2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)附答案

2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B． C． D． 35．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B． C． D．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 117．已知向量，，且，则||的最小值为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 38．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sinθ=（）A． B． C． D．9．过点M（2，1）且斜率为1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且M为AB 的中点，则p的值为（）A． B． 1 C． D． 210．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C． D． 211．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 312．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2= ．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论：①S2n﹣1=（2n﹣1）•；②S2n=S n；③S2n≥﹣+S n；④S2n≥S n+，其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．若函数f（x）=sin2ax﹣sinax•cosax﹣（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x0∈[0，]，且x0是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x0，x0+]上的单调增区间．18．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E，F分别是AD，BC1的中点．（1）求证：EF∥平面C1CDD1；（2）在线段A1B上是否存在点G，使得EG⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．19．某保险公司推出了一种保期为一年的险种：若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002．（Ⅰ）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期末获得赔付金额的分布列和期望；（Ⅱ）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．21．已知函数f（x）=（e x﹣1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；（Ⅱ）求证．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+．（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合M，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵M={x|0＜x＜2}，∁R N={x|x≤1}，∴M∩∁R N={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：化简复数z，并且按照纯虚数的定义列出方程组，求出a的值．解答：解：∵，由题意，得且，∴a=﹣1．故选：B．点评：本题考查了复数的代数运算与纯虚数的概念，是基础题目．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的充要条件是“2a+a （a﹣3）=0也就是a=0或a=1”，所以“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B． C． D． 3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算y值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：第一次执行循环体后，y=3，此时|y﹣x|=5，不满足退出循环的条件，则x=3 第二次执行循环体后，y=，此时|y﹣x|=，满足退出循环的条件，故输出的y值为故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，如图所示；所以，该四棱锥的底面积为S底=×（+1）×1=，它的体积为V四棱锥P﹣ABCD=××1=．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 11考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2+8a5=0，解得q=﹣，可得数列{}是等比数列，首项为，公比为﹣2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：由a2+8a5=0，得，解得，易知是等比数列，公比为﹣2，首项为，∴，，∴．故选：A．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知向量，，且，则||的最小值为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．分析： 首先求出xy ，然后利用x ，y 表示||，利用基本不等式求最小值． 解答： 解：由题意，因为向量，，且， 所以xy=2，所以||2=（x+y ）2+1=x 2+y 2+2xy+1≥4xy+1=9，所以||≥3；故选D ．点评： 本题考查了向量的坐标运算以及利用基本不等式求最值． 8．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sin θ=（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．分析： 由同角三角函数基本关系结合范围可求cos2θ，由二倍角公式即可求值． 解答： 解：∵，∴，∴cos2θ＜0，由，得，而，∴．故选C ．点评： 本题主要考查了同角三角函数基本关系，二倍角公式的应用，解题时要注意分析角的范围，属于基础题．9．过点M （2，1）且斜率为1的直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 2考点： 抛物线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 利用点差法，结合直线的斜率，即可求出p 的值． 解答： 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），依题意x1≠x2，∴，于是y1+y2=2p=2，因此p=1．故选B．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C． D． 2考点：函数的周期性；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=f（x），可得到函数f（x）的周期是4，利用对数的运算性质、函数的周期性和奇偶性，将f（log354）转化为﹣，代入函数解析式求出的值，即可得到f（log354）的值．解答：解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，以及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．11．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是AC1的中点推出②正误；利用直线与平面垂直推出排名与平面垂直推出③正误；解答：解：不妨设棱长为：2，对于①连结AB1，则AB1=AC1=2，∴∠AC1B1=90°即AC1与B1C1不垂直，又BC∥B1C1，∴①不正确；对于②，连结AD，DC1，在△ADC1中，AD=DC1=，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，AF=FC1；∴②正确；对于③由②可知，在△ADC1中，DF=，连结CF，易知CF=，而在Rt△CBD中，CD=，∴DF2+CF2=CD2，即DF⊥CF，又DF⊥AC1，∴DF⊥面ACC1A1，∴平面DAC1⊥平面ACC1A1，∴③正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．12．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得：a=2RsinA代入已知式子，由三角函数恒等变换的应用化简即可得解．解答：解：∵由正弦定理可得：a=2RsinA∴=2RsinAcosC=2RsinAcosC+3RsinC==2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R[sin（A+C）+sinC]=2R（sinB+sinC）=b+c．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．14．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析： 4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．解答：解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有=4种情况，所以所求的概率为P==．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2= 5﹣2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设|AF2|=m，由|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|AF1|=2a+|AF2|=2a+m，又|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|，∴|BF2|=2a，又|BF1|﹣|BF2|=2a，∴|BF1|=4a，依题意，即，，在Rt△F1AF2中，即，即，∴e2=．故答案为：5﹣2．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论：①S2n﹣1=（2n﹣1）•；②S2n=S n；③S2n≥﹣+S n；④S2n≥S n+，其中正确的是③④（填写所有正确结论的序号）．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：易知，a2=2，由a n+a n+1=2n+1，a n+1+a n+2=2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n=2，即此数列每隔一项成等差数列，可得a n=n．①令n=2，即可判断出正误；②令n=1，即可判断出正误；③作差，利用，即可判断出正误；④作差：，设，判断出其单调性，即可判断出正误．解答：解：易知，a2=2，由a n+a n+1=2n+1，a n+1+a n+2=2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n=2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1=1，可得数列1的奇数项为1，3，5，…，由a2=2，可得其偶数项为2，4，6，…，故a n=n．①令n=2，，，，①错；②令n=1，，，，②错；③∵，又2n＞2n﹣1，∴，∴，故③正确；④∵，设，∵，∴f（n+1）＞f（n），∴f（n）单增，∴，∴，∴（n∈N*），故④正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了“作差法”、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．若函数f（x）=sin2ax﹣sinax•cosax﹣（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x0∈[0，]，且x0是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x0，x0+]上的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；等差数列的通项公式；正弦函数的图象．专题：等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=，根据题意b为f（x）的最大值或最小值，可求b，由已知求周期后，根据周期公式即可求得a．（Ⅱ）由题意知，则可求，由得k的值，从而可分类讨论得解．解答：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=∵y=f（x）的图象与直线y=b相切，∴b为f（x）的最大值或最小值，即b=﹣1或b=1，∵切点横坐标依次成公差为的等差数列，∴f（x）的最小正周期为，即，a＞0，∴a=2，即；…（6分）（Ⅱ）由题意知，则，∴，由得k=1或k=2，因此或．当时，y=f（x）的单调增区间为和，当时，y=f（x）的单调增区间为．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，等差数列的通项公式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E，F分别是AD，BC1的中点．（1）求证：EF∥平面C1CDD1；（2）在线段A1B上是否存在点G，使得EG⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）过E作EH∥CD，连接FH，只要证明平面EFH∥平面C1CDD1即可；（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，分别求出平面A1BC1？的法向量以及的坐标，利用向量的数量积解答．解答：证明：（1）过E作EH∥CD，连接FH，则FH∥CC1，所以平面EFH∥平面C1CDD1；所以EF∥平面C1CDD1；（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，如图：则=（2，0，﹣2），=（2，2，2），设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，﹣2，1），G（a，0，c），则=（a，﹣1，c），要使EG⊥平面A1BC1，只要，所以，所以a=c=，所以在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；由以上可知是平面A1GC1的一个法向量；设平面CGC1的法向量为=（x'，y'，z'），则且，所以，令y'=1，则=（﹣2，1，0）为平面CGC1的一个法向量，所以二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值为=．点评：本题考查证明线面平行的方法，关键是将问题转为线线平行解决，体现了转化的思想．19．某保险公司推出了一种保期为一年的险种：若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002．（Ⅰ）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期末获得赔付金额的分布列和期望；（Ⅱ）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少．考点：离散型随机变量的期望与方差；函数模型的选择与应用．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出随机变量的概率，即可求出对应的分布列和期望；（Ⅱ）根据分布列进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）设夫妻两人在投保期末获得赔付的金额为ξ，ξ可取40，30，20，10，0（单位：万元），，，，，则对应的分布列为：ξ 0 10 20 30 40P（万元），（Ⅱ）10000人向保险公司缴纳的保险费为10000×300（元）=300（万元），保险公司为10000人赔付的费用为（万元），所以保险公司一年的盈利为300﹣220=80（万元）．…（12分）点评：本题主要考查与概率有关的应用问题，求出对应的概率是解决本题的关键．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和两点的距离公式，结合椭圆的a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，设过点三点圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，证明Q也在此圆上．解答：解：（Ⅰ）依题意知，，，即a2+b2=7，又a2﹣b2=c2，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线PQ的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆上，将直线l的方程代入椭圆方程+=1，整理得，则△=12m2﹣12（2m2﹣6）＞0，…①，又，，∴…②，设过点三点圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，于是2D+F+4=0，，，∴，…③令，∵x12+y12+Dx1+Ey1+F1=0，∴=，将①②③式代入此式，并化简，得…④，又=（x2+x1）（x2﹣x1）+（y2+y1）（y2﹣y1）+D（x2﹣x1）+E（y2﹣y1），将①②③式，及代入此式，并化简，得…⑤，依题意，x1≠x2，由④⑤得，，∴t=0，或x2﹣x1=﹣2；若x2﹣x1=﹣2，则，得m2=3，∴或，此时直线l经过点或，这与直线l过椭圆在第一象限上的一点P矛盾，所以t=0，故，即点Q在过点A，P，B三点的圆上，所以A，P，B，Q四点共圆．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查四点共圆的证法，属于中档题．21．已知函数f（x）=（e x﹣1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（0）=0，从而求出a的值；（Ⅱ）先求出f（x）的表达式，令g（x）=f（x）﹣x2，通过讨论x的范围，结合导数的应用，求出函数g（x）的单调性，从而证出结论．解答：解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，得lna=0，即a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（e x﹣1）ln（x+1），令g（x）=（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2（x≥0），则，令h（x）=（x+1）g′（x）=e x（x+1）ln（x+1）+e x﹣1﹣2x（x+1），∴h′（x）=e x（x+1）ln（x+1）+e x[ln（x+1）+1]+e x﹣（4x+2）令φ（x）=e x﹣x﹣1，则φ′（x）=e x﹣1，（ⅰ）当x≤0时，e x﹣1≤0（ⅱ）当x≥0时，e x﹣1≥0，∴函数φ（x）在区间（﹣∞，0]为减函数，在区间[0，+∞）为增函数．∴φ（x）min=φ（0）=0，∴对x∈R，φ（x）≥0，即e x≥x+1…①，由①知e t﹣1≥t…②，当t＞0时，由②得lnt≤t﹣1…③，当x≥0时，以代换③式中t，得…④，当x≥0时，e x≥1由①，④得e x（x+1）ln（x+1）≥x，e x ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥x+x+2（x+1）﹣（4x+2）=0，∴函数y=h（x）（x≥0）为增函数，∴当x≥0，h（x）≥h（0）=0，即当x≥0时，（x+1）g′（x）≥0，且x+1≥1＞0，∴g′（x）≥0，∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，∴当x≥0时，g（x）≥g（0）=0∴当x≥0时，g（x）≥0，∴当x≥0时，f（x）≥x2．点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明问题，是一道中档题．选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；（Ⅱ）求证．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题．分析：（Ⅰ）利用BC为半圆O的直径，AD⊥BC，PA与半圆O切于点A，证明∠PAB=∠BAD，即可证明AB平分∠PAD；（Ⅱ）证明△PAB∽△PCA，=，即可证明．解答：证明：（Ⅰ）由题意，BC为半圆O的直径，A为半圆O上一点，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠ACD，∵PA与半圆O切于点A，∴∠PAB=∠ACD，∴∠PAB=∠BAD，∴AB平分∠PAD；（Ⅱ）连接AC，∵∠PAB=∠PCA，∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴．在Rt△BAC中，AD⊥CD，∴，∴，=，∴，=，∴=，∴．点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+．（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．考点：轨迹方程；点到直线的距离公式．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用中点坐标公式，即可求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可．解答：解：（1）设AB中点M（x，y），则，所以；（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，所以有，所以ρ2=，设A（ρ1，α），B（ρ2，），则|AB|=，∴点O到AB直线的距离为==，∴点O到AB直线的距离为定值．点评：本题重点考查了参数方程、距离公式，考查极坐标系等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由于（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，利用基本不等式的性质即可证明；（II）由于（a2+b2+c2）=3+++++，利用基本不等式的性质即可证明．解答：证明：（I）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）=9．∴a+b+c≤3；（II）∵（a2+b2+c2）=3+++++=3+++≥+2+2=9．当且仅当a2=b2=c2=1时取等号．∴≥3点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。

凉山州2015届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理工类）参考答案及评分意见一、选择题：（每小题5分，满分50分)1．B 2．A 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 二、填空题：（每小题5分，满分25分） 1112．1365 13．4 14．4p15．⑴ 三、解答题：（共6题，共75分）16、解：（1） 由题可得：网络与其他类分别抽取了12人与11人， 故:2712810120x =+解得240x =.……………………………………………… 6分 (2) 由题意知样本中有男生4人，女生2人， 所以x 的可能值为：2,3,4,5,6.()()()()()222611224236123243461342445615256612152315341545155615A p x A C C A p x A C C A p x A C C A p x A C A p x A ===============x 的分布列为：123451423456.151********Ex =´+´+´+´+´= ………………………… 12分 17、解：（1） 由16f p æö=ç÷èø，可得a =…………………………………2分……………… 10分故()2cos 22sin(2)6f x x x x p=-=-……………………………………4分令222262k x k p p pp p -+£-£+ 解得,63k x k k Z p pp p -+££+Î ().63f x k k k Z p p p p éù\-++Îêúëû的单调递增区间为：，，………………………6分 (2) ()()632sin 2cos cos 23255f a b p p a b a b a b +æöæö+=++=+= \+=ç÷ç÷èøèø842sin 22cos 2cos 23255f p p b b b b æöæö+=+== \=ç÷ç÷èøèø……………………8分又()43,0,sin sin 2255p a b a b b æöÎ \+= = ç÷èø………………………10分()()()()cos cos 2cos cos 2sin sin 2a b a b b a b b a b b -=+-=+++éùëûg g344324555525=´+´=.……………………………………………………………12分 18、（1）证明：取PA 中点H ，连接BH 、HN 则，在三角形PAD 中，有1//2HN AD //,HN BM BMNH \故四边形是平行四边形 //MN BH \ ,BH PAB MN PAB ÌË又面面//.MN PAB \面………………………6分(2) 法一：由题意可知三角形ABC 是等边三角形 所以，AM BC AM AD ^ ^故,PAD ABCD AD ^又，面面是交线AM PAD AM PD \^ \^面又，在等边三角形PAD 中有AN PD ^,,PD AMN \^面故，ANM Ð即为二面角M-ND-A 的平面角由平几知识易得，AMN D 是等腰直角三角形，即=4ANM pÐ2M ND A \--二面角…………………………………………12分 法二：取AD 中点O,连接PO 、CO 在等边三角形PAD 中有PO ^AD, 又因为，面PAD ^面ABCD ，AD 是交线 所以，PO ^面ABCD由条件可知，三角形ADC 是等边三角形，所以OC ^AD 故，OC 、OD 、OP 两两垂直如图所示，以点O 为原点建立空间直角坐标系 不妨设AB=2，则，易得：)()(10,0,10,0,0,MD P -，，(),,MND n x y z =r设面的法向量为()(0,MD DP = =-uuuu r uuu r02000x y n MD y n DP y z y ì=ïìì=+=ïïïÞÞííí=-+=ïïïîî=ïîr uuuu r g r uuur g，()y n ==r 取可得 又平面AND 的法向量可取：()1,0,0m =u rcos ,2m n m n m n <>===u r ru r r g u r r2M ND A \--二面角………………………………………12分 19、解：（1） 记2F MO q Ð=,则由27cos 212sin 25q q =-=-，可得4sin 5q = 15,4,345a c a cbc a -=ìï\Þ===í=ïî故，所求椭圆方程为：221.259x y +=……………………………………………6分（2） 由（1）可知()()()211224,0,:4,,,,,F l x my A x y B x y =+ 令设()22221925728101259x my m y my x y =+ìïÞ++-=í+=ïî…………………………………7分 12122272810,925925m y y y y m m --D >+==++恒成立，故 ()121228258,925x x m y y m ´+=++=+…………………………………………8分 AOM BON AOB AMBN S S S S D D D =++四边形121212113222b x xc y y x x =++-=++238252925m ´=++g 2300925m +=+……………………………………………………………10分()230530092517m +=+由： 解得1m =±，…………………………………………………………………12分 故直线AB 的方程为：4 4.y x y x =-=-+或………………………………13分 20、解：（1）1,1;n q x ==当时………………………………………………1分()11111,=1;22222nnnnn q x n æöæöæöæö==++++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø当时…………2分(){}11-1,12rn r n q q q q q q q-¹¹-当且时是以为首项，为公比的等比数列()1111111111121211n n n n n n n q q q q q q q q x q q q q+++++éùéùæöæö----êúêúç÷ç÷èøèø--êúêúëûëû\===----…………5分()()1111111.2211,1212n n n n q x n q q q q q q ++ìï, =ïïïæö=+ , =íç÷èøïï--ï , ¹¹ï-î综上，…………………………6分（2） 11n n q S q -=-由题，，()11r r r r r n n n S C C C q q=--故，……………………8分 ()()12311223311n n n n n n n n n n n n n T C C C C C C q C q C q C q q éù=++++-+++ëû-…………()()()121111nn q q éù=--+-ëû- ()()1211nn q q=-+-……………………………………………………………12分 21、解：（1） ()()()()()1ln 1,'1ln 1f x x x f x x =++=++若()1'0,11f x x e< -<<-()111.f x e æö--ç÷èø则的递减区间是，……………………………………………4分（2）()()'1ln 1f x a x =+++()1,1'0x a f x ³³->时，恒成立，()[)1f x +¥在，递增 ()()min 13,2ln 23f x f a =³+³则，即32ln 2.a \³-…………………………………………………………………8分（3）()()'1ln 1f x a x =+++ ①()10'0a x f x ³->>时，时，恒有此时，()()()()0,00,f x f f x +¥= \在递增，又无正零点.………10分 ②()11'01a a f x x e --<-=Þ=-时，()()10,1'0a x e f x --Î-<时，； ()()11,'0a x e f x --Î-+¥>时，则，()()()11111min 11ln 0,a a a a a f x f e a e e e a e ----------=-=-+=--<……12分()()00,,f x f x =®+¥®+¥又，故，此时，()f x 有且只有一个正零点.……………………………………13分 综上所述：()1a f x ³-当时，函数无正零点，()1a f x <-当时，函数有一个正零点.……………………………14分。

雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02=-=x x x M ，{}0,1-=N ,则=N MA. {}1,0,1-B. {}1,1-C. {}0D. φ2. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x = A ．4B ．－4C ．2D ．2-3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为A ．2512 B ．2425C. 2425-D ．1225-5. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 A. 1B. 2C. 4D. 76. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A. 283π-B. 83π- C. 82π-D.23π7. 已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于,A B 两点且0OA OB ⋅=，则k=A.2B. 2±C.D.8. 若实数a ，b 满足a 2＋b 2≤1，则关于x 的方程x 2－2x ＋a ＋b ＝0有实数根的概率是 A.3142π+ B ．314π+ C ．3152π+ D ．315π+ 9.过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（ ） A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D. 1y x =--10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数)(x f 满足1)1(≠f ，且对*N n ∈∀,有,13))(()1()(+=+++n n f f n f n f 则=)2015(fA. 2014B. 2015C. 2016D. 2017 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 已知(1＋2i) z ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z =12. 在二项式22()nx x-的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .13. 若函数12)2()(2+++=ax x a x f 有零点，但不能用二分法求其零点，则a 的值______ 14．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题） ①若13)1()(23++-+=x x a x x f 没有极值点，则42<<-a②31)(++=x mx x f 在区间()+∞-,3上单调，则31≥m③若函数m x x x f -=ln )(有两个零点，则em 1< ④已知且不全等，+∈<<=R n m k a x x f a ,,),10(log )()()()()2()2()2(n f m f k f nk f n m f m k f ++<+++++则 三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C)＝1，c ＝1，ab ＝23， 且a >b ，求a ，b 的值． 17. （本题满分12分）雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （1）求直方图中x 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 18. （本题满分12分）如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,AB BC ==．以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C '上的动点，满足CF CA λ'=．（1）证明：平面FBE A DC '⊥平面；（2）若二面角F BE C --的大小为45°，求λ的值．图1EC频率/组距时间19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。

2015年高三诊断考试 数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题∴圆2C 的半径2r AF ===∴圆2C 的方程为：221()42x y +-=12. 解析 ：∵(2)f x +为偶函数，∴(2)f x +的图象关于0x =对称,∴()f x 的图象关于2x =对称∴(4)(0)1f f ==设()()x f x g x e =（x R ∈）,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e''--'== 又∵()()f x f x '<，∴()0g x '<（x R ∈），∴函数()g x 在定义域上单调递减∵()()()1xx f x f x e g x e <⇔=<,而0(0)(0)1f g e ==∴()()(0)xf x eg x g <⇔< ∴0x >故选B ．二、填空题13. 3514.2211612x y += 15. 1(0,)2 16. 2015 15．解析 ：函数()()ln f x x x ax =-，则1()ln ()ln 21f x x ax x a x ax x'=-+-=-+，令()ln 21f x x ax '=-+得ln 21x ax =-，因为函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，所以()ln 21f x x ax '=-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作ln y x =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则0100=-=x x y ，又切点在曲线ln y x =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1y x =-. 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a的取值范围是1(0,)2. 16．解析11=，得2121a b a a ==．2b =32212a b bb ==．3b =433123a b bb b ==．…121...n n a bb b -=．∴211220...a bb b =．∵数列{}n b 为等比数列， ∴()()()()11010102112021910111011...(2015)2015a b b b b b b b b ==== 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sin sin c aC A==，sin A A =∴tan A = ∵0A π<< ∴ 3A π=…………6分（Ⅱ）由正弦定理得：6sin sin sin3a b cA B Cπ====∴b B=，c C=∴b c B C+=+]s i n s i n(43s i n s i n()3B A B B Bππ⎤=+--=++⎥⎦12s i n()6Bπ=+∵5666Bπππ<+<∴612sin()126Bπ<+≤即：(]6,12b c+∈…………12分18. 解：(Ⅰ)证明:连接1D C,则1D C⊥平面ABCD,∴1D C⊥BC在等腰梯形ABCD中,连接AC∵2AB=,1BC CD==AB∥CD∴BC AC⊥∴BC⊥平面1AD C∴1AD BC⊥…………6分(Ⅱ)解法一:∵AB∥CD∴13D DCπ∠=∵1CD=∴1DC=在底面ABCD中作C M A B⊥,连接1D M,则1D M AB⊥,所以1D MC∠为平面11ABC D与平面ABCD所成角的一个平面角在1Rt D CM∆中,CM=,1DC=∴1D M==∴1cos D CM∠=即平面11ABC D 与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦函数值为5…………12分 解法二:由(Ⅰ)知AC 、BC 、1D C 两俩垂直， ∵AB ∥CD ∴13D DC π∠=∴1DC =在等腰梯形ABCD 中,连接AC 因2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ，所以AC =则A ，(0,1,0)B，1D 设平面11ABC D 的一个法向量(,,)n x y z =r由100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r得00y z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩可得平面11ABC D的一个法向量(1n =r．又1CD =uuu r为平面ABCD 的一个法向量．因此111cos ,||||CD n CD n CD n ⋅<>==uuu r ruuu r r uuu r r 所以平面11ABC D 和平面ABCD 所成的角(锐角)19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A ,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nC P A C =由对立事件的概率: ()P A =41().5P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n = …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1,2,3，23261(1)5C P C η===12211233333222266664(2)25C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=， 16(3)1(1)(2)25P P P ηηη==-=-==(或222111121111333333333333222222226666666616(3)25C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C η==⋅+⋅+⋅+⋅=) 则η 的分布列为：所以1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯= ． …………12分 20. 解：（Ⅰ）依题意有ba =，232a c c -= ∵222a b c += ∴2c a = ∴1a =，2c = ∴23b =∴曲线C 的方程为2213y x -= ……………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，则11(,)B x x m +，22(,)D x x m +，BD 的中点为M由2213y x my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 222230x mx m ---=∴12x x m +=，21232m x x +=-∵1DF BF ⋅=uuu r uu u r，即1212(2)(2)()()1x x x m x m --+++=∴0m =（舍）或2m = ∴122x x +=，1272x x =-M 点的横坐标为1212x x += ∵1212(1)(1)(2)(2)DA BA x x x x ⋅=--+++uu u r uu r1212525720x x x x =+++=-+=∴AD AB ⊥∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径∵M 点的横坐标为1∴MA x ⊥∵12MA BD = ∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 ……………12分21. 解：（Ⅰ）∵222()211m x x m f x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数.∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立,即函数()f x 是定义域上的单调地增函数,则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立,由此可得12m ≥； 若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立,则()201m f x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立. ∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述,实数m 的取值范围是1[,)2+∞. ……………4分（Ⅱ）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+.令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=,即3()0f x x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < ……………8分 （Ⅲ）证法一:由（Ⅱ）可知23ln(1)x x x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1x x e x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1n n e n -<+ (n N *∈)∴201429(1)(3)234(1)2n n n n e e e e n -⨯-⨯-+++++<+++++= ………12分 证法二:设(3)2n n n S += 则11(2)n n n a S S n n -=-=+≥∵112a S == ∴1,n a n n N +=+∈欲证2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-n n e e e e n n 只需证12)1(+<⨯-n e n n只需证)1ln()1(2+<⨯-n n n由（Ⅱ）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x即)1ln()1(2+<⨯-n n n 。

2015年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验卷理科数学注意事项：1．本试卷分第I卷选择题．和第Ⅱ卷非选择题．两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B．C．D． 35．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B．C．D．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n 项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 117．已知向量，，且，则||的最小值为（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 38．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sinθ=（）A．B．C．D．9．过点M（2，1）且斜率为1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且M为AB的中点，则p的值为（）A．B． 1 C．D． 210．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x +，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D． 211．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 312．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2015年乌鲁木齐地区第三次诊断性测验理科综合能力测试参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题 共126分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B A C B D BA C A 题号 12 13 14 15 16 17 18 192021答案 DCCBABAAD BC AD第Ⅱ卷（非选择题 共174分）（一）必考题 （共129分） 22．（每空2分，共6分）(1)5W (2)2v θsin 41H23．（每空2分，画图3分，共9分） （1）0.5（2）14500 6（3）电路如图（有任何错误得零分） 24.（13分） 解：（1）解法一由题意可知，货物先由光滑区域由静止下滑做匀加速运动，到粗糙区域做匀减速运动，加速过程与减速过程的加速度相等。

设匀加速下滑的加速度为a ，则 ma mg =θsin …………………………………2分 ma mg mg =-θθμsin cos ………………………3分 解得 θμtan 2= …………………… 1分解法二，全过程用动能定理0cos 2sin =-θμθLmgmgL …………………………………5分 解得 θμtan 2=………………………………………… 1分（2）解法一设光滑区域的宽度为x ，匀加速下滑的最大速度为v ，则货物下滑的平均速度t Lv =……………………………………2分 v v 21= ……………………………………2分ax v 22= ………………………………………………2分解得 θsin 222g t L x = …………………………………1分解法二据题意，可设斜面有n 个光滑区域，n 个粗糙区域，货物在每个区域运动的时间为/tn Lx 2=………………………………………………1分 n t t 2/=………………………………………………1分2/)(21t a x =…………………………………………2分θsin g a =……………………………………………1分 解得 θsin 222g t L x =…………………………………………1分25.（19分）解： （1）由题意可得， 221mv qEx =-(不写“-”号不扣分) ………………2分 vt L = ………………………………1分 221at y =………………………………2分 ma qE =…………………………………………………2分 解得 42L xy -= (不写“-”号不扣分)…………… 1分（2）由题意可知，第一种情况如图，设粒子进入磁场时的速度为v 1，在磁场中运动的半径为R122121)3(L R L R +-= …………………………2分1211R v m Bqv = ……………………2分解得mqBav 351=………………………………1分第二种情况如图，设粒子进入磁场时的速度为v 2，在磁场中运动的半径为R 2， 22222)33(L R L R -+= ………………………………3分2222R v m Bqv = ………………………………1分1解得 m qBLv 4521= ………………………………1分 mqBLv =22 ………………………………1分26.(15分)(1)a.0.050 mol·（L·min）-1(1分) 47.2 kJ (2分) b.将NH 3从反应体系中分离出去 (1分)c.（0.50mol/L ）2/(0.75mol/L)3·0.25mol/L(2分)(2) a.. +181.5 kJ/mol (2分) b. 能(1分)； ΔH<0且是混乱度增大的反应(1分) (3) 负 (1分)；2NH 3-6e -+6OH -=N 2+6H 2O (2分) (4) 2NH 3+3H 2O 2 = N 2+ 6H 2O (2分) 27. （13分）Ⅰ.(1)冷凝管 （1分）（2）温度过高时，正丁醇、乙酸易挥发，且副反应增加，导致酯产率降低（2分）。

高三统测试卷（三）答案 理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合}02|{≥-=x x A ，|{x B =0＜x 2log ＜2},则)(B A C R ⋂是（ ）A ．|{x 2＜x ＜4}B ．}2|{≥x xC ．}4,2|{≥≤x x x 或D ． ,2|{〈x x 或}4≥x 2. 在ABC ∆中，“3π=A ”是“1cos 2A =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数4．已知)4sin(cos 22sin ,2,21)4tan(2παααπαππα--<<-=+则且等于（ ）A ．552- B ．1053- C ．552 D ．101035. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ）A ．sin()6y x π=+ B. sin(2)6y x π=- C. cos(4)3y x π=- D. cos(2)6y x π=-6．由直线x =1，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．47B ．411C ．ln2D ．2ln 27. 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位 8. 定义在R 上的偶函数，f (x )满足：对任意的x 1, x 2∈(],0-∞(x 1≠x 2), 有(x 1-x 2)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n *N ∈时，有（ ）A ．f (-n)<f (n-1)<f (n+1) B. f (n -1)<f (-n )<f (n +1)C. f (n +1)<f (-n )<f (n -1)D. f (n +1)<f (n -1)<f (-n )9. 函数1|log |3)(21-=x x f x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．4D ．210．函数12,41()),3),7),2(2),4x x f x a f b f c f x f x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记 则（ ）A ．a >c >bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a >b >c11. )0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<，且0)()(,0)3(<=-x g x f f的解集为（ ）A ．（－∞，－3）∪（3，+∞）B ．（－3，0）∪（0，3）C ．（－3，0）∪（3，+∞）D ．（－∞，－3）∪（0，3）12．已知定义在R 上的偶函数f (x )在［0，+∞］上是增函数，不等式f (ax + 1)≤f (x –2) 对任意x ∈[21，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．［–3，–1］B ．［–2，0］C ．［–5，1］D ．［–2，1］第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设定义在R 上的函数f （x ）满足7)()2(=∙+x f x f ，若f （1）=2，则f （107）=__________.14．已知直线y =2x +1与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为 ．15. 下列几个命题：①函数y =是偶函数，但不是奇函数；②“⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③ 设函数()y f x =定义域为R ,则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ④若函数)0)(cos(≠+=A x A y ϕω为奇函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；⑤已知x ∈（0，π），则y =sin x +xsin 2的最小值为。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第三次诊断性测验理科数学试卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={}220x x x -<，N={}1x x >，则M ⋂ R N =ðA. [1，2)B. (1，2)C. [0，1)D. (0，1]2.已知a ∈R,复数1a i z i-=-是纯虚数（i 是虚数单位），则a=3. “a=1”是“直线20x ay --=与直线2(3)10ax a y --+=垂直”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出的y 值为 A. 34- B. 12C. 52D. 35.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为其中为真命题的是 A. 1 B. 12C. 13 D. 146.等比数列{}n a 满足2580a a +=，设n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则52S S = A. -11 B. -8 C. 5 D. 117.已知向量a =（x ，-1），b =（y ，2），且a ⊥b ，则a b +的最小值为A. 0B. 1C. 2D. 38.若,,tan 2sin =42ππθθθ⎡⎤∈=-⎢⎥⎣⎦则 A. 45 B. 35C. 349.过点M(2,1)且斜率为1的直线与抛物线2y =2px p<0)（交于A,B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为A. 12B. 1C. 32D. 2 10.奇函数()f x 满足f （x+2）=-f （x ），当x ∈（0,1）时，f （x ）=132x +，则3(log 54)f = A. -2 B. -76 C. 76D. 2 11.在棱长均相等的正三棱柱ABC-111A B C 中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且DF ⊥1AC ，则下述结论：①1AC ⊥BC ；②AF=1FC ③平面1DAC ⊥平面11ACC A 中正确的个数为A. 0B. 1C.2D. 312.已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边，若A=3π,则(cos )a C C =A.a+bB.b+cC.a+cD. a+b+c第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13.设变量x ，y 满足约束条件22,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则3z x y =-的最小值为 _______.14.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为_________.15.已知双曲线()222210,0y x a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 的直线交双曲线的右支于A,B 两点，若△ABF1是以A 为直角顶点的等腰三角形，e 为双曲线的离心率，则2e = __________.16.已知数列{}n a 满足*111,21,,n n a a a n n N +=+=+∈n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论：①211(21);n nS n a -=-②21;2n n S S =③2311;222n n n S S ≥-+④21;2n n S S ≥+ 其中正确的是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）若函数21()sin cos (0)2f x ax ax ax a =⋅->的图象与直线y=b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列。

市高2012级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCBCD AABCB10．提示：当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意．设AB 中点为)2(t P ，，于是t y y y y y y x x y y k AB 2444212221212121=+=--=--=． ∴ 可设直线AB 的方程为)2(2-=-x tt y ， 联立方程： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-，，x y x t t y 4)2(22 消去x 得： 082222=-+-t ty y ，∴ y 1+y 2=2t ，y 1y 2=2t 2-8，∴ )432(44)3284)(41(22222t t t t t AB -+=+-+= 由21t k k k MP MP AB -=⇒-=⋅，得)2(2--=-x t t y MP ：，令0=y 时，得)04(，M ，∴ 2224)0()24(t t MP +=-+-=，于是S △MAB 228)4(2121t t MP AB -+=⋅=． 令28t m -=，则m m m m S 621)12(2132+-=⋅-=， ，，，20200)2)(2(236232>⇒<'<<⇒>'-+-=+-='m S m S m m m S ∴ 当2=m 时， (S △MAB )m a x =8，此时42=t ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．4 12．37 13．2.02 14．6 15．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ) 随机变量ξ的可能取值分别是：0，m ，3m ，6m 元．∴ 278)32()0(3===ξP ；2712)32(31)(213===C m P ξ； 27632)31()3(223===C m P ξ；271)31()6(3===m P ξ； ξ的分布列为： ξ 0 m 3m 6mP 278 2712 276 271 ………………………………………………………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)得：342716276327122780m m m m E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ， …………9分 若要使促销方案对商场有利，则34m <100，解得m <75． 即要使促销方案对商场有利，商场最高能将奖金数额m 应低于75元．…12分17．(Ⅰ) 证明：∵ PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴ AE ⊥PA ． …………………………………1分∵ 四边形ABCD 是菱形，且∠ABC =60º，∴ △ABC 为等边三角形，又 E 是 BC 中点，则AE ⊥BC ，由BC //AD ，得AE ⊥AD ．……………………3分又∵ PA ∩AE =A ，∴ AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴ AE ⊥PD ． …………………………………5分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设PA =AB =2，则A (0，0，0)，E (3，0，0)，C (3，1，0)，F (23，21，1)， ∴ AE =(3，0，0)，AC =(3，1，0) ，AF =(23，21，1)．…………7分 设平面EAF 的法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1)， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0011n n AF AE 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，02123031111z y x x 令z 1=1，可得n 1=(0，-2，1)．…9分 设平面ACF 的法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0022n n AF AC 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+，，021230322222z y x y x 令x 2=3，可得n 2=(3，-3，0)． ……………………………………………………………………11分 设二面角E -AF -C 的平面角为α，则5153256cos 2121=⋅=⋅⋅=n n n n α， 又由图可知α为锐角，所以二面角E -AF -C 的余弦值为515．…………12分 18．解：(Ⅰ) 由图象知，2126561=-=A ，故312161-=-=b ， P A B C D E F y x z26322πππ=-=T ，即π=T ，于是由πωπ=2，解得2=ω． ∵ 6131)62sin(21=-+⨯ϕπ，且)22(ππϕ，-∈， 解得6πϕ=．∴ 31)62sin(21)(-+=πx x f ．…………………………………………………4分 由22ππ-k ≤62π+x ≤22ππ+k ，Z ∈k ， 解得3ππ-k ≤x ≤6ππ+k ，Z ∈k ，即)(x f 在R 上的单调递增区间为Z ∈+-k k k ，，]63[ππππ．………………6分 (Ⅱ)由条件得：031)62sin(21)(00=-+=πx x f ，即32)62sin(0=+πx ． ∵ 0)0()6(<⋅f f π且)(x f 在)60(π，上是增函数， 61)6(=πf >0，3143)4(-=πf >0，)(x f 在)46(ππ，上是减函数， ∴ )60(0π，∈x ， ∴ )26(620πππ，∈+x ，…………………………………………………………9分 ∴ 35)62(sin 1)62cos(020=+-=+ππx x ， …………………………………10分 ∴]6)62cos[(2cos 00ππ-+=x x 6sin )62sin(6cos )62cos(00ππππ+++=x x 6215+=． …………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ)设数列{a n }公差为d ，由题设得⎩⎨⎧⋅=⋅=，，2248224a a a a a a ……………………2分 即⎪⎩⎪⎨⎧+=++⋅+=+，，2111121)()3()7()()3(d a d a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==，，111d a ∴ 数列{a n }的通项公式为：n a n =(n ∈N *)． ………………………………4分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：⎪⎩⎪⎨⎧∈-=∈==．，，，，，**12222N N k k n n k k n b n n …………………………………5分 ①当n 为偶数，即*2N ∈=k k n ，时，奇数项和偶数项各2n 项， ∴ )2222()]1(262[642n n n T ++++-+++=3432221])2(1[22)222(2222222-+=--+-+=+n n n n n ； ………………………7分 ②当n 为奇数，即*12N ∈-=k k n ，时，1+n 为偶数．∴ 34322)1(23422)1(1213211-++=--++=-=+++++n n n n n n n n a T T ． 综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-++∈=-+=++．，，，，，*12*221234322)1(234322N -N k k n n k k n n T n n n ……………………………9分 (Ⅲ)122)12(2212212212-=-==---n n b b c n n n n n ， 令12-=n t ，由此12-n c >10转化为102>=tc tt ， ∵ 1221211+=⋅+=++t t t t c c t t t t ≥1(当且仅当t=1时“=”号成立)， ∴ 1211c c c c c t t t =>⋅⋅⋅>>>-+．∵ 105255<=c ，106266>=c ． ∴ 12-n ≥6，解得n ≥27， ∴ 当n ≥4，n ∈N *时，12-n c >10．…………………………………………12分20．解：(Ⅰ)在△ABC 中，根据正弦定理得=+C B A sin sin sin AB CA CB +， 即λ=+ABCA CB (1>λ)， ∵ AB =2，∴ λ2=+CB CA (定值)，且22>λ，∴ 动点C 的轨迹τ为椭圆(除去与A 、B 共线的两个点)． ………………3分 设其标准方程为12222=+by a x ， ∴ a 2=2λ，b 2=2λ-1，∴ 所求曲线的轨迹方程为)(112222λλλ±≠=-+x y x ． …………………………5分 (Ⅱ)3=λ时，椭圆方程为)3(12322±≠=+x y x ． ①过定点B 的直线与x 轴重合时，△NPQ 面积无最大值．…………………6分②过定点B 的直线不与x 轴重合时，设l 方程为：1+=my x ，)()(2211y x Q y x P ，，，，若m =0，因为3±≠x ，故此时△NPQ 面积无最大值． ……………………7分根据椭圆的几何性质，不妨设0>m ．联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，123122y x my x 消去x 整理得：044)32(22=-++my y m ， ∴ 324221+-=+m m y y ，324221+-=m y y ， 则32)1(34122212++=-+=m m y y m PQ ．………………………………………9分 ∵ 当直线与l 平行且与椭圆相切时，此时切点N 到直线l 的距离最大， 设切线)3(<+='n n my x l ：， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，12322y x n my x 消去x 整理得：0624)32(222=-+++n mny y m ， 由0)62)(32(4)4(222=-+-=∆n m mn ， 解得：)3(3222-<+=n m n ．又点N 到直线l 的距离112+-=m n d ，∴ 32113232)1(3211212122222++-=++⨯+-⨯=⋅⋅=∆m m n m m m n PQ d S PMN， =∴2S 2222)32()1()1(12++-m m n ．…………………………………………………11分 将3222+=m n 代入得： )11()11(6222n n S --=， 令)033(1，-∈=n t ，设函数)1()1(6)(22t t t f --=， 则)12()1(12)(2+--='t t t f ，∵ 当t ∈)2133(--，时，)(t f '>0，当t ∈)021(，-时，)(t f '<0， ∴ )(t f 在)2133(--，上是增函数，在)021(，-上是减函数， ∴ 881)21()(min =-=f t f ． 故212=m 时，△NPQ 面积最大值是429．…………………………………13分 21．解：(Ⅰ))()()(x g x f x h +==)00(ln ln >>-+b a a b x x x ，，∴ b x x h ln 1ln )(++='，由0)(>'x h 解得be x 1>，由0)(<'x h 解得bex 10<<， ∴ 函数)(x h 的单增区间是)1(∞+，be ，函数)(x h 的单减区间是)10(be，． ………………………………………………………3分(Ⅱ)由)(0x f ≤)(0x g 可变为a b x x +00ln≤0． 令a b x x x p +=ln )(，]534[b a b a x ++∈，，则1ln )(+='bx x p ． 由0)(>'x p 可得e b x >，由0)(<'x p 可得e b x <<0， 所以)(x p 在)0(e b ，单调递减，在)(∞+，e b 单调递增．………………………6分 根据题设知：534b a b a +<+，可解得)70(，∈a b ． …………………………7分 ①若53b a +≤e b ，即)753[，ee a b -∈时， ∵ )(x p 在]534[b a b a ++，单调递减， ∴ a bb a b a b a p x p +++=+=53ln 53)53()(min ≤0， 即a b a b a b++⋅+3553ln ≤0对)753[，e e a b -∈恒成立． 令=t )753[，e e a b -∈，tt t t q +++=3553ln )(≤0， 则0)3(98)(2<++-='t t t t q ，即)(t q 在)753[，e e -上是减函数； 则052)53()(max <-=-=e e e q t q ， 所以对任意)753[，e e a b -∈，ab a b a b+++3553ln ≤0成立．……………………10分 ②当534b a e b b a +<<+，即)534(e e e e a b --∈，时， 当且仅当a e e b e bp x p +==1ln )()(min ≤0，即a b ≥e ，此时)53[e e e a b -∈，． ……………………………………………………11分 ③当4b a +≥e b 时， 即)40(ee a b -∈，时， ∵ )(x p 在]534[b a b a ++，上单调递减， ∴ a b a b a b a p x p +++=+=4ln 4)4()(min ≤0， 令=t )40(e e a b -∈，，即tt t t +++=1441ln )(ϕ≤0恒成立． 因为0)1(15)(2<++-='t t t t ϕ，所以)(t ϕ在)40(e e -，上是减函数，故存在无数个)40(0e e t -∈，，使得0)(0>t ϕ， 如取0221ln)1(10>+==ϕ，t 与)(t ϕ≤0恒成立矛盾，此时不成立． 综上所述，ab 的取值范围是)7[，e ．………………………………………14分。

乌鲁木齐地区2015年高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学（问卷）一、选择题：1． 已知集合2{x |x 2x 0},N {x |x 1},M R M C N =-<=>⋂=则 A ．[1,2) B.(1,2) C.[0,1) D.(0,1]选D ．【解析】∵{}02M x x =<<，{}1N x x =≤R ð，∴M N =R I ð(]0,1．故选D ．2.已知a R ∈，复数1a iz i-=-是纯虚数（i 是虚数单位），则a= A ． B.-1 C.1 D.选B ．【解析】∵()()()()1111122a i i a a z i i i -++-==+-+，由题意，得102a +=且102a -≠， ∴1a =-．故选B ．3.“a=1”是“直线x-ay-2=0与直线2ax-（a-3）y+1=0垂直”的 A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件A ．【解析】∵“直线20x ay --=与直线()2310ax a y --+=垂直”的充要条件是“()230a a a +-=也就是0a =或1a =”，所以“1a =”是“直线20x ay --=与直线()2310ax a y --+=垂直”的充分不必要条件．故选A ．4.执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出的y 值为A ．34- B. 12 C. 52D. 3选B ．【解析】当8x =时，3y =，385y x -=-=，53<不成立，3x =； 当3x =时，12y =，15322y x -=-=，532<成立，输出12y =．故选B ．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为正视图侧视图俯视图A ．1B.12 C. 13 D. 14．选D ．【解析】依题意，此几何体的直观图如图所示．∴11311224S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭底，A∴1311344P ABCD V -=⨯⨯=．故选D ．6.等比数列525n 2S 1{a }a +8a =0S n =S n n a 满足，设是数列{}的前项和，则 A ．-11 B. -8 C.5 D. 11选A ．【解析】由2580a a +=，得41180a q a q +=，解得 12q =-，易知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比为2-，首项为11a ，∴()()2121112112a S a ⎡⎤--⎣⎦==---，()()51511121112a S a ⎡⎤--⎣⎦==--，∴52=11S S -．故选A ．7.已知向量(x,1),b (y,2),a b |a+b|a =-=⊥且，则的最小值为A ．0 B. 1 C.2 D. 3选D ．【解析】由题意，()20,,1xy x y -=+=+a b ∴3+==a b ．故选D ．8.若,,tan 2sin =42ππθθθ⎡⎤∈=-⎢⎥⎣⎦则A ．45 B. 35 C. 34D.选C ．【解析】∵,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos20θ<，由tan 2θ=-1cos 28θ=-，而21cos 212sin 8θθ=-=-，∴3sin 4θ=．故选C ．9.过点M （2,1）且斜率为1的直线与抛物线y 2=2px 交于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则 p 的值为 A ．12 B.1 C. 32D. 2 ．选B ．【解析】设()()1122,,,,A x y B x y 则2112y px =，2222y px =，两式相减， 得()()()1212122y y y y p x x -+=-，依题意12x x ≠，∴12121AB y y k x x -==-，于是1222y y p +==，因此1p =．故选B ．10.奇函数f （x ）满足f （x+2）=-f （x ），当x 在（0,1）时，f （x ）=3x +0.5，则f （log 354）=A ． -2 B.-76 C. 76D. 2选A ．【解析】∵()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，∴()f x 是以4为周期的函数， 又∵()333332233log 544log log log log 3322f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易知 330log 12<<，∴33log 233131log 322222f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，∴()3log 542f =-．故选A ．11.在棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D 为BB1的中点，F 在AC1上，且DF ⊥AC1，则下述结论：1.AC1⊥BC ；2.AF=FC1；3.平面DAC1⊥平面ACC1A1中正确的个数为A ． 0 B.1 C. 2 D. 3 选C ．【解析】不妨设棱长为2，①连结1AB ，则1122AB AC ==，∴1190AC B ∠≠︒， 即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①错． ②连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中15AD DC ==， 而1DF AC ⊥，∴F 是1AC 的中点，∴②对． 由②知在1ADC ∆中3DF =，连结CF ，易知2CF =而在Rt CBD ∆中，5CD =，∴222DF CF CD +=， 即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，∴DF ⊥平面11AAC C ， ∴③对．故选C ．12.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若A=π/3，则a （cosC+3sinC ）A ． a+b B. b+c C. a+c D. a+b+c选B ．【解析】()cos 3sin a C C +=2sin cos R A C 23sin sin R A C +=2sin cos R A C3sin R C +1=2sin cos sin +sinC 2R A C C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()=2sin cos cos sin +sinC R A C A C +()=2sin +sinC R A C ⎡+⎤⎣⎦()2sin +sinC R B b c ==+．故选B ．二、填空题13.设变量x ，y 满足约束条件y ≥x ，x+2y ≤2，x ≥-2，则z=x-3y 的最小值为= 填8-.【解析】由题意，得可行域如图所示，133z y x =-与直线13y x =平行，当其过()2,2-时，纵截距3z -最大，为83，此时z 最小，最小值为8-．14.甲乙丙丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为填13.【解析】甲、乙相邻的方法有2323A A 种情况，如果满足甲、丙相邻，则有2222A A 种情况，所以所求的概率为2222232313A A A A =． 15已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支与A ，B 两点，若△ABF1是以A 为直角顶点的等腰三角形，e 为双曲线的离心率，则e 2=．填5-.【解析】设2AF m =，由122AF AF a -=，∴1222AF a AF a m =+=+，又1222AF AB AF BF m BF ==+=+，∴22BF a =，又122BF BF a -=， ∴14BF a =，依题意11BF =，即)42a a m =+，)21m a =，在12Rt F AF V 中222124AF AF c +=，即()222824a a c +-=即2225c a =-，∴2e=5-y=13x16.已知数列{a n }满足a1=1，an+a n+1=2n+1，Sn 是数列{1/an}的前n 项和，则下列结论：1.S2n-1=（2n-1）/an;2.S2n=Sn/2;3.S2n ≥3/2-1/2n+Sn/2;4.S2n ≥Sn+1/2,其中正确的是填③④．【解析】易知，22a =，由11221,23,n n n n a a n a a n ++++=++=+两式相减，得22n n a a +-=，即，此数列每隔一项成等差数列，由11a =，可得数列{}n a 的奇数项为1,3,5,,L 由22a =，可得其偶数项为2,4,6,,L 故n a n =． 令2n =，213116n S S -==，()13212n n a -⋅=，()21121n n S n a -≠-⋅，①错；令1n =，2213122n S S ==+=，1111222n S S ==，212n n S S ≠，②错； ∵21111123521n n S S n -=++++-L ，又221n n >-，∴11212n n >-， ∴1111113111352148222n n n L L ++++≥++++=--，故③正确； ∵2111,122n n S S n n n -=++++L 设()111122f n n n n=+++++L ， ∵()()1111110212212122f n f n n n n n n +-=+-=->+++++， ∴()()1f n f n +>，∴()f n 单增，∴()()112f n f ≥=，∴212n n S S -≥， ∴212n n S S ≥+()n *∈N ，故④正确. 三、解答题17.若函数f （x ）=sin2 sinaxcosax-1/2的图像与直线y=b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π/2的等差数列 （1）求a ，b 的值；（2）若x0∈[0,π/2]，且x0是y=f(x)的零点，试写出函数y=f(x)在[x0,x0+π/2]上的单调增区间（Ⅰ）()211cos 21sin cos 22222ax f x ax ax ax ax -=⋅-=-- sin 26πax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵()y f x =的图像与直线y b =相切，∴b 为()f x 的最大值或最小值， 即1b =-或1b =，∵切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列， ∴()f x 的最小正周期为2π，即222ππT a ==，0a >， ∴2a =，即()sin 46πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； …6分（Ⅱ）由题意知0sin 406πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()046πx k πk +=∈Z ,∴()0424k ππx k =-∈Z ，由()04242k πππk ≤-≤∈Z 得1k =或2k =， 因此0524πx =或01124πx =． 当0524πx =时，()y f x =的单调增区间为5,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和717,1224ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 当01124πx =时，()y f x =的单调增区间为75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …12分18.如图，正方体A1B1C1D1-ABCD 中，E ，F 分别是AD,BC1的中点 （1）求证：EF ∥C1CDD1；（2）在线段A1B 上是否存在点G ，使得EG ⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1-C1G-C 的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系A xyz -，不妨设正方体棱长为1，则()1001A ,,，()100B ,,，()110C ,,，()1111C ,,，1002E ,,⎛⎫ ⎪⎝⎭，11122F ,,⎛⎫⎪⎝⎭，（Ⅰ）∵1102EF ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r,平面11C CDD 的法向量()=0,1,0n ，由0EF ⋅=u u u rn ，得EF ⊥u u u r n ，又EF ⊄平面11C CDD ，∴//EF 平面11C CDD ．…6分（Ⅱ）假设在线段1A B 上存在点()0001G x ,,x -，使EG ⊥平面11A BC ，此时00112EG x ,,x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，()11110A C ,,=u u u u r ,()1101A B ,,=-u u u u r ,得11100EG A C EG A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u ru u u r u u u r, 即00010210x x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，得012x =，∴在线段1A B 上存在点11022G ,,⎛⎫⎪⎝⎭（即1A B 的中点）使EG ⊥平面11A BC ．∵EG ⊥平面11A BC ，∴平面11A GC 的法向量为1111222,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭n ，设平面1CGC 的法向量为()2222x ,y ,z =n ，则21CC ⊥u u u u r n ,2CG ⊥u u u r n ,()1=001CC ,,u u u u r ，11=122CG ⎛⎫-- ⎪⎝⎭u u u r ,，即2222011022z x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令21y =，得()2210,,=-n ，∴1212123cos ,5-⋅===-⋅n n n n n n 所以二面角11A C G C --的平面角的余弦值为5-． …12分19.某保险公司推出了一种保险期为一年的险种:若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年内意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002（1）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期未获得赔付金额的分布列和期望（2）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少？（Ⅰ）设夫妻两人在投保期末获得赔付的金额为ξ，ξ可取40，30，20，10，0（单位：万元）()2811401000010P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()712430210000100010P ξ==⨯⨯= ()28199********2021000010000100010P ξ⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭ ()7299793991610210001000010P ξ==⨯⨯= ()2899799958044101000010P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()440.0441000E ξ==(万元) （Ⅱ）10000人向保险公司缴纳的保险费为10000300⨯（元）=300（万元），保险公司为10000人赔付的费用为1210000201000010220100001000⨯⨯+⨯⨯=（万元），所以保险公司一年的盈利为30022080-=（万元）． …12分20.已知椭圆的离心率为1/2，点A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=（1）试求椭圆的方程；（2）l 与椭圆交于P ，Q 两点，点P 在第一象限，求证A ，P ，B ，Q 四点共圆（Ⅰ）依题意知，12ca =，AB =，即227ab +=，又222a bc -=，解得2a =，b ，∴椭圆的方程为22143x y += …5分（Ⅱ）设直线PQ 的方程为y m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆上， 将直线l 的方程代入椭圆方程22143x y +=，整理得223260x m ++-=则()221212260m m ∆=-->，21212263m x x x x -+== …①，又11y m =+，22y m =+，∴212123,2m y y m y y -+== …②， 设过点()()(112,0,,,A P x y B 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=于是240D F ++=，22111110x y Dx Ey F ++++=30F ++=∴D =3F =- …③ 令222222x y Dx Ey F t ++++=，∵22111110x y Dx Ey F ++++= ∴()()222211112222t x y Dx Ey F x y Dx Ey F =+++++++++()()()()22121212121212=222x x x x y y y y D x x E y y F +-++-+++++将①②③式代入此式，并化简，得1t =+- …④， 又()()222222221111t x y Dx Ey F x y Dx Ey F =++++-++++()()()()()()212121212121=x x x x y y y y D x x E y y +-++-+-+-将①②③式，及)2121y y x x -=- 代入此式，并化简，得()21162t m x x ⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭…⑤，依题意，12x x ≠，由④⑤得，2120tt x x +=-,∴0t =，或212x x -=-； 若212x x -=-，则()2211144843x x x x m +-=-=，得23m =，∴m =-m =此时直线l 经过点()(2,0,0,-或()(2,0,-，这与直线l 过椭圆在第一象限上的一点P 矛盾，所以0t =，故2222220x y Dx Ey F ++++=，即点Q 在过点,,A P B 三点的圆上，所以,,,A P B Q 四点共圆． …12分21.已知函数f （x ）=（e x -1）ln （x+a ）（a>0）在x=0处取得极值 （1）求a 的值（2）当x ≥0时，求证f(x)≥x 2（Ⅰ）∵()()1ln x xe f x e x a x a-'=+++，函数()f x 在0x =处取得极值，∴()00f '=，得ln 0a =，即1a =； …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()()1ln 1x f x e x =-+，令()()()21ln 1x g x e x x =-+-()0x ≥，则()()1ln 121x xe g x e x x x -'=++-+，令()()()()()()11ln 1121x x h x x g x e x x e x x '=+=+++--+()()()()()1ln 1ln 1142x x xh x e x x e x e x '=+++⎡++⎤+-+⎣⎦令()1x x e x j =--，则()1x x e j ¢=-， ⅰ）当0x £时，10x e -?ⅱ）当0x ³时，10x e -?，∴函数()x j 在区间(],0-∞为减函数，在区间[)0,+∞为增函数．∴()()min 00x j j ==，∴对x R Î，()0x j ³，即1x e x ≥+…①， 由①知1t e t -≥…②，当0t >时，由②得ln 1t t ≤-…③， 当0x ≥时，以11x +代换③式中t ，得()ln 11x x x +≥+…④， 当0x ≥时，1x e ≥由①，④得()()1ln 1x e x x x ++≥，()ln 1x e x x +≥， ∴()()()21420h x x x x x '≥+++-+=，∴函数()y h x =()0x ≥为增函数，∴当0x ≥，()()00h x h ≥=，即当0x ≥时，()()10x g x '+≥，且110x +≥>，∴()0g x '≥，∴函数()()0y g x x =≥为增函数，∴当0x ≥时，()()00g x g ≥=∴当0x ≥时，()0g x ≥，∴当0x ≥()2f x x ≥ …12分。