09第三章第1讲 函数与图像

函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。

2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。

对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。

（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。

3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。

（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。

（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。

二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。

2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。

（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。

周期函数的图像具有周期性。

（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。

三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。

函数的图像与性质课件函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。

它将输入值映射到输出值，可以用图像来直观地表示函数的性质。

本课件将介绍函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用函数。

一、函数的定义与图像表示函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

数学上常用的表示函数的方式有函数符号法、图像法和映射关系法。

其中，图像法是最直观且常用的一种方式。

图像法通过将函数的输入值和输出值表示在坐标系中，从而形成一个函数的图像。

在直角坐标系中，横轴表示输入值，纵轴表示输出值，将函数的所有点连接起来，就得到了函数的图像。

函数图像可以帮助我们观察函数的性质，如增减性、奇偶性等。

二、常见函数的图像与性质1. 线性函数线性函数是函数中最简单且最重要的一类函数。

它的图像呈现为一条直线，表达式为y=ax+b，其中a和b是常数。

线性函数的特点是斜率恒定，图像可以通过斜率和截距来确定。

2. 幂函数幂函数是一类以自变量为底数的函数，常见的有平方函数、立方函数等。

幂函数的图像呈现为一条曲线，其形状受幂指数的正负和大小的影响。

根据幂指数的奇偶性，可以确定幂函数的对称性。

3. 指数函数指数函数是以指数为变量的函数，常见的有以e为底的自然指数函数。

指数函数的特点是增长速度快，图像在原点处必过(0,1)，具有递增性质。

4. 对数函数对数函数是指以某个正常数为底数的函数，常见的有自然对数函数。

对数函数的图像在正半轴递增，并且在(1,0)处必过，具有递增性质。

5. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的有正弦函数、余弦函数等。

三角函数的图像周期性重复出现，并且具有交替性。

三、函数图像的应用函数图像不仅能够直观地展示函数的性质，还有很多实际应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动轨迹函数图像可以用于描述物体在不同时间的位置变化情况，常见的有抛物线轨迹、圆周运动等。

2. 经济学中的供需关系函数图像可以用于表示市场的供给和需求关系，帮助分析市场的平衡点和价格变化。

九年级数学函数和图像知识点数学作为一门基础学科，对于九年级的学生来说，其中的数学函数和图像知识点显得尤为重要。

掌握这些知识点对学生未来的学习和应用都具有重要意义。

本文将深入探讨数学函数和图像的相关概念和应用，以帮助学生更好地理解和应用。

一、函数的定义和性质函数是数学中常见的一个概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。

在数学中，一个函数通常表示为 y = f(x)，其中 x 和 y 分别代表自变量和因变量，f 表示对应的关系。

函数有许多性质，最基本的包括单调性、奇偶性、周期性和零点等。

1.1 单调性函数的单调性描述了函数图像随着自变量的增大或者减小的趋势。

当函数图像随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，我们称该函数为单调递增函数；当函数图像随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，我们称该函数为单调递减函数。

1.2 奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。

当函数图像关于 y 轴对称时，我们称该函数为偶函数；当函数图像关于原点对称时，我们称该函数为奇函数。

1.3 周期性周期性是函数的另一个重要性质，它描述了函数图像在一定的变换下重复出现的规律性。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。

周期函数的图像在一定的区间内重复变化，这个区间称为周期。

1.4 零点函数的零点是指因变量 y 等于零时的自变量值 x。

求解函数的零点可以帮助我们找到函数的交点、解方程等问题。

二、函数的图像及其性质了解函数的图像及其性质对于理解函数的变化规律非常重要。

2.1 一次函数一次函数的图像是一条直线，具有形如 y = kx + b 的表达式。

其中 k 代表斜率，b 代表截距。

斜率决定了函数图像的倾斜程度，正斜率对应上升的直线，负斜率对应下降的直线。

2.2 二次函数二次函数的图像是一个抛物线，具有形如 y = ax^2 + bx + c 的表达式。

其中 a 决定了抛物线的开口方向，正数表示开口向上，负数表示开口向下。

华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。

2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。

（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。

（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。

②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。

③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。

3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。

这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。

（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。

（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。

二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p （x,y ）在x 轴上→x 为任意实数，y=0（2）点p （x,y ）在y 轴上→x=0,y 为任意实数3 ．关于x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p （x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x,-y ）.（2）点p （x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x,y ）.（3）点p （x,y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y ）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p （x,y ）在第一、三象限夹角平分在线→x=y .（2）点p （x,y ）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同。

函数及图像的知识点总结函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析和高等代数的基础内容。

在数学中，函数是一种对应关系，可以简单的理解为一种特殊的映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。

在数学中，通常用f(x)来表示一个函数，其中x是自变量，f(x)是函数的因变量。

函数的定义：在数学中，函数是一个对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。

函数通常用一个算式或图形来表示。

函数可以用以下的方式表示：f：A→B其中，A是函数的定义域，B是函数的值域。

定义域表示函数的输入值的集合，值域表示函数的输出值的集合。

函数的定义域和值域决定了函数的有效输入和输出的范围。

函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的图形，通常用函数的定义域和值域的点来表示。

函数的图像可以用直线、曲线或点来表示。

通过函数的图像可以直观地看出函数的性质和特点。

常见的函数类型：1. 线性函数：线性函数是指函数的图像是一条直线。

线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

线性函数的图像是一条斜率为a，截距为b的直线。

2. 二次函数：二次函数是指函数的图像是一条抛物线。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。

二次函数的图像是一条开口的抛物线，开口的方向由二次项的系数a的正负决定。

3. 指数函数：指数函数是指函数的自变量为指数的函数。

指数函数的一般形式为f(x) =a^x，其中a为常数且a>0，a不等于1。

指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线的斜率由底数a的大小和正负决定。

4. 对数函数：对数函数是指函数的自变量为对数的函数。

对数函数的一般形式为f(x) =log_a(x)，其中a为常数且a>0，a不等于1。

对数函数的图像是一条递增或递减的曲线，曲线的斜率由底数a的大小和正负决定。

函数的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域和值域决定了函数的有效输入和输出的范围。

初中数学课堂教案：函数的概念与图像一、函数的概念与定义在初中数学中，函数是一个非常重要且普遍存在的数学概念。

它描述了不同变量之间的依赖关系，并能够通过图像形象地描绘出来。

本节课将着重介绍函数的基本概念和定义，并引导学生通过观察和实践掌握函数的图像特征。

1. 函数的含义函数是指一个或多个自变量（即输入）与一个因变量（即输出）之间存在确定而唯一对应关系的规则。

换句话说，对于每个自变量值，都有唯一确定的因变量值与之对应。

2. 函数的符号表示在数学中，可以用符号来表示函数。

通常，我们用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

这样，在给定x的值后，我们可以求得相应的f(x)。

3. 函数定义域和值域定义域是指所有使得函数有意义并能够进行计算的自变量取值范围；而值域则是所有可能因变量所对应的取值范围。

在教学过程中我们需要注意强调定义域和值域之间不可混淆。

4. 应用举例为了帮助学生更好地理解函数的概念，可以通过生活中的例子进行解释。

比如，当我们将水温作为自变量，用时间表示因变量时，就形成了一个函数关系。

二、函数图像的基本特征函数的图像是根据自变量与因变量之间对应关系绘制出来的几何图形。

学习观察并理解函数的图像特征有助于我们更好地理解和应用函数。

1. 函数图像与坐标系函数图像通常使用直角坐标系进行表示。

在笛卡尔坐标系中，自变量x轴水平方向，而相应的因变量f(x)则垂直于x轴。

通过在坐标系上绘制一组点，并将这些点依序连接起来，即可得到函数的图像。

2. 横截距和纵截距学生还需要熟悉如何计算函数图像与坐标轴的交点即横截距和纵截距。

横截距是指曲线与y轴（即自变量为0）相交处的纵坐标值；而纵截距则是指曲线与x轴（即因变量为0）相交处的横坐标值。

3. 函数增减性另一个重要特征是函数的增减性。

当自变量增大时，如果因变量也增大，则函数为递增函数；而如果因变量随着自变量的增大而减小，则函数为递减函数。

学习观察图像上的斜率和曲线形态有助于掌握函数的增减性。

函数与其图像知识点总结函数与其图像是数学中常见的概念，对于理解数学问题和解决实际问题具有重要意义。

在高中阶段，学生已经接触到了函数与其图像的相关知识，下面将从函数的定义、性质、图像绘制及应用等方面进行总结。

一、函数的定义1. 自变量和因变量函数是一个映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。

通常情况下，自变量用x表示，因变量用y表示。

在函数中，自变量的取值范围我们称之为定义域，因变量的取值范围称之为值域。

2. 函数的定义函数的定义包括了自变量的定义域和因变量的值域，以及自变量和因变量之间的对应关系。

一般情况下，我们用符号y=f(x)表示函数的定义，其中f表示函数名称，x表示自变量，y表示因变量。

3. 函数的表示函数可以用表达式、图像、数据表等形式进行表示。

常见的函数表示形式包括解析式表示、图像表示、数据表示等。

二、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性是指当自变量x的取值变化时，因变量y的取值是否满足某种对称性。

若对于任意x∈D，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；若对于任意x∈D，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。

2. 单调性函数的单调性是指当自变量x的取值增大时，因变量y的取值是单调递增还是单调递减。

若对于任意x1 > x2，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是递增函数；若对于任意x1 > x2，有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是递减函数。

3. 周期性函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复性。

若存在正数T，使得对于任意x∈D，有f(x+T) = f(x)，则函数f(x)是周期函数，其中T称为函数的周期。

4. 上下界函数的上下界是指函数在定义域内取值的最大值和最小值。

若存在常数M，使得对于任意x∈D，都有f(x) ≤ M，则M称为函数f(x)的上界；若存在常数m，使得对于任意x∈D，都有f(x) ≥ m，则m称为函数f(x)的下界。