初中数学竞赛专题分类解析第二讲：全等三角形

全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。

它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。

接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。

一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。

4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。

而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。

三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。

2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。

3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。

4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

初中数学竞赛专题：三角形§9. 1全等三角形1. 1. 1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。

，过C作CE与a）垂直且交8。

延长线于邑求证：BD = 2CE.解析如图，延长CE、B4,设交于b・则NF3E = NAb,A8 = AC,得△AB£>gA4b,CF = 8O.乂BE 1.CF, BE 平分/FBC,故BE 平分CF, E为CF 中点、，所以2CE = FC = BD .9. 1. 2★在△ABC中，已知乙4 = 60。

,£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形外两点，使总_14从尸£ = ¥，°尸_14。

,0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.解析如图，连结EG、FG ,则EG//AC , FG//AB，故/PEG = 150。

= NQFG . 又QF = -AC = EG , PE 4AB = FG , 故APEG 9AGFQ , 所以2 2PG = GQ , AEGP + ZFGQ = ZFQG + ZFGQ = 30°, 乂ZEGF = 60°,所以NPG0 = 9O。

，于是PQ = 0PG = y/2 .10.1. 3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx △（7£）七的周长相等，求竺L AD 解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。

£»,若H与A不重合，则H在£4 （或延长线）上，但由三角形不等式易知,A，在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长；A，在E4延长线上时,AABE的周长<AA f BE周长,均与题设矛盾，故A与H重合,A£〃8C ,同理ED//BC ,£ = =.= = AD 2AA f E11.1.4★★△ABC 内,44。

= 60。

,/4(78 = 40。

全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的核心内容之一。

在这篇文章中，我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。

一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。

简而言之，在几何学中，当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时，我们称这两个三角形是全等的。

二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等，我们有以下几个常用的判定条件：1. SSS判定法：即边-边-边判定法。

当两个三角形的三条边分别相等时，它们就是全等的。

2. SAS判定法：即边-角-边判定法。

当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时，它们就是全等的。

3. ASA判定法：即角-边-角判定法。

当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时，它们就是全等的。

4. AAS判定法：即角-角-边判定法。

当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时，它们就是全等的。

需要注意的是，这些判定条件是相互独立的，即只要满足其中一种条件，就可以判定两个三角形是全等的。

三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质：1. 对应边对应角相等性质：全等三角形的对应边对应角相等。

即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF，并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。

4. 全等三角形的外角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。

通过以上性质，我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。

四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。

专题02 全等三角形的判定知识网络重难突破知识点一全等三角形的概念1. 全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形.2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形3.对应元素：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角.【典例1】下列说法正确的是()A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【点拨】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．【变式训练】下列各组的两个图形属于全等图形的是()A．B．C．D．【点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解析】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．知识点二全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

(简写成“角边角”或“ASA”)4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)【典例2】(2019秋•瑞安市期中)如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是()A．∠C＝∠E B．BC＝DE C．AB＝AD D．∠B＝∠D【点拨】根据全等三角形的判定定理(SAS，ASA，AAS，SSS)判断即可．【解析】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE；A、∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴根据ASA可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；B、根据∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，BC＝DE不能推出△ABC≌△ADE，错误，故本选项正确；C、∵AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴根据SAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；D、∵∠BAC＝∠DAE，AC＝DE，∠B＝∠D，∴根据AAS可以推出△ABC≌△ADE，正确，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【变式训练】1．(2019秋•温州期中)如图，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，已知∠B＝∠C，现添加下面的哪一个条件后，仍不能判定△ABD≌△ACE的是()A．AD＝AE B．AB＝AC C．BD＝CE D．∠ADB＝∠AEC【点拨】已知∠B＝∠C，再加上条件∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定定理可得添加条件必须是边相等，故可得出答案．【解析】解：已知∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE，若添加AD＝AE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故A选项不合题意；若添加AB＝AC，可利用ASA定理证明△ABE≌△ACD，故B选项不合题意；若添加BD＝CE，可利用AAS定理证明△ABE≌△ACD，故C选项不合题意；若添加∠ADB＝∠AEC，没有边的条件，则不能证明△ABE≌△ACD，故D选项合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2019秋•诸暨市校级月考)如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，添加下列条件，其中不能判定△ABC≌△DEF的是()A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝DE D．∠ACB＝∠DFE【点拨】运用全等三角形的判定可求解．【解析】解：∵BF＝CE，∴BC＝EF，∵AB∥DE∴∠B＝∠E，当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，当∠ACB＝∠DFE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“ASA”可证△ABC≌△DEF，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．3．(2019春•西湖区校级月考)如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B ＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．【点拨】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．4．(2018•柯桥区模拟)如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】先根据AB∥DE，利用两直线平行，同位角相等，可得∠ABC＝∠DEF，再结合∠A＝∠D，BC ＝EF，利用AAS可证△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(AAS)．【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．5．(2019秋•椒江区校级月考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAC＝∠D，∠B+∠AEC＝180°，BC＝CE．求证：AC＝DC．【点拨】由∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，推出∠B＝∠DEC，由AAS证得△ABC≌△DEC，即可得出结论．【解析】证明：∵∠B+∠AEC＝180°，∠DEC+∠AEC＝180°，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC(AAS)∴AC＝DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．知识点三直角三角形全等的判定1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【典例3】1．(2018秋•湛江期末)下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是() A．两个锐角对应相等B．一条边和一个锐角对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和一条斜边对应相等【点拨】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解析】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；C、符合判定SAS，故本选项不符合题意；D、符合判定HL，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．(2018•南浔区一模)如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是()A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【点拨】根据直角三角形的判定定理进行选择．【解析】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2018秋•慈溪市期中)如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt △ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC＝4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ＝12cm．【点拨】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解析】解：如图，要使△AFC与△ABQ全等，则应满足，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm，设AQ＝3x，AB＝4x，则有4x﹣3x＝4，∴x＝4，∴AQ＝12(cm)，故答案为：12．【点睛】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS证明三角形的全等．巩固训练1．(2019秋•慈溪市期中)下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是()A．已知两边的长和夹角的三角形B．已知两个角及夹边的长的三角形C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形D．已知直角边和斜边的直角三角形【点拨】根据三角形全等的判定定理，结合选项进行判定．【解析】解：A、已知两边的长和夹角的两三角形，一定全等，故本选不符合题意；B、已知两个角及夹边的三角形证明两个三角形全等，故本选项不符合题意；C、已知两边的长及其中一边的对角的三角形，因为角的位置没有确定，不一定全等，故本选项符合题意；D、已知直角边和斜边的直角三角形可根据HL判定全等，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．(2018•金华)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是AC＝BC．【点拨】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS 判定△ADC≌△BEC．【解析】解：添加AC＝BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)，故答案为：AC＝BC．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．(2018秋•柯桥区期中)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数为70°．【点拨】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠B＝∠C及∠B的度数，结合BD＝CF、BE ＝CD，即可证出△BDE≌△CFD(SAS)，根据全等三角形的性质可得出∠CDF＝∠BED，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF＝∠B，此题得解．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝(180°﹣∠A)＝70°．在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD(SAS)，∴∠CDF＝∠BED．∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，∴∠EDF＝∠B＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的判定定理SAS证出△BDE≌△CFD是解题的关键．4．(2019秋•台州期中)已知：如图，A，E，B，D在同一直线上，AE＝DB，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【点拨】利用等式的性质可得AB＝DE，再利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DEF，然后可利用ASA判定△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，∴AB＝DE，∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．(2010•十堰)如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD＝CE．【点拨】欲证BD、CE两边相等，只需证明这两边所在的△ABD与△ACE全等，这两个三角形，有一对直角相等，公共角∠A，AB＝AC，所以两三角形全等．【解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(AAS)．∴BD＝CE．【点睛】本题考查证明两边相等的方法，证明这两边所在的三角形全等．选择要证的三角形时要结合图形及已知条件．6．(2019秋•义乌市校级月考)如图：AB＝AC，AD＝AE，AB⊥AC，AD⊥AE．(1)求证：△EAC≌△DAB；(2)判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由．【点拨】(1)根据垂直的定义可得∠BAC＝∠DAE＝90°，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠BFC＝∠BAC＝90°，再根据垂直的定义证明即可．【解析】证明：(1)∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△EAC≌△DAB(SAS)；(2)如图，∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，又∵∠B+∠BAC＝∠C+∠BFC，∴∠BFC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，并求出∠BAD＝∠CAE是解题的关键，也是本题的难点．7．(2019秋•台州期中)如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．(1)当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；(2)当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．【点拨】(1)作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG＝BH，由S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，可得•t•BG：•(6﹣2t)•BH＝2：1，解方程即可解决问题．(2)存在．由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，可知当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．【解析】解：(1)如图2中，①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．∵BA平分∠MAN，∴BG＝BH，∵S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，∴•t•BG：•(6﹣2t)•BH＝2：1，∴t＝s．②当点E运动到AC延长线上，同法可得t＝4时，也满足条件，∴当t＝s或4s时，满足S△ADB：S△BEC＝2：1．(2)存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，∴当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，∴t＝6﹣2t，∴t＝2s，∴t＝2s时，△ADB≌△CEB．当D在MA延长线上时，2t﹣6＝t，t＝6s，综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

•
OA＝OC，EA＝EC，
•
请阐明∠ A＝∠C。
AO C
DB
E
• 分析：欲证明∠A＝ ∠C，有三条思路，一 是证明△AOD与△COB全等，而由已知条件 不可直接得到，二是连结OE，阐明△AOE与 △COE全等，这条路显而易得， ∠A＝∠C， 三是证明 △ABE与△CDE全等，这也是不能 直接证明到的，因此应采用第二条思路。
全等三角形
• 一:考纲规定与命题趋势
• 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的办法， 会灵活的对的选择适宜的识别办法判断两 个三角形与否全等。
• 2. 对的运用全等三角形的性质计算三角形 中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力 和形象思维能力。
• 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的 基础，因此它自然是中考必考知识点，同 窗们务必学好它。
• 阐明：在解决几何问题的过程中，有时根 据条件不能较顺利的得到结论，这时添加 必要的辅助线是十分重要的捷径。
• 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是
等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？
试阐明理由。
D
C
AP
B
• 分析：观察图形发现它们所在的三角形全
等，故考虑通过全等来阐明。
• 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知 AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，
变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，
要善于抓住规律。
A
A
B
l
3
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的 延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线 上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。

全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。

在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。

本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。

2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。

4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。

二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。

即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。

三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。

证明∠B = ∠E, AC = DF。

已知两角找找任两意角一的边夹（边A（AAS）SA）
3、常用作辅助线的方法
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等
变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用
的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三
三、课后思考
1、三角形 ABC 中，AB=AC，在 AB 上取一点 D，在 AC 的延长线上取一点 E，使 CE=BD，连结 DE 交 BC 于 G，求证：DG=GE.
4、证明几条线段的不等关系——拼凑组成三角形
如果题目是要证明几段线段的不等关系，通过辅助线和等量代换把所要证明的几段线段转化 到同一个三角形中，利用三角形的三边关系来证明。
例题 4：AD 为△ABC 的角平分线，直线 MN⊥AD 于 A.E 为 MN 上一点，△ABC 周长记为 PA ，△ EBC 周长记为 PB .求证 PB ＞ PA .
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第二章 有关全等三角形的证明
一、知识体系
1、判定依据 (1) 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（SSS）
(2) 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。（SAS） (3) 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。(ASA) (4) 如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
1
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二、利用三角形全等的证明类型

全等三角形培优竞赛讲义（二）【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1）∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2）∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；③平移如图（3）∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

全等三角形你见过两片完全相同的树叶吗？你见过两个完全相同的事物吗？也许你从未意识到这世界上还有完全相同。

在这里我们将引导你的思路，给你解题技巧：完全相同--全等三角形。

三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。

三角形全等的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。

判定两个三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角及其它对应元素相等。

例1：如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。

求证：① AE=BD;② CF=CG.思路① 证明△ACE≌△BCD。

证明① ∵ △ABC和△DCE都是等边三角形，∴ CB=CA， CD=CE，∠BCA=∠ECD=，∴∠BCD=∠ACE=，∴△BCD≌△ACE，∴ AE=BD。

思路② 证明△FCD≌△GCE。

证明② 由△BCD≌△DCE都是等边三角形可知∴ CD=CE，∠BCA=∠ECD=∴∠ACD=-∠BCA-∠ECD=∴△FCD≌△GCE，∴ CF=CG说明：证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。

例2：如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE。

求证：MD=MN。

思路：取AD的中点P，连结PM，证明△DMP≌△MNB。

证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。

∵DM⊥MN，∴∠DMA+∠BMN=，又由正方形ABCD 知∠A=，∴∠DMA+∠MDA=，∴∠BMN=∠MDA又∵BN平分∠CBE，∴∠MBN=又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得△PAM是等腰直角三角形，故∠DPM=。

∴∠DPM=∠MBN，∴△DPM≌△MBN，∴ DM=MN。

说明：本题中DM和MN所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。

全等三角形》讲义(完整版)全等三角形讲义全等三角形定义：若两个三角形形状大小相同，能够完全重合，则它们是全等形三角形。

对应顶点、对应边、对应角均重合。

全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

全等三角形判定定理：1.边边边定理（SSS）：若两个三角形的三条边对应相等，则它们是全等三角形。

2.边角边定理（SAS）：若两个三角形的一条边和它们的夹角对应相等，且另一条边对应相等，则它们是全等三角形。

3.角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，则它们是全等三角形。

4.角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，则它们是全等三角形。

5.斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则它们是全等三角形。

角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

典型例题举例：1.已知△ABN≌△ACM，对应角为∠B和∠C，对应边为AB和AC。

2.已知AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD。

3.已知点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，求证△ABE≌△CDF。

4.在△ABC中，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B ＝∠C，求证AD＝AE。

5.已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC=AD，其中D是线段BC上的一点，且BD=DC。

6.在图中，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，判断AB是否平行于CD，说明理由。

7.在图1中，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，判断△ABC与△AEG 面积之间的关系，并说明理由。

8.在图中，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF。

全等三角形判定方式和解释一、全等三角形的基础概念全等三角形是指两个三角形能够完全重合，它们的形状和大小都相等。

全等关系是三角形的一种重要性质，它在几何学中有广泛的应用。

二、全等三角形的判定方式1. 边边边（SSS）判定法如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。

数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当AB = DE, BC = EF, AC = DF。

解释：这个判定法是基于三角形的定义和性质。

在平面几何中，三角形的定义是一个由三条边和三个角构成的闭合二维多边形。

因此，如果两个三角形的三条边长度相等，那么它们的角度一定相等，从而它们的形状和大小都相等。

2. 边角边（SAS）判定法如果两个三角形的两边长度相等，并且这两边所夹的角相等，则这两个三角形全等。

数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当AB = DE, BC = EF, 且∠BAC = ∠DEF。

解释：这个判定法也基于三角形的性质。

在一个三角形中，任何一边的长度都受到与其所夹的两个角的影响。

因此，如果两个三角形的两条边长度相等，并且这两条边所夹的角相等，那么它们的形状和大小一定相等。

3. 角边角（ASA）判定法如果两个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的一边相等，则这两个三角形全等。

数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当∠A = ∠D, ∠B = ∠E, 且AB = DF。

解释：这个判定法同样基于三角形的性质。

在一个三角形中，任何一角的度数都受到与其所夹的两边长度的影响。

因此，如果两个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的一边长度相等，那么它们的形状和大小一定相等。

4. 角角边（AAS）判定法如果两个三角形的两个角相等，并且其中一个角所对的一边相等，则这两个三角形全等。

数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当∠A = ∠D, ∠B = ∠E, 且AC = DF。

解释：这个判定法也是基于三角形的性质。

在一个三角形中，任何一角的度数都受到与其所夹的两边长度的影响。

【练习三】如图，A、C、F、D 在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
A
【练习四】如图，AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE．求证：AE＝DE．
C
E
B
F
D
【练习五】如图，已知：BE＝CD，∠B＝∠C，求证：∠1＝∠2．
A
12
E
D
O
B
C
【变式二】如图，若△ABC ≌△A1B1C1 ，且 A =110°，B = 40°，则 C1 ＝
．
A
A1
BHale Waihona Puke C B1C1【变式三】如图， △ACB ≌△ACB ， BCB ＝30°，则 ACA 的度数为（ ）
A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
A
B
C
3、两组对应角和一组对应边相等的两个三角形全等，即 ASA 或 AAS
（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等；
知识点二：全等三角形的基本判定
1、三边对应相等的两个三角形全等，即 SSS
如图：在△ABC 与△DEF 中
__________ = _________ ∵ __________ = _________
__________ = __________
【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
A C
D
(1)有公共边的，公共边一定是对应边；
(2)有公共角的，公共角一定是对应角；
(3)有对顶角的，对顶角是对应角；
(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，
最小的角对最小的角。

专题二全等三角形的性质与判定一、单选题1．下面四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）．．23A．50°B．59°C．69°D．71°4．如图，点E、F在BC上，AB=CD，AF=DE，AF、DE相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌△DCE（）A．∠B=∠C B．AG=DG C．∠AFE=∠DEF D．BE=CF5．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（）．A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS6．已知，如图所示的两个三角形全等，则∠1=（）A．72°B．60°C．48°D．50°7．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL8．如图，点E、F在BC上，AB=DC，∠B=∠C．添加一个条件后，不能证明△ABF≌△DCE，这个条件可能是（）A．∠A=∠D B．BE=CF C．BF=CE D．AF=ED9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°10．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD11．如图，已知∠CAB=∠DBA，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△BAD，以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（）A．AC=BD B．CB=DA C．∠C=∠D D．∠ABC=∠BAD12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB=∠A′O′B′的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS13．如图，AB=4厘米，BC=6厘米，∠B=∠C，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是（）A．1B．1.5C．1或1.5D．1或214．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（）A．50°B．54°C．60°D．76°15．如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，要使得△ABC≌△DEF，不能添加的条件是（）A．∠A=∠D B．AC=DF C．BE=CF D．AC∥DF17．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的大小是（）A．64°B．65°C．51°D．55°18．如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．其依据的数学基本据实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．等角对等边D．两点之间线段最短19．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点A(0,a)，B(b,0)，C(−4,4)，其中b<a<0，则a，b之间的数量关系是（）A．a+b=−4B．a−b=4C．a+b=−8D．a−b=820．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS21．如图，点E、F在BC上，AB=DC，AF=DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（）A．∠B=∠C B．GE=GF C．∠AFE=∠DEF D．BF=CE 22．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②③23A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 24．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°25．如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（ ）A．BC=BD B．∠C=∠D C．AC=AD D．∠ABC=∠ABD26．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A+∠D=90°B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠227．如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题28．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD，AC=AE，BC=DE，若∠1+∠2+∠3=96°，则∠3的度数为．29．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，△ADE的周长为cm．30313233．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．34．如图，OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB．求证：AB=CD．35．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD 交BC的延长线于点F，PF交AC于点H，求证：(1)△ABP≌△FBP；(2)AH=AB−BD．37．如图，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求证：AC＝DF．38．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．39．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE，求证：AD=AE．40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：△CDE≌△FAE．(2)连接BE，当BE⊥CF时，CD=3，AB=2，求BC的长．41．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．42．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，AD=CD，AB=CB，对角线AC交BD与点O.(1)请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；(2)求证：AC⊥BD.43．如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，若CE=BF．(1)求证：AE=DF；(2)求证：AB∥CD．44．如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，AF=DE，∠B=∠C，求证：AB=CD．45．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)延长EB至点F，使得BF=DE，连接AF交CE于点G，若AD=5，BE=3，求DG的长．46．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：AC=AD．47．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．48．（变图形—平移型）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：△ACD≌△CBE．49．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．50．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过直角顶点A作直线MN,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E．(1)如图1，当MN与BC边不相交时，判断BD,CE,DE之间的数量关系，并说明理由；(2)当MN与边BC相交时，请在图2中画出图形，并直接写出BD,CE,DE之间的数量关系．51．如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．52．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．53．如图，点B，E，C，F在同一直线上，相交于点E，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：BE=CF．54．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE=DF，AB=CD，CE=FB．求证：AE∥DF．55．如图，已知AB=AC，BD=CD，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求证：DM=DN56．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．(0°<α<90°)得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1 B1C全等除外）；(2)当△BB1D是等腰三角形且BB1=BD时，求α的值．参考答案题号12345678910答案C C B D B C D D C A题号11121314151617181920答案B A C A D B A A D D题号21222324252627答案D A B B A D B1．C【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．【详解】解：由题可得∠A=180°−60°−54°=66°，∵A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵B选项中66°角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵C选项中已知两边与其中一边的夹角对应相等，所以能判定全等，故C选项符合题意；∵D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，牢记判定方法以及正确找出对应边或对应角是解决本题的关键．2．C【分析】由作图可知直线MN为边AC的垂直平分线，再由BD=DC得到AD=DC=BD，利用等边对等角以及三角形内角和定理，进而得到∠B+∠C=90°．【详解】解：由作图可知，直线MN为边AC的垂直平分线，∴DC=AD，∴∠C=∠CAD，∵BD=DC，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠C+∠B+∠CAD+∠BAD=180°，∴∠B+∠C=90°．故选：C．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】∵两个三角形全等，由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，∴∠α=180°−50°−71°=59°，故选：B4．D【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠B=∠C，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；B、由AG=DG，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；C、由∠AFE=∠DEF，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；D、由BE=CF即可证明BF=CE，AB=CD，AF=DE，可以由SSS证明△ABF≌△DCE，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．5．B【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解，正确理解题中的作图是解题的关键．【详解】解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，∴△ACD≌△BEF(SSS)，∴∠MBN=∠PAQ，故选：B．6．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【详解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，又∵图中两个三角形全等，∴△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=180°−60°−72°=48°，∴∠1=48°，故选：C．7．D【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．8．D【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据SSS，ASA，SAS，AAS逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵AB=DC，∠B=∠C，当∠A=∠D构成ASA，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BE=CF得到BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当AF=ED不能得到三角形全等的判定，符合题意，故选：D．9．C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠1的度数．【详解】解：如图所示，由三角形内角和定理得∠2=180°−50°−72°=58°，由全等三角形的性质可得∠1=∠2=58°，故选：C．10．A【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，条件为边边角，∴不能证明△ABC≌△BAD，故A符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠CAB=∠DBA，条件为边角边，∴能证明△ABC≌△BAD，故B不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠C=∠D，条件为角角边，能证明△ABC≌△BAD，故C不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，BC=AD，条件为边角边，能证明△ABC≌△BAD，故D不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．B【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵∠CAB=∠DBA，AB=BA，∴添加的条件是：AC=BD，根据SAS可证明△ABC≌△BAD，故选项A不符合题意；添加的条件是：CB=DA，无法判断△ABC≌△BAD，故选项B符合题意；添加的条件是：∠C=∠D，根据AAS可证明△ABC≌△BAD，故选项C不符合题意；添加的条件是：∠ABC=∠BAD，根据ASA可证明△ABC≌△BAD，故选项D不符合题意；故选：B12．A【分析】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得∠AOB=∠A′O′B′．【详解】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点D′；③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；④过点C′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．在△O′C′D′与△OCD中，O′C′=OCO′D′=OD，C′D′=CD∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，∴∠AOB=∠A′O′B′，即运用的判定方法是SSS．故选：A．13．C【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键．由题意知，BP=2t，CP=6−2t，由△ABP与△CQP全等，分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况，列方程求解即可．【详解】解：由题意知，BP=2t，CP=6−2t，∵△ABP与△CQP全等，∴分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况求解；当△ABP≌△PCQ时，PC=AB，即6−2t=4，解得t=1；当△ABP≌△QCP时，BP=CP，即2t=6−2t，解得t=1.5；综上所述，t的值是1或1.5，故选：C．14．A【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算．熟练掌握对应角的判定方法是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∠1是边a的对角，即边b、c夹角，∴∠1的度数是180°−54°−76°=50°．故选：A．15．D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠B=∠C，∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE；故选：D．16．B【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件AB=DE，∠B=∠DEF，再逐一分析添加的条件结合ASA，SAS，AAS可得答案.【详解】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴补充∠A=∠D，可利用ASA证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；补充AC=DF，不能证明△ABC≌△DEF，故B符合题意；补充BE=CF，∴BC=EF，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故C不符合题意；补充AC∥DF，∴∠ACB=∠F，可利用AAS证明△ABC≌△DEF，故D不符合题意；故选B17．A【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠1=64°，故选：A．18．A【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【详解】解：O为AA′、BB′的中点，∴OA=OA′，OB=OB′，∵∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等），∴在△AOB与△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′OB=OB∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB=A′B′，故选：A．19．D【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用AAS证明△BCM≌△ACN，即可求解，解题的关键是构造全等三角形．【详解】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，∵∠CMO=∠CNO=∠MON=90°，∴四边形CMON是矩形，∴∠MCN=90°，∴∠ACN+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∠BCM+∠ACM=90°，∴∠BCM=∠ACN,在△BCM和△ACN中，∠BCM=∠ACN∠BMC=∠ANC，BC=AC∴△BCM≌△ACN(AAS)，∴BM=AN，又∵点C坐标为(−4，4)，∴点M坐标为(−4，0)，点N坐标为(0，4)．∴BM=−4−b，AN=4−a∴−4−b=4−a即a−b=8．故选：D．20．D【分析】此题主要考查对尺规作图作一个角等于已知角的理解，利用全等三角形的判定方法判断即【详解】解：由作法得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△COD和△C′O′D′中，OD=O′D′OC=O′C′，CD=C′D′∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，∴∠A′O′B′=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．21．D【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．【详解】解：A、添加∠B=∠C，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；B、添加GE=GF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；C、添加∠AFE=∠DEF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；D、添加BF=CE，利用SSS，可以使得△ABF≌△DCE，符合题意；故选：D．22．A【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，再结合DM=DM可得△COM≌△DOM(SSS)，由全等三角形的性质可得∠1=∠2即可解答．【详解】解：由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，∵DM=DM，∴△COM≌△DOM(SSS)．∴∠1=∠2．∴A选项符合题意；不能确定OC=CM,则∠1=∠3不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定OD=DM,故C选项不符合题意，OD∥CM不一定成立，则∠2=∠3不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．【详解】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．在△ADF和△CBE中，{∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．C．在△ADF和△CBE中，{AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．24．B【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应角是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等可知∠ACB=∠A′CB′，给等式的两边同时减去∠BCA′，可得到∠ACA′=∠BCB′=30°．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∵∠BCA′+∠BCB′=∠BCA′+∠A′CA，∴∠ACA′=∠BCB′，∵∠BCB′=30°，∴∠ACA′=30°．故选：B．25．A【分析】根据题目中的已知条件AB=AB，∠CAB=∠DAB，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解；由图形可知：AB=AB，∠CAB=∠DAB，A.再加上条件BC=BD，不能证明△ABC≌△ABD，故此选项合题意；B. 再加上条件∠C=∠D，可利用AAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意；C. 再加上条件AC=AD，可利用SAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；D. 再加上条件∠ABC=∠ABD，可利用ASA可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意．故选：A【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．26．D【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先根据角角边证明△ABC≌△CED，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，∠B=∠E=90°∠A=∠2，AC=CD∴△ABC≌△CED(AAS)，故B、C选项正确，不符合题意；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确，不符合题意；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，但∠1不一定等于∠2，故D选项错误，符合题意．故选：D．27．B【分析】根据三角形全等的判定逐个判定即可得到答案．【详解】解：由题意可得，B选项符合边角边判定，故选B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．28．48°/48度，∴在∵∴29先长=∴∴【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．30．AB/BA【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．由AAS判断出△ABC≌△ADC即可得到答案．【详解】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°，在△ABC，△ADC中，∠1=∠2∠B=∠D，AC=AC∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AD=AB．故答案为：AB．31．证明见解析【分析】根据平行得出∠B=∠DEF，然后用“边角边”证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵AB//DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF．∴∠A=∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．32．见解析【分析】利用AAS证明△ACO≌△DBO，即可得到结论．【详解】解：证明：在△ACO和△DBO中∠AOC=∠DOB∠A=∠DAC=DB∴△ACO≌△DBO(AAS)．∴AO=DO,CO=BO．∴AO+BO=DO+CO∴AB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．33．详见解析【分析】运用HL定理证明直角三角形全等即可．【详解】∵BE=CF，∴BF=CE在Rt△ABF与Rt△DCE中：{AF=DE BF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)∴AB =DC【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握HL定理是解题关键．34．见解析【分析】根据已知条件得出∠AOB=∠COD，进而证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵∠AOD=∠COB，∴∠AOD−∠BOD=∠COB−∠BOD,即∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,∴△AOB≌△COD∴AB=CD．【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．35．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．36．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线定义得出∠APB=135°，易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证明△ABP≌△FBP；（2）由（1）结论可得∠F=∠BAD,AP=PF，AB=BF，即可求得∠F=∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH=DF，即可解题．【详解】（1）∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ACB=90°，∴∠PAB+∠PBA=12(∠ABC+∠BAC)=45°,∴∠APB=135°，∴∠DPB=45°,∵PF⊥AD,∴∠BPF=135°,在△ABP和△FBP中，∠BPF=∠APB=135°BP=BP∠ABP=∠FBP∴△ABP≌△FBP(ASA)；（2）∵△ABP≌△FBP，∴∠F=∠BAD,AP=PF,AB=BF，∵∠BAD=∠CAD，∴∠F=∠CAD，在△APH和△FPD中，∠F=∠CADAP=PF∠APH=∠FPD=90°∴△APH≌△FPD(ASA),∴AH=DF,∵BF=DF+BD,∴AB=AH+BD.∴AH=AB−BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键．37．见解析【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定ΔABC≌ΔDEF(SAS)，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴在ΔABC与ΔDEF中，AB=DE∠B=∠DEF，BC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)，∴AC＝DF．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键. 38．见解析【分析】先证明ΔBDO≌ΔCEO(AAS)，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可．【详解】证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E，∴∠BDO =∠CEO =90∘，在ΔBDO 和ΔCEO 中，∠BDO =∠CEO ∠BOD =∠COE OB =OC，ΔBDO≌ΔCEO (AAS)，∴OD =OE ，∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OA 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键．39．见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B =∠C ，再由SAS 证明△ABD≌△ACE ，从而得AD =AE ．【详解】证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠B =∠C BD =CE，∴△ABD≌△ACE (SAS )，∴AD =AE ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．40．(1)证明见解析(2)5【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据AAS 证明△CDE 和△FAE 全等．（1）根据 AAS 证明△CDE 和△FAE全等即可；（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCE =∠F ，∵点E 是AD 中点，∴DE =AE ，在△CDE 和△FAE 中，∠DCE =∠F ∠CED =∠FEA DE =AE，∴△CDE≌△FAE (AAS)；（2）由（1）知△CDE≌△FAE ，∴CE =FE ，CD =AF∵BE ⊥GF ，∴BE 垂直平分CF ，∴BC =BF ，∵CD =3，AB =2，∴AF =CD =3，∴BC =BF =AF +AB =3+2=5．41．证明见解析【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A 作AP ⊥B C 于P ，利用三线合一得到P 为DE 及BC 的中点，再根据线段之间的关系即可得证．【详解】证明：如图，过点A 作AP ⊥B C 于P ．∵AB =AC ，∴BP =PC ；∵AD =AE ，∴DP =PE ，∴BP−DP =PC−PE ，∴BD =CE ．42．(1)△ABD≌△CBD(2)证明见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.（1）直接利用SSS证明△ABD≌△CBD即可；（2）由△ABD≌△CBD可得∠ADB=∠CDB，再结合等腰三角形的性质可得结论.【详解】（1）解：△ABD≌△CBD，理由如下：在△ABD和△CBD中，AD=CDAB=CB，BD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)；（2）∵△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵DA=DC，∴AD⊥AC.43．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查直角三角形的全等判定和性质，（1）根据题意得∠AEB=∠DFC=90°，由CE=BF得BE=CF，则有Rt△CDF≌Rt△BAE，结合全等的性质即可证明；（2）利用Rt△CDF≌Rt△BAE得到对应的角度相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可证明；【详解】（1）证明：∵AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵CE=BF，∴CE−EF=BF−EF，∴BE=CF，在Rt△CDF与Rt△BAE中，CD=ABCF=BE，∴Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)∴AE=DF，（2）由（1）可知Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)，∴∠C=∠B，∴AB∥CD．44．证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，证△AEB≌△DFC(AAS)，即可得出结论．∴∵∴∴在∴∴45(2)（（∴∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB, AC=CB,∴△ADC≌△CEB (AAS)（2）由（1）得△ADC≌△CEB∴CE =AD =5，CD =BE =3，∴BF =DE =CE−CD =5−3=2，∴EF =BF +BE =2+3=5，∴EF =AD ．∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠FEG =∠ADG =90°在△FEG 和△ADG 中，∠FEG =∠ADG,∠FGE =∠AGD,FE =AD,∴△FEG≌△ADG (AAS)，∴DG =EG =12DE =1．46．证明见解析【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明∠BAC =∠EAD ，在用ASA 证明△ABC≌△AED 即可，掌握判定三角形全等是解题的关键．【详解】证明∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC =∠2+∠EAC∴∠BAC =∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∠B =∠AED AB =AE ∠BAC =∠EAD，∴△ABC≌△AED ．∴AC =AD 47．见解析【分析】先根据SSS 定理得出△ABC≌△DEB （SSS ），故∠ACB =∠EBD ，再根据∠AFB 是△BFC 的外角，可知∠AFB =∠ACB +∠EBD ，可得出∠AFB =2∠ACB，故可得出答案．【详解】解：在△ABC和△BDE中，AC=BDAB=EDBC=BE∴△ABC≌△DEB（SSS）∴∠ACB=∠EBD；∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．48．见解析【分析】根据中点的定义得出AC=CB，即可根据SSS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△CBE中，AD=CECD=BE，AC=CB∴△ACD≌△CBE(SSS)．【点睛】本题主要考查了的三角形全等的判定，解题的关键是掌握三边都相等的两个三角形全等．49．见解析【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．【详解】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．50．(1)DE=BD+CE，见解析(2)见解析，CE−BD=DE或BD−CE=DE【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，则∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，而AB=CA，即可证明△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD+CE=AE+AD=DE；（2）分两种情况讨论，一是MN与边BC相交且∠BAD<45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则CE−BD=AD−AE=DE；二是MN与边BC相交且∠BAD>45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD−CE=AE−AD=DE．【详解】（1）证明：∵BD⊥MN,CE⊥MN，∴∠ADB=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=CA,∴△ABD≅△CAE(AAS)；∴AD=CE,BD=AE，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）解：CE−BD=DE或BD−CE=DE，理由：如图2，MN与边BC相交且∠BAD<45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴CE−BD=AD−AE=DE．如图3，MN与边BC相交且∠BAD>45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴BD−CE=AE−AD=DE．【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△DAB≌△ECA是解题的关键．51．见解析【分析】根据∠1=∠2，可得出∠ACB=∠DCE，然后利用SAS证明△ABC≌△DEC，继而可得出AB=DE．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS证三角形全等是解题的关键．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，CA=CD∠ACB=∠DCE，BC=EC∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AB=DE．52．证明见解析【分析】先利用A S A证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．【详解】在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．53．见解析【分析】根据题意可以证得△ABC≅△DEF，所以BC=EF，即可得到结论．【详解】根据题意，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D，AC=DF∴△ABC≅△DEF，∴BC=EF，∴BC−CE=EF−CE，∴BE=CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．54．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理和平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，。

专题2 全等三角形判定方法的选择知识解读三角形全等判定方法的选择已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角对应相等选边：只能选角的另一边（SAS ）选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ，ASA ）一边及它的对角对应相等只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ）两边对应相等选边；只能选剩下的一边（SSS ）选角：只能选两边的夹角（SAS ）两角对应相等只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS ．ASA ）典例示范一、从变换的角度理解“全等”1．轴对称变换例1如图1－2－1，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，且AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE ．【提示】从结论“BD ＝CE ”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD ≌△COE 得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD ≌△ABE ”得到AD ＝AE ，然后运用等式性质证得．从题设看，由“AB ＝AC ，∠B ＝∠C ”加上公共角∠A ，可得△ACD ≌△ABE ，所以我们考虑使用思路二给出证明过程．图1-2-1B【技巧点评】哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称图形，而BD 和CE 也是轴对称的，这时候就可以考虑把BD 和CE 置于一对轴对称的三角形中，且BD 和CE 恰好是一对对应边.跟踪训练1．如图1－2－2，已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CE ＝F B ．求证：AF ＝DE ．图1-2-22．旋转变换例2如图1－2－3，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE ，BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？【提示】若△BDF 与△CDE 全等，需要寻找三个相等的要素，题中已知一对对顶角相等，由中线可得到BD ＝CD ，加上DE ＝DF ，即可根据“SAS ”得到两个三角形全等．图1-2-3B【技巧点评】本题是一个简单的全等证明题，本题意在说明图中△BDF 与△CDE 是中心对称的图形．，其中一个三角形可以看作另一个三角形绕点D 旋转180°得到．从中心对称的角度寻找相等的线段和相等的角，可以为证明全等提供方便．跟踪训练2．如图1－2－4，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，求证：BC ＝E D ．图1-2-4二、线段和角度相等，常考虑证全等例3如图1－2－5，AC 交BD 于点O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B ．【提示】要证明∠C ＝∠B ，可考虑将∠C 和∠B 置于一对三角形中，证明两个三角形全等，由于本题图中△AOB 和ACOD 全等不容易证明，可考虑连接AD ，证明△ACD 与△DBA 全等．图1-2-5跟踪训练3．已知，如图1－2－6，AD ⊥DB ，BC ⊥CA ，AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，求证：AD ＝B C ．图1-2-6B【技巧点评】由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等和两条线段相等常用的方法．利用全等三角形证明线段相等和角相等的思路：对应边（角）相等→两个三角形全等→线段相等或者角相等，可以看出全等三角形类似于一个桥梁，建立起角度相等与线段相等、线段相等与另两条相等的线段、角相等与另一对相等的角之间的联系．跟踪训练4．如图1－2－7，A ，D ，B 三点在同一条直线上，△ADC ，△BDO 均为等腰三角形，AO ，BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论．图1-2-7三、借助“同角的余角相等”寻找相等的角例4如图1－2－8，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 是BD 上一点，BF ＝AC ，G 是CE 延长线一点，CG ＝AB ，连接AG ，AF ．（1）求证：∠ABD ＝∠ACE ；（2）探求线段AF ，AG 有什么关系，并证明．【提示】（1）∠ABD ，∠ACE 都和∠BAC 互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD ＝∠ACE ；（2）由已知条件“BF ＝AC ”“CG ＝AB ” “∠ABD ＝∠ACE ”可证明△ABF ≌△GCA ，AF ，AG 恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G ＝∠BAF ，∠G ＋∠GAE ＝90°，因此∠GAF ＝90°，所以AF 和AG 的位置关系是垂直．图1-2-8B 【技巧点评】（1）当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等”是常用的证明夹角相等的手段．（2）要证明两直线垂直，证明夹角等于90°也是常用思路，当夹角是由两个角的和组成的时候，常考虑证明这两个角的和等于90°．跟踪训练5．如图1－2－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB ＝F C ．图1-2-9A四、从等腰、等边、正方形中获取全等所需的元素例5如图1－2－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：DB ＝BF ．【提示】要证明DB ＝BF ，由于D 为BC 的中点，所以CD ＝BD ，因此本题可转证CD ＝BF ，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD ≌△CBF ．图1-2-10A【技巧点评】本题证明△ACD ≌△CBF 需要的三个要素AC ＝BC ，∠CAD ＝∠BCF ，∠ACD ＝∠CBF 都和△ABC 是等腰直角三角形相关．当题目中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等条件时，往往图形中隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等有关．跟踪训练6．如图1－2－11，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，E C ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．图1-2-11B拓展延伸五、AAS 华丽变全等例6 如图1-2-12，在△ABC 中，∠DBC ＝∠ECB ＝∠A ，求证：BE ＝CD ．21ABCD E F【提示】要证明BE ＝CD ，一般考虑证明两个三角形全等，而△DCF 和△EBF 显然不全等，本题有三种构造全等的方法，如图1-2-13①②③．图1-2-12GFE D CBAHFE D CBAFE D CBAH G 【技巧点评】本题△BEF 和△CDF 虽然不全等，但是∠BFE ＝∠CFD ，加之可证FB ＝FC 以及待证的BE ＝CD ，可见这两个三角形虽然不全等，但也有3对相等的要素．构造全等三角形可将小三角形补上一部分，或者将大三角形截去一部分．跟踪训练7．如图1-2-14，OC 平分∠AOB ，点D 、E 分别在OA 、OB 上，点P 在OC 上，且有PD ＝PE ，求证：∠PDO ＝∠PEB ．(有三种解法)P OD C BA E竞赛链接图1-2-13图1-2-14②③①例7 (全国初中数学竞赛浙江赛区题)如图1-2-15，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE ＝AB ＝3cm ，CE ＝4cm ，则AD 的长是．2【提示】如图1-2-16，连接CA ，构造△BAC ≌△DEC ，利用勾股定理求出AE 的长．EDCB AAB CDE【技巧点评】勾股定理——如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．跟踪训练8．(希望杯竞赛题)如图1-2-17，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中的全等三角形共有()A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对F OABCDE 培优训练1．如图1-2-18，AC ，BD 交于点E ，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝BD ．4321ABCED2．如图1-2-19，已知AD ＝AE ，AB ＝AC ．求证：BF ＝FC ．图1-2-17图1-2-15图1-2-16图1-2-18ABCDEF3．如图1-2-20，已知△ABD 、△AEC 都是等边三角形，AF ⊥CD 于F ，AH ⊥BE 于H ，问：(1)BE 与CD 有何数量关系?为什么?(2)AF 、AH 有何数量关系?O HFEDCBA 4．如图1-2-21，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD ＝∠BCE ＝90°，AE 交DC 于点F ，BD分别交CE ，AE 于点G ，H 试猜测线段AE 和BD 的位置关系和数量关系，并说明理由．DBCFH AE G 5．将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1-2-22①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．(1)求证：AF ＋EF ＝DE ；(2)若将图1-2-22①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角，且0°＜＜60°，其他条件不变，请在αα图1-2-22②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．AC BABCE FD①图1-2-19图1-2-20图1-2-21②图1-2-226．如图1-2-23，AD 是△ABC 的高，作∠DCE ＝∠ACD ，交AD 的延长线于点E ，点F 是点C 关于直线AE 的对称点，连接AF ．(1)求证：CE ＝AF(2)在线段AB 上取一点N ，使∠ENA ＝∠ACE ，EN 交BC 于点M ，连接AM 请你判断∠B 与∠MAF 21的数量关系，并说明理由．DBEAF CN M直击中考7．★★(2017江苏常州)如图1-2-24，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠D ，BC ＝CE ．(1)求证：AC ＝CD ；(2)若AC ＝AE ，求∠DEC 的度数．ECDBA 8．(凉山州中考题)如图1-2-25，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF ＝CE ．求证：FD ＝BE ．FBECDAO9．(内江中考题)如图1-2-26，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：AE ＝BD ．图1-2-23图1-2-24图1-2-25CDEBA10．(重庆中考题)如图1-2-27，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ．CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG ．求证：(1)AF ＝CG ；(2)CF ＝2DE ．GCDFEBA挑战竟赛11．(希望杯竞赛题)如图1-2-28，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝75°，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于H ，则∠CHD ＝．HBCE ADBGF E ADC12．(希望杯竞赛题)如图1-2-29，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ．AE ＝4，AB ＝14，则BG ＝．图1-2-26图1-2-27图1-2-28图1-2-29。

第一讲: 全等三角形判定【知识点拨】1、三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)。

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)。

3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)。

4、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)。

5、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边直角边”或“HL”)。

【高博学堂】【例1】如图，△ABC中，ACB∠=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D，BE⊥MN与E,（1）当直线MN位于图①的位置时，试说明△ADC≅△CBE，并写出DE、AD、BE 的关系。

（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试探索DE、 AD 、BE的数量关系。

【巩固练习1.1】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，直线AN经过顶点A，BD ⊥AN于D，CE⊥AN于E求证：DE=BD－CE【巩固练习1.2】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.NEDCBA【例2】如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE【巩固练习2.1】已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为 BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF//AC 交 CE 的延长线于点F,求证：AB 垂直平分DF .【巩固练习2.2】如图Rt △ABC 中，∠AC D AC AB BAC 为,,900==的 点，，于交E BC BD AE ⊥求ADB a BDE ∠∠,＝的大小。

A B CDE F C A B D E F2 1D P B N CA【例3】如图，已知在四边形ABCD 中，AB BC >，DC AD =，BD 平分ABC ∠ 求证：︒=∠+∠180C A【巩固练习3.1】如图，ABC ∆中，AD 是A ∠的平分线，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且︒=∠+∠180BAF EDF ，求证：FD ED =【巩固练习3.2】如图，∠1＝∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB ＋BC ＝2BD 。

全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．4321FDOE CB A【解析】BE CD BC +=， 理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?GNEB M A D【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【解析】 猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .M F EDCB A【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠． 【解析】 因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．【例5】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．EABC DM N【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，D M D E =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEABDEFC【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【解析】 如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形.注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =，则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =，进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，故80ABC ∠=︒.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考 虑的方法.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【解析】 以AC 为边向ABC ∆外作正ACE ∆，连接DE .在ABC ∆和EAD ∆中，AD BC =，AB EA =，2060EAD BAC CAE ∠=∠+∠=+= 80ABC =∠，E D CB AED CB AD CBADCB AED CBA则ABC EAD ∆∆≌.由此可得ED EA EC ==，所以EDC ∆是等腰三角形. 由于20AED BAC ∠=∠=，则602040CED AEC AED ∠=∠-∠=-=，从而70DCE ∠=，706010DCA DCE ACE ∠=∠-∠=-=， 则201030BDC DAC DCA ∠=∠+∠=+=.【另解1】以AD 为边在ABC ∆外作等边三角形ADE ∆，连接EC .在ACB ∆和CAE ∆中，6020CAE ACB ︒︒∠=+=∠，AE AD CB ==，AC CA =， 因此ACB CAE ∆∆≌，从而CAB ACE ∠=∠，CE AB AC ==.在CAD ∆和CED ∆中，AD ED =，CE CA =，CD CD =， 故CAD CED ∆∆≌， 从而ACD ECD ∠=∠，2CAB ACE ACD ∠=∠=∠， 故10ACD ︒∠=，因此30BDC ︒∠=. 【另解2】如图所示，以BC 为边向ABC ∆内部作等边BCN ∆，连接NA 、ND .在CDA ∆和ANC ∆中，CN BC AD ==，20CAD ∠=， ACN ACB BCN ∠=∠-∠=806020-=， 故CAD ACN ∠=∠，而AC CA =，进而有CDA ANC ∆∆≌. 则10ACD CAN ∠=∠=，故30BDC DAC DCA ∠=∠+∠=. 【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例9】如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【解析】 过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .连接PN ，易知APB ∆、M KP ∆均为正三角形.因为50BAN ∠=︒，AC BC =，20C ∠=︒，所以50ANB ∠=︒，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=︒，则40PKN ∠=︒，180608040KPN ∠=︒-︒-︒=︒， 故PN KN =.从而MPN MKN ∆∆≌.进而有PMN KMN ∠=∠，1302NMB KMP ∠=∠=︒.【另解】如图所示，在AC 上取点D ，使得20ABD ∠=︒，由20C ∠=︒、AC BC =可知80BAC ∠=︒. 而20ABD ∠=︒，故80ADB ∠=︒，BA BD =. 在ABN ∆中，50BAN ︒∠=，80ABN ∠=︒，故50ANB ∠=︒，从而BA BN =，进而可得BN BD =.E DCBA N DC B APA BCM NK NMCBA D NMCBA而802060DBN ABC ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以BDN ∆为等边三角形.在ABM ∆中，180180806040AMB ABM BAM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 804040DBM ADB AMB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故DM B DBM ∠=∠，从而D M D B =.我们已经得到DM DN DB ==，故D 是BMN ∆的外心，从而1302NMB NDB ∠=∠=︒.【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross Honsberger 将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【解析】 如图所示，延长BD 至E ，使DE DC =，由已知可得：180********ADE ADB ︒︒︒︒∠=-∠=-=， 7628104ADC ADB BDC ︒︒︒∠=∠+∠=+=，故ADE ADC ∠=∠.又因为AD AD =，DE DC =，故ADE ADC ∆∆≌，因此AE AC =，E ACD ∠=∠，EAD CAD ∠=∠.又因为AB AC =， 故AE AB =，ABC ACB ∠=∠. 而已知60ABD ︒∠=，所以ABE ∆为等边三角形. 于是60ACD E EAB ∠=∠=∠=︒，故18016CAD ADC ACD ∠=︒-∠-∠=︒， 则28CAB EAB CAD EAD ∠=∠-∠-∠=︒，从而1(180)762ABC CAB ∠=︒-∠=︒，所以16DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒.【例11】 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【解析】 仔细观察，发现已知角的度数都是12︒的倍数，这使我们想到构造60︒角，从而利用正三角形.在四边形ABCD 外取一点P ，使12PAD ︒∠=且AP AC =，连接PB 、PD . 在ADP ∆和ADC ∆中，12PAD CAD ︒∠=∠=，AP AC =，AD AD =，故ADP ADC ∆∆≌. 从而APD ACD ∠=∠.CDB A DC BA EC D B A PDC在ABC ∆中，36CAB ∠=︒，72ABC ∠=︒， 故72ACB ︒∠=，AC AB =， 从而AP AB =.而12123660PAB PAD DAC CAB ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒， 故PAB ∆是正三角形，60APB ︒∠=，PA PB =.在DAB ∆中，123648DAB DAC CAB DBA ︒︒︒∠=∠+∠=+==∠， 故DA DB =.在PD A ∆和PDB ∆中，PA PB =，PD PD =，DA DB =， 故PDA PDB ∆∆≌，从而1302APD BPD APB ︒∠=∠=∠=，则30ACD ︒∠=.【例12】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =， 在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【解析】 如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC ∆∆≌， 故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =， 因此BDE BDC ∆∆≌，故30BED BCD ∠=∠=.【例13】 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.D E CB AD E CB A OM B MCAB【解析】 在ABC ∆中，由44BAC BCA ︒∠=∠=可得AB AC =，92ABC ︒∠=.如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ， 则有30OAC MCA ︒∠=∠=，443014BAO BAC OAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 301614OAM OAC MAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 所以BAO MAO ∠=∠.又因为90903060AOD OAD COD ︒︒︒︒∠=-∠=-==∠， 所以120AOM AOB ∠=︒=∠.120BOM ∠=︒ 而AO AO =，因此ABO AMO ∆∆≌， 故OB OM =.由于120BOM ︒∠=，则180302BOMOMB OBM ︒-∠∠=∠==︒，故180150BMC OMB ︒︒∠=-∠=.全等三角形培优竞赛讲义（二）【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

第9章三角形§9．1全等三角形9．1．1★已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．B ∠的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直 且交BD 延长线于E ，求证：2BD CE =．解析如图，延长CE 、BA ，设交于F ．则FBE ACF ∠=∠，AB AC =，得ABD ACF △△≌，CF BD =． 又BE CF ⊥，BE 平分FBC ∠，故BE 平分CF ，E 为CF 中点，所以2CE FC BD ==．9．1．2★在ABC △中，已知60A ∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，P 、Q 为ABC △形外两点，使PE AB ⊥，2AB PE =，QF AC ⊥，2ACQF =，若1GP =，求PQ 的长． F AE DBC解析如图，连结EG 、FG ，则EG AC ∥，FG AB ∥，故150PEG QFG ∠=︒=∠．又12QF AC EG ==，12PE AB FG ==，故PEG GFQ △△≌，所以PG GQ =，30EGP FGQ FQG FGQ ∠+∠=∠+∠=︒，又60EGF ∠=︒，所以90PGQ ∠=︒，于是PQ ==．ACG QPEF9．1．3★在梯形ABCD 的底边AD 上有一点E ，若ABE △、BCE △、CDE △的周长相等，求BCAD． 解析作平行四边形ECBA '，则A BE CEB '△△≌，若A '与A 不重合，则A '在EA （或延长线）上，但由三角形不等式易知，A '在EA 上时，ABE △的周长>A BE '△的周长；A '在EA 延长线上时，ABE △的周长A BE '<△周长，均与题设矛盾，故A 与A '重合，AE BC ∥，同理ED BC ∥，12BC AD =．B CEDAA'9．1．4★★ABC △内，60BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，P 、Q 分别在边BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．解析延长AB 到D ，使BD BP =，连结DP ．易知80ABC ∠=︒，所以40QBC ACB ∠=︒=∠，AC AQ QC AQ QB =+=+．ABCDQP因1402BDP BPD ABC ACB ∠=∠=∠=︒=∠，所以ADP ACP △△≌，AC AD AB BD AB BP ==+=+． 于是BQ AQ AB BP +=+．9．1．5★★设等腰直角三角形ABC 中，D 是腰AC 的中点，E 在斜边BC 上，并且AE BD ⊥．求证： BDA EDC ∠=∠．解析如图，作BAD ∠的平分线AF ，F 在BD 上．ABCEFD由于45BAF ACE ∠=︒=∠，AB AC =，ABF CAE ∠=∠，故ABF CAE △△≌，故EC AF =． 又45C FAD ∠=∠=︒，AD CD =，于是AFD CED △△≌，于是ADB EDC ∠=∠．9．1．6★★设ABE △、ACF △都是等腰直角三角形，AE 、AF 是各自的斜边，G 是EF 的中点，求证：GBC △也是等腰直角三角形．解析如图，作AQ 、GP 、EM 、FN 分别垂直于直线BC ，垂足为Q 、P 、M 、N ．AE FGMBQ PCN由90EBM ABQ BAQ ∠=︒-∠=∠，AB BE =，EMB BQA △△≌，故有EM BQ =，BM AQ =．同理FN QC =，CN AQ =，所以BM CN =， EM FN BQ QC BC +=+=． 又EG GF =得BP CP =，且()1122GP EM FN BC =+=，故GP BP CP ==．又由GP BC ⊥，故 结论成立．9．1．7★★已知AB AC ⊥，AB AC =，D 、E 在BC 上（D 靠近B ），求证：222DE BD CE =+的充要条件是45DAE ∠=︒．ABEFC解析如图，作FC BC ⊥，且FC BD =，则45ACF B ∠=︒=∠，又AB AC =，故ABD ACF △△≌，AD AF =，且490D F BAC ∠=∠=︒．若45DAE ∠=︒，则45EAF ∠=︒，因AD AF =，得ADE AFE △△≌，则222222DE EF EC FC EC BD ==+=+．反之，若222DE EC BD =+，由222EF EC FC =+得EF DE =．又AD AF =，故ADE AEF △△≌，又90DAF ∠=︒，于是45DAE ∠=︒．9．1．8★★两三角形全等且关于一直线对称，求证：可以将其中一个划分成3块，每一块通过平移、 旋转后拼成另一个三角形．解析如图，设ABC △与A B C '''△关于l 对称，分别找到各自的内心I 、I '，分别向三边作垂线ID 、IE 、 IF 与I D ''、I E ''、I F ''，于是6个四边形AFIE ……均为轴对称的筝形，且四边形AFIE ≌四边形A E J F ''''，所以两者可通过平移、旋转后重合；同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．AECDF BA'B'C'D'F'E'l l'l9．1．9★★★已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等． 解析如图，设BC B C ''=，A 至BC 距离等于A '至B C ''距离，取各自的中位线FE 、F E ''，则FE FE '=．由ABC △、A B C '''△均为锐角三角形，可在BC 、B C ''上各取一点D 、D '，使图中标相同数字的角相等，于是AEF D E F '''△△≌，DEF A E F '''△△≌，FBD FD B ''△△≌，EDC E C D '''△△≌． 评注还有一种旋转而不是对称的构造法．A BC DEF A'B'D'C'E'F'123451465264152432519．1．10★已知ABC △与A B C '''△中，A A '∠=∠，BC B C ''=，ABC A B C S S '''=△△，ABC △与A B C '''△是否一定全等？A B CA'解析如图，让B 与B '重合，C 与C '重合，A 、A '在BC 同侧，若A 与A '重合，则ABC A B C '''△△≌；否则由条件知四边形ABCA '为梯形和圆内接四边形，于是它是一个等腰梯形，于是ABC A CB '∠=∠，AB A C '=，ABC A C B '''△△≌．综上，可知ABC △与A B C '''△全等． 评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明．9．1．11★★如图所示，已知ABC △、CED △均为正三角形，M 、N 、L 分别为BD 、AC 和CE 的中点，求证：MNL △为正三角形．ABEDM TS CN L解析如图，设BC 、CD 中点分别为S 、T ，连结NS 、SM 、MT 、TL ．则四边形CSMT 为平行四 边形，设BCD θ∠=，则60180240NSM LTM θθ∠=︒+︒-=︒-=∠，360120240NCL θθ∠=︒-︒-=︒-，又NC SN SC MT ===，LC LT CT SM ===，故CNL SNM TML △△△≌≌， NL NM ML ==，于是MNL △为正三角形．评注注意有时S 在MN 另一侧，此时120NSM LTM NCL θ∠=∠=∠=︒+，不影响最终结论．9．1．12★★★ABC △中，90A ∠=︒，AB c =．6AC =，BC a =，M 是BC 中点，P 、Q 分别在AB 、AC 上（可落在端点），满足MP MQ ⊥，求22BP CQ +的最小值（用a 、b 、c 表示）． 解析如图，延长QM 至N ，使QM MN =，连结PN 、BN 、PQ 、AM 由于M 是BC 、NQ 的中点，故BN CQ =，BN AC ∥，BN BP ⊥，又PM 垂直平分NQ ，故222222BP CQ BP BN PN PQ +=+==．取PQ 中点K （图中未画出），则2a PQ AK MK AM =+=≥，于是22BP CQ +的最小值为24a ，取到等号仅当PQ AM =即四边形APMQ 为矩形时．NMP CBQA9．1．13★★★已知P 为ABC △内一点，PAC PBC ∠=∠，由P 作BC 、CA 的垂线，垂足分别是L 、M ．C ABDEFMP L设D 为AB 中点，求证：DM DL =．解析如图所示，取AP 中点E ，BP 中点F ，连ME 、ED 、DF 、FL ．显然四边形DEPF 是平行四边形，所以EP DF =，FP DE =．DEP DFP ∠=∠．又由PM AC ⊥，所以EM EA EP DF ===，2PEM PAC ∠=∠；同理FL DE =，2PFL PBC ∠=∠．由PAC PBC ∠=∠，所以DEM DEP PEM DFP PFL DFL ∠=∠+∠=∠+∠=∠，从而DFM LFD △△≌，所以DM DL =．9．1．14★★在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠，求DCB ∠的度数． 解析如图，延长AB 到F ，使BF ED =，连CF 、EF ．CEA DB F因为60EAB AED ∠=∠=︒，所以60FDA ∠=︒，120EDB CED ∠=∠=︒， AD AE ED BF ===．CE ED DB DB BF DF =+=+=．于是，AC AF =，60ACF AFC ∠=∠=︒． 又因为120EDB ∠=︒，2CDB CDE ∠=∠， 所以40CDE ∠=︒，80CDB ∠=︒，18020ECD CED EDC ∠=︒-∠-∠=︒．在CDA △和CBF △中，CA CF =，60CAD CFB ∠=∠=︒，AD BF =，所以CDA CBF △△≌，故 20FCB ACD ∠=∠=︒．于是，6020DCB CDE FCB ∠=︒-∠-∠=︒． 9．1．15★★在ABC △中，B ∠、C ∠为锐角，M 、N 、D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．解析若DM DN >，则在DM 上取一点E ，使DN DE =．连结BE 并延长交AC 于F ，连结EN ．在BED △与CND △中，BD DC =，BDE CDN ∠=∠，DE DN =，故BDE CDN △△≌．于是有EBD NCD ∠=∠，BE NC =，所以FB FC =．又易知EN BC ∥，因此ENF ACB ∠=∠． 但另一方面，由DM DN >，知ABC FBC ACB ∠>∠=∠，所以AFM NE BDC1(180)2ANM BAC ∠=︒-∠()12ABC ACB =∠+∠ ()12ACB ACB ACB >∠+∠=∠． 从而ENF MNA ACB ∠>∠>∠．矛盾，故假设DM DN >不成立． 若DM DN <，同法可证此假设不成立．综上所述DM DN =，于是由BDM CDN △△≌ 知DBM DCN ∠=∠，从而AB AC =．9．1．16★★如图，ABC △为边长是1的等边三角形，BDC △为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连结MN ，形成一个AMN △． 求AMN △的周长．AM NBC DE解析延长AC 到E ，使CE BM =，连结DE ．易知在BMD △与CED △中有BD DC =，90MBD ECD ∠=∠=︒，BM CE =，从而MBD ECD △△≌．所以MD DE =，MDB EDC ∠=∠． 于是在DMN △与DEN △中有DN DN =，MD DE =，60MDN MDB CDN EDC CDN EDN ∠=︒=∠+∠=∠+∠=∠．从而MDN EDN △△≌，故NE MN =． 所以AM MN AN AM NE AN AM NC CE AN AM MB NC AN ++=++=+++=+++= 2AB AC +=．9．1．17★★★ABC △为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点M 、N 分别为边AC 和BC 的中点，点D 在射线BM 上，且2BD BM =，点E 在射线NA 上，且2NE NA =，求证：BD DE ⊥． 解析取AD 中点F ，连EF ．EADF MBNC在BMC △与DMA △中，AM MC =，12BM BD MD ==，BMC DMA ∠=∠，故AMD CMB △△≌．于是有ADM CBM ∠=∠，AD BC =，AD BC ∥．同样易知BMC ANC △△≌，于是有CBM CAN ∠=∠．在ANC △与EAF △中，12NA NE AE ==，1122AF AD BC NC ===，由AD BC ∥知EAF ANC ∠=∠，所以FAF ANC △△≌．于是有AEF NAC ∠=∠，90EFA ACN EFD ∠=∠=︒=∠．从而在EAF △与EDF △中有AF FD =，EF EF =，故FAF EDF △△≌．于是有EDF EAF ∠=∠， FED FEA ∠=∠．总之，90EDF MDA EDF NAC EDF AEF EDF FED ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，即 BD DE ⊥．9．1．18★★★已知ABCD Y ，延长DC 至P ，使DP AD =，连结PA 与BC 交于Q ，O 为PQC △的外心，则B 、O 、C 、D 共圆．ADBC O PQ解析如图连好辅助线，由于DPA BAP PAD CQP ∠=∠=∠=∠，故CQ CP =，设OCP OCQ OQC θ∠=∠=∠=，则180BQO DCO θ∠=︒-=∠，又BQ AB CD ==，QO CO =，故BQO DCO △△≌，于是QOB COD ∠=∠，于是2BOD QOC QPC BCD ∠=∠=∠=∠，因此B 、O 、C 、D 共圆．9．1．19★★★已知ABC △和A B C '''△，A A '∠=∠，且BC B C ''=，D 和D '分别是BC 、B C ''的中点，AD A D ''=，问两个三角形是否必定全等？解析如图，作出ABC △外心O (A B C '''△及相应的O '、D '图中未画出)． 若O 在BC 上，则90A A '∠=︒=∠，此时ABC △与A B C '''△未必全等． 若O 不与D 重合，则2sin 2sin BC B C AO A O A A ''''==='， cos cos OD BO A AO A == cos A O A O D '''''==，AD A D ''=．当A 、O 、D 共线，则AD BC ⊥，A D B C ''''⊥，所以ABD A B D '''△△≌，ACD A C D '''△△≌，从而 ABC A B C '''△△≌． 当A 、O 、D 不共线，则AOD A O D '''△△≌，ODA O D A '''∠=∠，于是'ADC A D C ''∠=∠（或A D B '''∠），于是由三角形全等可得AC A C ''=(或A B '')，AB A B ''=（或A C ''），故有ABC A B C '''△△≌（或A CB '''△）． 评注此题亦可用中线长公式证明．9．1．20★★如果两个三角形满足“ASS ”，它们不一定全等，此时称它们是相近的，现在有一三角形1△，作2△与之“相近”，……一般有1n +△与n △相近，问是否存在一个k ，使1△与k △相做且不全等？ 解析这是不可能的．因为由正弦定理，1△与2△有等大的外接圆（它们有一对内角相等或互补），从而 推出1△与x k △有等大的外接圆，它们不可能只相似不全等．9．1．21★★★是否存在两个全等的三角形△与'△，△可划分为两个三角形1△与2△，'△可划分成两个三角形1'△与2'△，使12△△≌，2△与2'△却不全等？解析这样的两个三角形是存在的，如图(a)、(b)，设不等边三角形ABC A B C '''△△≌，其中22''BC AB AC A B A C B C ''''=⋅=⋅=，不妨设AC A C ''=是各自的最长边，则AB 、A B ''为各自的最短边．在AC 、B C ''上分别找D 、D '，使CD AB =，BA D C ''∠=∠，则由于2BC AB AC CD AC =⋅=⋅，故ABC BDC △∽△，所以'BDC ABC A B C ''∠=∠=∠，又因为C B A D '''∠=∠，CD A B ''=，因此BDC D B A '''△△≌，而ABD △显然不与A C D '''△全等．（若90B B '∠=∠=︒，还可避免相似．） ABCDA'B'D'图(a)图(b)9．1．22★★★已知ABC △中，60A ∠=︒，I 是ABC △内心，AI 的垂直平分线分别交AB 、AC 于M 、N ，E 、F 在BC 上，BE EF FC ==，求证：ME NF ∥．解析如图，连结MI 、BI 、CI 、NI ．易诮AMN △与IMN △为全等之正三角形，120BIC ∠=︒， 180MIB NIC ∠+∠=︒．ANMTB E F CIS两端延长MN 至S 与T ，使SM MN NT ==，则60SMB AMN BMI ∠=∠=∠=︒，于是SMB IMB △△≌，同理NTC NIC △△≌，因此180S T MIB NIC ∠+∠=∠+∠=︒，SB TC ∥．而M 、N 将ST 三等分，E 、F 将BC 三等分，于是由平行线分线段成比例，知ME NF ∥(SB ∥)． 评注读者可以考虑：如果ME NF ∥是否有60BAC ∠=︒．9．1．23★★★已知锐角三角形ABC ，60BAC ∠=︒，AB AC >，ABC △的垂心和外心分别为M 和O ，OM 分别与AB 、AC 交于X 、Y ，证明：AXY △的周长为AB AC +，OM AB AC =-．解析如图，连结AO 、BO 、CO 、AM ．由AB AC >可知O 在AB 一侧，M 在AC 一侧．因120BOC ∠=︒，故AO =，而tan BC AM BAC ==∠AO AM =，AOM AMO ∠=∠． 又90OAB C YAM ∠=︒-∠=∠，故AXY AYX ∠=∠，AXY △为正三角形．又60XOB YOC YOC OCY ∠+∠=︒=∠+∠，故XOB YCO ∠=∠，120BXO CYO ∠=︒=∠，又BO CO =，故XBO YOC △△≌，XY XO YO BX YC =+=+．于是AX XY YA AB AC ++=+．又XO MY YC ==，做()()112233OM XY YC AB AC AC AB AC AB AC ⎡⎤=-=+--+=-⎢⎥⎣⎦．§9．2特殊三角形9．2．1★在直角三角形ABC 中，BC 是斜边，5AC =，D 是BC 中点，E 是AC 上一点，2DE AE ==，求AB ．BADEC解析如图，连结AD ．设AD CD x ==，因2DE =，2AE =，3CE =，则 22223x -=⨯，x =AB ==9．2．2★已知ABC △中，14AB =，16BC =，28CA =，P 为B 在A ∠平分线上的射影，M 为BC 中 点，求PM ．解析延长BP 交AC 于Q ．由BAP QAP ∠=∠．AP BQ ⊥知BP QP =，AB AQ =．又BM CM =，故()()11128147222PM CQ AC AQ =-=⨯-=∥．ABCQ P M9．2．3★等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 为直线BC 上一点，则22AB AD BD CD -=⋅（D 在BC 上）， 22AD AB BD CD -=⋅（D 在BC 外）． 解析如图，设D 在BC 上且较靠近B ．作AE BC ⊥于E ，则E 为BC 中点，于是AB D E C()()BD CD BE DE CE DE ⋅=-⋅+2222BE DE AB AD =-=-．当D 在BC 外时的结论同理可证．评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形，具有十分广泛的用途（例如题9．2．1），亦可用相 交弦定理证明．9．2．4★★已知锐角三角形ABC 中，AD 、CE 是高，H 为垂心，AD BC =，F 是BC 的中点，求证：12FH DH BC +=．AEBFDCH解析如图，连结EF ，则12EF CF BC ==．于是2222FH EF EH CH EF AH HD EF =-⋅=-⋅=- 222AH HD HD HD EF HD AD ⋅-+=-⋅+22222HD EF HD BC HD EF HD =-⋅+=-⋅ ()22EF HD EF HD +=-．由于EF FH HD >>，故12FH EF DH BC DH =-=-． 9．2．5★已知斜边为AC 的直角三角形ABC 中，B 在AC 上的投影为H ．若以AB 、BC 、BH 为三边可以构成一个直角三角形，求AHCH的所有可能值． BHAC解析显然由AB 、BC 、BH 构成的直角三角形中，BH 不是斜边，且AB BC ≠．若AB BC >，则AB 为斜边．设AB c =，BC a =，BH h =，则由ABC △的面积知h ac ，又h =，故4422c a a c -=．易知2222AH AB c kCH BC a ===，则由前式知21k k -=，得k ，故AH CH =同理，若AB BC <，可得AH CH =．所以AHCH9．2．6★★已知ABC △中，AD 为高，D 在BC 上， 以下哪些条件能判定AB AC =： (1)AB CD AC BD +=+： (2)AB CD AC BD ⋅=⋅；(3)1111AB CD AC BD+=+． AB D C解析设BD x =，CD y =，AD h =，则AB ，AC =先看条件(1)y x =．若x y =，则AB AC =；否则不妨设x y >，则22x y -=x y =+，于是0h =，矛盾． 故AB AC =．再看见条件（2）：=22222222h y x y h x x y +=+，于是x y =，故AB AC =． 最后条件（3）：11y x =+．于是22x y xy -=．若x y ≠，则()xy x y =+，仍有0h =，矛盾，故AB AC =．所以三个条件都能判定AB AC =．9．2．7★已知P 是等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上任意一点，求222BP CP AP +．解析如图，作AD BC ⊥于D ．AB D CP不妨设1AD BD CD ===．P 在CD 上，PD a =，则1BP BD PD a =+=+，1CP CD PD a =-=-，于是()()222221122BP CP a a a +=++-=+．又22221AP AD PD a =+=+．故2222BP CP AP +=．评注请读者考虑，若对BC 上任一点P ，有222BP CP AP+为定值，是否可认为ABC △为等腰直角三角形． 9．2．8★★在ABC △中，19AB =，17BC =，18CA =，P 是ABC △内一点，过点P 向ABC △的 三边BC 、CA 、AB 分别垂线PD 、PE 、PF ，垂足分别为D 、E 、F ，且27BD CE AF ++=，求BD BF + 的长．解析如图，由于2222220BD CD CE AE AF BF -+-+-=，于是AFEPBDC()()222222(17)18190BD BD CE CE AF AF --+--+--=，此即171819487BD CE AF ++=．而181818486BD CE AF ++=，故1AF BD -=．所以118BD BF BD AB AF AB +=+-=-=． 9．2．9★★已知ABC △中，AB AC =，AE 是BC 的中垂线，AE BC =，3BDC BAC ∠=∠， 求ADDE．AF DBEC解析如图，不妨设1BE CE ==，则2AE =，AB ．作ABD ∠的平分线BF ，由于3BDE BAE ABD BAE ∠=∠=∠+∠，故ABF DBF BAE ∠=∠=∠．因此AF BF =，ABD BFD △∽△， AB AD BD BF BD DF ==，从而2BD DF DA =⋅，DB ADDF AB DB⋅=+，所以()2DA BD BD AB =⋅+． 设DE x =，则221BD x =+，2DA x =-，因此()2221x x -=+，()223455x x -=+，2112440x x -+=，211x =（2x =舍）．于是2011AD =，10ADDE=． 9．2．10★★正三角形ABC 内有一点P ，P 关于AB 、AC 的对称点分别为Q 、R ，作平行四边形QPRS ，求证：AS BC ∥．A SMRQBCP解析如图，设QS 与AB 交于M ，连结MP ，则60Q ∠=︒，AB 垂直平分PQ ，QM PM =，MPQ △ 为正三角形，MP PQ SR ==，于是四边形MPRS 为等腰梯形，PR 的中垂线即MS 的中垂线． 于是60SAC MAC C ∠=∠==∠，AS BC ∥．9．2．11★★AB 与O e 相切于点B ，AC 与O e 相交于C 、D ，若45C ∠=︒，60BDA ∠=︒，CD =求AB ．BC D AK T解析如图，由题意可得45ABD ∠=︒，作BK AC ⊥于K ，则BK CK=，又CK CD DK =+，故32BK =，BD =．再作AT BD ⊥于T ，设BT AT x ==，则DT ，x =x =．于是6AB ==．9．2．12★已知大小相等的等边ABC △与等边PQR △有三组边分别平行，一个指向上方，一个指向 下方，相交部分是一个六边形，则这个六边形的主对角线共点．A D KR QEHBFGCP解析如图，设两个三角形的边的交点依次为D 、E 、F 、G 、H 、K ．设ABC △、PQR △的高为h ，则正ADK △的高h =（RQ 与BC 的距离）=正FPG △的高，于是DK FG ∥，DG 、KF 互相平分，同理DG 、EH 互相平分，于是DG 、EH 、KF 的中点为同一点，结论成立．9．2．13★★★★求证：过正三角形ABC 的中心O 任作一条直线l ，则A 、B 、C 三点至l 的距离平方和为常数．AlB'A'OC'B QC P解析如图，不妨设l 与AB 、AC 相交，且与BC 延长线交于P (平行容易计算)．由中位线及重心性质，知BB CC AA '''+=．故222222()B B C C A A B B C C B B C C '''''''++=++⋅． 连结OB 、OC ，作OQ BC ⊥，易知B BP QOP C CP ''△∽△∽△，故C C CP OQ OP '=，B B BPOQ OP'=． 对于等腰三角形OBC ，有22OP OC CP BP -=⋅．因此()()222222222223OQ OQ B B C C B B C C CP BP CP BP BC CP BP OP OP''''++⋅=++⋅=+⋅= ()222222333OQ BC OP OC OQ OP+-=(定值)，这里用到了BC ． 于是A 、B 、C 三点至l 的距离平方和为22162OQ BC =，结论得证．§9．3三角形中的巧合点9．3．1★已知：H 是ABC △内一点，AH 、BH 、CH 延长后分别交对边于D 、E 、F ，若AH HD BH HE CH HF ⋅=⋅=⋅，则H 是ABC △的垂心，解析如图，由条件知AHE BHD △∽△，故AEH BDH ∠=∠，同理，AFH CDH ∠=∠，故180AFH AEH ∠+∠=︒．A FEHBDC又FBH ECH △∽△，故BFH CEH ∠=∠，这样可得90AFH AEH ∠=∠=︒，故H 为ABC △之垂 心．9．3．2★★求证：到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心．解析设ABC △中，AD 、BE 、CF 是中线，G 是重心，M 是任一点．由斯图沃特定理，并考虑到 结论成立． 123DG GA AD =∶∶∶∶，得2222122339MG AM DM AD =+-22212233AM DM GD =+-．① 又由中线长公式，有 ()22221124MD BM CM BC =+-， ()22221124GD BG CG BC =+-． 代入式①，得()()222222230MG MA MB MC GA GB GC =++-++≥．结论成立．9．3．3★★★已知，H 是锐角ABC △的垂心，D 是BC 中点，过H 作DH 的垂线，交AB 、AC 于M 、N ，求证：H 是MN 中点．AQ NMHBD PC解析设ABC △两条高为AP 、CQ ．又不妨设D 在BP 上．由于HAM DCH ∠=∠，90AHM DHP HDC ∠=︒-∠=∠，故AMH CHD △∽△，于是MH AH HD CD =，同理NH AHHD BD=， 又CD BD =，故MH NH =．9．3．4★★★ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别有点D 、E 、F ，且BD CE AFDC EA FB==，求证：ABC △的重心与DEF △的重心是同一点．解析在AB 上取一点M ，使MD AC ∥，则MD BD CEAC BC AC==，所以MD CE =，四边形MDCE 为平行四边形，设MC 与DE 交于N ，又设BC 的中点为，P 连结PN 、AP 、FN ，AP 与FN 交于G ，于是由 BM BD CE AF AB BC AC AB ===，得RM AF =，于是1122PN BM AF ∥∥，于是12PG GN PN GA FG AF ===，所以G 为ABC △与DEF △之重心．AFMG EBDPCN9．3．5★★★已知ABC △，60A ∠=︒，G 是ABC △重心，120BGC ∠=︒，求证：ABC △是正三角形． 解析设ABC △三条中线分别为AD 、BE 、CF ．连EF 为中位线．于是由条件知A 、F 、G 、E 共圆，故GBD FEG BAD ∠=∠=∠，于是2BD GD DA =⋅．由于12BD BC =，13GD AD =，代入，得AD =． 在ABC △外作等腰BCP △，使BP CP =，120BPC ∠=︒，连结DP ，DP BC ⊥．由圆心角与圆周角的关系，211333GP BP AD AD AD GD PD ====+=+，故G 、D 、P 三点共线，故AD BC ⊥，于是AB AC =，又60RAC ∠=︒，故ABC △为正三角形．AFEBD CPG9．3．6★★★已知D 是BC 上一点，ABD △、ECD △、BCF △都是正三角形，A 、E 在BC 同侧，F在另一侧，求证：以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形，且它的中心在BC 上．又问此题如何推广？A BCEFR R'DQ'P'Q解析如图，设P 、Q 、R 分别为BCF △、DCE △和ABD △的中心，则由题11．2．25知PQR △为正三角形．过P 、Q 、R 分别作BC 的垂线PP '、QQ '、RR '，则RR QQ PP BD CD BC ⎛'''=== ⎝⎭，又BD CD BC +=， 故RR QQ PP '''+=．又设RQ 中点为S （图中未画出），SS BC '⊥于S '，则SS PP ''∥，且()1122SS RR QQ PP ''''=+=．设SP 与BC 交于G ，则12SG SS GP PP '=='，所以G 为PQR 的中点． 评注此题不难推广，只需AB DE CF ∥∥，AD CE BF ∥∥，此时ABD DC FCB △∽△∽△， P 、Q 、R 为各自对应的重心，则必有PQR △之重心位于BC 上． 9．3．7★★★ABC △内有一点P ，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与对边相交，把ABC △分成六个小三角形，若这六个小三角形中有三个面积相等，则点P 是否必为ABC △之重心？ 解析如图，设AD 、BE 、CF 交于P ．由对称性，可分四种情况讨论．AFEPBDC（1）BPD CDP BPF S S S ==△△△．于是BD CD =，2CPPF=，由梅氏定理（或添平行线），得AF BF =，P 为中心．（2）BPD CDP APF S S S ==△△△．此时FD AC ∥，故D 、F 分别为BC 、AB 中点，P 为重心． （3）BPD BPF APE S S S ==△△△．此时有DE AB ∥，由塞瓦定理，AF BF =，于是APF BPF S S =△△，回到情形（1）．（4）APF BPD CPE S S S ==△△△，见题15．1．58．综上所知，答案是肯定的．9．3．8★★★设有一个三角形三角之比为124∶∶，作两较大角的平分线，分别交对边于M 、N ．求证：这个三角形的重心在MN 上．解析如图(a)，设A ∠为最小角，作中线AD ，交MN 于G ，于是只要证明2AG GD =．分别作EB AD CF ∥∥，E 、F 在直线MN 上，则2GD EB CF =+，故问题变成1EB FCAG AG+=，或 1BC BC CM BN CF BEAB AC AM AN AG AG+=+=+=． 不妨设A θ∠=，2C θ∠=，4B θ∠=，7180θ=︒，在AC 上找一点P ，使ABP θ∠=，又作PQ BC ∥，Q 在AB 上，则各角大小如图(b)所示．于是BC BP AP BQ ===，故 11BC AP CP BQ BCAC AC AC AB AB==-=1-=-． ABCD E FNMGA QP B C2θ3θ2θ3θ3θθθ图(a)图(b)9．3．9★★★不等边锐角ABC △中，H 、G 分别是其垂心和重心，求证：若112HABHACHBCS S S +=△△△，AG HG ⊥．ABDECGH解析设ABC △的一条中线与高分别为AD 、AE ，则欲证结论等价于AG AD AH AE ⋅=⋅．熟知cot AH BC A =⋅，23AG AD =．于是结论变为22cot cos 3AD BC AE A AB AC A =⋅⋅=⋅⋅． 设AB c =，BC a =，CA b =，则由中线长及余弦定理，知欲证式左端()2221226b c a =+-， 右端2222b c a +-=，整理，得2222b c a +=，于是剩下的任务是证明这个等价条件．1cos 2BHC S BH BC C =⋅⋅⋅△1cot cos 2AC BC B C =⋅⋅⋅⋅ cot cot ABC S B C =⋅⋅△，同理有另两式，于是条件变为cot cot 2cot C B A +=，由正弦及余弦定理，知上式即cos cos ab C ac B +=2cos bc A ，或()()22222222262()ac a c b b c a +-++-=+-，化简即得2222b c a +=．9．3．10★★已知凸四边形ABCD 中，2BAC BDC ∠=∠，2CAD CBD ∠=∠，A 是否一定为BCD △之外心？ABDC解析当BCD △固定．由题设BAC ∠、CAD ∠固定，于是BAC △、ACD △外接圆固定，它们的交点 C 、A '固定，又若A 为BCD △外心时，确为BAC △的外接圆和ACD △的外接圆之异于C 的交点，因此A A '=，结论成立．9．3．11★★★已知锐角ABC △的外接圆与内切圆的半径分别为R 、r ，O 是外心，O 至三边距离之和为L ，试用R 、r 表示L ． 解析易知()cos cos cos L R A B C =++．设ABC △三边分别为a 、b 、c ，由于cos cos a B b A c +=等，则()()cos cos cos a b c A B C ++⋅++=cos cos cos a b c a A b B c C +++++，于是 cos cos cos 1A B C ++-cos cos cos a A b B c Ca b c++=++．①又1cos 2BOC Ra A S =△等，可得()()11cos cos cos 22ABC R a A b B c C S r a b c ++==++△，故式①的右端r R =． 于是L R r =+．9．3．12★★★★：已知ABC △，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD 、CE 交于F ，ED BC ∥，求证：AEF △、ADF △、EFB △、DFC △的外心四点共圆．AED BCOKO 1O 2解析如图，设BEF △、DFC △的外心分别为1O 、2O ，O 为EFD △的外心，于是1OO 垂直平分EF ．2OO 垂直平分DF ．设EFB DFC θ∠=∠=，则由垂径定理知11sin 2OO BD θ=，21sin 2OO CE θ=，于是12OO BD FD OO CE EF ==． 易知AF 过ED 中点（由塞瓦定理或面积比），作KD EF ∥，K 在AF 上，则KD EF =，又 12180KDF EFD O OO ∠=︒-∠=∠，故12O OO FDK △∽△．又设AEF △，ADF △的外心分别为3O 、4O （图中未画出），于是3O 、4O 分别在直线1O O 与2O O 上， 且34O O AF ⊥，于是4312OO O KFD OO O ∠=∠=∠，于是1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆．9．3．13★★★已知：ABC △中，AB AC =，D 是AB 中点，F 为ADC △重心，O 为ABC △外心，求证：FO CD ⊥．解析1如图，延长DF 交AC 于E ，则AE CE =，2DF EF =．连结AO 并延长，分别交CD 、BC 于G 、H ，则G 为ABC △重心，BH CH =，2233DF DE BH ==，易见2323BHDO BH DF AD AH AG AH ===． ADEF OGB H C又OD AB ⊥，90ODF ADE DAG ∠=︒-∠=∠，ODF DAG △∽△，对应边垂直，所以FO CD ⊥． 解析2O 为ABC △外心，故22222CO DO AO DO AD -=-=； 而由中线公式，CF =DF 于是22222CF DF AD CO DO -==-，于是FO CD ⊥．9．3．14★★★设I 和O 分别是ABC △的内心和外心，求证：90AIO ∠︒≤的充分必要条件是2BC AB AC +≤．解析延长AI 与外接圆交于点D ，连结BD 、CD 、OD ，则 90AIO ∠︒≤ AI ID ⇔≥．2ADDI⇔≤D由内心性质知，DI DB DC ==，结合托勒密定理得 AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅ AB DI AC DI =⋅+⋅， 所以AD AB ACDI BC+=， 所以902AB ACAIO BC+∠︒⇔≤≤， 故90AIO ∠︒≤的充要条件是2BC AB AC +≤．评注本题的关键是先把90AIO ∠︒≤转换为AI ID ≥，然后再用托勒密定理．托勒密定理是：圆内接四边形的对角线的乘积等于对边乘积的和．9．3．15★★★设O e 是ABC △的外接圆，G 是三角形重心，延长AG 、BG 、CG ，分别交O e 于D 、E 、F ，则3AG BG CGGD GE GF++=． AF ERQGBP DC解析设BC 、CA 、AB 的中点分别为P 、Q 、R ，则由中线长公式及相交弦定理，有（此处ABC △三边分别设为a 、b 、c ） AG AG AGBP CPGD GP PD GP AP==⋅++22223133APAP BP CP AP BP CP AP AP ==⋅+⋅+ 2222222222222122211132244b c a b c a a b c b c a a +-+-==+++-+． 同理，有22222222BG c a b GE a b c +-=++ ， 22222222CG a b c GF a b c +-=++． 三式相加，即得结论．9．3．16★★I 在ABC △内，AI 平分BAC ∠，1902BIC A ∠=︒+∠，求证：I 是ABC △内心．解析如图，作EIF AI ⊥，E 在AB 上，F 在AC 上，则AE AF =，LE IF =，AEF BCI1902BEI IFC A BIC ∠=∠=︒+∠=∠．又1902EBI EIB A EIB FIC ∠+∠=︒-∠=∠+∠，故EBI FIC ∠=∠，于是EBI FIC △∽△，BI BE BEIC IF EI==．而BEI BIC ∠=∠，故BEI BIC △∽△，ABI IBC ∠=∠，所以I 为ABC △内心．9．3．17★★已知：ABC △中，2BC AB AC =+，D 是内心，DE 与BC 垂直于E ，求2DE BE CE⋅的值．解析设ABC △三边长分别为a 、b 、c ，则2a b c =+． 易知若设DE r =，()12p a b c =++，则BE p b =-，CE p c =-．r =于是2133DE P a b c a a BE CE p a b c a -+-====⋅++． 9．3．18★★设ABC △中，AB 最长，在其上分别找两点M 、N ，使AN AC =，BM BC =，又设I 为ABC △内心，求MIN ∠（用A ∠、B ∠、C ∠及其组合表示）． 解析如图，连结CM 、CN 、CI 、AI ．CABM NI易知ACI ANI △△≌，CI NI =，同理CI MI =，I 为CMN △的外心，因此 MCN ACN BCM C ∠=∠+∠-∠11909022A B C =︒-∠+︒-∠-∠1902C =︒-∠，2180MIN MCN C ∠=∠=︒-∠．9．3．19★★★★ABC △的边BC 上有一点D ，ABD △与ACD △的内心与B 、C 四点共圆，求证： AD BD ABAD CD AC+=+． AMNE FBDCPI 1I 2解析如图，设ABD △与ACD △的内心分别为1I 与2I ．连结1AI 、2AI 、1BI 、2CI 、12I I ，两端延长12I I ，分别交AB 、AC 于E 、F ，则由条件知()1112AEF ABI EI B ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠，同理AFE ∠也是此值，于是AE AF =． 又设12I I 与AD 交于P ，则由角平分线性质知1212EI FI AE AF I P AP AP I P ===，故由梅氏定理（直线AB 截1PDI △及直线AC 截2PDI △），得1212I D I DI M I N=（此处M 、N 分别为1DI 、2DI 延长后与AB 、AC 之交点），又由角平分线性质，知11I D AD BD I M AB +=，22I D AD CDI N AC+=于是结论成立． 9．3．20★★★已知ABC △中，AB AC =，O 、I 分别为其外心与内心，D 在AC 上，DI AB ∥，求证：OD CI ⊥．解析如图，不妨设O 在ABC △内，且在I “之上”(O 在形外、I 之下类似处理），连结AOI 、OC ，则IOC BAC IDC ∠=∠=∠，故O 、I 、C 、D 共圆，于是ODC ICD OIK ICD ∠+∠=∠+∠．这里K 为DO 、CI 直线之交点．AD O KIBC由于AOI BC ⊥，故9090OIK ICD BCI ICD ∠+∠=︒-∠+∠=︒，于是90DKC ∠=︒．9．3．21★★设G 为ABC △的重心，已知GA =GB =且2GC =，求ABC △的面积．解析1由题意可画出图(a)，令D 为AB 中点，GE AB ⊥，垂足为点E ，因G 为重心，可知112GD GC ==． 由勾股定理可知222222222GE GB EB GE GA EA GE GD DE ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩①②③，C ABD E G22322(a)令AD BD c ==．由①与②可得(()(()2222c DE c DE -+=--，化简后可得1c DE ⨯=，即1DE c =，代入③得2211GE c=-，再代入①式可得 22118c c c ⎛⎫1-=-- ⎪⎝⎭， 解方程可得3c =，GE =，故 ABC △的面积=6GBD ⨯△的面积1632=⨯⨯= 解析2由题意可画出图(b)，令D 为AB 中点，在GD 的延长线上取E 点使得GD DE =，因此GBD △ 之面积为AEG △之面积的一半．此时因AB 与GE 互相平分，可知四边形AEBG 为平行四边形，也因此可知AE GB ==，即AEG △的三边长为2、故可知AEG △为直角三角形，故GBD△的面积为11222⨯⨯=ABC△的面积6GBD =⨯△的面积=(b)22232GD BAC 22E 119．3．22★★★已知120AFB BFC CFA ∠=∠=∠=︒，P 为异于F 的任一点，求证： PA PB PC FA FB FC ++>++．解析如图，在ABC △外作正三角形ABD ，由于ABC ∠，120BAC ∠<︒，故四边形DBCA 的内角均小于180︒，是凸四边形．ADF F'PP'BC对于ABC △中任一异于F 的点P ，将ABP △、ABF △均以点A 为中心顺时针旋转60︒，至ADP '△ 和ADF '△，则AFF △与APP '△均为正三角形．由全等知AP BP CP PP DP CP CD DF F F FC AF BF CF ''''++=++>=++=++，这是因为DP PC '是一条折线，而120DF A AFC '∠=∠=︒，60AFF AF F ''∠=∠=︒，D 、F '、F 、C 四点共线且仅对于F 满足四点共线．评注当ABC △内角均小于120︒时，满足条件的点F 称为ABC △的费马点（当ABC △有内角比如120A ∠︒≥时，到A 、B 、C 距离之和最小的点正是点A ）．。