2019·如皋调研)已知cos α＝，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tan β的值为 ．55答案　－3解析　∵cos α＝，α∈(－π，0)，55∴sin α＝－，255∴tan α＝－2，故tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝－3.1－(－2)1＋1×(－2)命题点2　三角函数式的变换例2 (1)化简： (0<θ<π)；(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ(2)求值：－sin 10°.1＋cos 20°2sin 20°(1tan 5°－tan 5°)解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，θ2π2θ2∴＝＝2cos .2＋2cos θ4cos 2θ2θ2又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos cos θ，θ2故原式＝＝－cos θ.－2cos θ2cos θ2cos θ2(2)原式＝－sin 10°2cos 210°2×2sin 10°cos 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝－sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝－sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 10°12sin 10°＝－2cos 10°＝cos 10°2sin 10°cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝＝.3sin 10°2sin 10°32引申探究化简： (0<θ<π)．(1＋sin θ－cos θ)(sin θ2－cos θ2)2－2cos θ解　∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin ，θ2π22－2cos θθ2又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin 2θ2θ2θ2＝2sin ，θ2(sin θ2＋cos θ2)∴原式＝2sin θ2(sin θ2＋cos θ2)(sin θ2－cos θ2)2sinθ2＝－cos θ.命题点3　公式的逆用与变形例3 (1)已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .1312答案　－5972解析　∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，1312∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，1914即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝，①19sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝.②14①＋②得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋(cos 2β＋sin 2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝，则sin(α－β)＝－.13365972(2)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 ．π3答案　－3312解析　∵tan α－tan β＝－＝＝3，且α－β＝，∴cos αcos β＝，sin αcos αsin βcos βsin (α－β)cos αcos βπ336又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－，121236那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.3312思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，α＋β2α－β2α＋β2α－β2＝－等．α－β2(α＋β2)(α2＋β)跟踪训练　(1)计算：＝ .(用数字作答)cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°答案　2解析　＝cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝＝＝.cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°2sin (10°＋30°)2·sin 40°2(2)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .(0，π2)(0，π2)171114答案　32解析　由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，4375314∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.531417(－1114)43732(3)若sin x ＋cos x ＝，则tan ＝ .323(x ＋7π6)答案　±24解析　由sin x ＋cos x ＝，得2sin ＝，323(x ＋π6)23即sin ＝，所以cos ＝±，(x ＋π6)13(x ＋π6)223所以tan ＝±，(x ＋π6)24即tan ＝tan ＝±.(x ＋7π6)(x ＋π6)24用联系的观点进行三角变换三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．例 (1)设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为 ．(α＋π6)45(2α＋π12)答案　17250解析　∵α为锐角且cos ＝>0，(α＋π6)45∴α＋∈，∴sin ＝.π6(π6，π2)(α＋π6)35∴sin ＝sin (2α＋π12)[2(α＋π6)－π4]＝sin 2cos －cos 2sin (α＋π6)π4(α＋π6)π4＝sin cos －2(α＋π6)(α＋π6)22[2cos 2(α＋π6)－1]＝××－2354522[2×(45)2－1]＝－＝.12225725017250(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为．答案　2解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.(3)已知sin α＝，α∈，则＝ .35(π2，π)cos 2α2sin (α＋π4)答案　－75解析　＝cos 2α2sin (α＋π4)cos 2α－sin 2α2(22sin α＋22cos α)＝cos α－sin α，∵sin α＝，α∈，35(π2，π)∴cos α＝－，∴原式＝－.4575(4)已知cos ＝，则cos －sin 2＝ .(π6－θ)33(5π6＋θ)(θ－π6)答案　－2－33解析　由题意可知cos －sin 2(5π6＋θ)(θ－π6)＝－cos ＋cos 2－1＝－－.(π6－θ)(π6－θ)33231．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ .答案　12解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.122．已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝ .13答案　－35解析　因为α是第二象限角，且tan α＝－，13所以sin α＝，cos α＝－，101031010所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.1010(－31010)353．若sin α＝，则sin －cos α＝ .45(α＋π4)22答案　225解析　sin －cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝×＝.(α＋π4)22π4π42245222254．已知sin 2α＝，则cos 2＝ .23(α＋π4)答案　16解析　因为cos 2＝(α＋π4)1＋cos 2(α＋π4)2＝＝，1＋cos (2α＋π2)21－sin 2α2所以cos 2＝＝＝.(α＋π4)1－sin 2α21－232165．已知α为锐角，若sin ＝，则cos ＝ .(α－π6)13(α－π3)答案　26＋16解析　由于α为锐角，且sin ＝，(α－π6)13则cos ＝，(α－π6)223则cos ＝cos (α－π3)[(α－π6)－π6]＝cos cos ＋sin sin (α－π6)π6(α－π6)π6＝×＋×＝.22332131226＋166．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为 ．1313(0，π2)答案　2327解析　因为α∈，所以2α∈(0，π)，(0，π2)因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－，1379所以sin 2α＝＝，1－cos 22α429而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，(0，π2)所以sin(α＋β)＝＝，1－cos 2(α＋β)223所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝.(－79)(－13)42922323277．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝(sin 56°－cos 56°)，c ＝，则a ，b ，c 221－tan 239°1＋tan 239°的大小关系是．答案　a >c >b解析　a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°222222＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°，cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a >c >b .8.的值是 ．2cos 10°－sin 20°sin 70°答案　3解析　原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°39.＝ .sin 10°1－3tan 10°答案　14解析　＝sin 10°1－3tan 10°sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝＝＝.2sin 10°cos 10°4(12cos 10°－32sin 10°)sin 20°4sin (30°－10°)1410．(2018·江苏省海安高级中学月考)已知α为三角形内角，sin α＋cos α＝，则cos 2α33＝ .答案　－53解析　由已知得2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin 2α＋cos 2α)＝－1＝－，1323又α为三角形内角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝＝，1－(－23)153∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝－.5311．化简：·＝ .2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)sin αcos αcos 2α－sin 2α答案　12解析　原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝··sin (90°－2α)cos (90°－2α)12sin 2αcos 2α＝··＝.cos 2αsin 2α12sin 2αcos 2α1212．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin ＝ .35(β＋5π4)答案　7210解析　依题意可将已知条件变形为sin [(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.3535又β是第三象限角，所以cos β＝－.45所以sin ＝－sin (β＋5π4)(β＋π4)＝－sin βcos －cos βsin π4π4＝×＋×＝.35224522721013．若α∈，且3cos 2α＝sin ，则sin 2α的值为 ．(π2，π)(π4－α)答案　－1718解析　由3cos 2α＝sin可得(π4－α)3(cos 2α－sin 2α)＝(cos α－sin α)，22又由α∈可知，cos α－sin α≠0，(π2，π)于是3(cos α＋sin α)＝，22所以1＋2sin αcos α＝，118故sin 2α＝2sin αcos α＝－1＝－.118171814．(2018·江苏省五校联考)已知sin ＝，则sin ＋sin 2＝ .(2x ＋π5)33(4π5－2x )(3π10－2x )答案　2＋33解析　由条件得sin ＝sin (4π5－2x )[π－(4π5－2x )]＝sin ＝，(2x ＋π5)33又sin 2＝cos 2(3π10－2x )[π2－(3π10－2x )]＝cos 2＝1－sin 2＝，(2x ＋π5)(2x ＋π5)23∴sin ＋sin 2＝＋＝.(4π5－2x )(3π10－2x )33233＋2315．化简：·＝ .(3cos 10°－1sin 170°)cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°答案　－43解析　原式＝·＝·3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°1＋tan 15°1－tan 15°2sin (10°－30°)12sin 20°tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15°＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.316．已知α，β∈，且sin ＋cos ＝，sin(α－β)＝－，则sin β＝ .(π2，π)α2α26235答案　4－3310解析　由sin ＋cos ＝，平方可得sin α＝.α2α26212∵α∈，(π2，π)∴cos α＝－.32又∵－<α－β<，sin(α－β)＝－，π2π235∴cos(α－β)＝.45故sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.1245(－32)(－35)4－3310。

第2课时　简单的三角恒等变换题型一　三角函数式的化简1．化简：＝________.sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)答案　2cos α2解析　原式＝＝2cos α.2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)22．化简：＝________.2cos 4x －2cos 2x ＋122tan (π4－x )sin 2(π4＋x )答案　cos 2x 12解析　原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin (π4－x )cos (π4－x )·cos 2(π4－x )＝(2cos 2x －1)24sin (π4－x )cos (π4－x )＝＝＝cos 2x .cos 22x 2sin (π2－2x )cos 22x 2cos 2x 123．化简：－2cos(α＋β)．sin (2α＋β)sin α解　原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝＝.sin[(α＋β)－α]sin αsin βsin α思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．题型二　三角函数的求值命题点1　给角求值与给值求值例1 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.32sin 280°答案　6解析　原式＝·sin 80°(2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°)2＝·cos 10°(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)2＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]2＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.22326(2)已知cos ＝，θ∈，则sin ＝________.(θ＋π4)1010(0，π2)(2θ－π3)答案　4－3310解析　由题意可得cos 2＝＝，cos ＝－sin 2θ＝－，(θ＋π4)1＋cos (2θ＋π2)2110(2θ＋π2)45即sin 2θ＝.45因为cos ＝>0，θ∈，(θ＋π4)1010(0，π2)所以0<θ<，2θ∈，π4(0，π2)根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，35由两角差的正弦公式，可得sin ＝sin 2θcos －cos 2θsin (2θ－π3)π3π3＝×－×＝.451235324－3310(3)已知cos ＝，<α<，则的值为________．(π4＋α)3517π127π4sin 2α＋2sin 2α1－tan α答案　－2875解析　＝sin 2α＋2sin 2α1－tan α2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝sin 2α·＝sin 2α·tan .1＋tan α1－tan α(π4＋α)由<α<，得<α＋<2π，17π127π45π3π4又cos ＝，(π4＋α)35所以sin ＝－，tan ＝－.(π4＋α)45(π4＋α)43cos α＝cos ＝－，sin α＝－，[(π4＋α)－π4]2107210sin 2α＝.725所以＝×＝－.sin 2α＋2sin 2α1－ tan α725(－43)2875命题点2　给值求角例2 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为________．5531010答案　7π4解析　∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴cos α＝－，sin β＝，2551010∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.22又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，(3π2，2π)∴α＋β＝.7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．1217答案　－3π4解析　∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝>0，tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β12－171＋12×1713∴0<α<.π2又∵tan 2α＝＝＝>0，2tan α1－tan 2α2×131－(13)234∴0<2α<，π2∴tan(2α－β)＝＝＝1.tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β34＋171－34×17∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，17π2∴2α－β＝－.3π4引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.5531010答案　π4解析　∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，2551010∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.2553101055101022又0<α＋β<π，∴α＋β＝.π4思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．跟踪训练1　(1)已知α∈，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则＝(0，π2)sin (α＋π4)sin 2α＋cos 2α＋1________.答案　268解析　∵α∈，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，(0，π2)则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈，sin α＋cos α>0，(0，π2)∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝，sin α＝，213313∴sin (α＋π4)sin 2α＋cos 2α＋1＝＝＝.22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)24cos α268(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.551010答案　π4解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.π2π2又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.101031010又sin α＝，所以cos α＝，55255所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255(－1010)22所以β＝.π4题型三　三角恒等变换的应用例3 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －2sin x cos x (x ∈R )．3(1)求f 的值；(2π3)(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解　(1)由sin ＝，cos ＝－，得2π3322π312f ＝2－2－2××＝2.(2π3)(32)(－12)332(－12)(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得f (x )＝－cos 2x －sin 2x ＝－2sin .3(2x ＋π6)所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π63π2解得＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z .π62π3所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．[π6＋k π，2π3＋k π]思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、a 2＋b 2最值与对称性．跟踪训练2 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝ f－2f 2(x )在区间3(π2－2x )[0，2π3]上的值域．解　(1)∵角α的终边经过点P (－3，)，3∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.123233∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.323336(2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝cos －2cos 2x 3(π2－2x )＝sin 2x －1－cos 2x ＝2sin －1，3(2x －π6)∵0≤x ≤，∴－≤2x －≤.2π3π6π67π6∴－≤sin ≤1，∴－2≤2sin －1≤1，12(2x －π6)(2x －π6)故函数g (x )＝f －2f 2(x )在区间上的值域是[－2,1]．3(π2－2x )[0，2π3]化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝sin(ωx ＋φ)型的函数；研a 2＋b 2究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．例 已知函数f (x )＝4tan x ·sin ·cos －.(π2－x )(x －π3)3(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间上的单调性．[－π4，π4]解　(1)f (x )的定义域为Error!.f (x )＝4tan x cos x cos －(x －π3)3＝4sin x cos －(x －π3)3＝4sin x －(12cos x ＋32sin x )3＝2sin x cos x ＋2sin 2x －33＝sin 2x ＋(1－cos 2x )－33＝sin 2x －cos 2x ＝2sin .3(2x －π3)所以f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π2(2)因为x ∈，所以2x －∈，[－π4，π4]π3[－5π6，π6]由y ＝sin x 的图象可知，当2x －∈，π3[－5π6，－π2]即x ∈时，f (x )单调递减；[－π4，－π12]当2x －∈，π3[－π2，π6]即x ∈时，f (x )单调递增．[－π12，π4]所以当x ∈时，f (x )在区间上单调递增，在区间上单调递减．[－π4，π4][－π12，π4][－π4，－π12]1．若sin ＝，则cos ＝________.(π3－α)14(π3＋2α)答案　－78解析　cos ＝cos (π3＋2α)[π－(23π－2α)]＝－cos ＝－(23π－2α)[1－2sin 2(π3－α)]＝－＝－.[1－2×(14)2]782．4cos 50°－tan 40°＝________.答案　3解析　原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (120°－40°)－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝＝.3cos 40°cos 40°33．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)＝________.35(π2<2α<π)12答案　－2解析　由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝4534＝－2.tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)4．(2017·江苏)若tan ＝，则tan α＝________.(α－π4)16答案　75解析　方法一　∵tan ＝(α－π4)tan α－tan π41＋tan αtan π4＝＝，tan α－11＋tan α16∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝.75方法二　tan α＝tan [(α－π4)＋π4]＝＝＝.tan (α－π4)＋tan π41－tan (α－π4)tan π416＋11－16755．若cos ＝，则sin 2α＝________.(π4－α)35答案　－725解析　由cos ＝，可得cos α＋sin α＝，(π4－α)35222235两边平方得(1＋2sin αcos α)＝，12925∴sin 2α＝－.7256．已知cos 4α－sin 4α＝，且α∈，则cos ＝________.23(0，π2)(2α＋π3)答案　2－156解析　∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，23(0，π2)∴sin 2α＝＝，1－cos 22α53∴cos ＝cos 2α－sin 2α(2α＋π3)1232＝×－×＝.122332532－1567．函数f (x )＝3sin cos ＋4cos 2(x ∈R )的最大值等于________．x 2x 2x 2答案　92解析　由题意知f (x )＝sin x ＋4×321＋cos x 2＝sin x ＋2cos x ＋2＝sin(x ＋φ)＋2，3252其中cos φ＝，sin φ＝，3545∵x ∈R ，∴f (x )max ＝＋2＝.52928．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－，则角A 的值为________．22答案　π4解析　由题意知，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝－cos B cos C ，2在等式－cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，2得tan B ＋tan C ＝－，2又tan(B ＋C )＝＝－1＝－tan A ，tan B ＋tan C 1－tan B tan C即tan A ＝1，因为0<A <π，所以A ＝.π49．定义运算＝ad －bc .若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.|a b c d |17|sin α　sin βcos α　cos β|3314π2答案　π3解析　由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，3314π2π2故cos(α－β)＝＝，1－sin 2(α－β)1314而cos α＝，∴sin α＝，17437于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.437131417331432又0<β<，故β＝.π2π310．函数f (x )＝sin x －2sin 2x 的最小值是________．32313(π2≤x ≤3π4)答案　－13解析　f (x )＝sin x －323(1－cos 23x )＝2sin －1，(23x ＋π6)又≤x ≤，∴≤x ＋≤，π23π4π223π62π3∴f (x )min ＝2sin －1＝－1.2π3311．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，则tan(α＋β)＝______，α＋β＝________.1355(π2，π)(0，π2)答案　1　5π4解析　由cos β＝，β∈，55(0，π2)得sin β＝，tan β＝2.255∴tan(α＋β)＝＝＝1.tan α＋tan β1－tan αtan β－13＋21＋23∵α∈，β∈，(π2，π)(0，π2)∴<α＋β<，∴α＋β＝.π23π25π412．(2018·浙江)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P .(－35，－45)(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．513解　(1)由角α的终边过点P ，(－35，－45)得sin α＝－.45所以sin(α＋π)＝－sin α＝.45(2)由角α的终边过点P ，(－35，－45)得cos α＝－.35由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.5131213由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－或cos β＝.5665166513．已知α∈，β∈，且cos ＝，sin ＝－，则cos(α＋β)＝________.(π4，3π4)(0，π4)(π4－α)35(5π4＋β)1213答案　－3365解析　∵α∈，(π4，3π4)∴－α∈，π4(－π2，0)又cos ＝，(π4－α)35∴sin ＝－，(π4－α)45∵sin ＝－，(5π4＋β)1213∴sin ＝，(π4＋β)1213又∵β∈，＋β∈，(0，π4)π4(π4，π2)∴cos ＝，(π4＋β)513∴cos(α＋β)＝cos [(π4＋β)－(π4－α)]＝cos cos ＋sin sin (π4＋β)(π4－α)(π4＋β)(π4－α)＝×－×＝－.51335121345336514．在△ABC 中，A ，B ，C 是△ABC 的内角，设函数f (A )＝2sin sin ＋sin 2－cos 2B ＋C 2(π－A 2)(π＋A 2)，则f (A )的最大值为________．A 2答案　2解析　f (A )＝2cos sin ＋sin 2－cos 2A 2A 2A 2A 2＝sin A －cos A ＝sin ，2(A －π4)因为0<A <π，所以－<A －<.π4π43π4所以当A －＝，即A ＝时，f (A )有最大值.π4π23π4215．已知sin(π－α)＝sin ，cos(π－α)＝cos ，且α，β∈(0，π)，则α＝______，β2(3π2－β)32(π2＋β)＝______.答案 π42π3解析　由已知得Error!∴sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝.12又β∈(0，π)，由②知cos α>0，∴cos α＝，又α∈(0，π)，22∴α＝.π4将α＝代入①得cos β＝－，π412又β∈(0，π)，∴β＝.2π316．已知函数f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1(x ∈R )．3(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；[0，2π3](2)若f (x 0)＝，x 0∈，求cos 2x 0的值．65[0，π3]解　(1)由f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1，3得f (x )＝(2sin x cos x )－(2cos 2x －1)3＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ，3(2x －π6)所以函数f (x )的最小正周期为π.易知f (x )＝2sin 在区间上为增函数，(2x －π6)[0，π3]在区间上为减函数，[π3，2π3]又f (0)＝－1，f ＝2，f ＝－1，(π3)(2π3)所以函数f (x )在上的最大值为2，[0，2π3]最小值为－1.(2)∵2sin ＝，(2x 0－π6)65∴sin ＝.(2x 0－π6)35又x 0∈，[0，π3]∴2x 0－∈，π6[－π6，π2]∴cos ＝.(2x 0－π6)45∴cos 2x 0＝cos [(2x 0－π6)＋π6]＝cos cos －sin sin (2x 0－π6)π6(2x 0－π6)π6＝×－×＝.4532351243－310。

§4.3　三角函数的图象与性质最新考纲　1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最大值和最小(－π2，π2)值、图象与x 轴交点等)．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，(π2，1)(3π2，－1)0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，(π2，0)(3π2，0)1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R Error! x ≠k π＋}π2值域[－1,1][－1,1]R 周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2k π－π2，2k π＋π2][2k π－π，2k π](k π－π2，k π＋π2)递减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2][2k π，2k π＋π]无对称中心(k π，0)(k π＋π2，0)(k π2，0)对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示　(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝＋k π(k ∈Z )；π2(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．(　×　)(2)由sin ＝sin 知，是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．(　×　)(π6＋2π3)π62π3(3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．(　×　)(4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.(　×　)(5)y ＝sin|x |是偶函数．(　√　)题组二　教材改编2．函数f (x )＝cos 的最小正周期是．(2x ＋π4)答案　π3．y ＝3sin 在区间上的值域是．(2x －π6)[0，π2]答案　[－32，3]解析　当x ∈时，2x －∈，[0，π2]π6[－π6，5π6]sin ∈，(2x －π6)[－12，1]故3sin ∈，(2x －π6)[－32，3]即y ＝3sin 的值域为.(2x －π6)[－32，3]4．函数y ＝－tan 的单调递减区间为 ．(2x －3π4)答案　(k ∈Z )(π8＋k π2，5π8＋k π2)解析　由－＋k π<2x －<＋k π(k ∈Z )，π23π4π2得＋<x <＋(k ∈Z )，π8k π25π8k π2所以y ＝－tan 的单调递减区间为(2x －3π4)(k ∈Z )．(π8＋k π2，5π8＋k π2)题组三　易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝对称的是( )π3A ．y ＝2sinB ．y ＝2sin (2x ＋π3)(2x －π6)C ．y ＝2sinD ．y ＝2sin (x 2＋π3)(2x －π3)答案　B解析　函数y ＝2sin 的最小正周期T ＝＝π，(2x －π6)2π2又sin ＝1，(2×π3－π6)∴函数y ＝2sin 的图象关于直线x ＝对称．(2x －π6)π36．函数f (x )＝4sin 的单调递减区间是．(π3－2x )答案　(k ∈Z )[k π－π12，k π＋512π]解析　f (x )＝4sin (π3－2x)＝－4sin .(2x －π3)所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin 的单调递增区间．(2x －π3)由－＋2k π≤2x －≤＋2k π(k ∈Z )，得π2π3π2－＋k π≤x ≤π＋k π(k ∈Z )．π12512所以函数f (x )的单调递减区间是(k ∈Z )．[－π12＋k π，512π＋k π]7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是 ．答案　sin 68°>cos 23°>cos 97°解析　sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一　三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan 的定义域是( )(2x ＋π6)A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案　D解析　由正切函数的定义域，得2x ＋≠k π＋，k ∈Z ，即x ≠＋(k ∈Z )，故选D.π6π2k π2π62．函数y ＝的定义域为 ．sin x －cos x 答案　(k ∈Z )[2k π＋π4，2k π＋5π4]解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数π45π4的定义域为Error!.方法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为Error!.3．函数y ＝lg(sin x )＋ 的定义域为．cos x －12答案　Error!解析　要使函数有意义，则Error!即Error!解得Error!所以2k π<x ≤＋2k π(k ∈Z )，π3所以函数的定义域为Error!.思维升华 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二　三角函数的值域(最值)例1　(1)函数y ＝2sin(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )(πx 6－π3)A ．2－ B ．0 C ．－1 D ．－1－33答案　A解析　因为0≤x ≤9，所以－≤－≤，π3πx 6π37π6所以－≤sin ≤1，则－≤y ≤2.32(πx 6－π3)3所以y max ＋y min ＝2－.3(2)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是( )A ．[－1,3] B.[－32，3]C.D.[－32，－1][32，3]答案　B解析　y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝22－，因为cos x ∈[－1,1]，所以原(cos x ＋12)32式的值域为.[－32，3]思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝sin ，其中x ∈，若f (x )的值域是，则实数a(x ＋π6)[－π3，a ][－12，1]的取值范围是 ．答案　[π3，π]解析　∵x ∈，∴x ＋∈，[－π3，a ]π6[－π6，a ＋π6]∵当x ＋∈时，f (x )的值域为，π6[－π6，π2][－12，1]∴由函数的图象(图略)知，≤a ＋≤，π2π67π6∴≤a ≤π.π3(2)(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为 ．答案　[－12－2，1]解析　设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝，且－≤t ≤.1－t 2222∴y ＝－＋t ＋＝－(t －1)2＋1，t ∈[－，]．t 22121222当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－时，y min ＝－－.2122∴函数的值域为.[－12－2，1]题型三　三角函数的周期性与对称性例2　(1)若函数f (x )＝2tan 的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．(kx ＋π3)答案　2或3解析　由题意得1<<2，k ∈N ，πk ∴<k <π，k ∈N ，π2∴k ＝2或3.(2)(2018·武汉模拟)若函数y ＝cos (ω∈N *)图象的一个对称中心是，则ω的最小(ωx ＋π6)(π6，0)值为___________．答案　2解析　由题意知＋＝k π＋(k ∈Z )，ωπ6π6π2∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(2)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正2π|ω|周期为.π|ω|跟踪训练2　(1)函数y ＝2sin 的图象( )(2x ＋π3)A ．关于原点对称B ．关于点对称(－π6，0)C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝对称π6答案　B解析　∵当x ＝－时，函数y ＝2sin ＝0，π6(－π6×2＋π3)∴函数图象关于点对称．(－π6，0)(2)若直线x ＝π和x ＝π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可5494能取值为( )A.π B. C. D.34π2π3π4答案　A解析　由题意，函数的周期T ＝2×＝2π，∴ω＝＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝π时，(94π－54π)2πT 54函数取得最大值或最小值，即cos ＝±1，可得π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π，k ∈Z .(54π＋φ)5454当k ＝2时，可得φ＝π.34题型四　三角函数的单调性命题点1　求三角函数的单调区间例3 (1)函数f (x )＝sin 的单调递减区间为．(－2x ＋π3)答案　(k ∈Z )[k π－π12，k π＋5π12]解析　f (x )＝sin ＝sin (－2x ＋π3)[－(2x －π3)]＝－sin ，(2x －π3)由2k π－≤2x －≤2k π＋，k ∈Z ，π2π3π2得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z .π125π12故所求函数的单调递减区间为(k ∈Z )．[k π－π12，k π＋5π12](2)函数f (x )＝tan 的单调递增区间是．(2x ＋π3)答案　(k ∈Z )(k π2－5π12，k π2＋π12)解析　由k π－<2x ＋<k π＋(k ∈Z )，π2π3π2得－<x <＋(k ∈Z )，k π25π12k π2π12所以函数f (x )＝tan 的单调递增区间为(2x ＋π3)(k ∈Z )．(k π2－5π12，k π2＋π12)(3)函数y ＝sin x ＋cos x 的单调递增区间是．1232(x ∈[0，π2])答案　[0，π6]解析　∵y ＝sin x ＋cos x ＝sin ，1232(x ＋π3)由2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π3π2解得2k π－≤x ≤2k π＋(k ∈Z )．5π6π6∴函数的单调递增区间为(k ∈Z )，[2k π－5π6，2k π＋π6]又x ∈，∴函数的单调递增区间为.[0，π2][0，π6]命题点2　根据单调性求参数例4 已知ω>0，函数f (x )＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是．(ωx ＋π4)(π2，π)答案　[12，54]解析　由<x <π，ω>0，得π2＋<ωx ＋<ωπ＋，ωπ2π4π4π4又y ＝sin x 的单调递减区间为，k ∈Z ，[2k π＋π2，2k π＋3π2]所以Error!k ∈Z ，解得4k ＋≤ω≤2k ＋，k ∈Z .1254又由4k ＋－≤0，k ∈Z 且2k ＋>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈.12(2k ＋54)54[12，54]引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos 在上单调递增，则ω的取值范围(ωx ＋π4)(π2，π)是 ．答案　[32，74]解析　函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则Error!k ∈Z ，解得4k －≤ω≤2k －，k ∈Z ，5214又由4k －－≤0，k ∈Z 且2k －>0，k ∈Z ，52(2k －14)14得k ＝1，所以ω∈.[32，74]思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3　(1)已知函数f (x )＝2sin ，则函数f (x )的单调递减区间为( )(π4－2x )A.(k ∈Z )[3π8＋2k π，7π8＋2k π]B.(k ∈Z )[－π8＋2k π，3π8＋2k π]C.(k ∈Z )[3π8＋k π，7π8＋k π]D.(k ∈Z )[－π8＋k π，3π8＋k π]答案　D解析　函数的解析式可化为f (x )＝－2sin .(2x －π4)由2k π－≤2x －≤2k π＋(k ∈Z )，得－＋k π≤x ≤＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区π2π4π2π83π8间为(k ∈Z )．[－π8＋k π，3π8＋k π](2)(2018·武汉联考)若函数g (x )＝sin 在区间和上均单调递增，则实数a 的(2x ＋π6)[0，a 3][4a ，7π6]取值范围是 ．答案　[π6，7π24)解析　由2k π－≤2x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，可得π2π6π2k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )，π3π6∴g (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．[k π－π3，k π＋π6]又∵函数g (x )在区间和上均单调递增，[0，a 3][4a ，7π6]∴Error!解得≤a <.π67π24三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例 (1)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ；④y ＝tan 中，最小正周期(2x ＋π6)(2x －π4)为π的所有函数为( )A ．①②③ B ．①③④C ．②④ D ．①③答案　A解析　①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos 的最小正周期T ＝＝π；(2x ＋π6)2π2④y ＝tan 的最小正周期T ＝，故选A.(2x －π4)π2(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ，则下列结论错误的是( )(x ＋π3)A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝对称8π3C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在上单调递减(π2，π)答案　D解析　A 项，因为f (x )＝cos 的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；(x ＋π3)B 项，因为f (x )＝cos 的图象的对称轴为直线x ＝k π－(k ∈Z )，(x ＋π3)π3所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝对称，B 项正确；8π3C 项，f (x ＋π)＝cos .令x ＋＝k π＋(k ∈Z )，得x ＝k π－(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝，(x ＋4π3)4π3π25π6π6所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝，C 项正确；π6D 项，因为f (x )＝cos 的单调递减区间为(k ∈Z )，(x ＋π3)[2k π－π3，2k π＋2π3]单调递增区间为(k ∈Z )，[2k π＋2π3，2k π＋5π3]所以是f (x )的单调递减区间，是f (x )的单调递增区间，D 项错误．(π2，2π3)[2π3，π)故选D.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为 ．答案　，k ∈Z(2k －14，2k ＋34)解析　由图象知，周期T ＝2×＝2，(54－14)∴＝2，∴ω＝π.2πω由π×＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝，14π2π4∴f (x )＝cos .(πx ＋π4)由2k π<πx ＋<2k π＋π，k ∈Z ，π4得2k －<x <2k ＋，k ∈Z ，1434∴f (x )的单调递减区间为，k ∈Z .(2k －14，2k ＋34)(4)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间上具有单调性，[π6，π2]且f ＝f ＝－f ，则f (x )的最小正周期为 ．(π2)(2π3)(π6)答案　π解析　记f (x )的最小正周期为T .由题意知≥－＝，T 2π2π6π3又f ＝f ＝－f ，(π2)(2π3)(π6)且－＝，2π3π2π6可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝×＝，(π2＋π6)12π3x 2＝×＝，(π2＋2π3)127π12∴＝x 2－x 1＝－＝，∴T ＝π.T 47π12π3π41．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( )A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x －1)0答案　B解析　∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．2．函数f (x )＝sin 在区间上的最小值为( )(2x －π4)[0，π2]A ．－1B ．－22C. D ．022答案　B解析　由已知x ∈，[0，π2]得2x －∈，π4[－π4，3π4]所以sin ∈，(2x －π4)[－22，1]故函数f (x )＝sin 在区间上的最小值为－.故选B.(2x －π4)[0，π2]223．函数y ＝sin x 2的图象是( )答案　D解析　函数y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C ；又当x ＝时函数取得最大值，排除B ，故选D.π24．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1 B ．3，－2C ．2，－1 D ．2，－2答案　D解析　y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y max ＝2，y min ＝－2.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则f (x )图象的一个对称中心是( )(|φ|<π2)3A.B.(－π3，0)(－π6，0)C. D.(π6，0)(π12，0)答案　B解析　函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则f (0)＝2sin φ＝，(|φ|<π2)33∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，32π2π3则f (x )＝2sin ，令2x ＋＝k π(k ∈Z )，(2x ＋π3)π3则x ＝－(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－，k π2π6π6∴是函数f (x )的图象的一个对称中心．(－π6，0)6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤对任意x ∈R 恒成立，且f >0，|f (π4)|(π6)则f (x )的单调递减区间是( )A.(k ∈Z )[k π，k π＋π4]B.(k ∈Z )[k π－π4，k π＋π4]C.(k ∈Z )[k π＋π4，k π＋3π4]D.(k ∈Z )[k π－π2，k π]答案　C解析　由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝对称，故有2×＋φ＝k π＋，π4π4π2k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ＝sin >0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin 2x .(π6)(π3＋φ)令2k π＋≤2x ≤2k π＋，k ∈Z ，求得k π＋≤x ≤k π＋，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区π23π2π43π4间为，k ∈Z .[k π＋π4，k π＋3π4]7．函数y ＝的定义域为．1tan (x －π4)答案　Error!解析　要使函数有意义必须有tan ≠0，(x －π4)则Error!所以x －≠，k ∈Z ，π4k π2所以x ≠＋，k ∈Z ，k π2π4所以原函数的定义域为Error!.8．(2018·珠海模拟)设函数f (x )＝3sin ，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都(π2x ＋π4)有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为 ．答案　2解析　|x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期，又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.9．已知函数f (x )＝2sin ＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且(ωx －π6)ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为．答案　6π5解析　由函数f (x )＝2sin ＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－＝k π＋，(ωx －π6)π6π2k ∈Z ，∴ω＝k ＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，2353∴得函数f (x )的最小正周期为＝.2π536π510．已知函数f (x )＝，则下列说法正确的是．(填序号)|tan (12x －π6)|①f (x )的周期是；π2②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；③直线x ＝是函数f (x )图象的一条对称轴；5π3④f (x )的单调递减区间是，k ∈Z .(2k π－2π3，2k π＋π3]答案　④解析　函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝时，x －＝≠5π312π62π3，k ∈Z ，∴x ＝不是f (x )的对称轴，③错；令k π－<x －≤k π，k ∈Z ，可得2k π－<x ≤2k π＋k π25π3π212π62π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是，k ∈Z ，④正确．π3(2k π－2π3，2k π＋π3]11．(2017·北京)已知函数f (x )＝cos －2sin x cos x .3(2x －π3)(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈时，f (x )≥－.[－π4，π4]12(1)解　f (x )＝cos 2x ＋sin 2x －sin 2x 3232＝sin 2x ＋cos 2x 1232＝sin .(2x ＋π3)所以f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π2(2)证明　因为－≤x ≤，π4π4所以－≤2x ＋≤.π6π35π6所以sin ≥sin ＝－.(2x ＋π3)(－π6)12所以当x ∈时，f (x )≥－.[－π4，π4]1212．(2018·天津河西区模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x －cos －1.(2x ＋π3)(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在上的单调性．[－π4，π4]解　(1)f (x )＝2cos 2x －cos －1(2x ＋π3)＝cos 2x －cos 2x ＋sin 2x ＝sin ，1232(2x ＋π6)因为ω＝2，所以最小正周期T ＝＝π，2πω令2x ＋＝＋k π，k ∈Z ，π6π2所以对称轴方程为x ＝＋，k ∈Z .π6k π2(2)令－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π6π2得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π3π6设A ＝，[－π4，π4]B ＝Error!，易知A ∩B ＝，[－π4，π6]所以，当x ∈时，f (x )在区间上单调递增；在区间上单调递减．[－π4，π4][－π4，π6][π6，π4]13．(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝Error!例如1*2，则函数f (x )= sin x *cos x 的值域为( )A. B ．[－1,1][－22，22]C. D.[22，1][－1，22]答案　D解析　根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x ∈[0,2π]，当≤x ≤时，sin x ≥cos x ，此时f (x )＝cos x ，f (x )∈，当0≤x <或<x ≤2ππ45π4[－1，22]π45π4时，cos x >sin x ，此时f (x )＝sin x ，f (x )∈∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为.[0，22)[－1，22]14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为(ω>0，|φ|<π2)，若f (x )>1对任意x ∈恒成立，则φ的取值范围是( )2π3(－π12，π6)A. B.[－π6，π6][－π4，0]C. D.(－π3，－π12][0，π4]答案　B解析　由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为，∴f (x )的周期T ＝，∴＝，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )>12π32π32πω2π3对任意x ∈恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈恒成立，∴(－π12，π6)(－π12，π6)－＋φ≥2k π－且＋φ≤2k π＋，k ∈Z ，解得φ≥2k π－且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－≤φ≤2k π，π4π2π2π2π4π4k ∈Z .结合|φ|<可得，当k ＝0时，φ的取值范围为.π2[－π4，0]15．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)在上单调递增，若f ≤m 恒成立，(0≤θ≤π2)[－3π8，－π6](π4)则实数m 的取值范围为 ．答案　[0，＋∞)解析　f (x )＝cos(2x ＋θ)，(0≤θ≤π2)当x ∈时，－＋θ≤2x ＋θ≤－＋θ，[－3π8，－π6]3π4π3由函数f (x )在上是增函数得Error!k ∈Z ，[－3π8，－π6]则2k π－≤θ≤2k π＋(k ∈Z )．π4π3又0≤θ≤，π2∴0≤θ≤，π3∵f ＝cos ，又≤θ＋≤，(π4)(π2＋θ)π2π25π6∴fmax ＝0，(π4)∴m ≥0.16．设函数f (x )＝2sin ＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<.(2ωx －π6)12(1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在上的值域．[0，3π2]解　(1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，(2ωπ－π6)∴2ωπ－＝k π＋(k ∈Z )，π6π2即ω＝＋(k ∈Z )．k 213又0<ω<，12∴ω＝，13∴函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ＋m ，(23x －π6)∵f (π)＝0，∴2sin ＋m ＝0，(2π3－π6)∴m ＝－2，∴f (x )＝2sin －2，(23x －π6)当0≤x ≤时，－≤x －≤，3π2π623π65π6－≤sin ≤1.12(23x －π6)∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在上的值域为.[0，3π2][－3，0]。

高三数学（理）一轮总复习（江苏专用）讲义 第四章_三角函数、解三角形_.DOC第一节 弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.定义[来源:学|科|网][来源:学§科§网Z§X§X§K]设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1．(教材习题改编)将－11π4表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ值为________．解析：∵－11π4＝－3π4＋(－2π)，∴θ＝－3π4.答案：－3π42．(教材习题改编)如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)为________．解析：因为75°＝5π12，330°＝11π6，故集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪11π6＋2k π<α<5π12＋2π＋2k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋5π12，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋5π12，k ∈Z 3．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，所以θ的终边只能位于第四象限．答案：四4．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x .[小题纠偏]1．下列命题正确的是________．①小于90°的角都是锐角；②第一象限的角都是锐角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．答案：④2．已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ＝________，tan θ＝________.解析：由题意，得r ＝3＋m 2，∴m3＋m2＝24m . ∵m ≠0，∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝yx ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.答案：－64 ±1533．若α是第一象限角，则α3是第________象限角．解析：∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k 3·360°<α3<k 3·360°＋30°，k ∈Z. 当k ＝3n 时，有n ·360°<α3<n ·360°＋30°，k ∈Z ，∴α3为第一象限角． 当k ＝3n ＋1时，有n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，k ∈Z ，∴α3为第二象限角． 当k ＝3n ＋2时，有n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，k ∈Z ，∴α3为第三象限角． 综上可知，α3为第一、二、三象限角．答案：一、二、三考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角；②4π3是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有________(填序号)．解析：－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确； －400°＝－360°－40°，从而③正确； －315°＝－360°＋45°，从而④正确． 答案：②③④2．(易错题)若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．答案：一、三3．若角α与8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝8π5＋2kπ(k∈Z)，α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．又α4∈[0,2π]，所以k可取的所有值为0,1,2,3，故α4可取的所有值为2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π104．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．考点二 扇形的弧长及面积公式 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：4或12．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm.解析：设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝6r，得r＝4 3 cm，∴l＝|α|·r＝2π3×43＝833π cm.答案：83 3π3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，S max＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝12lr＝12αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．考点三三角函数的定义(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数值的符号判定；(2)由角的终边上一点的P 的坐标求三角函数值； (3)由三角函数的定义求参数值．[题点全练]角度一： 三角函数值的符号判定1．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是第________象限角．解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． 答案：三角度二：由角的终边上一点P 的坐标求三角函数值 2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．(2019·苏州调研)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则m ＝________.解析：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝mr ＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5. 答案：±5角度三：由三角函数的定义求参数值4．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：由三角函数的定义知tan α＝－6x ，于是－6x ＝－35，解得x＝10.答案：105．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案：(－2,3][方法归纳]应用三角函数定义的3种求法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2.解析：∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 答案：80π2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．答案：二3．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：∵2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π64．(2019·南京六校联考)点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第________象限．解析：因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°) ＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°) ＝－cos 35°＜0，所以点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限． 答案：三5．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：－π32．(2019·宿迁模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于________．解析：因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2.答案：－cos 23．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，∴α＝ 3. 答案： 34．(1)已知扇形周长为10，面积是4，则扇形的圆心角为________． (2)已知扇形周长为40，若扇形面积最大，则圆心角为________． 解析：(1)设圆心角为θ，半径为r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去) 故扇形圆心角为12.(2)设圆心角为θ，半径为r ， 则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100， 当且仅当r ＝10时，S max ＝100. 此时圆心角θ＝2. 答案：(1)12(2)25．(2019·镇江调研)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案：－356．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角． 解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)8．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π49．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k ，∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10 kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0. 10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时， 扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A2是第________象限角．解析：因为A 是第三象限角， 所以2k π＋π<A <2k π＋3π2(k ∈Z)，所以k π＋π2<A 2<k π＋3π4(k ∈Z)，所以A2是第二、四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，所以sin A2<0，所以A2是第四象限角．答案：四2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限， 又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：－13．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式1．(教材习题改编)若α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.因为α为第二象限角，所以sin α>0，所以sin α＝817.答案：8172．(教材习题改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝________.解析：原式＝cos θ－(－cos θ)cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.答案：－23．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 答案：24．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝________；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝________.答案：(1)22(2) 3 1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则tan α＝________.解析：由 sin(π－α)＝－13，得 sin α＝－13.因为α在第四象限，所以 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，则 tan α＝sin αcos α＝－13223＝－24.答案：－242．若sin(3π＋θ)＝13，则sin θ＝________.答案：－133．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)＝________；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z)＝______.解析：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又因为α是第四象限角， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin αcos α＝－sin α－sin (π－α)sin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.答案：(1)32(2)－4考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．sin 210°cos 120°的值为________．解析：sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.答案：142．(2019·淮安模拟)已知角α终边上一点M 的坐标为(3，1)，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是________． 解析：由题可知，cos α＝32，sin α＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12cos α－32sin α＝0. 答案：03．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________. 解析：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.答案： 3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系(题点多变型考点——纵引横联)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.求tan α的值．[解] 法一：联立方程⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.同角三角函数基本关系式的应用技巧变换tan 2θ)＝tan π4＝(sin θ±cosθ)2∓2sin θcos θ和积 转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ[越变越明][变式一] 保持母题条件不变， 求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由母题可知：tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.[变式二] 若母题条件变为“sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5”， 求tan α的值．解：法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.法二：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 求 sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010， 故 sin α＋cos α＝－105.[破译玄机]1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．2．三角形中常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝sin C2等．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝________.解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.答案：452．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝________.解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.答案：π33．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案：－134．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·南师附中检测)角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，则sin(π－α)的值是________．解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，所以sin α＝255，sin(π－α)＝sin α＝255. 答案：2552．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25.答案：－253．(2019·苏北四市调研)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝________.解析：原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.答案： 34．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝________.解析：∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.答案：－125．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝__________.解析：∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.答案：326．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：07．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝________.解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3348．(2019·南通调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. 解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 答案：09．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f (0)＝1. (1)求A 的值；(2)若f (α)＝－15，α是第二象限角，求cos α.解：(1)由f (0)＝1，得A sin π4＝1，A ×22＝1，∴A ＝ 2.(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin x ＋cos x .由f (α)＝－15，得sin α＋cos α＝－15，∴sin α＝－cos α－15，即sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α－152，∴1－cos 2α＝cos 2α＋25cos α＋125，cos 2α＋15cos α－1225＝0，解得cos α＝35或cos α＝－45.∵α是第二象限角，∴cos α<0， ∴cos α＝－45.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α＋1，且f (2 013)＝2，则f (2 015)＝________. 解析：因为f (2 013)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 013＋α＋1＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫1 006π＋π2＋α＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝cos α＋1＝2， 所以cos α＝1.所以f (2 015)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 015＋α＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1 007π＋π2＋α＋1＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝－cos α＋1＝0. 答案：03．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝⎛⎭⎪⎫503π1 007的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014＝sin 2π2 014＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 014 ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 第三节 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k ∈Z).1．(教材习题改编)函数y ＝2sin x －1的定义域为______________________．解析：由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 2．(教材习题改编)使函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3取最小值时x 的集合为________________．解析：要使函数取最小值，则2x －2π3＝2k π＋π(k ∈Z)，知x ＝k π＋5π6，k ∈Z. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π6，k ∈Z3．(教材习题改编)函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________． 解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x＝π2时，函数取到最大值2. 答案：[1,2]4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为______________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z 1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.答案：－222．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为____________． 解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 3．函数y ＝lg sin(cos x )的定义域为________． 解析：由sin(cos x )>0⇒2k π<cos x <2k π＋π(k ∈Z)． 又－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z考点一 三角函数的定义域与值域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3答案：2－ 3 2．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为______________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎨⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋kx ，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z 3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎨⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π24．(易错题)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[谨记通法]1．三角函数定义域的2种求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． 2．三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．考点二 三角函数的单调性(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]写出下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]；(2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.解：(1)由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， 递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[由题悟法]求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[即时应用]1．(2019·宿迁调研)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．解析：由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.答案：32考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用．[题点全练]角度一：三角函数的周期1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________．解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．(2019·南京调研)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2， 即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的对称轴为________．解析：由题意得，2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π8＋k π2(k ∈Z)即为函数f (x )的对称轴．答案：x ＝π8＋k π2(k ∈Z)4．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心是________．解析：2x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，所以x ＝k π4－π6，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z)角度三：三角函数对称性的应用5．(2019·南京四校联考)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为________．解析：πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.答案：26.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为________．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.答案：34[方法归纳]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝cos x －32的定义域为________． 解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z)2．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． 答案：[－9,1]3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：由题意知，T ＝π4，所以πω＝π4，所以ω＝4，所以f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：04．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) 5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝______.解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是_______________________________.解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 2．(2019·苏锡常镇四市调研)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，解得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z) 3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范。

§正弦定理和余弦定理
考情考向分析以利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度．
．正弦定理、余弦定理
在△中，若角，，所对的边分别是，，，为△外接圆半径，则
定理正弦定理余弦定理
内容()＝＝＝()＝＋－；＝＋－；＝＋－
变形()＝，＝，＝；
()＝，＝，＝；
()∶∶＝∶∶；
()＝，
＝，
＝
()＝；
＝；
＝
．在△中，已知，和时，解的情况
为锐角为钝角或直角
图形
关系式＝<<≥>
解的个数一解两解一解一解
.三角形常用面积公式
()＝·(表示边上的高)；
()＝＝＝；
()＝(＋＋)(为三角形内切圆半径)．
概念方法微思考
．在△中，∠>∠是否可推出>?
提示在△中，由∠>∠可推出>.
．如图，在△中，有如下结论：＋＝.试类比写出另外两个式子．
提示＋＝；
＋＝.
题组一思考辨析
．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
()三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)
()当＋－>时，三角形为锐角三角形．(×)。

§4.4　函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用考情考向分析　以考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为填空题，中档难度．1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ≥0AT ＝2πωf ＝＝1T ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1．怎样从y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？提示　向左平移个单位长度．φω2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的对称轴是什么？提示　x ＝＋－(k ∈Z )．k πωπ2ωφω题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin 的图象是由y ＝sin 的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)(x －π4)(x ＋π4)π2(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．(　×　)(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　T2√　)(4)函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析12式为y ＝sin x .(　×　)12题组二　教材改编2．[P39T2]为了得到函数y ＝2sin 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象向________(2x －π3)平移________个单位长度．答案　右　π63．[P40T5]y ＝2sin 的振幅、频率和初相分别为__________________．(12x －π3)答案　2，，－14ππ34．[P41T1]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案　y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14](π8x ＋3π4)解析　从题图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝×(30－10)＝10，12b ＝×(30＋10)＝20，12又×＝14－6，所以ω＝.122πωπ8又×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝，π83π4所以y ＝10sin ＋20，x ∈[6,14]．(π8x ＋3π4)题组三　易错自纠5．将函数y ＝2sin 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(2x ＋π6)14________________．答案　y ＝2sin (2x －π3)解析　函数y ＝2sin 的周期为π，将函数y ＝2sin 的图象向右平移个周期，即(2x ＋π6)(2x ＋π6)14个单位长度，π4所得函数为y ＝2sin＝2sin .[2(x －π4)＋π6](2x －π3)6．y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．答案　π2＋4解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.π2＋47.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．(π4)答案　3解析　由题干图象可知A ＝2，T ＝－＝，3411π12π63π4∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝时，函数f (x )取得最大值，π6∴2×＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝＋2k π(k ∈Z )，π6π2π6又0<φ<π，∴φ＝，∴f (x )＝2sin ，π6(2x ＋π6)则f＝2sin ＝2cos ＝.(π4)(π2＋π6)π63题型一　函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的最小正周期是π，且当x ＝时，f (x )取得最大值2.π6(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．解　(1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x ＝时，f (x )取得最大值2.π6所以A ＝2，同时2×＋φ＝2k π＋，k ∈Z ，π6π2φ＝2k π＋，k ∈Z ，π6因为－<φ<，所以φ＝，π2π2π6所以f (x )＝2sin .(2x ＋π6)(2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋∈，π6[π6，13π6]列表如下：2x ＋π6π6π2π3π22π13π6x 0π65π122π311π12πf (x )12－21描点、连线得图象：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解　由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ＝2sin 是偶函数，[2(x －m )＋π6][2x －(2m －π6)]所以2m －＝(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝＋，k ∈Z ，π6π2k π2π3又因为m >0，所以m 的最小值为.π3思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练1　(1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin 的(2x ＋π3)图象向右平移φ个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为(0<φ<π2)________．答案　π6解析　y ＝sin 的图象向右平移φ个单位长度后得到y ＝sin ，(2x ＋π3)(2x －2φ＋π3)又sin ＝0，∴－2φ＋＝k π(k ∈Z )，(－2φ＋π3)π3又0<φ<，∴φ＝.π2π6(2)已知函数f (x )＝sin (0<ω<2)满足条件：f ＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图象，(ωx ＋π6)(－12)可将函数g (x )＝cos ωx 的图象向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为________．答案　1解析　由题意得sin ＝0，即－ω＋＝k π(k ∈Z )，则ω＝－2k π(k ∈Z )，(－12ω＋π6)12π6π3结合0<ω<2，得ω＝，所以f (x )＝sin ＝cos ＝cos ，π3(π3x ＋π6)(π2－π3x －π6)[π3(x －1)]所以只需将函数g (x )＝cos x 的图象向右至少平移1个单位长度，π3即可得到函数y ＝f (x )的图象．题型二　由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝f 取得最(ω>0，|φ|<π2)(x ＋π6)小值时x 的集合为________________．答案　Error!解析　根据题干所给图象，周期T ＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，(7π12－π3)2πω因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，(7π12，0)7π12再由|φ|<，得φ＝－，∴f (x )＝sin ，π2π6(2x －π6)∴f ＝sin ，(x ＋π6)(2x ＋π6)当2x ＋＝－＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－＋k π(k ∈Z )时，y ＝f 取得最小值．π6π2π3(x ＋π6)(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数f (x )＝6cos 2＋sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如ωx23图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．①求ω的值及函数f (x )的值域；②若f (x 0)＝，且x 0∈，求f (x 0＋1)的值．835(－103，23)解　①由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋sin ωx ＝2sin ，33(ωx ＋π3)∴函数f (x )的值域为[－2，2]，33∴正三角形ABC 的高为2，从而BC ＝4，3∴函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即＝8，ω＝.2πωπ4②∵f (x 0)＝，835由①有f (x 0)＝2sin ＝，3(π4x 0＋π3)835即sin ＝，(π4x 0＋π3)45由x 0∈，知x 0＋∈，(－103，23)π4π3(－π2，π2)∴cos ＝＝.(π4x 0＋π3)1－(45)235∴f (x 0＋1)＝2sin 3(π4x 0＋π4＋π3)＝2sin3[(π4x 0＋π3)＋π4]＝23[sin (π4x 0＋π3)cos π4＋cos (π4x 0＋π3)sinπ4]＝2＝.3(45×22＋35×22)765思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的部分图象如图所示，将函(A >0，ω>0，|φ|<π2)数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点对称，则m(π3，32)的最小值为________．答案　π12解析　依题意得Error!解得Error!＝＝－＝，T 2πω2π3π6π2故ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)＋.332又f＝sin ＋＝，(π6)3(π3＋φ)32332故＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，即φ＝＋2k π(k ∈Z )．π3π2π6因为|φ|<，故φ＝，π2π6所以f (x )＝sin ＋.3(2x ＋π6)32将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后，得到g (x )＝sin ＋的图象，3(2x ＋π6＋2m )32又函数g (x )的图象关于点对称，即h (x )＝sin 的图象关于点对(π3，32)3(2x ＋π6＋2m )(π3，0)称，故sin＝0，即＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝－(k ∈Z )．3(2π3＋π6＋2m )5π6k π25π12又m >0，所以m 的最小值为.π12题型三　三角函数图象、性质的综合应用命题点1　图象与性质的综合问题例3 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，若f (0)＝，且·＝(ω>0，|φ|<π2)3AB → BC → －8，B ，C 分别为最高点与最低点．π28(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间上π6[0，π2]的最大值和最小值．解　(1)由f (0)＝，可得2sin φ＝，即sin φ＝.3332又∵|φ|<，∴φ＝.π2π3由题意可知，＝，＝，AB → (14T ，2)BC →(12T ，－4)则·＝－8＝－8，∴T ＝π.AB → BC → T 28π28故ω＝2，∴f (x )＝2sin .(2x ＋π3)由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π3π2解得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，5π12π12∴函数f (x )的单调递增区间为，k ∈Z .[－5π12＋k π，π12＋k π](2)由题意将f (x )的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，π6∴g (x )＝f ＝2sin (x ＋π6)[2(x ＋π6)＋π3]＝2sin .(2x ＋2π3)∵x ∈，[0，π2]∴2x ＋∈，sin ∈.2π3[2π3，5π3](2x ＋2π3)[－1，32]∴当2x ＋＝，即x ＝0时，sin ＝，2π32π3(2x ＋2π3)32g (x )取得最大值，3当2x ＋＝，即x ＝时，sin ＝－1，2π33π25π12(2x ＋2π3)g (x )取得最小值－2.命题点2　函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －sin 2x ＋m －1＝0在上有两个不同的实数根，则m3(π2，π)的取值范围是____________．答案　(－2，－1)解析　方程2sin 2x －sin 2x ＋m －1＝0可转化为3m ＝1－2sin 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x 33＝2sin ，x ∈.(2x ＋π6)(π2，π)设2x ＋＝t ，则t ∈，π6(76π，136π)∴题目条件可转化为＝sin t ，t ∈有两个不同的实数根．m 2(76π，136π)∴y ＝和y ＝sin t ，t ∈的图象有两个不同交点，如图：m 2(76π，136π)由图象观察知，的取值范围是，m 2(－1，－12)故m 的取值范围是(－2，－1)．引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________．答案　[－2,1)解析　由上例题知，的取值范围是，m 2[－1，12)∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3　三角函数模型例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最(A >0，ω>0，|φ|<π2)低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元．答案　6 000解析　作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，12T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.2πT π6将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，π6π2故f (x )＝2 000sin x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．π6∴f (7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．7π6故7月份的出厂价格为6 000元．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上的两个相邻的最高(ω>0，－π2≤φ≤π2)点和最低点的距离为2，且过点，则函数f (x )的解析式为______________．2(2，－12)答案　f (x )＝sin(πx 2＋π6)解析　根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为2，可得 ＝2，解得T 2(T 2)2＋(1＋1)22＝4，故ω＝＝，即f (x )＝sin .2πT π2(πx2＋φ)又函数图象过点，(2，－12)故f (2)＝sin＝－sin φ＝－，(π2×2＋φ)12又－≤φ≤，解得φ＝，π2π2π6故f (x )＝sin.(πx 2＋π6)(2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数f (x )＝4sin x ·cos ＋.(x ＋π3)3①求f (x )在区间上的最大值和最小值及取得最值时x 的值；[－π4，π6]②若方程f (x )－t ＝0在x ∈上有唯一解，求实数t 的取值范围．[－π4，π2]解　①f (x )＝4sin x ＋(cos x cos π3－sin x sin π3)3＝2sin x cos x －2sin 2x ＋33＝sin 2x ＋cos 2x 3＝2sin .(2x ＋π3)因为－≤x ≤，所以－≤2x ＋≤，π4π6π6π32π3所以－≤sin ≤1，所以－1≤f (x )≤2，12(2x ＋π3)当2x ＋＝－，即x ＝－时，f (x )min ＝－1；π3π6π4当2x ＋＝，即x ＝时，f (x )max ＝2.π3π2π12②因为当－≤x ≤时，－≤2x ＋≤，π4π12π6π3π2所以－1≤2sin ≤2，且单调递增；(2x ＋π3)当≤x ≤时，≤2x ＋≤，π12π2π2π34π3所以－≤2sin ≤2，且单调递减，3(2x ＋π3)所以f (x )＝t 有唯一解时对应t 的取值范围是t ∈[－，－1)或t ＝2.3三角函数图象与性质的综合问题例 (14分)已知函数f (x )＝2sin ·cos －sin(x ＋π)．3(x 2＋π4)(x 2＋π4)(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上π6的最大值和最小值．规范解答解　(1)f (x )＝2sin cos 3(x 2＋π4)(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝cos x ＋sin x [3分]3＝2sin ，[5分](x ＋π3)于是T ＝＝2π.[6分]2π1(2)由已知得g (x )＝f ＝2sin ，[8分](x －π6)(x ＋π6)∵x ∈[0，π]，∴x ＋∈，π6[π6，7π6]∴sin ∈，[10分](x ＋π6)[－12，1]∴g (x )＝2sin ∈[－1,2]．[12分](x ＋π6)故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝·；a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)第三步：(求性质)利用f (x )＝sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．a 2＋b 21．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长π6度得到g (x )的图象，则g的值为________．(π2)答案　－12解析　由题意得，将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移个单位长度，得到g (x )＝cos 的π6(2x －π3)图象，所以g＝cos ＝－.(π2)(π－π3)122．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案　3π8解析　f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝cos ，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得2(2x －π4)图象对应的函数为y ＝cos ，且该函数为偶函数，2(2x －π4－2φ)故2φ＋＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为.π43π83．函数f (x )＝cos (ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后对应函(ωx ＋π6)π3数的单调递减区间是________________．答案　(k ∈Z )[π4＋k π，3π4＋k π]解析　由题意知ω＝＝2，将函数f (x )的图象向右平移个单位长度后得到函数g (x )＝cos 2πππ3＝cos ＝sin 2x 的图象，由2k π＋≤2x ≤2k π＋(k ∈Z )，解得所求函数[2(x －π3)＋π6](2x －π2)π23π2的单调递减区间为(k ∈Z )．[k π＋π4，k π＋3π4]4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为(ω>0，|φ|<π2)________．答案　[－3＋8k,1＋8k ](k ∈Z )解析　由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，2πT π4所以f (x )＝sin .把(1,1)代入，得sin ＝1，即＋φ＝＋2k π(k ∈Z )，(π4x ＋φ)(π4＋φ)π4π2又|φ|<，所以φ＝，所以f (x )＝sin .由2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π4(π4x ＋π4)π2π4π4π2得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z )．5．(2018·江苏泰州中学月考)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)，使得平移后的图象仍过点，则φ的最小值为________．(π3，32)答案　π6解析　将y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到y ＝sin 2(x －φ)，代入点得＝sin ，(π3，32)32(2π3－2φ)因为φ>0，所以当－2φ＝时，第一个正弦值为的角，此时φ最小，为.2π3π332π66．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )(|φ|<π2)π6在上的最小值为________．[0，π2]答案　－32解析　将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y ＝sin ＝sin π6[2(x ＋π6)＋φ]的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝k π(k ∈Z )，(2x ＋π3＋φ)π3又|φ|<，所以φ＝－，即f (x )＝sin .π2π3(2x －π3)当x ∈时，2x －∈，[0，π2]π3[－π3，2π3]所以当2x －＝－，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－.π3π3327.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________.(ω>0，|φ|<π2)(π24)答案　3解析　由题干图象知＝2×＝，πω(3π8－π8)π2所以ω＝2.因为2×＋φ＝k π＋(k ∈Z )，π8π2所以φ＝k π＋(k ∈Z )，π4又|φ|<，所以φ＝，π2π4这时f (x )＝A tan .(2x ＋π4)又函数图象过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan .(2x ＋π4)所以f＝tan ＝.(π24)(2×π24＋π4)38.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈，且f (x 1)＝(ω>0，|φ|<π2)(－π6，π3)f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案　32解析　由题图可知，＝－＝，T 2π3(－π6)π2则T ＝π，ω＝2，又＝，－π6＋π32π12所以f (x )的图象过点，(π12，1)即sin ＝1，(2×π12＋φ)所以2×＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，π12π2又|φ|<，可得φ＝，所以f (x )＝sin .π2π3(2x ＋π3)由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈，(－π6，π3)可得x 1＋x 2＝－＋＝，π6π3π6所以f (x 1＋x 2)＝f＝sin ＝sin ＝.(π6)(2×π6＋π3)2π3329．(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中，函数y ＝sin (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝(x ＋π3)12的交点的个数是________．答案　2解析　方法一　令sin ＝，可得x ＋＝2k π＋或x ＋＝2k π＋，k ∈Z ，(x ＋π3)12π3π6π35π6即x ＝2k π－或x ＝2k π＋，k ∈Z ，又x ∈[0,2π]，所以x ＝或x ＝，π6π211π6π2故原函数图象与y ＝的交点的个数是2.12方法二　在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2.10．已知函数f (x )＝cos ，其中x ∈，若f (x )的值域是，则m 的取值(3x ＋π3)[π6，m ][－1，－32]范围是________．答案　[2π9，5π18]解析　画出函数的图象如图所示．由x ∈，可知≤3x ＋≤3m ＋，[π6，m ]5π6π3π3因为f ＝cos ＝－且f ＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是，(π6)5π632(2π9)[－1，－32]只要≤m ≤，即m ∈.2π95π18[2π9，5π18]11．已知函数f (x )＝2sin (其中0<ω<1)，若点是函数f (x )图象的一个对称中心．(2ωx ＋π6)(－π6，0)(1)求ω的值，并求出函数f (x )的单调递增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解　(1)因为点是函数f (x )图象的一个对称中心，(－π6，0)所以－＋＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋(k ∈Z )，ωπ3π612因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝.12所以f (x )＝2sin .(x ＋π6)令2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π6π2解得2k π－≤x ≤2k π＋(k ∈Z )，2π3π3所以函数的单调递增区间为(k ∈Z )．[2k π－2π3，2k π＋π3](2)由(1)知，f (x )＝2sin ，x ∈[－π，π]，(x ＋π6)列表如下：x ＋π6－5π6－π20π2π7π6x －π－2π3－π6π35π6πf (x )－1－202－1作出函数部分图象如图所示：12．设函数f (x )＝sin ＋sin ，其中0<ω<3.已知f ＝0.(ωx －π6)(ωx －π2)(π6)(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在上的最小值．π4[－π4，3π4]解　(1)因为f (x )＝sin ＋sin ，(ωx －π6)(ωx －π2)所以f (x )＝sin ωx －cos ωx －cos ωx 3212＝sin ωx －cos ωx ＝32323(12sin ωx －32cos ωx )＝sin .3(ωx －π3)由题设知f＝0，(π6)所以－＝k π，k ∈Z ，ωπ6π3故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝sin ，3(2x －π3)所以g (x )＝sin ＝sin .3(x ＋π4－π3)3(x －π12)因为x ∈，[－π4，3π4]所以x －∈，π12[－π3，2π3]当x －＝－，即x ＝－时，g (x )取得最小值－.π12π3π43213．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数(－π2<θ<π2)g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为________．(0，32)答案　5π6解析　g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，(0，32)所以sin θ＝，sin(－2φ＋θ)＝，3232又－<θ<，π2π2所以θ＝，sin ＝.π3(π3－2φ)32又0<φ<π，所以－<－2φ<，5π3π3π3所以－2φ＝－.π34π3即φ＝.5π614．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若3相邻交点距离的最小值为，则f (x )的最小正周期为________．π3答案　π解析　f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ω>0)．3(ωx ＋π6)由2sin ＝1，得sin ＝，(ωx ＋π6)(ωx ＋π6)12∴ωx ＋＝2k π＋或ωx ＋＝2k π＋(k ∈Z )．π6π6π65π6令k ＝0，得ωx 1＋＝，ωx 2＋＝，π6π6π65π6∴x 1＝0，x 2＝.2π3ω由|x 1－x 2|＝，得＝，∴ω＝2.π32π3ωπ3故f (x )的最小正周期T ＝＝π.2π215．已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝对称．该函数的部分13图象如图所示，AC ＝BC ＝，C ＝90°，则f的值为________．22(12)答案　34解析　依题意知，△ABC 是直角边长为的等腰直角三角形，22因此其边AB 上的高是，函数f (x )的最小正周期是2，12故M ＝，＝2，ω＝π，f (x )＝sin(πx ＋φ)．122πω12又f (x )的图象关于直线x ＝对称，13∴f＝sin ＝±.(13)12(π3＋φ)12∴＋φ＝k π＋，k ∈Z ，又0<φ<π，π3π2∴φ＝，π6∴f＝sin ＝.(12)12(π2＋π6)3416．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x12(A >0，0<φ<π2)＝对称，若存在x ∈，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为______________．π12[0，π2]答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)解析　∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象在y 轴上的截距为1，12(A >0，0<φ<π2)∴A sin φ－＝1，即A sin φ＝.1232∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－的图象关于直线x ＝对称，12π12∴2×＋φ＝k π＋，k ∈Z ，π12π2又0<φ<，∴φ＝，∴A ·sin ＝，π2π3π332∴A ＝，∴f (x )＝sin －.33(2x ＋π3)12当x ∈时，2x ＋∈，[0，π2]π3[π3，4π3]∴当2x ＋＝，即x ＝时，π34π3π2f (x )min ＝－－＝－2.3212令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。

第四章 三角函数, 第20课 弧度制与任意角的三角函数)激活思维1. (必修4P 15练习6改编)若sin α<0，cos α<0，则 α是第______象限角．2. (必修4P 10习题10改编)将表的分针拨快10 min ，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．3. (必修4P 14例1改编)已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－45，35，那么tan α＝________．4. (必修4P 10习题8改编)已知某扇形的半径为10，面积为50π3，那么该扇形的圆心角为________．5. (必修4P 14例1改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．知识梳理1. 角的概念的推广(1) 正角、负角和零角：一条射线绕顶点按________方向旋转所形成的角叫作正角，按________方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作________．(2) 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3) 终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为______________．2. 角的度量(1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角．(2) 弧度制与角度制的关系：1°＝________弧度(用分数表示)，1弧度＝________度(用分数表示)．(3) 弧长公式：l ＝________． (4) 扇形面积公式：S ＝12rl ＝12|α|r 2.3. 任意角的三角函数的定义设角α的终边上任意一点的坐标为P(x ，y)(除原点)，点P 到坐标原点的距离为r(r ＝x 2＋y 2)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． 4. 三角函数的定义域在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是________、________、________．5. 三角函数的符号规律第一象限全“＋”，第二象限正弦“＋”，第三象限正切“＋”，第四象限余弦“＋”．简称：一全、二正、三切、四余．6. 三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.有向线段________为正弦线；有向线段________为余弦线；有向线段________为正切线.课堂导学_象限角的表示(1) 若角θ的终边与120°角的终边重合，则θ2是第几象限角？(2) 若角θ是第三象限角，判定2θ，θ2是第几象限角．(1) 已知α＝π3，若角β与角α的终边相同，则β2是第几象限的角？(2) 已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？已知α＝30°，β＝60°，γ＝300°，OA，OB，OC分别是角α，β，γ的终边．(1) 分别写出两图中阴影部分(含边界)的所有角的集合；(2) 写出图(2)中阴影部分在[0°，360°]上的所有角的集合．图(1)图(2)(例2)用弧度表示顶点在原点、始边重合于x轴的正半轴、终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．图(1)图(2)(变式)_任意角的三角函数的定义已知90°<α<180°，角α的终边上一点为P(x, 5)(x≠0)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值．已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．扇形的基本运算已知扇形AOB的周长为8.(1) 若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？课堂评价1.若sinα＜0且tanα＞0，则α是第________象限角．2.已知角α的终边在如图所示的阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．(第2题)3. 若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α·tan α的值是________． 4. 已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．5. 已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6. (1) 求AB ︵的长；(2) 求扇形所含弓形的面积．, 第21课 同角三角函数间基本关系式)激活思维1. (必修4P 16例1改编)已知cos α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，那么tan α＝________． 2. (必修4P 18练习4改编)已知tan α＝3，且α为第三象限角，那么sin α＝__________． 3. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝1，那么2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．4. (必修4P 18练习5改编)化简：2cos 2α－11－2sin 2α＝________．5. (必修4P 23习题20改编)已知sin α＋cos α＝15(0<α<π)，那么tan α＝________．知识梳理1.2. 三个注意(1) 同角三角函数间的基本关系式的前提是“同角”； (2) tan α＝sin αcos α是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义； (3) 利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在的象限确定符号，即要就角所在的象限进行分类讨论.课堂导学利用同角三角函数关系求值(1) 已知sin θ＝a(a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ，tan θ. (2) 已知3sin α＝－cos α，求2sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋sin αcos α的值．【高频考点·题组强化】1. 若cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α＝________．2. 若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ＝________．3. 已知tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，那么sin x ＝________． 4. 已知tan x ＝2.(1) 求sin x －cos xsin x ＋cos x的值；(2) 求2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x 的值．利用同角三角函数关系化简、证明求证：cos x1－sin x＝1＋sin x cos x .化简：1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°.化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°.sinθ±cosθ及sinθ__cosθ__的关系问题已知0<θ<π，且sinθ＋cosθ＝－15，求tanθ的值．已知sinαcosα＝38，且π4＜α＜π2，那么cosα－sinα的值为________．课堂评价1. 已知cosθ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tanθ＝________．2.已知2tanα·sinα＝3，且－π2<α<0，则sinα＝________．3. (2017·泰兴中学)已知α为锐角，且sinα＋2cosα＝102，则tanα＝________．4.已知sinα＋cosα＝13，其中0＜α＜π，求sinα－cosα的值．5.求证：sinα1－cosα＝1＋cosαsinα.,第22课三角函数的诱导公式激活思维1. (必修4P 19例1改编)计算：tan 300°＋2sin 450°·cos (－120°) 的值为________．2. (必修4P 23习题11改编)已知tan (π＋θ)＝2，那么sin θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝________．3. (必修4P 20练习3改编)化简：sin 2(π＋α)－cos (π＋α)·cos (－α)＋1＝________．4. (必修4P 21例4改编)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值为________． 5. (必修4P 23习题17改编)已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝a ，那么sin (5π6－x)－sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＋1＝________． 知识梳理1. 诱导公式诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限．2. 运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1) 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值； (2) 把求0°～360°角的三角函数值转化为求0°～90°角的三角函数值； (3) 求0°～90°角的三角函数值．课堂导学_利用诱导公式进行化简求值化简：(1) 1＋2sin 280°·cos 440°sin 260°＋cos 800°；(2) sin [α＋（2n ＋1）π]＋2sin [α－（2n ＋1）π]sin （α－2n π）cos （2n π－α）(n ∈Z )．化简下列各式：(1) cos （α＋4π）sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π2cos 2⎝⎛⎭⎫9π2－αtan （α＋π）cos 3（－α－π）.(2) cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )．含相同变量的复合角与诱导公式的运用已知cos (75°＋α)＝13，且α是第三象限角，求cos (15°－α)＋sin (α－15°)的值．已知cos (α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求cos (105°＋α)＋tan (75°－α)的值．课堂评价1. 已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，那么cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________．2. 若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．(填序号) ①cos (A ＋B)＝cos C ； ②sin (A ＋B)＝－sin C ； ③cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋C ＝cos B; ④sin B ＋C 2＝cos A2.3. 化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°＝________．4. (2018·泰兴中学)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，那么sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________．5. 已知π6<α<2π3，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝m(m ≠0)，求tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值． 第23课 两角和与差的三角函数激活思维1. (必修4P 115练习1改编)计算：tan 105°＝________．2. (必修4P 109习题4改编)计算：sin 75°·cos 30°－sin 15°·sin 150°＝________．3. (必修4P 108例1改编)已知sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，那么sin (α＋β)＝________．4. (必修4 P 118习题5改编)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，那么tan (α＋β)＝________． 5. (必修4P 112第5题改编)函数y ＝15sin x ＋5cos x 的最大值为________．知识梳理1. 两角和(差)的三角函数公式 (1) sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2) cos (α±β)＝__________________； (3) tan (α±β)＝__________________．2. 注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用 a sin x ＋b cos x ＝________________．3. 注意几种常见的角的变换(1) α＝(α＋β)－________＝(α－β)＋________； (2) 2α＝(α＋β)＋________； (3) 2α＝(α＋β)－________； (4) 2α＋β＝α＋________.课堂导学利用两角和(差)公式进行化简、求值已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值．求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.(1) 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，那么cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________．(2) 计算：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°＝________．_给值求角(1) 已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，则α－β＝________．(2) 已知cos α＝17，cos (α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，则β＝________．已知cos (α－β)＝－45，sin (α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，则β＝________．__目标角与已知角之间的变换若α，β均为锐角，且sin α＝35，tan (α－β)＝－13.(1) 求sin (α－β)的值； (2) 求cos β的值．【高频考点·题组强化】 1. 若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin (α＋β)＝35，则cos β＝________．2. 已知tan (α＋β)＝25，tan β＝13，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．3. 设α∈(0°，90°)，若sin (75°＋2α)＝－35，则sin (15°＋α)·sin (75°－α)＝________．课堂评价1. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________．2. (2018·南京、盐城一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)·(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．3. 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．4. 已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________．5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别为210，255. (1) 求tan (α＋β)的值； (2) 求α＋2β的值．(第5题), 第24课 二倍角的正弦、余弦与正切激活思维1. (必修4P 119例1改编)已知cos α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，那么sin 2α＝________． 2. (必修4P 120练习2改编)若sin α＝35，则cos 2α＝________．3. (必修4P 123习题5改编)已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝33，那么cos 2α＝________．4. (必修4P 123练习4改编)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最大值为________． 5. (必修4P 122练习5改编)化简：11＋tan θ－11－tan θ＝________．知识梳理1. 二倍角公式(1) 二倍角的正弦：sin 2α＝________． (2) 二倍角的余弦：cos 2α＝________． (3) 二倍角的正切：tan 2α＝________．注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠________，且α≠________(k ∈Z )．②“倍角”的意义是相对的，如4α是________的二倍角，α是________的二倍角． 2. 二倍角的余弦公式的几个变形公式 (1) 升幂公式：1＋cos 2α＝________， 1－cos 2α＝________．(2) 降幂公式：cos 2α＝________，sin 2α＝________．课堂导学_二倍角公式的直接应用已知sin α＝1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．(1) 已知sin α2＝33，那么cos α＝________．(2) 若α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝________．二倍角公式的逆应用已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，求2sin 2α－1tan α＋tan α－1的值．已知α满足3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103，求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π2的值．_二倍角公式的综合应用求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°.求值：sin 50°（1＋3tan 10°）－cos 20°cos 80°1－cos 20°.课堂评价1. (2018·镇江中学)已知sin α＝－23，则cos (π－2α)＝________．2. (2018·兴化一中)已知sin α＋2cos α＝0，则tan 2α＝_____________3. (2018·新海中学)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝14，则sin 2α的值为________．4. (2018·宿豫中学)已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．5. (2018·盐城中学)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α，角α＋π4的终边经过点P(－2，1)．(1) 求cos α的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．, 第25课 三角恒等变换激活思维1. (必修4P 131复习题16改编)若sin α－3cos α＝m ，则实数m 的最小值为________．2. (必修4P 128练习3改编)已知cos α＝13，且α∈(0，π)，那么sin α2＝________．3. (必修4P 130习题5改编)若tan α＝13，tan (α＋β)＝12，则tan β＝________．4. (必修4P 117习题1改编)化简：tan 95°－tan 35°－3tan 95°tan 35°＝________．5. (必修4P 131复习题13改编)若sin α＝m ，cos α＝n ，则tan α2＝________．(用m ，n 表示)知识梳理1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成________的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将________化为________．2. 要注意对“1”的代换，如1＝sin 2α＋________＝________；还有1＋cos α＝________，1－cos α＝________.3. 对于 sin αcos α与sin α±cos α同时存在的试题，可通过换元完成．如设t ＝sin α±cos α，则sin αcos α＝________．4. 常见的“变角”方法有：2α＝(α＋β)＋________；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋________．课堂导学_角的变换已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1) 求sin x 的值；(2) 求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，且－3π2<α<－π2，那么cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝________．名称和结构的变换求证：tan α＋1cos α－1tan α－1cos α＋1＝1＋sin αcos α.求3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°的值．求sin 50°(1＋3tan 10°)的值．_三角恒等变换的综合应用问题提出：利用三角恒等变换将三角函数式化简后研究其图象与性质是高考中的热点，常与三角函数的其他知识(如图象平移变换、最值、单调性、周期性、奇偶性、对称性)相结合命题．题目难度适中，属于中低档题．● 典型示例已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋3sin x cos x(x ∈R )． (1) 求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2) 在△ABC 中，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，求sin B ＋sin C 的取值范围． 【思维导图】【规范解答】(1) f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋3sin x cos x ＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝1.(2) 因为f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1. 因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3，所以sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1， 故sin B ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3.【精要点评】三角恒等变换起到的作用就是将欲求的表达式化简到标准式，从而能够研究其相关的性质．● 总结归纳解答与三角函数的图象及性质相结合的综合问题，主要从以下四个方面来考虑：(1) 利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式；(2) 利用公式T ＝2πω(ω>0)求周期； (3) 根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值； (4) 根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．● 题组强化1. 函数y ＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的最小正周期是________． 2. 函数f(x)＝cos 2x 2－sin x 2·cos x 2－12的值域为________．3. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α＝________．4. 函数f(x)＝(3sin x －4cos x)·|cos x|的最大值为________．5. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. (1) 求f(x)的零点； (2) 求f(x)的最大值．课堂评价1. (2018·泰州中学)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝________．2. (2018·扬州中学)计算：sin π12cos 5π12＝________．3. 计算：sin 65°－sin 35°cos 30°cos 35°＝________．4. (2018·苏州一中)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，则tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝________．5. (2018·如皋中学)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，sin (α＋β)＝79. (1) 求tan β2的值；(2) 求sin α的值．, 第26课 三角函数的图象和性质激活思维1. (必修4P 37例1改编)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调增区间为______________．2. (必修4P 33例4改编)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的定义域为______________．3. (必修4P 32练习6改编)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调增区间为________．4. (必修4P 32习题5改编)函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域为________．5. (必修4P 30例2改编)设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m＝________．知识梳理课堂导学_三角函数的定义域与值域(1) 函数y ＝1－2cos x ＋lg (2sin x －1)的定义域为________．(2) 函数y ＝sin x －2sin x －1的值域为________．(1) 函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．(2) 函数y ＝2cos x ＋12cos x －1的值域为________．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为________．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．_三角函数的单调性与奇偶性(1) 已知ω是正实数，函数f(x)＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，则ω的取值范围为________．(2) 已知函数f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(1) 已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数，则ω的取值范围为________．(2) 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3是偶函数，则φ的值为________．三角函数性质的综合应用(2018·苏州期末)已知函数f(x)＝(3cos x ＋sin x)2－23sin 2x.(1) 求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x 的取值集合； (2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，求函数f(x)的单调增区间．【高频考点·题组强化】1. (2018·扬州中学)已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间为[a ，b]，则实数a ＋b ＝________．2. (2018·福州质检)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为________．3. (2018·天一中学)已知定义在R 上的函数f (x )满足当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x .给出以下结论：①f (x )是周期函数；②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；④当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0；⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.其中正确的结论是________．(填序号)4. (2018·苏州大学指导卷1)已知函数f(x)＝cos 2x （sin x ＋cos x ）cos x －sin x.(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 求函数f(x)的单调增区间．课堂评价1. (2018·东台中学)函数f(x)＝sin x ＋3cos x ，x ∈[0，π]的单调减区间为________．2. (2018·扬州考前调研)若将函数f(x)＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位长度所得到的图象关于原点对称，则φ＝________．3. (2018·阜宁中学)已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调增区间为________．4. (2018·南京、盐城一模)若函数y ＝sin ωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________．5. (2018·江苏考前热身卷)已知函数f(x)＝sin 2x cos 3π5－cos 2x sin 3π5. (1) 求f(x)的最小正周期和对称轴的方程； (2) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值．, 第27课 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象激活思维1. (必修4P 40练习5改编)函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的振幅为________，周期为________，初相为________．2. (必修4P 39练习2改编)函数y ＝3sin 2x 的图象向________平移________个单位长度，可得到函数y ＝3sin (2x －π5)的图象．(只需填写一组正确的答案即可)3. (必修4P 40练习4改编)要得到函数y ＝cos (2x ＋1)的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象至少向左平移________个单位长度即可．4. (必修4P 37例1改编)要得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，可将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上___________________________．(第5题)5. (必修4P 48练习13改编)已知简谐运动f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(|φ|<π2)的部分图象如图所示，那么该简谐运动的最小正周期和初相φ分别为________．知识梳理1. 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象(1) 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象的步骤：①列表；②描点；③连线． (2) 用“变换法”由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象的规律：①由函数y ＝sin x 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得到函数__________的图象；纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数______________的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数____________的图象．②由函数y ＝sin x 的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数__________的图象；向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，得到函数__________的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数__________的图象．2. 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质 振幅：A ；周期：T ＝2πω；频率：f ＝1T；相位：ωx ＋φ；初相：x ＝0时的相位，即φ.课堂导学y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1) 求此函数的振幅、周期、初相；(2) 用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象；(3) 说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. (1) 用“五点法”作出函数的图象；(2) 说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到的； (3) 求此函数的周期、振幅、初相；(4) 求此函数的对称轴、对称中心和单调增区间．根据图象求解析式如图为y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分． (1) 求y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式；(2) 若将y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度后得到y ＝f(x)的图象，求y＝f(x)图象的对称轴方程．(例2)已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)图象上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2，2，由此点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，且φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1) 求y ＝A sin (ωx ＋φ)的函数解析式；(2) 写出该函数的单调区间．_与y ＝A sin(ωx ＋φ)有关的综合问题已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．【高频考点·题组强化】1. (2018·苏北四市期末)若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．2. (2018·前黄中学)已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为________．3. (2018·常州期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________．(第3题)4. (2018·滨海中学)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x. (1) 求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2) 将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．课堂评价1. (2018·镇江期末)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象两相邻对称轴的距离为________． 2. (2018·苏州暑假测试)将函数y ＝sin (2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数y ＝f(x)的图象过原点，则φ的值是________．3. (2018·南京学情调研)若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(－π)的值为________．(第3题)4. (2018·无锡期末)将函数y ＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象重合，则φ＝________． 5. (2018·南京、盐城、连云港二模)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴． (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．(第5题), 第28课 三角函数模型及其应用激活思维(第1题)1. (必修4P 41例1改编)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s(单位：cm )和时间t(单位：s )的函数关系式为s ＝6sin (2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．2. (必修4P 45习题10改编)设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin (160πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg )，t 为时间(单位：min )，则此人每分钟心跳的次数是________．3. (必修4P 45习题9改编)电流I(单位：A )随时间t(单位：s )变化的关系是I ＝10sin (100π·t)＋10(t ∈[0，0.01])，则当电流强度为15 A 时，t ＝________s .4. (必修4P 42例1改编)如图显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位：m )在某天24小时的变化情况，则水面高度h 关于从夜间0时开始的时刻t 的函数关系式为__________．(第4题)知识梳理1. 建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤 (1) 阅读理解，审清题意；(2) 创设变量，构建模型； (3) 计算推理，解决模型；(4) 结合实际，检验作答．2. 三角函数模型在解决物理、测量、航海问题中应用非常广泛.课堂导学_与三角函数模型有关的应用问题弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(单位：s )内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(单位：cm )满足函数关系h ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π4.(1) 以t 为横轴，h 为纵轴，作出函数的图象(0≤t ≤π)； (2) 求小球开始振动的位置；(3) 求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的位置； (4) 经过多长时间，小球往返振动一次？ (5) 每秒钟内小球能往返振动多少次？如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面之间的距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB.设点B 与地面距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式；(2) 设从OA 开始转动，经过t s 到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式．(例2)(2018·姜堰、泗洪联合调研)设动点P(x ，y)在圆上绕原点O 沿逆时针方向匀速旋转，12s 旋转一周．设转动时间为t s ，点Q(m ，n)在以P 为圆心，1为半径的圆上，且OP ⊥PQ ，其中O ，P ，Q 按逆时针顺序排列．(1) 若时间t ＝0时点P 的位置为(1，0)，求点Q 的坐标；(2) 设转动时间为t(单位：s )，若时间t ＝0时点P 的位置为⎝⎛⎭⎫12，32，求当0≤t ≤12时动点P的纵坐标y 关于t(单位：s )的函数关系式及y ＋n 的最大值．(变式)运用三角知识解决实际问题如图，某学校有一个边长为40m的正方形地块ABCD，在以顶点A，C为圆心，10m 为半径的四分之一圆内都种植了花卉，现欲在中间规划一块四边形EFGH地块作为草坪，E，F，G，H四点在相应的边上，其中边界EH，GF与相应的四分之一圆分别相切于点P，Q，且EH∥GF，地块其余部分留作它用．记∠PAE＝θ，草坪EFGH的面积为S.(1) 请把S表示成关于θ的函数关系式；(2) 求S的最小值．(例3)如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2.现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC.(1) 设∠MOD＝30°，求铁皮三角形PMN的面积；(2) 求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值．(变式)课堂评价1. (2018·苏州期末)如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________m.(第1题)2.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE，H是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20m，AD＝10 3 m，记∠BHE＝θ.(1) 试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；(2) 若sinθ＋cosθ＝2，求此时管道的长度L；(3) 问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．(第2题)高考总复习一轮复习导学案数学文科学生用书详解详析第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算激活思维1. {1，2}【解析】因为x2－3x＋2＝0，所以x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．2. 7【解析】因为A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0，1，2}，所以真子集有7个．3. {0，1}【解析】由题意知A∩B＝{0，1}．4. [4，＋∞)【解析】在数轴上画出集合A，B，根据图象可知a∈[4，＋∞)．5. 3【解析】因为全集U＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}，所以∁U(A∩B)＝{3，5，8}，所以∁U(A∩B)中的元素共有3个．知识梳理1.(1) 确定的不同的集合元素(2) 确定性互异性无序性(3) 列举法描述法Venn图法(4) N N*N＋Z QR C2. (1) ∈∉(2) ⊆〓＝3. (1) 交集A∩B{x|x∈A且x∈B}(2) 并集A∪B{x|x∈A或x∈B}(3) 补集∁S A {x|x∈S且x∉A}课堂导学例1【思维引导】由分析数字1是集合B中的某个元素入手．【答案】1【解析】由题意可得1∈B，又a2＋3≥3，故a＝1，此时B＝{1，4}，符合题意．【精要点评】关于集合交集、并集、补集的基本运算是江苏高考中常见的考查题型，属于简单问题的处理．集合的基本运算中还可能涉及到元素与集合、集合与集合之间的基本运算等知识点．高频考点·题组强化1. {1，8}【解答】因为A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，所以A∩B＝{1，8}．2. {－3，－2，2}【解答】因为A＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3，2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，所以A∪B＝{－3，－2，2}．3. {1，3，5}【解析】由A∩B＝{3}，得a＋2＝3，所以a＝1，所以A∪B＝{1，3，5}．4. {－1}【解析】因为A＝{－1，1}，所以A∩B＝{－1}．5.{x|－1≤x≤2}【解答】解不等式x2－x－2>0，得x<－1或x>2，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}．例2【思维引导】认清集合元素的属性(是点集)，根据x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z判断出集合A中的元素是圆x2＋y2＝3及其内部的整数点．【答案】9【解析】由题知集合A中的元素是圆x2＋y2＝3及其内部的整数点，有(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)，(1，1)，(1，－1)，(－1，1)，(－1，－1)，(0，0)，共9个．【精要点评】与集合中元素有关问题的求解策略：(1) 确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集；(2) 看这些元素满足什么限制条件；(3) 根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．变式 【答案】(1) 9 (2) －32【解析】(1) 集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．(2) 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.例3 【思维引导】(1) 对于B ⊆A ，一定要分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．(2) “不存在元素x 使得x ∈A 与x ∈B 同时成立”表示A ∩B ＝∅.【解答】(1) ①当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； ②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2 时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3. 综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤3}．(2) 因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，不存在元素x 使得x ∈A 与x ∈B 同时成立，即A ∩B ＝∅.①若B ＝∅，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，此时满足条件；②若B ≠∅，则需满足的条件有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m ＞4.综上，实数m 的取值范围为{m |m <2或m >4}．【精要点评】(1) 空集是任何集合的子集，因此，当 B ⊆A 时需考虑 B ＝∅的情形；(2) 当A ∩B ＝∅时也需考虑B ＝∅的情形，当集合B 不是空集时，要保证B ⊆A ，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3) 虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况进行讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此，本题综合性还是很强的．变式1 【答案】(－∞，－1] 【解析】因为B ⊆(A ∩B)，所以B ⊆A.①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32.②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a<a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]．变式2 【解答】(1) 由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1，5]． 由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)，所以M ＝[3，5]． (2) 因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2.故实数a 的取值范围为(－∞，2]．课堂评价 1. {－2，0，3} 2. {－1，0}3. [－2，2] 【解析】由已知可得∁U A ＝[－2，2]．4. {1，3} 【解析】因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}．5. (－∞，1] 【解析】当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A.当m>0时，因为A ＝{x|－1<x<3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m<m ，解得0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．(第5题)第2课 四种命题和充要条件激活思维1. 若ab ≠0，则a ≠0 【解析】命题的条件是p ：a ＝0，结论是q ：ab ＝0.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：ab ≠0，非p ：a ≠0，所以该命题的逆否命题是“若ab ≠0，则a ≠0”．2. 2 【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x 2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假．3. (1) 真 (2) 假4. 必要不充分5. m ＝－2 【解析】若函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.知识梳理1. 若非p 则非q 若q 则p 若非q 则非p 逆否命题 否命题2. 充分 必要 非充分 非必要3. (1) 充分不必要 (2) 必要不充分 (3) 充要 (4) 既不充分也不必要4. 充分性 必要性 课堂导学例1 【思维引导】原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假． 【答案】①③【解析】①显然正确；②原命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a ＋b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确．【精要点评】对命题真假的判断，真命题要加以论证；假命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式．在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系，要注意四种命题之间的真假关系，原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．因此，四种命题中真命题的个数只能是0，2或4.判断命题真假的2种方法：。

§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考情考向分析考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为填空题，低档难度．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.(×)(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×)(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.(×)题组二教材改编2．[P18T3]若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝. 答案－12解析∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin2α＝－255， ∴tan α＝sin αcos α＝－12. 3．[P22T1]已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为． 答案3解析原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. 4．[P22T4]化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为． 答案－sin 2α 解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为． 答案－23 解析∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝.答案－35解析∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin α＝45，且α为锐角， ∴cos α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 7．已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为． 答案612解析∵－π2<α<0， ∴sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－256，∴tan α＝－26. 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α＝－sin αtan α·cos α·tan α＝－1tan α＝126＝612.题型一同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝. 答案－125解析因为α是第四象限角，sin α＝－1213， 所以cos α＝1－sin2α＝513， 故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝. 答案6425解析tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tan α1＋tan2α＝6425.3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为．答案－3解析由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0， 故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝.答案－1解析由⎩⎨⎧ sin α－cos α＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sin α，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4， ∴tan α＝tan 3π4＝－1. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.题型二诱导公式的应用 例1(1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是． 答案{2，－2}解析当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； 当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. ∴A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝. 答案－1解析原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.跟踪训练1(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝. 答案32解析由已知得tan θ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ ＝－31－tan θ＝32. (2)已知f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝. 答案3解析∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝3. 题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是． 答案31010解析由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，sin 2α＋cos 2α＝1，故sin α＝31010. (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值；②求sin2x ＋2sin2x 1－tanx的值． 解①由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425. ∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75. ②sin2x ＋2sin2x 1－tanx ＝2sinx (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sinxcosx (cos x ＋sin x )cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175. 引申探究本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值．解若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425， ∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练2(1)(2018·南京模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－22，则sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝.答案23解析由tan2θ＝－22可得tan2θ＝2tan θ1－tan2θ＝－22， 即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝2或tan θ＝－22. 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝2，故sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝(2)2＋2－2(2)2＋1＝23. (2)已知sin α＝255，则tan(π＋α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝. 答案52或－52解析∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角， tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α ＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52； ②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝. 答案－513解析因为tan α＝－512， 所以sin αcos α＝－512， 所以cos α＝－125sin α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝±513， 又α是第四象限角，所以sin α＝－513. 2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝. 答案－45解析tan(α－π)＝tan α＝34， 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，解得cos α＝±45. 又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2， 所以cos α＝－45， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．满足等式cos2x －1＝3cos x (x ∈[0，π])的x 的值为．答案2π3解析由题意可得，2cos 2x －3cos x －2＝0，解得cos x ＝－12或cos x ＝2(舍去)．又x ∈[0，π]，故x ＝2π3.4．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是． 答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 5．(2019·江苏省扬州中学月考)设函数f (x )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝. 答案12解析∵函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝0＋12－12＋12＝12. 6．设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝. 答案2解析∵tan α＝3，∴原式＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2. 7．(2018·如东高级中学阶段测试)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝. 答案2解析∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，∴tan θ＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝2tan θ－1＝2. 8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝. 答案sin θ－cos θ解析因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.9．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝. 答案－3解析 由题意可知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则(sin x ＋cos x )2＝4－234， 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1， 所以2sin x cos x ＝－32，即2sin xcos x sin2x ＋cos2x ＝2tan x tan2x ＋1＝－32，得tan x ＝－33或tan x ＝－3. 当tan x ＝－33时，sin x ＋cos x <0，不合题意，舍去，所以tan x ＝－3. 10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为． 答案59解析由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59. 11．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为． 答案5－95解析因为cos α－sin α＝－55，①所以1－2sin αcos α＝15， 即2sin αcos α＝45. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95. 又0<α<π2， 所以sin α＋cos α>0.所以sin α＋cos α＝355.② 由①②得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2， 所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝5－95. 12．已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝. 答案－1解析当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α ＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α) ＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.13．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为．答案1－5解析由题意知方程的两根为－m ±m2－4m 4，∴sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m24＝1＋m 2， 解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－5.14．已知A ，B 为△ABC 的两个内角，若sin(2π＋A )＝－2·sin(2π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则B ＝.答案π6解析由已知得⎩⎨⎧ sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，化简得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. 当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A ，B 是三角形内角，∴B ＝π6； 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32， 又A ，B 是三角形内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意，舍去， 综上可知B ＝π6.15．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β.3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，求α，β. 解由已知可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②∴sin 2α＋3cos 2α＝2，∴sin 2α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＝22，α＝π4. 将α＝π4代入①中得sin β＝12，又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π6， 综上α＝π4，β＝π6. 16．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝1.求cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＋cos β－1的取值范围． 解由已知得cos β＝1－sin α.∵－1≤cos β≤1，∴－1≤1－sin α≤1，又－1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＋cos β－1 ＝sin 2α＋1－sin α－1＝sin 2α－sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α－122－14.(*) 又0≤sin α≤1，∴当sin α＝12时，(*)式取得最小值－14， 当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.。

§4.3 三角函数的图象与性质考情考向分析 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有填空题，又有解答题，中档难度．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )题组二 教材改编2．[P44T1]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 答案 π3．[P45T4]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．[P33例4]函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－k 2π－π8，k ∈Z题组三 易错自纠5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象的对称中心是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z 解析 由12x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－π3，k ∈Z ，所以对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z . 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是______________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )． 7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________________． 答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一 三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是____________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z )解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )．2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z .思维升华 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二 三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 答案 2－ 3解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min ＝2－ 3.(2)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0,1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，当t ＝32时，y max ＝1，即f (x )的最大值是1. 思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是______． 答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)(2018·苏州质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型三 三角函数的周期性与对称性例2 (1)(2019·盐城模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________. 答案 π2解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)， 由周期计算公式，可得T ＝2πω＝4，解得ω＝π2. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx －ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝________. 答案 12解析 ∵T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝sin ()2x －2π＝sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π6＝12. (3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)，ω>0,0<φ<π为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫－π8的值为________． 答案2解析 因为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6为偶函数， 所以φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，可得φ＝2π3，根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，可得12·2πw ＝π2，所以w ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos π4＝ 2. 思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练 2 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的对称中心是________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫2k π－23π，0，k ∈Z 解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )． (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ＝______________. 答案 k π－54π，k ∈Z解析 由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－54π，k ∈Z .题型四 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3 (1)若点P (1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，则函数y ＝3cos(x ＋φ)，x ∈[0，π]的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，π解析 因为点P (1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上， 所以tan φ＝－1，φ＝－π4，即函数为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令0<x －π4<π，且0≤x ≤π，解得π4≤x ≤π.(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )． (3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6.命题点2 根据单调性求参数例4 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是_______． 答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)(2018·盐城模拟)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎤0，a 3和⎣⎡⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例 (1)(2018·连云港市灌南华侨高级中学月考)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为________． 答案1972π 解析 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值， 则4914×T ≤1，即1974×2πω≤1.解得ω≥1972π，所以ω的最小值为1972π.(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )的一个周期为－2π； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称； ③f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6；④f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减． 答案 ①②③解析 ①中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，①正确； ②中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，②正确；③中，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，③正确；④中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，④错误．故正确的结论是①②③.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (4)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是________． 答案 12解析 由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因此f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12. 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 答案 －22解析 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 3．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， 所以只有当－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．4．(2018·江苏泰州中学月考)函数f (x )＝cos x －sin x (x ∈[－π，0])的单调增区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－π，－π4 解析 由已知f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由f ′(x )＝0且x ∈[－π，0]，得x ＝－π4，由f ′(x )的图象(图略)可得， 当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π4时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4，0时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π4. 5．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最小值为________． 答案 －2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1， 令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y min ＝－2.6．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期， 又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.7．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的对称中心是_______． 答案 ⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z ) 解析 函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，∴函数f (x )图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )． 8．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________． 答案6π5解析 由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π， 可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π6>0，则f (x )的单调递减区间是________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析 由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ>0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin 2x . 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； ③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 答案 ④解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确． 11．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明 因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 12．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω>0)，且T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8； 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )， 令k ＝0，得f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8，π2.13．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如1*2=1，则函数f (x )=sin x *cos x 的值域为 .答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可， 设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，此时f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，22，当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，cos x >sin x ，此时f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎡⎭⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－π4，0 解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立， ∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立， ∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2，可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎡⎦⎤－π4，0.15．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上单调递增，若f ⎝⎛⎭⎫π4≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 [0，＋∞)解析 f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ， 由函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上是增函数得 ⎩⎨⎧－π＋2k π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤2k π，k ∈Z ，则2k π－π4≤θ≤2k π＋π3(k ∈Z )．又0≤θ≤π2，∴0≤θ≤π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，又π2≤θ＋π2≤5π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4max ＝0， ∴m ≥0.16．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域． 解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，∴ω＝13，∴函数f (x )的最小正周期为3π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋m ， ∵f (π)＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＋m ＝0， ∴m ＝－2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6－2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6≤1. ∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域为[－3，0].。