分层抽样 (2)

2．1.3 分层抽样教材助读问题导航(1)什么叫分层抽样？(2)分层抽样适用于什么情况？(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？读后验收1．分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体分成 的层，然后按照 ，从 地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持 与 的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由 的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．名师指津1．分层抽样的特点(1)适用于总体由有明显差别的几部分组成的情况．(2)抽取的样本更好地反映了总体的情况．(3)是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N. 2．分层抽样的公平性如果总体中个体的总数是N ，样本容量为n ，第i 层中个数为N i ，则第i 层中要抽取的个体数为n i ＝n ·N i N .每一个个体被抽取的可能性是n i N i ＝1N i ·n ·N i N ＝n N，与层数无关．所以对所有个体来说，被抽取的可能性是一样的，与层数及分层无关，所以分层抽样是公平的．3．分层抽样需注意的问题(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定．(3)各层抽样按简单随机抽样或系统抽样进行．题型探究探究一分层抽样的概念例1 某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样C．分层抽样D．随机数法方法归纳各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可用简单随机抽样，也可采用系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性．跟踪训练1．(1)某市有四所重点大学，为了解该市大学生的课外书籍阅读情况，则采用下列哪种方法抽取样本最合适(四所大学图书馆的藏书有一定的差距)()A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法(2)某校高三年级有男生800人，女生600人，为了解该年级学生的身体健康情况，从男生中任意抽取40人，从女生中任意抽取30人进行调查．这种抽样方法是() A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法探究二分层抽样的应用例2 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．方法归纳在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N.跟踪训练2．(1)为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为() A．3 B．4C．5 D．6(2)一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工________人．探究三三种抽样方法的考查例3 选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．方法归纳(1)简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．(2)三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．(3)三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．跟踪训练3．(1)某饮料公司在华东、华南、华西、华北四个地区分别有200个、180个、180个、140个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这700个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在华南地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C ．系统抽样法、分层抽样法D ．简单随机抽样法、分层抽样法(2)调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，抽样方法是________，如果男女身高有显著不同(男生30人，女生20人)，抽样方法是________．(3)下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？①从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；②某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．易错警示 分层抽样的应用例4 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容量为________．【解析】总体容量N ＝36.当样本容量为n 时，系统抽样间隔为36n ∈N *，所以n 是36的约数； 分层抽样的抽样比为n 36，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为n 6，n 3，n 2，所以n 应是6的倍数，所以n ＝6或12或18或36.当样本容量为n ＋1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为35n ＋1∈N *，所以n 只能是6.【答案】6[错因与防范]由36n ，n 6，n 3，n 2∈N *求n 时，n 的值有遗漏；35n ＋1∈N *易错写成36n ＋1∈N *. 为获取各层入样数目，需先正确计算出抽样比k ＝样本容量总体容量，若k 与某层个体数的积不是整数时，可先将该层等可能性剔除多余个体．跟踪训练4．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()A．30 B．25C．20 D．15当堂检测1．某大学共有学生5 600人，其中有专科生1 300人、本科生3 000人、研究生1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取()A．65人、150人、65人B．30人、150人、100人C．93人、94人、93人D．80人、120人、80人2．某地共有10万户居民，从中随机调查了1 000户拥有彩电的调查结果如下表：彩电城市农村有432400无48120若该地区城市与农村住户之比为4∶6，估计该地区无彩电的农村总户数约为() A．0.923万户B．1.385万户C．1.8万户D．1.2万户3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________．4．某校对全校男、女学生共1 200名进行健康调查，选用分层抽样抽取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为________．参考答案读后验收1.互不交叉一定的比例独立2. 样本结构总体结构差异明显例1 【解析】各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．【答案】C跟踪训练1．（1）【解析】因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大，因此采取分层抽样．【答案】D(2)【解析】总体中个体差异比较明显，且抽取的比例也符合分层抽样．【答案】D例2 【解析】设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x )件．由分层抽样特点，结合题意可得5080＝4 800－x 4 800，解得x ＝1 800. 【答案】1 800跟踪训练2．(1)【解析】根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.【答案】B(2)【解析】抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×18＝10. 【答案】10例3 解 (1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，编号为00，01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的一张小纸条上，揉成小球，制成号签．③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀．④从袋子中逐个抽取10个号签，并记录上面的号码．⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样．①确定抽取个数．因为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)．②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002， (300)②在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如(教材附表)第8行第29列的数“7”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读．③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001，002，…，299，并分成30段，其中每一段包含30030＝10个个体． ②在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码．③将编号为002，012，022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本.跟踪训练3．(1)【解析】当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用简单随机抽样．依题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法．故选B.【答案】B(2)【解析】从50名学生中抽取5名，总体中个体数不多，采用简单随机抽样；总体中个体差异比较明显，采用分层抽样．【答案】简单随机抽样 分层抽样(3)解 ①抽签法，因为总体容量较小，宜用抽签法．②分层抽样，由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样． 跟踪训练4．【解析】抽样比为150∶30 000＝1∶200，则样本中松树苗的数量为4 000×1200＝20. 【答案】C当堂检测1．【解析】根据分层抽样按比例抽取的特点，有5 600280＝1 300x ＝3 000y ＝1 300z，解得x ＝z ＝65，y ＝150，即专科生、本科生与研究生应分别抽取65、150、65，故选A.【答案】A2.【解析】无彩电的农村总户数约为10×610×120520≈1.385万户．【答案】B3.【解析】由分层抽样的特点，得n×22＋3＋5＝16，所以n＝80.【答案】804.【解析】入样比例＝2001 200＝16，则男生应抽105人，设男生为x人，所以105x＝16⇒x＝630.【答案】630。

课 题 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样 教学目标1.正确理解三种抽样方法的一般步骤和方法2.正确理解三中抽样方法间的区别和联系；重点、难点三种抽样方法概念的理解 2能够灵活应用三种抽样的方法解决统计问题。

考点及考试要求综合题考点一、简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≤N ）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。

【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的。

（2）简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N 。

（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。

（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。

（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为Nn 。

思考:下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。

（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。

抽签法和随机数表法 1、抽签法的定义。

抽签法就是把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本。

【说明】抽签法的一般步骤：（1）将总体的个体编号。

（2）连续抽签获取样本号码。

思考:你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？2、随机数表法的定义：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。

【说明】随机数表法的步骤： （1）将总体的个体编号。

（2）在随机数表中选择开始数字。

（3）读数获取样本号码。

【例题精析】例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。

高中数学知识点：分层抽样1、分层抽样的概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.2、分层抽样的特点：(1)适用于总体是由有明显差别的几部分组成时的情况；(2)分层抽样对各个个体来说被抽取的可能性相同.3、分层抽样的优点：(1)样本具有较强的代表性；(2)在各层抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法.4、分层抽样的步骤：(1)将总体按一定的标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(各层可以按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)要点诠释：1、应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则.(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.2、分层抽样是当总体有差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠.(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样.(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.3、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.。

分层抽样操作方法分层抽样是一种常用的抽样方法，用于从总体中选择适当的样本，以保证样本与总体在某些重要特征上的相似性。

在实际应用中，分层抽样被广泛用于市场调研、社会调查、医学研究等领域。

本文将从分层抽样的定义、目的、操作方法、优缺点等方面展开讨论。

1. 分层抽样的定义分层抽样是在总体被划分为若干层次或子总体的基础上，按照一定比例从每一层中独立地进行随机抽样的方法。

每一层次或子总体被称为一个层，在每个层中都必须有明确的边界和成员，所有层的并集应与总体完全重合，即总体中的每个个体都应属于某一层次。

2. 分层抽样的目的分层抽样的目的在于保证样本在某些重要特征上与总体的相似性。

通过将总体划分为若干层次，可以更加有效地利用样本资源，提高样本的代表性。

此外，分层抽样还可以减少在分析和研究过程中的误差，提高结果的可靠性。

3. 分层抽样的操作方法（1）确定总体的层次划分：首先需要根据研究问题和目的确定总体划分的层次。

层的划分应该是相互独立、不重叠且全面的。

（2）确定每个层次的样本量：根据每个层次在总体中所占比例的大小确定各层样本的数量。

一般情况下，样本量应与各层的比例相当，以保证样本的代表性。

（3）随机抽取样本：在每个层中，根据所需样本量的比例，从每个层中抽取样本。

抽样方法可以采用随机抽样、系统抽样、整群抽样等。

（4）样本调整：在实际抽样过程中，可能会遇到一些特殊情况，例如层内变异较大、某些层样本容量不足等。

可以通过样本调整的方法来调整样本，以增加样本的代表性。

4. 分层抽样的优缺点（1）优点：a) 提高样本的代表性：通过分层抽样，可以保证样本在某些重要特征上与总体的相似性，从而提高样本的代表性。

b) 减小误差：通过合理划分层次和样本量的分配，可以减小误差，提高结果的可靠性。

c) 提高效率：分层抽样能够更加有效地利用样本资源，减少样本的数量，提高抽样效率。

（2）缺点：a) 设计复杂：分层抽样需要在设计阶段就对总体划分层次，并确定每个层的样本量。

课 题 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样 教学目标1.正确理解三种抽样方法的一般步骤和方法2.正确理解三中抽样方法间的区别和联系；重点、难点三种抽样方法概念的理解 2能够灵活应用三种抽样的方法解决统计问题。

考点及考试要求综合题考点一、简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≤N ）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。

【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的。

（2）简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N 。

（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。

（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。

（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为Nn 。

思考:下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。

（2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。

抽签法和随机数表法 1、抽签法的定义。

抽签法就是把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本。

【说明】抽签法的一般步骤：（1）将总体的个体编号。

（2）连续抽签获取样本号码。

思考:你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？2、随机数表法的定义：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。

【说明】随机数表法的步骤： （1）将总体的个体编号。

（2）在随机数表中选择开始数字。

（3）读数获取样本号码。

【例题精析】例1：人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？[分析] 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样。