北师大版2020年春七年级数学下册 全等三角形基本模型上 学案(无答案)
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初一英才 全等进阶——基本模型
【知识梳理】
★全等三角形基本证明思路
★基本模型
一、“K ”型（一线三等角） 二、垂直模型
△ADB ≌△BEC △ABD ≌△CAE
找其中一个角的对边 →AAS
找夹边 →ASA
找边的对角 →AAS
找夹边的另一角 →ASA 找夹角的另一边 →SAS 边是角的邻边
边是角的对边 →找任一角 →AAS
找直角 →HL
找第三边 →SSS 找夹角 →SAS
已知两角
已知一边和一角
已知两边C
A
E
B
D
三、空翻模型
△PDM ≌△BMN △CEM ≌△MBN
四、半角模型
△ABE ’≌△ADE
五、手拉手模型
45°E'
C
D A E
阴影部分三角形全等
例1 垂直模型：
1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
（1）求证：AE=CD
（2）若AC=12cm，求BD的长
2.如图，△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.
（1）若BC在DE的同侧（如图1）且AD=CE，说明BA⊥AC.
（2）若BC在DE的两侧（如图2）其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由
3.如图，已知△ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF，连接EF，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，反向延长DA交EF于点M.证明：EM=FM
4.如图，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 .
例2 K型(一线三等角)
1.如图，△ABC中，AB=AC，点D,E,F分别在△ABC的三边上，且∠B=∠1.BD=CF，求证：△EBD≌△DCF
2.如图，等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，点C,D,E在一条直线上，且∠ADC=∠ACB=∠BEC，求证DE=AD+BE
3.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN ，BE ⊥MN ①当直线MN 绕点C 旋转到图一的位置，求证：DE=AD+BE ②当直线MN 绕点C 旋转到图二的位置，求证：AD=DE+BE
③当直线MN 绕点C 旋转到图三的位置，判断AD,DE,BE 之间的等量关系
例3 手拉手模型
1. 如图，点A ，B,D 在一条直线上，△ABC ，△BDE 均为等边三角形，连接AE 和CD ，AE 分别交CB,CD 于点F,H,CD 交BE 于点G ，连接FG ， 证明：①△ABE ≌△CBD ②AE=CD
E
D
C
B
A
M
N
E
D C
B
A
N
M E
D C
B
A
N
M
③△ABF≌△CBG
④△DBG≌△EBF
⑤BF=BG
⑥AF=CG,EF=DG
⑦△FBG为等边三角形
⑧HB平分∠AHD
⑨∠CHA=60°
手拉手模型中线段的关系
①数量关系：全等三角形（SAS）
②位置关系（夹角）：一组对应角+一组对顶角
2、如图所示，正方形ABCD与正方形AEFG有公共顶点A，连接BG、ED相交于点O.
问：BG与ED的数量关系和位置关系是什么？
例4 半角模型
1.在正方形ABCD中，若M,N分别在边BC,CD上移动，且满足MN=BM+DN。
求证：①∠MAN=45°②△CMN的周长=2AB③AM,AN分别平分∠BMN和∠DNM
2. 在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，若E,F 分别在边BC,CD 上，满足EF=BE+DF. 求证：2∠EAF=∠BAD
3.已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60° 请探究下列两种情况下AE,CF,EF 之间的数量关系。
F
E
N
D
C
B
M
F E D
C
B
N
提升训练
1、如图，已知∠ABC=90°，△ABD 是边长为3的等边三角形，点E 为射线BC 上任意一点（点E 与点B 不重合），连结AE ，在AE 上方作等边三角形AEF ，连结FD 并延长交射线BC 于点G ． （1）如图甲，当BE=BA 时，求证：△ABE ≌△ADF ；
（2）如图乙，当△AEF 与△ABD 不重叠时，求∠FGC 的度数；
2、如图，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°，猜想图中两个阴影部分的面积的数量关系并证明
3、已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）.以
图乙
图甲
F
D
C
A
G F
D
C
B
A
A E
AD 为边作正方形ADEF ，连接CF.
（1）如图①，当点D 在线段BC 上，求证：CF+CD=BC ；
（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请探究CF,BC,CD 三条线段之间的关系； （3）如图③，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时，其他条件不变，请探究CF,BC,CD 三条线段之间的关系.
4、如图，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I.求证：①I 是EG 的中点.②BC=2AI. B 卷练习
图③
图②
图①
D
E
F
C B A
F
E
D
C B
A
E F C B
D A
1、如图1所示，以△ABC 的边AB 、AC 为斜边向外分别作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，∠ADB=∠AEC=90°，点F 为BC 边的中点，连接DF 、EF. （1）若AB=AC ，试说明DF=EF ；
（2）若∠BAC=90°，如图2所示，试说明DF ⊥EF ；
（3）若∠BAC 为钝角，如图3所示，则DF 与EF 存在什么数量关系与位置关系？试说明理由.
2、在△ABC 中，AC=AB,CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ，一三角板按如图1所示的位置摆放，该三角板的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.
（1）在图1中，请你通过观察、测量BF 和CG 的长度，猜想写出BF 与CG 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）当三角板沿着AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一条直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，此时，请你再测量DE 、DE 与CG 的长度，猜想写出DE 、DF 与CG 间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当三角板在（2）的基础上沿着AC 方向继续平移到图3所示的位置（点F 在线段AC 上，但与点C 不重合），（2）中的猜想是否成立？
图3
图2图1B
F
C
E
D
A
A
F
E
C
B
D
B
F
E
C
D
A 图1
C
G
B
F
A
图3
E D
A
F
B
G
C。
