高考数学 三角与解三角形试题分类汇编 理

高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

【最新】《三角函数与解三角形》专题解析(1)一、选择题1．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()π02f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω= ( ) A ．23B ．2C ．143D ．263【答案】C 【解析】∵函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()02f f π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴1sin()sin()6262πππω-=--=- ∴2266k πππωπ-=+或52,266k k Z πππωπ-=+∈ ∴243k ω=+或42,k k ω=+∈Z ∵函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点 ∴(,)6626x ππωππω-∈-- ∴2326ωππππ<-≤∴131933ω<≤ ∴143ω=或6ω= 故选C.2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（ ）ABCD【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos C =， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.5．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.6．函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 三角大题 （精解精析）1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．(1)求A 。

(2)若BC =3,求ABC 周长地最大值．【结果】（1）23π。

（2）3+．思路：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅,2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅,()0,A π∈ ,23A π∴=（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=,即()29AC AB AC AB +-⋅=．22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当AC AB =时取等号）,()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭,解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号）,ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+,ABC ∴周长地最大值为3+．【点睛】本题考查解三角形地相关知识,涉及到正弦定理角化边地应用，余弦定理地应用，三角形周长最大值地求解问题。

求解周长最大值地关键是能够在余弦定理构造地等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值．2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)ABC △地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知sinsin 2A Ca b A +=．(1)求B 。

(2)若ABC △为锐角三角形,且1c =,求ABC △面积地取值范围．【结果】(1)3B π=;(2)．【官方思路】.(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=,因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A CB +=．由A BC 180++=︒,可得sin cos 22A C B +=,故B B Bcos 2sin cos 222=．因为B cos02≠,故B 1sin 22=,因此60=︒B ．(2)由题设及(1)知△ABC 地面积=△ABC S a ．由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2︒-===c A C a C C ．由于△ABC 为锐角三角形,故090︒<<︒A ,090︒<<︒C ．由(1)知120+=︒A C ,所以3090︒<<︒C ,故122<<a ,<<△ABC S ．因此△ABC 面积地取值范围是．【点评】这道题考查了三角函数地基础知识,和正弦定理或者余弦定理地使用（此题也可以用余弦定理求解）,最后考查△ABC 是锐角三角形这个款件地利用．考查地很全面,是一道很好地考题．3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)ABC △地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．(1)求A 。

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--， 当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=， 故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++， 将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像， 所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称， 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈， 又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈， 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错． 故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =， 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =， 又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去， 又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =， 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=． 故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠． 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+， 化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角， 即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

三角函数与解三角形一、单选题1．（2024·全国）已知cos(),tan tan 2m a b a b +==，则cos()a b -=（）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m2．（2024·全国）当[0,2]x p Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x p æö=-ç÷èø的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．83．（2024·全国）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．24．（2024·全国）已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（）A ．1B ．1CD ．15．（2024·全国）在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B C D 6．（2024·全国）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．237．（2024·北京）已知()()sin 0f x x w w =>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则w =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2024·天津）已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．329．（2024·上海）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-二、多选题10．（2024·全国）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴三、填空题11．（2024·全国）已知a 为第一象限角，b 为第三象限角，tan tan 4a b +=，tan tan 1a b ，则sin()a b +=.12．（2024·全国）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．（2024·北京）已知ππ,63a éùÎêúëû，且α与β的终边关于原点对称，则cos b 的最大值为．四、解答题14．（2024·全国）记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3，求c ．15．（2024·全国）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．（2024·北京）在△ABC 中，7a =，A 为钝角，sin 2cos B B =．(1)求A Ð；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17．（2024·天津）在ABC 中，92cos 5163a B b c ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -．参考答案：1．A【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin a b a b 的关系，结合tan tan a b 的值可求前者，故可求()cos a b -的值.【解析】因为()cos m a b +=，所以cos cos sin sin m a b a b -=，而tan tan 2a b =，所以sin sin 2cos cos a b a b =，故cos cos 2cos cos m a b a b -=即cos cos m a b =-，从而sin sin 2m a b =-，故()cos 3m a b -=-，故选：A.2．C【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【解析】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x æö=-ç÷èø的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx Î上函数π2sin 36y x æö=-ç÷èø有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-Î-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【解析】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x Î-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x Î-，则220,1cos 0x x ³-³，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-³，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--Î-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-Î-，又因为220,1cos 0x x ³-³当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ³，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.4．B【分析】先将cos cos sin aa -a 弦化切求得tan a ，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin aa a =-所以11tan =-atan 1Þa =，所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-a èø，故选：B.5．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【解析】因为29,34B b ac p ==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=故选：C.6．A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+×¢=+，则()()()()()02e 2cos010e 2sin 000310f ++-+´¢==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =´´-=.故选：A.7．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【解析】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12min π22T x x -==，即πT =，且0w >，所以2π2Tw ==.故选：B.8．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w ==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 9．A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【解析】对A ，πsin cos 4x x x æö+=+ç÷èø，周期2πT =，故A 正确；对B ，1sin cos sin22x x x =，周期2ππ2T ==，故B 错误；对于选项C ，22sin cos 1x x +=，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，22sin cos cos2x x x -=-，周期2ππ2T ==，故D 错误，故选：A ．10．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【解析】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =ÎZ ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+ÎZ ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+Û=+ÎZ ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+Û=+ÎZ ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC11．3-【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan a b +=-a b +的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【解析】法一：由题意得()tan tan tan1tan tan a b a b a b ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m a b æöæöÎ+Î++ç÷ç÷èøèø，,Z k m Î，则()()()22ππ,22π2πm k m k a b +Î++++，,Z k m Î，又因为()tan 0a b +=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k a b æö+Î++++ç÷èø，,Z k m Î，则()sin 0a b +<，则()()sin cos a b a b +=-+()()22sin cos 1a b a b +++=，解得()sin 3a b +=-.法二：因为a 为第一象限角，b 为第三象限角，则cos 0,cos 0a b ><,cos a =，cos b ==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )a b a b a b a b a b +=+=+4cos cos 3a b ====-故答案为：12．2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø，当[]0,πx Î时，ππ2π,333x éù-Î-êúëû，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213．12-/0.5-【分析】首先得出π2π,Z k k b a =++Î，结合三角函数单调性即可求解最值.【解析】由题意π2π,Z k k b a =++Î，从而()cos cos π2πcos k b a a =++=-，因为ππ,63a éùÎêúëû，所以cos a 的取值范围是12éêëû，cos b 的取值范围是12éù-êúëû，当且仅当π3a =，即4π2π,Z 3k k b =+Î时，cos b 取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.14．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【解析】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC Î，所以sin 0C >，从而sin C ===又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB Î，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC Î，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 12462A æöæö==+==ç÷ç÷èøèø由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin 222ABCSab C ===，由已知ABC的面积为3，可得2338c =所以c =15．(1)π6A =(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ÎÞ+Î，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=Û=，解得cos A =又(0,π)A Î，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x æö=+<<ç÷èø，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin()3f A A A A ===+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A ¢==，即tan A =又(0,π)A Î，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ×==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ×==，则2cos ,2cos ,1a b a b =Û=，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ×=Û=又(0,π)A Î，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A Î，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =Û=，又,(0,π)B C Î，则sin sin 0B C ¹，进而cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b c A B C ==，即2ππ7πsin sin sin 6412b c==，解得b c ==故ABC的周长为216．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC.【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B p =，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B =再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【解析】（1）由题意得2sin cos cos 7B B b B =，因为A 为钝角，则cos 0B ¹，则2sin B =，则7sin sin sin b a B A A ===，解得sin A =因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B p =，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ==则代入2sin 7B =得2147´=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B æö=+=+=+ç÷èø131********æö=+-´=ç÷èø,则11sin 7322ABC S ab C ==´´=.选择③sin c A =c =5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C =，解得sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C æö=+=+=+ç÷èø11121421414æö=+-´=ç÷èø，则11sin 7522ABC S ac B ==´´=△17．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【解析】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin B ==再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A =（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´=.法二：3sin 22sin cos 2448A A A ==´=，则2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=。

专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(2)若22a b c +=,求sin C .2.(2019全国Ⅱ理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC △的面积为__________.3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ,已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 .5.(2019江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 6.(2019浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____,cos ABD ∠=________.7.(2019北京15)在ABC △中,a =3,b -c =2 ,1cos 2B =- . (Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin(B -C ) 的值.8.(2019天津理15)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一､选择题1.(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos 2=C ,1=BC ,5=AC ,则=ABA. D.2.(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C =A.2πB.3π C.4π D.6π 3.(2017山东)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ∆为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 4.(2016年天津)在ABC ∆中,若AB BC =3,120C ∠= ,则AC =A.1B.2C.3D.45.(2016年全国III)在ABC △中,π4B,BC 边上的高等于13BC ,则cos AC.10D.3106.(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12,1AB =,BC =则AC =A.5C.2D.17.(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ,B ,C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是A.8)(>+c b bcB.()ab a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤ 8.(2014江西)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,若22()6c a b =-+,3C π=,则ABC ∆的面积是A.3B.239 C.233 D.33 9.(2014四川)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于A.1)mB.1)mC.1)mD.1)m 10.(2013新课标Ⅰ)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos A +cos20A =,7a =,6c =,则b =A.10B.9C.8D.511.(2013辽宁)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =,且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π12.(2013天津)在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=13. (2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定14.(2012广东)在ABC ∆中,若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==则AC =A. B. 15.(2011辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sin cos cos a A B b A +=,则=abA. B.16.(2011天津)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB ==,2BC BD =,则sin C 的值为CA.3 B.6 C.3 D.616.(2010湖南)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若120C ∠=,c =,则A.a b >B.a b <C.a b =D.a 与b 的大小关系不能确定 二､填空题18.(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .19.(2018浙江)在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2b =,60A =,则sin B =___________,c =___________.20.(2017浙江)已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________,cos BDC ∠=__________.21.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度｡祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ,6S = . 22.(2016年全国II)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4cos 5A =, 5cos 13C =,1a =,则b = . 23.(2015广东)设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若3a =,1sin 2B =,6C π=,则b = . 24.(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为103,且5AB =,8AC =,则BC 等于 .25.(2015新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,75A B C ∠=∠=∠=,2BC =,则AB 的取值范围是_______.26.(2015北京)在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC= .27.(2015天津)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为315,2b c -=,1cos 4A =-,则a 的值为 .28.(2015湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m.29.(2014新课标Ⅰ)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =____m .30.(2014广东)在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知cos b C +cos 2c B b =,则=ba. 31.(2013安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.32.(2013福建)如图ABC ∆中,已知点D 在BC边上,AD ⊥AC,sinBAC ∠=, AB =3AD =,则BD 的长为_______________.C33.(2012安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是 .①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>34.(2012北京)在ABC ∆中,若12,7,cos 4a b c B =+==-,则b = . 35.(2011新课标)ABC ∆中,60,B AC =︒=,则AB +2BC 的最大值为____.36.(2011新课标)ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==,则ABC ∆的面积为_ __. 37.(2010江苏)在锐角三角形ABC ,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C CA B+=_______.38.(2010山东)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2a b ==,sin cos B B +=则角A 的大小为 .三､解答题39.(2018北京)在ABC ∆中,7a =,8b =,1cos 7B =-. (1)求A ∠;(2)求AC 边上的高.40.(2018全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠;(2)若DC =求BC .41.(2018天津)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin cos()6b A a B π=-.(1)求角B 的大小;(2)设2a =,3c =,求b 和sin(2)A B -的值.42.(2017新课标Ⅰ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC ∆的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC ∆的周长.43.(2017新课标Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 0A A =,a =2b =. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求ABD ∆的面积. 44.(2017新课标Ⅱ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin()8sin 2B AC +=. (1)求cos B(2)若6a c +=,ABC ∆面积为2,求b .45.(2017天津)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5a =,6c =,3sin 5B =.(Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值. 46.(2017北京)在ABC ∆中,A ∠=60°,37c a =. (Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若7a =,求ABC ∆的面积.47.(2016年山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ (Ⅰ)证明:2a b c +=; (Ⅱ)求cos C 的最小值.48.(2016年四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. (I)证明:sin sin sin A B C =; (II)若22265b c a bc +-=,求tan B . 49.(2016年全国I)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I)求C ;(II)若c ABC △=的面积为2,求ABC △的周长. 50.(2015新课标2)∆ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍.(Ⅰ)求sin sin BC;(Ⅱ) 若AD =1,DC ,求BD 和AC 的长. 51.(2015湖南)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan a b A =,且B 为钝角.(1)证明:2B A π-=;(2)求sin sin A C +的取值范围.52.(2014山东)ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知63,cos ,32a A B A π===+. (I)求b 的值;(II)求ABC ∆的面积.53.(2014安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3b =,1c =,2A B =. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin()4A π+的值.54.(2013新课标Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB = 3 ,BC =1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°(Ⅰ)若PB =12,求P A ;(Ⅱ)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .55.(2013新课标Ⅱ)ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.56.(2012安徽)设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ,且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.57.(2012新课标)已知a ､b ､c 分别为ABC ∆三个内角A ､B ､C 的对边,cos a C +3sin 0a C b c --=.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若2=a ,ABC ∆的面积为3,求b ､c .58.(2011山东)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=. (I)求sin sin CA的值;(II)若1cos 4B =,2b =,ABC ∆的面积S .59.(2011安徽)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,a =3,b =2,12cos()0B C ++=,求边BC 上的高.60.(2010陕西)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?61.(2010江苏)某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC 的高度h =4m,仰角∠ABE =α,∠ADE =β.Hh dβαDB C(1)该小组已经测得一组α､β的值,tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度｡若电视塔的实际高度为125m,试问d 为多少时,α-β最大?专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分 2019年1.解:(1)由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==. 因为0180A ︒︒<<,所以60A ︒=.(2)由(1)知120B C ︒=-,()sin 1202sin A C C ︒+-=,1sin 2sin 2C C C ++=,可得()cos 602C ︒+=-.由于0120C ︒︒<<,所以()sin 60C ︒+=,故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=. 2.解析:由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-, 因为6b =,2a c =,π3B =,所以222π36(2)4cos 3c c c =+-,所以212c =,21sin sin 2ABCS ac B c B ===△3.解析(1)由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A CB +=.由180A B C ︒++=,可得sincos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222B B B=. 因为cos02B ≠,故1sin 22B =,因此60B =︒. (2)由题设及(1)知△ABC的面积4ABC S a =△. 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+.由于ABC △为锐角三角形,故090A ︒<<︒,090C ︒<<︒,由(1)知120A C +=︒,所以3090C ︒<<︒,故122a <<,ABC S <<△. 因此,ABC △面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.4.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+,1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+,所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以11()24AO AD AB AC ==+,13EC AC AE AB AC =-=-+, 221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322AB AB AC AC -+⋅+, 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+,所以221322AB AC =,所以223AB AC=,所以ABAC= 5.解析 (1)由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯,即213c =.所以3c =. (2)因为sin cos 2A Ba b=, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析:在直角三角形ABC 中,4AB =,3BC =,5AC =,4sin 5C =, 在BCD △中,sin sin BD BC C BDC=∠,可得122BD =;135CBD C ∠=-,224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭, 所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=.7.解析:(I)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+,所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =, 所以7b =.(II)由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==在ABC △中,B ∠是钝角,所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 8.解析(Ⅰ)在ABC △中,由正弦定理sin sin b cB C=,得sin sin b C c B =,又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.又因为2b c a +=,得到43b a =,23c a =. 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin B ==,从而sin 22sin cos B B B ==227cos 2cos sin 8B B B =-=-,故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1.A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ,所以由余弦定理, 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ,所以=AB 故选A.2.C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=,所以222sin cos 2a b c C C ab +-==,所以在ABC ∆中,4C π=.故选C. 3.A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+,即2sin cos sin cos B C A C =,所以2sin sin B A =,即2b a =,选A. 4.A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 5.C 【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,由题意可得1sin 342a c π==,则2a c =.在△ABC 中,由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=,则b =. 由余弦定理,可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===故选C. 6.B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=,∴sin 2B =,所以45B =或135B =. 当45B =时,1AC ==,此时1,AB AC BC ===易得90A =与“钝角三角形”矛盾;当135B =时,AC =7.A 【解析】因为A B C π++=,由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=, 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=, 整理得1sin sin sin 8A B C =, 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===, 因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==,由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤,即8abc ≤≤因此选项C ､D 不一定成立.又0b c a +>>,因此()8bc b c bc a +>⋅≥,即()8bc b c +>,选项A 一定成立.又0a b c +>>, 因此()8ab a b +>,显然不能得出()ab a b +>选项B 不一定成立.综上所述,选A.8.C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①,由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②.所以由①②得6ab =,所以1sin 232ABC S ab π∆==. 9.C 【解析】∵tan15tan(6045)23=-=-,∴60tan 6060tan15120(31)BC =-=.10.D 【解析】225cos 10A -=,1cos 5A =,由余弦定理解得5b =. 11.A 【解析】边换角后约去sin B ,得1sin()2A C +=,所以1sin 2B =,但B 非最大角,所以6Bπ=.12.C 【解析】由余弦定理可得AC =再由正弦定理得sin 10A =. 13.B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=,∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=,∴2sin()sin B C A +=,∴2sin sin A A =,∴sin 1A =,∴△ABC 是直角三角形.14.B【解析】由正弦定理得:sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15.D 【解析】由正弦定理,得22sin sin sin cos A B B AA +=,即22sin (sin cos )B A AA ⋅+=,sin B A=,∴sin sin b B a A==. 16.D 【解析】设AB c =,则ADc =,BD =,BC =,在ΔABD 中,由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==,则sin A =,在ΔABC 中,由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==,解得sin C =.17.A 【解析】因为120C ∠=,c =,所以2222cos c a b ab C =+-,222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>,所以0aba b a b-=>+,所以a b >.故选A.18.9【解析】因为120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,所以60ABD CBD ∠=∠=,由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+, 化简得ac a c =+,又0a >,0c >,所以111a c+=,则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥, 当且仅当2ca =时取等号,故4a c +的最小值为9. 19.7;3【解析】因为a =2b=,60A=,所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c--=,所以3c =., 2222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯,由22sin cos 1ABC ABC∠+∠=所以sin ABC ∠===,1sin 2BDC S BD BC DBC ∆=⨯⨯∠ 11sin()sin 22BD BC ABC BD BC ABC π=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=.C因为BD BC =,所以D BCD ∠=∠,所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠,cos cos24ABC BDC ∠∠====.21.2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成,所以 6133611sin 6022S =⨯⨯⨯⨯=.22.2113【解析】∵4cos 5A =,5cos 13C =,所以3sin 5A =,12sin 13C =, 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=, 由正弦定理得:sin sin b a B A =解得2113b =. 23.1 【解析】由1sin 2B =得6B π或56π,因为6C π,所以56B π≠,所以6Bπ,于是23A π=.有正弦定理,得21sin 32b π=,所以1b =. 24.7【解析】由已知得ABC∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin 2A =,(0,)2A π∈,所以3A π=. 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49,7BC =.25.【解析】如图作PBC ∆,使75∠=∠=B C ,2BC,作出直线AD 分别交线段PB ､PC于A ､D 两点(不与端点重合),且使75∠=BAD ,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形,过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在PBC ∆中,可求得62BP ,在QBC ∆中,可求得BQ =,所以AB 的取值范围为.26.1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==, 而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=. 27.8 【解析】 因为0Aπ<<,所以sin 4A ==,又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=, 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩,得6b =,4c =,由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以8a =.28., 30=∠BAC ,105=∠ABC ,在ABC ∆中,由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ,所以 45=∠ACB ,因为600=AB ,由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=, 即2300=BC m,在BCD Rt ∆中,因为 30=∠CBD ,2300=BC , 所以230030tan CDBC CD ==,所以6100=CD m.29.150【解析】在三角形ABC 中,AC =,在三角形MAC 中,sin 60sin 45MA AC=,解得MA =在三角形MNA 中3sin 602==,故150MN =. 30.2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得:sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,即sin()2sin B C B +=,sin 2sin A B =,∴2a b =,故2ab=. 31.π32【解析】3sin 5sin A B =, π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ,所以π32.sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•,2223BD ∴==33.①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时,22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得:3C π<.34.4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-,解得b =4.35.【解析】 在ABC ∆中,根据sin sin sin AB AC BCC B A==,得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==,同理2sin BC A =, 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+.【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==, 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+=11121421414⨯-⨯=. 37.4【解析】(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A ､B 和边a ､b 具有轮换性.当A =B 或a =b 时满足题意,此时有:1cos 3C =,21cos 1tan 21cos 2C C C -==+, tan22C =,1tan tan tan 2A B C===,tan tan tan tan C CA B+= 4. (方法二)226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+, 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅.由正弦定理,得:上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅.38.6π【解析】由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=,即sin 21B =, 因02B π<<,所以2,24B B ππ==.又因为2,2,a b ==由正弦定理得22sin sin 4A π=, 解得1sin 2A =,而,a b <则04A B π<<=,故6a π=. 39.【解析】(1)在ABC ∆中,∵1cos 7B =-,∴(,)2B ππ∈,∴243sin 1cos B B =-=. 由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin 437A =,∴3sin A =. ∵(,)2B ππ∈,∴(0,)2A π∈,∴π3A ∠=.(2)在ABC ∆中,∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=31143()72⨯-+⨯=33. 如图所示,在ABC ∆中,∵sin hC BC=,∴sin h BC C =⋅=33337142⨯=, ∴AC 边上的高为332.40.【解析】(1)在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知,52sin 45sin ADB=︒∠,所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠<︒,所以223cos 125ADB ∠=-=(2)由题设及(1)知,cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中,由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.41.【解析】(1)在ABC △中,由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即πsin cos()6B B =-,可得tan B =又因为(0π)B ∈，,可得3B π=.(2)在ABC △中,由余弦定理及2a =,3c =,3B π=,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b =.由πsin cos()6b A a B =-,可得sin A =.因为a c <,故cos A =.因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以,sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42.【解析】(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.(2)由题设及(1)得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=- 所以2π3B C +=,故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=,即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即2()39b c bc +-=,得b c +=.故ABC △的周长为343.【解析】(1)由已知得tan A =,所以23A π=. 在ABC ∆中,由余弦定理得222844cos 3c c π=+-,即2+224=0c c -.解得6c =-(舍去),4c = (2)有题设可得2CAD π∠=,所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=.故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅. 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD ∆44.【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =,故sin 4(1cos )B B =-. 上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=, 解得cos 1B =(舍去),15cos 17B =. (2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故14sin 217ABC S ac B ac ∆==. 又2ABCS ∆=,则172ac =.由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=. 所以2b =.45.【解析】(Ⅰ)在ABC △中,因为a b >,故由3sin 5B =,可得4cos 5B =. 由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==. 所以,bsin A的值为13.(Ⅱ)由(Ⅰ)及a c <,得cos A =,所以12sin 22sin cos 13A A A ==, 25cos 212sin 13A A =-=-.故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=. 46.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,因为60A ∠=︒,37c a =,所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==. (Ⅱ)因为37c a a =<,所以60C A ∠<∠=,由7a =,所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯, 解得8b =或5b =-(舍).所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47.【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,所以C B C sin sin sin +=2,由正弦定理,得c b a 2=+.(Ⅱ)由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab=--=-=+.所以C cos 的最小值为12.48.【解析】(I)证明:由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+== ∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则,两边同时乘以sin sin A B ,可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B +=由和角公式可知,()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证｡(II)由题22265b c a bc +-=,根据余弦定理可知,2223cos 25b c a A bc +-==∵A 为三角形内角,()0,A π∈,sin 0A >则4sin 5A =,即cos 3sin 4A A = 由(I)可知cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==,∴cos 11sin tan 4B B B ==. ∴tan 4B =.49.【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得:()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=,()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =,1cos 2C = ∵()0πC ∈， ∴π3C =. ⑵ 由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=50.【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠ 1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠ 因为2ABD ADC S S ∆∆=,BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC .由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=,所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠.222222326AB AC AD BD DC +=++=.由(Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =.51.【解析】(1)由tan ab A 及正弦定理,得sin sin cos cos A b BA a B==, 所以sin cos BA ,即sin sin()2B A π.又B 为钝角,因此2π+A ∈(2π,π),故B =2π+A ,即B A =2π; (2)由(1)知,C =π(A +B )=π(2A +2π)=2π2A >0,所以A 0,4π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-=sin cos2A A +=22sin sin 1A A -++=2192(sin )48A --+,因为0<A <4π,所以0<sin A <2,因此2<-22199sin 488A ≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.由此可知sin sin A C +的取值范围是(2,98].52.【解析】(I)在ABC ∆中,由题意知sin A ==,又因为2B A π=+,所有sin sin()cos 23B A A π=+==,由正弦定理可得3sinsina BbA===(II)由2B Aπ=+得,cos cos()sin23B A Aπ=+=-=-,由A B Cπ++=,得()C A Bπ=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A Bπ=-+=+sin cos cos sinA B A B=+(=+13=.因此,ABC∆的面积111sin32232S ab C==⨯⨯=.53.【解析】:(Ⅰ)∵2A B=,∴sin sin22sin cosA B B B==,由正弦定理得22222a c ba bac+-=⋅∵3,1b c==,∴212,a a==(Ⅱ)由余弦定理得22291121cos263b c aAbc+-+-===-,由于0Aπ<<,∴sin3A===,故1sin()sin cos cos sin()4443A A Aπππ+=+=-=54.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o60,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得2PA=o1132cos3042+-=74,∴;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sinα,在△PBA中,由正弦定理得osinsin(30)αα=-,化简得4sinαα=,∴tan α=4,∴tan PBA ∠=4. 55.【解析】(Ⅰ)因为cos sin a b C c B =+,所以由正弦定理得:sin sin cos sin sin A B C C B =+,所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+,即cos sin sin sin B C C B =,因为sin C ≠0,所以tan 1B =,解得B =4π; (Ⅱ)由余弦定理得:2222cos4b ac ac π=+-,即224a c =+,由不等式得:222a c ac +≥,当且仅当a c =时,取等号,所以4(2ac ≥,解得4ac ≤+,所以△ABC 的面积为1sin 24acπ(44≤+1,所以△ABC 面积的最大1.56.【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=在Rt ABD ∆中,AD ===. 57.【解析】(1)由正弦定理得:cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=(2)1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=,解得:2b c ==.58.【解析】(I)由正弦定理,设,sin sin sin a b ck A B C===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=, 所以sin 2sin C A =,因此sin 2.sin CA= (II)由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理222222112cos cos ,2,44.44b ac ac B B b a a a =+-==+-⨯及得4= 解得a =1.因此c =2.又因为1cos ,0.4B B π=<<且所以sin B =因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯= 59.【解析】由A C B C B -=+=++π和0)cos(21,得.23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A 再由正弦定理,得.22sin sin ==a Ab B .22sin 1cos ,2,,=-=<<<B B B B A B a b 从而不是最大角所以知由π由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h ,则有.213sin +==C b h60.【解析】由题意知(53AB =+海里,906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒105ADB ∴∠=︒在DAB ∆中,由正弦定理得sin sin DB AB DAB ADB=∠∠sin sin AB DAB DB ADB •∠∴===∠2=海里),又30(9060)60,DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒=, 在DBC ∆中,由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-••∠= 1300120029002+-⨯= CD ∴=30(海里),则需要的时间30130t ==(小时). 答:救援船到达D 点需要1小时.61.【解析】(1)tan tan H H AD AD ββ=⇒=,同理:tan H AB α=,tan h BD β=. AD —AB=DB,故得tan tan tan H H h βαβ-=,解得:tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--. 因此,算出的电视塔的高度H 是124m.(2)由题设知d AB =,得tan ,tan H H h H h d AD DB dαβ-====, 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥当且仅当d =,取等号)故当d =,tan()αβ-最大. 因为02πβα<<<,则02παβ<-<,所以当d =,α-β最大.故所求的d是。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ． 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC C . 9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ． (1)求sin B 的值； (2)求c 的值； (3)求()sin B C -的值．3．（2022∙天津∙高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.4．（2021∙天津∙高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =． （I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020∙浙江∙高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020∙江苏∙高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． (1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．考点05 三角形中的证明问题1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+2．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积． 条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)2π3A =； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【详细分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【答案详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角， 则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a BA A ===，解得sin 2A =， 因为A 为钝角，则2π3A =. （2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B π=， 此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ，解得sin C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==， 则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】(1)1(2)4【详细分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【答案详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===，解得：1bc =．（2）由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积. 【答案】(1)14；【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =； (2)由题意可得4ABDACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】（1）由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =222cos 214a c b B ac +-===，sin ABC ∠==（2）由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】；(2)22．【详细分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【答案详解】（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin 45A C ==． （2）因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．5．（2019∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-， 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==， 此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sin sin 2A CB +=， 两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A CB -+=． 又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=， 进一步整理得22cos cos 10B B +-=， 解得1cos 2B =，因此3B π=． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】 根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >， 消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=， 而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=， 又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262A C ππππ<<<<， 则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=． 因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而ABC S ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△． 因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩， 又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是⎝⎭． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ． 由题设及（1）知ABC的面积ABC S =△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<， 即1cos3cos 3a ππ<<，即122a <<，所以82ABC S << ， 故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6．（2017∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（2【答案详解】试题详细分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.8．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）25；（2）9 【答案详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.9．（2015∙全国∙高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积． 【答案】（1）14；（2）1 【答案详解】试题详细分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =，可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==（2）由（1）知22b ac =因为90B = ，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得c a == 所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015∙山东∙高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【答案详解】试题详细分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长． 【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A == ，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==， 则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-， 又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c == 故ABC的周长为2+2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC的面积为3c ． 【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===， 因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =， 注意到()0,πB ∈， 所以π3B =. （2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cbc +====， 由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= ， 由已知ABC的面积为323=所以c =3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =． (1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ． 【答案】(2)2b c ==.【详细分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a ，作出BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠， 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =cos 14B ==，sin B ===，所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==. （2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin 3A C =，求b ． 【答案】(2)12【详细分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【答案详解】（1）由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===，则222123S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B == ； （2）由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【答案详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-， 所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+；（2）解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【答案详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=.7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【详细分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． 【答案详解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5． 8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC =2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【详细分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一 ：将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【答案详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == （2）[方法一]：多角换一角 30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B．故sin ,sin 22==a c A C b b ．由sin 2A C =，得a +=．又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ，所以()222()2=++a a c ，解得a c =．所以15=︒C ．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【详细分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【答案详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===，所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤，当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.10．（2018∙全国∙高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠； （2）若DC =，求BC . 【答案】（1）5；（2）5. 【详细分析】（1）方法一：根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos 5ADB ∠==；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD △中，根据余弦定理即可求出．【答案详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，代入数值并解得sin 5ADB ∠=．又因为BD AB >，所以A ADB ∠>∠，即ADB ∠为锐角，所以cos 5ADB ∠=． ［方法2］：余弦定理在ABD △中，2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ，即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：AD =所以，2254cos5ADB +-∠==． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B 点作BE AD ⊥，垂足为E ，BF CD ⊥，垂足为F ．在Rt AEB 中，因为45A ∠=︒，=2AB ，所以AE BE ==．在Rt BED △中，因为5BD =，则DE ===．所以cos ADB ∠=［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设BDC α∠=，则(5cos ,5sin )B αα．因为45A ∠=︒，所以(0,5sin A α．从而2AB ==，又α是锐角，所以cos 5α=，cos sin ADB α∠===（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，cos 5ADB ∠=，()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=，所以=5BC ．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，BF =FC =，由勾股定理得=5BC ．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法； 方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现． （2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法． 方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．11．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12．（2017∙山东∙高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=，a =【答案详解】试题详细分析：先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-， 所以cos 6bc A =-， 又3ABC S =△， 所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =， 又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(a =+-⨯⨯，所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．13．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【答案详解】试题详细分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．14．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.15．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角 A ，B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知 4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求 b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.【答案详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式 子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin 5C =，cos 5C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =3c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.16．（2015∙山东∙高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ，，再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中，由cos 3B =，得sin 3B =.因为A B C π++=，所以sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos 9C =，因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =，可得sin sin 9cc A a C ===，又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由（2）法一知sin 16B =，。

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考复习知识点一、选择题1．已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22ππαβ-<-<，利用三角函数的基本关系式，分别求得cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.【详解】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2π.又sin(α－β)，∴cos(α－β).又sin α＝5，∴cos α＝5， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝5×10－5×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝2.∴β＝4π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（ ）A BC D 【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B.3．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.4．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.5．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.6．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a-+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.8．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）A ．12B ．47C 255D 76565【答案】B 【解析】 【分析】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.【详解】过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)2A a +， 所以32CD =，11,2AD DE ==，3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EADBAC CAD EAD CAD EAD∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠31422317122-==+⨯.故选：B【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.10．已知π1cos25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos2α=( )A．725B．725-C．2325D．2325-【答案】C【解析】【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得sinα，再由余弦二倍角，即可求解．【详解】由π1cosα25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sinα5=，又由2123cos2α12sinα122525=-=-⨯=．故选C．【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．11．已知2433sin5cos77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan14πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．53-B．35-C．35D．53【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式计算得到35tan73πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，故3tan tan1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案.【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.12．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ） A．)+∞ B．)+∞C．()+∞D．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.13．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC ．D 或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.15．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ+∈-++，又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤，由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642ππϕ-<-<，解得526ππϕ<<， 综上223ππϕ<≤.故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2x k ππ=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈. 16．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )A ．sinB ．cosC ．tanD ．cos2θ【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可．【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．17．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u u v u u u v B ．2155AB AC +u u u v u u u v C ．481515AB AC +u u u v u u u v D ．841515AB AC +u u u v u u u v 【答案】D【解析】【分析】 设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos 4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u u r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.18．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ）A ．152kmB ．30kmC ．15kmD ．153km 【答案】D【解析】【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BC ABC BAC=∠∠， 可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．19．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A【解析】逐一考查所给的函数： cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A ．4x π= B ．3x π= C ．56x π= D ．1912x π= 【答案】D【解析】【分析】 由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】 解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。

十年（2013-2022）高考数学真题分类汇编解析08 三角函数与解三角形选择填空题
1．【2022年全国甲卷理科08】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的A B中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2．【2022年全国甲卷理科11】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：。

3.2 解三角形基础题命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sin A-b sin B=4c sin C ,cosA=-14,则bb =()A.6B.5C.4D.3,得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b 2+b 2-b 22bb, ∴b 2-4b 22bb =-14,∴-3b 2b =-14,∴b b =32×4=6,故选A .2.(2018全国Ⅱ·6)在△ABC 中,cos b2=√55,BC=1,AC=5,则AB=()A.4√2B.√30C.√29D.2√5cos C=2cos 2b 2-1=-35,∴AB 2=BC 2+AC 2-2BC ·AC cos C=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4√2.3.(2018全国Ⅲ·9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 的面积为b 2+b 2-b 24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6S=b2+b2-b24=12ab sin C,得c2=a2+b2-2ab sin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C,∴sin C=cos C,即C=π4.4.(2017某某·9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2Asin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,∴sin B+2sin B cos C=(sin A cos C+cos A sin C)+sin A cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin B+sin A cos C, ∴2sin B cos C=sin A cos C,又△ABC为锐角三角形,∴2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2019全国Ⅱ·15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为.√3b2=a2+c2-2ac cos B,∴(2c)2+c2-2×2c×c×12=62,即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去).∴a=2c=4√3.∴S △ABC =12ac sin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.典题演练提能·刷高分1.在△ABC 中,若原点到直线x sin A+y sin B+sin C=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析由已知可得√22=1,∴sin 2C=sin 2A+sin 2B ,∴c 2=a 2+b 2,故三角形为直角三角形.选A .2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos C+c=2a ,且b=√13,c=3,则a=() A.1 B.√6C.2√2D.42b cos C+c=2a ,由正弦定理可得2sin B cos C+sin C=2sin A=2sin(B+C )=2sin B cos C+2cos B sin C ,∴sin C=2cos B sin C ,∵sin C ≠0,∴cos B=12.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,又知b=√13,c=3,解得a=4.故选D .3.(2019某某某某高三质检)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a sin B=2b sinC ,b=3,cos B=14,则△ABC 的面积为()A.9√15B.9√1516C.3√1516D.916a sin B=2b sin C ,结合正弦定理可得ab=2bc ,则a=2c.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,可得9=(2c )2+c 2-2×2c ×c ×14,解得c=32,则a=3.又sin B=√1-cos 2b =√154,所以S △ABC =12ac sin B=12×3×32×√154=9√1516.故选B .4.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos 2b +b2-cos 2C=1,4sin B=3sin A ,a-b=1,则c 的值为()A.√13B.√7C.√37D.6解析∵2cos2b +b2=2cos 2π-b 2=2cos 2π2−b 2=2sin 2b2=1-cos C ,∴1-cos C-cos2C=1.∴cos2C=-cos C.∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12.因为{b -b =1,4b =3b ,故得到{b =3,b =4.根据余弦定理得到12=b 2+b 2-b 22bb,解得c 的值为√13.5.△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=5,B=π3,cos A=1114,则△ABC 的面积S=()A.10√33B.10C.10√3D.20√3cos A=1114,所以sin A=5√314,由正弦定理得到bsin b=bsin b,解得b=7,由正弦定理得到sin C=sin(A+B )=4√37,△ABC 的面积S=12×5×7×4√37=10√3.6.(2019某某某某高三二调)在△ABC 中,角A ,B ,C 成等差数列,且对边分别为a ,b ,c ,若bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =20,b=7,则△ABC 的内切圆的半径为()A.√3B.7√33C.2D.3角A ,B ,C 成等差数列,∴2B=A+C=π-B ,即B=π3,∴bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ca cos π3=20,即ca=40,由余弦定理b 2=c 2+a 2-2ca cos B ,可得49=a 2+c 2-ac=(a+c )2-3ac=(a+c )2-120,解得a+c=13.故a=5,c=8.设△ABC 的内切圆的半径为r ,则12(a+b+c )r=12ac sin B ,可得12(5+8+7)r=12×5×8×√32,可得△ABC 的内切圆的半径r=√3.故选A .7.如图,平面四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点P ,若3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB=AD=√3BC ,∠CAD+∠ACB=56π,则bbbb=() A.√213B.√214C.2√63D.√62BC=1,则AB=AD=√3,延长BC 到E ,使BE=3BC ,所以CE=2,依题意3bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AC ∥DE ,所以bb bb=bb bb=12,由正弦定理得{bb sin b =bbsin b ,bb sin b=bb sin b,两式相除得2sin b=√3sin b, 所以2sin5π6-α=√3sin α,所以α=π2,β=π3.在△ABC 中,由余弦定理得3=1+AC 2-2AC cos π3,AC=2,在Rt △ACD 中CD=√3+4=√7,故bbbb =√7√3=√213,选A .8.在△ABC 中,AB=2,AC=√7,∠ABC=2π3,则BC=.,根据余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B ,即BC 2+2BC-3=0,解得BC=1,或BC=-3(舍去负值).9.在△ABC 中,a=1,b=√7,且△ABC 的面积为√32,则c=.或2√3△ABC =12ab sin C=12×1×√7×sin C=√32,则sin C=√217,cos C=±2√77, 当cos C=2√77时,c 2=1+7-2×1×√7×2√77=4,c=2;当cos C=-2√77时,c 2=1+7+2×1×√7×2√77=12,c=2√3.10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米..5由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米.在△ABC 中,由余弦定理有cos B=bb 2+bb 2-bb 22bb ·bb=132+142-1522×13×14=513,B 为锐角,sin B=√1-cos 2b =1213.设△ABC 外接圆半径为R ,则由正弦定理有bsin b =2R ,R=b2sin b =75002×1213=4062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和X 围问题高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值X 围是.√6−√2,√6+√2).作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6−√2.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2,所以AB的取值X围为(√6−√2,√6+√2).2.(2014全国Ⅰ·16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.√3,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b2+b2-b22bb =12.∴sin A=√32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=12bc·sin A≤√3,即(S△ABC)max=√3.典题演练提能·刷高分1.(2019某某某某高三一模)在△ABC中,AB=2,C=π6,则AC+√3BC的最大值为() A.4√7 B.3√7C.2√7D.√7ABC 中,AB=2,C=π6,则2R=bbsin b =4,则AC+√3BC=4sin B+4√3sin A=4sin 5π6-A +4√3sin A=2cos A+6√3sin A=4√7sin(A+θ),其中sin θ=√714,cos θ=3√2114,由于0<A<5π6,0<θ<π2,所以0<A+θ<4π3,所以最大值为4√7.故选A .2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A=π3,a=2√2,则△ABC 面积的最大值为()A.√2B.2√3C.√6D.√3ABC 中,由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即8=b 2+c 2-2bc cos π3=b 2+c 2-bc ≥2bc-bc=bc ,即bc ≤8,当且仅当b=c 时,等号成立,所以△ABC 面积的最大值为S=12bc sin A=12×8sin π3=2√3,故选B .3.已知锐角△ABC 中的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=a (a+c ),则sin 2bsin(b -b )的取值X 围是()A.(0,√22)B.(12,√32) C.(12,√22) D.(0,√32)b 2=a (a+c ),由余弦定理,得a 2+c 2-2ac cos B=a (a+c ), 化简得c-a=2a cos B.由正弦定理,得sin C-sin A=2sin A cos B ,∵C=π-(A+B ),∴sin(A+B )-sin A=2sin A cos B ,化简得sin(B-A )=sin A.∵△ABC 是锐角三角形,∴B-A=A ,即B=2A ,∵{0<b <π2,π2<b +b <π,即{0<2b <π2,π2<3b <π,∴π6<A<π4,∴sin 2bsin(b -b )=sin A ∈(12,√22).4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为√3,且cos(b +b )cos b=b2b +b ,则c 的最小值是()A.2B.2√2C.2√3D.4∵cos(b +b )cos b=b 2b +b ,∴-cos b cos b =b2b +b ,∴根据正弦定理可得-cos bcos b =sin b2sin b +sin b ,即-2sin A cos C=sin A.∵sin A ≠0,∴cos C=-12.∵C ∈(0,π),∴C=2π3.∵△ABC 的面积为√3,∴S △ABC =12ab sin C=√3,即ab=4.∵cos C=b 2+b 2-b 22bb=-12, ∴c 2=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab=12,当且仅当a=b 时取等号. ∴c min =2√3,故选C .5.在△ABC 中,已知a 2+b 2-c 2=4S (S 为△ABC 的面积),若c=√2,则a-√22b 的取值X 围是()A.0,√2B.-1,0C.-1,√2D.-√2,√2a 2+b 2-c 2=4S ,∴a 2+b 2-c 2=4×12ab sin C=2ab sin C.∴b 2+b 2-b 22bb =sin C ,∴cos C=sin C.∴C=π4. ∵bsin b =bsin b =bsin b =√2√22=2,∴a=2sin A ,b=2sin B ,又a-√22b=2sin A-√22×2sin B=2sin A-√2sin B=2sin A-√2sin3π4-A=sin A-cos A=√2sin A-π4,∵0<A<3π4,∴-π4<A-π4<π2, ∴-1<√2sin A-π4<√2,∴-1<a-√22b<√2,故选C .6.已知平面四边形ABCD 中,AB=AD=2,BC=CD ,∠BCD=90°,则四边形ABCD 面积的最大值为()A.6B.2+2√3C.2+2√2D.4,设∠DAB=θ,BC=CD=x ,则BD=√2x.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos θ,即(√2x )2=4+4-8cos θ=8-8cos θ,∴x 2=4-4cos θ.∴四边形ABCD 的面积为S=12×22×sin θ+12x 2=2sin θ+(2-2cos θ)=2√2sin θ-π4+2.∵0<θ<π,∴-π4<θ-π4<3π4,∴当θ-π4=π2,即θ=3π4时,S 有最大值,且S max =2√2+2.选C .7.已知点O 是△ABC 的内心,∠BAC=60°,BC=1,则△BOC 面积的最大值为.BOC=180°-180°-60°2=120°,在△OBC 中,BC 2=OB 2+OC 2-2OB ·OC ·cos120°,即1=OB 2+OC 2+OB ·OC ≥3OB ·OC ,即OB ·OC ≤13,所以S △OBC =12OB ·OC sin120°≤√312,当OB=OC 时取得最大值.8.在△ABC 中,AB=AC ,D 为AC 的中点,BD=1,则△ABC 面积的最大值为.ABD 中,设AB=AC=b ,由余弦定理得cos A=b 2+b 24-12b ·b 2=54−1b 2,则sin A=√1-(54-1b 2) 2,所以△ABC 的面积为S=12b 2sin A=12b 2·√1-(54-1b2)2=18√-9(b 2-209)2+2569≤23,所以△ABC 的面积的最大值为23.9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ,若|bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6,则△ABC 面积的最大值为.|bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴|AB|=3.∵bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·bb ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6,∴ab cos C=6.∴cos C=6bb .由余弦定理得9=a 2+b 2-2ab cos C=a 2+b 2-12≥2ab-12,∴ab ≤212.∴S=12ab sin C=12ab √1-cos 2b=12ab √1-36b 2b 2=12√b 2b 2(1-36b 2b 2 =12√b 2b 2-36≤12√(212) 2-36=3√334.。

专题06 三角函数及解三角形【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）设函数()cosπ()6f x xω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x可得：4cos096ππω⎛⎫-⋅+=⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x的最小正周期为224332Tπππω===2.（2020·新课标Ⅰ）已知π()0,α∈，且3cos28cos5αα-=，则sinα=（）A.53 B. 23C. 13 D. 59【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==3.（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D.sin2α<0 【答案】D 【解析】当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；4.（2020·新课标Ⅱ）已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C. 1 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.5.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A.19B.13C.12D.23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 6.（2020·新课标Ⅲ）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 7.（2020·山东卷）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362Tπππ=-=，则222Tππωπ===，所以不选A,当2536212xπππ+==时，1y=-∴()5322122k k Zππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k kϕππ=+∈Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263y x k x x xππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos2cos(2)66x xππ⎛⎫+=--⎪⎝⎭8.（2020·北京卷）若函数()sin()cosf x x xϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Zππ+∈均可）【解析】因为()()()()22cos sin sin1cos cos sin1sinf x x x xϕϕϕϕθ=++=+++，所以()22cos sin12ϕϕ++=，解得sin1ϕ=，故可取2ϕπ=.9.（2020·山东卷）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC 的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH DG∥，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r，由题意7AM AN==，12EF=，所以5NF=，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以32522125r r -=-， 解得22r =； 等腰直角OAH△的面积为11222242S =⨯⨯=； 扇形AOB 的面积()221322324S ππ=⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.10.（2020·浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，11.（2020·江苏卷）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 12.（2020·江苏卷）将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-13.（2020·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为14.（2020·新课标Ⅰ）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =，1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =，6BF BD ∴==，在ACE △中，1AC =，3AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，6BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.【2019年】1．【2019·全国Ⅰ卷】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ．2．【2019·全国Ⅰ卷】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确． 当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误． 当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确． 综上所述，①④正确，故选C ． 3．【2019·全国Ⅱ卷】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ， 故选A ．图1图2图34．【2019·全国Ⅱ卷】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 55C 33D 255【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin α∴=，故选B ． 5．【2019·全国Ⅲ卷】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=，因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<， 故④正确.③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<，综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.6．【2019·天津卷】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 7．【2019·北京卷】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】π2【解析】函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 8．【2019·全国Ⅱ卷】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 9．【2019·江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭ 2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 10．【2019·浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BDADB BAC=∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=, 225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【2018年】1．【2018·全国Ⅲ卷】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 2．【2018·全国卷II 】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.3．【2018·天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.4．【2018·浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D. 5．【2018·全国Ⅱ】在ABC △中，5cos2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30CD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛=-=⨯-=- ⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.6．【2018·全国Ⅲ】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.7．【2018·浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sinB =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.8．【2018·全国Ⅰ】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin 22x x =-=-，所以()min2f x ⎛=⨯= ⎝⎭2-. 9．【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值， 所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.10．【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点. 11．【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【2017年】1．【2017·全国Ⅰ】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.2．【2017·全国Ⅲ】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减 【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.3．【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π= 【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π， 由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 4．【2017·山东卷】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=， 故选A.5．【2017·浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．6．【2017·全国Ⅱ】函数()23sin 4f x x x =-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-++=-+ ⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1. 7．【2017·北京卷】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 8．【2018·全国Ⅱ】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα9．【2017·江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】 因为π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，所以ππ()444T kT --=+，即π41412π244k k T ω++==⋅，所以*41()k k ω=+∈N ，又因为()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，所以5πππ2π36181222T ω-=≤=，即12ω≤，则ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 3.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010 （C ）1010 （D ）31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD +-+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 4.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.5.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 6.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】 由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．7.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．8.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 9.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= . 【答案】22【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=2cos.42=π10.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a B b A ==.11.【2016高考浙江理数】已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．2 1【解析】22cos sin 22)14x x x π+++，所以2, 1.A b ==12.【2016高考新课标3理数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到．13.【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）cos x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.14.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.15.【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 16.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.。