2010届《高考风向标》(理科)数学 第九章 解析几何初步

高考解析几何考查趋势及重点热点问题新泰一中 闫辉一、知识要点1、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。

2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质。

了解椭圆的参数方程，了解圆锥曲线的初步应用。

3、轨迹问题。

4、几何问题代数化的思想，曲线与方程的思想，数形结合的思想。

5、韦达定理、弦长公式。

6、平面向量、均值不等式。

二、圆锥曲线内接四边形面积的最值问题近几年高考反复考查圆锥曲线内接四边形面积的最值问题。

例1、（2009年全国卷Ⅱ、理16）已知AC 、BD 为圆O ：4y x 22=+的两条相互垂直的弦，垂足为)2,1(M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 。

1、合情推理、大胆猜测由已知可得四边形ABCD 的面积BD AC 21S ⨯=。

由均值不等式启发，猜想当AC 和BD 一个最大，一个最小或两者相等时有最值。

过圆内一点最大的弦为直径42r =，最小的为垂直于直径的弦，易求得为2，所以S=4； 当AC 和BD 相等时，由于AC 与ＢＤ垂直，ＯＭ为AMB ∠的平分线，045OMA =∠，3OM =，可求得点Ｏ到ＡＣ的距离为23，210234AC 21=-=，得10A C =，同理10B D =，所以Ｓ＝５。

有理由大胆猜测结果是，Ｓ的最大值为５，最小值为４。

2、综合推理、实证结果分析：可利用韦达定理、弦长公式，转化为函数的最值问题，但由于)2,1(M 点的位置不特殊，计算量太大，不易算不下，特别是最小值，很难求出来（不妨自己尝试一下）。

又由于3OM = ，故可采用转换命题法，把M 点的坐标换为)3,0(，四边形ABCD 的面积也不变。

设四边形ＡＢＣＤ的面积为Ｓ，则BD AC 21S ⨯=。

（１）、当ＡＣ和ＢＤ的斜率一者为０，另一者不存在时，可求得，42421S =⨯⨯=。

（２）、当ＡＣ的斜率存在且不为０时，设其斜率为ｋ。

则01kx 32x )k 1(3kx y 4y x 2222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+由弦长公式得22k114k2AC ++=同理可得22k14k 2BD ++=259162k1k 361612kk )14k )(4k (4BDAC41S 222422222=+≤+++=++++=⨯⨯=即.5S 425S 162≤<⇒≤<当且仅当1k ±=时，Ｓ有最大值５综上所述得 5S 4≤≤，四边形PMQN 的面积S 的最小值为4，最大值为5。

十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学真题2008-21 ．（12 分）双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1uuur uuur uuur uuur uuur的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向．AB OB（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4 ，求双曲线的方程．2009-21 ．（12 分）如图，已知抛物线 E : y 2x 与圆 M : ( x 4)2y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求 r 的取值范围：(II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线A 、B 、C 、D 的交点 p 的坐标。

2010-21 (12分 )已知抛物线 C : y 24x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D .（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；uuur uuur8（Ⅱ）设 FAgFBBDK 的内切圆 M 的方程 .，求91 / 132011-20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。

（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。

2012-20 （12 分）设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， AC ， 已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；（1）若BFD90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A, B, F 三点在同一直线m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m, n 距离的比值。

高三上学期理科数学单元测试（3）[新课标人教版]命题范围：导数及其应用（选修2-2第一章）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150 分，考试时间为120 分钟。

2．答第Ⅰ卷前务势必自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束，试题和答题卡一并回收。

3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都一定用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需变动，一定先用橡皮擦洁净，再改涂其余答案。

第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12 个小题，每题 5 分，共60 分）。

1．2(sin x cos x)dx ＝（）A ．0 FB．C．2 D． 42．函数y x ln x 的单一递减区间是（）1 1 1A ．(e , ) B．( ,e) C．(0, e ) D．(e, )23．若函数 f (x) x bx c的图象的极点在第四象限，则函数 f (x) 的图象是（）4．点P 在曲线23 xy x 上挪动，设点P 处切线倾斜角为α，则α的取值范围是（）3A ．[0,] B．[ 0, ) ∪[2 2 34,π) C．[34,π) D．(2,34]3 2 （m 为常数）在[ 2，2] 上有最大值3，那么此函数在[ 2，2] 5．已知 f (x) 2x 6x m上的最小值为（）A． 5 B．11 C．29 D．376．函数xf ( x) ( x 3)e 的单一递加区间是（）A ．( ,2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2, )7．已知函数 f (x)知足f (x) f ( x),且当x ( , ) 时， f (x) x sin x,则（）2 2A ．f (1) f (2) f (3) B．f (2) f (3) f ( 1)C．f (3) f (2) f (1 )D．f (3) f (1) f (2)1m8．设函数 f ( x) x ax 的导函数 f (x) 2x 1，则数列{ }( n N*)f (n)的前n 项和是（）A ．nn 1B．nn21C．nn1D．n 1n9．如右图，暗影部分的面积是（）A ．2 3 B．2 3C．323D．35310．函数f(x) 在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x), 且当x∈(-∞,1)时，(x-1) f ( x) <0,设a=f(0),b=f( 12),c= f(3), 则（）A ．a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜c＜ax 1,( 1 x 0)11．函数f ( x) cos x,(0 x )2的图象与x 轴所围成的关闭图形的面积为（）A ．32B． 1 C． 2 D．123 212．以下图的是函数 f (x) x bx cx d 的大概图象，则2 2x1 x 等于（）2A ．2 3B．4 3C．8 3D．16 3第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共 4 个小题，每题 4 分，共16 分）。

2010年高考真题考点归纳 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线2三、解答题1.（2010上海文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点.（1）若点M 满足1()2A M A Q AB =+，求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为C D 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ += 12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标.解析：(1) (,)22a bM -；(2) 由方程组122221y k x px y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则21210222121022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x p y k x=+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ+=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122bk a k =-，从而得直线l 的方程．1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212bk a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．2.（2010湖南文）19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。

第九编 解析几何 §9.1直线的倾斜角与斜率1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则（ ）A .0°≤α＜180°B .0°≤α＜135°C .0°＜α≤135°D .0°＜α＜135°答案 D2.（2008²全国Ⅰ文，4）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）A .30°B .45°C .60°D .120°答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）A .1B .4C .1或3D .1或4答案 A4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是（ ）A .［0，+∞）B .（-∞，+∞）C .［-1，+∞）D .（-∞,-1）∪［0，+∞）答案 D5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -32例1 若α∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是( )基础自测A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡26ππ，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，65C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡6,0πD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,2ππ 答案 B例2（12分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;2分当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a =-1,5分综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1³2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1³6≠0, 2分∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a4分⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1,5分故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分当a ≠1时，l 1:y =-2ax -3,l 2:y =x a-11-(a +1), 10分 由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ²a-11=-1⇒a =32.12分方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0， 得a +2(a -1)=0⇒a =32. 12分例3 已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为34.1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,22,6ππππB .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,0πD .⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 答案 B2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m+52，它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m+58.（1）由k 1≠k 2,得-43m +≠-m+52，m ≠-7且m ≠-1.∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.（2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠-+-=+-m m mm 584355243，m =-7.∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +²⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-313时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （ ）A.21 B.33 C.23 D.3答案 D一、选择题1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是（ ）A .[)π,0B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ43,4C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 答案 D2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则 （ ）A .α一定是直线l 的倾斜角B .α一定不是直线l 的倾斜角C .α不一定是直线l 的倾斜角D .180°-α一定是直线l 的倾斜角答案 C3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A .[)π,0B .⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0πD .⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,22,4 答案 B4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为（ ）A .21 B .-21 C .-2D .2答案 C5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是（ ）A .31-B .-3C .31D .3答案 A 二、填空题6.（2008²浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+27.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34, 代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m. 由已知-1≤-37+m m≤2, 解得-32≤m ≤21. 10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得： （1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解 （1）由已知1³3≠m (m -2), 即m 2-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当1²（m -2）+m ²3=0，即m =21时，l 1⊥l 2. (3)当21-m =3m ≠m 26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当21-m =3m =m26， 即m =3时，l 1与l 2重合.11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0，∴k AB ²k BC =0≠-1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴xy 3-=0，即y =3.此时AB 与CD 不平行. 故所求点D 的坐标为（3，3）. （2）若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x y 3-，k CD =3-x y. 由于AD ⊥AB ，∴xy 3-²3=-1. 又AB ∥CD ，∴3-x y=3. 解上述两式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,59,518y x此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛59,518,综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭⎫⎝⎛59,518.12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-， ∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33，∴α∈⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.§9.2 直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式1.下列四个命题中真命题是（ ）A .经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示B .经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示C .不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D .经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 答案 B2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（ ）A .2x -y -1=0B .x +y -5=0C .2x +y -7=0D .2y -x -4=0答案 B3.（2008²全国Ⅱ文，3）原点到直线x +2y -5=0的距离为（ ）A .1B .3C .2D .5答案 D4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为( )A .2x +y =0B .x -2y +5=0C .x -2y =0D .x +2 y -5=0答案 A5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .基础自测答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0例1 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+aya x ， ∵l 过点（3，2），∴123=+aa ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32, ∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=32(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43. 又直线经过点A （-1，-3），因此所求直线方程为y +3=-43(x +1), 即3x +4y +15=0.例2 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |²|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112=+ba . （1）∵2ba 12⋅≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥4. 当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24y x +=1,即x +2y -4=0.（2）由a 2+b1=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |²|PB |=22)01()2(-+-a ²22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-+-b a≥)1(4)2(2--b a . 当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |²|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫⎝⎛-k 12（1-2k ）² ²=21³⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0. （2）|PA |²|PB |=22441)1(k k ++=84422++k k≥4,当且仅当24k =4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1. 10分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.12分方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0,²两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ① 6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-52121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.12分例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⋅--122110000x x y y xx yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x ,代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2³(y -1)+3, 整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y =0.1.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程. 解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-52，此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-21， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=43. 于是tan2α=ααsin cos 1-=3153541=-, tan2α=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=31(x-8),即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724(x -8), 即24x -7y -150=0.2.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24b a ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1, 即2x +3y -12=0.方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k .∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3). 即2x +3y -12=0.3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -21=0, ∴l 1与l 2的距离d =1057)1(2)21(22=-+--a ,∴521+a =1057,∴21+a =27, ∵a ＞0,∴a =3.(2)假设存在这样的P 点.设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，且53-C =52121+C ，即C =213或C =611， ∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53200+-y x =52³2100-+y x ，即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-042021320000y x y x ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,300y x (舍去).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,042,061120000y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==18379100y x ∴假设成立，P ⎪⎭⎫⎝⎛1837,91即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由⎩⎨⎧=+-=+-.0723,052y x y x得⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴反射点M 的坐标为（-1,2）.又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点'P (x 0,y 0)，由'PP ⊥l 可知,k PP ′=-32=500+x y.而'PP 的中点Q 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,2500y x ,Q 点在l 上，∴3²250-x -2²20y+7=0. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.1332,131700y x根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),则3200-=--xx y y , 又'PP 的中点Q ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在l 上， ∴3³20x x +-2³20y y ++7=0,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⨯-=--07)(23320000y y x x x x y y可得P 点的坐标为 x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ，代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、选择题1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N +，b ∈N +，则可作出的l 的条数为（ ）A .1B .2C .3D .4答案 B2.已知直线l 1的方向向量为a =(1,3),直线l 2的方向向量为b =(-1,k ),若直线l 2过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是（ ） A .x +3y -5=0 B .x +3y -15=0 C .x -3y +5=0D .x -3y +15=0答案 B3.若直线l 与两直线y =1,x -y -7=0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，-1），则直线l 的斜率是（ ）A .32-B .32 C .-23 D .23 答案 A4.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是（ ）A .x +2y -1=0B .2x +y -1=0C .2x +y -3=0D .x+2y -3=0答案 D5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）A .x +2y -6=0B .2x +y -6=0C . x -2y +7=0D .x -2y -7=0答案 B6.点（1，cos θ）到直线x sin θ+y cos θ-1=0的距离是41(0°≤θ≤180°)，那么θ等于 （ ）A .150°B .30°或150°C .30°D .30°或210°答案 B 二、填空题7.设l 1的倾斜角为α，α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为-2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转2π-α角得直线l 3：x +2y -1=0，则l 1的方程为 . 答案 2x -y +8=08.若直线l :y =kx -1与直线x +y -1=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 三、解答题9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4， 由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ²b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0.10.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度.解 （1）设点Q ′(x ′,y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴QQ ′所在直线方程为y -1=1²（x -1） 即x -y =0.由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--21,21.又∵M 为QQ ′的中点，由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+21212121y x.解之得⎩⎨⎧-='-='.2,2y x ∴'Q （-2，-2）.设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线. 则P （2，3），Q ′（-2，-2），得入射方程为 222232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是'QQ 的垂直平分线，因而NQ ='NQ . ∴|PN |+|NQ |=|PN |+'NQ ='PQ =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.11.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程. 解 设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c =0.由⎩⎨⎧=++=+-01022y x y x 得正方形的中心坐标P （-1，0）， 由点P 到两直线l ,l 1的距离相等，则22223113151++-=+--c ,得c =7或c =-5（舍去）.∴l 1：x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴22133++-a =223151+--，得a =9或-3,∴另两条边所在的直线方程为3x -y +9=0,3x -y -3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程. 解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B By y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k k y k k x A A ,由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k k y k k x B B .∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0， ∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32312≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.§9.3 圆的方程基础自测1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是（ ） A .a ＜-2或a ＞32B .-32＜a ＜0 C .-2＜a ＜0D .-2＜a ＜32 答案 D2.圆x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,B .⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0C .⎪⎭⎫⎝⎛-,041D .)41,(-∞答案 A3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是 （ ）A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4D .(x +1)2+(y +1)2=4答案 C4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为（ ）A .(x -2)2+(y +1)2=3 B .(x +2)2+(y -1)2=3 C .(x -2)2+(y +1)2=9D .(x +2)2+(y -1)2=9答案 C5.直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆(x +a )2+(y +b )2=r 2(r ＞0)的圆心位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 B例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为 ( )A .x 2+y 2-2x -3=0B .x 2+y 2+4x =0 C .x 2+y 2+2x -3=0D .x 2+y 2-4x =0答案 D例2 （14分）已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.解 方法一 将x =3-2y , 代入方程x 2+y 2+x -6y +m =0, 得5y 2-20y +12+m =0.4分设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=512m+. 6分∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0. 8分而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2. ∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径r =25.14分方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k 1=2.∴O 1M 的方程为:y -3=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ,即：y =2x +4.由方程组⎩⎨⎧=-++=03242y x x y .解得M 的坐标为（-1，2）.则以PQ 为直径的圆可设为(x +1)2+(y -2)2=r 2. 6分∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2. 在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.∴2121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+(3-2)2+5=44)6(12m --+.∴m =3.∴半径为25,圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21. 14分方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2+y 2+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0. 由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m -3λ=0，即m =3λ. 3分∴圆的方程可化为x 2+y 2+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0 即x 2+(1+λ)x +y 2+2(λ-3)y =0.6分 ∴圆心M ⎪⎭⎫⎝⎛-+-2)3(2,21λλ，7分又圆在PQ 上， ∴-21λ++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3. ∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25.14分例3 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0. （1）求y -x 的最大值和最小值； （2）求x 2+y 2的最大值和最小值.解 （1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时3202=+-b，解得b =-2±6.所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22)00()02(-+-=2，所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43，x 2+y 2的最小值是(2-3)2=7-43.1.（2008²山东文，11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A .(x -3)2+(y -37)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .(x -23)2+(y -1)2=1 答案 B2.已知圆C ：(x -1)2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l 可化为x +y -4+m (2x +y -7)=0,即不论m 取什么实数，它恒过两直线x +y -4=0与2x +y -7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB |最短，由垂径定理得|AB |=222CM r - =2])21()13[(2522-+--=45. 此时，k l =-CMk1,从而k l =-311-=2. ∴l 的方程为y -1=2(x -3),即2x -y =5.3.已知点P （x ，y ）是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x -2y 的最大值和最小值； （3）求12--x y 的最大值和最小值. 解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x +4y +12=0的距离为d =22431204)2(3++⨯+-⨯=56. ∴P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为 d +r =56+1=511，最小值为d -r =56-1=51. （2）设t =x -2y ,则直线x -2y -t =0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点.∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t ≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5. （3）设k =12--x y ， 则直线kx -y -k +2=0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点， ∴1232++-k k ≤1.∴433-≤k ≤433+, ∴k max =433+，k min =433-.一、选择题1.圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为( )A .2B .22C .1D .2答案 D2.两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆（x -1）2+(y -1)2=4的内部，则实数a 的取值范围是( )A .-51＜a ＜1 B .a ＞1或a ＜-51 C .-51≤a ＜1D .a ≥1或a ≤-51 答案 A3.已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是( )A .3+2B .3-2C .6D .4答案 A4.圆心在抛物线y 2=2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )A .x 2+y 2-x -2y -41=0 B .x 2+y 2+x -2y +1=0 C .x 2+y 2-x -2y +1=0D .x 2+y 2-x -2y +41=0 答案 D5.若直线2ax -by +2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的周长，则ba 11+的最小值是 ( )A .41 B .2 C .4 D .21 答案 C6.从原点O 向圆：x 2+y 2-6x +427=0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为 ( )A .32πB .πC .23π D .34π 答案 B 二、填空题7.（2008²四川理，14）已知直线l ：x -y +4=0与圆C ：（x -1）2+（y -1）2=2，则C 上各点到l 距离的最小值为 . 答案 28.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 答案 （x +2)2+223⎪⎭⎫ ⎝⎛-y =425三、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x +3y +1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q (-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：22y x +=22)1()1(-+-y x ，即x +y -1=0.解方程组⎩⎨⎧=++=-+013201y x y x ,得圆心C 的坐标为（4，-3）.又圆的半径r =|OC |=5,所以所求圆的方程为(x -4)2+(y +3)2=25. （2）设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 ①将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎨⎧=---=+-1032024F E D F E D令x =0，由①得y 2+Ey +F =0④由已知|y 1-y 2|=43，其中y 1、y 2是方程④的两根， 所以（y 1-y 2）2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F =48⑤解②、③、⑤组成的方程组得D =-2，E =0，F =-12或D =-10，E =-8，F =4， 故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0.10.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解 将圆方程化为(x -1)2+(y -1)2=1,其圆心为C （1，1），半径r =1,如图， 由于四边形PACB 的面积等于Rt △PAC 面积的2倍，所以S PACB =2³21³|PA |³r =1||2-PC . ∴要使四边形PACB 面积最小,只需|PC |最小.当点P 恰为圆心C 在直线3x +4y +8=0上的正射影时,|PC |最小,由点到直线的距离公式,得 |PC |min =5843++=3, 故四边形PACB 面积的最小值为22.11.已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程;② ③(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). ∵P 点在圆x 2+y 2=4上,∴(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中, |PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连结ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0. 12.已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x -y +10=0上. (1)若动圆C 过点(-5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明 理由.解 (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=25, 其中圆心(a ,b )满足a -b +10=0.又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a )2+(0-b )2=25. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a , 可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a ,故所求圆C 的方程为(x +10)2+y 2=25或(x +5)2+(y -5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d =1110+=52.当r 满足r +5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；当r 满足r +5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切；当r 满足r +5=d ,即r =52-5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.§9.4 直线、圆的位置关系1.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交，则P （a ，b ）（ ）A .在圆上B .在圆外C .在圆内D .以上都有可能答案 B2.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 （ ）A .-3＜a ＜7B .-6＜a ＜4C .-7＜a ＜3D .-21＜a ＜19答案 B3.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为 （ ）A .1B .2C .3D .4答案 B4.若直线y =k (x -2)+4与曲线y =1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A .⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B .),125(+∞C .⎥⎦⎤ ⎝⎛43,21D .)125,0( 答案 A5.(2008²重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0 (a ＜3)相交于两点A ,B ,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 . 答案 x -y +1=0基础自测例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； （2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. （1）证明 配方得：（x -3m ）2+［y -(m -1)］2=25，设圆心为（x ，y ），则⎩⎨⎧-==13m y m x ，消去m 得l ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上. （2）解 设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0， 则圆心到直线l 1的距离为d =10)1(33bm m +--=103b +.∵圆的半径为r =5，∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交； 当d =r ,即b =±510-3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =103b +，弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =33+-b ,根据光的反射定律， 反射光线的斜率k 反=33+b . ∴反射光线所在直线的方程为 y =33+b (x -b ),即3x -(b +3)y -3b =0.∵已知圆x 2+y 2-4x -4y +7=0的圆心为C （2,2），半径为1,∴2)3(932)3(6++-⨯+-b bb =1,解得b 1=-43,b 2=1. ∴k AB =-34或k AB =-43. ∴l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法二 已知圆C ：x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2+(y +2)2=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y -3=k (x +3),则22155kk ++=1,即12k 2+25k +12=0. ∴k 1=-34，k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.方法三 设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--1122332k b k k b k k ,消去b 得11552=++k k . 即12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43. 则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.例3 已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切； （2）圆C 1与圆C 2内含.解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1:(x -m )2+(y +2)2=9;C 2:(x +1)2+(y -m )2=4.（1）如果C 1与C 2外切，则有22)2()1(+++m m =3+2.(m +1)2+(m +2)2=25.m 2+3m -10=0,解得m =-5或m =2.（2）如果C 1与C 2内含，则有22)2()1(+++m m ＜3-2. (m +1)2+(m +2)2＜1,m 2+3m +2＜0, 得-2＜m ＜-1,∴当m =-5或m =2时，圆C 1与圆C 2外切； 当-2＜m ＜-1时，圆C 1与圆C 2内含.例4 （12分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23， 圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2=16， 圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4， 在Rt △ACD 中，可得CD =2.2分设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx , 即kx -y +5=0.由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k =2，得k =43. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0. 4分 又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.6分则y 2-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23,∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意.∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.8分方法二 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为 y -5=kx ,即y =kx +5,联立直线与圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++=024124522y x y x kx y , 消去y 得（1+k 2）x 2+(4-2k )x -11=0 ① 2分设方程①的两根为x 1,x 2,由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x k k x x ② 4分由弦长公式得21k +|x 1-x 2| =]4))[(1(212212x x x x k -++=43, 将②式代入，解得k =43， 此时直线的方程为3x -4y +20=0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x =0. 6分 ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）,8分则CD ⊥PD ，即CD ²=0， 10分（x +2,y -6）²(x ,y -5)=0,化简得所求轨迹方程为 x 2+y 2+2x -11y +30=0. 12分1.m 为何值时，直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2=5. （1）无公共点； （2）截得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直.解 （1）由已知，圆心为O （0，0），半径r =5, 圆心到直线2x -y +m =0的距离d =22)1(2-+m =5m ，∵直线与圆无公共点，∴d ＞r ,即5m ＞5,∴m ＞5或m ＜-5.故当m ＞5或m ＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知r 2-d 2=12，即5-52m =1. 得m =±25,∴当m =±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d =22r ，即225=m ²5, 解得m =±225. 故当m =±225时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2.从圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0外一点P （a ，b ）向圆引切线PT ，T 为切点，且|PT |=|PO | （O 为原点）.求|PT |的最小值及此时P 的坐标.解 已知圆C 的方程为(x -2)2+(y -3)2=1. ∴圆心C 的坐标为（2，3），半径r =1. 如图所示，连结PC ，CT .由平面几何知， |PT|2=|PC|2-|CT |2=(a -2)2+(b -3)2-1.由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|2=|PO|2，即(a -2)2+(b -3)2-1=a 2+b 2. 化简得2a +3b -6=0. 得|PT|2=a 2+b 2=91（13a 2-24a +36）. 当a =1312时， |PT|min =3136131224)1312(132+⨯-⨯=13136. |PT|的最小值为13136，此时点P 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛1318,1312. 3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r , 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r ， 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0的圆心为C （-1，3），则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--r n m n m m n 2222)1()4()2()1(113212, 解得m =3,n =1,r =5,所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=5.方法二 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x -y =0, 所以设所求圆A 的方程为 x 2+y 2+2x -6y +5+λ(2x -y )=0,因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A 的方程， 解得λ=-4,所以所求圆的方程为x 2+y 2-6x -2y +5=0.4.圆x 2+y 2=8内一点P （-1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点. （1）当α=43π时,求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.解 （1）当α=43π时，k AB =-1， 直线AB 的方程为y -2=-（x +1），即x +y -1=0. 故圆心（0，0）到AB 的距离d =2100-+=22， 从而弦长|AB |=2218-=30. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 1+x 2）（x 1-x 2）+（y 1+y 2）（y 1-y 2）=0， 即-2（x 1-x 2）+4（y 1-y 2）=0， ∴k AB =212121=--x x y y .∴直线l 的方程为y -2=21（x +1），即x -2y+5=0.一、选择题1.（2008²辽宁理，3）圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点的充要条件是 （ ）A .k ∈(-2,2)B .k ∈(-∞,-2)∪(2,+∞)C .k ∈(-3,3)D .k ∈(-∞,-3)∪(3,+∞)答案 C2.（2008²重庆理，3）圆O 1：x 2+y 2-2x =0和圆O 2：x 2+y 2-4y =0的位置关系是（ ）A .相离B .相交C .外切D .内切答案 B3.已知圆C ：（x -a ）2+(y -2)2=4 (a ＞0)及直线l :x -y +3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于（ ）A .2B .2-2C .2-1D .2+1。

近三年来各地高考试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。

题目突出主干知识、注重“知识交汇处”命题，强化思想方法、突出创新意识，综合性较强。

从题型来看，选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线和参数方程的基础知识。

解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何的基本知识和向量的基本方法。

解题时谨记“用代数方法研究几何性质”这一学习解析几何的方法灵魂！因此，函数，方程，不等式的相关知识就必须熟练掌握和应用。

在复习过程中这一点值得强化。

本文从2010年考纲的角度，对2010年全国各地解析几何题型和解题方法进行分析，以便同仁对2011年的高考做到心中有数。

一 考查基础知识、基本运算例1:(2010年高考福建卷理科2)以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0解析:因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0，选D。

命题意图:本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

例2:(2010年高考安徽卷理科5)双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为解析:双曲线的a2=1,b2= ,c2= ,c= ,所以右焦点为命题意图:本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c2=a2+b2求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b2=1或b2=2，从而得出错误结论。

二、考查基本方法与基本技能例3:(2010年高考全国卷I理科9)已知F1、F2为双曲线C:.x2-y2=1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60°，则P到x轴的距离为命题意图:本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.解析:不妨设点P(x0,y)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得由余弦定理得cos ,解得x02= ,所以y2=x2-1= ，故P到x轴的距离为三、考查圆锥曲线定义例4:(2010年高考江苏卷试题6)在平面直角坐标系xO y中，双曲线 =1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________解析:考查双曲线的定义。

第九章综合检测 解析几何初步一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分）1. 原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程是（ ）A ．x ＋2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y ＋5＝0D ．2x ＋y ＋3＝0[解析] C ．[221,=∴-=⊥l OP k k l OP ]2. 已知点的集合),,{(z y x A =},0|||||R z a y a x ∈=-+-，则，A ．A 中的每个点到x 轴的距离相等B ．A 中的每个点到y 轴的距离相等C ．A 中的每个点到z 轴的距离相等D ．A 中的每个点到xoy 平面的距离相等 [解析] C ．[点集A 是一条平行于z 轴的直线]3. 若直线02=++m y x 按向量)2,1(--=a 平移后与042:22=-++y x y x C 相切，则实数m 的值等于A 3D -3或-13[解析]D.[052=+++m y x+∴m 5|8|4. (4)2()22=-+y a 及直线l ：3=+-y x ）A ．212+[解析] C[易知圆心12-±= ] 5. 若直线x k y l )1(2:1-=-和直线2l 关于直线1+=x y 对称，那么直线2l 恒过定点 A ．（2，0） B ．（1，－1） C ．（1，1） D ．（－2，0）[解析] C[直线1l 经过定点)2,0(P ，)2,0(P 关于直线1+=x y 的对称点为（1，1），直线2l 恒过定点（1，1）]6. 已知过点)1,1(P 作直线l 与两坐标轴正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l 有A ． 1条B ．2条C ．3条D ．0条[解析]A.[设直线l 的方程为1=+b y a x ,则⎩⎨⎧==+4ab ab b a ,b a ,∴ 是方程0442=+-x x 的根,只有一解2==b a ] 7. 已知半径为1的动圆与圆（x-5）2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A （x-5）2+(y+7)2=25B （x-5）2+(y+7) 2=17 或（x-5）2+(y+7)2=15C （x-5）2+(y+7)2=9D （x-5）2+(y+7) 2=25 或（x-5）2+(y+7)2=9[解析] D[分内切和外切两种情况]；8. 直线0)1()1(=+++y b x a 与圆222=+y x 的位置关系是 ( )A.相离B.相切C.相交或相切D.不能确定[解析] D[圆心O 到直线0)1()1(=+++y b x a 的距离22||b a b a d ++=，ab b a b a 2)()(222=+-+ ； 0=ab 时，||22=++=b a b a d 1<，]二.填空题: （本大题共713～15题是选做题，考生只9. 已知两点(2,0),A B -ABC ∆面积的最大值是 .解析：3+2+=x y ，圆心到直线AB 的距离为223，C 到直线AB 的距面积的最大值是 23+] 10. 点033,06=++=-y x 之间,则a 的取值范围是[解析])6,15(--[直线4=x 与两条平行线033,063=++=-+y x y x 分别交于点)15,4(),6,4(--,615-<<-∴a ]11. 已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ，则直线l的方程是 .[解析] 0156=--y x [依题意得，两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称，故直线l 是线段AB 的垂直平分线，直线l 的方程为0156=--y x ].12. 已知0232=-+y x ，则22y x +的最小值为[解析]134[22y x +的最小值是原点到直线0232=-+y x 的距离的平方，134)132(222==+∴y x ] 13. 一条光线从点)3,2(P 射出，经x 轴反射，与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的方程是 .[解析] 0134=++y x 或0643=++y x[依题意得，点P 关于x 轴的对称点)3,2('-P直线的方程为)2(3-=+x k y ，即032=---k y kx .1=，解得34-=k 或43-=k ，∴反射光线所在直线的)3或)2(433--=+x y ，即0134=++y x 或0643=++y x ] 14. 若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .[解析] }2,0,25,512{--2221=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴1=，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或2}2,025] 15.过点)2,1(P 向圆)5(222<=+r r y x 引两条切线PB PA ,,B A ,为切点,则三角形PAB的外接圆面积为[解析]45π[OA PA ⊥ ,OB PB ⊥,故O 、A 、B 、P 四点共圆，所以三角形PAB 的外接圆就是四边形OAPB 的外接圆，直径为OP=5, 外接圆面积为45π] 三.解答题:16. （华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试）已知与曲线轴分别交相线的直线x l y x y x C 0122:22=+--+、y 轴于)0,(a A 、O b a b B ),2,2(),0(>>两点为原点。

2010-2018年全国新课标卷（ⅠⅡⅢ卷）理科数学试题分类汇编09、解析几何一、选择题与填空题.【2010年新课标卷，12】已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为（ ）（A ）22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22163x y -= （D ）22154x y -=【2010年新课标卷，15】过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .【2011年新课标Ⅰ卷，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A ．2 D ．3【2011年新课标Ⅰ卷，14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ．【2012年新课标Ⅰ卷，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【2012年新课标Ⅰ卷，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【2013年新课标Ⅰ卷，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【2013年新课标Ⅰ卷，10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【2013年新课标Ⅱ卷，11】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x =【2013年新课标Ⅱ卷，12】已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3-D.11[,)32【2014年新课标Ⅰ卷，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A B .3 C D .3m【2014年新课标Ⅰ卷，10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）A .72B .52C .3D .2【2014年新课标Ⅱ卷，6】设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.【2014年新课标Ⅱ卷，10】设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A BC ．6332D ．94【2015年新课标Ⅰ卷，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(D ．( 【2015年新课标Ⅰ卷，14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【2015年新课标Ⅱ卷，7】过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10【2015年新课标Ⅱ卷，11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD 【2016年新课标Ⅰ卷，5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(【2016年新课标Ⅰ卷，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）【2016年新课标Ⅱ卷，4】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2【2016年新课标Ⅱ卷，11】已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）A B ．32C D ．2【2016年新课标Ⅲ卷，11】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12（C ）23（D ）34【2016年新课标Ⅲ卷，16】已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =____________.【2017年新课标Ⅰ卷，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【2017年新课标Ⅰ卷，15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【2017年新课标Ⅱ卷，9】若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 B【2017年新课标Ⅱ卷，16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【2017年新课标Ⅲ卷，5】已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ）A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【2017年新课标Ⅲ卷，10】已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）ABCD ．13【2018年新课标Ⅰ卷，8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【2018年新课标Ⅰ卷，11】已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3 C． D ．4【2018年新课标Ⅱ卷，5】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =【2018年新课标Ⅱ卷，12】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A.23B ．12C ．13D ．14 【2018年新课标Ⅲ卷，6】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP△面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【2018年新课标Ⅲ卷，11】设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP ，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D 【2018年新课标Ⅲ卷，16】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．二、解答题.【2010年新课标卷，20】设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E相较于A,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列.（Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.【2011年新课标卷，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．【2012年新课标卷，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【2013年新课标Ⅰ卷，20】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.【2013年新课标Ⅱ卷,20】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F 的直线0x y +=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.【2014年新课标Ⅰ卷，20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【2014年新课标Ⅱ卷，20】设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .【2015年新课标Ⅰ卷，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N 两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【2015年新课标Ⅱ卷，20】已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【2016年新课标Ⅰ卷，20】设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【2016年新课标Ⅱ卷，20】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .（Ⅰ）当t =4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围.【2016年新课标Ⅲ卷，20】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【2017年新课标Ⅰ卷，20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【2017年新课标Ⅱ卷，20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【2017年新课标Ⅲ卷，20】已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．【2018年新课标Ⅰ卷，19】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【2018年新课标Ⅱ卷，19】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【2018年新课标Ⅲ卷，20】知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．2010-2018年全国新课标卷（ⅠⅡⅢ卷）理科数学试题分类汇编09、解析几何（解析版）一、选择题与填空题.【2010年新课标卷，12】已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为（ ）（A ）22136x y -= （B ） 22145x y -= （C ） 22163x y -= （D ）22154x y -= 【答案】B【解析】设双曲线方程为22222222221,x y b x a y a b a b-=-=即，1122(,),(,)A x y B x y由2222222222221122,b x a y a b b x a y a b -=-=得2212121212()()()0()y y b x x a y y x x -+-+=-AB PN N 又中点（-12，-15），k =k ，2222-12+1504=5b a b a ∴=即，22+9b a =所以224,=5a b =，选B【2010年新课标卷，15】过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 . 【答案】223)2x y -+=（【解析】设圆心(,)O a b ，借助图形可知3a =，又11032b OB b -∴=-=-与切线垂直，即22C (2)2r OB x y =--=圆的方程为【2011年新课标Ⅰ卷，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A．2 D ．3 【答案】B【解析】通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B 【2011年新课标Ⅰ卷，14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ．【答案】221168x y +=【解析】由2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=从而b=8,221168x y ∴+=为所求． 【2012年新课标Ⅰ卷，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2aF Q c =-， 所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ．【2012年新课标Ⅰ卷，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）AB．C ．4D ．8【答案】C【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2013年新课标Ⅰ卷，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【答案】C【解析】选C，∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===，∴a 2＝4b 2，12b a =， ∴渐近线方程为12b y x x a =±=±.【2013年新课标Ⅰ卷，10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D【解析】选D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 【2013年新课标Ⅱ卷，11】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ） A.24y x =或28y x = B.22y x =或28y x = C.24y x =或216y x = D.22y x =或216y x =【答案】C【解析】设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p .又点F 的坐标为(,0)2p，所以以MF 为直径的圆的方程为220525()()224y x y -+-=.将x ＝0，y ＝2代入得2002404y y -+=，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得162(5)2p p =-，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 故选C.【2013年新课标Ⅱ卷，12】已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3-D.11[,)32【答案】B【解析】由题意知b ∈(0, 1)，当直线过点(-1, 0)时，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，直线必须过点11(,)22，此时有-a +b =0且1122a b +=，解得13b =；当a =1时，直线y =ax +b 平行于直线AC ，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，可求此时的1b =.【2014年新课标Ⅰ卷，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）AB .3 CD .3m【答案】A【解析】由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C的一条渐近线的距离d =选A.【2014年新课标Ⅰ卷，10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）A .72B .52C .3D .2【答案】C【解析】选C ，过Q 作QM⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==【2014年新课标Ⅱ卷，6】设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________. 【答案】[1,1]-【解析】由图可知点M 所在直线1y =与圆O 相切，又1ON =，由正弦定理得sin sin ON OMOMN ONM=∠∠，sin OMONM =∠，即OM ONM ∠， ∵0ONM π≤∠≤，∴OM ≤011x -≤≤.【另解】过OA ⊥MN ，垂足为A ，因为在Rt △OMA 中，|OA|≤1，∠OMN =45º，所以||||sin 45OA OM =o||1OM ≤，解得||OM M (x 0, 1)，所以||OM =011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.【2014年新课标Ⅱ卷，10】设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）ABC ．6332D ．94【答案】D【解析】∵3(,0)4F ，∴设直线AB的方程为3)4y x =-，代入抛物线方程得：22190216x x -+=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∴12212x x +=，12916x x ⋅=，由弦长公式得||12AB =，由点到直线的距离公式得：O 到直线AB的距离|0038d -==，∴13912284OABS ∆=⨯⨯=.【另解】直线AB 的方程3)34y x =-代入抛物线方程得：2490y --=，∴12y y +=1294y y ⋅=-，∴139244OAB S ∆=⨯=.【2015年新课标Ⅰ卷，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A ．(33-B ．(66-C ．(33-D ．(,)33- 【答案】A【解析】从120MF MF ⋅<入手考虑，120MF MF ⋅=可得到以12FF 为直径的圆与C 的交点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，1112M F M F -=-12F F =112111201211||22M F F S M F M F y F F ∆=⋅=⋅解得0||3y =，则M 在双曲线的12M M 或34M M 上运动，0y ∈(，故选A ．【2015年新课标Ⅰ卷，14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【答案】22325()24x y -+=【解析】由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-；（方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=.（方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为22325()24x y -+=. 【2015年新课标Ⅱ卷，7】过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10【答案】C【解析】由已知得，，所以k AB k CB =-1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1, -2)，半径为5，所以外接圆方程为(x -1)2+(y +2)2=25，令x =0，得，所以，故选C.【2015年新课标Ⅱ卷，11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM =120º，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |=a ，||MN ，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得a 2= b 2= c 2-a 2，即c 2= 2a 2，所以e = D.【2016年新课标Ⅰ卷，5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(【答案】A【解析】222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．【2016年新课标Ⅰ卷，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,A x，2p D ⎛- ⎝，点(0,A x 在抛物线22y px=上，∴082px =……①；点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ． 【2016年新课标Ⅱ卷，4】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．【2016年新课标Ⅱ卷，11】已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）AB ．32CD ．2【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---． 故选A ．【2016年新课标Ⅲ卷，11】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【2016年新课标Ⅲ卷，16】已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =____________. 【答案】4【2017年新课标Ⅰ卷，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A【解析】【法一】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴，易知 11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴， 同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-，又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+， 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 【法二】依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式知： 2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ； 【2017年新课标Ⅰ卷，15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【解析】【法一】如图，OA a =，AN AM b ==， ∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =，∴tan AP OP θ==，又∵tan b aθ=b a =， 解得223a b =，∴e ===【法二】如上图可知(,0)A a 到渐进线0bx ay -=的距离为abd AP c===， 1,60,cos cos302ab AP AMN a c AN AM b AMN ANb c e∠==∠=∴=====又，e ∴=,2AP FH b ==【法三】如图在等边三角形AMN ∆中由OAP OFH ∆∆知2a a e c b c =⇒==；【法四】如图，由等面积法可得，在三角形OAN 中，132223ab c c b e a =⇒==；bx y a=【法五】因为,AM b OA a ==且渐进线可得三角形OAN 为双曲线三角线（即三边分别为,,a b c ），有几何意义易得30MAP MOA∠=∠=tan ,33b MOA e a ∴∠====；【2017年新课标Ⅱ卷，9】若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2 B【答案】A【解析】解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐=2e =.解法二：设渐进线的方程为ykx ==23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =.【2017年新课标Ⅱ卷，16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．【答案】6【解析】∵ 点M 为线段NF 的中点，∴ 1M x =，∴ 23M MF x =+=，∴ 26NF MF ==．【2017年新课标Ⅲ卷，5】已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ）A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154xy -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a ① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=，故选B. 【2017年新课标Ⅲ卷，10】已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a == A【2018年新课标Ⅰ卷，8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】过点)0,2(-且斜率为32的直线为)2(32+=x y ，① 将直线①代入抛物线方程得862-=y y ，解得⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==44y x ，则()2,1M ，)4,4(N . 因为F 为抛物线焦点，则)0,1(F . 所以)2,0(=FM ，)4,3(=FN . 所以84230=⨯+⨯=⋅FN FM ，故选D.【2018年新课标Ⅰ卷，11】已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B 【解析】由题意，，则，的渐近线方程为9060≠=NOM ，，则，故. 故选B.【2018年新课标Ⅱ卷，5】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）A．y = B．y = C．y = D．y =【答案】A【解析】c e a ==Q 2222221312b c a e a a-∴==-=-=，b a ∴ 因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ．【2018年新课标Ⅱ卷，12】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A.23 B ．12 C ．13D ．14 【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP2tan PAF ∠=，2sin PAF ∴∠=，2cos PAF ∠= 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭， 4a c ∴=，14e =，故选D ．【2018年新课标Ⅲ卷，6】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP△面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48， C． D．⎡⎣【答案】A【解答】由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB ==22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++==P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤d ≤≤1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.【2018年新课标Ⅲ卷，11】设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF OP ，则C 的离心率为（ ）AB ．2 CD【答案】C 【解答】∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =；又因为1|||PF OP ，所以1||6PF a =； 在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt PF F ∆中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅， ∴222222222224)464463322b c bb c a b c a c a b c c+-=⇒+-=⇒-=-⋅223c a ⇒=e ⇒=.【2018年新课标Ⅲ卷，16】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．【答案】2【解答】依题意得，抛物线C 的焦点为(1,0)F ，故可设直线:(1)AB y k x =-，联立2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y 得2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k++=，121x x =，∴12124()2y y k x x k k+=+-=，2121212[()1]4y y k x x x x =-++=-.又11(1,1)MA x y =+-，22(1,1)MB x y =+-，∴1212(1)(1)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=+++--12121212()1()1x x x x y y y y =++++-++2224411410k k k+=++--+=， ∴2k =.二、解答题.【2010年新课标卷，20】设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E相较于A,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列.（Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.Ⅰ)由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+得43AB a =l 的方程为y x c =+，其中c =设1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 两点坐标满足方程组 22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222222()2()0a b x a cx a c b +++-=则212222a c x x a b -+=+，2221222()a cb x x a b =-+因为直线AB 斜率为1，所以12AB x -==得222443ab a a b =+ ∴222a b =∴E的离心率c e a ===（Ⅱ）设AB 中点为00(,)N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+= 由PA PB =得1k =- 0011y x +=- 得3c =∴a =3b =∴轨迹E 的方程为221189x y +=【2011年新课标卷，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值． 解：（I ）设(),M x y ，由已知得(),3B x -，()0,1A -. 所以(),1,MA x y =---，()0,3,MB y =--，(),2AB x =-.再由题意可知()0MA MB AB +⋅=，即()(),4,2,20x y x ---⋅=. 所以曲线C 的方程为2124y x =-. （II ）设()00,P x y 为曲线21:24C y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为012x .因此直线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=. 则O 点到l的距离d =. 又200124y x =-，所以2014122x d +⎫==≥ 当00x =时取等号，所以O 点到l 的距离的最小值为2.【2012年新课标卷，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程； （2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：（1）若∠BFD =90°，则△BFD 为等腰直角三角形，且|BD|=2p ，圆F的半径||r FA ==， 又根据抛物线的定义可得点A 到准线l 的距离||d FA ==．因为△ABD 的面积为24，所以1||2BD d ⋅⋅=122p ⋅= 所以24p =，由0>p ，解得2p =． 从而抛物线C 的方程为24x y =，圆F 的圆心F （0，1），半径||r FA == 因此圆F 的方程为22(1)8x y +-=． （2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 则AB 为圆F 的直径，∠ADB=90°， 根据抛物线的定义，得1||||||2AD FA AB ==，所以30ABD ∠=︒，从而直线m或当直线mm的方程为2p y x =+，原点O 到直线m的距离1pd =．依题意设直线n的方程为3y x b =+，联立22y x b x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2203x px pb --=， 因为直线n 与C 只有一个公共点，所以24803p pb ∆=+=，从而6pb =-． 所以直线n的方程为6p y x =-，原点O 到直线n的距离2pd =． 因此坐标原点到m ，n 距离的比值为12236p dpd ==．当直线m的斜率为m ，n 距离的比值也为3．【2013年新课标Ⅰ卷，20】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝4±. 当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.【2013年新课标Ⅱ卷,20】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F的直线0x y +-=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.解：（Ⅰ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为22=163x y +. （Ⅱ）由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解析得33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此|AB |＝.由题意可设直线CD 的方程为(3y x n n =+-<<，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |43|x x -=.由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅当n ＝0时，S.所以四边形ACBD. 【2014年新课标Ⅰ卷，20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.解：(Ⅰ) 设(),0F c，由条件知2c =c =又c a =， 所以，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. …….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x =从而212143k PQ x -=-=，又点O 到直线PQ的距离d =，所以∆OPQ 的面积12OPQS d PQ ∆== t =，则0t >，244144OPQt S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，k =0∆>， 所以当∆OPQ 的面积最大时，l的方程为：2y x =-或2y x =-.【2014年新课标Ⅱ卷，20】设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .解：（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34，∴2324b ac =，又222a b c =+，解得12c e a ==或2-（舍），故直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12.（Ⅱ）由题意知，点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac=+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac=⨯-+， 得24b a =…①，∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a=--， ∴21(,)24c b F N a =--，∴23(,)24c b N a --，又∵23(,)24c b N a --在椭圆C 上， ∴4222291641b c a a b+=……②，联立①、②解得：7a =，b =【2015年新课标Ⅰ卷，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N 两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由. 解：（Ⅰ）当0k =时，点)M a和()N a -，2xy '=，故x =y a x -=-0y a --=；同理，x =-y a x -=+0y a ++=.（Ⅱ）在y 轴上存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠.证明如下： 设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k .直线l 与曲线C 的方程联立可得2440x kx a --=，则12124,4x x k x x a +==-.1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==，当b a =-时，120k k +=，则直线,PM PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，即(0,)P a -符合题意.【2015年新课标Ⅱ卷，20】已知椭圆C：2229x y m+=(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．解：（Ⅰ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M Ml y kx b k b A x y B x y M x y=+≠≠,将y kx b=+代入2229x y m+=得2222(9)20k x kbx b m+++-=，故12229Mx x kbxk+-==+，299M Mby kx bk=+=+. 于是直线OM的斜率9MOMMykx k==-，即9OMk k⋅=-，所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，因为直线l过点(,)3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0,3k k>≠，由（Ⅰ）得OM的方程为9y xk=-.设点P的横坐标为Px，由22299y xkx y m⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981Pk mxk=+，即Px=，将点(,)3mm的坐标代入l的方程得(3)3m kb-=，因此2(3)3(9)Mk k mxk-=+. 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2P Mx x=2(3)23(9)k k mk-=⨯+，解得1244k k==，因为0,3,1,2i ik k i>≠=，所以当l的斜率为44+OAPB为平行四边形.【2016年新课标Ⅰ卷，20】设圆015222=-++xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明EBEA+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于NM,两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于QP,两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）圆A整理为()22116x y++=BE ACQ∥，则C EBD=∠∠，由ACEBD D∴=∠∠，则EB ED=，AE EB AE ED∴+=+=根据椭圆定义为一个椭圆，方程为24x（Ⅱ）221:143x yC+=；设:1l x my=+联立1l C与椭圆：221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则。

§9.7双曲线1．双曲线的概念把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( √ )2． 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为bca 2＋b 2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝ca＝ 5.3． (2013·福建)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455答案 C解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y ＝±12x 的距离d ＝25＝255.4． (2012·天津)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.5． (2012·辽宁)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 2|＝x (x >0)，|PF 1|＝2＋x ，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1， 所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3.题型一 双曲线的定义及标准方程例1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________． (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．思维启迪 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a 、b 、c ；根据双曲线的定义求轨迹方程． 答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 24＝1(3)x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274， 所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3， 故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2. ∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.(3)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法．待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支．(1)(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 (2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1 答案 (1)A (2)A解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解． ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10， ∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5， 则C 的方程为x 220－y 25＝1，故应选A.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.题型二 双曲线的几何性质例2 (1)(2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若 四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62(2)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)思维启迪 (1)求圆锥曲线的离心率e ，可以求出a ，c 的关系式，进而求出e .(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x ，y 的取值范围． 答案 (1)D (2)B解析 (1)|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.(2)由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.思维升华 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题．(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D. 5答案 (1)C (2)C解析 (1)由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)如图，∵FB →＝2F A →， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba ＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2.题型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解．解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围． 解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k2>0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2， ∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，21－3k 2)． 设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．忽视“判别式”致误典例：(12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误． 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [6分]∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2. [8分]当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[12分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．方法与技巧1．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程． 失误与防范1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． (2013·北京)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±bax ，y ＝±2x .2． (2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等答案 D解析 双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ， 双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等．3． 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( )A. 2B. 3 C ．2D ．3答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.4． 以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0答案 A解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0. 5． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知，F (－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0， 即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a )>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B. 二、填空题6． 已知双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，且双曲线过点M (4，3)，则双曲线的方程为________． 答案 x 24－y 2＝1解析 ∵双曲线过点M (4，3)，M 在y ＝x2下方，∴双曲线焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，又b a ＝12，因此设a ＝2k ，b ＝k (k >0)，∴x 24k 2－y 2k 2＝1，代入M (4，3)解得k ＝1，a ＝2，b ＝1， ∴方程为x 24－y 2＝1.7． 已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率是3，则n ＝________.答案 4解析 根据双曲线方程得n (12－n )>0，∴0<n <12， ∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12，则双曲线的离心率e ＝c a ＝12n＝3，∴n ＝4.8． (2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 答案3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ， ∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a ＝ 3.三、解答题9． 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)解 S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.10．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程 2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－bc ，∴b a ·(－bc )＝－1， 整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.2． (2013·重庆)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.3． 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3 B.3－1C.3＋12D.3＋1答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ， △MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D.4． (2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.5． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.6． 已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积． 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1且满足⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10， 设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点， 所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0)． 将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 29＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332.由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33)． 当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)， 即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1， 得2x 2＋15x ＋25＝0.所以x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴． ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

平Ifif解析几何第1节直线的方程最新考纲1 •在平面直角坐标系中,结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2•理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式；3•掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.知识梳1•直线的倾斜角与斜率 理(1)直线的倾斜角① 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与X 轴相交的直线Z, 题幟正方向)按 _________ 方向绕着交点旋转到和直线/重合所成 的角，叫作直线/的倾斜角，当直线/和兀轴平行时，它的倾斜角 为 . ____ [0，71)•!••<•1••••••••• •••• •••••••••••••"••••■ •••••• •••••• ••••••<::关:寺甘工山：：•••••••••••••••••••••••••••••••*• • • • • •何 归教林 诱实基懸：：：! • •• • • •• •②倾斜角的范围是_________ •(2)直线的斜率①定义：辭90°时,一条直线的的 ____________________________ 叫作这条直线的斜率，斜率常甩小写字母£表示，即£= _______________ 倾斜角是90°的直线斜率不存在.>'2一为铀1席朗拿钱跑f彌禽貳)的直线的斜率公式为k= .2.直线方程的五种形式［常用结论与微点提醒］1・直线的倾斜角0（和斜率£之间的对应关系:2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.诊断1.思考辨析(在括号内打测J ”或“ X ”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tana,则其倾斜角为久((3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.((4)经过任意两个不同的点"可,yj, P2(x2, 用方程(y—y l)^2—x l) = (x—x l)(y2—y l)表示・())力)的直线都可以)解析⑴当直线的倾斜角Q严135° , «2 = 45。