第八章 分离变量法

第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。

在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。

接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。

1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。

分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。

具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。

代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。

然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。

2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。

以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。

假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。

热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。

我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。

分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。

(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。

假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。

∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。

我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。

分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。

它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。

思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。

常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。

柱坐标系中拉普拉斯方程的一般解为
(,,)()()()
m m n n m u r z R r Z z ϕϕ∞
==Φ∑∑其中对于不同的边界条件函数)的形式不样其中对于不同的边界条件，函数R m (r )Z n (z ) 的形式不一样。

结论：
(1) 如果柱的侧面上是齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ，而且径向函数所遵从的方程为贝塞尔方程；
（2）如果两端为齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ = -ν 2，而且径向函数所遵从的方程为虚宗量贝塞尔方程。

因此，在求解柱坐标系中的拉普拉斯方程时，首先要分辨清楚是柱侧面为齐次边界条件，还是两端为齐次边界条件，以便确定本征值问题。

思考μ = 0????
方程的一般解：
()(,,,)()()()
m m n nj u r z t R r Z z T t ϕϕ∞
∞
=Φ∑∑∑10n
j m ==可见：对于波动方程在柱坐标系中的定解问题，存在三个本征值，即λ , ν 2，及μ= k 2-ν 2，它们分别由周期性条件，圆柱两端的齐次边界条件和圆柱侧面的齐次边界条件来确定。

对于输运方程，也可以得到类似的解：
()2210
(,,,)()()n
k a t m m n n
j m u r z t R r Z z e
ϕϕ∞
∞
-===Φ∑∑∑。

第八章分离变数法分离变量法的基本思想是,先求出方程具有变量分离形式且满足边界条件的特解, 然后根据叠加原理作出这些解的线性叠加, 最后由其余的定解条件确定待定系数, 得到定解问题的解.分离变量法的特点是把偏微分方程化为常微分方程来处理,使问题化难为简.分离变量法的关键步骤是求解本征值问题,即求解含有参量λ的齐次常微分方程的边值问题.其边界条件分别为齐次边界条件、周期性边界条件和自然边界条件(有界性边界条件)分离变量法适用于波动问题、输运问题和稳定场问题在特殊域矩形、长方体(直角坐标系)圆、圆柱体(柱坐标系)圆球(球坐标系)中的定解问题, 因为这些特殊域正好常常在实际问题中出现, 这是分离变量法有广泛的应用的原因.二阶常系数齐次线性常微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 的形式，21r r(*)式的通解 两个不相等实根)04(2>-q p x r x r e c e c y 2121+= 两个相等实根)04(2=-q p x r e x c c y 1)(21+=一对共轭复根)04(2<-q p4221p q pi r i r -=-=-=+=βαβαβα，，)sin cos (21x c x c e y x ββα+=§8.1 齐次方程的分离变数法驻波法（一）分离变数法介绍求：两端固定弦的自由振动(p143)。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====<<=-====)3.1.8()(),()2.1.8(0,0)1.1.8()0(00002x u x u u u l x u a u t t t l x x xx tt ψϕ解：定解问题是特点：方程和边界条件都是线性齐次的,初始条件为非齐次的。

第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。

分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。

叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。

特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。

（2）物理上 由叠加原理作保证。

例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。

第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。

分离变量法的
分离变量法是一种统计学理论，它是一种实验设计的常用策略，可以帮助研究
者更好的分析现象中的潜在关系和因果性。

分离变量法的基本原理是将实证研究中的所有变量被系统地组织起来，以便为
研究者提供有效而合理的实验设计，以更加精确地检验每一个变量的影响。

分离变量法是通过安排控制实验来识别变量之间的相互关系。

这种方法有助于研究者发现各种影响及事件的病理机制，从而帮助他们分析解
释一个现象的发展历史，其中包括看不见的因素以及它们之间的相互作用。

而且，通过识别自变量、因变量及其他变量之间的关系，研究者可以鉴定和认识不同文化、不同地域、不同时期但是有着同种现象的拥有相同因素的历史事件。

另外，分离变量法也有助于帮助研究者避免陷入潜在的偶然性结果，这样他们
可以获得有着实证依据的调查结论。

另外，在使用该方法的过程中，也可以有效避免受试者的建议影响，从而使实验能够更加有效地实施和衡量。

从以上可以看出，分离变量法是一种重要而有效的实证研究方法，它是通过对
实验变量的有效且系统化排列，对实验结果带来重要的影响。

它不仅有助于研究者从现象的发展历史中获取有用的信息，还能够帮助他们避免陷入偶然性结果的陷阱，从而使他们获得实证依据的结果。

第八章分离变量法•§8.1 齐次方程的分离变量法•§8.2 非齐次方程：振动和输运方程•§8.3 非齐次边界条件的处理•§8.4 非齐次方程：泊松方程•§8.5 小结•适用于大量的定解问题。

其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中一些常微分方程有附加条件而构成本征值问题。

再通过傅里叶级数展开法，求解方程。

•本章内容将限于本征函数为三角函数的情形，以后几章将讨论非三角函数的情形。

•傅里叶级数法适用于系统的边界具有矩形对称形状，即当方程的解用平面波展开时，自然地满足边界的对称性。

其它本征函数展开法适用于相应的边界条件。

•内容：（1）齐次方程齐次边界条件的定解；（2）非齐次方程齐次边界条件的定解、冲量定理法；（3）齐次方程非齐次边界条件问题；（4）泊松方程。

b a π⎟⎠其中选取a=1,b=1/2,U=1§8.2 非齐次方程：振动和输运方程•前面讨论的都是齐次线性方程，即没有外源时的运动方程的定解问题。

当有外源时，方程是非齐次的。

本节讨论如果边界条件是齐次的，如何处理非齐次线性方程。

我们通常采用傅里叶级数法和冲量定理法。

•下一届我们还要继续讨论边界条件也是非齐次的微分方程的处理方法。

（一）傅里叶级数法•用傅里叶级数结合分离变量法求解非齐次偏微分方程，该方法是直接求解非齐次方程的定解问题，其思路如下：•假设方程的解具有形式：u(x,t)=∑n T n (t)X n (x). 其中，基本函数族X n (x)为该定解问题的齐次方程在所给的齐次边界条件下的本征函数。

T n (t)被视作待定的“系数”。

•处理问题的思路是，我们把T n (t)当做函数，将u(x,t)代入泛定方程，以便分离出T n (t)所满足的常微分方程，从而得到其具体的函数形式。

思考：1.如果上述非齐次方程右边的余弦函数改写成一般的函数f(x)sin ωt ，是否可以用本方法进行求解？2.如果方程右边的非齐次项具有一般的函数形式f(x,t)能否用现有方法求解？•本方法的实质是将原来的齐次线性方程的分离变量u(x,t)=X(x)T(t)做细分，即取u(x,t)=∑n X n (x)T n (t)，其中X n (x)具有齐次线性方程的本征函数的形式。