2013年高考数学试题(17)推理与证明 3

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题：1．(2013江西理) ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 答案 C解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ， 令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.2．(2013辽宁理) 使得()3nx n N n+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】通项52(3)3n r r n rrr n rnnC x C x---=，常数项满足条件52n r =，所以2r =时5n =最小3．(2013全国大纲文) (x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( )．A ．28B ．56C ．112D ．224 答案：C解析：T 2＋1＝28C x 8－2·22＝112x 6.故选C ．4．(2013全国大纲理) (1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．168 答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.5．(2013全国新课标Ⅱ理)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 (1＋ax )(1＋x )5中含x 2的项为：(C 25＋C 15a )x 2，即C 25＋C 15a ＝5，a ＝－1.6、(2013全国新课标Ⅰ理) 设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知a =2mm C ，b =121m m C ++，∴132mm C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++，解得m =6，故选B.7．(2013山东理) 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）279 【答案】B【解析】有重复数字的三位数个数为91010900⨯⨯=。

2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、（5分）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A、{x|x≤0}B、{x|2≤x≤4}C、{x|0≤x＜2或x＞4}D、{x|0＜x≤2或x≥4}3、（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A、（￢p）∨（￢q）B、p∨（￢q）C、（￢p）∧（￢q）D、p∨q4、（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A、B、C、D、5、（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A、实轴长相等B、虚轴长相等C、焦距相等D、离心率相等6、（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A、B、C、D、7、（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A、1+25ln5B、8+25lnC、4+25ln5D、4+50ln28、（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A、V1＜V2＜V4＜V3B、V1＜V3＜V2＜V4C、V2＜V1＜V3＜V4D、V2＜V3＜V1＜V49、（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A、 B、C、 D、10、（5分）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A、 B、C、 D、二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分、请将答案填在答题卡对应题号的位置上、答错位置，书写不清，模棱两可均不得分、（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑、如果全选，则按第15题作答结果计分、）11、（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为、12、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=、13、（5分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=、14、（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为、记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=、15、（5分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E、若AB=3AD，则的值为、16、（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）、在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b、若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1、（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值、18、（12分）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由、19、（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC ⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点、（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足、记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E ﹣l﹣C的大小为β、求证：sinθ=sinαsinβ、20、（12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量、记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0、（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974、）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆、公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆、若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B型车各多少辆？21、（13分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2、（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由、22、（14分）设n是正整数，r为正有理数、（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如、令的值、（参考数据：、2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案、解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i、∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选：D、点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题、2、（5分）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A、{x|x≤0}B、{x|2≤x≤4}C、{x|0≤x＜2或x＞4}D、{x|0＜x≤2或x≥4}分析：利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B、解答：解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4、∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选：C、点评：本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题、3、（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A、（￢p）∨（￢q）B、p∨（￢q）C、（￢p）∧（￢q）D、p∨q分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示、解答：解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况、所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）、故选：A、点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题、4、（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A、B、C、D、分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值、解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为、故选：B、点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键、5、（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A、实轴长相等B、虚轴长相等C、焦距相等D、离心率相等分析：根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案、解答：解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同、故选：D、点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题、6、（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A、B、C、D、分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案、解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选：A、点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键、7、（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A、1+25ln5B、8+25lnC、4+25ln5D、4+50ln2分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可、解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4、∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5、故选：C、点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键、8、（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A、V1＜V2＜V4＜V3B、V1＜V3＜V2＜V4C、V2＜V1＜V3＜V4D、V2＜V3＜V1＜V4分析：利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项、解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==、V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选：C、点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键、9、（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A、 B、C、 D、分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3、①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X 的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出、解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3、①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=、④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=、故X的分布列为X0123P因此E（X）==、故选：B、点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键、10、（5分）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A、 B、C、 D、分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0、利用导数与函数极值的关系即可得出、解答：解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax 有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0、、①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去、②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减、∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即、故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a ＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减、∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣、故选：D、点评：本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题、二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分、请将答案填在答题卡对应题号的位置上、答错位置，书写不清，模棱两可均不得分、（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑、如果全选，则按第15题作答结果计分、）11、（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为0.0044；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为70、分析：（I）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案、（II）由已知中的频率分布直方图，利用[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数、解答：解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044、（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3、样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70、故答案为：0.0044；70、点评：根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点、对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图、12、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=5、分析：框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值、解答：解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1、判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5、故答案是5、点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环、是基础题、13、（5分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=、分析：根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z 恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值、解答：解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：点评：本题给出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值、着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题、抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键、14、（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为、记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=1000、分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案、解答：解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：1000点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题、15、（5分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E、若AB=3AD，则的值为8、分析：设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，进而得到的值、解答：解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，故==8故答案为：8点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”、16、（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）、在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b、若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为、分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率、解答：解：直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，从而c=b，又b2=a2﹣c2，∴c2=2（a2﹣c2），∴3c2=2a2，∴=、则椭圆C的离心率为、故答案为：、点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1、（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值、分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20、又b=5，解得c=4、由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a、又由正弦定理得即可得到即可得出、解答：解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）、因为0＜A＜π，所以、（Ⅱ）由S===，得到bc=20、又b=5，解得c=4、由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故、又由正弦定理得、点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键、18、（12分）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由、分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得故、（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而、若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，从而故、综上，对任何正整数m，总有、故不存在正整数m，使得成立、点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19、（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC ⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点、（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足、记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E ﹣l﹣C的大小为β、求证：sinθ=sinαsinβ、分析：（I）直线l∥平面PAC、连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC、由线面平行的性质定理可得EF∥l、再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC、（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC、连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC、故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β、已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ 与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ、由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角、解答：解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC、而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l、因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC、（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC、因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC、已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l、而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC、连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF、故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β、由，作DQ∥CP，且、连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD、连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ、又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而、（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且、连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD、以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有、于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF的一个法向量为，所以由可得取=（0，c，b），于是，从而、故，即sinθ=sinαsinβ、点评：本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力、20、（12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量、记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0、（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974、）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆、公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆、若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B型车各多少辆？分析：（I）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0、（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解、解答：解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544、由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y、依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0、由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900、于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y、作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R （15，6）、由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值、故应配备A型车5辆，B型车12辆、点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划、本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解、21、（13分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN 的面积分别为S1和S2、（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由、分析：（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN 的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围、解答：解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，、其中a＞m＞n＞0，＞1、（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以、在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=﹣m，于是、若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得、故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则、（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2、又，所以，即|BD|=λ|AB|、由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是、将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C=﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得、因为k≠0，所以k2＞0、于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2、点评：本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法、22、（14分）设n是正整数，r为正有理数、（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；。

第十三章推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2013湖南,15,5分)对于E={a1,a2,...,a100}的子集X={,,...,},定义X的“特征数列”为x1,x2,...,x100,其中==...==1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0, 0(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于;(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p i+p i+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,q j+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为.答案(1)2 (2)172.(2013陕西,13,5分)观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)3.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).答案(1)3,1,6 (2)794.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.解析(1)当a=时, f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=当0≤x≤a2时,由x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2<x≤a时,由(a-x)=x解得x=∈(a2,a),因f=·=≠,故x=为f(x)的二阶周期点;当a<x<a2-a+1时,由(x-a)=x解得x=∈(a,a2-a+1),因f=·=,故x=不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1≤x≤1时,由(1-x)=x解得x=∈(a2-a+1,1),因f=·=≠,故x=为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.(3)由(2)得A,B,则S(a)=·,S'(a)=·,因为a∈,a2+a<1,所以S'(a)=·=·>0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g'(a)=3a2-4a-2=3,因a∈(0,1),g'(a)<0,则g(a)在区间上的最小值为g=>0,故对于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S'(a)=·>0则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.考点二直接证明与间接证明5.(2013四川,10,5分)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a 的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]答案 A6.(2013陕西,21,14分)已知函数f(x)=e x,x∈R.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点;(3)设a<b,比较f与的大小,并说明理由.解析(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为k,∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1,于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1.(2)解法一:曲线y=e x与y=x2+x+1公共点的个数等于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0.又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,则h'(x)=e x-1,当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减.当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与y=x2+x+1有唯一的公共点.解法二:∵e x>0,x2+x+1>0,∴曲线y=e x与y=x2+x+1公共点的个数等于曲线y=与y=1公共点的个数,设φ(x)=,则φ(0)=1,即x=0时,两曲线有公共点.又φ'(x)==≤0(仅当x=0时等号成立),∴φ(x)在R上单调递减,∴φ(x)与y=1有唯一的公共点,故曲线y=f(x)与y= x2+x+1有唯一的公共点.(3)-f=-==[--(b-a)].设函数u(x)=e x--2x(x≥0),则u'(x)=e x+-2≥2-2=0,∴u'(x)≥0(仅当x=0时等号成立),∴u(x)单调递增.当x>0时,u(x)>u(0)=0.令x=,则得--(b-a)>0,∴>f.7.(2013湖北,20,13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.(1)证明:中截面DEFG是梯形;(2)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.解析(1)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3,因此四边形A1A2B2B1、A1A2C2C1均是梯形.由AA2∥平面MEFN,AA2⊂平面AA2B2B,且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME,可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.又M、N分别为AB、AC的中点,则D、E、F、G分别为A1B1、A2B2、A2C2、A1C1的中点,即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.因此DE=(A1A2+B1B2)=(d1+d2),FG=(A1A2+C1C2)=(d1+d3),而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估<V.证明如下:由A1A2⊥平面ABC,MN⊂平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线,可得MN=BC=a,即为梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].由d1<d2<d3,得d2-d1>0,d3-d1>0,故V估<V.8.(2013湖南,21,13分)已知函数f(x)=e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.解析(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞).f '(x)='e x+e x=e x=e x.当x<0时, f '(x)>0;当x>0时, f '(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).(2)当x<1时,由于>0,e x>0,故f(x)>0;同理,当x>1时, f(x)<0.当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,0),x2∈(0,1).下面证明:∀x∈(0,1), f(x)<f(-x),即证e x<e-x.此不等式等价于(1-x)e x-<0.令g(x)=(1-x)e x-,则g'(x)=-xe-x(e2x-1).当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,从而g(x)<g(0)=0.即(1-x)e x-<0.所以∀x∈(0,1), f(x)<f(-x).而x2∈(0,1),所以f(x2)<f(-x2),从而f(x1)<f(-x2).由于x1,-x2∈(-∞,0), f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以x1<-x2,即x1+x2<0.。

2013年高考真题理科数学解析分类汇编17 选考内容一选择题1.2013安徽理（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和【答案】B【解析】在极坐标系中，圆心坐标232.101ππθθρ或故左切线为，半径，====r .2cos 2:.2cos 2cos ===⇒=θρπθθρρθ和即切线方程为右切线满足所以选B二填空题2.上海7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________答案：解析：⟹⟹ρ=，ρ=所以ρ=3.[湖南]9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 3 .【答案】 3 【解析】303)0,3(149,:22=⇒-=-⇒-=+-=a a y x C a x y l 的右顶点程：椭圆方方程直线4.上海3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=答案0 解析：⟹⟹x+y=05..已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .【答案】 12【解析】 .考察柯西不等式12943631211))3()2(()111(2222222222≥++⇒=⋅+⋅+⋅≥++⋅++c b a c b a c b a ）（时，取最小值且当32,1,2===c b a .6..如图2的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】 23 【解析】23)2(5,422=-===⇒⋅=⋅PC r d CD DC PC PC DP PB AP 的距离，圆心到由相交弦定理得7.湖北 18.江西15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为9.陕西15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 2 . 【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当 n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2 B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE.【答案】.6 【解析】..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,s i n c o sc o s 2.【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2【解析】 222)21()21=+-⇒y x （圆的方程21=⇒r 圆的半径 θθθθθθθsin cos sin ,cos cos cos 2cos 2⋅=⋅==⋅=⇒=⋅=⇒OP y OP x r OP 。

第十四章 推理与证明、新定义一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A. N B N A ==*,B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C. {}R B x x A =<<=,10D. Q B Z A ==,2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二．能力题组4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ）A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为045 C. 平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为0605.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则()ln ln b a b a ++=；②若0,0a b >>，则()ln ln ln ab a b +++=+；③若0,0a b >>，则ln ln ln a a b b +++⎛⎫≥-⎪⎝⎭ ④若0,0a b >>，则()ln ln ln ln 2a b a b ++++≤++6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】当1,<∈x R x 时，有如下表达式： xx x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112 两边同时积分得：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++2102102102210210111dx x dx x dx x xdx dx n从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C .231012n n n n n 1111111C C C C 2223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭231123n +1n +1n +1n +1n +111111=C C C C n +12222n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =11111n+12n +⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦113112n n +⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，， 第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+， 正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-， 六边形数 2(,6)2N n n n =-，………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设12,,,n P P P ⋅⋅⋅为平面α内的n 个点.在平面α内的所有点中，若点P 到点12,,,n P P P ⋅⋅⋅的距离之和最小，则称点P 为点12,,,n P P P ⋅⋅⋅的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是_______.（写出所有真命题的序）三．拔高题组9.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设数列{}n a ：111,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,(1),,(1)k k k k k --------⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个，，即当(1)(1)()22k k k k n k N *-+<≤∈时，记1(1)k n a k -=-.记12()n n S a a a n N *=++⋅⋅⋅+∈. 对于l N *∈，定义集合{|l n p n S =是n a 的整数倍，n N *∈，且1}n l ≤≤.（1）求集合11p 中元素的个数；（2）求集合2000p 中元素的个数.而(1)(21)(22)(1,2,,22)i i j a i j i +++=-+=⋅⋅⋅+，∴(1)(21)(1)(21)(22)(21)(1)(22)i i j i i S S j i i i j i +++++=-+=++-+不是(1)(21)i i j a +++(1,2,,22)j i =⋅⋅⋅+的倍数， 故当(21)l i i =+时，集合l p 中元素的个数为213(21)i i ++⋅⋅⋅+-=，。

科学训练夯基础，灵活思维提能力------2013年广东高考数学试卷评析及2014年高考备考建议2013年广东高考数学试卷分文、理两卷，试题整体稳中求新、难易适中，贴近考生，有利于素质教育和高校选拔新生；充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用。

现从以下三个方面对试卷进行解析： 一、试题特点（1）强调“双基”知识的考查高等教育进入“大众化”的时代，2013年试题基础题的比例达到110多分，让考生感到入手容易，信心倍增。

2013年试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让战斗在高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.很多题目考查的都是现行高中教材中最基本且重要的数学知识,所用到的方法也是通性通法,这样考查既体现了高考的公平、公正,也对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用,这对引导中学数学教学用好教材有一定的助推作用.（2）突出主干知识的考查不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识、主干知识的考查，这是近几年高考数学试题的一个重要特色，今年高考主干知识的分值继续保持稳定:2013年数学《考试说明》所指出的三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、概率与统计、数列、函数与导数等是中学数学的主干知识,其中的核心模块概率与统计、三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在今年试卷的解答题部分均得到较高的体现.近4年主干知识（6大模块）分值表：（3）重视数学思想方法与数学能力的考查重视考查考生的数学思想方法是广东命题组一贯的优良传统，今年也不例外，通览今年的数学试卷,数学思想贯穿始终.整套试卷对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想以及思维能力、运算能力、空间想象能力都进行了全方位的考查.如文理试题第19题、文理试题第20题、理科试题第13题、文理21题等，考查了转化思想、函数方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法。

12.2推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2017课标Ⅱ理,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案D本题主要考查逻辑推理能力.由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩;丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.2.(2014北京理,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人答案B设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.3.(2012江西理,6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199答案C解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,代入后三个等式中符合,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C. 解法二:令a n=a n+b n,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,……得a n+2=a n+a n+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选C.评析本题考查了合情推理和递推数列,考查了推理论证和运算求解能力.4.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B 解法一:假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A 错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D 错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C 错误.故选B.解法二:设袋中共有2n 个球,最终放入甲盒中k 个红球,放入乙盒中s 个红球.依题意知,甲盒中有(n-k)个黑球,乙盒中共有k 个球,其中红球有s 个,黑球有(k-s)个,丙盒中共有(n-k)个球,其中红球有(n-k-s)个,黑球有(n-k)-(n-k-s)=s 个.所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.故选B.5.(2017北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 . 答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得{x >y,y >z,2z >x,且x,y,z 均为正整数.①当z=4时,8>x>y>4,∴x 的最大值为7,y 的最大值为6, 故女学生人数的最大值为6.②x>y>z>x 2,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5>y>z>52,此时z=3,y=4. ∴该小组人数的最小值为12.6.(2016山东文,12,5分)观察下列等式: (sin π3)-2+(sin2π3)-2=43×1×2;(sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=43×2×3; (sin π7)-2+(sin2π7)-2+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7)-2=43×3×4; (sin π9)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2=43×4×5;…… 照此规律,(sin π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2= .答案4n(n+1)3解析 观察前4个等式,由归纳推理可知(sinπ2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2=43×n×(n+1)=4n(n+1)3. 评析 本题主要考查了归纳推理,认真观察题中给出的4个等式即可得出结论.7.(2015福建理,15,4分)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k=1,2,…,n)称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于 . 答案 5解析 设a,b,c,d ∈{0,1},在规定运算法则下满足:a ⊕b ⊕c ⊕d=0,可分为下列三类情形:①4个1:1⊕1⊕1⊕1=0,②2个1:1⊕1⊕0⊕0=0,③0个1:0⊕0⊕0⊕0=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得: 由x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,∴1⊕1⊕0⊕1≠0; 由x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,∴1⊕0⊕0⊕1=0; 由x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,∴1⊕0⊕1⊕1≠0, ∴错码可能出现在x 5,x 7上,若x 5=0,则检验方程组都成立,故k=5.若x 7=0,此时x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7≠0,故k ≠7. 综上分析,x 5为错码,故k=5.评析 本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,属中等难度题. 8.(2015陕西文,16,5分)观察下列等式 1-12=121-12+13-14=13+14 1-12+13-14+15-16=14+15+16 ……据此规律,第n 个等式可为 . 答案 1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12)解析 规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1,2,…,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-12+13-14+…+12n -1-12n ;等式右边共有n 项且分母分别为n+1,n+2,...,2n,分子为1,即为1n+1+1n+2+ (12).所以第n 个等式可为1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12). 9.(2014课标Ⅰ,理14,文14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 . 答案 A解析 由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B 城市,乙没有去过C 城市,因此三人去过的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B 城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A. 10.(2014陕西理,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体 面数(F) 顶点数(V)棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E 所满足的等式是 . 答案 F+V-E=2解析 观察表中数据,并计算F+V 分别为11,12,14,又其对应E 分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2. 11.(2014北京文,14,5分)顾客请一位工艺师把A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:原料时间工序粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B621则最短交货期为 个工作日. 答案 42解析 工序流程图如图所示:则最短交货期为6+21+15=42个工作日.12.(2014安徽文,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .答案14解析 由BC=2√2得AB=a 1=2⇒AA 1=a 2=√2⇒A 1A 2=a 3=√2×√22=1,由此可归纳出{a n }是以a 1=2为首项,√22为公比的等比数列,因此a 7=a 1×q 6=2×(√22)6=14.13.(2013安徽理,14,5分)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n =a n .若a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的通项公式是 .答案 a n =√3n -2解析 记△OA 1B 1的面积为S,则△OA 2B 2的面积为4S. 从而四边形A n B n B n+1A n+1的面积均为3S. 即得△OA n B n 的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.∴a n 2=3n-2,即a n =√3n -2.评析 △OA n B n 的面积构成一个等差数列,而△OA n B n 与△OA 1B 1的面积比为a n 2,从而得到{a n}的通项公式.本题综合考查了平面几何、数列的知识.考点二 直接证明与间接证明1.(2014山东理,4,5分)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3+ax+b=0没有实根 B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A 因为“方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x 3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x 3+ax+b=0没有实根.2.(2015北京理,20,13分)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24.(2)证明:因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数. 由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36, 所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数. 类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36,a n ={2a n -1,a n -1≤18,2a n -1-36,a n -1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1-36,a 1>18,所以a 2是2的倍数,从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}, 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 不是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}, 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.考点三 数学归纳法1.(2017浙江,22,15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n+1+ln(1+x n+1)(n ∈N *). 证明:当n ∈N *时,(1)0<x n+1<x n ; (2)2x n+1-x n ≤x n x n+12; (3)12n -1≤x n ≤12n -2.证明 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性基础知识,不等式及其应用,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力. (1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n=1时,x 1=1>0.假设n=k 时,x k >0,那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k =x k+1+ln(1+x k+1)≤0,矛盾,故x k+1>0. 因此x n >0(n ∈N *).所以x n =x n+1+ln(1+x n+1)>x n+1.因此0<x n+1<x n (n ∈N *).(2)由x n =x n+1+ln(1+x n+1)得,x n x n+1-4x n+1+2x n =x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1).记函数f(x)=x 2-2x+(x+2)ln(1+x)(x ≥0),f '(x)=2x 2+xx+1+ln(1+x)>0(x>0). 函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1)=f(x n+1)≥0,故2x n+1-x n ≤x n x n+12(n ∈N *). (3)因为x n =x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n ≥12n -1.由x n x n+12≥2x n+1-x n 得1x n+1-12≥2(1x n -12)>0, 所以1x n -12≥2(1x n -1-12)≥…≥2n-1(1x 1-12)=2n-2, 故x n ≤12n -2.综上,12n -1≤x n ≤12n -2(n ∈N*).方法总结 1.证明数列单调性的方法.①差比法:作差a n+1-a n ,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号. ②商比法:作商a n+1a n ,判断an+1a n与1的大小,同时注意a n 的正负. ③数学归纳法.④反证法:例如求证:n ∈N *,a n+1<a n ,可反设存在k ∈N *,有a k+1≥a k ,从而导出矛盾. 2.证明数列的有界性的方法.①构造法:构造函数,求函数的值域,得数列有界. ②反证法. ③数学归纳法. 3.数列放缩的方法.①裂项法:利用不等式性质,把数列的第k 项分裂成某数列的相邻两项差的形式,再求和,达到放缩的目的. ②累加法:先把a n+1-a n 进行放缩.例:a n+1-a n ≤q n,则有n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)≤a 1+q+q 2+…+q n-1.③累乘法:先把a n+1a n 进行放缩.例:an+1a n≤q(q>0), 则有n ≥2时,a n =a 1·a2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1≤a 1q n-1(其中a 1>0).④放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列{a n}放缩成等比数列{b n},求和后,再进行适当放缩.2.(2014重庆理,22,12分)设a1=1,a n+1=√a n2-2a n+2+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{a n}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=√2+1.由题设条件知(a n+1-1)2=(a n-1)2+1.从而{(a n-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n-1)2=n-1,即a n=√n-1+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=√2+1,可写为a1=√1-1+1,a2=√2-1+1,a3=√3-1+1.因此猜想a n=√n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即a k=√k-1+1,则a k+1=√(a k-1)2+1+1=√(k-1)+1+1=√(k+1)-1+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以a n=√n-1+1(n∈N*).(2)解法一:设f(x)=√(x-1)2+1-1,则a n+1=f(a n).令c=f(c),即c=√(c-1)2+1-1,解得c=14.下用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=√2-1,所以a2<14<a3<1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)=√(x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 先证:0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n=1时,结论明显成立. 假设n=k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数, 从而0=f(1)≤f(a k )≤f(0)=√2-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n+1(n ∈N *).②当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(a 2)=f(0)=√2-1,有a 2<a 3,即n=1时②成立. 假设n=k 时,结论成立,即a 2k <a 2k+1. 由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k+1=f(a 2k )>f(a 2k+1)=a 2k+2, a 2(k+1)=f(a 2k+1)<f(a 2k+2)=a 2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <√a 2n 2-2a 2n +2-1, 即(a 2n +1)2<a 2n 2-2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a 2n )>f(a 2n+1), 即a 2n+1>a 2n+2,所以a 2n+1>√a 2n+12-2a 2n+1+2-1,解得a 2n+1>14.④综上,由②、③、④知存在c=14使a 2n <c<a 2n+1对一切n ∈N *成立.评析 本题考查由递推公式求数列的通项公式,数学归纳法,等差数列等内容.用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键.。

2013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），则，由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．则，解得．所以z=1+i．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论．专题：规律型．分析：根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．解答：解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选A．点评：本题考查了公理的意义，比较简单．4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．解答：解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]求解即可．解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选：C．点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．解答：解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}考点：直线的斜率．专题：函数的性质及应用．分析：由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．解答：解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选B．点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式定理的通项公式即可得出．解答：解：由通项公式T r+1==，∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．解答：解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．解答：解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．考点：数列的应用；数列的函数特性．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a n．解答：解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q 为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．解答：解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．解答：解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．点评：本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．考点：导数的运算；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．解答：解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d （a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y 轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q的斜率=．利用F1Q⊥F1P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．解答：解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．故椭圆E的方程为．（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．故直线F2P的方程为．令x=0，解得．即点Q．因此直线F1Q的斜率=．∵F1Q⊥F1P，∴=．化为．联立，及x0＞0，y0＞0，解得，．即点P在定直线x+y=1上．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．解答：（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OF=O∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，∠OPF=60°设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=∵∠OCP=22.5°，∴∵tan45°==1∴tan22.5°=∴OC==在Rt△OCF中，cos∠COF===∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．考点：反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f n（1）＞0，f n（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．（2）由题意可得f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0，由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，故x n﹣x n+p＞0．用f n（x）的解析式减去f n+p（x n+p）的解析式，变形可得x n﹣x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．解答：证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n（x）=﹣1+x+），可得f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f1（x1）=0，当n≥2时，f n（1）=++…+＞0，即f n（1）＞0．又f n（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•=﹣+×=﹣•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n（x n）=0．（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1（x）=f n（x）+＞f n（x），∴f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0．由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n﹣x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N+，x n﹣x n+p＞0．由于f n（x n）=﹣1+x n+++…+=0 ①，f n+p（x n+p）=﹣1+x n+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得x n﹣x n+p=+≤≤＜=＜．综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．点评：本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．考点：概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想；概率与统计．分析：（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n 进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．解答：解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k ﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0 而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t综上得，符合条件的m=m=2k﹣[]点评：本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分。

推理与证明M1 合情推理与演绎推理15．B13，J3，M1[2013·福建卷] 当x∈R ，|x|<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11－x.两边同时积分得：∫1201dx ＋∫120xdx ＋∫120x 2dx ＋…＋∫120x n dx ＋…＝∫12011－x dx ，从而得到如下等式：1×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋…＝ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n×12＋12C 1n ×122＋13C 2n ×123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝__________．15.1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－1 [解析] (1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n， 两边同时积分得C 0n ∫1201dx ＋C 1n ∫120xdx ＋C 2n ∫120x 2dx ＋…＋C n n ∫120x n dx ＝∫120(1＋x)ndx ，得C 0n ×12＋12C 1n ×122＋13C 2n ×123＋…＋1n ＋1C n n ×12n ＋1＝1n ＋132n ＋1－1.14．M1[2013·湖北卷] 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2， 五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ，……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.14．1 000 [解析] 观察得k 每增加1，n 2项系数增加12，n 项系数减少12，N(n ，k)＝k －22n 2＋(4－k)n 2，故N(10，24)＝1 000.16．B7、M1[2013·山东卷] 定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ [解析] ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln ＋(a b )＝ln a b＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋(a b )＝bln ＋a ＝0，∴①正确；②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立；③中，当a b ≤1，即a≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b ≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln ab ＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab ＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确；④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b2， 又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b ，即有ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确． 14．M1[2013·陕西卷] 观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________． 14．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n 项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2.M2 直接证明与间接证明20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n ＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1，2，3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤a n≤….因此A n＝a n，B n＝a n＋1，d n＝a n－a n＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．(必要性)因为d n＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以A n＝B n＋d n≤B n.又因为a n≤A n，a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1.于是，A n＝a n，B n＝a n＋1.因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d，即{a n}是公差为d的等差数列．(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k<m，a k≤2.又因为a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m>2，于是，B m＝A m－d m>2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}>1.故d m－1＝A m－1－B m－1<2－1＝1，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2.故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为1.M3数学归纳法M4单元综合1．[2013·黄山质检] 已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n＋1＝2(1n＋2＋1n＋4＋…＋12n)时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝( )时等式成立( )A．k＋1 B．k＋2C．2k＋2 D．2(k＋2)1．B [解析] 根据数学归纳法的步骤可知，则n＝k(k≥2为偶数)下一个偶数为k＋2，故答案为B.2．[2013·石景山期末] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是a －b∈[0]．其中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．C [解析] 因为 2 013＝402×5＋3，所以 2 013∈[3]，①正确．－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确．因为整数集中的数被5除的余数可以且只可以分成五类，所以③正确．整数a ，b 属于同一“类”，则整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是a －b∈[0]，故④正确．所以正确的结论个数为3，选C.3．[2013·汕头期末] 已知2＋23＝2 23，3＋38＝3 38，4＋415＝4 415，若6＋a t ＝6 at(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a －t ＝________． 3．－29 [解析] 类比等式可推测a ＝6，t ＝35，则a －t ＝－29.4．[2013·福州期末] 已知点A(x 1，ax 1)，B(x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a>1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1，sin x 1)，B(x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有________成立．4.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22[解析] 函数y ＝sin x 在x ∈(0，π)的图像上任意不同两点A ，B ，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，所以sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.[规律解读] 类比推理中的结论要注意问题在变化之后的不同，要“求同存异”才能够正确解决问题．5．[2013·云南师大附中月考] 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为________．5．x ＋2y －z －2＝0 [解析] 设B(x ，y ，z)为平面内的任一点，类比得平面的方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.6．[2013·黄山质检] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝log n (n ＋1)(n≥2，n ∈N *)．定义：使乘积a 1·a 2·…·a k 为正整数的k(k∈N *)叫作“简易数”．则在[1，2 012]内所有“简易数”的和为________．6．2 036 [解析] ∵a n ＝log n (n ＋1)＝lg （n ＋1）lg n，∴a 1·a 2·…·a k ＝1·lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg （k ＋1）lg k ＝lg （k ＋1）lg 2＝log 2(k ＋1)，则“简易数”k 使log 2(k ＋1)为整数，即满足2n ＝k ＋1，所以k ＝2n－1，则在[1，2 012]内所有“简易数”的和为21－1＋22－1＋…＋210－1＝2（1－210）1－2－10＝1 023×2－10＝2 036.。

2013江苏高考数学科考试说明一、命题指导思想2013年普通高等学校招生全国统一考试数学科(江苏卷)命题将遵循教育部考试中心颁发的《普通高等学校招生全国统一考试（数学科）大纲》精神，依据教育部《普通高中数学课程标准（实验）》和江苏省《普通高中课程标准教学要求（数学）》，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查考生进入高等学校继续学习所必须的基本能力.1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.2．重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.3．注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识的考查，要求能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.创新意识的考查要求是:能够综合，灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.具体考查要求如下：1．必做题部分2（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟. （二）考试题型1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.填空题只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2. 附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1.四、典型题示例A.必做题部分1. 函数y=Asin(ωx+φ)（A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ．【解析】本题主要考查三角函数的图象与周期,本题属于容易题. 【答案】3.2. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．【解析】本题主要考查古典概型,本题属于容易题.【答案】112.3.若17(,,2ia bi ab R ii++∈-=是虚数单位)，则乘积a b 的值是 【解析】本题主要考查复数的基本概念,本题属于容易题. 【答案】-3 4.设集合{}2(1)37,A x x x x R=-<+∈，则集合A Z 中有个元素.【解析】本题主要解一元二次不等式、集合的 运算等基础知识,本题属于容易题. 【答案】65. 右图是一个算法的流程图，最后输出的=W ． 【解析】本题主要考查算法流程图的基本知识, 本题属于容易题. 【答案】226．设直线12y x b=+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值是 .【解析】本题主要考查导数的几何意义,切线的求法,本题属于中等题. 【答案】ln 21-.7．在直角坐标系xOy 中,抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线x y =与抛物线C 交于A,B 两点.若P(2,2)为线段AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．【解析】本题主要考查中点坐标公式,抛物线的方程等基础知识,本题属于中等题. 【答案】24y x=8.以点(2,-1)为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 ．【解析】本题主要考查圆的方程,以及直线与圆的位置关系等基础知识,本题属于中等题.【答案】2225(2)(1)2x y -++=9.已知数列{na }的前n 项和29n S n n=-，若它的第k 项满足58k a <<，则k a =．【解析】本题主要考查数列的前n 项和与其通项的关系,以及简单的不等式等基础知识,本题属中等题. 【参考答案】610．已知向量(3)(1)=-=-，2，，0a b ，若λa +b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为________.【解析】本题主要考查用坐标表示的平面向量的加减数乘及数量积的运算等基础知识,本题属中等题.【答案】17-11．设2,,,230,yx y z x y z xz-+=为正实数满足则的最小值是【解析】本题主要考查代数式的变形及基本不等式等基础知识,本题属中等题.【答案】312.满足条件2,A B A C C==的三角形ABC 的面积的最大值是_______________.【解析】本题主要考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.【答案】二、解答题13．在∆ABC 中，2C A π-=,1sin 3B =.（1）求A sin 值； (2)设AC =∆ABC 的面积.【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力. 本题属容易题. 【参考答案】（1）由π=++C B A 及2π=-A C ,得,22B A -=π故,40π<<A 并且.sin )2cos(2cos B B A =-=π即,31sin212=-A 得⋅=33sin A(2)由(1)得36cos =A .又由正弦定理得A BCB AC sin sin = 所以.23sin sin =⋅=BA AC BC 因为,2A C +=π所以⋅==+=36cos )2sin(sin A A C π因此，23621cos 21sin 21⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅=∆A BC AC C BC AC S ABC .2336=⨯14．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E ，F 分别是CA B A 11,的中点，点D 在11C B 上，.11C B D A ⊥求证://)1(EF 平面ABC ；（2）平面⊥FD A 1平面.11C C BB【解析】本题主要考查线面平行、面面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．本题属容易题．【参考答案】(1)由E ，F 分别是C A B A 11,的中点，知.//BC EF 因为⊂/EF 平面⊂BC ABC ,平面ABC ，所以//EF 平面ABC ．(2)由三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱知⊥1CC 平面.111C B A 又⊂D A 1平面,111C B A 故.11D A CC ⊥又因为⊂=⊥C B CC C C B CC C B D A 111111,,, 平面,11C C BB故⊥D A 1平面,11C C BB 又⊂D A 1平面,1FD A 所以平面⊥FD A 1平面.11C C BB 15. 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，O PeO M=（e 为椭圆C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【解析】本题主要考查解析几何中的一些基本内容及基本方法,考查运算求解的能力.本题属中等题. 【参考答案】（1）设椭圆长半轴长及分别为ca ,,由已知得17a c a c -=⎧⎨+=⎩解得3,4==c a ,所以椭圆C 的方程为221.167xy+= w.w .w.g.k.x.x.c.o.m （2）设),(),,(1y x P y x M ,其中[]4,4.x ∈-由已知得222122.x y e x y+=+而34e =，故2222116()9().x y x y +=+ ①由点P 在椭圆C 上得2211127,16x y -=w.w .w.g.k.x.x.c.o.m代入①式并化简得29112,y =所以点M的轨迹方程为(44),3y x =±-≤≤轨迹是两条平行于x 轴的线段. w.w .w.g.k.x.x.c.o.m16.设函数()bf x ax x =-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=.(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =及直线y x =所围成的三角形的面积是一个(与,a b 无关的)定值,并求此定值.【解析】本题主要考查导数的几何意义，导数的运算以及直线方程等基础知识，考查运算求解的能力，推理论证能力.本题属中等题.【参考答案】（1）方程74120x y --=可化为734y x =-.当2x =时，12y =.又2()b f x a x'=+.于是12,227,44b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩ 故3()f x x x=-.(2)设00(,)P x y 为曲线上任一点,由231y x'=+知曲线在点00(,)P x y 处的切线方程为0023(1)()y y x x x -=+-, 即00233()(1)()y x x x x x --=+-.令0x =得6y x =-,从而得切线与直线0x =的交点坐标为6(0,)x -.令y x =得02y x x ==,从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(2,2)x x .所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =,y x =所围三角形的面积为0016|||2|62x x -=.故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定 值，此定值为6. 17. (1)设na a a ,,,21 是各项均不为零的)4(≥n n 项等差数列，且公差,0=/d 若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，(i)当4=n 时，求 d a 1的数值；(ii)求n 的所有可能值．(2)求证：存在一个各项及公差均不为零的)4(≥n n 项等差数列，任意删去其中的k 项),31(-≤≤n k 都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列．【解析】本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力． 本题属难题．【参考答案】首先证明一个“基本事实”一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差00=d .事实上，设这个数列中的连续三项0,,d a a d a +-成等比数列，则),)((002d a d a a+-=由此得222d a a-=，故.00=d(1)(i)当4=n 时，由于数列的公差,0=/d 故由“基本事实"推知，删去的项只可能为2a 或3a ． ①若删去2a ，则由431,,a a a 成等比数列，得)3()2(1121d a a d a +⋅=+.因,0=/d 故由上式得,41d a -=即.41-=d a 此时数列为,3,4d d --,,2d d --满足题设．②若删去3a ，则421,,a a a 由成等比数列，得).3()(1121d a a d a +⋅=+因,0=/d 故由上式得,1d a =即.11=d a 此时数列为d d d d 4,3,2,满足题设． 综上可知d a 1的值为4-或1．(ii)当6≥n 时，则从满足题设的数列na a a a ,,,,321 中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列na a a a ,,,,321 的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数.5≤n 又因题设,4≥n 故4=n 或5=n ．当4=n 时，由(i)中的讨论知存在满足题设的数列．当5=n 时，若存在满足题设的数列54321,,,,a a a a a 则由“基本事实”知，删去的项只能是3a，从5421,,,a a a a 而成等比数列，故),3()(1121d a a d a +⋅=+及).4)(()3(1121d a d a d a ++=+分别化简上述两个等式，得21dd a =及,521d d a -=故.0=d 矛盾．因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列． 综上可知，n 只能为4．)2(我们证明：若一个等差数列)4(,,,21≥n b b b n 的首项1b 与公差d '的比值为无理数，则此等差数列满足题设要求．证明如下：假设删去等差数列)4(,,,21≥n b b b n 中的)31(-≤≤n k k 项后，得到的新数列(按原来的顺序)构成等比数列，设此新数列中的连续三项为+1b ),10(,,32131211-≤<<≤'+'+'n m m m d m b d m b d m 于是有),)(()(3111221d m b d m b d m b '+'+='+化简得d b m m m d m m m '-+='-123123122)2()(………………(*) 由01=/'d b 知，3122m m m -与2312m m m -+同时为零或同时不为零．若,02231=-+m m m 且,03122=-m m m 则有,0)2(31231=-+m m m m 即,0)(231=-m m 得,31m m =从而,321m m m ==矛盾．因此，2312m m m -+与3122m m m -都不为零，故由(*)式得 ⋅-+-='231312212m m m m m m d b …………………(**)因为321,,m m m 均为非负整数，所以(**)式右边是有理数， 而d b '1是一个无理数，所以(**)式不成立．这就证明了上述结果． 因12+是一个无理数．因此，取首项,121+=b 公差.1='d 则相应的 等差数列)4(2,,32,22,12≥++++n n 是一个满足题设要求的数列．B ．附加题部分 1．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品l26件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产l 件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产l 件次品亏损2万元．设l 件产品的利润为ξ(单位：万元)．(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为%,1一等品率提高为%.70如果此时要求l 件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少?【解析】本题主要考查概率的基础知识，如概率分布、数学期望等．本题属中等题．【参考答案】(1)由题设知，ξ的可能取值为,2,1,2,6-且,25.020050)2(,63.0200126)6(======ξξP P .02.02004)2(,1.020020)1(==-====ξξP P由此得ξ的分布列为ξ)2(的数学期望为：,34.463.062521.0102.0)2(=⨯+⨯+⨯+⨯-=αξE即1件产品的平均利润是4.34万元．(3)设技术革新后的三等品率为x ，二等品率为y ．由题设可知，ξ的可能取值为,2,1,2,6-且ξ的分布列为：又,17.001.0=+++y x得.29.0=+y x 特别地，.29.00≤≤x 于是技术革新后l 件产品的平均利润为：).29.00(76.47.062101.0)2(≤≤-=⨯+⨯+⨯+⨯-=x x y x E ξ故要求l 件产品的平均利润不小于4.73万元，等价于,73.4≥ξE即,73.476.4≥-x 解得.03.0≤x因此，要使1件产品的平均利润不小于4．73万元，则三等品率最多为%.32．如图，设动点P 在棱长为l 的正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 上， 记λ=B D P D 11.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．【解析】本题主要考查向量的坐标表示、向量运算及其几何意义等基础知识．本题属中等题．【参考答案】 由题设可知，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,xyz D -则有)1,0,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(1D C B A .由),,,(),1,1,1(111λλλλ-==-=B D P D B D 所以A D PD PA 11+=)1,0,1(),,(-+--=λλλ),1,,1(---=λλλ)1,1,0(),,(11-+--=+=λλλC D PD PC).1,1,(---=λλλ显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角等价于>=<=∠PC PA APC ,cos cos 0<⋅PC PA 这等价于,0<⋅PC PA即0)1()1()())(1(2<-+-⋅-+--λλλλλ,0)13)(1(<--λλ,解得131<<λ因此，λ的取值范围是⋅)1,31(3．选修14-几何证明选讲如图，设ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ,BAC ∠的平分线与BC 交于点D .求证：EB EC ED ⋅=2.【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、角平分线，圆的切线性质、圆幂定理等．本题属容易题．【参考答案】如图，因为AE 是圆的切线，所以.CAE ABC ∠=∠又因为AD 是BAC ∠的平分线，所以,CAD BAD ∠=∠从而.CAD CAE BAD ABC ∠+∠=∠+∠因为,,CAE CAD DAE BAD ABC ADE ∠+∠=∠∠+∠=∠所以,DAE ADE ∠=∠故.ED EA =因为AE 是圆的切线，所以由切割线定理知.2EB EC EA⋅=而.ED EA =所以.2EB EC ED ⋅= 4．选修24-矩阵与变换在直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点坐标为)2,0(),1,1(),0,0(C B A ，求ABC ∆在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵=M ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,0110N【解析】本题主要考查矩阵的运算、矩阵与变换之间的关系等基础知识．本题属容易题．【参考答案】方法一：由题设得⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100101100110MN 由,20201001,11111001,00001001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 可知C B A 、、三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是)2,0(),1,1(),0,0(-'-''C B A计算得C B A '''∆的面积为l ．所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形C B A '''∆的面积为1．方法二：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110N 作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转︒90得到的图形；在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M 作用下，一个图形变换为与之关于直线x y =对称的图形．因此，ABC ∆在矩阵MN 作用下变换所得到的图形，与ABC ∆全等．从而其面积等于△ABC 的面积，即为l ．5．选修44-坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，点),(y x P 是椭圆1322=+y x 上的一个动点， 求y x S +=的最大值．【解析】本题主要考查曲线的直角坐标方程与参数方程的互化，以及求三角函数的最大(小)值等基础知识．本题属容易题．【参考答案】 因椭圆1322=+y x 的参数方程为θθθ(,sin ,cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)，故可设动点P 的坐标为),sin ,cos 3(θθ其中.20πθ<≤因此y x S +=θθsin cos 3+= )sin 21cos 23(2θθ+⨯=)3sin(2πθ+=,所以，当6πθ=时，S 取最大值2． 6．选修54-不等式选讲设0,a b ≥>求证:33223232a b a b ab +≥+【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法．本题属容易题．【参考答案】2322233223)23(23ab b b a ab b a b a -+-=+-+ω )(2)(322a b b b a a -+-=).)(23(22b a b a --=因为,0>≥b a 所以,023,022≥-≥-b a b a从而0))(23(22≥--b a b a ,即.23232233ab b a b a +≥+。

2013江西高考数学试卷评析及备考建议杨文涛2013年的江西高考数学试卷难度不大，但要拿高分也不容易。

2013年的江西高考数学试卷，遵循《普通高中数学新课程标准（实验）》和《2013年江西省普通高考数学科考试说明》的各项要求。

重点考查高中数学的主体内容，主干知识，适当考查新课标的新增内容，体现了新课程改革的理念。

试卷在考查基础知识、基本技能和基本思想的基础上，突出了对考生空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查。

和2012年高考比较，文理科试卷整体难度都略高于去年，命题上沿袭了去年的风格，如理科小题依旧考了集合、函数的定义域、推理与证明、统计、函数图像、程序框图、数列、圆锥曲线、极坐标与参数方程、不等式等内容；文科小题依然考了复数、集合、三角函数、推理与证明、统计、三视图、圆锥曲线、数列、程序框图、不等式等内容。

概率的大题依然和去年一样与几何相结合。

试卷总体上稳中有变，注重双基，尤其是文理科的第3题，都是来源于课本的数列练习题和二倍角公式运用。

选择题最后一题依然是江西特色的传统题：即函数图像题，但今年难度略低。

文理科大题的技巧和计算量均有一定增加，理科17题数列的裂项相消学生较难看出，文理科第20题方法简单但计算量都比较大。

最后一题难度和计算量都较大。

对支撑高中数学学科的主干知识模块，如三角、数列、概率及统计、函数及导数、立体几何、解析几何等继续进行了重点考查；对新增内容继续进行了部分考查，难度适中，体现命题专家坚定推行新课程改革的决心及勇气，也充分遵循了《考试说明》中“难度适中”的命题原则。

试题很好地照顾了不同层次的考生对基本概念、公式、定理等掌握的情况。

试卷整体具有较高的信度、效度和区分度，达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的目标。

有利于为高校选拔人才，使学生进入大学后更快地与大学接轨；有利于中学教学实际，更好地指导中学数学教学；有利于新课标的改革，更好地向新课标过渡；有利于提高各类学生对数学学习的兴趣和学习能力。

2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选D3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3B．2C．1D．06．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．点评：本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1B．C．D．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP的值．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选D点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．考点：柯西不等式；柯西不等式的几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．解答：解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12点评：本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．考点：圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．解答：解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===故答案为：．点评：此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为3．考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理即可求得．解答：解：==9，解得T=3，故答案为：3．点评：本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．解答：解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；进行简单的合情推理．专题：阅读型．分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f（x）=a x+b x﹣c x的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=a x+b x﹣c x变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=a x+b x﹣c x=．得，所以．所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；令x=1，a=b=1，c=2．则a x=b x=1，c x=2．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）根据两角和与差的三角函数公式化简，得f（x）=sinx，结合解出sinα=，利用同角三角函数的基本关系算出cosα=．由二倍角的余弦公式进行降次，可得g（x）=1﹣cosx，即可算出g（α）=1﹣cosα=；（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得2sin（x+）≥1，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．解答：解：：∵sin（x﹣）=sinxcos﹣cosxsin=sinx﹣cosxcos（x﹣）=cosxcos+sinxsin=cosx+sinx∴=（sinx﹣cosx）+（cosx+sinx）=sinx而=1﹣cosx（I）∵，∴sinα=，解之得sinα=∵α是第一象限角，∴cosα==因此，g（α）==1﹣cosα=，（II）f（x）≥g（x），即sinx≥1﹣cosx移项，得sinx+cosx≥1，化简得2sin（x+）≥1∴sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z）解之得2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）因此，使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）}点评：本题给出含有三角函数的两个函数f（x）、g（x），求特殊函数值并讨论使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．解答：解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y 51 48 45 42P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46点评：本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．解答：解：解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角，等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ）连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．点评：本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识，属于中档题．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．考点：根据实际问题选择函数类型；绝对值三角不等式．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．解答：解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．解答：解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．解答：解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）max={f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是（0，）．点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．。

高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于0 1111111112226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⋅+⋅+⋅= 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.6．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.8．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．9．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A．物理化学等级都是B的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根据题意分别计算出物理等级为A，化学等级为B的学生人数以及物理等级为B，化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】-+-=人根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为B的学生105858（其中物理A化学B的有5人，物理B化学A的有3人），表格变为：对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化--=（人），B选项错误；学都是B的人数最少，至少为13724对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为1391419++-=（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.的学生最少14131故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====888n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48C ．63D ．80【答案】C 【解析】 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】 因为22222233121==⨯+33333388232==⨯⨯+ 444441515343==⨯⨯+，5555552424454==⨯⨯+ 所以8888888878763n n ==⨯=⨯+63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．15．观察下列一组数据11a = 235a =+ 37911a =++ 413151719a =+++…则20a 从左到右第一个数是（ ） A ．379 B ．383C ．381D ．377【答案】C 【解析】 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个奇数， 所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，所以第191个奇数为21911381⨯-=．故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16．分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A ．53B ．63C ．73D ．83【答案】C【解析】【分析】 根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.17．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )A．7班、14班、15班B．14班、7班、15班C．14班、15班、7班D．15班、14班、7班【答案】C【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级．【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班；假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班．故选：C．【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．三角形的面积为1()2S a b c r=++⋅，其中,,a b c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A．13V abc =B．13V Sh =C．1()3V ab bc ca h=++，（h为四面体的高）D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）【答案】D【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.19．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x =+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．都大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论.【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y+++ （ ）A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.。

高考数学（理）真题专题汇编：推理与证明一、选择题1.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 2.【来源】2014年高考真题理科数学（山东卷）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根3.【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科） 设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈4.【来源】辽宁省大连24中2012届高三模拟考试理科数学 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线bα平面，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5.【来源】2012年高考真题——理科数学（江西卷）观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b+=A．28 B．76 C．123 D．1996.【来源】2012年高考真题——理科数学（湖北卷）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式316 9d V≈.人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A．316 9d V≈ B．32d V≈ C．3300 157d V≈ D．321 11d V≈7.【来源】2012年高考真题——理科数学（全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)108.【来源】2011年高考数学理（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。

2013年高考真题理科数学解析分类汇编17 选考内容一选择题1.2013安徽理（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和【答案】B【解析】在极坐标系中，圆心坐标232.101ππθθρ或故左切线为，半径，====r .2cos 2:.2cos 2cos ===⇒=θρπθθρρθ和即切线方程为右切线满足所以选B二填空题2.上海7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________答案：解析：⟹⟹ρ=，ρ=所以ρ=3.[湖南]9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 3 .【答案】 3 【解析】303)0,3(149,:22=⇒-=-⇒-=+-=a a y x C a x y l 的右顶点程：椭圆方方程直线4.上海3．若2211x xx y y y =--，则______x y += 答案0 解析：⟹⟹x+y=05..已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .【答案】 12【解析】 .考察柯西不等式12943631211))3()2(()111(2222222222≥++⇒=⋅+⋅+⋅≥++⋅++c b a c b a c b a ）（时，取最小值且当32,1,2===c b a .6..如图2，在半径为7的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】 23 【解析】23)2(5,422=-===⇒⋅=⋅PC r d CD DC PC PC DP PB AP 的距离，圆心到由相交弦定理得7.湖北 18.江西15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为 的快乐”“要敢于说不化学教案不要害怕拒绝他人化学教案前提是自己的理由是合理的、正当的”试卷试题15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为9.陕西15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 2 . 【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2 B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝.6 . 【答案】.6 【解析】..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中E DO AB.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2 .【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2【解析】 222)21()21=+-⇒y x （圆的方程21=⇒r 圆的半径θθθθθθθsin cos sin ,cos cos cos 2cos 2⋅=⋅==⋅=⇒=⋅=⇒OP y OP x r OP 。

2013高考试题解析分类汇编（理数）17：几何证明一、填空题1 ．（2013年高考重庆数学（理））如图,在ABC 中,090C ∠=,60,20A AB ∠==,过C 作ABC 的外接圆的切线CD ,BD CD ⊥,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为__________5【命题立意】本题考查与圆有关的几何证明问题。

，延长BA交切线CD 于M.因为090C ∠=，所以AB 为直径，所以半径为10.连结OC ，则OC CD ⊥,且//OC BD ，因为060A ∠=，所以60AOC ∠=,60OBE ∠=,即10BE OB ==且30M ∠= .即220OM OC ==,所以10AM =.所以11020()1522BD AM AB +=+==，即15105DE BD BE =-=-=.2 ．（2013年高考天津数学（理）试题（含答案））如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为______.833 ．（2013年高考广东省数学（理）卷（纯WORD 版））(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.依题意易知ABC CDE ∆∆ ,所以A B B CC D D E =,又BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =4 ．（2013年高考四川卷（理））设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小,则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.则有下列命题: ①若,,A B C 三个点共线,C 在线AB 上,则C 是,,A B C 的中位点; ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)①④ ①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是A ，B ，C 的中位点，正确；②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC ，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7， 所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；.AED CBO第15题图③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图，在梯形ABCD 中，对角线的交点O ，P 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD ≥AC+BD=OA+OB+OC+OD ，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确． 故答案为：①④．5 ．（2013年高考陕西卷（理））B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD =2DA =2, 则PE =_____..6..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 6．（2013年高考湖南卷（理））如图2,的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==,1PD =,则圆心O 到弦CD 的距离为____________.2本题考查与圆有关的几何证明。