奥数提高班第八讲：图形的初步认识

小学六年级奥数知识整理：几何初步认识1、长方形(1) 特征对边相等， 4 个角都是直角的四边形。

有两条对称轴。

(2) 计算公式c=2(a+b)s=ab2、正方形(1) 特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

有 4 条对称轴。

(2) 计算公式c=4as=a23、三角形(1) 特征由三条线段围成的图形。

内角和是180 度。

三角形具有稳定性。

三角形有三条高。

(2) 计算公式s=ah/2(3) 分类按角分锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角是直角。

等腰三角形的两个锐角各为45 度，它有一条对称轴。

钝角三角形：有一个角是钝角。

按边分不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等; 三个内角都是60度;有三条对称轴。

4、平行四边形(1) 特征两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。

对角相等，相邻的两个角的度数之和为180 度。

平行四边形容易变形。

(2) 计算公式s=ah5、梯形(1) 特征只有一组对边平行的四边形。

中位线等于上下底和的一半。

等腰梯形有一条对称轴。

(2) 公式s=(a+b)h/2=mh6、圆(1) 圆的理解平面上的一种曲线图形。

圆中心的一点叫做圆心。

一般用字母o 表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用r 表示。

在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用 d 表示。

同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r 。

圆的大小由半径决定。

圆有无数条对称轴。

(2) 圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径); 把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心) 上; 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

(3) 圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。

用字母n表示。

《图形认识初步》1、几何图形：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。

几何图形分为平面图形和立体图形。

（1）平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面内的图形，如直线、三角形等。

（2）立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体。

2、常见的立体图形（1）柱体：A 棱柱---有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱。

B 圆柱---以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转一周二形成的曲面所围成的集合体叫做圆柱。

（2）椎体：A 棱锥—有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

B 圆锥—以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面围成的几何体叫做圆锥。

（3）球体：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做球体。

（4）多面体：围成棱柱和棱锥的面都是平的面，想这样的立体图形叫做多面体。

3、 常见的平面图形（1）多边形：由线段围成的封闭图形叫做多边形。

多边形中三角形是最基本的图形。

（2）圆：一条线段绕它的端点旋转一周而形成的图形。

（3）扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形。

4、 从不同方向观察几何体从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、侧视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。

例题：1、如图是一些小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图：主视图 左视图例题：2、下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为 （ ）5、 立体图形的展开图有些立体图形是有一些平面图形围成的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平面图形称为立体图形的展开图。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------《图形的初步认识》知识总览《图形认识初步》中考知识温故斋【课程标准要求】1. 直观认识立体图形、展开图和平面图形。

2. 掌握点和线的基本性质。

3. 正确理解两点间距离的含义。

4. 掌握点、线段、直线、射线的表示方法。

5. 会比较两线段的大小。

6. 理解角的两种定义，掌握角的三种表示方法。

7. 会比较两角的大小，理解角的和、差、角平分线的意义。

8. 理解互为余角和补角的概念，认识对顶角的概念。

【梳理中考考点】 1. 常见的立体图形有：圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球体。

象围成棱柱、棱锥等立体图形的面都是平面的立体图形又称为多面体。

2.立体图形的平面展开图。

3.线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。

4.角平分线：把一个角分成两个相等的角的射线。

5.互为余角：如果两个角的和等于直角（），那么就称这两个角互为余1 / 5角。

6.互为补角：如果两个角的和等于平角（），那么就称这两个角互为补角。

（互为余角与互为补角都是指两个角的一种特殊关系） 7.几个重要结论：（1）两点之间，线段最短. （2）经过两点有且只有一条直线。

（3）同（等）角的余角相等，同（等）角的补角相等。

【解读经典考题】考点 1：立体图形的展开图问题例 2（诸暨市课改实验区）：下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是-------（）【解读】：立体图形的展开图问题主要考查同学们的空间想象能力。

这里选 C。

．【练习 1】（广东省课改实验区）：水平放置的正方体的六个面分别用前面、后面、上面、下面、左面、右面表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中2 在正方体的前面，则这个正方体黄红黄红绿绿黄红绿红绿黄绿红红绿黄黄绿红黄红黄绿A．B．C．---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------3 / 5D ． A B C D 的后面是 ( ) A ． O B ． 6C ． 快D ． 乐 考点 2。

第8讲图形的初步认识一、学习策略指引简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，需要在图形形状方面进行想象和判断，掌握立体图形和平面图形的联系与转化，可以培养抽象的空间想象能力.1.三视图:就是从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，从正面看到的图形，称为正视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看的方向不同，有左视图、右视图.2.一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看.3.一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。

例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等.4.技巧与方法：由三视图想象物体的形状，对初学者来说是一个难点，需按规律操作：抓住俯视图，结合其它两种视图，发挥空间想象.例如对简单组合体可在俯视图上操作，参照主视图从左到右，结合左视图从前排到后排，确定每一个位置上的正方体的个数，在相应的俯视图上标上数字.5.钟表问题:钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度．二、型例题分析:例1:由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主（正）视图见图2，那么它的俯视图为（）图1 图2 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．例2.如图是由几个完全相同的小正方体所垒的几何体的俯视图，小正方形中的数字代表该位置小正方体的块数，请你画出这个立方体的正视图和左视图．例3.一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（）.A. 19m2B. 21m2C. 33m2D. 34m2例4.时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合？三、专项练习(一)选择题:1.如下图是有一些相同的小正方体构成的立体图形的三视图.这些相同的小正方体的个数是（）A.4B.5C.6D.72.下图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（）.3．如图是一个物体的三视图，则该物体的形状是（）A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.三棱柱4.已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的主视图和左视图如图所示，那么x的最大值是（）.A．13 B．12C．11 D．105.如右图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）左视图正视图俯视图主视图左视图6.正方体的平面展开图是右图，原正方体形如（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．(二)填空:7.一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子.C 2B 1A 4(第8题)(三)探究8.如图是一个正方体木块的表面展开图。

小学六年级的数学中，几何初步认识是非常重要的一部分。

在几何学中，学生将学习各种形状、图形的属性和关系。

这方面的知识能够帮助他们理解空间和形状，并发展他们的空间思维能力。

以下是小学六年级奥数几何初步认识的一些重要知识点。

1.点、线和面：学生需要了解点、线和面的概念。

点是没有大小和形状的，线是由无限多个点组成的，面是由无限多个线段组成的，可以看作是没有厚度的平面。

2.二维和三维：学生需要区分二维和三维的概念。

二维是指平面上的图形，只有长度和宽度，而三维是指有高度的图形，具有长度、宽度和高度。

3.直线和曲线：学生需要能够辨别直线和曲线。

直线是由无限多个连续的点组成的，在两个点之间是最短的路径。

曲线则是有弯曲的，没有最短路径的。

4.线段和射线：学生需要理解线段和射线的概念。

线段是由两个端点及其之间的点组成的，有确定的长度。

射线则是由一个起点和其上的任意点组成的，没有终点，但有一个方向。

5.角：学生需要学习角的概念。

角是由两条射线共享一个起点形成的，起点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。

6.直角、锐角和钝角：学生需要学习直角、锐角和钝角的概念。

直角是90度的角，锐角是小于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角。

7.平行和垂直：学生需要学会判断两条线段或者两条线是否平行或者垂直。

平行的线段在同一平面上，永远不会相交。

垂直的线段或线相交，并且形成90度的角。

8.三角形：学生需要学习三角形的属性和分类。

三角形是由三条线段组成的图形。

根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

9.正方形、长方形和平行四边形：学生需要学习正方形、长方形和平行四边形的属性和特点。

正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

长方形的相对边相等，四个角都是直角。

平行四边形的对边平行，相对边相等。

10.圆和圆心：学生需要学习圆和圆心的概念。

圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。

这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。

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下面是 1、几何图形点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复 杂的世界，它们都称为几何图形。

从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

有些几何图形的各部分不在同一平面内，叫做立体图形。

有些几何图形的各部分都在同一平面内，叫做平面图形。

虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相 联系的。

2、几何图形的分类几何图形一般分为立体图形和平面图形。

3、直线几何学基本概念，是点在空间内沿相同或相反方向运动 的轨迹。

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标 系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行;有无穷多解时，二直线重合;只有 一解时，二直线相交于一点。

常用直线与轴正向的夹角叫直线的倾斜角或该角的正切称直线 的斜率来表示平面上直线对于轴的倾斜程度。

4、射线在欧几里德几何学中，直线上的一点和它一旁的部分所 组成的图形称为射线或半直线。

5、线段指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的 图线，如实线的线段或由长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔组 成的双点长划线的线段。

线段有如下性质两点之间线段最短。

6、两点间的距离连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。

7、端点直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫 做线段的端点。

线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示，有时这些字 母也表示线段长度，记作线段或线段，线段。

其中表示直线上的任意两点。

《图形的初步认识》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1. 经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何图形1.几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.2.几何体的构成元素几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本事实(1)直线:两点确定一条直线． (2)线段:两点之间线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB ＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC ＝AC ，或AC ＝a+b ；AD ＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PN要点三、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.4.角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.5.余角、补角（1）定义：若∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （2）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．6.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.【典型例题】类型一、几何图形1.对于棱柱体而言，不同的棱柱体由不同的面构成：三棱柱由2个底面，3个侧面，共5个面构成；四棱柱由2个底面，4个侧面，共6个面构成；五棱柱由2个底面，5个侧面，共7个面构成；六棱柱由2个底面，6个侧面，共8个面构成；（1）根据以上规律判断，十二棱柱共有多少个面？（2）若某个棱柱由24个面构成，那么这个棱柱是什么棱柱？（3）棱柱底面多边形的边数为n，则侧面的个数为多少？棱柱共有多少个面？（4）底面多边形边数为n的棱柱，其顶点个数为多少个？有多少条棱？【答案与解析】解：(1)十二棱柱由2个底面，12个侧面，共14个面构成．(2)这个棱柱有24个面，由于底面有2个，故其侧面共有22个，从而这个棱柱是二十二棱柱．(3)棱柱底面多边形的边数与侧面的个数是相等的，即底面多边形的边数为n，则侧面的个数也为n，棱柱的面数为(n+2)．(4)底面多边形的边数为n的棱柱，其顶点个数为2n个，共有3n条棱．【总结升华】根据立体图形的特点，从特殊到一般，寻找规律．举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（）A. B. C. D.【答案】B类型二、线段和角的概念或性质2.下列判断错误的有( )①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．A．0个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA＝PB，只有当点P在线段AB上时，才是线段AB的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数有( )①若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B 提示：③正确3. (安徽芜湖)如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于()．A．330°B．315°C．310°D．320°【答案】B【解析】通过网格的特征首先确定∠4＝45°．由图形可知：∠l与∠7互余，∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关．举一反三：【变式】如图所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3＝∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2，∠3．【答案】解：因为∠AOE ＝90°，所以∠2＝90°-∠1＝90°-27°20′＝62°40′． 又∠AOD ＝180°-∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD ．所以∠3＝12∠AOD ＝76°20′． 答：∠2为62°40′，∠3为76°20′．4. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．【答案与解析】解：设时针转过的度数为x °时，与分针第一次重合，依题意有： 12x ＝90+x 解得9011x =答：时针转过9011⎛⎫⎪⎝⎭°时，与分针第一次重合． 【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决． 举一反三：【变式】125°÷4＝ °＝ ° ′ 【答案】31.25，31、15类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算 1.方程的思想方法5. 如图所示，B 、C 是线段AD 上的两点，且32CD AB =，AC ＝35cm ，BD ＝44cm ，求线段AD 的长．【答案与解析】解：设AB ＝x cm ，则3cm 2CD x =(35)cm BC x =-或3(44)cm 2x -于是列方程，得335442x x -=-解得：x ＝18，即AB ＝18(cm ) 所以BC ＝35-x ＝35-18＝17(cm )33182722CD x ==⨯=(cm ) 所以AD ＝AB+BC+CD ＝18+17+27＝62(cm )【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解． 2.分类的思想方法6. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知AD ＝59DB ，AC ＝95CB ，且CD ＝4cm ，求AB 的长．【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小． 【答案与解析】 解：利用条件中的AD ＝59DB ，AC ＝95CB ，设DB ＝9x ，CB ＝5y ， 则AD ＝5x ，AC ＝9y ，分类讨论：（1）当点D ，C 均在线段AB 上时，如图所示：∵ AB ＝AD+DB ＝14x ，AB ＝AC+CB ＝14y ，∴ x ＝y∵ CD ＝AC －AD ＝9y －5x ＝4x ＝4，∴ x ＝1，∴ AB ＝14x ＝14(cm )． （2）当点D ，C 均不在线段AB 上时，如图所示：方法同上，解得87AB =(cm )．（3）如图所示，当点D 在线段AB 上而点C 不在线段AB 上时，方法同上，解得11253AB =(cm )．（4）如图所示，当点C 在线段AB 上而点D 不在线段AB 上时，方法同上，解得11253AB =(cm )．综上可得：AB的长为14cm，87cm，11253cm．【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．。

第四章图形的初步认识教学重点：1、从实物中抽象几何图形，把立体图形转化为平面图形。

2、理解并掌握直线性质，会用字母表示直线、射线、线段，•会根据语言描述画出图形。

3、画一条线段等于已知线段，比较两条线段的长短。

4、在现实情境中，了解线段的性质“两点之间，线段最短”。

5、线段的计算。

例2、下列图形中是正方体的展开图的为（）A B C D解：C【小结】：解这类问题应注意：（1）立体图形中相对的面在平面展开图中是不能相邻的；（2）立体图形中经过同一顶点的面只有3个，因此在平面展开图中过同一个顶点的正方形最多也只能有3个，而且在展开图中必【小结】：从不同的方向观看立方体组合体的视图问题是近几年中考和竞赛的热点.由小立方体搭成的组合体的形状和大小取决于它的排、列、层数以及各排、各列、各层中小立方体的个数和排列的位置.正视图可以观察到层和列的情况；俯视图可以观察到它的列和排的情况；左视图可以观察到它的层和列的情况。

例7、已知线段AB =10,点C 在直线AB 上，且AC =4,若点D 是AB 的中点，求DC 的长．分析：由D 是AB 的中点，AB ＝10知AD =BD =5,而点C 在直线AB 上，可以考虑点C 在A 的左和右两种情况，当在左侧时，如图： A B此时AD =5,AC =4，所以DC ＝9．当点C 在A 右侧时，如图： A B此时AD =5,AC =4,所有DC =1．解：（1）当点C 在点A 左侧时，因为点D 是AB 的中点，所以AD =AB 21，又AB ＝10， 所以AD =5，所以DC =AD +AC ＝9， （2）当点C 在点A 右侧时，因为点D 是AB 的中点，所以AD =AB 21， 又AB ＝10，所以AD =5，所以DC =AD －AC ＝1．【小结】：点C 是在直线AB 上与点C 是在线段AB 上是有区别的,因此有两种情形:点C 在AB 之间或在AB 之外。

例8、如图, ⑴已知点C 在线段AB 上,AC ＝3㎝,CB ＝2㎝,点M 、N 分别是AC 、CB 的中点,求MN 的长.⑵根据⑴的计算过程和结果,若AC ＋CB ＝a .,其他不变,你能求出MN 的长度吗?请用一句简洁的语言表述你发现的规律.⑶题⑴中,若把“点C 在线段AB 上”改成“点C 在直线AB 上”, 其他条件不变,求MN 的长.结果会有变化吗?. 解：⑴∵AB ＝AC ＋CB ＝3＋2＝5（㎝）又∵CM ＝21AC ，CN ＝21CB ∴MN ＝MC ＋CN ＝21AC ＋21CB ＝21（AC+CB ）=21AB =2.5（㎝） ⑵由⑴,可得 MN=21（AC+CB ）=a 21 规律：线段上任意一点把线段分成两部分，两部分的中点之间的距离等于原线段长度的一半。

第八讲图形的初步认识一、相关知识链接：1、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

2、认识立体图形和平面图形立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

我们常见的立体图形有。

我们常见的平面图形有。

3、立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法（1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从看）、左视图（从看）、俯视图（从面看）得到的三个平面图形。

（2）立体图形的平面展开图：常见立体图形的平面展开图正方体（共十一种）、长方体、圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥（四棱锥），球体4、正方体的平面展开图：11种正方体表面展开图具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后，方向会不同，但相对位置不变，这些不重复计算．1．“一·四·一”型，中间4个连一排，两边各一随便放，共有6种。

2．“二·三·一”型，二三相连错一个，三一相连随便放，共3种。

3．“二·二·二”型，阶梯错开放，共1种。

4．“三·三”型，共1种。

俯视正视图 左视图二、基础夯实1、图中是同一个几何体的三种视图，请写出这个几何体 的名称：_________。

2、如果一个几何体的正视图和左视图都是等腰三角形，而且俯视图是一个圆，那么这个几何体是___。

3、圆柱体、球、三棱柱，这四个几何体中有三个从某个角度看到的图形都是一种几何图形，则另一个几何体是()4、用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是( )A ．球B ．圆锥C ．圆锥D ．正方体5、立方体各面上的数字是连续的整数，如果相对的两个面上的两个数的和都相等，那么这三对数的总和是( )A ．76B ．78C ．80D ．816、如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从正面、左面、上面看到的图形，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个从正面看 从左面看 从上面看 7、将右图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是()8、四棱柱的顶点数、棱数、面数分别为( ) A ．8，12，6 B ．8，10，6 C ．6，8，12 D ．8，6，129、观察下列图形，其中不是正方体的展开图的为()A ．B ．C ．D ．10、已知一个正方体的每一面都填有唯一一个数字，且各相对面上所填的数互为倒数，若这个正方体的平面展开图如右图所示，则A 、B 的值分别是( )A ．13，12B ．13，1 C ．12，13D ．1，13三、典型例题151411BA 3121c 8425ba【例1】一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如右图的形状，然后他把露出的表面涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为( ) A ．19平方米 B ．21平方米 C ．33平方米 D ．34平方米【变式题组】赏析一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上等距离地切两刀．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．刀痕与棱平行．．．．．．)．，得到．．．27．．个小正方体，．．．．．．而且切面均为白色，问：．．．．．．．．．．． (1)27．．．．．个小正方体中，三面是红色，两面是红色，一面是红色，各面都是白色的正方体各有几块．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?． (2)．．．每面切三刀，上述各问的结果又如何．．．．．．．．．．．．．．．．?．每面切．．．n ．刀呢．．?．【例2】骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7．将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“*”所代表的数是（ ） A 、6B 、5C 、4D 、2【变式题组】1、李明为好友制作一个(右图)正方形礼品盒，六个面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是( )2、一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且 相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ ）A ．40 B.38 C.36 D. 343、将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．4、下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）【例3】用小立方块搭成的几何体的主视图和左视图都是如图所示，这个几何体中小立方块最少有______块，最多有______块．【变式题组】1、由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是( )21231A ．B ．C ．D ．2、**用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和左视图如图所示，那么，要摆出这样的几何体最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小方立块？3、**用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示．这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？A ．B ．C ．D ．左视图 俯视图四、培优升级 奥赛检测1、如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的从正面看到的图形为( )211423A ．B ．C ．D ．2、将圆柱形纸筒沿母线AB 剪开铺平，得到一个矩形(图1)；如果将这个纸筒沿线路BMA (2)剪开铺平，得到的图形是( ) A ．平行四边形B ．矩形C ．三角形D ．半圆3、一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（ ） A 、6B 、8C 、12D 、244、一根单线从纽扣的4个孔中穿过(每个孔只穿过一次)，其正面情形如图所示，下面4个图形可能 是其背面情形的是( )5、将如右图所示的Rt △ABC 绕直角边BC 旋转一周，所得几何体从左面看到的是( )6、下左图是一个正方体的平面展开图，这个正方体是( )A．B．C．D．7、用M、N、P、Q各代表四种简单几何图形(线段、正三角形、正方形、圆)中的一种，下图①至④是由M、N、P、Q中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示)．那么下列组合图形表示P&Q的是( )8、如图左是用小立方块搭成的一个几何体，它的主视图和俯视图如下图所示：这样的几何体只有一种吗？答：______（回答是或不是只有一种）；它最少需要______个小立方块，最多需要______个小立方块．9、如图上右，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（）A、9B、10C、11D、1210、新颖题型正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .俯视正视图 左视第九讲 图形的初步认识答案一、相关知识链接：1、点、线、面、体 （1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

小学六年级奥数知识：几何初步认识（平面图形）这篇关于小学六年级奥数知识：几何初步认识（平面图形），是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！二、平面图形1、长方形（1）特征对边相等，4个角都是直角的四边形。

有两条对称轴。

（2）计算公式c=2(a+b)s=ab2、正方形（1）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

有4条对称轴。

（2）计算公式c=4as=a23、三角形（1）特征由三条线段围成的图形。

内角和是180度。

三角形具有稳定性。

三角形有三条高。

（2）计算公式s=ah/2（3）分类按角分锐角三角形：三个角都是锐角。

直角三角形：有一个角是直角。

等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。

钝角三角形：有一个角是钝角。

按边分不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。

4、平行四边形（1）特征两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。

对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。

平行四边形容易变形。

（2）计算公式s=ah5、梯形（1）特征只有一组对边平行的四边形。

中位线等于上下底和的一半。

等腰梯形有一条对称轴。

（2）公式s=(a+b)h/2=mh6、圆（1）圆的认识平面上的一种曲线图形。

圆中心的一点叫做圆心。

一般用字母o 表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用r表示。

在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用d表示。

同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。

圆的大小由半径决定。

圆有无数条对称轴。

（2）圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

（3）圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

课题图形的初步认识教学目标掌握线段、射线、直线的性质会线段的比较大小重点、难点重点:线段、射线、直线的性质线段的比较大小难点:线段的比较大小与和差倍分考点及考试要求掌握线段、射线、直线的性质线段的比较大小与和差倍分规律例 1 如图，图中有几条射线？能用字母表示出来的有几条？将它们分别表示出来。

例2如图所示，你知道图中共有几条直线、几条射线？（不添加字母，直接可以读出．）几条线段？它们分别是什么？例 3 如图，以点A、B、C、D、E、F为端点的线段共有几条？分别把它们写出来．例4、如图，已知点C、D在线段AB上，线段AC=10 cm，BC=4 cm，取线段AC、BC的中点D、E．（1）请你计算线段DE的长是多少？（2）观察DE的大小与线段AB的关系，你能用一句简洁的话将这种关系表述出来吗？（3）若点C为直线AB上的一点，其他条件不变，线段DE的长会改变吗？如果改变，请你求出新的结果．例5、已知AB＝16cm，C是AB上一点，且AC＝10cm，D为AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长．例6、（1）过一个已知点可以画多少条直线？（2）过两个已知点可以画多少条直线？（3）过平面上三点A、B、C中的任意两点可以画多少条直线？（4）试猜想过平面上四点A、B、C、D中的任意两点可以画多少条直线？例7、如图，A、B是两个车站，若要在公路l上修建一个加油站，如何使它到车站A、B的距离和最小，请在公路l 上标出点P 的位置，并说明理由．8，数线段，找规律：下列各图中，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数，条线段； 条线段； 条线段； 条线段； (1) 请猜想，当线段AB 上有10个点时（含A 、B 两点），有几条线段？ （2）n 个点呢（n ≧2）知识点二： 余角与补角例1. （1）∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠4和∠1互补，∠3＝153°，求∠4= （2）一个角的补角是 （ ） A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D 、以上三种情况都有可能 （3）一个锐角的补角比这个角的余角大 （ ） A 、30º B 、45º C 、60º D 、90º（4）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=240º，由∠2是∠1的 （ ） A 、512倍 B 、5倍 C 、11倍 D 、无法确定倍数 （5）若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1的余角是 （ ） A 、∠1 B 、∠1+∠2 C 、）（2121∠+∠ D 、）（2121∠-∠（6）已知三个非零度角的度数之和为180°，则这三个角中至少有一个角不大于（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°例2. 如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOE ＝∠FOD ＝90°，OB 平分∠COD ，请你观察图中与∠DOE 互ABlDCEBCBABACBAA余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？例3. 小华从A点出发向北偏东50°方向走了80米到达B地，从B地又向西走了100米到达C地．（1）用1∶2000的比例尺（即图上1cm等于实际距离20米）画出示意图；（2）请你用刻度尺量出AC的距离；（3）你知道C点距A点的实际距离是多少米吗？（精确到1米）C点的方向角为多少度呢？（精确到1°）例4. 如图，BOCAOB∠∠,是互补的两个角，OD平分,AOB∠︒=∠∠=∠66,21DOEEOCBOE，试求∠EOC的度数．例5.（1）指出图中OA、OB所处的位置．（2）画出OC射线，OC射线在北偏西45°．针对性训练：1．选择题：（1）下列说法正确的是（）A．一个角既有余角又有补角，它的补角一定比其余角大B．若90,60,30===Qβα，则Q,,βα互补C．把一个角分成两个角的射线，叫做这个角的平分线．D．若两个角相等，则这两个角的余角的补角也相等（2）锐角α的补角比它的余角（ ）A ．大90°B ．小90°C ．大αD ．小α （3）一个锐角的补角与这个锐角的余角之间的差是（ ）． A ．45° B ．60° C ．90° D ．无法确定 （4）若α∠与β∠互为补角，且βα∠>∠，则β∠的余角是（ ）．A ．α21B ．β21C ．)(21βα+D ．)(21βα-（5）．如果两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角一定是（ ）．A ．必有一个是直角B ．都是直角C ．一个锐角，一个钝角D ．都是钝角 (6)下列说法不正确的是（ ）．A ．钝角没有余角，但一定有补角B ．两个角相等且互补，则它们都是直角C ．锐角的补角比该锐角的余角大D ．一个锐角的余角一定比这个锐角大 (7)如图，AB CD ACB ⊥︒=∠,90于D ，图中1∠的余角有几个（ ）． A ．1 个 B ．2 个 C ．3个 D ．4个（8）若互补的两角有一条公共边，则这两个角的平分线所形成的角为（ ）． A ．一定是直角 B ．一定是锐角 C ．一定是钝角 D ．是直角或者锐角（9）如图，α=∠=∠=∠AOC COD AOB ,90，则BOD ∠的度数是（ ） A ．α+ 90 B ．α290+ C ．α- 180 D ．α2180-（10）．甲看乙的方向是北偏东30°，则乙看甲的方向是（ ）A ．南偏东60°B ．南偏东30°C ．南偏西30°D ．南偏西60°(11)．海洋中有一只船，先从A 点出发向西北方向航行2海里到达B 点，再由B 点向正北方向航行3海 里到达C 点，再由C 点向东南方向航行2海里到达D 点，这时D 点在A 点的（ ） A ．正北方向 B ．北偏东方向 C ．北偏西方向 D ．正东方向 2．∠α＝79°25′，则∠α的补角是多少？3.一个角的余角比它的补角的1/3还少20°，这个角的度数是多少？4.如果两个角的余角的度数之比为3：2，这两个角的补角的度数之比为9：8，求这两两个角的度数．5．如图所示，由点O 引出六条射线OF OE OD OC OB OA ,,,,,，且OF AOB ,90︒=∠平分OE BOC ,∠平 分AOD ∠，若︒=∠170EOF （包括COD ∠在内），求COD ∠的度数?6．1,221∠∠=∠的余角的3倍等于2∠的余角，求2,1∠∠的度数．7.如图，AOB 是一条直线，OC 是一条射线，BOC BOE AOC AOF ∠=∠∠=∠21,21，①求证：1∠与2∠互余②指出图中所有互余的角和互补的角．★8．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，试判断∠CBD 的度数是多少？★9．如图，O 是直线AB 上一点，OC 是任一条射线，OD 、OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线． （1）请你找出图中∠AOD 的补角，∠BOE 的补角；（2）∠BOC ＝50°，试求∠COD 和∠EOC 的度数分别是多少？并观察它们的关系；（3）当∠AOB 不是平角时，如图所示，OD ，OE 依然是∠AOC 和∠BOC 的平分线，试探究∠DOE 与∠ AOB 的关系．10．根据余角和补角的定义可知：10°角的补角为170°，余角为80°；15°角的补角为165°，余角为75°；32°角的补角为148°，余角为58°；40°角的补角为140°，余角为50°．观察以上几组数据，你能得到怎样的结论？请用任意角α代替题中的10°、15°、32°、40°来说明你的结论？查漏补缺1．下列说法正确的是（）A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条射线叫做角C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角2．下列说法不正确的是（）A．周角是平角的2倍 B．平角度数是90°的2倍C．平角就是一条直线 D．周角的始边与终边互相重合3．下列说法正确的是（）A．90°角是余角; B．如果一个角有补角，那么它一定有余角C．若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补; D．等角的余角一定相等4．若∠A与∠B互补，且∠A>∠B，则∠B的余角是（）A．12（∠A-∠B） B．12（∠A+∠B） C．12∠A+∠B D．∠A-12∠B5．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A B C D6．下列语句中错误的是（）A．若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补 B．若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°C．若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角 D．若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠27．（1)三条直线两两相交，形成对顶角的对数有（）A．3对 B．6对 C．6对或12对 D．12对(2)4条直线相交于同一点，对顶角的对数有（）A．6对 B．8对 C．10对 D．12对8．下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角 B．如果∠1与∠2的补角都是∠3，则∠1与∠2是对顶角 C．互余的两个角均不会是钝角 D．一个角的补角一定会比这个角大9．如图所示，P为直线L外一点，点A，B，C在直线L上，且PB⊥L，下列说法：①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB的长叫做点P到直线L的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③①第9题第10题第11题10．如图所示，点O表示某运动员跳远时的起跳点，P，M•分别表示两脚在坑里的位置，PQ，MN分别垂直于起跳线L，垂足分别为Q，N，则该运动员跳远成绩应该是（• ）A．线段OP的长 B．线段PQ的长 C．线段MN的长 D．线段OM的长11．如图所示，点A到直线CD的距离是指哪条线段的长（）A．AB B．CD C．BD D．AD12．已知点A，B分别在直线L外和直线L上，点A到直线L的距离等于5cm，那么（）A．AB>5cm B．AB≥5cm C．AB<5cm D．AB≤5cm13．已知在同一平面内有三条直线AB，CD，EF，且AB∥CD，CD⊥EF，则直线AB•与直线EF的位置关系是（） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定14．如图所示，四边形ABCD，AECF都是平行四边形，•则图中的平行线的组数是（）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组二、填空：1、（1）0.3°=______=______；（2）1296″=_______=________；（3）72.32°=_______；（4）121°36′36″=________；（5）90°-43°42′=_______．2．比较∠1=30°12′，∠2=30°11′59″，∠3=30.12°的大小．3．计算：（1）180°-（75°40′23″+31°35′49″）；（2）24°14′24″+55.48°；（3）123°24′-60°36′42″（1）36°24′36″×3；（2）22.38°÷4．4．解下列关于钟表上时针与分针所成角的问题：（1）上午8时整，时针与分针成几度角？（2）上午7时55分，时针与分针所成的角是等于120°，大于120°，还是小于120°？（3）一天中有多少次时针与分针成直角？（4）时间为20：30分时，时针与分针的夹角是？（5）8：40到9：20，时钟的时针转动的角度是_______5．借助量角器，根据下列语句画图，并标上相应的字母，然后回答问题：①画射线OA；②以OA为始边，沿逆时针方向，作∠AOB=60°；③以OB为始边，沿逆时针方向，作∠BOC=30°；④以OC为始边，沿逆时针方向，作∠COD=90°；⑤反向延长OC至E．问题：（1）量一量，图中有几个平角？（2）小于平角的角，图中又有几个？6．在∠AOB的内部，（1）画1条射线OA1共有几个角？把它们表示出来；（2）画2条射线OA1，OA2共有几个角？把它们表示出来；（3）画3条射线OA1，OA2，OA3，共有几个角？（4）画n条射线OA1，OA2，OA3，…，O A n，共有几个角？7．如图所示，已知射线OC平分∠BOE，射线OD平分∠AOE，且∠AOB=110°．（1）求∠COD的度数；（2）若∠COE=30°，求∠AOD的度数．8．如图所示，∠AOB与∠AOD的度数之比为2：11，∠AOC=∠BOD=Rt∠，•求∠AOB，∠BOC和∠AOD的度数．9．如图所示，∠AOB=35°，∠AOD=105°，∠COA=70°，试问在图中，哪条射线是哪个角的角平分线？10．如图所示，（1）图中共有几个角？（2）哪个角最大？（3）你能否找出一个角，使它能表示为另外两个角的和？这样的角有几个？试把它们写出来．12．如图所示，已知OC是∠AOB的平分线，∠COD=∠BOE=90°，∠AOE=140°，求∠BOD的度数．13．如图所示，∠AOB是直角，作射线OC，OD，使∠AOD=42°，∠BOC=68°，求∠COD的度数．14．如图所示，已知∠COB=n∠AOC（n>1），OD平分∠AOB．（1）求∠COD与∠AOB的比值（用关于n的式子表示）；（2）若∠COD：∠AOB=1：6，求n的值．15．如图所示，已知∠AOB=70°，将∠AOB•绕顶点O•逆时针旋转50•°至∠COD的位置，OE平分∠AOC，OF平分∠COB，OG平分∠BOD．（1）求∠AOD，∠EOF的度数；（2）OF是不是∠EOG的平分线？为什么？16．如图所示，（1）射线OM表示的是_________的方向；（2）射线ON表示的是_________的方向；（3）画方向线：东北方向；（4）画方向线：南偏东30°．17．如图所示，射线OC在∠AOD的内部，已知∠AOC=15∠AOB，•射线OD•平分∠BOC，∠DOC与∠AOC互余，求∠AOB的度数．18．一个角的补角减去20°后，等于这个角的余角的2倍，求这个角的度数．19．如图所示，∠AOC与∠EOC互补，OB平分∠AOC，OD平分∠EOC，•设∠AOC=n°，用n 的代数式表示∠BOE和∠DOE的度数．20．一只小虫从点O出发，沿北偏东60°方向爬行了4cm到达M地，•后折向北偏西45°方向爬行3cm到达N地．（1）试画出小虫爬行的大致路线．（2）求∠OMN的度数．（3）测量∠ONM及N地离出发点O的距离，并说出N地位于点O的什么方位？21．已知∠1（如图所示），画出∠1的对顶角∠2，并说明∠1与∠2的大小关系．22．如图所示，直线AB，CD相交于O，OA平分∠EOC，∠EOC=76°，求∠BOD•的度数．23．如图所示，三条直线相交于一点，求∠1+∠2+∠3的度数．24．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠AOC=28°，•求∠DOE的度数．25．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，•OF•平分∠AOE，•若∠AOC=25°，求∠EOF，∠COF 的度数．26．如图所示，直线AB与CD相交于点E，∠CEF=65°，∠BEF=∠AEC+40°.求∠AEC，∠BEF的度数．27．要测量如图所示的零件AB，CD这两条轮廓线的延长线所成的角的大小，有一位同学小明想到利用图中的仪器，他认为只要用量角器量得∠EOF的大小，就知道零件两条轮廓线的延长线所成的角的大小，你认为他的方法正确吗？为什么？•你还有什么方法？28．完成下列问题：（1）2条直线交于一点，共有几对对顶角？（2）3条直线交于一点，共有几对对顶角？（3）4条直线交于一点，共有几对对顶角？（4）n条直线交于一点，共有几对对顶角？29．两条直线互相垂直，所成的四个角都是_____；两条直线相交所成的四个角中，有一个角为_______，我们就说这两条直线互相垂直．32．如图所示，直线AB，CD，EF都过点O，且EF⊥AB，OG平分∠EOD，∠AOC=32°.求∠GOF的度数．33．如图所示，AO⊥BO，CO⊥DO，且∠AOC：∠BOD=7：2，求∠AOD的度数．34．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OD平分∠AOE．（1）若∠BOE=60°，求∠COF的度数；（2）若∠BOE=x°，用含x的代数式表示∠COF的度数．35．如图所示，OA⊥OB，ON平分锐角∠AOC，OM平分∠BOC，求∠MON的度数．。

认识图形基础图形1．这叫什么？这叫“点”。

2．这叫什么？这叫“线段”。

特点：线段有两个端点，两端都无法延长。

3．这叫什么？这叫“射线”。

特点：射线有一个端点，另一边可以延伸得很远很远，没有尽头。

4．这叫什么？这叫“直线”。

特点：直线没有端点，可以向两边无限延伸。

5．这两条直线相交。

特点：两条直线相交，只有一个交点。

6．这两条直线平行。

特点：两条直线互相平行，没有交点，永不相交。

7．这叫什么？这叫“角”。

特点：角是由从一点引出的两条射线构成的。

这点叫角的顶点，射线叫角的边。

角分锐角、直角和钝角三种。

直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。

锐角比直角小，钝角比直角大。

直角=90度，锐角<90度，钝角>90度平面图形一、认识三角形1．这叫“三角形”。

特点：三角形有三条边，三个角，三个顶点。

2．这叫“直角三角形”。

特点：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。

它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边。

3．这叫“等腰三角形”。

特点：它也是一种特殊的三角形，它有两条边相等（一样长），相等的两条边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。

4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。

特点：它既是直角三角形，又是等腰三角形。

5．这叫“等边三角形”。

特点：它的三条边相等（一样长），三个角也相等（一样大）。

二、认识四边形1．这叫“四边形”。

特点：四边形有四条边，内部有四个角。

2．这叫“等腰梯形”。

特点：它是一种特殊的四边形，它的上下两边（上底和下底）平行，左右两边（腰）相等。

3．这叫“平行四边形”。

特点：它的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等。

4．这叫“长方形”。

特点：长方形两组对边分别平行而且相等，四个角都是直角。

5．这叫“菱形”。

特点：菱形四条边都相等，对角分别相等。

6．这叫“正方形”。

特点：正方形对边平等，且四条边都相等，四个角都是直角。

三、认识圆和扇形1．这叫“圆”。

特点：圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径。

第八讲网格上的平移空间想象能力是学生应掌握的基本技能之一，图形的平移对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大作用.物体或图形在直线方向上移动，而本身没有发生方向上的改变，就可以近似地看作是平移现象. 在本节课中让学生通过在方格纸上将图形进行上、下、左、右平移的操作，使学生能找到平移后图形的位置，并会画出在水平方向或竖直方向上平移后的图形，或是找到图形移动的路线.在让学生找最优线路的同时，一定要让学生学会记录数据，从小养成良好的学习习惯.来耕备1、教学点为各位老师提供了本节课挂图.第八讲网格上的平移【教学思路】 开课时，通过生活中的实例，跟学生介绍哪些现象是平移.让学生初步感知到物体上下左 、右移动，本身的方法不改变就可以看成是平移.【教学思路】 答案如右上图.在初步认识平移现象以后，让学生通过这个题，进一步来巩固什么是平移.要注意强调在移动的时候小鱼的方向发生了变化，就不是平移了./、、朋友，缆车在缆绳上上下移动，电梯楼上楼下来回移动，窗户左右拉动,平移.想一想，生活中你还见过哪些平移的现象?把可以平移到红色小鱼位置上的鱼也涂上红色.在下图的网格中，小山羊在A点，它想摘到分别放在B、C、D、E这四个点上的蔬菜，他怎样走才能更快的摘到蔬菜?■ 1鹿» --向（上）移动（F向（下）移动（向（左）移动（向C右）移动（P£1----&工GE11-------B4 ）怡抽到1 ）格摘到当小山羊从A点出发，沿网格向右移动到C点时，我们用符号“示它的方向.它移动了2格，就用数字“ 2”表示走的格数.这样小山羊从A点出发向右移动2格到C点，用符号记录就是符号记录的方法比文字更简便.考考徐：小山羊从A点出发移动到B点，用符号表示是（小山羊从A点出发移动到D点，用符号表示是（小山羊从A点出发移动到E点，用符号表示是（【教学思路】在这里安排这道题，除了应用平移的知识解决问题外，更重要是是让学生用符号的形式来记录方法，并为后面的学习奠定基础.在用符号记录的时候，老师要强调走的方向一般用上下左右的箭头，移动的格数一■般写在箭头的右边.【教学思路】 在画线路图的时候，先要根据符号判断先从哪个方向开始走，走了几个点.然后又向哪个 方向走，走了几个点.最后一步到达的哪个点就是终点，标上记号.在这里要引导学生看 符号来观察方向的变化.小朋友们画一画，从月亮到星星怎样走最近，从心形到月亮又应该怎样走？这两条路线，哪 条更短？点上的平移汽车从A 点出发，你能根据下面的平移符号, 画出它所走的路线吗？并标出目的地 B 点.40^【教学思路】先让学生来设计最短的路线，一般走的步数越少，方向变化的越少，线路就是最佳路线, 先让学生画一画，然后再用符号记录.最后通过数步数来比较这两条路线，哪条最短.最佳路线，画出路线图，并用符号表示出来.【教学思路】小海龟可先向下爬2格，再向右爬1格到第一洞；然后向右爬3格到第二洞；再向右爬3格，向下爬2格到第三洞；最后再向下爬1格到B点.这样它即见到了三个洞里的朋友, 又最快到达B点.生还可能出现的答案: 方法二：这道题方法较多，我们发现这几种方法走的步数都是一样的，但是进行比较，我们发现第一种方法方向改变的次数较少，在设计线路的时候，选择第一种方法更好.【教学思路】网格变成了平行四边形，但是符号所指的方向不变.只是走的时候线路变成了斜线，方法和正方形网格找线路的方法相同.深秋的一天，兔妈妈和小白兔、小灰兔一起到菜地里拔萝卜.不一会儿，他们拔了一筐.兔妈妈先数萝卜，再把萝卜分给两个孩子.她6个6个地数，数了7次，把这些萝卜分给小白兔；又7个7个地数，数了6次，把这些萝卜分给小灰兔.这时筐里还剩下36个萝卜，兔妈妈就留给了自己.小白兔和小灰兔发现妈妈的萝卜少，就各拿出一样多的萝卜给妈妈.这样，三人的萝卜就一样多了.兔妈妈很高兴，说两个孩子都爱妈妈.小朋友.小白兔和小灰兔各拿出几个萝卜给妈妈？你知道吗?【教学思路】在这个故事中，兔妈妈把萝卜6个6个地数，数了7次，可知一共数了6X 7=42 （个）萝卜，把这42个萝卜分给了小白兔. 然后又7个7个地数，数了6次，可知一共数了7X6=42 （个）萝卜，又把这42个萝卜分给了小灰兔.最后自己还剩下36个萝卜.小白兔和小灰兔发现自己的萝卜比妈妈多，于是各给了妈妈2个萝卜，这时他们的萝卜都有40个，就一样多了.格子上的平移!1<小朋友们，动手移一移”蘑菇要向上、向下、向左、向右移动到指定的位置，各要平移几格?【教学思路】 格子里面物体的移动，要比点上的移动更难以理解.在这里通过让学生动手移动蘑菇来，让学生理解平移到指定位置需要移动几格. 在处理这道题时， 可利用挂图老师引导学生来动手尝试.葡萄树上的葡萄块要熟了， 蜗牛又要准备去摘葡萄了. 你 能根据下面的符号，找到葡萄树种在哪个格子里吗？请小朋 友们画一画.*■■■■■■J■1F T 曹•千. ♦a Q Q ： ；, t*■*1>【教学思路】 老师引导学生边看符号边画图，弄清楚蜗牛走的顺序.蜗牛走的顺序是这样的，先向左走3格，再向上走2格，再向左走1格，最后向上走1格，这一格就是葡萄树的位置.如下 图：起唱首歌吧!阿门阿前一棵葡萄树, 阿嫩阿嫩绿地刚发芽, 蜗牛背着那重重的壳呀! 步一步地往上爬.—3 .2 ―1 f 1小鸭子要想一次吃到这三种水果，怎样走最近？请大家帮它设计一条最合理的路线.【教学思路】小鸭子要吃到这三种水果，而且走的线路还不能故意绕远. 那么首先要引导学生观察这三种水果先吃哪种，再吃哪种，最后吃哪种.要使走的路线最短，我们发现可以先吃葡萄，再吃梨，最后吃草莓.先让学生画出线路图，最后再用符号记录答案.方法一：先向右平移4格吃到葡萄；再向右平移2格，向下平移3格，吃到梨；然后再向下平移4格，向右平移1格吃到草莓.方法二：先向右平移4格吃到葡萄；再向下平移3格，向右平移2格，吃到梨；然后再向右平移1格，向下平移4格吃到草莓.-4 12「m 14 J □|一4 | | 3 | — Z | t I |14」【教学思路】在这道题中，首先按照要求完成迷宫图，找到从入口到出口的路，然后再引导学生把所有 的路用符号记录下来.答案如下：请从右上方的“蛋”开始，按“蛋一雏鸡一小鸡一大鸡”的顺序，走一条不重 复、不交叉的路线，最后从下方箭头走出来.走完后，用符号表示你所走的路线. ■■ ■ ■ ■ •埼小朋友，我们一起来玩一个“鸡生蛋、蛋生鸡”的游戏.（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.《X，根据下列记录的符号画出路线图，然后仔细观察它像什么?【教学思路】根据代码画出的线路围线的图形如下，一个是字母I或者是“工”，另一个是字母“ E”< 2 >正方形ABCD平移到ABCD的位置，向右平移了几格?【教学思路】要知道正方形ABCD平移到A BCD'的位置，向右平移了几格，可以数从B点到B'点有几格，一共是6格，正方形ABCD平移到A BCD'的位置，向右平移了6格.卜图是一个展览馆，共有24个展览室，参观者从A室入口.从B室出口.中间相邻的展室都有门相通，现在有一■位参观者必须参观C、D两个展室，其余的展室可参观也可不参观.请你为他设计一条最合理的参观路线，并用符号表示出来.【教学思路】方法一：先向下走3格，向右走1格参观C展室；再继续往右走3格，往上走1格参观D 展室；最后向右走1格，从B室出来.方法二：先向右13格，向下走3格参观C展室；再继续往右走3格，往上走1格参观D 展室；最后向右走1格，从B室出来.1.按所给的平移符号画出A点走过的路线，并标出终点B.A -4" 2 f4■< 4 1 1 * _2 E2.用符号表示从A到B的最佳线路（必须经过C、D、E三点），并画出来.3.填一填.【答案】向上平移5格；向右平移7格；向下平移5格；向左平移6格.【答案】答案如下:5. 在下图中A点按下面的符号移动，最后落在什么地方？请画一画【答案】答案如下:【答案】（1）用吸管；（2）洗澡； （3）第二天不考英语； （4）橡皮; （5）衣服； （6）黑螃蟹会赢，红螃蟹是死的.有一瓶满满的牛奶，你用什么办法才能先喝到 瓶底的部分呢？ 小明不会游泳，可他却会经常到水池里, 却不会被水淹，为什么？小华已经把英语背得很熟了，为什么第二天考试还是不及格呢?什么东西洗好了却不能吃?i冠军头衔增加到 7个。